2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期2.4、用分解因式法求解一元二次方程教案12
2.4 用因式分解法求解一元二次方程(课件)2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
较适当的方法为( A )
A. ①直接开平方法, ②因式分解法, ③公式法
B. ①因式分解法, ②公式法, ③配方法
C. ①公式法, ②配方法,③因式分解法
D. ①直接开平方法, ②公式法, ③因式分解法
练习&巩固
2. 用适当方法解下列方程：
（1）(2x+3)2-25=0;
解：化简，得
4x2+12x+9-25=0
解：原方程可变形为
(x + 2)(x - 2) = 0
(x+1+5)(x+1-5)=0
x + 2 = 0 或 x - 2 = 0
(x + 6)(x - 4) = 0
x1 = -2，x2 = 2.
x + 6 = 0 或 x - 4 = 0
x1 = -6，x2 = 4.
例题欣赏
例题&解析
☞
例2.用适当的方法解方程：
第二章
一元二次方程
4. 用因式分解法求解一元二次方程
北师大版九年级数学上册
学习&目标
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境&导入
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，
看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，
不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较
北师大版九年级数学上册2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步练习(含参考答案)
2.4 用因式分解法求解一元二次方程一、选择题1．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )A．x＝2 B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－32．方程x2－5x＝0的解是( )A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x＝03．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )A．x＝2 B．x＝3C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝34．在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，解得x1＝－1，x2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，得(x＋3)(x－3)＝0，解得x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙两名同学的做法，下列判断正确的是( )A．甲的错误，乙的正确B．甲的正确，乙的错误C．两人的都正确D．两人的都错误二、填空题5．一元二次方程7x2＝2x的解为____________．6．一元二次方程x(x－1)＝x的解是__________．7．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和6，则x2＋bx＋c分解因式的结果是______________．8．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2－3x＝4(x－3)的两个实数根，则该等腰三角形的周长是__________．9．已知(x2＋4x－5)0＝x2－4x＋5，则x＝________．三、解答题10．解下列方程：(1)4x2－225＝0；(2)5x2＋20x＋20＝0；(3)(2x－1)2＝3x(2x－1)；(4)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；(5)2(t－1)2＋t＝1；(6)2(x－3)2＝x2－9；(7)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＝－4.11．请选择适当的方法解下列方程：(1)(2x＋3)2－25＝0；(2)x2＋2x－224＝0；(3)2x(x－3)＝x－3；(4)2x2＋4x＝－1.12．已知一个等腰三角形的三边长都满足方程(x－3)(x＋3)＝10(x－3)，求这个等腰三角形的周长．13．阅读下列材料：(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．②交叉相乘，验中项：7x－5x＝2x.③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.试用上述方法和原理解下列方程：①x2－10x＋21＝0；②x2＋2x＝8；③x2－5x－6＝0.14 阅读例题，解答问题．例：解方程x2－|x|－2＝0.解：当x≥0时，原方程变形得x2－x－2＝0，解得x＝－1(不合题意，舍去)或x＝2；当x＜0时，原方程变形得x2＋x－2＝0，解得x＝1(不合题意，舍去)或x＝－2. 综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝－2.依照上述解法解方程：x2－|x－1|－1＝0.1．[答案] D 2．[答案] C3．[解析] D 由原方程移项，得 (x ＋1)(x －2)－(x ＋1)＝0， ∴(x ＋1)(x －2－1)＝0， ∴x ＋1＝0或x －3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3. 故选D .4．[解析] A (x ＋2)(x －2)＝5.整理，得x 2－9＝0.分解因式，得(x ＋3)(x －3)＝0，则x ＋3＝0或x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝3.所以甲的错误，乙的正确．故选A .5．[答案] x 1＝0，x 2＝27[解析] 移项，得7x 2－2x ＝0， 左边分解因式，得x(7x －2)＝0， ∴x ＝0或7x －2＝0， ∴x 1＝0，x 2＝27.故答案为：x 1＝0，x 2＝27.6．[答案] x 1＝0，x 2＝2[解析] 原方程变形，得x(x －1)－x ＝0，x(x －2)＝0，∴x 1＝0，x 2＝2. 7．[答案] (x －6)(x ＋2) 8．[答案] 10或11 9．[答案] 2[解析] 依题意知x 2－4x ＋5＝1，x 2－4x ＋4＝0，(x －2)2＝0，解得x 1＝x 2＝2.当x ＝2时，x 2＋4x －5≠0，所以x ＝2符合题意．10．解：(1)利用平方差公式分解因式，得(2x ＋15)(2x －15)＝0， ∴2x ＋15＝0或2x －15＝0， ∴x 1＝－7.5，x 2＝7.5.(2)方程两边同除以5，得x 2＋4x ＋4＝0，写成平方形式，得(x ＋2)2＝0，∴x ＋2＝0， ∴x 1＝x 2＝－2.(3)(2x －1)(－x －1)＝0， ∴x 1＝12，x 2＝－1.(4)[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0， (7x －16)(4－3x)＝0，∴x 1＝167，x 2＝43.(5)2(t －1)2＋(t －1)＝0， (t －1)(2t －1)＝0， ∴t －1＝0或2t －1＝0， ∴t 1＝1，t 2＝12.(6)右边分解因式，得2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)．移项，得2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.提公因式，得(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0.∴x －3＝0或2(x －3)－(x ＋3)＝0. 解得x 1＝3，x 2＝9.(7)(2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4＝0， (2x ＋1＋2)2＝0，∴x 1＝x 2＝－32.11．解：(1)(2x ＋3)2－25＝0， 2x ＋3＝±5， 解得x 1＝1，x 2＝－4. (2)x 2＋2x －224＝0， x ＋1＝±15，解得x 1＝14，x 2＝－16. (3)2x(x －3)＝x －3， 2x(x －3)－(x －3)＝0， (x －3)(2x －1)＝0， 解得x 1＝3，x 2＝12.(4)2x 2＋4x ＝－1，即2x 2＋4x ＋1＝0， a ＝2，b ＝4，c ＝1，b 2－4ac ＝42－4×2×1＝8＞0，则x ＝－4±82×2，∴x 1＝－1＋22，x 2＝－1－22.12．解：由(x －3)(x ＋3)＝10(x －3)， 得(x －3)(x －7)＝0，∴x 1＝3，x 2＝7.(1)当腰长为3，底边长为7时，3＋3<7，不能构成三角形； (2)当腰长为7，底边长为3时，周长l ＝7＋7＋3＝17； (3)当三角形为边长为3的等边三角形时，周长l ＝3×3＝9； (4)当三角形为边长为7的等边三角形时，周长l ＝7×3＝21. 所以这个等腰三角形的周长为9，17或21. 13．解：①分解因式，得(x －3)(x －7)＝0， ∴x －3＝0或x －7＝0，∴x 1＝3，x 2＝7. ②整理，得x 2＋2x －8＝0， 分解因式，得(x －2)(x ＋4)＝0， ∴x －2＝0或x ＋4＝0， ∴x 1＝2，x 2＝－4.③分解因式，得(x －6)(x ＋1)＝0， ∴x －6＝0或x ＋1＝0，∴x 1＝6，x 2＝－1.14 解：当x －1≥0，即x ≥1时，原方程变形得x 2－x ＝0，即x(x －1)＝0， 解得x ＝0(不合题意，舍去)或x ＝1；当x －1＜0，即x ＜1时，原方程变形得x 2＋x －2＝0，即(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝1(不合题意，舍去)或x ＝－2. 综上所述，原方程的解是x 1＝1，x 2＝－2.。
2.4 用因式分解法求解一元二次方程课件--2024-2025学年北师大版数学九年级上册
结
与 解:方程可变形为2(x-3)+3x(x-3)=0,
检 测
(x-3)(3x+2)=0.
x-3=0,或3x+2=0.
∴x1=3,x2=-23.
课 (2)(x-2)2-16=0;
堂
(3)2x2-7x+6=0.
小 解:(2)方程可变形为(x-2+4)(x-2-4)=0.
结 与
x-2+4=0,或x-2-4=0.
(4)解——写出方程的两个解.
探
应用二 灵活运用一元二次方程的解法
究 与
例3 选用适当的方法,解下列方程:
应 (1)x2+8x-5=0;
用
解:移项,得x2+8x=5.
配方,得x2+8x+16=5+16,
即(x+4)2=21.
开平方,得x+4=± 21.
∴x1=-4+ 21,x2=-4- 21.
探 究
x=0,或5x-4=0. ∴x1=0,x2=45.
探 究
(2)x(x-2)=x-2.
与 解:原方程可变形为
应
用 x(x-2)-(x-2)=0,
(x-2)(x-1)=0.
x-2=0,或x-1=0.
∴x1=2,x2=1.
探 究
变式 解下列方程:
与 (1)x2-9=2(x+3);
应
用 解:原方程可变形为
(x+3)(x-3)-2(x+3)=0,
(x+3)(x-3-2)=0.
x+3=0,或x-3-2=0. ∴x1=-3,x2=5.
探 究
(2)(2x+1)2=5(1+2x);
北师大版数学9年级上册教案2.4 用因式分解法求解一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程课标要求【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法．【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．【教学重点】用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．教学过程一、情景导入，初步认识复习：将下列各式分解因式(1)5x 2－4x ；(2)x 2－4x ＋4；(3)4x (x －1)－2＋2x ；(4)x 2－4；(5)(2x －1)2－x 2.【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度．二、思考探究，获取新知一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法．【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．三、运用新知，深化理解1．解方程5x 2＝4x .解：原方程可变形为x (5x －4)＝0……第一步∴x ＝0或5x －4＝0……第二步∴x 1＝0，x 2＝45. 【教学说明】教师提问、板书，学生回答．分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤(二)对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．2．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2＋3x ＝0；(2)7x (3－x )＝4(x －3)；(3)9(x －2)2＝4(x ＋1)2.分析：(1)左边＝x (5x ＋3)，右边＝0；(2)先把右边化为0，即7x (3－x )－4(x －3)＝0，找出(3－x )与(x －3)的关系；(3)应用平方差公式．解：(1)因式分解，得x (5x ＋3)＝0，于是得x ＝0或5x ＋3＝0，x 1＝0，x 2＝－35； (2)原方程化为7x (3－x )－4(x －3)＝0，因式分解，得(x －3)(－7x －4)＝0，于是得x －3＝0或－7x －4＝0，x 1＝3，x 2＝－47； (3)原方程化为9(x －2)2－4(x ＋1)2＝0，因式分解，得[3(x －2)＋2(x ＋1)][3(x －2)－2(x ＋1)]＝0，即(5x －4)(x －8)＝0，于是得5x －4＝0或x －8＝0，x 1＝45，x 2＝8.【教学说明】(1)用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．(2)对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．3．选择合适的方法解下列方程．(1)2x 2－5x ＋2＝0；(2)(1－x )(x ＋4)＝(x －1)(1－2x )；(3)3(x －2)2＝x 2－2x .分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1－x )与(x －1)的关系用因式分解法；(3)3(x －2)2＝x ·(x －2)用因式分解法．解：(1)a ＝2，b ＝－5，c ＝2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×2＝9＞0，x ＝－（－5）±92×2＝5±34， x 1＝2，x 2＝12； (2)原方程化为(1－x )(x ＋4)＋(1－x )(1－2x )＝0，因式分解，得(1－x )(5－x )＝0，即(x －1)(x －5)＝0，x －1＝0或x －5＝0，x 1＝1，x 2＝5；(3)原方程变形为3(x －2)2－x (x －2)＝0，因式分解，得(x －2)(2x －6)＝0，x －2＝0或2x －6＝0，x 1＝2，x 2＝3.【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．4．已知(a 2＋b 2)2－(a 2＋b 2)－6＝0，求a 2＋b 2的值．分析：若把(a 2＋b 2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a 2＋b 2)为未知数的一元二次方程．解：设a 2＋b 2＝x ，则原方程化为x 2－x －6＝0.a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25＞0，x ＝1±252，∴x 1＝3，x 2＝－2. 即a 2＋b 2＝3或a 2＋b 2＝－2，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2＝－2不符合题意应舍去，取a 2＋b 2＝3.【教学说明】(1)整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．(2)在做题时要注意隐含条件．5．用一根长40 cm 的铁丝围成一个面积为91 cm 2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？解：设长为x cm ，则宽为(402－x ) cm ，x ·(402－x )＝91， 解这个方程，得x 1＝7，x 2＝13.当x ＝7 cm 时，402－x ＝20－7＝13(cm)(舍去)；当x ＝13 cm 时，402－x ＝20－13＝7(cm)． 当围成正方形时，它的边长为404＝10(cm)，面积为102＝100( cm 2)． 【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力．四、师生互动，课堂小结1．本节课我们学习了哪些知识？2．因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？【教学说明】对某些方程而言因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其它方法．课后作业1．布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题．2．完成练习册中本课时练习．教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法．。
新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优质课课件(共19张PPT)
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 － 4=0
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一 学 元二次方程。 目 2、通过因式分解法解一元二次 标 方程的学习，树立转化的思想。
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
(1)x(x 2) 0
x1 0, x2 2
(2)(y 2)(y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x
2)(2x 1)
0
x12Leabharlann 3,x21 2
(4)x2 x
x1 0, x2 1
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 (x 5)(x 2) 18
解： 原方程化为 (x 5)(x 2) 3 6
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
九年级数学上册第二章一元二次方程2.4用因式分解法求解一元二次方程同步练习新版北师大版
4 用因式分解法求解一元二次方程知识点 1 由ab＝0直接求解1．已知a，b是两个实数，如果ab＝0，那么下列说法正确的是( )A．a一定是零 B．b一定是零C．a＝0且b＝0 D．a＝0或b＝02．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )A．x＝2 B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－33．解方程：(4x－1)(5x＋7)＝0.知识点 2 用因式分解法解一元二次方程4．2017·贵阳期末方程x 2－x ＝0的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝1C ．x 1＝0，x 2＝1D ．x 1＝0，x 2＝－15．2017·六盘水期末方程3(x －3)2－2(x －3)＝0的根是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝113C ．x 1＝3，x 2＝23D ．x 1＝3，x 2＝1136．方程3(x －5)2＝2(5－x )的解是( ) A ．x ＝133 B ．x 1＝5，x 2＝133C ．x 1＝5，x 2＝173D ．x 1＝4，x 2＝－1337．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋2x ＝－1; (2)x 2＋3＝3(x ＋1)；(3)7x (5x ＋2)＝6(5x ＋2)；(4)(3y －4)2－(4y －3)2＝0.知识点 3 灵活运用四种方法解一元二次方程8．我们学习了一元二次方程的解法有：①直接开平方法；②配方法；③因式分解法；④求根公式法．请认真观察下列几个方程，指出较为合适的方法．(填序号)(1)x 2＋16x ＝5，选用方法________较合适；(2)2(x ＋2)(x －1)＝(x ＋2)(x ＋4)，选用方法________较合适； (3)2x 2－3x －3＝0，选用方法________较合适．9．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为合适的方法解这个方程． ①(x ＋1)2＝4x ；②3x 2－6x ＝0；③x 2＋x －1＝0；④14x 2＋x ＋1＝0；⑤2x 2－6x ＋8＝0.10．一个三角形两边的长为3和6，第三边的长是方程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三角形的周长是( )A ．11B ．13C ．11或13D ．11和13图2－4－111．教材习题2.7第3题变式题如图2－4－1，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m12．解方程：(1)x2－6x＋9＝(5－2x)2；(2)2(x－3)＝x2－9.13．解方程x(x＋5)＝3(x＋5)，甲同学的解法如下：方程两边同除以(x＋5)，得x＝3.(1)甲同学的解法正确吗？为什么？(2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请写出上述方程的正确解法．14．已知(x ＋y )(x ＋y －1)＝0，求x ＋y 的值．15．已知x 是一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的根，求代数式x －33x2－6x ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－5x －2的值．16．我们知道(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab，所以x2－(a＋b)x＋ab＝(x－a)(x－b)，因此方程x2－(a＋b)x＋ab＝0就可转化为(x－a)(x－b)＝0.请利用上面的方法解下列方程：(1)x2－3x－4＝0; (2)x2－7x＋6＝0；(3)x2＋4x－5＝0.1．D 2．D3．解：∵(4x －1)(5x ＋7)＝0， ∴4x －1＝0或5x ＋7＝0， ∴x 1＝14，x 2＝－75. 4．C 5．D 6．B7．解：(1)原方程可变形为x 2＋2x ＋1＝0， 即(x ＋1)2＝0，∴x ＋1＝0， ∴x 1＝x 2＝－1.(2)原方程可变形为x 2－3x ＝0， ∴x (x －3)＝0， ∴x 1＝0，x 2＝3.(3)原方程可变形为7x (5x ＋2)－6(5x ＋2)＝0， ∴(5x ＋2)(7x －6)＝0， ∴5x ＋2＝0或7x －6＝0， ∴x 1＝－25，x 2＝67.(4)原方程可化为[(3y －4)＋(4y －3)][(3y －4)－(4y －3)]＝0， 即(7y －7)(－y －1)＝0， ∴7y －7＝0或－y －1＝0， ∴y 1＝1，y 2＝－1. 8．(1)② (2)③ (3)④9．解：选择②3x 2－6x ＝0.用因式分解法． 方程左边因式分解，得3x (x －2)＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2.(其他选择略) 10．B 11．A12．解：(1)原方程可化为(x －3)2＝(5－2x )2， 移项，得(x －3)2－(5－2x )2＝0，因式分解，得(x －3＋5－2x )(x －3－5＋2x )＝0， 即(2－x )(3x －8)＝0， ∴2－x ＝0或3x －8＝0， ∴x 1＝2，x 2＝83.(2)原方程可化为2(x －3)＝(x －3)(x ＋3)， 移项，得(x －3)(x ＋3)－2(x －3)＝0， 因式分解，得(x －3)(x ＋3－2)＝0， ∴x －3＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝3，x 2＝－1.13．解：(1)不正确．理由如下：因为x ＋5可能等于0，所以方程两边不能同除以(x ＋5)，否则就漏掉了一个根． (2)原方程可化为x ()x ＋5－3()x ＋5＝0，()x ＋5()x －3＝0，所以x 1＝3，x 2＝－5. 14．解：由题意，得x ＋y ＝0或x ＋y －1＝0，即x ＋y ＝0或x ＋y ＝1. 15．解：∵x 2－2x ＋1＝0， ∴x 1＝x 2＝1. ∴原式＝x －33x （x －2）÷x2－9x －2＝x －33x （x －2）·x －2（x ＋3）（x －3）＝13x （x ＋3）.当x ＝1时，原式＝13×1×（1＋3）＝112.16．解：(1)∵x 2－3x －4＝(x －4)(x ＋1)， ∴(x －4)(x ＋1)＝0， ∴x －4＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝4，x 2＝－1.(2)∵x 2－7x ＋6＝(x －6)(x －1)， ∴(x －6)(x －1)＝0， ∴x －6＝0或x －1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝1.(3)∵x 2＋4x －5＝(x ＋5)(x －1)， ∴(x ＋5)(x －1)＝0， ∴x ＋5＝0或x －1＝0， ∴x 1＝－5，x 2＝1.。
2.4北师版九年级上册数学因式分解法解一元二次方程--说课稿北师大版
因式分解法解一元二次方程说课稿我是_________选手。
我今天说课的课题是因式分解法解一元二次方程选自北师大版九年级上册第二章第四节。
我说课的流程主要分为五大步：一、教材分析二、学情分析三、教法学法四、教学过程五、教学反思向大家介绍一下我对本节课的理解与分析。
一、教材分析1、教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。
很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。
而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。
本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。
2、学生学情分析任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。
这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。
分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。
当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的配方法问题。
而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，用配方法公式法后，这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。
3、教学目标根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的心理特征及已有的知识经验，本节课的三维目标主要体现在：知识与能力目标：（1）理解因式分解法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程; （2）能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。
北师大版初中九年级上册数学课件-《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件精选全文
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
Hale Waihona Puke 知2－讲总结知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
知2－讲
原来的一元二次函 数转化成了两个一 元一次方程.
（来自教材）
例3解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；
（2）
5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
知2－讲
（2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得
例2解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4.
5 (2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程 3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2. 这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
北师版九年级上册 2.4因式分解法解一元二次方程
(3)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明 地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
(6)(x 4)2 (5 2x)2
解 : x 4 (5 2x). x1 3, x2 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:设小圆形场地的半径为r.
(r 5) 2r
2 2
2
r
10 2
200
.
例3 解下列方程: 1 3 2 2 (2)5 x 2 x x 2 x , 4 4
解 : 移项, 合并同类项, 得：
x 2x 1 0.
x 2 0, 或x 1 0.
(2x 1)2x 1 0.
4 x 1 0,
2
2x 1 0, 或2x 1 0. x1 2, x2 1. 1 1 x1 ; x2 . 2 2 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
2
去括号，移项，合并同类项，得 2 x 7 x 6 0,
2
( x 2)( 2 x 3) 0 x 2 0或2 x 3 0
3 x1 2, x2 . 2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
因式分解法解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因 式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程 的方法称为因式分解法. 提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零.”
2.4《用因式分解法求解一元二次方程》北师大版九年级上册教学课件2
（2）原式可变形为(3x+2)2-4(x-3)2=0．
分解因式，得[(3x+2)+2(x-3)][(3x+2)-2(x-3)]=0，
即
(5x-4)(x+8)=0．
于是得
5x-4=0，或x+8=0，
x1
4 5
，x2
8．
五、课堂练习
7．用因式分解法解下列方程： （1）3(x-2)-x(x-2)=0；（2）(3x+2)2=4(x-3)2；（3）3x(2x+1)=4x+2．
7．用因式分解法解下列方程： （1）3(x-2)-x(x-2)=0；（2）(3x+2)2=4(x-3)2；（3）3x(2x+1)=4x+2．
解：（1）因式分解，得(x-2)(3-x)=0． 于是，得x-2=0，或3-x=0， 所以， x1=2 , x2=3．
五、课堂练习
7．用因式分解法解下列方程： （1）3(x-2)-x(x-2)=0；（2）(3x+2)2=4(x-3)2；（3）3x(2x+1)=4x+2．
三、探究新知
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数 是几？你是怎样求出来的？
根据题意，设这个数为x，得方程x2=3x． 整理得x2-3x=0 x（x -3）=0 x=0或x -3=0 所以x1=0或x2=3
三、探究新知
像这样，先因式分解，使方程化为两个一次式乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元 二次方程的方法叫做因式分解法．
B．x=0
C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=-2 2．用因式分解法把方程(x-1)(x-2)=12分解成两个一元一次方程，下
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课题：2.4分解因式法
● 教学目标：
一、知识与技能目标：
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；通过分解因式法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
二、过程与方法目标：
通过学生探究一元二次方程的解法，使学生知道分解因式法是解一元二次方程的一种简便、特殊的方法，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程；通过小组合作交流，尝试在解方程过程中，多角度地思考问题，寻求从不同角度解决问题的方法，并初步学会不同方法之间的差异，学会在与他人的交流中获益。
三、情感态度与价值观目标：
经历观察，归纳分解因式法解一元二次方程的过程，激发好奇心；进一步丰富数学学习的成功体验，使学生在学习中培养良好的情感、态度和主动参与、合作交流的意识，进一步提高观察、分析、概括等能力。
● 重点：会用分解因式法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程。
● 难点：能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
● 教学流程：
一、 导入新课
1、用求根公式解一元二次方程:x 2-3x =0.
解：这时a= 1, b=-3, c=0.
∴ x 1=0. x 2=3
2、想一想:如果ab =0, 讨论a 和b 的情况？
a= 0或者 b = 0.
3、想一想：一元二次方程:x 2
-3x =0.如果把等号左边分解因式就是x （x-3）=0.
讨论因332
x ∴==±==
式x 和（x-3）的情况？
x = 0或者 x-3 = 0.
这样求出的方程的解和我们前面用求根公式求的解是一样吗？
4、想一想
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？
二、 新课讲解
1、 分解因式法
回顾小亮解一元二次方程:x 2
-3x =0.的过程并说说这个方程有什么特点？
小亮解一元二次方程利用a= 0或者 b = 0. 方程化成一般式后左边能因式分解. 分解因式法：当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为分解因式法.
2、例题解析
用分解因式法解方程: (1)5x 2=4x ; (2)x -2=x (x -2).
3、 分解因式法解一元二次方程的步骤
（1）化方程为一般形式;
（2） 将方程左边因式分解;
（3） 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
（4） 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
三、探究理解
用分解因式法的条件是什么？关键熟练掌握知识是什么？理论依据是什么？
用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 关键是熟练掌握因式分解的知识; 理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
四、课堂练习 ()2:1.540,x x -=解()540.x x -=0,540.x x ∴=-=或1240;.5x x ∴==()()2.220,
x x x ---=()()210.
x x --=20,10.x x ∴-=-=或122; 1.
x x ∴==
1、 解下列方程:
解:x 1=-2 x 2=4 解:4x (2x +1)-3(2x +1)=0
(2x +1)(4x -3)=0
x 1=-1/2 x 2= 3/4
2、你能用分解因式法解下列方程吗？
（1）x 2-4=0; （2） (x +1)2-25=0.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
3、说出用因式分解法解方程时，因式分解的方法：
五、课堂小结
1、分解因式法.
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法.
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
2、因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解;
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根.
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
六、 课堂拓展
1、 已知关于x 的一元二次方程x 2
-mx +m +1=0的一个根为2．
（1）求m 的值及另一根；
（2）若该方程的两个根分别是等腰三角形的两条边的长，求此等腰三角形的周长
2、握手时常用的社交礼仪，人与人初次见面，往往以握手示礼．小亮还记得升入中学时参加迎新生活动的场面，负责迎新生的老师为了让同班的新同学互相认识，要求出席()()()0,+=x x 1.2-4()()()2.421321.
+=+x x x 224431y y y -=--（）（）（）（）23230)2x x x ---=（）（）（．()2480a -=．
25410x x -+=（）4．()()()3515
t t -+=-62180x x +=（）
的同学互相握手，并彼此互相介绍．热闹一番后，同学们已完成这一项任务，老师随即说：“同学们，你们刚才已经两两之间共握手630次．“同学们听了后都很吃惊：“怎么算的？“假设班里有x 名学生，你知道630次是怎样求出来的吗？你能列出求解x 的方程吗？
七、达标测评
1、解方程：（3x -1）2=5（3x -1）（用因式分解法）
2、解下列方程
3、 一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x ,根据题意,得
2x 2
=7x .
2x 2-7x =0, x (2x -7) =0,
∴x =0,或2x -7=0.
4、十八大会议歇会期间，代表们在某休息室两两互相握手，共握手190次，求此时共有多少名代表在此休息室？
七、布置作业
教材47页习题2.7第1、2题。
22(1)5()3();x x x x -=+()22(2)(2)23;x x -=+()(3)(2)312;x x --
=2(4).80.
x -+=.27,021==∴x x。