2020年复化梯形公式和复化Simpson公式.pptx
第四章数值积分5-8
h
pk
L
p2
即 用 F1 ( h ) 近 似 代 替 F , 则 它 们 的 误 差 的 阶 为 h
.而 p 2 p 1 , 故
当 h 适 当 小 时 , F 与 F1 ( h )的 误 差 的 绝 对 值 比 F 与 F 0 ( h )的 误 差 的 绝 对 值 小. 类 似 地 , 从 F1 ( h ) 可 以 构 造 一 个 新 函 数 F 2 ( h ), 使 F 与 F 2 ( h )的 误 差 的 绝 对 值 比 F 与 F1 ( h )的 误 差 的 绝 对 值 小 . L L L L L L 于 是 就 构 造 出 一 系 列 的 函 数 F 0 ( h ), F1 ( h ), F 2 ( h ), L , 当 h 适 当 小 时 , F 与 这 些 函 数 的 误 差 的 阶 的 绝 对 值 一 个 比 一 个 小.
的 常 数 .则 复 化 梯 形 求 积 公 式 与 积 分 准 确 值 的误差的阶为h .
2
14 / 33
积 分 区 间 [ a , b ]n等 分 :
n 1 h Tn f ( a ) f (b ) 2 f ( a k h ) T0 ( h ) 2 k 1
ba 12
h f ( )
2
及 f ( x )的 T a y lo r 展 开 式 可 得 另 一 误 差 估 计 式 :
b a
f ( x ) d x Tn a 2 h a 4 h a 6 h L
2 4 6
其中h
ba n
, a 2 , a 4 , a 6 , L 都 是 与 步 长 h无 关
6 / 33
设 有 一 个 量 F (该 量 可 以 是 函 数 , 微 分 , 积 分 等 ), 现 用 一 个 以 步 长 h 为 变 量 的 函 数 F 0 ( h ) 近 似 代 替 它 , 并 设 F 与 h 无 关 , 且 给 定 F 与 F0 ( h ) 的误差估计为 : F F0 ( h ) a1 h
龙贝格积分算法实验[1]
![龙贝格积分算法实验[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/1c3c3ec18bd63186bcebbcf8.png)
且 （ 为等份次数）
2．按梯形公式的递推关系，计算
3．按龙贝格公式计算加速值
4．精度控制。对给定的精度 ，若
则终止计算，并取 作为所求结果；否则 ，重复2~4步，直到满足精度为止。
问题
（1）程序运行如下：
I = Romberginterg(inline('x.^2.*exp(x)'),0,1,25,1e-6)
function I = GaussInterg(fun, type, a, b, tol)
% GaussInterg用Gauss型求积公式求积分,具体形式由使用者选取
%
% Synopsis: I = GaussInterg(fun, type, a, b)
% I = GaussInterg(fun, type, a, b, tol)
if nargin < 4
npanel = 25;
end
if nargin < 5
tol = 5e-9;
end
if nargin < 6
flag = 0;
end
T(1,1) = TrapezoidInteg(fun, a, b, npanel); %T0(h) = T(h)
err = 1; %初始化误差值
if nargin < 4
npanel = 25;
end
nnode = npanel + 1; %节点数=段数+ 1
h = (b-a)/(nnode-1); %步长
x = a:h:b; %将积分区间分段
f = feval(fun,x);%求节点处被积函数的值
I = h * ( 0.5*f(1) + sum(f(2:nnode-1)) + 0.5*f(nnode) );
复合梯形公式的代数精度
复合梯形公式是一种数值积分方法，它可以用来计算函数在一段区间上的定积分。
复合梯形公式是利用梯形公式的累加来求解定积分的，它的代数精度是由梯形公式的累加次数决定的。
复合梯形公式的代数精度是由梯形公式的累加次数决定的，梯形公式的累加次数越多，复合梯形公式的代数精度就越高。
梯形公式的累加次数可以通过多种方法来控制，比如可以采用不同的等分划分方法，比如可以采用不同的积分步长。
复合梯形公式的代数精度可以通过改变等分划分方法和积分步长来控制，比如可以采用等距划分和等比划分，等距划分可以保证每个积分步长的大小是相同的，而等比划分可以保证每个积分步长的大小是成比例的。
此外，积分步长的大小也会影响复合梯形公式的代数精度，积分步长越小，复合梯形公式的代数精度就越高。
此外，复合梯形公式的代数精度还可以通过改变函数的形式来控制，比如可以将一个函数分解成多个函数，然后分别计算各个函数的积分，最后将各个函数的积分结果相加，这样可以提高复合梯形公式的代数精度。
总之，复合梯形公式的代数精度可以通过改变等分划分方法和积分步长，以及改变函数的形式来控制，从而提高复合梯形公式的精度。
实验四__数值积分[1]
![实验四__数值积分[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/033faa79a417866fb84a8e1a.png)
实验四 数值积分
一、实验目的
了解并熟悉梯形公式、牛顿-科特斯公式、复合梯形公式、复合辛普森公式、以及高斯公式等常用的数值积分方法。
通过数值实验理解这些方法的优缺点；熟悉这些方法的程序编制。
二、实验内容
编写复合梯形公式、复合辛普森公式、高斯列让德求积公式的程序，并通过数值方法比较这些积分公式.
三、实验要求
熟悉各种积分公式的程序编制；通过数值方法求一些函数的积分，比较各种积分公式，得到相应的结论。
四、实验设备
装有matlab 等程序语言的计算机
五、实验步骤
1. 编写复合梯形公式、复合辛普森公式、高斯列让德公式的程序代码；
2.
用所编写的程序计算积分0xdx ⎰，1
0sin x dx x ⎰. 3. 从计算量、计算精度、计算能力等方面比较这些求积公式, 得出结论。
五、实验原理
复合梯形公式：
121/20
1()22n n n n k k h T T f x -+==+∑
称为复化辛普森公式. 记 1122110
[()2()4()()]3n n n k k k k h S f a f x f x f b --+===+++∑∑
及格：用复合梯形公式、复合辛普森公式的程序求出2中两个函数的积分良好：完成及格内容，并用高斯列让德公式的程序求出2中两个函数的积分优秀：程序具有较好交互性。
从不同方面体现着三种方法的优劣或者特点！。
研_第5章 数值积分法
f ( )
(b a ) f ( )
[a , b]
即：曲边梯形的面积等于 底为b a , 高为f ( )的矩形面积
f ( )--曲边梯形在[a, b]的平均高度。 1. 梯形公式
I ( f ) f ( x )dx a
b
[ f (a ) f (b)] (b a ) 2 ab )(b a ) 2
( n) 注：Ck 与f ( x )和积分区间均无关！
几个低阶Newton-Cotes公式
1、n 1时 积分区间一等分 1 1 (1) C 0 ( t 1)dt 0 2 1 1 (1) C1 tdt 0 2 b ba I f ( x )dx ( f (a ) f (b)) a 2 --梯形公式
n
-11-
即：
I f ( x )dx Ak f ( xk )
b a
n
k 0
其中：xk 为求积节点(插值节点),Ak lk ( x )dx 求积系数。
a
b
称上述由插值基函数确定求积系数的公式为插值型求积公式。
求积余项(方法误差) Rn I I n f ( x )dx Pn ( x )dx a
b a k 1 n
-12是插值型求积公式的充要条件是该公式至少具有n 1次代数精度。
二 Newton-Cotes公式 求积节点等距分布的插值型求积公式.
公式推导 考虑插值型求积公式
I f ( x )dx a Pn ( x )dx
a
b
b
b n
a
f (x
k 0 n
k
)lk ( x )dx
复化梯形和复化simposon求积分
课程设计报告课程名称数值逼近专业信息与计算科学班级姓名学号指导教师日期2011-06-27理学院应用数学系一、目的意义 (1) 进一步熟悉掌握复化梯形公式及其算法；(2) 进一步熟悉掌握复化Simpsom 公式及其算法；(3) 了解比较复化梯形公式和复化Simpsom 公式的代数精度。
二、内容要求积分计算问题：分别用复化梯形和复化Simpsom 求积公式计算积分dx e x x x 5.1402)(13-⎰-，并比较计算量（精度为10-8）。
三、问题解决的方法与算法方法：复化梯形和复化Simpsom 积分公式算法：输入：端点a 、b 以及要计算的积分公式f(x)；输出：积分f(x)在指定区间上的近似值Step1:编写复化梯形和复化Simpson 积分公式Step2：输入所需的断点个数nSetp3：分别调用复化梯形和复化Simpson 积分公式数值积分及其应用 报告1Setp4：比较代数精度使其达到10-8Setp5：输出复化梯形和复化Simpson积分公式对应的值四、计算程序复化梯形积分公式：#include"stdio.h"#include"math.h"void main()#define n 4{float a,b,d,y;float h[n-2],k[n-2],s[n-1];a=0.0;b=4.0;printf("输出相邻节点间距:\n");d=(b-a)/n;printf("%f\n",d);printf("输出节点函数值:\n");for(int i=0;i<n+1;i++){h[i]=a+i*d;k[i]=13*(h[i]-h[i]*h[i])*exp(-1.5*h[i]);printf("k[%d]=%f\n",i,k[i]);}s[0]=k[0]+k[n];for(i=1;i<n;i++){s[i]=s[i-1]+2*k[i];}y=0.5*d*s[n-1];printf("输出积分值:\n");printf("%f\n",y);}复化抛物线积分公式：#include"stdio.h"#include"math.h"#define n 4void main(){float a,b,h;double x[100],k[100],y[100],g[100],z[100];printf("输入积分上下限:\n");scanf("%f %f",&a,&b);printf("输出积分步长:\n");h=(b-a)/4;printf("%f\n",h);for(int i=1;i<n;i++){x[i]=a+h*i;k[i]=x[i]-0.5*h;}k[n]=b-0.5*h;x[0]=a;x[n]=b;for(i=0;i<n+1;i++){y[i]=13*(x[i]-x[i]*x[i])*exp(-1.5*x[i]);} for(i=1;i<n+1;i++){g[i]=13*(k[i]-k[i]*k[i])*exp(-1.5*k[i]);} z[0]=y[0]+y[n];z[1]=0.0;z[2]=0.0;for(i=1;i<n;i++){z[1]=z[1]+y[i];}for(i=1;i<n+1;i++){z[2]=z[2]+g[i];}z[3]=h*(z[0]+2*z[1]+4*z[2])/6;printf("%f\n",z[3]);}五、计算结果与分析：复化梯形积分公式：复化抛物线积分公式：输出相邻节点间距:1.000000输出节点函数值:k[0]=0.000000k[1]=0.000000k[2]=-1.294464k[3]=-0.866502k[4]=-0.000026输出积分值:-6.482936Press any key to continue输入积分上下限:0 4输出积分步长:1.000000-1.608667Press any key to continue结果分析：通过该算法可以看出复化体形积分和simpson积分比梯形积分和抛物线积分具有更好的精度。
课件：复合求积法(1)
比较两种复化公式的的余项
I Tn
ba 12
h2
f
(k )
O(h2)
I Sn
ba 180
h 2
4
f
(4) ()
O(h4)
分别是h的2，4阶无穷小量
即Sn比Tn趋于定积分I的速度更快
为此介绍收敛阶的概念!
定义1.对于复化求积公式In,若存在p 0及c 0,使其余项I In满足
lim
第四章 微积分的数值计算方法
§ 2 Newton-Cotes求积公式
§
4. 复化求积法
当积分区间[a,b]的长度较大,而节点个数n 1固定时
直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大 而如果增加节点个数,即n 1增加时 公式的舍入误差又很难得到控制
为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法
I
Tn
n1 [ h3 k0 12
f (k )]
h3 n1 12 k0
f (k )
( k [xk , xk1]
)
由于 min{ f (x)} n1 f (k ) max f (x)
a xb
k0 n
a xb
由介值定理, [a,b],使得 n1 f (k ) f () k0 n
即有
I
Tn
0x 解: 为简单起见,依次使用8阶复化梯形公式、4阶
复化Simpson公式.
可得各节点的值如右表
梯形
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
Simpson
x0
x 0
1
2
x1
x 1
1
2
x2
x 2
1
2
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（1）插值型求积公式
2.由下列列表函数求L-插值多项式
x0
x1 --- xi-1
xi
xi+1
---
xn
f(x0) f(x1) --- f(xi-1) f(xi) f(xi+1) --- f(xn)
21
称为插值型求积公式，
称为求积节点， 称为求积系数，其和
22
求积系数 通过插值基函数
这称为梯形公式；
a
b
图1 梯形公式
几何意义：用梯形面积 代替f(x)作为曲边的曲边 梯形面积。
25
这称为Simpsion公式。
a
b
图2 Simpson公式
几何意义：用抛物线 作曲边的曲边
梯形面积代替f(x)作 为曲边的曲边梯形面26积。
这称为Cotes公式。
求积公式的误差（余项）
27
28
例 5. 1 分别用梯形公式、Simpson公式计算定积分
时的步长h/2就是合适的步长
6
例：
f(x)=exp(x)
h
f’(1.15) R(x)
h
f’(1.15) R(x)
0.10 0.09 0.08 0.07 0.06
3.1630 -0.0048
3.1622 3.1613 3.1607 3.1600
-0.0040 -0.0031 -0.0025 -0.0018
17
构造数值积分公式的基本思想： 由积分中值定理知，在积分区间
成立
内存在一点ξ，
问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 的值，怎么办？
只要对平均高度 一种数值求积方法.
提供一种算法，相应地便可获得
第二节复化求积公式和龙贝格求积公式
Tn )
对于复化辛蒲生公式、柯特斯公式可以类似得到
I
S2n
1 42 1(S2n
Sn )
1 I C2n 43 1 (C2n Cn )
不足
收敛速度慢
应用步长逐次减半得到的复化梯形值、复化 辛蒲生值、复化柯特斯值与精确值的比较
I
T2n
1 4 1(T2n
Tn )
n1
Sn (
f
)
6
f
(a)
4
k0
f
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f
( xk )
f
(b)
复化梯形公式(n
=
8)，h
1 8
0.946083070367
T8 (
f
)
1
2
8
f
(0)
2
f
1 (
)
8
f
(
1 )
4
3 f( )
8
f
(1) 2
f (5) 8
f
(3) 4
f
(
7 8
)
f
(1)
0.945692
复化辛蒲生公式(n
=
4)，h
1 4
S4 (
f
)
1 64
f
(0)
4
f (1) 8
f
(3) 8
f
(5) 8
复化梯形求积公式的收敛阶
复化梯形求积公式的收敛阶复化梯形公式是数值积分的方法之一，它通过将积分区间划分为多个小区间，然后在每个小区间上用梯形法则进行近似，最终求得整个区间的积分值。
在这个过程中，梯形法则的收敛性是非常重要的，它决定了计算结果的精度和误差的控制。
复化梯形公式的数学表达如下：$$I_n =\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\ldots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]$$其中，$I_n$代表积分的近似值，$h$代表小区间的宽度，$f(x_i)$代表在小区间第$i$个节点上的函数值。
在分析复化梯形公式的收敛性时，我们需要考虑两个方面：精度和收敛阶。
首先，我们来讨论复化梯形公式的精度。
考虑在每个小区间上对被积函数进行二次插值，我们可以得到以下等式：$$f(x)=p(x)+R(x)$$其中，$p(x)$是由节点上的函数值所定义的二次插值多项式，$R(x)$是余项，在整个区间上积分后会产生误差。
对于每个小区间上的梯形公式，我们有：$$\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx = \int_{x_{i-1}}^{x_i} p(x)dx + \int_{x_{i-1}}^{x_i} R(x)dx$$由于$p(x)$是一个二次多项式，我们可以精确计算它的积分。
因此，$\int_{x_{i-1}}^{x_i} p(x)dx$的计算结果是准确的。
剩下的一项$\int_{x_{i-1}}^{x_i} R(x)dx$就是我们所要关注的误差项。
根据误差项的性质和公式的构造，我们可以得到近似式的误差估计：$$，\int_{x_{i-1}}^{x_i} R(x)dx， \leq A_ih^2$$其中，$A_i$是与被积函数的二阶导数有关的常数。
接下来，我们来讨论复化梯形公式的收敛阶。
收敛阶表示当我们将小区间的数量增加时，误差的减小速度。
定义每个小区间的数量为$n$，误差为$e_n$，则收敛阶$R$满足以下等式：$$e_n \approx K n^{-R}$$其中，$K$是一个与问题相关的常数。