复合梯形积分和复合Simpson积分计算数值积分

实验五
一、实验名称
复合梯形积分和复合Simpson 积分计算数值积分
二、实验目的与要求：
实验目的: 掌握复合梯形积分和复合Simpson 积分算法。

实验要求：1.给出复合梯形积分和复合Simpson 积分算法思路，
2.用C 语言实现算法，运行环境为Microsoft Visual
C++。

三、算法思路：
我们把整个积分区间[a,b]分成n 个子区间[xi,xi+1]，i=0，1,2,…,n，其中x0=a ，xn+1=b 。

这样求定积分问题就分解为求和问题：
⎰∑⎰=-==b a n i x x i i dx x f dx x f S 11)()(
当这n+1个结点为等距结点时，即n a b h ih a x i /)(-=+=，其中，i=0,1,2,…,n ，复化梯形公式的形式是
∑=-+=n
i i i n x f x f h S 1
1)]()([2 算法：
input n
0.0←S
for i=1 to n do ))()((2
1i i x f x f h S S ++
←- end do
output S
如果n 还是一个偶数，则复合Simpson 积分的形式是
∑=--++=2
/1
21222)]()(4)([3n i i i i n x f x f x f h S 算法：
input n
0.0←S
for i=1 to n/2 do ))()(4)((3
21222i i i x f x f x f h S S +++
←-- end do
output S
四、实验题目：
五、问题的解：
编写程序（程序见后面附录），输出结果如下：
为了便于看清数值积分结果与原函数积分实际结果的差异。

我在运行程序时故意计算了一下原函数积分的实际结果。

分析并比较得到的数据可以看出，当k 越来越大时，数值积分的结果越来越靠近原函数积分实际结果，并且复合Simpson 积分的结果更迅速地靠近原函数积分实际结果，这是有原因的，从两种方法的误差项即可看出。

复合梯形积分的误差项是)()(121''2ξf h a b --
，Simpson 积分的误差项是)()(1801)4(4ξf h a b --，),(b a ∈ξ，当h 趋于零时，显然Simpson 积分的误差项更快地趋于零，实验结果复符合这一结论。

六、附录：
实验编程，运行环境为Microsoft Visual C++
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
double f(double x) //定义函数f(x)//
{
double y;
y=sin(x);
return(y);
}
double S1(int N,double a,double b) //建立复合梯形积分// {
double s,h;
int i;
h=(b-a)/N; s=0.0;
for(i=1;i<=N;i++)
{
s=s+h*(f(a+(i-1)*h)+f(a+i*h))/2.0;
}
return(s);
}
double S2(int N,double a,double b) //建立符合Simpson积分//
{
double s,h;
int i;
h=(b-a)/N; s=0.0;
for(i=1;i<=N/2;i++)
{
s=s+h*(f(a+(2*i-2)*h)+4*f(a+(2*i-1)*h)+f(a+2*i*h))/3.0;
}
return(s);
}
void main() //main函数进行最终运算并输出结果//
{
int k;
printf("s1代表复合梯形积分结果，s2代表Simpson积分结果\n");
for(k=0;k<=12;k++)
{
printf("k=%d时，s1=%.12f , s2=%.12f \n",
k,S1(pow(2,k),0.0,4.0),S2(pow(2,k),0.0,4.0));
}
printf("积分精确结果是：%.12f\n",1-cos(4.0)); }。