21.2.4《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件

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2021年初中九年级《数学(全国版)》-配套课件-第21章一元二次方程-21-2-4一元二次方程的根

-2
=
3
.
4
关闭
3
4
解析
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
互动课堂理解
轻松尝试应用
6
5.已知方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为α,β,不解方程求下列各
式的值.

2
2
3
3
(1)α +β ; (2)α β+αβ ; (3) + .

关闭
关闭
因为 α,β 是方程 x2+3x-1=0 的两个实数根,
所以 α+β=-3,αβ=-1. α+β=-3,αβ=-1,把要求的代数式的值分
C
答案
快乐预习感知
1
2
3
4
5
互动课堂理解
轻松尝试应用
6
2.已知x1,x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根,且满足x1+x2-3x1x2=5,
则b的值为(
)
A.4
B.-4
C.3
D.-3
关闭
C
答案
快乐预习感知
1
2
3
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5
互动课堂理解
轻松尝试应用
6
3.(2020·湖北黄冈中考)已知 x1,x2 是一元二次方程 x2-2x-1=0 的两根,
*21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
互动课堂理解
轻松尝试应用
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a,b,c之间的
关系是x1+x2=

第二十一章21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

在ax2+bx+c=0(a≠0)中,当b2-4ac≥0时,由求根公式可得x1= b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
,x2= 2a
,
所以x1+x2=b
b2
2a
4ac
&(b2 4ac) 4a 2
=
c a
=-
b a
,x1·x2=
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
4.(2016山东德州中考)方程2x2-3x-1=0的两根为x1,x2,则 x12 + x22 =
.
13
答案 4
解析由根与系数的关系可得x1+x2=- ba = 32 ,x1·x2= ac =- 12 ,∴ x12 + x22 =(x1+x2)2-
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
5.(2018上海静安期末)已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数
根分别是x1、x2,当|x1|+|x2|=7时,k的值是
.
答案 -2
解析由题意得Δ=(3-2k)2-4×1×(k2+1)≥0,9-12k+4k2-4k2-4≥0,∴k≤ 5 ,
12
∵x1·x2=k2+1>0,∴x1、x2同号.分两种情况:①当x1、x2同为正数时,x1+x2=7,
把x1+x2、x1·x2的值整体代入,即可求出所求代数式的值.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型三利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
栏目索引
例3 (2018湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.

初中数学人教版九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件(1)

与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根 x1，x2 有关的几个代数式的变
形：
1 1 x1 x2
1.
; 2. x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 ;
x1 x2
x1 x2
2
2
2
x1 x2
(
x

x
)

2
x
x
x

x
1
2
1
2
1
2
3.

;
x2 x1
解：(3)方程化为 x2－x－1＝0，
x1＋x2＝－(－1)＝1，x1x2＝－1.
(4)方程化为 2x2－4x＋1＝0，
−4
x1＋x2＝－＝2，
2
1
x1x2 ＝ .
人教版九年级数学上
21.2.4
一元二次方程
的根与系数的
关系
1.写出一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
b b 2 4ac
x1,2
2a
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0).
(1) x2－6x－15＝0；
(2) 3x2＋7x－9＝0；
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
7
－9
(2) x1＋x2＝－，x1 x2＝
＝－3.
3
3
(3)方程化为4x2－5x＋1＝0，
5 5
1
x1＋x2＝－ = ， x1 x2＝ .

人教九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》赛课课件

1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，则x1＋x2的
值是( C )
A．0
B．2
C．－2
D．4
2．(2014·昆明)已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实
数根，则x1x2等于(
C)
A．－4
B．－1
C．1
D．4
3．已知方程x2－6x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则x1＋x2－
x1x2的值为( D )
A．－8
B．－4
C．8
D．4
4．已知x1，x2是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则(x1－2)(x2 －2)＝__－__6____．
5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋3x＋1＝0；
解：x1＋x2＝－3，x1x2＝1 (2)2x2－4x－1＝0；解：x1＋x2＝2，x1x2＝－12 (3)2x2＋3＝5x2＋x.
7．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反
数，则( B )
A．b＞0
B．b＝0
C．b＜0
D．c＝0
8．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根和c分别
为( C ) A．1，2
B．2，4
C．4，8
D．8，16
9．若关于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋c＝0 的两个实数根分别为 x1＝
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
－2，x2＝4，则 b＋c 的值是( A )
A．－10
B．10
C．－6
D．－1
10．(2014·烟台)关于 x 的方程 x2－ax＋2a＝0 的两根的平方和是 5，

人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》赛课课件

A．5
B．－5
C．1
D．－1
15．方程 x2－(m＋6)x＋m2＝0 有两个相等的实数根，且满足 x1＋x2
＝x1x2，则 m 的值是( C )
A．－2 或 3 B．3
C．－2
D．－3 或 2
16．(2014·呼和浩特)已知 m，n 是方程 x2＋2x－5＝0 的两个实数根，则 m2－mn＋3m＋n＝____8____． 17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为 8，1，则这个方程为 __x_2_－__9_x_＋__8_＝__0____． 18．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－4x＋1＝0 的两个实数根，求(x1 ＋x2)2÷(x11＋x12)的值．
－2，x2＝4，则 b＋c 的值是( A )
A．－10
B．10
C．－6
D．－1
10．(2014·烟台)关于 x 的方程 x2－ax＋2a＝0 的两根的平方和是 5，
则 a 的值是( D )
A．－1 或 5
B．1
C．5
D．－1
11．若关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋k－3＝0 的两个实数根为 x1，
解：x1＋x2＝－13，x1x2＝－1
6．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：
(1)x12＋x22；
(2)x11＋x12.
解：(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝11 (2)x11＋x12＝x1x＋1x2x2＝－3
知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，则x1＋x2的

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系(2)

2 x1 x 2 3
(4). x1 x2 0
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ a
时，
注意“－ ”不要漏写.
练习1 已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0 当m= －1 时,此方程的两根互为相反数.
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。解:由已知,
{
△= 4m 2 4m(m 1) 0
m 1 x1 x 2 0 m
即
{
m>0 m-1<0
∴0<m<1
一正根，一负根
两个正根 △≥0
两个负根
{
△＞0 X1X2＜0
{
X1X2＞0
X1+X2＞0
{
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
请阅读下列材料：问题：已知方程x 2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． y 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝ 2 ． y y 2 y 把x＝代入已知方程，得( ) ＋－1＝0． 2 2 2 2 化简，得y ＋2y－4＝0．故所求方程为y 2＋2y－4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；（1）已知方程x 2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_________________；（2）已知关于x的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

初中数学一元二次方程的根与系数的关系(复习课件)

14．已知方程 x2＋4x－2m＝0 的一个根 α 比另一个根 β
小 4，则 α＝－___4_，β＝_0___，m＝__0__．
15．设x1，x2是一元二次方程x2－3x－2＝0的两个实数根，则x12＋3x1x2＋x22的值为__7__．
16．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－9，－1；乙看错了常数项，得出的两根为 8，2.则这个方程为 x2－10x＋9＝0 ．
1．(4分)(2013·武汉)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝ 0的两个根，则x1x2的值是( B )
A．－2 B．－3 C．2 D．3 2．(4分)若x1，x2是方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是( C ) A．－2 B．2 C．3 D．1 3．(4分)下列一元二次方程两实数根和为－4的是( D ) A．x2＋2x－4＝0 B．x2－4x＋4＝0 C．x2＋4x＋10＝0 D．x2＋4x－5＝0 4．(4分)一元二次方程2x2＋7x＝8的两根之积为_－__4_.
17．(9 分)关于 x 的方程 kx2＋(k＋2)x＋k4＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围； (2)是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0.若
存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得 Δ＝(k＋2)2－4k×k4＞0，∴4k＋4＞0，∴
x1 + x2 = 6
（2）3x2 + 7x - 9 = 0 （3）5x - 1 = 4x2
7 x1 + x2 = 3
x1 x2 = -15 x1 x2 = -3
5 x1 + x2 = 4
1 x1 x2 = 4
3．运用性质，巩固练习

人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2.4韦达定理

解:由已知,
{ △= 4m2 4m(m 1) 0
x1 x2
m 1 m
0
{ 即
m>0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm-1<0
∴0<m<1
2b 2a
b a
推导
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b2
b2 4ac 4a2
4ac 4a2
c a
韦达定理
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的两个根分别是 x1 、x2 ，那么：
x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
（4）.(x1 1)(x2 1)
（5）. x1 x2
（6）x1 x2
例1
例如：已知方程
1 2
x2＝2x＋1的两根为x1,x2，不解方程，求
下列各式的值。
（1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23
课堂小结(1分钟)
通过本节课的学习你学到了那些知识？
一元二次方程的根与系数的关系： ❖(韦达定理)
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 、
x那2 么, x1 +x2 =-
b a
； x1 x2=
c a
❖注意：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
例2
已知方程 x2 kx k 2 0的两个实数根是 x1, x2 且 x12 x22 4
求k的值。解：由根与系数的关系得解得：k=4 或k=－2
21.2.4根与系数关系 ——韦达定理
用适当的方法解下列方程：

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x1x2=
k 3 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1) 2 4k 2 0
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
1 2
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0
b b 2 4ac x1 2a
X1+x2=
b b 2 4ac x2 2a
b b 2 4ac 2a
+
2b = = 2a
X 1 x 2=
b a
b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
还可以把 x 2 代入方程的两边，求出
k
小结
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
我能行4
例4、求运用根与系数的关系一个一元二次方程， 1 1 3 2 使它的两个根是： 3 ， 2 解：所求的方程是：
1 9
x1+ x2，x1∙x2与系数有什么规律?
猜想：
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则：
b 4ac 0
2
x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系.
b x1 x 2 a
c x1 x2 a
一元二次方程根与系数关系的证明：
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得 x1+x2= ∴(
解得k1=9,k2= -3
k 1 2 k 3 ) 4 1 2 2
k 1 2 ,
1 1 1 1 x (3 2 ) x (3 ) (2 ) 0 3 2 3 2
2
即：或：
5 25 x x 0 6 3
2
6 x 5x 50 0
2
开启
智慧
知识在于积累
（4）求一个一元二次方程，使它的两个根分别为：
①
4, 7
；② 1
3,1 3
（5）已知两个数的和等于 6 ，积等于 2 求这两个数
4ac 4a 2
=
(b) 2 ( b 2 4ac) 2 4a 2
=
c = a
一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
c b 那么x1+x2= , x1x2= a a
注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0
韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们韦达（1540－1603）把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。
我能行2
例2、已知方程 5 x kx 6 0 的一个根是2 求它的另一个根及 k 的值。 k 6 2 原方程可化为：x x 0 解：想一想， 5 5 还有其他设方程的另一根是 x1 ，那么方法吗？
2
3 6 2 x1 ∴ x1 5 5 3 3 k ∴ k 5[( ) 2] 7 又∵ ( ) 2 5 5 5 3 答：方程的另一个根是， k 的值是 7 。 5
如果方程x2+px+q=0的两根是 x1 ，x2，那么x1+x2= －P , x 1x 2 = q
一、直接运用根与系数的关系
例4、不解方程，求下列方程两根的和与积.
(1) x 6 x 15 0
2
( 2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
我能行1
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
2 b b 4ac 2a
(b2-4ac≥ 0)
方程
x2-3x+2=0
x1
x2 x1+ x2 x1∙x2
2 1 X2-2x-3=0 -1 3 X2-5x +4=0 1 4
3 2 5
2
-3 4
问题：你发现这些一元二次方程的两根 x1+ x2，与x1 • x2系数有什么规律？猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1,, x2
x1 x2 p
x1 x2 x x1. x2
2
1
2
2 9 x 6x 1 0 3 4 2 2 7 2 7 3 x 4x 1 0 3 3 3 2 1 7 3 x 7x 2 0 -2 3 3
1 3
1 3
1 3 2 3
例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积： 2 2 ② ① x 3x 1 0 2x 4x 1 0
解：① x1 x2 3 ②
x1 x2 2
原方程可化为：
1 x 2x 0 2
2
1 x1 x 2 2
x1 x2 1
二次项不是1，可以先把它化为1