(备战中考)2012年中考数学新题分类汇编(中考真题+模拟新题)：开放型问题
2012年全国中考数学试题分类汇编专题☆开探究型问题(二次函数)
1. （2012浙江衢州12分）如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上．已知点A （1，2），过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛物线y =ax 2+bx +c 经过O 、A 、C 三点． （1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移过程中与△COD 重叠部分面积记为S ．试探究S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．2. （2012浙江义乌12分）如图1，已知直线y =kx 与抛物线2422y=x +x 273交于点A （3，6）． （1）求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度； （2）点P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线PM ，交x 轴于点M （点M 、O 不重合），交直线OA 于点Q ，再过点Q 作直线PM 的垂线，交y 轴于点N ．试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图2，若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重合），点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE =∠BED =∠AOD ．继续探究：m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？3.（2012江苏苏州10分）如图，已知抛物线()211by=x b+1x+444-（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C .⑴点B 的坐标为 ▲ ，点C 的坐标为 ▲ （用含b 的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.4.（2012福建龙岩）在平面直角坐标系xoy 中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在x 轴上，直角顶点C 在y 轴正半轴上，已知点A （－1，0）．（1）请直接写出点B 、C 的坐标：B （ ， ）、C （ ， ）；并求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF （其中∠EDF =90°，∠DEF =60°），把顶点E 放在线段AB 上（点E 是不与A 、B 两点重合的动点），并使ED 所在直线经过点C ． 此时，EF 所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M ．①设AE =x ，当x 为何值时，△OCE ∽△OBC ； ②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P 使△PEM 是等腰三角形，若存在，请求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．xyPOC BA5. （2012湖北荆门）如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=13，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．6.（2012湖南永州）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．7. （2012四川广安）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ⊥x 轴于点B ，AB =3，tan ∠AOB =34，将△OAB 绕着原点O 逆时针旋转90°，得到△OA 1B 1；再将△OA 1B 1绕着线段OB 1的中点旋转180°，得到△OA 2B 1，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）经过点B 、B 1、A 2． （1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P 在什么位置时，△PBB 1的面积最大？求出这时点P 的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q ，使点Q 到线段BB 1的距离为22？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8. （2012四川德阳）在平面直角坐标xOy 中，（如图）正方形OABC 的边长为4，边OA 在x 轴的正半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，点D 是OC 的中点，BE ⊥DB 交x 轴于点E .⑴求经过点D 、B 、E 的抛物线的解析式；⑵将∠DBE 绕点B 旋转一定的角度后，边BE 交线段OA 于点F ，边BD 交y 轴于点G ，交⑴中的抛物线于M （不与点B 重合），如果点M 的横坐标为512，那么结论OF =21DG 能成立吗？请说明理由. ⑶过⑵中的点F 的直线交射线CB 于点P ，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点Q ，且使△PFE 为等腰三角形，求Q 点的坐标.9. （2012青海西宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，O 在x 轴的正半轴上，已知A (0，4)、C (5，0)．作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接CD ，过点D 作DE ⊥CD 交OA 于点E ． (1)求点D 的坐标； (2)求证：△ADE ≌△BCD ；(3)抛物线y ＝ 4 5x 2－ 245x ＋4经过点A 、C ，连接AC ．探索：若点P 是x 轴下方抛物线上一动点，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点M ．是否存在点P ，使线段MP 的长度有最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10. （2012四川绵阳）如图1，在直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，二次函数y =ax 2+16x +c 的图象F 交x 轴于B 、C 两点，交y 轴于M 点，其中B （-3，0），M （0，-1）。
【黄冈中考】备战2012年中考数学——开放型问题的押轴题解析汇编二
【黄冈中考】备战2012年中考数学——开放型问题的押轴题解析汇编二开放型问题1. （2011湖北荆州，19，7分）（本题满分7分）如图，P 是矩形ABCD 下方一点，将PCD∆绕P 点顺时针旋转060后恰好D 点与A 点重合，得到PEA ∆,连接EB ，问AB E ∆是什么特殊三角形？请说明理由.BPA【解题思路】根据旋转及矩形的性质可知AE ＝CD ＝AB ，可得等腰ABE ∆，进一步由旋转角是060，猜想此三角形可能是等边三角形.【答案】解：△ABE 是等边三角形.理由如下：……………………1分 由旋转得△PAE ≌△PDC∴CD=AE ，PD=PA,∠1=∠2………………………………3分∵∠DPA=60°∴△PDA 是等边三角形………………………………4分 ∴∠3＝∠PAD ＝60°.由矩形ABCD 知，CD ＝AB ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°.∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………………6分 ∴AE ＝CD ＝AB ，∠EAB ＝∠2+∠4＝60°,∴△ABE 为等边三角形 ………………………………7分【点评】此类试题是猜想与证明两部分组成，解答时，首先是猜想结论，即同学们根据自己学过的知识经过严格合理地推理，得出一个正确的判断；然后证明，就是根据题目的要求，把从题设到推出某个结论的过程完整地叙述出来.2. （2011湖北襄阳，25，10分）如图9，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与点A ，B重合），连接PO 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF ．（1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数；（3）当APAB的值等于多少时，△PFD～△BFP？并说明理由．【解题思路】解决（1）（2）两问，由旋转发现∠DPE＝90°，DP＝PE，进而构造全等三角形是关键；（3）可由△PFD～△BFP产生比例线段，再结合△ADP～△BPF思考．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP+∠APD＝90°．∵∠DPE＝90°，∴∠APD+∠EPB＝90°，∴∠ADP＝∠EPB．（2）如下图，过E点作EG⊥AB的延长线于点G，则∠EG P＝∠A＝90°．又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP．∴EG＝AP，AD＝AB＝PG．∴AP＝EG＝BG．∴∠CBE＝∠EBG＝45°．（3）法1：当APAB＝12时，△PFD～△BFP．∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP～△BPF．设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝12a，∴BF＝BP×APAD＝14a．a，PF．∴PBPD＝BFPF．又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△PFD～△BFP．法2：假设△PFD～△BFP，则PDPF＝PBBF．∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP～△BPF．∴PDPF＝APBF．∴PBBF＝APBF．∴PB＝AP．∴APAB＝12时，△PFD～△BFP．【点评】本题属于直线形几何综合问题，主要考查了正方形，全等三角形，相似三角形，勾股定理等知识．（1）问简单基础，学生普遍会做；（2）问由E点作AB的垂线是较为简捷的思路；（3）是条件开放探究性问题，解决时需要“执果索因”，从后向前思考．难度较大．25．（2011四川乐山，25，12分）如图（14.1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数). 试探究线段EF与EG的数量关系.(1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF 与EG 的数量关系是 证明:(2) 如图(14.3),当m=1,n 为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是 证明如图(14.1),当m,n 均为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是 (写出关系式,不必证明)【解题思路】：添加辅助线，构建新的直角三角形，推理证明三角形相似，利用相似关系，列比例式推出EF 与EG 的数量关系。
2012年中考数学总复习：解题方法五：解答开放题
EDCB A解答开放题我们知道中考数学试卷中会有一些开放性试题，这些试题考查的知识点较多，综合性强，还考查对数学的理解和对数学知识的运用，灵活多变，有一定的难度。
开放性试题，可以分为三类，即条件开放性试题、过程开放性试题、结论开放性试题，这些试题没有固定的解题步骤和解答的程序，且答案不唯一。
下面我们就看几个例题，希望能帮助你掌握解答这类试题的基本方法。
例1 如图，在下面四个等式：①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠中选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形．写出所有的方法，并完成其中一种的证明．分析：这是一个条件开放的题目。
首先，我们将条件进行组合。
根据下表可以得到12种组合，由于其中（1，2）与（2，1）表示同一种意思，所以去掉重合后共有6种组合。
即: （1）①AB DC =，②BE CE = （2）①AB DC =，③B C ∠=∠ （3）①AB DC =，④BAE CDE ∠=∠ （4）②BE CE =，③B C ∠=∠ （5）②BE CE =，④BAE CDE ∠=∠ （6）③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠然后，我们从结论出发去思考。
（1）若AED △是等腰三角形，则必须AE = DE ，需要△ABE ≌△DCE （2）若AED △是等腰三角形，则必须∠EAD =∠EDA ，需要△ABD ≌△DCA显然，每个组合中的两个条件是不够的，题目中还有哪些隐含的条件呢？我们发现，图中的∠AEB =∠DEC （对顶角相等）。
这样，我们发现：组合（1）：①AB DC =，②BE CE =再加上图中的∠AEB =∠DEC （对顶角相等）不能证明△ABE ≌△DCE 或△ABD ≌△DCA 全等。
组合（2）：①AB DC =，③B C ∠=∠再加上图中的∠AEB =∠DEC （对顶角相等）→△ABE ≌△DCE （SAS ）1 2 3 4 1（1，2）（1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3）（1，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4）4 （4，1）（4，2）（4，3）EDCB A组合（3）：①AB DC =，④BAE CDE ∠=∠再加上图中的∠AEB =∠DEC （对顶角相等）→△AB E ≌△DCE （SAS ）组合（4）②BE CE =，③B C ∠=∠再加上图中的∠AEB =∠DEC （对顶角相等）→△ABE ≌△DCE （ASA ）组合（5）②BE CE =，④BAE CDE ∠=∠再加上图中的∠AEB =∠DEC （对顶角相等）→△ABE ≌△DCE （SAS ）组合（6）：③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠再加上图中的∠AEB =∠DEC （对顶角相等）也不能证明△ABE ≌△DCE 或△ABD ≌△DCA 全等。
中考数学压轴题专题 开放探索问题
2012年中考数学压轴题专题九开放探索问题试题特点《数学课程标准》把逐步形成数学创新意识列为学习目标，各地中考数学命题为了实现这个目标也都做了有益的尝试，例如出现了不少别具创意、独特新颖的开放探索型试题．这类试题不仅能考查观察、实验、类比、归纳、猜想、判断、探究等能力，而且把解题的过程变成了探究规律、发现规律的过程，因此，在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．所谓的开放探索型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，从结构特征上看主要分为三类：条件开放、策略开放、结论开放．开放题是相对于传统的封闭题而言的，其显著特征是问题的答案不唯一（开放性），并且在设问方式上要求考生进行多方面、多角度、多层次探索．方式趋势开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题，开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发创造性．开放性试题能为考生提供更大的解决问题的空间，在解题途径方面也是多样的，这样的试题有利于考生发挥水平，有利于考生创新意识的培养．热点解析一、条件开放与探索探索条件型问题是指问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题目．解答探求条件型问题的思路是，从所给结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，并进行逻辑证明，从而寻找出满足结论的条件．【题1】如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)根据(2)【思路】点C在线段BD上运动，图形中有两个直角三角形，AC，CE分别为Rt△ABC，Rt△CDE的斜边，所要求的问题是两条线段之和最短，在直角三角形中借助勾股定理表示出斜边的长．求AC＋CE的最小值的问题，如果从代数式中来求解，难度太大，不妨观察图形，将其转化为“两点之间线段最短”问题．【解答】(2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小．(3)如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C．AE的长即为代数过点A 作AF ∥BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ，则AB ＝DF ＝2，AF ＝BD＝8．所以AE 1313．【失分点】利用勾股定理，错点．【反思】本题由勾股定理得出线段的长，并用二次根式表示，结合图形发现AC ＋CE 的最小值即是线段AE 的长．比较困难的是第(3)问，类比第(1)问的代数式，画出图形，求出线段的长．运用了数形结合思想．【牛刀小试】1．如图3，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB ＝DC ，AD ＝2，BC ＝4，延长BC 到E ，使CE ＝AD ．(1)写出图中所有与△DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由．(2)探究当等腰梯形ABCD 的高DF 是多少时，对角线AC 与BD 互相垂直？请回答并说明理由．2．（2010随州）已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)顶点为C(1，1)，且过原点O ．过抛物线上一点P(x ，y )向直线y ＝54作垂线，垂足为M ，连接FM(如图4)． (1)求字母a ，b ，c 的值． (2)在直线x ＝1上有一点F （1，34），求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形．二、策略开放与探索策略开放性问题，一般指解题方法不唯一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于突破常规，积极发散思维，优化解题方案和过程，【题2】 (2011德州)●观察计算当a ＝5，b ＝3时，2a b +与_______．当a ＝4，b ＝4时，2a b +与_______． ●探究证明如图5所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝a ．BD ＝b ．(1)分别用a 、b 表示线段OC ，CD ；(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +_______． ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．【思路】 (2)利用△ACD ∽△CBD ，对应边成比例计算CD ．【解答】●观察计算：2a b +2a b + ●探究证明：(1)∵AB ＝AD ＋BD ＝20C ，∴OC ＝2a b + ∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠A ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ．∴△ACD ∽△CBD ．∴AD CD CD BD=，即CD 2＝AD ·BD ＝ab ，∴CD(2)当a ＝b 时，OC ＝CD ，2a b +a ≠b 时，OC>CD ，2a b +●结论归纳：2a b +●实践应用设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x米，设镜框周长为x 米，则124l x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭． 当x ＝1x，即x ＝1（米）时，镜框周长最小． 此时四边形为正方形时，周长最小为4米，【失分点】 不能直接利用射影定理得到CD 2＝AD ·BD ＝ab ．【反思】本题的实质是把相关代数式转化为(a －b )2，利用非负数的性质求解，即()20a b -≥．【题3】用厚纸剪四个大小与形状完全相同的直角三角形，形状如图6所示，然后拼拼摆摆（不能重叠），使得组成的图形中有正方形．请尽量多设计几个符合要求的不同的图形，并说明在哪种情况下正方形的面积最大．【思路】按要求动手剪四个这样的直角三角形，拼一拼，美丽的图形就诞 生了，再考虑面积．注意正方形的面积是边长的平方．【解答】图7中各图均符合要求，其中图7(3)中外围正方形的面积最大，边长为直角三角形的两条直角边之和．【失分点】最大的正方形边长为直角三角形两直角边的和，而不是斜边．【反思】图形的设计注意设计的要求，一定要出现正方形，要想面积最大，就要使正方形的边长尽可能地大．【牛刀小试】3．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？(1)x 2－2x ＝0；(2)x 2＋3x －4＝0；(3)x 2－5x ＋6＝0．(1)请用文字语言概括你的发现：______________________________________________________________________(2)一般地，对于关于x 的方程x 2＋p x ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝_______，x 1x 2＝_______(3)运用以上发现，解决下面的问题：①已知一元二次方程x 2－2x －7＝0的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )．A ．－2B ．2C ．－7D ．7②已知x 1，x 2是方程2x 2－x －3＝0的两根，试求(1＋x 1)(1＋x 2)和2212x x 的值．三、结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力．【题4】在一块长16 m ，宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．(2)你还有其他的设计方案吗？请画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．【思路】在小芳的设计方案中，可以求出四周的面积是否占总面积的一半．当然本题要用方程的思想说明理由，因此，我们不妨假设四周面积已经占总面积的一半，建立方程，求出四周小路的宽度，与条件中的1m 进行比较，【解答】(1)不符合．设小路宽度均为x m ，根据题意得()()116212216122x x --=⨯⨯， 解这个方程得x 1＝2，x 2＝12．但x 2＝12不符合题意，应舍去，∴x ＝2．∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m ．(2)答案不唯一．例如：【失分点】设计的图形中未标明数据或作必要的说明．【反思】数学来源于生活又服务于生活，数学学习中应更多地培养应用数学的观念．本题图形的方案设计具有较大的开放性，应根据设计要求，合理想象，对于求解过程有简有繁，在此设计中抓住“花园所占面积为荒地面积的一半”，可以有许多美妙设计，图11是部分设计．上述设计的图案中有的不需要解方程，只须利用几何图形的对称性质．【题5】张明、王成两位同学八年级10次数学单元自我检测的成绩（成绩均为整数，且个位数为0）分别如图12所示：(1)根据上图中提供的数据填写下表：(2)如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是_______．(3)根据图表信息，请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议．【思路】这是一道统计计算题，从图中获取有关信息，计算表中所需补充的统计量，同时会从图中把握识别优秀学生的标准，并对两同学提出合理化建议．可由样本平均数公式、方差公式直接代入数据求出，在平均数相同的条件下，可利用方差判断“优生”问题，方差越小，波动越小，成绩就稳定．【解答】(1)根据样本平均数、方差公式、中位数、众数的定义可以求出，张明的成绩从低到高排列为：70，70，70，80，80，80，80，90，90，90，从而张明的中位数为80．王成同学的平均成绩也为80分，中位数为85，众数为90．(2)若将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则10次单元自我检测成绩中，张明同学仅有3次成绩达到优秀，而王成同学有5次成绩达到优秀．因此，优秀率高的同学应是王成．(3)尽管王成同学的优秀率高，但他的成绩不稳定（方差大）．而张明同学虽然优秀率比不上王成同学，但他的考试成绩相对稳定．根据两同学10次检测的成绩看，发现他们各有所长，也各有所短，我认为王成的学习要持之以恒，保持稳定，张明同学的学习还需加一把劲，提高优秀率．【失分点】成绩优秀的应包括90分．【反思】通过这个问题的解答，我们深刻地体会到，并不是像很多同学认为的，方差越小就越好，应该具体问题具体分析．【题6】（2010临沂）如图13 (1)，已知矩形ABCD，点C是边DE的中点，且AB ＝2AD．(1)判断△ABC的形状，并说明理由．(2)保持图(1)中的△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图13 (2)中的位置（垂线段AD，BE在直线MN的同侧）．试探究线段AD，BE，DE长度之间有什么关系，并给予证明．(3)保持图13(2)中的△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图13 (3)中的位置（垂线段AD，BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD，BE，DE长度之间有什么关系，并给予证明．【思路】通过观察和分析条件，很容易找到图中全等的三角形，从而引导我们去发现线段AD，BE，DE之间的数量关系．【解答】(1)△ABC是等腰直角三角形．【失分点】判断△ABC 的形状要从边（是否相等，有几条边等）和角（是否有直角）两方面．容易因考虑不全面而失分．【反思】在解决新问题时，我们要学会从已经解决的问题中总结解决问题的方法和规律．【题7】正方形ABCD 与正方形CEFG 的位置如图15所示，点G 在线段CD 或CD 的延长线上．分别连接BD ，BF ，FD ，得到△BF D ．(1)在图15①～③中，若正方形CEFG 的边长分别为1，3，4，且正方形ABCD 的边长均为3，请通过计算填写下表：(2)若正方形CEFG 的边长为a ，正方形ABCD 的边长为b ，猜想S △BFD 的大小，并结合图15③说明你的猜想．【思路】(1)三角形的面积可以通过S △BFD ＝S △BCD ＋S 梯形CEFD －S △BEF 来求，利用这种特殊到一般的关系得到一般规律．(2)连接CF ，由正方形性质可知∠DBC ＝∠FCE ＝45°，∴BD ∥CF ．∴△BFD 与△BCD 的BD 边上的高相等．∴S △BFD ＝S △BCD ＝12b 2．也可根据关系式S △BFD ＝S △BCD ＋S 梯形CEFD －S △BEF 来求得S △BFD 的大小．【解答】(1)(2)猜想S △BFD ＝12b 2【失分点】 由(1)的结论，猜出S △BFD 的大小不变，但不能猜到是12b 2． 【反思】本题是综合考查几何说明推理能力的题目，要求能从复杂的图形背景中找到与所求的三角形有关的其他图形之间的关系，同时利用正方形、三角形的有关性质得出结论，同时本题是一题多解的题目，可以很好地考查思维的多样性和深刻性．【题8】张师傅在铺地板时发现，用8块大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形，如图17(1)．然后，他用这8块瓷砖又拼出一个正方形，如图17 (2)，中间恰好空出一个边长为1的小正方形（阴影部分）．假设长方形的长为y ，宽为x ，且y >x ．(1)请你求出图17(1)中y 与x 的函数关系式．(2)求出图17(2)中y 与x 的函数关系式．(3)在图17(3)中作出两个函数的图象，写出交点坐标，并解释交点坐标的实际意义．(4)根据以上讨论完成下表，观察x 与y 的关系，回答：如果给你任意8个相同的长方形，你能否拼出类似图(1)和图(2)的图形？说出你的理由．【思路】图17 (1)和图17 (2)暗示了对边相等或者整体面积等于部分面积之和．“对边相等”或者“整体面积等于部分面积之和”均蕴含等量关系，可列方程，“能否拼出类似图(1)和图(2)的图形”要看能否满足相应的函数关系式．(3)交点坐标为(3，5)．实际意义解答不唯一．如：①瓷砖的长为5，宽为3时，能围成图17(1)，图17(2)的图形，②当瓷砖的长为5，宽为3时，围成图17(2)的正方形中的小正方形边长为1．(4)能否拼图，请同学们自行验证．【失分点】通过分析，得出长方形的长与宽满足的函数关系y＝53 x．【反思】读出图示信息，把实际问题转换成数学问题，是解题的关键，【题9=a>b>0，是否存在满足此式的整数对(a，b)?若存在这样的整数对，请求出来．故存在满足该条件的整数对，它们分别是(656，369)，(1025，164)，(1476，41)．【失分点】只是通过试探，找到一两个满足条件的数对，而不能找出全部．【反思】探究存在性型问题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在的问题，它有结论存在和结论不存在两种情形．解答这类问题，一般先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出矛盾，则否定先前假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论．【题10】如图18，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ＝5，AD ＝4，BC ＝10．点E 在下底边BC 上，点F 在腰AB 上．(1)若EF 平分等腰梯形ABCD 的周长，设BE 长为x ，试用含x 的代数式表示△BEF 的面积．(2)是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由．(3)是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由．【思路】 分别过点A 作AK ⊥BC 于点K ，过点F 作FG ⊥BC 于点G （图19），由勾股定理得到AK ＝4，而△BGF ∽△BKA ，得GF BF KA BA =，进而求得FG ＝125x-×4，最终求得△BEF 的面积．【解答】(1)由已知条件易得，梯形周长为24，高为4，面积为28． 过点F 作FG ⊥BC 于G ，过点A 作AK ⊥BC 于K ．则可得，FG ＝125x-×4． 所以S △BEF ＝12BE ·FG ＝222455x x -+ (7≤x ≤10)． (2)存在． 由(1)得222455x x -+＝14，解这个方程，得x 1＝7，x 2＝5（不合题意，舍去），所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分，此时BE ＝7． (3)不存在，假设存在，显然有S △BEF ：S 多边形AFECD ＝1：2，(BE ＋BF)：(AF ＋AD ＋DC) ＝1：2．则有221628553x x -+=，整理．得3x 2－24x ＋70＝0，此时的求根公式中的b 2－4a c ＝576－840<0，所以不存在这样的实数x ．即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1：2的两部分．【失分点】想不到把“能否”分的问题转化为方程是否有解的问题．【反思】对于存在型问题，可根据题意，先假定所要求的结果存在，再结合相关性质予以推算论证．如能推得结果且符合题意，则假设成立，结果存在；否则，则所要求的结果不存在．求解本题时应注意：一是要能正确确定x 的取值范围；二是在求得x 2＝5时，并不满足7≤x ≤10，应舍去；三是处理第(3)个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性．【牛刀小试】4．（2011徐州）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝a cm ，∠B ＝30°，动点P 以1 cm/s 的速度从点B 出发，沿折线B －A －C 运动到点C 时停止运动．设点P 出发x s 时，△PBC 的面积为y cm 2．已知y 和x 的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：(1)试判断△DOE 的形状，并说明理由； (2)当口为何值时，△DOE 和△ABC 相似？5．（2010黄冈）如图21．一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边所在的直线重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由．6．如图22，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为(－6，－4)．(1)画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°得到的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ，点N 的对应点为B ，点H 的对应点为C ）． (2)求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．(3)截取CE ＝OF ＝AG ＝m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．面积S 是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．(4)在(3)的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况？若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．7．（2010福州）如图23(1)，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O ，A 两点．(1)求该抛物线的解析式．(2)若A点关于直线y＝2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由．(3)如图23(2)．在(2)的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆，过原点O作⊙O1的切线OP，P为切点（点P与点C不重合）．抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．解题策略应该说，“背题型”、“记套路”的方式并不适合于开放探究类试题的学习．此类题的解答要注意“三断”：判断——判断解题方向，推断——合情、逻辑两种推理，果断——大胆放弃、当转则转；解题的三想：回想、联想、猜想，及化静为动、转换角度、逆向思维、数形结合、分类讨论、问题分解，等等．参考答案1．(1)△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE．(2)DF＝32．(1)a＝－1，b＝2，c＝0．(2)略3．填表略．(1)两根之和，等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商．(2)－p，q．(3)B，0，13 44．(1)△DOE是等腰三角形．5．AE＝EF．6．(1)利用中心对称性质，画出梯形OABC．A(0，4)，B(6，4)，C(8，0)．(2)y＝－14x2＋32x＋4．(3)S＝m2－8m＋28(0<m<4)．不存在(4)当m＝2时，BE＝BG．7．(1)y＝16x2－56x (2)在该抛物线上．(3)O1P的解析式为y＝－43253+点Q。
2012年全国各地中考数学解析汇编四十五章 开放探索型问题-推荐下载
此时 t 4 3 ………………………………4 分
当点 P 在点 B 左侧时，如图 3，由. ∠BCP=15°得∠PCO=60°
故 PO=OCtan60°=3 3 ， 此时 t=4+3 3
∴t 的值为 4+ 3 或 4+3 3 ………………………………6 分
2S△ABD
x
2S△CBD
x
x
1 2 mx ， S△CBD
x
168
= ……………………5 分
x
由于 AC 边上的高为 2S△ABC 2 84 56 ∴x 的取值范围为 56 x 14
∵（m+n）随 x 的增大而减小， 15；……………………7 分
15
15 5
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2012中考冲刺班辅导资料专题三----探索、开放、创新型试题题
2012中考冲刺班辅导资料专题三----探索、开放、创新型试题1、【专题精讲】近年来全国各地中考试题中频频出现探索型问题，这类问题由于没有明确的结论，要求考生通过自己的观察、联想、分析、比较、归纳、概括来发现解题条件或结论或结论成立的条件，因而对考生的能力要求较高。
开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。
观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力重要的内容，学习中应重视并应用.探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．一. 常见的问题的类型：1. 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。
2. 结论探索型——给定条件，但无明确结论或结论不惟一。
3. 存在探索型——在一定条件下，需探索发现某种数学关系是否存在。
4. 规律探索型——发现数学对象所具有的规律性与不变性的题目。
二. 常用的解题切入点：由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．2、【典例精析】中考探索性试题的几种类型探索性问题的试题是指给出一列数、一列等式、一列图形的前几项，然后让我们通过归纳加工、猜想，推出一般的结论，或者是给出一个图形，要求我们探索图形成立的条件、变化图形的不变的规律性。
备战中考2012年中考数学新题分类汇编中考真题模拟新题分式与分式方程
第7章 分式与分式方程一、选择题1.（2010湖北孝感，6，3分）化简x y x yy x x⎛⎫--÷⎪⎝⎭的结果是（ ） A.1yB. x y y +C. x y y -D. y【答案】B2. （2011山东威海，8，3分）计算：211(1)1mm m+÷⋅--的结果是（ ） A ．221m m --- B ．221m m -+- C ．221m m --D ．21m -【答案】B3. （2011四川南充市，8，3分） 当8、分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）－2 【答案】B4. （2011浙江丽水，7，3分）计算1a -1 – aa -1的结果为（ ） A. 1+aa －1B. －a a -1C. －1D.1－a【答案】C5. （2011江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则ba ab-的值是 A.21 B.－21C.2D.－2 【答案】D6. （ 2011重庆江津， 2，4分）下列式子是分式的是( ) A.2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x 【答案】B.7. （2011江苏南通，10，3分）设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn-的值等于A. 336D. 3【答案】A8. （2011山东临沂，5，3分）化简（x －x 1-x 2）÷（1－x 1）的结果是（ ） A ．x1B ．x －1C ．x 1-xD ．1-x x【答案】B9. （2011广东湛江11,3分）化简22a b a b a b---的结果是 A a b + B a b - C 22a b - D 1【答案】A10．（2011浙江金华，7，3分）计算1a -1 – aa -1的结果为（ ） A.1+a a －1 B. －aa -1C. －1D.1－a 【答案】C 二、填空题1. （2011浙江省舟山，11，4分）当x 时，分式x-31有意义． 【答案】3x ≠2. （2011福建福州，14，4分）化简1(1)(1)1m m -++的结果是 【答案】m3. （2011山东泰安，22 ，3分）化简：（2x x+2-x x-2）÷x x 2-4的结果为 。
2012年全国中考数学试题分类解析汇编开放探究型问题讲解
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题58：开放探究型问题一、选择题二、填空题1. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=2x+6-的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是▲ （只写出符合条件的一个即可）．【答案】5yx=（答案不唯一）。
【考点】开放型问题，反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设反比例函数的解析式为：kyx=，联立y=2x+6-和kyx=，得k2x+6x-=，即22x6x+k0-=∵一次函数y=2x+6-与反比例函数kyx=图象无公共点，∴△＜0，即268k0< --（），解得k＞9 2。
∴只要选择一个大于92的k值即可。
如k=5，这个反比例函数的表达式是5yx=（答案不唯一）。
2. （2012广东湛江4分）请写出一个二元一次方程组▲ ，使它的解是x=2y=1⎧⎨-⎩．【答案】x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。
【考点】二元一次方程的解。
【分析】根据二元一次方程解的定义，围绕x=2y=1⎧⎨-⎩列一组等式，例如：由x＋y=2＋（－1）=1得方程x＋y=1；由x－y=2－（－1）=3得方程x－y=3；由x＋2y=2＋2（－1）=0得方程x＋2y=0；由2x＋y=4＋（－1）=3得方程2x＋y=3；等等，任取两个组成方程组即可，如x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。
3. （2012广东梅州3分）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是▲ （写出符合题意的两个图形即可）【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。
【考点】平行投影。
【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行。
所以，在同一时刻，这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）。
4. （2012浙江衢州4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式▲ ．【答案】1y=x-（答案不唯一）。
(备战中考)2012年中考数学新题分类汇编(中考真题+模拟新题)：开放型问题
开放型问题1. （2011四川宜宾,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A ，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN ．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离），请设计一个求距离MN 的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；[来源:Z+xx+k.] （2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．[来源:学|科|网]【答案】解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分⑴如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM ．⑵第一步，在AMN Rt ∆中，AN MN =αtan ∴αtan MNAN = 第二步，在BMN Rt ∆中，BNMN=βtan ∴βtan MN BN =其中BN d AN +=，解得αββαtan tan tan tan -⋅⋅=d MN ．2. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N .当6CP =时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DEFC EP=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.（22题图）（第25题解答图）（1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，则DF DE FC EP =，EM EFEN EG=，12GF BC ==. ∵DE EP =，∴DF FC =. ··················· 2分∴116322EF CP ==⨯=，12315EG GF EF =+=+=.∴31155EM EF EN EG ===. ····················· 4分 （2）证明：作M H ∥BC 交AB 于点H ， ················· 5分则MH CB CD ==，90MHN ∠=︒.∵1809090DCP ∠=︒-︒=︒， ∴DCP MHN ∠=∠.∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠，90DPC CDP ∠=︒-∠， ∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ∆≅∆. ············ 7分 ∴DP MN =. ························ 8分3. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD =BC =1,AB =CD =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与D N 交于点K ，得到△MNK ．(第22题)(第22题)H BCDEMNA P（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数．[来源:Z§xx§k.] （2）△MNK 的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．[来源:Z§xx§k.]（3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）【答案】 解：∵ABCD 是矩形， ∴AM ∥DN ，∴∠KNM =∠1． ∵∠KMN =∠1， ∴∠KNM =∠KMN ． ∵∠1=70°，∴∠KNM =∠KMN =70°． ∴∠MNK =40°． （2）不能．过M 点作ME ⊥DN ，垂足为点E ，则ME =AD =1, 由（1）知∠KNM =∠KMN ． ∴MK =NK ． 又MK ≥ME , ∴NK ≥1．∴1122MNK S NK ME ∆=⋅≥． ∴△MNK 的面积最小值为12，不可能小于12．（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，此时点K 也与点D 重合． 设MK =MD =x ，则AM =5-x ，由勾股定理，得2221(5)x x +-=,解得， 2.6x =． 即 2.6MD ND ==． ∴11 2.6 1.32MNK ACK S S ∆∆==⨯⨯=． （情况一） 情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为AC ． 设MK =AK = CK =x ，则DK =5-x ，同理可得 即 2.6MK NK ==． ∴11 2.6 1.32MNK ACK S S ∆∆==⨯⨯=． ∴△MNK 的面积最大值为1.3． （情况二）4. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ，AD 2＋CD 2＝2AB 2．（1）求证：AB ＝BC ；（2）当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋CD ．【答案】（1）证明：连接AC ， ∵∠ABC ＝90°， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∵CD ⊥AD ，∴AD 2＋CD 2＝AC 2.∵AD 2＋CD 2＝2AB 2，∴AB 2＋BC 2＝2AB 2， ∴AB ＝BC .（2）证明：过C 作CF ⊥BE 于F . ∵BE ⊥AD ，∴四边形CDEF 是矩形. ∴CD ＝EF.ABCDE∵∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∠ABE ＋∠CBF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF ，∴△BAE ≌△CBF . ∴AE ＝BF .∴BE ＝BF ＋EF ＝AE ＋CD .4. （2011湖北襄阳，21，6分）如图6，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE . ①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE .以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ； （2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.【答案】（1）①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①. ········· 3分 （2）（略） 6分开放探究型问题[来源:Z*xx*k.]一、填空题1、（2011年北京四中模拟28）两个．．不相等．．．的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ． 答案：略二、解答题1．在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．E DCB A图6图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．PT 与MN 交于点3Q ，3Q 点的坐标是（ a ， 3122+a ）． 解：（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．此时32=L Q ． （II ）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．CD BD =,且 120=∠BDC ．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．又ABC ∆是等边三角形，∴90MBD NCD ∠=∠=．在MBD ∆与ECD ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM ∴≅∆MBD ECD ∆(SAS) ． ∴DM=DE, CDE BDM ∠=∠ ∴ 60=∠-∠=∠MDN BDC EDN在MDN ∆与EDN ∆中：yO Mxnl12 3 …1B2B 3B n B 1A 2A 3A 4A nA 1n A +⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴≅∆MDN EDN ∆(SAS) ∴MN=NE=NC+BMAMN ∆的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB而等边ABC ∆的周长L=3AB∴3232==AB AB L Q . （III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= 2x +L 32（用x 、L 表示）．Ｂ组解答题1．（2011 天一实验学校 二模）已知：如图，直线l ：13y x b =+，经过点M(0,41)，一组抛物线的顶点112233(1)(2)(3)()n n B y B y B y B n y ，，，，，，，，（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1（x 1,0）, A 2（x 2,0）, A 3（x 3,0）,……A n+1（x n+1,0）（n 为正整数），设101x d d =<<（）． （1）求b 的值；（2）求经过点112A B A 、、的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当01d d <<（）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．答案：⑴∵M(0,)41在直线y=31x+b 上， ∴b=41⑵由⑴得y=31x+41,∵B 1(1,y 1)在直线l 上，∴当x=1时，y 1=31×1+41=127∴B 1(1,127)又∵A 1(d,0) A 2(2-d,0) 设y=a(x-d)(x-2+d),把B 1(1,127)代入得：a=-2)1(127-d [来源:]∴过A 1、B 1、A 2三点的抛物线解析式为y=-2)1(127-d (x-d)(x-2+d) (或写出顶点式为y=-2)1(127-d (x-1) 2+127)⑶存在美丽抛物线。
最新2012年6月最新整理全国各地中考数学模拟试题分类汇编 2--47.开放探究型问题文档文档
开放探究型问题一、选择题 1、二、填空题1、（2012年山东潍坊二模） 老师给出一个函数，甲、乙两位同学各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、三象限有它的图象； 乙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小. 请你写出一个满足上述性质的函数 . 答案不唯一2、(2012年河北一模).长为1，宽为a 的矩形纸片（112a <<），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n =3时，a 的值为 ．答案： 3354或 3、函数y 中，自变量x 的取值范围是 ▲ ．答案．x ≥−2且x ≠0三、解答题1、（2012年浙江金华模拟）已知：点A 、B 分别在直角坐标系的x 、y 轴的正半轴上，O 是坐标原点，点C 在射线AO 上，点D 在线段OB 上，直线AD 与线段BC 相交于点P ，设ACAO =a ， BD DO=b ，CP PB=k 。
（1）如图1，当a = 12，b =1时，请求出k 的值；（2）当a = 1 3，b =1时(如图2)，请求出k 的值；当a =3 2，b = 15时，k = ▲；（3）根据以上探索研究，请你解决以下问题：①请直接写出用含a ，b 代数式表示k =▲；② 若点A (8,0)，点B （0，6），C （－2，0），直线AD 为：y =－ 12x +4，则k =▲。
答案：（1）k = 12； 2分（2）k = 1 3；k = 152；4分（3）k = a b ；k = 52；4分2、（保沙中学2012二模）先化简，(1-x x 1x x 1-x 3x2）-（÷+然后从不等组()⎩⎨⎧+≥1x 52-x 422-x 3-x 的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值． 答案：解：原式=2x +4 2x 3-≤ （答案不唯一）3、（2012江苏江阴市澄东一模 ）(本题8分) 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ．（1）如图（1），当AB ∥CB ′时，设A ′B ′与CB 相交于点D ．证明：△A ′CD 是等边三角形；（2）如图（2），连接A ′A 、B ′B ，设△ACA ′ 和△BCB ′ 的面积分别为S △A CA ′ 和S △BC B′．求证：S △A CA ′ ：S △BC B′ =1：3；证明：（1）∵AB ∥CB ′，∴∠B =∠BC B ′=30°，∴∠A ′CD =60°，又∵∠A ′=60°，∴∠A ′CD =∠A ′=∠A ′DC =60°，∴△A ′CD 是等边三角形；…………4分（2）∵AC =A ′C ，BC =B ′C ，∴CB'CA'=BC AC 又∵∠ACA ′=∠BCB ′， ∴△ACA ′∽△BCB ′，…………6分 ∵3330t == an BC AC 相似比为3:1， ∴S △A CA ′ ：S △BC B′ =1：3；…………8分4、（2012四川沙湾区调研）如图，在等腰ABC Rt ∆中，AC AB =，D 为斜边BC 上的动点，若nCD BD =，AD BF ⊥交AD 于E 、AC 于F . （1）如图1，若3=n 时，则ACAF= ； 第1题 图 1Aθ A ′B ′BCA ′B ′BC图2第1题Aθ（2）如图2，若2=n 时，求证：AE DE 32=； （3）如图3，当n = 时，DE AE 2=.答案：31（4分）；作DG ∥AC ，32==BC BD CF DG ， 由（1）结论知CF AF =…（8分）；4173+（12分） 5、(2012年杭州一模)（本小题满分12分）如图，以△ABC 的各边为边，在BC 的同侧分别作三个正五边形．它们分别是正五边形ABFKL 、BCJIE 、ACHGD ，试探究：（1）四边形ADEF 是什么四边形？（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是正方形？ （不需证明）（3）四边形ADEF 一定存在吗？为什么？答案：（1）∵正五边形ABFKL 、BCJIE ， ∴BF =BA ，BE =BC 又∵∠3＝108°－∠2＝∠1； ∴△FBE ≌△ABC ∴EF ＝AC ，∠4＝∠5∵正五边形ACHGD ，∴AC ＝DA ， ∴EF ＝DA 又∵∠FAD ＝360°－∠BAF －∠4－∠CAD ＝360°－36°－108°－∠4＝216°－∠4； ∠EFA ＝∠5－∠AFB ＝∠5－36°；图3图2图1B BBDDD∴∠FAD ＋∠EFA ＝216°－∠4＋∠5－36°＝180°，∴EF ∥DA ，∴四边形ADEF 是平行四边形；-（2）当∠BAC =126°，且AC =215+AB （或AC =2ABcos 36°）时，四边形ADEF 是正方形；（3）当∠BAC =36°时，点D 、A 、F 在同一直线上，以A ,D ,E ,F 为顶点的四边形不存在6、 (2012年江阴模拟) 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图28-1，倍角△ABC 中，∠A =2∠B ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别记为a ,b ,c ，倍角三角形的三边a ,b ,c 有什么关系呢？让我们一起来探索．（图28-1） （图28-2） （图28-3）（1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空：（2）如图28-4，对于一般的倍角△ABC ，若∠CAB =2∠CBA ，∠CAB 、∠CBA 、∠C 的对边分别记为a 、b 、c ，a 、b 、c 三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图28-4给出的辅助线提示加以证明． 答案： a每空1分共4分 （2）cb aa b +=，（2分） 证明正确（4分）7、（2012江苏江阴华士片九年级下期中检测，26，10分）如图，抛物线a bx ax y 32-+=经过A （1-，0）、C （0，3-）两点，与x 轴交于另一点B . （1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D （m ，1--m ）在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点'D 的坐标.x 轴上是否存在点P ，使CBD PCB ∠=∠，若存.答案：8、(2012浙江绍兴县3阶段)已知：在平面直角坐标系中，抛物线32+-=x ax y （0≠a ）交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且对称轴为直线2-=x . ⑴求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；⑵若点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设△PAD的面积为S ，令W ＝t·S，当0＜t ＜4时，W 是否有最大值？如果有，求出W 的最大值和此时t 的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt△AOC 相似？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．(本小题满分14分） 解：（1）∵抛物线23y ax x =-+（0a ≠）的对称轴为直线2x =-．∴122a --=-，∴14a =-， ∴2134y x x =--+． ··························· 3分∴(24)D -，． ······························· 1分 （2）探究一：当04t <<时，W 有最大值． ∵抛物线2134y x x =--+交x 轴于A B 、两点，交y 轴于点C ， ∴(60)A -，，(20)B ，，(03)C ，， ∴63OA OC ==，．当04t <<时，作DM y ⊥轴于M ， 则24DM OM ==，． ∵(0)P t ，，∴4OP t MP OM OP t ==-=-，． ∵PAD AOP DMP OADM S S S S =--△△△梯形111()222DM OA OM OA OP DM MP =+-- 111(26)462(4)222t t =+⨯-⨯⨯-⨯⨯-122t =- ····························· 3分 ∴2(122)2(3)18W t t t =-=--+∴当3t =时，W 有最大值，18W =最大值． ·················· 2分 探究二：存在．分三种情况：①当190PDA ∠=°时，作DE x ⊥轴于E ，则2490OE DE DEA ==∠=，，°， ∴624AE OA OE DE =-=-==． ∴45DAE ADE ∠=∠=°，AD ==∴11904545PDE PDA ADE ∠=∠-∠=-=°°°． ∵DM y ⊥轴，OA y ⊥轴，∴DM OA ∥，∴90MDE DEA ∠=∠=°，∴11904545MDP MDE PDE ∠=∠-∠=-=°°°． ∴12PM DM ==，1PD ==此时14OC OA PD AD ==，又因为190AOC PDA ∠=∠=°， ∴1Rt Rt ADP AOC △∽△，∴11422OP OM PM =-=-=，∴1(02)P ，． ∴当190PDA ∠=°时，存在点1P ，使1Rt Rt ADP AOC △∽△，此时1P 点的坐标为（0，2）． ························ 2分 ②当290P AD ∠=°时，则245P AO ∠=°，∴2cos 45OAP A ==°26P A OA ==∵AD OC =，∴2P AAD OC OA≠． ∴2P AD △与AOC △不相似，此时点2P 不存在． ··············· 2分 ③当390AP D ∠=°时，以AD 为直径作1O ⊙，则1O ⊙的半径2ADr == 圆心1O 到y 轴的距离4d =．∵d r >，∴1O ⊙与y 轴相离．不存在点3P ，使390AP D ∠=°． ······················· 1分 ∴综上所述，只存在一点(02)P ，使Rt ADP △与Rt AOC △相似． （其它方法可参照此答案给分） 9、(2012宁德市一摸)在数学“综合与实践”课中，陈老师要求同学们制作一张直角梯形纸片ABCD ，要求梯形的上底AD =3cm ，下底BC =5cm ．探索：当直角梯形ABCD 的高AB 是多少厘米时，将该梯形沿某一直线剪成两部分后，能拼成一个既不重叠又无空隙的特殊几何图形．（1）如图1，小颖过腰CD 的中点E 作EF ⊥BC 于F ，沿EF 将梯形剪切后，拼成正方形．求小颖所制作的直角梯形的高AB 是多少厘米？（2）如图2，小亮过点B 作BM ⊥CD 于M ，沿BM 将梯形剪切后，拼成直角三角形．请在答题卡的相应位置补全拼后的一种．．直角三角形草图，并求小亮所制作的直角梯形的高AB 是多少厘米？（3）探索当直角梯形的高AB 是多少厘米时，将该梯形沿某一直线剪成两部分后，能拼成一个不是正方形．．．．．的菱形．请在答题卡的相应位置画出两种．．不同剪切、拼图方法的草图，并直接写出原直角梯形的高AB ．解：（1）由拼图可知△DGE ≌△CFE ，（∴∠ADE +∠GDE=180°，∠DEG +∠DEF=180°，∴点G 是AD 与FE 延长线的交点．学生未证不予扣分） 由拼图得，若四边形ABFG 是正方形，设DG 为x ∴AG =BF =AB 即x x -=+53 解得：1=x∴AB =AG=3+1=4 …………3分 （2）拼法1：按如图2-1方式拼接， …………5分 由拼图可知△GAD ≌△BMC ，（∴∠GAD +∠BAD=180°，∠GDA +∠ADC=180°， ∴点G 是BA 与CD 延长线的交点．学生未证不予扣分） 解法一： ∵GD =BC =5，由勾股定理可得： 435G 2222=-=-=AD D GA∴BM =AG=4∵∠GAD =∠GMB=90°，∠G =∠G∴ △GAD ∽△GMB ∴MBADGB GD =，即435=GB 图2CB 图1FFC图1解得：320=GB ∴384320=-=AB 解法二： ∵CM =AD =3，由勾股定理可得： 422=-=CM BC BM作DE ⊥BC 于E ，得EC =2 ∵∠BMC =∠DEC=90° ∴tan C =ECDECM BM =∴234DE=∴38==DE AB 拼法2： 按如图2-2方式拼接， 由拼图可知△HMD ≌△BMC（∴∠HMD +∠BMD=180°，∠HDM +∠ADC=180°，∴点H 是AD 与BM 延长线的交点．学生未证不予扣分） 则HD =BC =5，HM =BM ∵∠HMD =∠A=90°由cos H =DHMHBH AH =得528MHMH =， 解得：52=HM ∴BH =2HM=45 由勾股定理可得： 48)54(2222=-=-=AH BH AB（3）按如图3-1方式拼接成一个菱形 则梯形高76=AB ;按如图3-2方式拼接成一个菱形 则梯形高32=AB . （学生完成一种做法即得满分）DABC图3-1GFEH A H图2-2ANOD10、如图，已知点A(−3，5)在抛物线y=12x2+c的图象上，点P从抛物线的顶点Q出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向正方向运动，连结AP并延长，交抛物线于点B，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为C、D，连结AQ、BQ．(1)求抛物线的解析式；(2)当A、Q、B三点构成以AQ为直角边的直角三角形时，求点P离开点Q多少时间？(3)试探索当AP、AC、BP、BD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）时，点P离开点Q的时刻．答案：解：（1）把A（−3，5）代入得：5=12⨯9+c，··········· 1’∴c=12．··························· 2’（2）①若AQ⊥BQ，过点Q作MN⊥y轴，可证△AMQ∽△QNB．∵AM=AC−MC=92，MQ=3，∴23 BN MQNQ AM==．设B（3k，2k+12），代入抛物线解析式得：k=49，即B（43，2518）．·········· 3’∴直线AB的解析式为：5562y x=-+．∴OP =52，∴PQ =2． ······················ 4’ ②若AQ ⊥AB ，∵AC ∥PQ ，可证△AMQ ∽△QAP ，又由勾股定理得AQ ∴PQ =2132AQ AM =． ········ 6’∴对应的时刻t 为：2或132．（3）①若AC =BD ，AP =BP ，此时点A 与点B 关于y 轴对称， ∴OP =AC =5，∴PQ =412． ·························· 8’ ②若AC =AP ，设P （0，y ），则：9+(y −5)2=25， 解之得，y =1，即OP =1． ∴PQ =12． ·························· 9’ 此时，直线AP 解析式为：413y x =-+．与抛物线的交点B 为（13，59），∴PB 69==BD ． ···················· 10’ ∴满足条件的时刻为：12和412．11、如图所示，放在直角坐标系中的正方形ABCD 的边长为4，现做如下实验：转盘被划分为三个相同的扇形，并分别标有数字1-，2，3，先后转动两次转盘，转盘停止后，指针所指的数字作为直角坐标系中M 点的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指在界线上，则重新转动转盘．（1）请你用树状图或列表的方法，求M 点落在正方形ABCD 面上（含内部与边界）的概率．（2）将正方形ABCD 进行怎样的平移，可使M 点落在正方形ABCD 面上（含内部与边界）的概率恰好等于2？ 答案：解：（1M 点的坐标有9种，且落在正方形ABCD 面上（含内部与边界）的有4种，即)2,2(),1,2(),2,1(),1,1(----，故P （M 点落在正方形ABCD 面上（含内部与边界））=94； （2）将正方形ABCD 向上平移1个单位或向右平移1个单位，可使M 点落在正方形ABCD 面上（含内部与边界）的概率恰好等于23.（求出一种情况得2分，两种都求出得4分） 12. （2012北京市东城区）在ABC △中，AB 、BC 、AC小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将ABC △的面积直接填写在横线上__________________； 思维拓展： （2）我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．．．．若ABC △、、（0a >），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC △，并求出它的面积填写在横线上__________________； 探索创新：（3）若ABC △（0a >），且ABC △的面积为22a ，试运用构图法．．．在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）中画出所有符合题意的ABC △(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上__________________．（本小题满分5分）解：（1）ABC △的面积为72； …………………… 1分（2）ABC △的面积为252a ；…………………………3分（3）图中三角形为符合题意的三角形.…………………………5分13．（2012北京市怀柔区）探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ； （2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B＋∠D＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..（图3）（1）通过观察可知，EF= BE ＋DF.………………………1分（2）结论EF= BE ＋DF 仍然成立（如图2）.…………2分证明:将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使AD 与AB 重合，得到'ABF ∆， ∴△ADF≌'ABF ∆，∴∠1=∠2， A 'F =AF ，'BF =DF. ∠'ABF =∠D 又∵∠EAF=21∠BAD，即∠4=∠2+∠3. ∴∠4=∠1+∠3.又∵∠ABC＋∠D＝180°，∴∠A 'BF ＋∠AB E=180°，即：'F 、B 、E 共线.在△AEF 与△AEF 1中，AF=A 'F ，∠4=∠1+∠3， AE=AE∴△AEF≌△AE 'F 中，………………………………………3分 ∴EF=E 'F ，又E 'F =BE ＋B 'F ,即：EF= BE ＋DF. …………………………………………4分（3）发生变化. EF 、BE 、DF 之间的关系是EF= BE －DF. ……………………5分 证明：将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使AD 与AB 重合，点F 落在BC 上点'F 处， 得到△AB 'F ，如图3所示. ∴△ADF≌△AB 'F ，∴∠B A 'F =∠DAF ， A 'F =AF ，B 'F =DF. 又∵∠EAF=21∠BAD，且∠B A 'F =∠DAF ∴∠'F AE=∠FA E.在△'F AE 与△FA E 中 AF=A 'F ，∠'F AE=∠FA E, AE=AE,∴△'F AE≌△FA E.…………………………………6分 ∴EF=E 'F ，又∵BE= B 'F ＋E 'F ， ∴E 'F =BE －B 'F .（图2）即EF= BE－DF.…………………………………………7分。
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开放型问题1. （2011四川宜宾,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A ，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN ．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离），请设计一个求距离MN 的方案，要求： （1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； （2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．【答案】解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分⑴如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM ．⑵第一步，在AMN Rt ∆中，AN MN =αtan ∴αtan MNAN = 第二步，在BMN Rt ∆中，BNMN=βtan ∴βtan MN BN =其中BN d AN +=，解得αββαtan tan tan tan -⋅⋅=d MN ．（22题图）（第25题解答图）2. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N .当6CP =时，EM 与EN 的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DEFC EP=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.（1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，则DF DE FC EP =，EM EFEN EG=，12GF BC ==. ∵DE EP =，∴DF FC =. ·····························2分∴116322EF CP ==⨯=，12315EG GF EF =+=+=.∴31155EM EF EN EG ===. ·······························4分(第22题)（2）证明：作M H ∥BC 交AB 于点H ， ··························5分则MH CB CD ==，90MHN ∠=︒. ∵1809090DCP ∠=︒-︒=︒， ∴DCP MHN ∠=∠.∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠，90DPC CDP ∠=︒-∠， ∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ∆≅∆. ····················7分 ∴DP MN =. ····································8分3. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD =BC =1,AB =CD =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与D N 交于点K ，得到△MNK ．（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数． （2）△MNK 的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由． （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．(第22题)H BCDEMNA P（备用图）【答案】 解：∵ABCD 是矩形， ∴AM ∥DN ，∴∠KNM =∠1． ∵∠KMN =∠1， ∴∠KNM =∠KMN ． ∵∠1=70°，∴∠KNM =∠KMN =70°． ∴∠MNK =40°． （2）不能．过M 点作ME ⊥DN ，垂足为点E ，则ME =AD =1, 由（1）知∠KNM =∠KMN ． ∴MK =NK ． 又MK ≥ME , ∴NK ≥1．∴1122MNK S NK ME ∆=⋅≥． ∴△MNK 的面积最小值为12，不可能小于12．（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，此时点K 也与点D 重合． 设MK =MD =x ，则AM =5-x ，由勾股定理，得2221(5)x x +-=,解得， 2.6x =． 即 2.6MD ND ==． ∴11 2.6 1.32MNK ACK S S ∆∆==⨯⨯=． （情况一） 情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为AC ． 设MK =AK = CK =x ，则DK =5-x ，同理可得 即 2.6MK NK ==． ∴11 2.6 1.32MNK ACK S S ∆∆==⨯⨯=． ∴△MNK 的面积最大值为1.3． （情况二）4. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ，AD 2＋CD 2＝2AB 2．（1）求证：AB ＝BC ；（2）当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋CD ．【答案】（1）证明：连接AC ， ∵∠ABC ＝90°， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∵CD ⊥AD ，∴AD 2＋CD 2＝AC 2.∵AD 2＋CD 2＝2AB 2，∴AB 2＋BC 2＝2AB 2， ∴AB ＝BC .（2）证明：过C 作CF ⊥BE 于F . ∵BE ⊥AD ，∴四边形CDEF 是矩形. ∴CD ＝EF .∵∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∠ABE ＋∠CBF＝90°，ABCDE∴∠BAE ＝∠CBF ，∴△BAE ≌△CBF . ∴AE ＝BF .∴BE ＝BF ＋EF ＝AE ＋CD . 4. （2011湖北襄阳，21，6分）如图6，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE . ①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE .以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ； （2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.【答案】（1）①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①. ··············· 3分 （2）（略） 6分开放探究型问题一、填空题1、（2011年北京四中模拟28）两个不相等．．．．．的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ． 答案：略E DCB A图6二、解答题1．在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．PT 与MN 交于点3Q ，3Q 点的坐标是（ a ， 3122+a ）． 解：（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．此时32=L Q ． （II ）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．CD BD =,且 120=∠BDC ．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．又ABC ∆是等边三角形，∴90MBD NCD ∠=∠= ．在MBD ∆与ECD ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM ∴≅∆MBD ECD ∆(SAS) ． ∴DM=DE, CDE BDM ∠=∠ ∴ 60=∠-∠=∠MDN BDC EDN在MDN ∆与EDN ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴≅∆MDN EDN ∆(SAS) ∴MN=NE=NC+BMAMN ∆的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB而等边ABC ∆的周长L=3AB∴3232==AB AB L Q . （III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= 2x +L 32（用x 、L 表示）．yO Mxnl12 3 …1B2B3Bn B 1A 2A 3A 4A nA 1n A +Ｂ组解答题1．（2011 天一实验学校 二模）已知：如图，直线l ：13y x b =+，经过点M(0,41)，一组抛物线的顶点112233(1)(2)(3)()n n B y B y B y B n y ，，，，，，，，（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1（x 1,0）, A 2（x 2,0）, A 3（x 3,0）,……A n+1（x n+1,0）（n 为正整数），设101x d d =<<（）． （1）求b 的值；（2）求经过点112A B A 、、的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示） （3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当01d d <<（）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．答案：⑴∵M(0,)41在直线y=31x+b 上， ∴b=41⑵由⑴得y=31x+41,∵B 1(1,y 1)在直线l 上，∴当x=1时，y 1=31×1+41=127∴B 1(1,127)又∵A 1(d,0) A 2(2-d,0) 设y=a(x-d)(x-2+d),把B 1(1,127)代入得：a=-2)1(127-d∴过A 1、B 1、A 2三点的抛物线解析式为y=-2)1(127-d (x-d)(x-2+d) (或写出顶点式为y=-2)1(127-d (x-1) 2+127)⑶存在美丽抛物线。