复化梯形公式求积分-推荐下载
分别用复化梯形求积公式和复化辛普森求积公式计算积分
1习题 三1. 用辛普森求积公式计算积分dx e x ∫−10，并估计误差。
2. 给定数据表x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6)(x f 3.12014 4.042569 6.04241 8.03014 10.46675分别用复化梯形求积公式和复化辛普森求积公式计算积分.)(6.28.1dx x f ∫3. 分别用变步长求积方法和龙贝格求积方法计算下列积分，并估计误差：（1）;sin 40dx xx ∫π（2）;1)1ln(102dx x x ∫++ （3）;)1ln(110dx x x ∫+ （4）.110∫+xdx 4. 确定下列求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的准确次数：（1）);()0()()(210h f A f A h f A dx x f hh ++−≈∫− （2）);()0()()(21022h f A f A h f A dx x f hh ++−≈∫−（3）).0()1()0()(21010f A f A f A dx x f ′++≈∫ 5. 证明求积公式 )]()([12)]()([2)(0121010x f x f h x f x f h dx x f x x ′−′++≈∫ 具有3次代数精度，其中01x x h −=.6. 利用高斯-勒让德公式计算积分)(14102π=+∫dx x 的近似值. 7. 利用高斯-切比雪夫求积公式计算积分dx x x ∫−−−112211 的近似值。
8. 已知函数)(x f y =的如下数据：x 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.4)(x f 0.8365 0.9095 1 1.1105 1.2446 1.6017利用李查逊外推法计算)1(y ′.。
复化梯形公式和复化辛普生公式
}
void simpson::integration()//实现积分
{
cout<<"输入上限和下限";
cin>>b>>a;
cout<<"输入你要使用simposn法则的数目(即等分数)";
cin>>n;
h=(b-a)/n;
sum_even_terms=0.0;
sum_odd_terms=0.0;
for(k=1;k<n;k++)
{
sum_even_terms+=sine(k*h);
}
for(k=0;k<n;k++)
{
sum_odd_terms+=sine((2*k+1)*h/2);
}
integral=(2.0*sum_even_terms+4.0*sum_odd_terms+sine(b)+1)*h/6.0;
《数值分析》实验报告
姓名
学号
日期
2012．11.20
实验室
设备编号
实验题目
用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01sinx/xdx
一实验目的
1．了解复化梯形公式和复化辛普生公式。
2.用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01sinx/xdx。
二实验内容
算法：复化梯形公式是Tn=∑h/2[f(xi)+ f(xi+1)]=(b-a)/2n[f(a)+2∑f(xi)+f(b)]记子段[xi,xi+1]的中点为xi+1/2,则复化Simpson公式为Sn=∑h/6[f(xi)+4f(xi+1/2)+ f(xi+1)]=b-a/6n[f(a)+4∑f(xi+1/2)+2f(xi)+f(b)]
复合梯形公式求积分例题
复合梯形公式求积分例题
（原创版）
目录
1.复合梯形公式的概述
2.求积分的概述
3.复合梯形公式求积分的例题演示
4.例题解答过程的详细步骤
5.结论
正文
【1.复合梯形公式的概述】
复合梯形公式是一种在数学中求解积分的公式，主要用于解决复杂的积分问题。
它能够将一个复杂的积分问题分解为若干个简单的积分问题，从而简化问题的求解过程。
【2.求积分的概述】
求积分是数学中的一种常见的计算方式，通常用来计算曲线下的面积、长度、体积等。
求积分的过程中，需要将一个函数在某一区间内的值进行累加，得到一个总的结果。
【3.复合梯形公式求积分的例题演示】
例如，如果我们需要求解积分：∫(x^2 + 3x - 2) dx，我们可以通
过复合梯形公式来进行求解。
【4.例题解答过程的详细步骤】
首先，我们需要将积分式分解为若干个简单的积分式，这里我们可以将其分解为：∫x^2 dx + ∫3x dx - ∫2 dx。
然后，我们分别对每个积分式进行积分，得到：1/3 * x^3 + 3/2 * x^2
- 2x。
最后，我们将所有的结果进行累加，得到最终的答案：1/3 * x^3 + 3/2 * x^2 - 2x + C（C 为积分常数）。
【5.结论】
通过复合梯形公式，我们可以将一个复杂的积分问题分解为若干个简单的积分问题，从而简化问题的求解过程。
复合梯形公式和复合辛普森公式
复合梯形公式和复合辛普森公式1.复合梯形公式步骤1：将积分区间[a,b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，其中n为正整数。
步骤2：定义一个函数f(x)，并在每个小区间上求出函数在小区间两个端点的函数值，记作f(x0), f(x1), f(x2), ..., f(xn)。
步骤3：根据梯形公式，每个小区间上的定积分近似值为(h/2) * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + ... + 2f(xn-1) + f(xn))。
步骤4：将所有小区间上的定积分近似值相加，得到最终的近似值。
复合辛普森公式是通过将积分区间划分成若干个小区间，然后在每个小区间上应用辛普森公式来逼近定积分的值。
具体的步骤如下：步骤1：将积分区间[a,b]均匀地分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，其中n为正偶数。
步骤2：定义一个函数f(x)，并在每个小区间上求出函数在小区间三个点的函数值，记作f(x0),f(x1),f(x2)。
步骤3：根据辛普森公式，每个小区间上的定积分近似值为(h/3)*(f(x0)+4f(x1)+f(x2))。
步骤4：将所有小区间上的定积分近似值相加，得到最终的近似值。
复合辛普森公式的误差主要取决于小区间的数量和函数在每个小区间上的变化情况。
与复合梯形公式相比，复合辛普森公式的精度更高，但计算复杂度也更高。
综上所述，复合梯形公式和复合辛普森公式是数值积分中常用的近似计算方法。
它们通过将积分区间划分成小区间，并在每个小区间上应用相应的公式来逼近定积分的值。
这两种方法都可以通过增加小区间的数量来提高近似的精度，但相应地也会增加计算的复杂度。
根据实际情况，我们可以选择合适的方法来计算需要求解的定积分。
复合梯形公式求积分例题
复合梯形公式求积分例题
复合梯形公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。
它将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形面
积来逼近曲线下的面积。
下面我将以一个例题来说明如何使用复合
梯形公式求积分。
假设我们要求解函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上的定积分。
我们可以将该区间分成 n 个小区间，每个小区间的宽度为 h = (b a) / n，其中 a 和 b 分别为积分区间的下限和上限。
首先，我们需要计算每个小区间的梯形面积。
对于第 i 个小区间，其左边界为 x_i-1，右边界为 x_i。
梯形面积可以通过将小区
间划分为一个矩形和一个三角形来计算。
矩形的面积为 f(x_i-1) h，三角形的面积为 (f(x_i) f(x_i-1)) h / 2。
因此，第 i 个小
区间的梯形面积为 A_i = (f(x_i-1) + f(x_i)) h / 2。
接下来，我们需要计算所有小区间的梯形面积之和，即定积分
的近似值。
将所有小区间的梯形面积相加，得到近似值 S = A_1 +
A_2 + ... + A_n。
最后，我们可以将近似值 S 作为函数在区间 [a, b] 上的定积分的近似值。
即∫[a, b] f(x) dx ≈ S。
需要注意的是，使用复合梯形公式时，选择适当的小区间数量n 可以提高近似值的精度。
通常情况下，n 的值越大，近似值越接近真实值。
综上所述，复合梯形公式可以通过将积分区间分成若干个小区间，并使用梯形面积来逼近曲线下的面积，从而求解定积分的近似值。
复化梯形公式和复化辛普森公式
复化梯形公式和复化辛普森公式1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊数学里那些看似高深莫测的公式，尤其是复化梯形公式和复化辛普森公式。
这些名字听起来就像是从某部科幻片里蹦出来的角色，但其实它们是我们在数值积分中不可或缺的好帮手。
你知道吗？它们就像是数学世界里的“超能英雄”，让我们轻松搞定积分，简直是妙不可言。
2. 复化梯形公式2.1 你知道什么是梯形吗？首先，咱们得聊聊复化梯形公式。
说白了，就是把一个复杂的积分任务，分解成几个小的梯形来求解。
想象一下，你在河边钓鱼，河水流得可欢了。
为了找一个合适的钓鱼点，你可能得把河分成几段，然后每一段的宽度就是你的小梯形。
你看，这就是复化梯形的魅力所在！2.2 如何运用复化梯形公式？用这个公式的时候，你只需把整个区间分成N个小区间，每个区间的宽度都是一样的。
然后，把每个小区间的函数值拿来加一加，再乘上宽度的一半，最后再把头尾的函数值加上。
这听起来是不是很简单？比如，你想算从0到1的某个函数的积分，只要把这个区间分成若干段，像切蛋糕一样，每一片都求个函数值，然后把结果合起来就行了。
简单得就像吃个冰淇淋，大家都喜欢。
3. 复化辛普森公式3.1 辛普森是谁？接下来，让我们来看看复化辛普森公式。
辛普森这个名字，大家可能都听过，或者说过“这是辛普森家的事儿”。
其实，他是一位牛逼的数学家，专门研究如何让积分变得更加简单。
辛普森公式就像是对梯形公式的一次升级，像换了个新款手机，功能更强大，效果更好。
3.2 如何运用复化辛普森公式？用复化辛普森公式的时候，我们也是把整个区间分成N个小区间，不过这里的N必须是偶数哦！每个小区间的宽度仍然是一样的。
然后，用函数值的加权平均法来计算。
换句话说，你把每个小区间的头尾和中间的函数值都考虑进来，像是为你的冰淇淋加上各种口味的配料。
最后，你的结果就会比单纯用梯形公式得来的要精准多了，仿佛一口下去，味蕾都在舞蹈。
4. 比较与应用4.1 谁更强？说到这儿，很多人就会问，复化梯形公式和复化辛普森公式，谁更厉害呢？其实，这就像问“苹果和橘子，哪个更好吃”。
复化梯形求积公式的收敛阶
复化梯形求积公式的收敛阶复化梯形公式是数值积分的方法之一，它通过将积分区间划分为多个小区间，然后在每个小区间上用梯形法则进行近似，最终求得整个区间的积分值。
在这个过程中，梯形法则的收敛性是非常重要的，它决定了计算结果的精度和误差的控制。
复化梯形公式的数学表达如下：$$I_n =\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\ldots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]$$其中，$I_n$代表积分的近似值，$h$代表小区间的宽度，$f(x_i)$代表在小区间第$i$个节点上的函数值。
在分析复化梯形公式的收敛性时，我们需要考虑两个方面：精度和收敛阶。
首先，我们来讨论复化梯形公式的精度。
考虑在每个小区间上对被积函数进行二次插值，我们可以得到以下等式：$$f(x)=p(x)+R(x)$$其中，$p(x)$是由节点上的函数值所定义的二次插值多项式，$R(x)$是余项，在整个区间上积分后会产生误差。
对于每个小区间上的梯形公式，我们有：$$\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx = \int_{x_{i-1}}^{x_i} p(x)dx + \int_{x_{i-1}}^{x_i} R(x)dx$$由于$p(x)$是一个二次多项式，我们可以精确计算它的积分。
因此，$\int_{x_{i-1}}^{x_i} p(x)dx$的计算结果是准确的。
剩下的一项$\int_{x_{i-1}}^{x_i} R(x)dx$就是我们所要关注的误差项。
根据误差项的性质和公式的构造，我们可以得到近似式的误差估计：$$，\int_{x_{i-1}}^{x_i} R(x)dx， \leq A_ih^2$$其中，$A_i$是与被积函数的二阶导数有关的常数。
接下来，我们来讨论复化梯形公式的收敛阶。
收敛阶表示当我们将小区间的数量增加时，误差的减小速度。
定义每个小区间的数量为$n$，误差为$e_n$，则收敛阶$R$满足以下等式：$$e_n \approx K n^{-R}$$其中，$K$是一个与问题相关的常数。
复化梯形算法求解数值积分
复化梯形算法求解数值积分摘要求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。
另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。
由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。
构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。
特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。
但是它们的精度较差。
而且高阶Newton-Cotes求积公式是不稳定的。
因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的积分值，而是将整个积分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。
这种方法称为复化求积方法。
本文从三个积分实例出发，主要讨论复化梯形公式以及精确程度分析。
关键词：数值积分；复化求积公式；复化梯形算法；MATLABTHE REHABILITATION OF TRAPEZOID FORMULA TO SOLVE THE NUMERICAL INTEGRATIONABSTRACTFind the definite integral of a function, in most cases, the original integrand function is difficult toexpress the elementary functions, it can use calculus of Newton - Leibniz formula to calculate thedefinite integral of the few opportunities . In addition, many practical problems in the integrand is often a list of functions or other forms of non-continuous function, the definite integral of suchfunctions, indefinite integral method can not solve. For these reasons, the numerical integration oftheory and method has been the subject of calculation of the basic mathematical research.Structural formula for numerical integration method is used most often on the n-th integration interval polynomial interpolation instead of the integrand, thus derived is called interpolation-typequadrature formula quadrature formula. Especially in the case of equidistant distribution of nodesis called Newton - Keci formula, such as trapezoidal formula and the formula is the most basicparabolic approximation formula. But their accuracy is poor. And high-level Newton-Cotesquadrature formula is unstable. So it is usually not higher-order quadrature formula to be moreprecise integral values, but the whole range of sub-points, with each short on low-level quadrature formula. This method is called complex method of quadrature.This example from three points of departure, the main complex of the trapezoid formula anddiscuss the accuracy of the analysis.Key words: Numerical integration；Rehabilitation of numerical integration；Rehabilitation of trapezoid formula；MA TLAB目录1 问题的提出 (1)2 问题的分析 (2)3 问题假设 (2)4 符号说明 (3)5 模型的建立及求解 (3)5.1 模型的准备工作 (3)5.1.1 复化梯形数值积分基本原理........... (3)5.2 模型的建立及求解 (4)6 模型验证及结果分析 (8)参考文献 (9)附录 (10)1问题提出有很多实际问题常常需要计算积分才能求解。
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武汉工程大学
计算机科学与工程学院
《计算方法》实验报告
实验项目复化梯形公式求积分实验类别综合实验
实验目的及要求实验目的：学会用复化梯形公式求函数的积分，并应用该算法于实际问题。
实验要求：要求能随意输入被积函数，进行算法设计，打印出误差限例题：求被积函数在0<x<1上的积分
)
)
(sin
1
/(
12
x
+
公式：复化梯形公式：
设，（i=0，1，…，n-1）
n
a
b
h
-
=h
x
x i
i
=
-
+1
])
(
2
)
(
)
(
[
2
1
1
∑-
=
+
+
+
=
n
i
ih
a
f
b
f
a
f
h
I
误差限：)
(
12
)
(//
1
3
i
n
i
n
n
f
h
T
I
f
Eξ
∑-
=
-
=
-
=
成绩评定表
类别评分标准分值得分合计
上机表现积极出勤、遵守纪律
主动完成设计任务
30分
程序代码比较规范、基本正确
功能达到实验要求
30分
实验报告及时递交、填写规范
内容完整、体现收获
40分
说明：
评阅教师：
日 期： 年 月 日
实 验 内 容
设计分析
复化数值积分:将区间[a,b]n 等分，取等距节点
n a
b h n i ih a x i -=
=+=,,...,2,1,0,由定积分的区间可加性，有
()()dx
x f dx x f b
a
n
i x x i
i ⎰∑⎰
=-=1
1
在每一个小区间上利用梯形积分公式有
()()()[]i i x x x f x f h
dx x f i
i +≈
-⎰
-11
2
一般记()()()⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡++=∑-=1122n i i n x f b f a f h T 称做n+1点复化梯形积分公式。
数学公式：
()()()()⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡++≈∑⎰
-=1
122n i i b
a
x f b f a f h dx x f 算法描述：
Step1:输入a,b 和正整数n ；Step2:置h=(b-a)/n;Step3:F=f(a)+f(b);l=0;
Step4:对j=1,2,…,n 循环执行5；Step5:置x=a+jh; l+=f(x);Step6:置T=h(F+2l)/2Step7:输出T;
程序源代码:
#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;
double f(double x)//求函数的值；
{
return1/(1+pow(sin(x),2.0));
}
void EchelonIntegral(int n)//梯形积分
{
double y=0;
double h=(1.0-0.0)/n;
for(int i=0;i<=n;i++)
{
double a=0.0+i*h,b=0.0+(i+1)*h;
y=y+h*(f(a)+f(b))/2.0;
}
cout<<"对应所求的梯形求积分为"<<y<<endl;
double En=0.0;
double mid=(0.0+1.0)/2.0;
double x=mid,p=2*sin(2*x)*sin(2*x)*(1+sin(x)*sin(x))-2*cos(2*x)*pow(1+sin(x)*sin(x),2);
double f2d=p/pow(1+sin(x)*sin(x),2);
for(i=0;i<n;i++)
{
En=En+pow(h,3)/12.0*f2d;
}
cout<<"误差为"<<En<<endl;
}
/*void ParabolicIntegral(int n)//抛物线积分
{
double y=0;
double t=(1.0-0.0)/n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
double a=0.0+i*t,b=0.0+(i+1)*t;
y=y+t*(f(a)+f(b)+4*f((a+b)/2.0))/6.0;
}
cout<<"对应所求的抛物线求积分为"<<y<<endl;
}*/
void main()
{
cout<<"*********************用梯形积分公式求积分1/(1+pow(sin(x),2))的值****************"<<endl;
cout<<"请输入把0到1的范围几等分？"<<"\t";
int m1;
cin>>m1;
EchelonIntegral(m1);
cout<<endl;
char answer1;
cout<<"是否要继续求该算法？(y/n)"<<"\t";
cin>>answer1;
while(answer1=='y')
{
cout<<"请输入把0到1的范围几等分？"<<"\t";
cin>>m1;
EchelonIntegral(m1);//3.直线求积分；
cout<<endl;
cout<<"是否要继续求该算法？(y/n)"<<"\t";
cin>>answer1;
}
cout<<endl;
}
计算机科学与工程学院测试用例
计算机科学与工程学院
实验总结
复化数值积分就是为了减少数值积分的误差，可以把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上采取低阶数值积分公式，然后把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似，类似于分段差值。
在此次实验中，我学会了怎样以专业的知识，从专业的角度来考虑所遇见的问题或者与专业相关的问题，并以自己的看法，给予实现。
同时，在此次实验中，也有一些不近人意的地方，也需要我不断改进和练习。
比如误差怎样取值，保证其最小。