北师大七年级上培优第1讲：丰富的图形世界
七年级数学上册第1章《丰富的图形世界》优质教案(北师大版)
第一章丰富的图形世界复习课一、学情与教材分析1.学情分析本章内容从学生生活中熟悉的图形展开认识研究，能够充分调动学生的兴趣。
通过学习学生已经了解了柱体、锥体、球体等常见几何体的特征，初步形成了图形的空间观念，在此基础上所掌握的知识进行系统的归纳、复习、整理和概括，对学生已有几何知识的进一步深化，对学生的要求较高。
2.教材分析本章内容从生活中常见的立体图形入手，使学生在丰富的现实情境中，在展开与折叠等数学活动过程中，认识常见几何体及点、线、面的一些性质；再通过展开与折叠、切截、从不同方向看等活动，在平面图形与几何体的转换中发展学生的空间观念；最后，由立体图形转向平面图形，在丰富的活动中使学生认识一些平面图形的简单性质。
整章内容是对学生已有几何知识的进一步深化，强调学生的动手操作和主动参与，为以后几何知识的学习打下基础，且能培养并发展学生的空间思维及想象能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学目标：知识技能：1.会辨认基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球等）；2.了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型；3.能想象基本几何体的截面形状；4.会画基本几何体的形状图，会判断简单物体的形状图，能根据形状图描述几何体或实物原型；5. 掌握几何体与平面图形的相互转换，能进行几何体与其三种形状图、展开图之间的转化。
过程与方法：1.初步建立空间观念，发展几何直觉，进一步丰富对空间图形的认识和感受；2．获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识。
情感态度与价值观：1.体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识。
2.进一步丰富数学学习的成功体验，激发学生对空间与图形学习的好奇心，增强观察能力，形成积极主动参与活动并与他人合作交流的意识。
三、教学重难点：重点：点、线、面等最基本的图形与基本几何体的相互转换。
难点：在面与体的变化中如何抓住特征。
四、教法建议1、由于本章内容与学生生活结合紧密，因此，在本章课程的讲授中，应以生活中的具体模型为教具，让学生感受到数学与生活的相关性以及数学的价值；2、本章教学应当以学生活动为主。
(完整版)北师大数学七年级上册第一章丰富的图形世界(提高)
丰富的图形世界（提高）知识讲解【学习目标】1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类，并能从组合图形中分离出基本几何体；2．认识点、线、面、体的基本含义，了解点、线、面、体之间的关系；3．能辨认和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体得到的形状图；4．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型．【要点梳理】要点一、立体图形1．定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 要点诠释：常见的立体图形有两种分类方法：2．棱柱的相关概念：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱． 通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）要点诠释：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．（2）长方体、正方体都是四棱柱．（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形．3．点、线、面、体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．要点二、展开与折叠有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．要点三、截一个几何体用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等．要点四、从三个方向看物体的形状一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．（如下图）【典型例题】类型一、立体图形1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．【答案与解析】解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组成它的面至少有一个是曲面．若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体． 【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．类型二、点、线、面、体2. 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______ _；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x+y 的值．【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题．【答案与解析】解：(1)6， 6， V+F-E ＝2；(2)20；(3)这个多面体的面数为x+y ，棱数为条，243362⨯=根据V+F-E ＝2可得24+(x+y)-36＝2，∴ x+y ＝14．【总结升华】欧拉公式：V （顶点数）+F （面数）-E （棱数）＝2【变式】（2014•宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（ ）be i ng ar e五棱柱B. 六棱柱C. 七棱柱D. 八棱柱【答案】B解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，A 、五棱柱共15条棱，故A 误；B 、六棱柱共18条棱，故B 正确；C 、七棱柱共21条棱，故C 错误；D 、八棱柱共24条棱，故D 错误；3．将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（ ）A ．从正面看相同B ．从左面看相同C ．从上面看相同D ．三个方向都不相同【答案】D【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体从不同方向看所得到的图形做出判断．【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状． 举一反三：【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】Bngsinthe类型三、展开与折叠4．（2015•广安）在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为“全国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“文”字所在的面上标的字应是（ ）A. 全B. 明C. 城D. 国【答案】C【解析】由正方体的展开图特点可得：与“文”字所在的面上标的字应是“城”．【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行确定．举一反三：【变式】说出下列四个图形(如图所示)分别是由哪个立体图形展开得到的?【答案】 (1)正方体；(2)圆柱；(3)三棱柱；(4)四棱锥．类型四、截一个几何体5．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，请回答下列问题：（1）截面一定是什么图形？（2）剩下的几何体可能有几个顶点？【思路点拨】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个点，当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个点，当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点．当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点．【答案与解析】（1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形；（2）剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点，如图所示．【总结升华】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．类型五、从三个方向看物体的形状6．（2016春•潮南区月考）如图所示的是某个几何体的三视图．（1）说出这个立体图形的名称；（2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．【思路点拨】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱；（2）根据直三棱柱的表面积公式计算即可．【答案与解析】解：（1）这个立体图形是直三棱柱；（2）表面积为：×3×4×2+15×3+15×4+15×5=192．【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．举一反三：【变式】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？主视图俯视图【答案】几何体的形状不唯一，最少需要小方块的个数： ，3222110++++=最多需要小方块的个数： ．3323116⨯+⨯+=丰富的图形世界（提高）巩固练习【巩固练习】（资料联系QQ ：1061139820）一、选择题1．（2015•新乐市一模）下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（ ）A.B.C. D.2．用一个平面去截一个圆柱体，截面的形状不可能是（ ）．A ．长方形B ．圆C ．椭圆D ．等腰梯形 3．将一个直角三角形绕它的最长边(斜边)旋转一周得到的几何体是如图中的( )．4．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体从正面、左面、上面观察所得到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）．A ．5 B ．6 C ．7 D ．85．（2016•福建龙岩市）如图所示正三棱柱的主视图是（ ）eAl l th i n ggA ．B ．C ．D ．6．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）．A ．B ．C ．D ．二、填空题7．（2016•宁夏）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形个数是__________个.8．一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体A ，B ，C 三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是________．9．（2015•青岛）如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为 ．10．如图所示，是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由________块长方体的积木搭成．11．用一个平面去截三棱柱，截面的边数最多是_______，用一个平面去截四棱柱，截面的边数最多是_______，用一个平面去截五棱柱，截面的边数最多是_______，12． (1)一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)；(2)黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)；(3)数学课本绕它的一边旋转，形成了一个圆柱体，用数学知识可解释为________，与之原13．如图所示，一长方体的长、宽、高分别是10 cm 、8 cm 、6 cm ，有一只蚂蚁从A 点出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到A 点时，最多爬行多少厘米?并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．14．(1)一个梯形ABCD ，如图所示，画出绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体从正面看，从上面看，从左面看所得到的图形．(2)梯形绕BC 所在直线旋转一周形成什么图形?(3)梯形绕DC 所在直线旋转一周形成什么图形? 15．（2014秋•扶沟县期末）将图中的几何体进行分类，并说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D【解析】A 、6个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图；故本选项错误；B 、6个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图；故本选项错误；C 、三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图；故本选项错误．D 、一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥的展开图；故本选项正确.2．【答案】D 3．【答案】D【解析】选项A 中圆柱是以长方形绕其一边所在直线旋转得到的，选项B 中圆锥是以直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到的，选项C 中几何体是以直角梯形绕其下底所在的直线旋转得到的，选项D 中几何体是两个圆锥倒放在一起的，以直角三角形绕其斜边所在直线旋转得到的，故选D ．4．【答案】B【解析】如图，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数． 5．【答案】B【解析】解：正三棱柱的主视图中前面正对的一条棱是可以看到的，要用实线标出，所以其主视图平行排列的两个矩形.故选B ．6．【答案】C【解析】由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A 、B 都不符合，且D 折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C ．二、填空题7．【答案】5【解析】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个．8．【答案】6【解析】与l 相邻的四个面分别为4、5、2、3，则1的对面为6，再由B 可知3的对面为4，由A 可知5的对面为2，可推出“?”处的数字为6．9．【答案】19，48．【解析】∵亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，∴该长方体需要小立方体4×32=36个，∵张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，∴王亮至少还需36﹣17=19个小立方体，表面积为：2×（9+7+8）=48.10．【答案】4 【解析】如右图，其中长方形中的数字表示该位置上的小长方体的个数．11．【答案】5、6、7【解析】截面能经过几个面，得到的形状就是几边形．12．【答案】(1)面与面相交得到线，相邻的墙面相交所成的线；长方体的六个面相交所成的线；圆柱的侧面与底面相交所成的曲线等．(2)线动成面，汽车的雨刷在挡风玻璃上刷出一片干净的区域；刷漆时刷子刷出的漆面．(3)面动成体，半圆绕它的直径旋转形成一个球面．三、解答题13．【解析】解：10×4+8×2+6×2＝68(cm)，所以最多爬行68cm．路线：A→B→C→D→H→G→F→E→A．14．【解析】如图所示．解：(1)(2)梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周形成是的圆台．(3)梯形ABCD绕DC所在直线旋转一周形成的是圆柱和一段圆柱挖去同底的一个圆锥的复合体．15．【解析】解：分类首先要确定标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．（1）长方体是由平面组成的，属于柱体．（2）三棱柱是由平面组成的，属于柱体．（3）球体是由曲面组成的，属于球体．（4）圆柱是由平面和曲面组成的，属于柱体．（5）圆锥是由曲面与平面组成的，属于锥体．（6）四棱锥是由平面组成的，属于锥体．（7）六棱柱是由平面组成的，属于柱体．若按组成几何体的面的平或曲来划分：（1）（2）（6）（7）是一类，组成它的各面全是平面；（3）（4）（5）是一类，组成它的面至少有一个是曲面，若按柱、锥、球来划分：（1）（2）（4）（7）是一类，即柱体；（5）（6）是一类，即锥体；（3）是球体．。
北师大版初中数学七年级上册 第1章 第1讲 丰富的图形世界 教材
第一章丰富的图形世界考点1.图形的折叠与展开知识点链接：1.正方体的平面展开图：11 种1-4-13-2-12-2-23-3展开图：邻对面：中间四个面，上下各一面；一线不过四；中间三个面，一二隔河见；凹田应弃之；中间两个面，楼梯天天见；同层隔一相对，异层隔二相对，Z 端是对面；中间没有面，三三连一线。
间二，拐角邻面知。
2.其他常见图形的展开图：圆柱圆锥正三棱锥正四棱锥正五棱锥正三棱柱展开图侧面张开成长方形的有：圆柱、棱柱；侧面展开成扇形的是：圆锥。
【例 1】下列各图经过折叠不能围成一个正方体的是（）变式训练1.如果有一个正方体，它的展开图可能是下列四个展开图中的()A. B. C. D.2.如图所示的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（）3.如图所示的立方体，将其展开得到的图形是（）A. B. C. D.【例 2】如图，该图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“少”字一面的相对面上的字是()A.强B.中C.国D.梦变式训练1. 如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图。
折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）（）。
A. 40 ⨯ 40 ⨯ 70B. 70 ⨯ 70 ⨯ 80C. 80 ⨯ 80 ⨯ 80D. 40 ⨯ 70 ⨯ 80【例3】立方体木块的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，如图，是从不同方向观察这个立方体木块看到的数字情况，数字1 和5 对面的数字的和是．变式训练1.两个同样大小的正方体积木，每个正方体相对两个面上写的数字之和都等于0.现将两个正方体并排放置，看得见的5个面上的数如图所示，则看不见的7个面上所写的数字之和等．考点2.几何体的截面知识点链接：截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。
1.用一个截面去截长方体或正方体，截面可能是等腰三角形、等边三角形、但不可能是三角形，也可能是正方形，长方形，梯形，五边形等，最多可截得边形。
北师大七年级数学上册教学课件：第1章 丰富的图形世界
3. 截面是认识世界的窗口、追溯历史的线 索。
1.4 从三个方向看物体 的形状
看一看、议一议:
从不同方向看三物体
下面的五幅图分别是从什么方向看到的?
排一排:
一辆汽车从小明的面前经过,小明拍摄了一组照 片.请按照汽车被摄入镜头的先后顺序给下面的 照片编号,并与同伴进行交流
面的距离叫__圆__柱__的__高__。
顶点
议一议
还有那些图形象圆锥?
甜筒，麦堆，导弹头， 蒙古包顶，羽毛球…… 圆锥有何特点?
侧面 高
底面
它的底面是一个 圆 ；圆锥的顶是 一个点__； 侧面是由光滑的曲面 构成；顶点到底面的
距离叫_圆__锥__的__高__。
棱柱的命名是按底面的边数来命名的：
三棱柱
第一章 |过关测试 5．从三个方向看图形的形状：(1)从正面看；(2)从左面看；
(3)从上面看． 6．多边形：从n边形的一个顶点出发，有___(n__－__3_)__条对
角线，将n边形分成了___(n__－__2_)__个三角形．
第一章 |过关测试
考点攻略
►考点一 立体图形的认识 例1 将如图1－2所示几何体分类，并说明理由．
例如：
他们研究过图①中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表 示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图②中的1，4，9， 16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方 形数的是( )
第一章 |过关测试 ►考点二 展开与折叠
例2 一个正方体的表面展开图如图1－3所示，每个外表面
都标注了字母，如果从正方体的右面看是面D，面C在后面，则
正方体的上面是( )
A．面E
【精品】北师大七年级数学上册第一章丰富的图形世界
小组讨论回答： ⑴这个六棱柱一共有多少个面？它们分别是什么形状？那些面的形状、
面积完全相
同？ ⑵这个六棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？
4. 投影展示下列图形：
先想一想，再折一折，哪些图形可以围成正方体？哪些图形不能围成正方体？
5.结合以上问题，全班进一步分组讨论： 你能否指出具有什么特征的平面图形可以折成正方体？什么样的图形不能？ （教师参与小组讨论，并进行适当指导） 6.总结结论： 二、课后思考
系） ( 尤其是组织学生分组讨论圆柱、圆锥的共同点与异同点，然后学生回答。？
⒍用自己的语言描述棱柱与圆柱的相同点与不同点。
⒎通过交流，总结，归纳形成直觉感受后，可以采取游戏的形式，将学生进行分组对抗赛
（甲方出示实物，乙方作出类似于该实物的几何体的答案，数个轮回后交换角色）
，以此
加深对简单几何体的感受和认识。
切截正方体的萝卜，鼓励学生从切截活动中去验证 自己的猜想。 [ 学生活动 ] ：学生分小组操作，在操作中去验证自 己的猜想，并通过小组讨论，合作交流积极发现在 猜想中没想到的截面图形。 [ 教师活动 ] ：教师在学生操作活动中巡视学生，参 与学生的讨论与交流，鼓励学生在小组活动中大胆 发表自己的见解。 [ 教师活动 ] ：全班实物切截活动结束，教师鼓励切
上例中为什么是旋转 90 度？ 探索并思考：什么样的平面图形可以折叠成三棱柱，四棱柱，五棱柱？
进一步思考什么样的平面图形可以折叠成棱柱？ 三、课堂练习
想一想 四、小结
1. 棱柱的相关概念及特征 2. 什么样的平面图形叠成三棱柱，四棱柱，五棱柱等。 五、作业
习题 1.3 的 1、2、 3。 每人用纸制作六个完整的正方体以备下节课使用。
⒏自学棱柱可分为直棱柱和斜棱柱。强调本书只讨论直棱柱（简称棱柱）
北师大七年级上数学课件-第一章丰富的图形世界讲义
名称
立体图形
表面展开 图
底面形 侧面形
状
状
侧面展开 图的形状
正方体
正方形 正方形 正方形
长方体 五棱柱 圆柱
长方形 长方形 五边形 长方形
圆 曲面
长方形 长方形 长方形
圆锥
圆
曲面
扇形
【例3】如图所示的是一个五棱柱，它的底 面边长都是4 cm，侧棱长都是6 cm.
红 蓝
黄
想一想 把一个正方体沿某些棱剪开，你能得到下面的图形吗？
√√ × √
议一议
下列图形可以折成一个正方体形的盒子．折好以 后，与 1 相邻的数是什么？相对的数是什么？先想一 想，再具体折一折，看看你的想法是否正确．
4 5123 6
典例精析
【例1】如果“你”在前面，那么什么在后面？如果 “坚”在下，“就”在后，那么“胜”“利”在哪里？
3.各个花瓶的表面可以看做由哪个平面图形绕虚线 旋转一周而得到？用线连一连.
课堂小结
1.简单的几何体
柱体
锥体 球体
圆柱 棱柱 圆锥
棱锥
所有侧棱长都相等
2.柱体的特征
上下底面的形状相同 侧面都是长方形 n棱柱有(n+2)个面，2n个顶点，3n条棱
3. 点――动→线直曲线线― ―― ―动动→ →平曲面面――动→体(立体图形)
课后作业
北师大七年级上数学
学习目标
1.掌握正方体的展开图，能根据展开图判断立体模型.（重点） 2.熟悉棱柱的展开图，初步尝试展开圆柱、圆锥的侧面.（重 点） 3.熟悉几何体与它展开的平面图形的对应关系.（难点）
导入新课
情境引入
在生活中，我们经常见到正方体形状的盒子.
你知道这些正方体形状的盒子是怎样制作的 吗？你能不能制作一个？
[七年级数学]北师大版七年级数学上册第一章《丰富的图形世界》教材分析
北师大版七年级数学上册第一章《丰富的图形世界》教材分析一、教材的特点：空间与图形是新增加的内容，强调的是与生活的联系、学生的实际操作及在操作中的思考(展开与折叠、切与截、从不同方向看、拼摆图形、设计图案等）、学生活动经验的积累和空间观念的发展.其核心是发展学生的空间观念。
空间观念可以在以下几个方面得到体现：能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能由较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能想象实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式表示物体间的位置关系；能根据条件作出立体模型或画出图形；会运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。
新教材的最大特点是突出数学与现实世界的联系，让数学回归生活，使学生在操作实践中学习数学。
本章主要学习生活中的图形，展开与折叠，截一个几何体。
从不同方向看，回顾与思考等知识内容。
它是属于“图形与空间”的知识领域，相对于以往的“大纲”而言，《标准》中最为引人注目的变化是该部分学习的最基本目标不再是发展学生的逻辑论证能力，而是发展学生的空间观念。
而且空间观念的发展需要通过“认识几何对象”“建立坐标系”与“空间推理”等方面的活动来进行。
教材的这种设计理念，也符合这一年龄段学生的认知特点，即发展其空间观念的过程应当是从对“立体对象”（学生生活经验基础）的认识开始，而不是遵循数学知识结构的线索“从平面到空间”；学生认识图形和空间的方式则首先应当是“操作”（获得对于几何对象的直观认知，建立从事“想象与推理”活动的基础），然后再从事“想象”“推理”等思维活动。
因此，整个教材对于“图形与空间”的基本处理思路是：学习内容——“图形的性质”“图形与坐标”“图形与变换”“图形与证明”。
二、教材的处理方式：“图形的性质”部分的处理方式——先探索，后证明：首先观察现实生活中的有关图形；再通过各种活动（观察、展开、折叠、变换、作图、推理等）去探索相应图形的性质；最后采用综合法证明有关性质。
北师大版七年级数学上丰富地图形世界培优讲义
文档一对一辅导教学课题丰富的图形世界培优七年级性别三视图3、多边形及其相关知识。
1、截一个几何体2、几何体的知识点：点：考 1、会画几何体的三视图。
教学目标 2、会判断常见几何体的截图。
3、多边形及其相关知识。
讲解和练习方法：重点：常见几何体的截图、三视图。
重点难点常见几何体的截图、三视图。
难点：课前__________________________________________建议中□差□作业完成情况：优□良□检查知识点回顾：、几何图形1 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
平面图形、点、线、面、体2 ）几何图形的组成：点、线、面、体（1 （2）点动成线，线动成面，面动成体。
点、线、面、体都是几何图形。
3、平面展开图正方体的展开图教（2）圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图： 4、几何体的截面学形角能是三，体或正方体截面可截个1（）用一截面去长方内四边形三角形），也可能是、但不可能是（、等，最多可截得），还可能是五边形，（，容边形。
5、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
典型例题讲练：考点一：几何图形的分类：、你能否将下列几何体进行分类？并请说出1文档分类的依据。
.是棱下列图形中是柱体的_____填代码即);_____是圆,______(a) (b) (c) (d)考点二：运动的观点看几何图形的形成（点、线、面、体）生活中我们见到的自行车的辐条运动形成的几何图形可解释为（1. ）面动成体 D.以上答案都不对 C .A.点动成线 B.线动成面车轨快速旋转时看 2、雨点从高空落下形成的轨迹说明了；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋起来象个圆面，这说明了； .转形成一个球，这说明了l旋转一周，可以得到右边立体图形的是（ 3、将下面的直角梯形绕直线）.4.如图绕虚线旋转得到的几何体是A（）D（））B（）C（、如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（）5文档边上的高是BCBC长3厘米，2、如图，三角形ABC的底边厘米的速度沿高的方向向上移动厘米，将三角形以每秒32 秒，这时，三角形扫过的面积是_______平方厘米。
2023年北师大版七年级数学上册第一章丰富的图形世界教学课件
1 图形的展开与折叠 定义：这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.
1 图形的展开与折叠
问题2：将手边的正方体包装盒剪开，观察剪开后的纸 片，多试几种剪法，观察这些纸片由什么不同，试着归 纳其中的规律.
1 图形的展开与折叠
1 图形的展开与折叠
1 图形的展开与折叠
正方体展开图规律归纳： 正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁，十一类图记分 明；一四一呈6种，二三一有3种，二二二与三三各1种； 对面相隔不相连，识图巧排“凹”和“田”.
从正面看 从左面看 从上面看
课堂小结
从不同的方向观察 立体图形
从三个方 向看物体 的形状
由从不同方向看到 的物体形状图确定
实物形状
从正面看 从左面看 从上面看
根据从前看到的图形、从上面看到的 图形和从坐标看到的图形想象立体图 形的前面、主面和左侧面的局部形状 ，然后再综合起来考虑整体图形．
3.下列说法正确的是（ D ） ①正方体的截面可以是等边三角形； ②正方体不可能截出七边形； ③用一个平面截正方体,当这个平面与四个平面相交时,所得的 截面一定是正方形； ④正方体的截面中边数最多是六边形. A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.①②④
4.一个几何体的一个截面是三角形,则原几何体一定不是下列 图形中的（ C ） A.圆柱和圆锥 B.球体和圆锥 C.球体和圆柱 D.正方体和圆锥
1 图形的展开与折叠
练一练：下列图形中,可以作为一个正方体的展开图
的是( C )
随堂练习 1.下列立体图形中,侧面展开图是扇形的是( B )
2.请你将下列图形折叠，填上它们的名称. (1)_正__方__体______(2)_长__方__体______(3)___五__棱__柱____
(完整版)北师大数学七年级上册第一章丰富的图形世界(基础)
丰富的图形世界（基础）知识讲解【学习目标】1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类，并能从组合图形中分离出基本几何体；2．认识点、线、面、体的基本含义，了解点、线、面、体之间的关系；3．能辨认和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体得到的形状图；4．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型．【要点梳理】要点一、立体图形1．定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．要点诠释：常见的立体图形有两种分类方法：2．棱柱的相关概念：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱．通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）要点诠释：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．（2）长方体、正方体都是四棱柱．（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形．3．点、线、面、体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系．此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．要点二、展开与折叠有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．要点三、截一个几何体用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等．要点四、从三个方向看物体的形状一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图）【典型例题】类型一、立体图形1．（2014秋?天津期末）下列图形不是立体图形的是（）A. 球B. 圆柱C. 圆锥D. 圆【答案】D【总结升华】图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形.类型二、点、线、面、体2．分别指出下列几何体各有多少个面?面与面相交形成的线各有多少条?线与线相交形成的点各有多少个? 如图所示．【答案与解析】解：（1）4个面，6条线，4个顶点；（2）6个面，12条线，8个顶点；（3） 9个面，16条线，9个顶点．【总结升华】(1)数几何体中的点、线、面数时，要按一定顺序数，做到不重不漏．(2)一般地，n棱柱有(n+2)个面(其中2为两个底面)，n棱锥有(n+1)个面(其中1为一个底面)．3．如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面相对应的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．【答案与解析】【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．举一反三：【变式】（2014?长沙一模）如图，直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（）A. B. C. D.【答案】C解：将如图所示的直角三角形绕直线l旋转一周，可得到圆锥，类型三、展开与折叠4．（2016?徐州）下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是（）A．B． C．D．【思路点拨】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可．【答案】C【解析】正方体沿着不同棱展开，把各种展开图分类，可以总结为如下11种情况：故选：C．【总结升华】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．举一反三：【变式】说出下列四个图形(如图所示)分别是由哪个立体图形展开得到的?【答案】 (1)正方体；(2)圆柱；(3)三棱柱；(4)四棱锥．类型四、截一个几何体5．如图所示，用四个不同的平面去截一个正方体，请根据截面的形状填空：（1）截面是；（2）截面是；（3）截面是；（4）截面是．【思路点拨】根据正方体的形状及截面的角度和方向判断即可．【答案与解析】解：（1）竖截正方体，截面平行于侧面，那么截面应该是个正方形；（2）横截正方体，截面平行于两底，那么截面应该是个正方形；（3）（4）沿对边截正方体，截面应该都是个长方形．故答案为：正方形；正方形；长方形；长方形．【总结升华】本题考查正方体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．举一反三：【变式】用一个平面去截一个正方体，则截面的形状不可能为（）A．四边形 B．七边形 C．六边形 D．三角形【答案】B类型五、从三个方向看物体的形状6．如图所示的是一个三棱柱，试着把从正面、左面、上面观察所得到的图形画出来．【思路点拨】注意观察的角度和方向．【答案与解析】解：从正面观察这个三棱柱，看到的图形是长方形；从左面观察它，看到的图形是长方形；从上面观察，看到的图形是三角形．因此，从三个方向看，得到的图形如图所示．【总结升华】若要画出从不同方向观察物体所得的图形，方向、角度一定要选准．因为从不同方向观察得到的图形往往不同．举一反三：【变式】画出下列几何体从正面、左面、上面观察所得到的图形．【答案】从正面看从左面看从上面看丰富的图形世界（基础）巩固练习【巩固练习】（资料联系QQ：1061139820）一、选择题1．由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么从上面看得到的图形是()．2．用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是 ()．A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．正方体3．（2016?达州）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是（）A．遇 B．见 C．未 D．来4．按如图所示的图形中的虚线折叠可以围成一个棱柱的是()．5．如图所示，下列图形绕着虚线旋转一周得到圆锥体的是()6．（2014?杭州模拟）如图所示的正方体，用一个平面截去它的一个角，则截面不可能是（A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形二、填空题7．五棱柱有________个顶点，________条棱，________个面．8．柱体包括________和________，锥体包括________和________．9．（2016?市南区一模）如图，5个边长相等的小正方形拼成一个平面图形，小丽手中还有一个同样的小正方形，她想将它与图中的平面图形拼接在一起，从而可以构成一个正方体的平面展开图，则小丽总共能有种拼接方法．10．如图所示是一个几何体从正面、左面、上面观察所得到的图形，则这个几何体是________．11．用一个平面去截一个三棱锥，截面可能是形或形．12.（2015?杭州模拟）如图，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体俯视图和左视图的面积之和是．三、解答题13．如图所示是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：(1)如果面A在多面体的上面，那么哪一面会在下面?(2)如果面F在多面体的后面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面?(3)从右面看是面A，从上面看是面E，那么哪一面会在前面?14．（2014秋?围场县校级期末）连线：将图中四个物体与（下面一排中）其相应的俯视图连接起来．15．如图所示是一个机器零件从正面看和从上面看所得到的图形，求该零件的体积(取3.14，单位：mm)(提示：V圆柱底面积×高)．【答案与解析】一、选择题1．【答案】 B2．【答案】 A3．【答案】 D【解析】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“遇”与“的”是相对面，“见”与“未”是相对面，“你”与“来”是相对面．故选D．4．【答案】 C【解析】A、D中两个底面不能放在同一侧，B中侧面个数与底面边数不等，故选C．5．【答案】 D【解析】选项A、B、C、D中的图形旋转一周分别形成圆台、球、圆柱和圆锥，故选D．6．【答案】 C【解析】截面经过正方体的3个面时，得到三角形，但任意两条线段不可能垂直，所以截面不可能是等腰直角三角形，故选C．二、填空题7．【答案】10， 15， 7【解析】五棱柱上底面有5个顶点，下底面有5个顶点，共10个顶点；上、下底面各有5条棱，竖直有5条棱，共15条棱；7个面，其中5个侧面，2个底面．8．【答案】圆柱，棱柱；圆锥，棱锥9．【答案】 4.【解析】解：如图所示：故小丽总共能有4种拼接方法．故答案为：4．10．【答案】三棱柱(或填正三棱柱)【解析】考查空间想象能力．11．【答案】三角，四边.【解析】动手操作或空间想象，便得答案．12．【答案】 5【解析】从左面看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，从上面看第一层三个小正方形，该几何体俯视图和左视图的面积之和是2+3=5．三、解答题13．【解析】解：(1)如果面A在多面体的上面，那么面C会在下面．(2)如果面，在多面体的后面，从左面看是面C，那么向外折时面C会在上面，向里折时面A会在上面．(3)从右面看是面A，从上面看是面E，那么向外折时从前面看是面B，向里折时从前面看是面D．14．【解析】解：如图所示：15．【解析】解：22032302540400482(mm3)，即该零件的体积为40048 mm3．提示：由该零件从正面看和从上面看所得到的图形可以确定该零件是由上、下两部分组成的，上面是一个高为32 mm，底面直径为20 mm的圆柱；下面是一个长为30 mm，宽为25 mm，高为40 mm的长方体，零件的体积是圆柱与长方体体积之和．。
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几何初步培优
知识点：展开图
【例1】如图，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P嵌有一幅路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是( )
A ．
B ． C． D ．
【
例2】如图，把下边的图形折起来，它会变成的正方体是( )
A. B. C. D.
【例3】图2为正方体图1的展开图。
图1中M、N分别是FG、GH的中点,CM、CN、MN是三条线段,试在图2中画出这些线段。
1
知识点：三视图
【例1】由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的俯视图如图,小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数,画出这个几何体的主视图。
【例4】用小立方体搭一个几何题，使得它的主视图和俯视图如图所示，它至少要
【例5】一些完全相同的小正方体搭成一个几何体,这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示,小正方体的块数可能有( )个
知【例2】如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为。
【例3】如图是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图。
(1)请你画出这个几何体的一种左视图；
(2)若组成这个几何体的小正方形的块数为n，请你写出n的所有可能值。
识点：截面形状
【例1】用一个平面去截一个圆柱,截面的形状不可能是( )
A. B. C. D.
【例2】一个正方体，用刀截去一个角后，所得的几何体有个顶点。
知识点：表面积
【例1】如图所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成，这个立体图形的表面积为。
【例2】如图，这个几何体是由16块棱长为1cm的正方体木块堆积而成的，如果在其表面涂上油漆，求所涂油漆部分的面积.
【例3】如图都是边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位,第(2)个几何体的表面积为18个平方单位,第(3)个几何体的表面积是36个平方单位。
依此规律，则第20个几何体的表面积是个平方单位第n个几何体的表面积是个平方单位。
【例4】现用棱长为2cm的小立方体按如图所示规律搭建几何体,图中自上面下分别叫第一层、第二层、第三层…,其中第一层摆放1个小立方体,第二层摆放3个小立方体,第三层摆放6个小立方体…,那么搭建第1
个小立方体,搭建第2个几何体需要4个小立方体,搭建第3个几何体需要10个小立方体…,按此规律继续
摆放。
(1)搭建第4个几何体需要小立方体的个数为；
(2)为了美观,需将几何体的所有露出部分(不包含底面)都喷涂油漆,且喷涂1cm2需用油漆0.3克。
①求喷涂第4个几何体需要油漆多少克?
②如果要求从第1个几何体开始,依此对第1个几何体,第2个几何体,第3和几何体,…,第n个几何体(其中n为正整数)进行喷涂油漆，那么当喷涂完第20个几何体时，共用掉油漆多少克?
【参考公式：①1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3；
②12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6，其中n为正整数】
知识点：欧拉公式
【例1】[探索发现]
（1）请在图2 中用实线画出立方体的一种表面展开图;
（2）请根据图2 你所画的图和图3 的四棱锥表面展开图填写下表:
（4）已知一个多面体表面展开图有17 条棱,且展开图的顶点数比原多面体的面数多2 ,则这个多面体的面数是多少?
知识点：还原求体积
【例1】如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体后。
(1)和数字1所在的面相对的面是哪个数字所在的面?
(2)若FG=3cm，LK=8cm，EI=18cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少?
【例8】如图是一个立体图形的主视图，左视图，俯视图(图中单位为厘米)，
方厘米．
知识点：旋转
【例1】如图，直线L将一个长7cm,宽4cm的长方形分成了一个正方形和小长方形，将这个长方形绕L转转120°得到一个几何体，求这个几何体的表面积和体积。
【例2】将一个直角三角形(直角边是3厘米和4厘米,斜边是5厘米)以斜边为轴,旋转一周,计算所得的立体图形的体积.
知识点：切割问题
课后作业
1、如图，①是一个正六面体，把它按图②中所示的方法切割，可以得到一个正六边形的截面，则下列展开图中正确画出所有的切割线的是（）
2、如图，把正方体纸盒沿棱剪开，平铺在桌面上，原来与点A重合的顶点是______.
3、将一些大小相同的小正方体组成简单几何体，如图分别是从正面、从上面观察的形状图.
（1）请你画出从左面看到的几何体的形状图；
（2）若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值.
4、将27个棱长为1(单位：cm)的正方体,摆成3×3×3的大正方体(如图①)，从上面、正面、左面看到的大正方体的正投影图都是如图②，是3×3的正方形。
(1)如果将图①中，左前方的9个正方体和右后方的9个正方体取走，就变成图③。
这时从正面、左面、上面看的正投影图依次是图④中的______；
(2)在图③中，至少要补防______个正方体后，组成的立体图形，从上面看的正投影图是图②。
5、一个多面体的面数和这个多面体表面展开后得到的平面图形的顶点数,棱数之间存在一定规律,如图1 是正三棱柱的表面展开图,它原有5 个面,展开后有10 个顶点(重合的顶点只算一个),14 条棱.
3．如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为．
4．如图所示，是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由________块长方体的积木搭成．。