压缩感知原理汇总
压缩感知介绍
f 2 ( x)
Minmum
Minmum
f1 (x)
压缩感知稀疏优化原理示意图
Two-Objective Minimum Problem:
Minmum
f (x) ( f1 (x), f 2 (x))
Pareto前沿
f 2 ( x)
Minmum
f1()：k f2()：err
University of illinois
压缩感知应用实例十—动态CT图像 重建
压缩感知介绍
压缩感知介绍
1.压缩感知简介。
2.压缩感知的优势。
3.压缩感知稀疏优化原理示意图。
4.压缩感知应用条件。
5. 压缩感知应用。
背景
信息技术飞速发展：信息需求量剧增。
带宽增加：采样速率和处理速率增加。
压缩感知的发现者
伊曼纽尔· 坎迪斯： “这就好像，你给 了我十位银行账号 的前三位，然后我 能够猜出接下来的 七位数字。” 华裔数学家陶哲 轩
压缩感知介绍
1.压缩感知简介。 2.压缩感知的优势。
3.压缩感知稀疏优化原理示意图。
4.压缩感知应用条件。
5. 压缩感知应用。 6.工作中可能结合之处。
压缩感知稀疏优化原理示意图
Two-Objective Minimum Problem:
Minmum
f (x) ( f1 (x), f 2 (x))
压缩感知介绍
1.压缩感知简介。
2.压缩感知的优势。
3.压缩感知稀疏优化原理示意图。
4.压缩感知应用条件。
5. 压缩感知应用。
传统的数据压缩与压缩感知
采集
压缩
解压
直接采集压缩后的数据
压缩感知
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2.2 观测和重建的简单数学推导②
1. 回顾
但如果信号在变换域中稀疏，即只有K（K<M)个系数不为零，则如 果我们知道是哪K个不为零，就可以从M个方程中解出K个不为零的 系数。 最直观的想法，可以将所有K个不为零的组合都求解一次，最后比 较哪一个是最优的，但是这样的方法太耗时。
Donoho提供了两个较为可行的最优化求解的方案： • 匹配追踪：找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波； 在数据中去除这个标记的所有印迹；不断重复直到我们能用小波标 记“解释”收集到的所有数据。 • 基追踪（又名L1模最小化）：在所有与录得数据匹配的小波组合 中，找到一个“最稀疏的”，也就是其中所有系数的绝对值总和越小 越好。（这种最小化的结果趋向于迫使绝大多数系数都消 失了。）这种最小化算法可以利用单纯形法之类的凸规划 算法，在合理的时间内计算出来。
10
3.2 成像过程的数学模型
2. 单像素相机原理
·图像经透镜1恰好照满DMD，DMD为p×q尺寸，设N=p×q，则此时DMD上的像为原始信号 · DMD上所有反射镜处于伪随机状态1，他们的状态构成了观测矩阵Φ的第一行（不是φ 1） h1（尺寸是N)，则此时将要被反射回去的信号是X在h1反射下的值。 ·反射后信号在单点传感器上重合，即产生相加的效应，即本次观察得到的是y1=h1 ·X ·重复上面的步骤M次，则M次DMD状态构成了观测矩阵Φ ，M次结果构成观测值矩阵 Y= Φ X。实际上整个观测过程可以看成是只有一个像素的视频流。
1.压缩感知的概念
1.1 信号获取及压缩
1. 压缩感知概念
被拍摄物体
JPEG编码图像
被感知对象
未压缩信号
压缩信号
重建信号
RAW图像
分布式压缩感知理论研究综述及应用
分布式压缩感知理论研究综述及应用分布式压缩感知是一种集合了压缩感知和分布式信号处理技术的新型信号采样和重构方法。
它可以有效地降低采样数据的大小，减少数据传输和存储的成本，并且可以在分布式环境中实现对信号的准确重构。
本文就分布式压缩感知的理论研究和应用进行综述，通过对该领域的研究进展和应用前景进行分析，展示了分布式压缩感知在信号处理领域的重要意义和潜在价值。
一、分布式压缩感知的基本原理分布式压缩感知技术将压缩感知理论应用于分布式信号处理系统中，实现了在采样端进行压缩，并在重构端对信号进行准确还原。
它主要包括信号的采样、测量矩阵的设计、信号的重构这三个基本环节。
1. 信号的采样传统的信号采样通常是采用奈奎斯特采样定理，即采样频率要大于信号的最高频率成分。
而分布式压缩感知采用的是压缩采样，即采用远远小于奈奎斯特采样频率的采样率。
这样可以有效减少采样数据的大小，降低数据传输和存储的成本。
2. 测量矩阵的设计在分布式压缩感知中，测量矩阵的设计是非常关键的一步。
它决定了采样得到的投影数据，从而影响信号的重构效果。
常见的测量矩阵包括随机测量矩阵、稀疏测量矩阵等。
在分布式压缩感知中，信号的重构是指利用采样数据和测量矩阵来恢复原始信号。
常用的信号重构方法包括基于稀疏表示的重构算法、基于字典学习的重构算法等。
近年来，分布式压缩感知在信号处理领域取得了许多研究进展。
研究者们提出了许多新的理论方法和算法，丰富了分布式压缩感知的理论体系，推动了该领域的发展。
1. 分布式压缩感知的优化算法针对分布式压缩感知中的信号重构问题，研究者们提出了许多优化算法，如迭代硬阈值算法、基于二阶范数的重构算法等，这些算法在信号重构的准确性和计算效率上都取得了显著的进展。
分布式压缩感知不仅在通信和图像处理领域有着广泛的应用，还在生物医学、环境监测、无线传感器网络等领域展现了广阔的应用前景。
在医学影像处理中，可以利用分布式压缩感知技术对医学影像进行高效压缩和传输，从而节约了存储和传输成本。
压缩感知介绍PPT-
❖ 但将其变换到 域
时，非零值就只有3 个了，数目远小于 原来的非零数目，实 现了信号的稀疏表 示。
1 压缩感知理论分析
如何找到信号的最佳稀疏域呢？
❖ 这是压缩感知理论的基础和前提，也是信号精确重构的保证。 对稀疏表示研究的热点主要有两个方面：
❖ 1、基函数字典下的稀疏表示： ❖ 寻找一个正交基使得信号表示的稀疏系数尽可能的少。比较
2 压缩感知应用
2.4 CS雷达
❖ 在雷达目标探测中，目标相对于背景高度稀疏， 与复杂的雷达系统、海量数据呈现极度的不平 衡，这就为CS技术在雷达目标探测与识别的应 用提供了必要的条件。
❖ 3.4.1 CS与传统的高分辨雷达 ❖ 3.4.2 CS与MIMO雷达 ❖ 3.4.3 CS与雷达成像
2 压缩感知应用
2 压缩感知应用
分布式压缩感知（DCS）与MIMO雷达
（3） DCS-MIMO联合重构算法 求 解 欠 定 方 程 的 处 理 过 程 ， 实 现 DCSMIMO雷达信号重构。 常采用的方法有贪婪算法、粒子群算法、 模拟退火算法等优化算法。
3 压缩感知应用
3.4.3 CS与雷达成像
基于CS的SAR成像需要解决的主要问题有:
系数越多。
1 压缩感知理论分析
第三步：信号重构
❖ 首先介绍下范数的概念。向量的p-范数为：
s p
1
s N
i 1
p i
p
当p=0时得到0-范数，它表示上式中非零项的个 数。
❖ 由于观测数量M N，不能直接求解，在信号 x
可压缩的前提下，求解病态方程组的问题转化 为最小0-范数问题：
min T x
稀疏信号的字典集 ，并且 与 是不相关的。利用这个
压缩感知分布式
压缩感知分布式压缩感知分布式是一种新兴的数据处理方法，它能够在分布式系统中高效地进行数据压缩和传输。
本文将从压缩感知分布式的定义、原理、应用以及优缺点等方面进行详细介绍。
一、压缩感知分布式的定义压缩感知分布式是指在分布式系统中将数据压缩和传输作为一个整体进行处理的一种方法。
它通过在数据传输的过程中对数据进行压缩，减小数据量，从而降低传输的带宽需求和传输延迟。
压缩感知分布式的原理主要包括两个方面：数据压缩和传输优化。
1. 数据压缩在压缩感知分布式中，数据压缩是非常关键的一步。
常用的数据压缩算法有哈夫曼编码、LZ77算法等。
通过这些算法，可以将数据中的冗余信息去除，从而减小数据的大小。
在压缩的过程中，还可以结合数据的特点，选择合适的压缩算法，进一步提高压缩比例。
2. 传输优化在数据传输的过程中，压缩感知分布式还可以进行一些传输优化的操作。
例如，可以通过选择合适的传输路径，减小数据传输的距离和传输时延；可以对传输的数据进行分块，提高并行传输的效率；还可以根据网络的状况进行自适应的传输控制，避免网络拥塞等问题。
三、压缩感知分布式的应用压缩感知分布式在很多领域都有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用场景。
1. 大规模数据传输在大规模数据传输的过程中，压缩感知分布式可以将数据进行压缩，减小传输的数据量，从而提高传输的效率。
这在云计算、大数据分析等领域非常常见。
2. 视频传输在视频传输的过程中，压缩感知分布式可以将视频数据进行压缩，减小传输的带宽需求。
这在实时视频传输、视频会议等场景中非常实用。
3. 无线传感器网络在无线传感器网络中，节点之间的通信是非常重要的。
压缩感知分布式可以减小传输的数据量，降低能耗，延长无线传感器网络的寿命。
四、压缩感知分布式的优缺点压缩感知分布式具有以下优点：1. 减小数据传输的带宽需求，提高传输效率；2. 降低能耗，延长系统的寿命；3. 适用于大规模数据传输和实时数据传输等场景。
然而，压缩感知分布式也存在一些缺点：1. 需要对数据进行压缩和解压缩的操作，增加了系统的计算复杂度；2. 对压缩算法的选择和参数的调整要求较高，需要根据不同的应用场景进行优化。
压缩感知提频技术原理
压缩感知提频技术原理哎呀，说起压缩感知提频技术，这玩意儿可真是个技术活儿，得慢慢道来。
咱们先从压缩感知说起，这玩意儿就像是你把一大堆东西塞进一个小箱子里，但还能保证每样东西都能被找到。
听起来是不是挺神奇的？其实，压缩感知就是这么个原理，它能够在数据量很大的情况下，通过一些巧妙的方法，减少数据的存储空间，同时还能保持数据的完整性。
那么，提频技术又是啥呢？这就好比你有个老式收音机，只能收听几个固定的频道，但突然有一天，你发现了一个神奇的按钮，一按下去，就能听到更多的频道了。
提频技术就是这个神奇的按钮，它能让你在有限的频谱资源下，获取更多的信息。
现在，把这两个技术结合起来，就是压缩感知提频技术了。
这技术的原理，简单来说，就是在信号处理的过程中，通过一些算法，把信号压缩到一个更小的空间里，然后再通过提频技术，把压缩后的信号“展开”，恢复到原来的频率范围。
这样，就能在不增加频谱资源的情况下，获取更多的信息。
举个例子吧，想象一下你是个摄影师，手里拿着一台老旧的相机，只能拍黑白照片。
但是，你突然得到了一个神奇的滤镜，这个滤镜能让你的相机拍出彩色照片，而且照片的清晰度还提高了。
这就是压缩感知提频技术在实际应用中的一个形象比喻。
具体到技术细节，这事儿就复杂了。
首先，你得有一个算法，这个算法能够识别出信号中的重要信息，然后把这些信息压缩起来。
这个过程就像是你在整理一堆照片，把那些模糊的、不重要的照片扔掉，只留下那些清晰、重要的。
然后，你得有一个解压缩的算法，这个算法能够把压缩后的信息恢复到原来的频率范围。
这个过程就像是你把那些重要的照片重新放回相册，但是要按照原来的位置放好。
这个技术的应用可广泛了，从无线通信到医学成像，都能看到它的身影。
比如在无线通信领域，通过压缩感知提频技术，可以在不增加频谱资源的情况下，提高数据传输的速率。
在医学成像领域，这个技术可以帮助医生更清晰地看到病人的内部结构，提高诊断的准确性。
总之，压缩感知提频技术就像是那个神奇的滤镜，虽然听起来有点复杂，但它确实能让我们在这个信息爆炸的时代，更高效地处理和传输信息。
压缩感知的原理和应用
高斯矩阵、小波基、正（余）弦基、Curvelet基等。
2、超完备库下的稀疏表示：
用超完备的冗余函数库来取代基函数 目的是从冗余字典中找到具有最佳线性组合的K项原子来逼近
表示一个信号 称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。
min T x
0
s.t.
Y T x
2.2 压缩感知流程介绍
对于0-范数问题的求解是个NP问题，需要列出所有非零项位 置的种组合的线性组合才能得到最优解，在多项式时间内难 以求解，而且也无法验证其可靠性。 Chen，Donoho和Saunders指出求解一个优化问题会产生同 等的解。于是问题转化为：
min T x
1
s.t.
Y T x
Candes等指出，要精确重构k稀疏信号x，测量次数M（必须 满足M=O(k · logN) ，并且矩阵Φ必须满足约束等距性条件 (Restricted Isometry Principle)。 求解该最优化问题，得到稀疏域的系数，然后反变换即可以 得到时域信号。
采样速率需达到信号带宽的两倍以上才能精确重构信带宽增加采样速率和处理速率增加弊端采样硬件成本昂贵获取效率低下对宽带信号处理的困难日益加剧12信号的压缩和传输12信号的压缩和传输为了降低成本将采样的数经压缩后以较少的比特数表示信号很多非重要的数据被抛弃缺点这种高速采样再压缩的方式浪费了大量的采样资源一旦压缩数据中的某个或某几个丢失可能将造成信号恢复的错误13亟待解决的问题13亟待解决的问题问题1
3.2 动态CT图像重建
• Reconstruct dynamic CT image sequences
深度压缩感知原理
深度压缩感知原理深度压缩感知原理的基本假设是，信号在一些基向量的稀疏表示下，可以用更少的样本进行恢复。
在传统的图像和视频压缩技术中，通常采用基于离散余弦变换（Discrete Cosine Transform, DCT）或离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）的方法来获得稀疏表示。
而在深度压缩感知中，采用稀疏编码，通过一个训练好的卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）来提取信号的稀疏表示。
通过学习得到的稀疏表示，可以将信号的体积减小到原始的几十分之一甚至更少。
深度压缩感知的基本过程包括三个步骤：稀疏编码、测量和重构。
首先，通过训练一个CNN网络，可以得到一个稀疏编码器。
这个编码器将输入信号转换为一个高维稀疏向量。
接下来，使用一组测量矩阵对输入信号进行测量。
这些测量结果是通过将信号投影到随机测量矩阵上得到的，这样可以大大减少样本数量。
最后，使用一个解码器网络对测量结果进行重构，以获得压缩后的信号。
在深度压缩感知中，稀疏编码通过使用CNN来学习信号的稀疏表示。
CNN具有多层卷积和池化层，可以自动提取出信号的局部空间特征。
这些特征在稀疏编码中被用来构建稀疏表示。
测量步骤使用了一组稀疏测量矩阵，可以将信号投影到低维空间。
这些测量矩阵通常是随机生成的，但是也可以根据具体应用场景进行设计。
解码器网络使用CNN的逆操作，即卷积的转置和上采样，将测量结果重构为接近原始信号的近似值。
与传统的压缩方法相比，深度压缩感知具有以下优势：1.高压缩率：通过学习稀疏表示，深度压缩感知可以将信号的体积减小到原始的几十分之一甚至更少，同时保持相对较高的准确性。
2.实时性：深度压缩感知可以在传输和存储之前对信号进行压缩，从而减少传输和存储的需求。
这对于实时应用非常重要，如视频监控和无人驾驶等。
3.灵活性：深度压缩感知可以根据具体应用场景对测量矩阵进行设计，提高信号重构的准确度和效果。
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压缩感知原理1压缩感知引论传统方式下的信号处理，是按照奈奎斯特采样定理对信号进行采样，得到大量的采样数据，需要先获取整个信号再进行压缩，其压缩过程如图2.1。
图2.1 传统的信号压缩过程在此过程中，大部分采样数据将会被抛弃，即高速采样后再压缩的过程浪费了大量的采样资源，这就极大地增加了存储和传输的代价。
由于带宽的限制，许多信号只包含少量的重要频率的信息。
所以大部分信号是稀疏的或是可压缩的，对于这种类型的信号，既然传统方法采样的多数数据会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接获取需要保留的数据呢？Candes和Donoho等人于2004年提出了压缩感知理论。
该理论可以理解为将模拟数据节约地转换成压缩数字形式，避免了资源的浪费。
即，在采样信号的同时就对数据进行适当的压缩，相当于在采样过程中寻找最少的系数来表示信号，并能用适当的重构算法从压缩数据中恢复出原始信号。
压缩感知的主要目标是从少量的非适应线性测量中精确有效地重构信号。
核心概念在于试图从原理上降低对一个信号进行测量的成本。
压缩感知包含了许多重要的数学理论，具有广泛的应用前景，最近几年引起广泛的关注，得到了蓬勃的发展。
2压缩感知原理压缩感知，也被称为压缩传感或压缩采样，是一种利用稀疏的或可压缩的信号进行信号重构的技术。
或者可以说是信号在采样的同时被压缩，从而在很大程度上降低了采样率。
压缩感知跳过了采集N个样本这一步骤，直接获得压缩的信号的表示。
CS理论利用到了许多自然信号在特定的基 上具有紧凑的表示。
即这些信号是“稀疏”的或“可压缩”的。
由于这一特性，压缩感知理论的信号编解码框架和传统的压缩过程大不一样，主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面。
对于一个实值的有限长一维离散时间信号X ，可以看作为一个N R 空间N ×1的维的列向量，元素为[]n ，n ,=1，2，…N 。
N R 空间的任何信号都可以用N ×1维的基向量{}1i N i =ψ的线性组合表示。
为简化问题，假定这些基是规范正交的。
把向量{}1i N i =ψ作为列向量形成N N ⨯的基矩阵ψ：=[12,,ψψ ⋯ ,N ψ]，于是任意信号X 都可以表示为：X =ψΘ (2.1)其中Θ是投影系数Θ=[],i i X θ=⎡ψ⎤⎣⎦构成的N ×1的列向量。
显然，X 和Θ是同一个信号的等价表示，X 是信号在时域的表示，Θ则是信号在ψ域的表示。
如果Θ的非零个数比N 小很多，则表明该信号是可压缩的。
一般而言，可压缩信号是指可以用K 个大系数很好地逼近的信号，即它在某个正交基下的展开的系数按一定量级呈现指数衰减，具有非常少的大系数和许多小系数。
这种通过变换实现压缩的方法称为变换编码。
在数据采样系统中，采样速率高但信号是可压缩的，采样得到N 点采样信号X ；通过T X Θ=ψ变换后计算出完整的变换系数集合{}i θ；确定K 个大系数的位置，然后扔掉N K -个小系数；对K 个大系数的值和位置进行编码，从而达到压缩的目的。
由Candes 、Romberg 、Tao 和Donoho 等人在2004年提出的压缩感知理论表明，可以在不丢失逼近原信号所需信息的情况下，用最少的观测次数来采样信号，实现信号的降维处理，即直接对信号进行较少采样得到信号的压缩表示，且不经过进行N 次采样的中间阶段，从而在节约采样和传输成本的情况下，达到了在采样的同时进行压缩的目的。
Candes 证明了只要信号在某一个正交空间具有稀疏性，就能以较低的频率()M N <<采样信号，而且可以以高概率重构该信号。
即，设定设长度为N 的信号X 在某正交基或框架ψ上的变换系数是稀疏的，如果我们可以用一个与变换基ψ不相关的观测基 ：M N ⨯()M N <<对系数向量进行线性变换，并得到观测集合:1Y M ⨯。
那么就可以利用优化求解方法从观测集合中精确或高概率地重构原始信号X 。
图2.2是基于压缩感知理论的信号重构过程框图。
图2.2 基于压缩感知理论的信号重构过程基于压缩感知的信号重构主要包含了信号的稀疏表示、编码测量和重构算法三个步骤。
第一步，如果信号X ∈N R 在某个正交基或紧框架ψ上是可压缩的，求出变换系数T X Θ=ψ，Θ是ψ的等价或逼近的稀疏表示；第二步，设计一个平稳的、与变换基ψ不相关的M N ⨯维的观测矩阵Φ，对Θ进行观测得到观测集合T Y X =ΦΘ=Φψ，该过程也可以表示为信号X 通过矩阵CS A 进行非自适应观测：CS Y A = (其中CS T A =Φψ)，CS A 称为CS 信息算子；第三步，利用0-范数意义下的优化问题求解X 的精确或近似逼近ˆX： 0min T X ψ s.t. CS T A X X Y =Φψ= (2.2) 求得的向量X 在基上的表示最稀疏。
针对上述的三个步骤，下面将一一解决其中的三个问题。
2.1 信号的稀疏表示压缩感知的第一步即，对于信号X ∈N R ，如何找到某个正交基或紧框架ψ，使其在ψ上的表示是稀疏的，即信号的稀疏表示问题。
所谓的稀疏，就是指信号X 在正交基下的变换系数向量为T X Θ=ψ，假如对于02p <<和0R >，这些系数满足：1/P P i P i R θ⎛⎫Θ≡≤ ⎪⎝⎭∑ (2.3)则说明系数向量Θ在某种意义下是稀疏的。
如何找到信号最佳的稀疏域？这是压缩感知理论应用的基础和前提，只有选择合适的基表示信号才能保证信号的稀疏度，从而保证信号的恢复精度。
在研究信号的稀疏表示时，可以通过变换系数衰减速度来衡量变换基的稀疏表示能力。
Candes 和Tao 研究表明，满足具有幂次速度衰减的信号，可利用压缩感知理论得到恢复，并且重构误差满足：62ˆ(/log )r r E X X C K N -=-≤⋅ (2.4)其中r=1/p – 1/2，0<p<1.文献[8]指出光滑信号的Fourier 系数、小波系数、有界变差函数的全变差范数、振荡信号的Gabor 系数及具有不连续边缘的图像信号的Curvelet 系数等都具有足够的稀疏性，可以通过压缩感知理论恢复信号。
如何找到或构造适合一类信号的正交基，以求得信号的最稀疏表示，这是一个有待进一步研究的问题。
Peyre 把变换基是正交基的条件扩展到了由多个正交基构成的正交基字典。
即在某个正交基字典里，自适应地寻找可以逼近某一种信号特征的最优正交基，根据不同的信号寻找最适合信号特性的一个正交基，对信号进行变换以得到最稀疏的信号表示。
对稀疏表示研究的另一个热点是信号在冗余字典下的稀疏分解。
这是一种全新的信号表示理论：用超完备的冗余函数库取代基函数，称之为冗余字典，字典中的元素被称为原子。
字典的选择应尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制。
从冗余字典中找到具有最佳线性组合的K 项原子来表示一个信号，称作信号的稀疏逼近或高度非线性逼近。
从非线性逼近角度来讲，信号的稀疏逼近包含两个层面：一是根据目标函数从一个给定的基库中挑选好的或最好的基；二是从这个好的基中挑选最佳的K 项组合。
因此，目前信号在冗余字典下的稀疏表示的研究集中在两个方面：(1)如何构造一个适合某一类信号的冗余字典；(2)如何设计快速有效的稀疏分解算法。
在构造冗余字典方面，文献[16]中提出使用局部Cosine 基来刻画声音信号的局部频域特性；利用bandlet 基来刻画图像中的几何边缘；还可以把其它的具有不同形状的基函数归入字典，如适合刻画纹理的Gabor 基、适合刻画轮廓的Curvelet 基等等。
在稀疏分解算法的设计方面，基于贪婪迭代思想的MP(Matching Pursuit)算法表现出极大的优越性，但不是全局最优解。
Donoho 等人之后提出了基追踪(basis pursuit ，BP)算法。
BP 算法具有全局最优的优点，但计算复杂度极高。
之后又出现了一系列同样基于贪婪迭代思想的改进算法，如正交匹配追踪算法(OMP)，分段匹配追踪(StOMP)算法等。
2.2 测量矩阵的选取如何设计一个平稳的、与变换基ψ不相关的M N ⨯维的观测矩阵Φ，保证稀疏向量Θ从N 维降到M 维时重要信息不遭破坏，是第二步要解决的问题，也就是信号低速采样问题。
压缩感知理论中，通过变换得到信号的稀疏系数向量T X Θ=ψ后，需要设计压缩采样系统的观测部分，它围绕观测矩阵Φ展开．观测器的设计目的是如何采样得到M 个观测值，并保证从中能重构出长度为N 的信号X 或者基ψ下等价的稀疏系数向量Θ。
显然，如果观测过程破坏了X 中的信息，重构是不可能的。
观测过程实际就是利用M N ⨯观测矩阵Φ的M 个行向量{}1M j j ϕ=对稀疏系数向量进行投影，即计算Θ和各个观测向量{}1M j j ϕ=之间的内积，得到M 个观测值(),1,2,Mj j y j ϕ=<Θ>=…,，记观测向量12(,,y )M Y y y =…，，即 T CS Y X A X =ΦΘ=Φψ= (2.5)这里，采样过程是非自适应的，也就是说，Φ无须根据信号X 而变化，观测的不再是信号的点采样而是信号的更一般的K 线性泛函。
对于给定的Y 从式(2.5)中求出Θ是一个线性规划问题，但由于M N <<，即方程的个数少于未知数的个数，这是一个欠定问题，一般来讲无确定解。
然而，如果Θ具有K - 项稀疏性(K M <<)，则该问题有望求出确定解。
此时，只要设法确定出Θ中的K 个非零系数i θ的合适位置，由于观测向量Y 是这些非零系数i θ对应 的K 个列向量的线性组合，从而可以形成一个M K ⨯的线性方程组来求解这些非零项的具体值。
对此，有限等距性质给出了存在确定解的充要条件。
这个充要条件和Candes 、Tao 等人提出的稀疏信号在观测矩阵作用下必须保持的几何性质相一致。
即，要想使信号完全重构，必须保证观测矩阵不会把两个不同的K -项稀疏信号映射到同一个采样集合中，这就要求从观测矩阵中抽取的每M 个列向量构成的矩阵是非奇异的。
从中可以看出，问题的关键是如何确定非零系数的位置来构造出一个可解的M K ⨯线性方程组。
然而，判断给定的CS A 是否具有RIP 性质是一个组合复杂度问题。
为了降低问题的复杂度，能否找到一种易于实现RIP 条件的替代方法成为构造观测矩阵的关键。
文献[10]指出如果保证观测矩阵Φ和稀疏基ψ不相干，则CS A 在很大概率上满足RIP 性质。
不相干是指向量{}j ϕ不能用{}i ψ稀疏表示。
不相干性越强，互相表示时所需的系数越多；反之，相关性则越强．通过选择高斯随机矩阵Φ作为即可高概率保证不相干性和RIP 性质。
例如，可以生成多个零均值、方差为1/N 的随机高斯函数，将它们作为观测矩阵Φ的元素j ϕ，使得CS A 以很高的概率具有RIP 性质。