[推荐学习]2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第3课时直线的一般式学业分层测评苏教版
2018年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.3 两条直线的平行与垂直课件12 苏教版必修2
43 4 2
1 6
C
3
●
所以 kAB kCD ，从而 AB CD，
o -4
2
5x
又因为
kBC
3 ( 7) 2
25
13 6
,
kDA
3 4 2 (4)
7 6
-3
●
A
●B
所以 kBC kDA ，从而 BC与 DA 不平行，
因此四边形 ABCD 是梯形.
跟踪练习
根据下列各点的坐标，分别判断各组中直线 AB与 CD 是否平行：
l1 l2 k1 k2 (k1, k2均存在)
（2）当两条直线的斜率都不存在时，那么 它们都与x轴垂直，故两条直线互相平行.
例1
求证：顺次连结 A(2, 3), B(5, 7),C(2,3), D(4, 4)
2
四点所得到的四边形是梯形.
y
证明：因为
D●
k AB
7 (3) 2 52
1 6
, kCD
(1) A(1, 2), B(2,1),C(3, 4), D(1, 1).
kAB 1
kCD
5 4
(2) A(2,3), B(2, 1), C(1, 4), D(1,1);
kAB , kCD 均不存在
(3) A(3, 1), B(1,1),C(3,5), D(5,1); 检验两条直线
1 kAB 2
4x y 11 0
求过点 A(2, 3)且与直线l : x 5 0平行的直线 l1方程.
x20
求过点 A(2, 3)且与直线l : y 6 0 平行的直线 l1方程.
y30
思考：所求的直线方程与已知直线方程形式上 有什么关系？
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2_1_3第2课时两条直线的垂直学案苏教版必修2
- 让每一个人同等地提高自我第 2 课时两条直线的垂直学习目标 1. 理解并掌握两条直线垂直的条件.2. 能依据已知条件判断两条直线垂直.3. 会利用两直线垂直求参数及直线方程.知识点两条直线垂直的判断思虑 1两条垂直直线的倾斜角之间有什么关系？思虑 2假如两条直线垂直，那么斜率必定互为负倒数吗？梳理图示l 1的斜率不存在，l2的斜率为0?对应关系l 1⊥ l 2(两直线斜率都存在) ? __________种类一两条直线垂直关系的判断例 1判断以下各组中的直线l 1与 l 2能否垂直：(1)l 1经过点 A(－1，－2)， B(1,2)， l 2经过点 M(－2，－1)， N(2,1)；(2)l 1的斜率为－10， l 2经过点 A(10,2)， B(20,3)；(3)l 1经过点 A(3,4)， B(3,100)，l 2经过点 M(－10,40)， N(10,40).- 让每一个人同等地提高自我反省与感悟判断两直线垂直的步骤方法一方法二若两条直线的方程均为一般式： l 1：A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝ 0，l 2：A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0. 则 l 1⊥ l 2? A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0.追踪训练 1 以下各组中直线l 1与 l 2 垂直是 ________.( 填序号 )① l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2： 3x ＋ 2y ＋ 4＝ 0；②l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2： 3y － 2x ＋ 4＝ 0；③l 1： 2x － 3y ＋ 4＝ 0 和 l 2：－ 4x ＋ 6y － 8＝ 0；④ l 1： ( － a －1) x ＋ y ＝5 和 l 2： 2x ＋(2 a ＋ 2) y ＋ 4＝ 0.种类二由两直线垂直求参数或直线方程命题角度 1 由两直线垂直求参数的值例 2 三条直线 3 x ＋2 ＋6＝0,2x － 32＋ 18＝ 0 和 2 －3 ＋ 12＝0 围成直角三角形，务实y my mx y数 m 的值 .反省与感悟此类问题常依照两直线垂直的条件列对于参数的方程或方程组求解 .追踪训练 2已知直线 l 1 经过点 A (3 ，a ) ， B ( a － 2，－ 3) ，直线 l 2 经过点 C (2,3) ，D ( － 1，a－ 2) ，假如 l 1⊥ l 2，则 a 的值为 ________.命题角度 2由垂直关系求直线方程例 3 求与直线 4 x － 3 ＋ 5＝ 0 垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为 10 的直线方程 .y AOB- 让每一个人同等地提高自我反省与感悟(1) 若直线 l 的斜率存在且不为 0，与已知直线 y ＝ kx ＋ b 垂直，则可设直线 l1的方程为 y ＝－ k x ＋ m ( k ≠0) ，而后利用待定系数法求参数 m 的值，进而求出直线 l 的方程 .(2) 若直线 l 与已知直线＋ ＋ ＝ 0 垂直，则可设 l 的方程为－ ＋ ＝ 0，而后利用Ax By CBx Ay m待定系数法求参数 m 的值，进而求出直线 l 的方程 .追踪训练 3 已知点 A (2,2) 和直线 l ：3x ＋ 4y －20＝ 0，求过点 A 且与直线 l 垂直的直线 l 1 的方程 .种类三垂直与平行的综合应用例 4 已知四边形 ABCD 的极点 B (6 ，－ 1) ，C (5,2)，D (1,2). 若四边形 ABCD 为直角梯形，求A 点坐标 .反省与感悟相关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是依据已知条件列方程 ( 组 ) 求解 .假如波及到相关四边形已知三个极点求此外一个极点，注意判断图形能否唯一，以防漏解.追踪训练 4 已知矩形 ABCD 的三个极点的坐标分别为 A (0,1) ， B (1,0) ， C (3,2) ，求第四个极点 D 的坐标 .1. 以下直线中，与直线： ＝ 3 ＋ 1 垂直的是 __________.( 填序号 )- 让每一个人同等地提高自我①y ＝－ 3x ＋ 1；② y ＝3x － 1；11③y ＝ 3x － 1;④ y ＝－ 3x － 1.2. 已知3. 直线4. 直线A (1,2) ，B ( m,1) ，直线 AB 与直线 y ＝0 垂直，则 m 的值为 ________.l ，l 2 －3x － 1＝0 的两个根， 则 l 与 l 的地点关系是 ________.2 的斜率分别是方程 x1 21 x ＋ ＝0 和直线 x － ay ＝0 相互垂直，则 ＝ ________.ya5. 过点 (3 ，－ 1) 与直线 3x ＋ 4y － 12＝ 0 垂直的直线方程为 __________.1. 两条直线垂直与斜率的关系图形表示l 1 ，l 2 的斜率都存在，分别为 l 1 与 l 2 中的一条斜率不存在，另一条对应 k 1， k 2，l 1 与 l 2 的地点关系是关系则 l 1⊥ l 2? k 1· k 2＝－ 1斜率为零，则 l 1⊥ l 22. l 1： A 1x ＋ B 1y ＋C 1＝ 0， l 2： A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0，l 1⊥ l 2? A 1A 2＋ B 1B 2＝0.3. 与 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 垂直的直线可设为 Bx － Ay ＋ C 1＝ 0.- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点思虑 1两条直线的倾斜角相差 90°.思虑 2假如两条直线垂直，当斜率都存在时互为负倒数，当一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0.梳理k 1· k 2＝－ 1 l 1⊥ l 2题型研究例 1 (1) l 1 与 l 2 不垂直．(2) l 1⊥ l 2.(3) l 1⊥ l 2.追踪训练 1 ①④例 2 解 ①当直线 3 ＋ 2 y ＋ 6＝0 与直线 2 － 3 2 ＋18＝ 0 垂直时，有 6－6 2＝ 0，∴ ＝ 1x x my m m或 m ＝－ 1.当 m ＝ 1 时，直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 也与直线 3x ＋ 2y ＋ 6＝0 垂直，因此不可以组成三角形，故m ＝ 1 应舍去．∴m ＝－ 1.②当直线 3x ＋ 2y ＋ 6＝ 0 与直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 垂直时，有 6m － 6＝ 0，得 m ＝ 1( 舍 ) ．③当直线 2与直线 2mx － 3y ＋ 12＝ 0 垂直时，有 22x － 3my ＋ 18＝ 0 4m ＋ 9m ＝ 0，4∴m ＝ 0 或 m ＝－ 9. 经查验，这两种情况均知足题意．4综上所述，所求的结果为m ＝－ 1 或 0 或－ 9.追踪训练 2 5或－6例 3解 设所求直线方程为 3x ＋ 4y ＋ b ＝ 0.bb 令 x ＝ 0，得 y ＝－ 4，即 A 0，－ 4 ；bb令 y ＝ 0，得 x ＝－ 3，即 B － 3， 0 .又∵三角形周长为10，即 OA ＋ OB ＋ AB ＝ 10，bb∴ －4＋－3＋b 2 b 2－4＋－3＝10，解得 b＝±10，故所求直线方程为3x＋ 4y＋ 10＝ 0 或 3x＋ 4y－ 10＝ 0.追踪训练 3 解由于 k l· k1＝－1，41＝3，因此 k4故直线 l 1的方程为 y－2＝3( x－2)，即 4x－ 3y－ 2＝ 0.例 4 解①若∠ A＝∠ D＝90°，如图(1)，由已知 AB∥ DC，AD⊥ AB，而 k ＝0，故 A(1，－CD1)．②若∠ A＝∠ B＝90°，如图(2)．b － 2设 A ( a ， b ) ，则 k BC ＝－ 3， k AD ＝ a － 1，b ＋ 1k AB ＝ a － 6.b － 2 由 AD ∥ BC ? k AD ＝k BC ，即＝－ 3；①a － 1由 AB ⊥ BC ? k AB ·k BC ＝－ 1，b ＋ 1即a － 6·( － 3) ＝－ 1. ②12a ＝ 5 ，1211解①②得＝－ 11 ， 故 A ( 5，－ 5)．b 51211综上所述： A 点坐标为 (1 ，－ 1) 或 5 ，－ 5 .追踪训练 4解 设第四个极点 D 的坐标为 ( x ， y ) ，由于 AD ⊥ CD ， AD ∥ BC ，因此 k AD · k CD＝－1，且 k AD ＝ k BC .y － 1 y －2× ＝－ 1，x ＝ 2， x － 0 x －3因此2－ 0解得y － 1 y ＝ 3.x － 0＝ 3－ 1，因此第四个极点 D 的坐标为 (2,3) ．当堂训练1．④3. 垂直5． 4x － 3y － 15＝ 0。
【小初高学习】2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第3课时直线的一般式学案苏教版必修2
2.1.2 第3课时直线的一般式1．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点)2．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程几种形式之间的关系．(易错、易混点)3．能灵活应用直线方程的几种形式求直线方程．(重点)[基础·初探]教材整理1 二元一次方程与直线的关系阅读教材P85练习以下的部分，完成下列问题．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示．(2)在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线．1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为________．【解析】方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不同时为0，即A2＋B2≠0.【答案】A2＋B2≠02．过点(1,2)，斜率为0的直线对应的二元一次方程为________．【解析】过点(1,2)，斜率为0的直线方程为y＝2，其对应的二元一次方程为y－2＝0.【答案】y－2＝0教材整理2 直线的一般式方程阅读教材P85～P86，完成下列问题．1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示直线．方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫做直线方程的一般式．2．对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x 轴上的截距为－C A ；当AB ≠0时，在两轴上的截距分别为－C A ，－C B.3．直线一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x ，y 的二元一次方程．(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列． (3)x 的系数一般不为分数和负数．(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，任何一个关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0都表示一条直线．(×)(2)直线的点斜式方程、两点式方程都可以化成一般式方程，反之，直线的一般式方程也都可以化成点斜式方程、两点式方程．(×)(3)直线方程的一般式同二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)之间是一一对应关系．(√)(4)方程①x ＋2y －3＝0；②x －3＝0；③y ＋1＝0均表示直线．(√) 2．方程x 3－y2＝1，化成一般式为________．【解析】 由x 3－y2＝1，得2x －3y －6＝0.【答案】 2x －3y －6＝03．经过点(－2,3)，且斜率为2的直线方程的一般式为______________． 【解析】由点斜式方程得y －3＝2(x ＋2)，整理得y ＝2x ＋7，即2x －y ＋7＝0. 【答案】 2x －y ＋7＝0[小组合作型]求直线的一般式方程根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (2,3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－1； (3)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是3，－1.【精彩点拨】 选择恰当方程形式，代入条件，再化成一般式． 【自主解答】 (1)由点斜式方程可知， 所求直线方程为y －3＝3(x －2)， 化为一般式为3x －y ＋3－23＝0. (2)由斜截式方程可知， 所求直线方程为y ＝4x －1， 化为一般式为4x －y －1＝0.(3)由两点式方程可知，所求直线方程为y －5－1－5＝x －－2－－.化为一般式方程为2x ＋y －3＝0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x 3＋y－1＝1.化成一般式方程为x －3y －3＝0.求直线的一般式方程，设一般式用待定系数法求解并不简单，通常是根据题干条件选用点斜式，斜截式，两点式或截距式先求出方程，再化为一般式．[再练一题]1．求满足下列条件的直线方程，并化成一般式． (1)斜率为3，经过点(5，－4)； (2)斜率为－2，经过点(0,2)； (3)经过两点(2,1)和(3，－4)； (4)经过两点(2,0)和(0，－3)．【解】 (1)∵直线的斜率为3，过点(5，－4)， 由直线的点斜式方程，得y ＋4＝3(x －5)， ∴所求直线方程为3x －y －19＝0.(2)∵直线的斜率为－2，在y 轴上的截距为2， 由直线的斜截式方程，得y ＝－2x ＋2， ∴所求直线方程为2x ＋y －2＝0.(3)∵直线过两点(2,1)和(3，－4)，由直线的两点式方程，得y －1－4－1＝x －23－2，∴所求直线方程为5x ＋y －11＝0.(4)∵直线在x 轴，y 轴上的截距分别为2和－3， 由直线的截距式方程，得x 2＋y－3＝1，∴所求直线方程为3x －2y －6＝0.直线方程的实际应用一根铁棒在20℃时，长10.402 5米，在40℃时，长10.405 0米，已知长度l和温度t 的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程求这根铁棒在25℃时的长度．【精彩点拨】 把(20,10.402 5)和(40,10.405 0)视为直线l 上的两个点，利用两点式求l 的方程，并估计t ＝25℃时的值．【自主解答】 这条直线经过两点(20,10.402 5)和(40,10.405 0)，根据直线的两点式方程，得l －10.402 510.405 0－10.402 5＝t －2040－20，即l ＝0.002 5×t20＋10.400 0，当t ＝25℃时，l ＝0.002 5×2520＋10.400 0＝0.003 125＋10.400 0＝10.403 125. 即当t ＝25℃时，铁棒长为10.403 125米．在解决实际问题时，选择直线方程的形式不同，导致运算的繁简程度也不一样．待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法．一般地，已知一点，设k 为待定系数，但要注意分k 存在与不存在两种情况进行讨论．若已知斜率k ，则设在y 轴上的截距b 为待定系数．有关直线与坐标轴围成的三角形问题，则设横截距和纵截距为待定系数，总之，应因题而异，寻找解题的最佳方法．[再练一题]2．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图2－1－6，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．图2－1－6【解析】 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.【答案】 10[探究共研型]直线方程一般式的综合应用探究1 直线5ax －5y －a ＋3＝0是否一定过第一象限？为什么？ 【提示】 5ax －5y －a ＋3＝0变形为a (5x －1)＋3－5y ＝0.当5x －1＝0时，3－5y ＝0即直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35， 所以不论a 为何值，直线一定过第一象限．探究2 要使直线5ax －5y －a ＋3＝0不经过第二象限，那么a 的取值范围是什么？ 【提示】 易知直线5ax －5y －a ＋3＝0过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3. 而直线l 的方程整理得y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15.∵l 不经过第二象限，∴k ＝a ≥3.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)是否存在实数a ，使直线l 不经过第二象限？若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【精彩点拨】 (1)分直线“过原点”和“不过原点”两类分别求解． (2)分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解．【自主解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，即截距相等， ∴a ＝2时满足条件，此时l 的方程为3x ＋y ＝0；当a ＝－1时，直线平行于x 轴，在x 轴无截距，不合题意； 当a ≠－1，且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，即a ＝0. 此时直线在x 轴，y 轴上的截距都为－2，l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0时，l 在两坐标轴上的截距相等． (2)假设存在实数a ，使直线l 不经过第二象限．将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋，a －2≤0，解得a ≤－1.1．本题(1)在求解过程中，常因忽略直线l 过原点的情况而产生漏解；本题(2)在求解过程中，常因漏掉“－(a ＋1)＝0”的情形而漏解．2．解答此类综合问题，常采用分类讨论(或数形结合)的思想求解．解题时应结合具体问题选好切入点，以防增(漏)解．[再练一题]3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围.【解】 (1)证明：直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0. 故k 的取值范围为{k |k ≥0}．1．过点(0，－1)，倾斜角为60°的直线的一般式方程为________． 【解析】 k ＝tan 60°＝3，由斜截式方程得y ＝3x －1，化为一般式：3x －y －1＝0. 【答案】3x －y －1＝02．已知直线的一般式方程为2x ＋y －4＝0，且点(0，a )在直线上，则a ＝__________. 【解析】 把点(0，a )的坐标代入方程2x ＋y －4＝0，得a －4＝0，所以a ＝4. 【答案】 43．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过第________象限. 【解析】 由ax ＋by ＝c ，得y ＝－a b x ＋c b，∵ab <0，∴直线的斜率k ＝－a b >0，直线在y 轴上的截距c b<0. 由此可知直线通过第一、三、四象限． 【答案】 一、三、四4．斜率为－3，在y 轴上的截距为2的直线的一般式方程是________． 【解析】 由斜截式方程得y ＝－3x ＋2， 化为一般式：3x ＋y －2＝0. 【答案】 3x ＋y －2＝05．已知一个等腰三角形，两腰长是5，底边长是8，建立适当坐标系，求两腰所在的直线的方程．【解】 如图，以底边BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，易知点B ，C 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)．在Rt △AOC 中，AC ＝5，OC ＝4，则OA ＝3.所以点A 的坐标为(0,3)．由直线的截距式方程得腰AB 所在的直线方程为：x －4＋y 3＝1，即3x －4y ＋12＝0；腰AC 所在的直线方程为x4＋y3＝1，即3x ＋4y －12＝0.。
2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2第3课时一般式学案苏教版必修2
第3课时一般式【学习目标】1.掌握直线的一般式方程 2 理解关于x , y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0（ A ,B 不同时为0）都表示直线 3会进行直线方程的五种形式之间的转化 .ET 问题导学 ---------------------------- 知识点一直线的一般式方程思考i 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用 同时为0）来表示吗？思考2 关于x , y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0（ A, B 不同时为0） 一定表示直线吗?思考3当BN 时，方程Ax + By + C = 0（ A , B 不同时为0）表示怎样的直线？ B = 0呢?梳理直线的一般式方程形式条件Ax + By + C = 0( A , B 不知识点二梳理直线的类型一直线的一般式方程命题角度i求直线的一般式方程例i根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程:(1) 斜率是.3,且经过点A(5,3)；(2) 斜率为4，在y轴上的截距为一2;⑶经过点A—1,5) , B(2 , - 1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别为一3,—1.B C B C反思与感悟(1)当A MO时，方程可化为x+A+入=o,只需求入，入的值；若BMO,则方程AC AC化为B+y+ B= o，只需确定B，B的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程•(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式•跟踪训练1根据条件写出下列直线的一般式方程：1(1)斜率是—2,且经过点A(8，—6)的直线方程为______________________________ .⑵经过点B(4,2)，且平行于x轴的直线方程为 ______________________________ .3⑶在x轴和y轴上的截距分别是空和一3的直线方程为 ___________________________ .⑷经过点R(3 , - 2) , P2(5 , - 4)的直线方程为____________________________ .命题角度2由含参数的一般式求参数2 2例 2 设直线I 的方程为(m—2n—3) x- (2 m+ m- 1)y + 6 —2m= 0.(1) 若直线I在x轴上的截距为—3,则m= ___________ ;⑵若直线I的斜率为1，则n= ___________ .反思与感悟⑴方程Ax+ By+ C= 0表示直线，需满足A, B不同时为0.(2) 令x = 0可得在y轴上的截距.令y = 0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式•(3) 解分式方程注意验根•跟踪训练2 已知直线I仁x + my+ 6= 0, 12：( m- 2)x+ 3y + 2m= 0,当直线11与直线12的斜率相等，且I i与12不重合时，求m的值•类型二直线方程的综合应用例 3 已知直线I : 5ax- 5y-a+ 3= 0.(1) 求证：不论a为何值，直线I总经过第一象限;(2) 为使直线不经过第二象限，求a的取值范围.反思与感悟一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式.另外从所求结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形的面积或周长，常选用截距式，但最后都可化为一般式跟踪训练3 设直线I的方程为(a+ 1)x+ y + 2 - a= 0 ( a+ 1工0).(1)若I在两坐标轴上的截距相等，求I的方程；(2)若I不经过第二象限，求实数a的取值范围1. 已知直线的一般式方程为2x+ y—4 = 0,且点(0 , a)在直线上，则a= _____________ .2. 已知直线I的倾斜角为60°,在y轴上的截距为一4,则直线I的斜截式方程为_________________一般式方程为 _________ .3. 直线3x—4y+ m= 0在两坐标轴上截距之和为2，则实数m= ________ .4. 直线I仁(2mk 5m^ 2)x—(m i—4)y+ 5= 0的斜率与直线I2：x—y+ 3 = 0的斜率相同，则m= ________ .5. 若方程(吊一3m+ 2) x+ (m- 2)y —2m+ 5= 0 表示直线.(1) 求实数m的取值范围；(2) 若该直线的斜率k = 1,求实数m的值.p—规律与方法 - ------------------------------ 11. 在求解直线的方程时，要由问题的条件、结论，灵活地选用公式，使问题的解答变得简捷.2. 直线方程的各种形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同的表现形式，要掌握好各种形式的适用范围和它们之间的互化，如把一般式Ax+ By+ C= 0化为截距式有两种方法：一是令x= 0, y = 0,求得直线在y轴上的截距b和在x轴上的截距a; 二是移常项，得Ax+ By=—C两边除以—C(C M 0)，再整理即可.合案精析问题导学知识点一思考1能.思考2 一定.A C思考3当B M0时，由Ax+ By+ C= 0,得y =—段一目，所以该方程表示斜率为一轴上截距为-C fe直线；C当B= 0 时，A M0,由Ax+ By+ C= 0,得x =一A所以该方程表示一条垂直于x轴的直线.梳理Ax+ By+ C= 0 不同时为0知识点二梳理y—y o= k(x—x o) y = kx + b x i丰x2, y i M y与坐标轴平行及过原点的直线By+ C= 0题型探究例 1 解(1) 3x—y— 5 .3+ 3= 0(2)4 x—y —2 = 0 (3)2 x+ y —3 = 0(4) x + 3y + 3 = 0跟踪训练1 (1) x+ 2y+ 4= 0(2) y —2= 0 (3)2 x—y —3 = 0(4) x + y—1 = 05例 2 (1) — 3 (2) — 2跟踪训练2解由题设l 2的方程可化为y = —m——2x —|m,则其斜率k2=—m子,在y轴上的截距b2 = —2m•「I 1与12斜率相等，但不重合，.•.|1的斜率一定存在，即m M 0.Ax+1 6J 的方程为y 一 m<- m厂 m- 2 1—丁=-m 2 6 l 3m解得m=- 1. ••• m 的值为一1. 例3(1)证明 将直线I 的方程整理为3 5-0 ⑵解直线0A 勺斜率为k == 3. 11-•/ I 不经过第二象限，• a >3. 故a 的取值范围为[3 ,+^).跟踪训练3解⑴由题意知a + 1工0,即a z — 1.当直线过原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为零，此时当a z2时，将方程化为截距式： a + 1a - 2•••截距存在且均不为 0,.・. 彳=a - 2,a + 1 即 a + 1 = 1,• a = 0，即方程为 x + y + 2 = 0. (2)将I 的方程化为y = — (a + 1)x + a -2, •••直线不过第二象限，y -3 = ax -象限，故不论 (1 3 而点A 5, 5I ，且过定点a 为何值，直线I 总经过第一象限.a = 2，即方程为 3x + y = 0；xa -2y a -2=1.—a+1 沁•• v - - aw — 1.a-2< 0,即a的取值范围是(一g, —1].当堂训练1. 42.y= 3x —43. —244.3m—2工0,5.解⑴由题意知* 2m—3m^ 2工0, 解得m^ 2.—吊―3nu?,m—2__1,得m= 0. 3x—y—4 = 0。
2018年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.3 两条直线的平行与垂直课件8 苏教版必修2
【数学理论】
求与已知直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０平行 的直线方程时,可以设所求的直线方程 为
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ’＝０ (C≠C’)
（待定系数法）
【课堂练习2】
分别求满足下列条件的直线方程
1.过点A(3，2)且与直线 4x y 2 0 平 行的直线
2.过点C（2，-3）且平行于过两点 M(1,2),N(-1,-6)的直线
因此，四边形ＡＢＣＤ是梯形．
【课堂练习2】
已知A(-1,3)，B(3,-2),C(6,-1),D(2,4) 求证：四边形ABCD为平行四边形
【数学应用】例2
求过点A(2，-3),且与直线2x y 5 0
平行的直线方程
【分析】例2
y
2x y 5 0
O
x
P(2,-3)
【思考】
观察下列直线有什么特点 1.2x+y-5=0 2.2x+y+2=0 3.4x+2y+6=0
【导学探疑】
Hale Waihona Puke 画出下列直线：1.x y 1 0, x y 2 0
2.x 2, x 4
3, y 1, y 2
观察两条 直线有什 么特点？
【数学理论】
1 若两直线 l1,l2 不重合，且斜率 k1, k2 都存在 ，
则 l1 || l2 k1 k2
2 若两直线l1,l2 不重合，且斜率都不存在，则l1,l2 平行.
【课堂练习1】
分析判断下列直线AB与CD是否平行.
（1）A(3,1), B(1,1),C(3,5), D(5,1) 是
（2）AB : x 2y 1 0,CD : 2x 4y 3 0 是
【数学应用】例1
求证：顺次连结
高中数学第2章平面解析几何初步2.1-2.1.2直线的方程课件苏教版必修2
因此，直线 l 的斜率为12，在 x 轴上的截距为－6，在 y 轴上的截距为 3.
直线 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A(－6，0)，B(0， 3)，如图所示，过点 A，B 作直线，就得直线 l.
f（－3）≥0， 故需满足
f（3）≥0， －3k＋2k＋1≥0， 所以 3k＋2k＋1≥0， 解得－15≤k≤1. 所以实数 k 的取值范围是－15≤k≤1.
同学们在学习中要注意以下三点：①点斜式方程 y－ y0＝k(x－x0)是由 k＝xy－－yx00变形而得到的，但二者是有区 别的，其区别是前者包括点(x0，y0)，而后者不包括点(x0， y0)，即前者的轨迹上比后者的轨迹上多了一个点；
பைடு நூலகம்
题型 1 直线的点斜式、斜截式方程 [典例 1] (1)直线 y＝x＋1 绕着其上一点 P(3，4)逆 时针旋转 90°后得直线 l，求直线 l 的点斜式方程； (2)已知两点 A(－1，2)，B(m，3)，求直线 AB 的点 斜式方程． 分析：(1)由一点和斜率可直接代入点斜式方程求解；
第2章 平面解析几何初步
1．如果直线 l 经过点 P0(x0，y0)，且斜率为 k.设点 P(x，y)是直线 l 上的任意一点，则 y－y0＝k(x－x0)(*)， 我们称(*)式叫作直线的点斜式方程，简称点斜式．
一、直线的点斜式方程 若直线 l 经过点 P0(x0，y0)，且斜率为 k，则直线的点 斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)．
又点 A15，35在第一象限(如图所示)． 故不论 a 为何值，l 恒过第一象限． (2)解：要使 l 不经过第二象限，需它在 y 轴上的截距 不大于零，
a－3 令 x＝0，则 y＝－ 5 ≤0，所以 a≥3.
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2.1.2 第3课时 直线的一般式
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．在直角坐标系中，直线3x ＋3y －3＝0的斜率是________．
【解析】 直线3x ＋3y －3＝0化为斜截式得y ＝－
33x ＋1，故直线的斜率为－33
. 【答案】 －33 2．已知直线ax ＋by －1＝0在y 轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则a ＝________，b ＝________.
【导学号：41292078】
【解析】 由ax ＋by －1＝0在y 轴上截距为－1， ∴1b
＝－1，b ＝－1.又3x －y －3＝0的倾斜角为60°. ∴直线ax ＋by －1＝0的斜率－a b ＝tan 120°，
∴a ＝－ 3.
【答案】 － 3 －1
3．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若l 经过原点和第二、四象限，则A ，B ，C 应满足________．
【解析】 l 过原点，则C ＝0，又过二、四象限， 则－A B <0，即A B
>0即AB >0.
【答案】 AB >0且C ＝0
4．若方程(a 2－a －2)x ＋(a 2＋a －6)y ＋a ＋1＝0表示垂直于y 轴的直线，则a 为________．
【解析】 因为方程表示垂直于y 轴的直线，所以a 2－a －2＝0且a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.
【答案】 －1
5．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________．
【解析】 该方程类似于直线的一般方程，若它表示一条直线，则x ，y 的系数不同时
为0.解2m 2＋m －3＝0，得m ＝－32
或m ＝1；解m 2－m ＝0，得m ＝1或m ＝0.综上可知实数需满足m ≠1.
【答案】 m ≠1
6．直线mx ＋my ＋x －y －3m －1＝0恒过定点，则此定点是________．
【解析】 mx ＋my ＋x －y －3m －1＝0，
(x ＋y －3)m ＋(x －y －1)＝0，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，
x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，
y ＝1.
【答案】 (2,1)
7．已知直线x －2y ＋2k ＝0与两坐标轴围成的三角形面积不大于1，则实数k 的取值范围是________．
【解析】 令x ＝0，则y ＝k ；令y ＝0，则x ＝－2k ，所以直线与两坐标轴所围成的三
角形的面积是S ＝12
|－2k |·|k |≤1，即k 2≤1，所以－1≤k ≤1. 【答案】 [－1,1]
8．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________．
【解析】 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；
当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或－a
a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或a <－1或a >0.综上可知，实数a 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)． 【答案】 ⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞) 二、解答题
9．求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程.
【导学号：41292079】
【解】 (1)当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，
将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25
， 此时直线方程为y ＝－25
x ，即2x ＋5y ＝0. (2)当横截距、纵截距都不是零时，
设所求直线方程为x 2a ＋y a
＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12
，此时直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.
10．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m
的值．
(1)在x 轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P (－1，－1)．
【解】 (1)∵直线过点P ′(1,0)，
∴m 2
－2m －3＝2m －6，
解得m ＝3或m ＝1.
又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意，
∴m ＝1. (2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2－2m －32m 2＋m －1
＝1，2m 2＋m －1≠0，
解得m ＝43
. (3)直线过定点P (－1，－1)， 则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6，
解得m ＝53
或m ＝－2. [能力提升]
1．对于直线l ：ax ＋ay －1a
＝0(a ≠0)，下列说法正确的是________(填序号)． (1)无论a 如何变化，直线l 的倾斜角大小不变；
(2)无论a 如何变化，直线l 一定不经过第三象限；
(3)无论a 如何变化，直线l 必经过第一、二、三象限；
(4)当a 取不同数值时，可得到一组平行直线．
【解析】 对于(3)，当a >0时，直线l ：ax ＋ay －1a
＝0(a ≠0)的斜率小于0，则直线l 必经过第四象限，故(3)是错误的．
【答案】 (1)(2)(4)
2．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都通过点P (2,3)，则经过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线的方程为________．
【解析】 依题意得2a 1＋3b 1＋1＝0，这说明Q 1(a 1，b 1)在直线2x ＋3y ＋1＝0上． 同理，Q 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋3y ＋1＝0上．
因为两点确定一条直线，所以经过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.
【答案】 2x ＋3y ＋1＝0
3．斜率为34
，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为________. 【解析】 设直线方程为y ＝34
x ＋b ， 令y ＝0，得x ＝－43
b ， ∴12⎪⎪⎪⎪
⎪⎪b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4b 3＝6， ∴b ＝±3，所以所求直线方程为3x －4y －12＝0或3x －4y ＋12＝0.
【答案】 3x －4y －12＝0或3x －4y ＋12＝0
4．已知直线l 的方程为y ＝ax ＋2a ＋1.
(1)求直线l 恒过的一个定点；
(2)如果当x ∈(－1,1)时，y >0恒成立，求a 的取值范围．
【解】 (1)原方程可化为y －1＝a (x ＋2)，所以直线l 恒过定点(－2,1)．
(2)令y ＝f (x )＝ax ＋2a ＋1，
∵f (x )>0对x ∈(－1,1)恒成立，且方程y ＝ax ＋2a ＋1表示直线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f －1≥0，f 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋2a ＋1≥0，a ＋2a ＋1≥0，解得a ≥－13
. 故满足题意的a 的取值范围为a ≥－13
.。