【高三数学试题精选】2018届高考理科数学立体几何空间几何体的表面积与体积复习题及答案
2018届高考数学大二轮复习专题五立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积复习指导课后强化训练
专题五第一讲A组1．(文)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是导学号 52134577( B )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱[解析] 由三视图知该几何体是一个横放的直三棱柱，三棱柱的底面是直角三角形，两直角边长都是6，正对观察者．棱柱高为4．(理)(2017·沈阳高三质量监测一)“牟合方盖”是我国古代数学刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是导学号 52134578 ( B )[解析] 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B．2．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为导学号 52134579( C )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π[解析] 该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长c ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋ 23 2＝4，圆柱的高h ＝4，所以该几何体的表面积S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C ．3．(文)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为导学号 52134580( A )A ．12－πB ．12－2πC ．6－πD ．4－π[解析] 由三视图知，该几何体是一个组合体，由一个长方体挖去一个圆柱构成，长方体的长、宽高为4,3,1，圆柱底半径1，高为1，∴体积V ＝4×3×1－π×12×1＝12－π．(理)若某棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该棱锥的体积等于导学号 52134581( B )A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 3[解析] 由三视图知该几何体是四棱锥，可视作直三棱柱ABC －A 1B 1C 1沿平面AB 1C 1截去一个三棱锥A －A 1B 1C 1余下的部分．∴VA －BCC 1B 1＝VABC －A 1B 1C 1－VA －A 1B 1C 1＝12×4×3×5－13×(12×4×3)×5＝20cm 3．4．(2017·武昌调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为导学号 52134582( B )A ．18＋2πB ．20＋πC ．20＋π2D ．16＋π[解析] 由三视图可知，这个几何体是一个边长为2的正方体割去了相对边对应的两个半径为1、高为1的14圆柱体，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个14圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S ＝4×5＋2×2π×1×1×14＝20＋π．故选B ．5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为＋＋＋__16__－－－.导学号 52134583[解析] 利用三棱锥的体积公式直接求解．VD 1－EDF ＝VF －DD 1E ＝13SD 1DE ·AB ＝13×12×1×1×1＝16．6．已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC 与AD 的中点，且BC ＝2AB ＝2，现沿EF 将平面ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A －FEC 外接球的体积为＋＋＋__2π__－－－.导学号 52134584[解析] 如图，平面ABEF ⊥平面EFDC ，AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面ECDF ，将三棱锥A －FEC 补成正方体ABC ′D ′－FECD ． 依题意，其棱长为1，外接球的半径R ＝32， 所以外接球的体积V ＝43πR 3＝43π·(32)3＝32π．7．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.导学号 52134585(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积． [解析] (1)取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B ． 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB ．由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB ． 因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C ． 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ．(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1＝3． 又A 1C ＝6，则A 1C 2＝OC 2＋OA 21，故OA 1⊥OC ．因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高． 又△ABC 的面积S △ABC ＝ 3.故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3．8．(2017·全国卷Ⅱ，18)如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.导学号 52134586(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P －ABCD 的体积．[解析] (1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD ． 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 故BC ∥平面PAD ．(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM ．由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD ．因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ． 因为CM ⊂底面ABCD ， 所以PM ⊥CM ．设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x ． 如图，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ， 所以PN ＝142x ．因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2． 于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝23．所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×2 2＋4 2×23＝43．B 组1．(2017·河南质检)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是导学号 52134587( B )A ．36cm 3B ．48cm 3C ．60cm 3D ．72cm 3[解析] 由三视图可知，该几何体的上面是个长为4，宽为2，高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是个梯形，梯形的上、下底分别为2、6，高为2.长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×2＋62×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48(cm 3)，选B ．2．(2017·唐山统考)三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为导学号 52134588( C )A ．4π3B ．4πC ．8πD ．20π[解析] 由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PA 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r ＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，所以外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C ．3．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为导学号 52134589( B )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 6[解析] 如图，四面体的直观图是棱长为2的正方体ABCD －MNPQ 中的三棱锥Q －BCN ，且QB ＝22＋ 22 2＝23，NC ＝QN ＝QC ＝22，四面体Q －BCN 各面的面积分别为S △QBN ＝S △QBC ＝12×2×22＝22，S △BCN ＝12×2×2＝2，S △QCN ＝34×(22)2＝23，面积最大为23．4．(2017·淄博一模)三棱锥S －ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为导学号 52134590( B )A ．211B ．4 2C ．38D ．16 3[解析] 由已知中的三视图可得SC ⊥平面ABC ，且底面△ABC 为等腰三角形， 在△ABC 中AC ＝4，AC 边上的高为23， 故BC ＝4，在Rt △SBC 中，由SC ＝4， 可得SB ＝42．5．(2017·广西南宁检测)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等且V 1V 2＝32，则S 1S 2的值是＋＋＋__94__－－－.导学号 52134591[解析] 设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r 1，r 2，高分别为h 1，h 2，则有2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，又V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2，∴V 1V 2＝r 1r 2，∴r 1r 2＝32，则S 1S 2＝(r 1r 2)2＝94．6．(2017·山西太原一模)已知在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥D －ABC ，当三棱锥D －ABC 的体积取最大值时，其外接球的体积为＋＋＋__43π__－－－.导学号 52134592[解析] 当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 的体积取最大值．此时易知BC ⊥平面DAC ，∴BC ⊥AD ，又AD ⊥DC ，∴AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BD ，取AB 的中点O ，易得OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，故O 为所求外接球的球心，故半径r ＝1，体积V ＝43πr 3＝43π．7．如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .导学号 52134593(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E －ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． [解析] (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ． 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ． 故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED ． (2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中， 由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ， GB ＝GD ＝x2．因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x ． 由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x ． 由已知得，三棱锥E ACD 的体积V E ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63． 故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝6．所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为5． 故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋25．8．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点.导学号 52135097(1)求证：AC ⊥平面BDEF ； (2)求证：平面BDGH //平面AEF ； (3)求多面体ABCDEF 的体积．[解析] (1)证明：因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD ．又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ， 且AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：在△CEF 中，因为G 、H 分别是CE 、CF 的中点， 所以GH ∥EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以GH ∥平面AEF ．设AC ∩BD ＝O ，连接OH ，在△ACF 中，因为OA ＝OC ，CH ＝HF ， 所以OH ∥AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以OH ∥平面AEF ．又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ⊂平面BDGH ， 所以平面BDGH ∥平面AEF ． (3)解：由(1)，得AC ⊥平面BDEF ，又因为AO ＝2，四边形BDEF 的面积S BDEF ＝3×22＝62， 所以四棱锥A －BDEF 的体积V 1＝13×AO ×S BDEF ＝4．同理，四棱锥C －BDEF 的体积V 2＝4． 所以多面体ABCDEF 的体积V ＝V 1＋V 2＝8．。
专题8-2空间几何体的表面积与体积(测)-2018年高考数学(理)一轮复习讲练测Word版含解析
2018年高考数学讲练测【新课标版理】【测】第八章立体几何第02节空间几何体的表面积与体积班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】2. 【2016陕西质检二】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28π B．36π C．32πD．40π【答案】B【解析】由三视图所提供的信息可知该几何体是一个圆台和圆柱的组合体,故其体积πππ363)42164(3124=⨯⨯+++⨯=V ,应选B.3．【2018届南宁市高三联考】三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D.【答案】B4.【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据三视图可知，几何体是个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为，高为2，所以三棱锥的体积，故组合体的体积,故选A.5.【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】在长方体中，，，，点在平面内运动，则线段的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C6.【河北省邯郸市高三上学期第二次模拟】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．π22 C ．3π D ．23π【答案】D【解析】由三视图还原图像，得原图是两个一样的圆锥底面对在一起了， 所以212[(1)1]233V ππ=⨯⨯⨯⨯=. 7.【2018届贵州省黔东南州高三上第一次联考】在ABC ∆中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=（如下图），若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）【答案】D所以旋转体的体积：故选：D ．8.【广东省韶关市高三调研】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．3【答案】C【解析】由三视图易知，该几何体是底面积为32，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得1333322V =⨯⨯=.选C9.【2017年福建省数学基地校】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）【答案】B正视图 侧视图故选B ．10.已知体积为的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为那么球O 的体积等于（ ）A ．323π B ．3 C ．332πD ．2【答案】A11.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．π5B ．π2C ．π20D ．π4 【答案】A【解析】分析可知球心在PB 的中点. 因为AC BC ⊥，1AC BC ==,所以AB =.所以PB ==球的半径R =所以此球的表面积为245S R ππ==.故A 正确.12.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ） A.B.C.D.【答案】B【解析】设球的半径为：r ，由正四面体的体积得：,所以r=，设正方体的最大棱长为a ，∴3=∴a=,外接球的面积为故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
专题10 几何体的表面积与体积-2018年高考数学(理)母题题源系列(江苏专版)(原卷版)
精品高考数学2018年全揭秘《高考母题题源》系列母题十 几何体的表面积与体积【母题原题1】【2018江苏，理10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．【母题原题2】【2017江苏，理6】如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【母题原题3】【2015江苏，理9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。
若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为【命题意图】 高考主要考查几何体的表面积和体积，考查基本求解能力.【命题规律】1. 高考对立体几何的计算，主要是能利用公式求常见几何体(柱体、锥体、台体和球)的表面积与体积．同时还能解决距离、翻折、存在性等比较综合性的问题．2. 高考中常见的题型：(1) 常见几何体的表面积与体积的计算；(2) 利用等积变换求距离问题；(3) 通过计算证明平行与垂直等问题．【方法总结】1. 几何体的表面积的求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．2. 有关几何体体积的类型及解题策略1．【江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题】已知边长为2的等边三角形中，、分别为、边上的点，且，将沿折成，使平面平面，则几何体的体积的最大值为__________．2．【江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题】如图，已知圆锥的高是底面半径的倍，侧面积为，若正方形内接于底面圆，则四棱锥侧面积为__________．3．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数学试题】现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.4．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．5．【江苏省海门中学2018届高三5月考试（最后一卷）数学试题】如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底ABCD,底面ABCD是矩形，AB=2， AD=3，点E为棱CD上一点，若三棱锥E-PAB的体积为4，则PA的长为______.6．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】记棱长为1的正三棱锥的体积为，棱长都为1的正三棱柱的体积为，则__________．7．【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，则圆锥和圆柱的表面积之比是______．8．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____．9．【江苏省2018年高考冲刺预测卷一数学】已知在体积为的圆柱中，，分别是上、下底面直径，且，则三棱锥的体积为__________．10．【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷】直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．。
2018届高考数学复习——立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积(解析版)
【知识归纳梳理】一、空间几何体的结构特征 1。
多面体的结构特征 （1)棱柱错误! （2）棱锥错误!（3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分。
2。
旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到.(2）圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边旋转得到。
(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。
（4）球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到。
[注意] (1)认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时，易忽视定义，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识。
（2）台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行. 二、空间几何体的三视图与直观图 1.空间几何体的三视图（1）空间几何体的三视图包括正（主）视图、侧(左）视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。
（2）三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等。
②画法规则：正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽； ③看不到的线画虚线。
［注意] 若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线，在三视图中,要注意实、虚线的区别。
2.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测_画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴、y 轴，两轴相交于点O ,画直观图时，把它们画成对应的x ′轴、y ′轴，两轴相交于点O ′,且使∠x ′O ′y ′＝ 45°（或135°) .（2)已知图形中平行于x 轴、y 轴的线段,在直观图中分别平行于x ′轴、y ′轴。
(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半。
(4)在已知图形中过O 点作z 轴垂直于xOy 平面,在直观图中对应的z ′轴也垂直于x ′O ′y ′平面，已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中仍平行于z ′轴且长度不变.[注意］ 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系： S 直观图＝错误!S 原图形,S 原图形＝2错误!S 直观图. 三、空间几何体的表面积和体积 1.空间几何体的表面积当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥，由此可得： S 圆柱侧＝2πrl 错误!S 圆台侧＝π（r ＋r ′）l 错误!S 圆锥侧＝πrl ［注意］ 组合体的表面积应注意重合部分的处理。
2018高考数学文人教新课标大一轮复习配套文档：第八章
8．2 空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的表面积(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S直棱柱侧＝____________，S正棱锥侧＝____________，S正棱台侧＝__________(其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高)．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________(其中r，r′为底面半径，l为母线长)．(3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和．2．柱体、锥体、台体的体积(1)棱柱、棱锥、棱台的体积V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________(其中S，S′为底面积，h为高)．(2)圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________(其中r，r′为底面圆的半径，h为高)．3．球的表面积与体积(1)半径为R的球的表面积S球＝________．(2)半径为R的球的体积V球＝___________.自查自纠1．(1)Ch 12Ch′12()C＋C′h′(2)2πrlπrlπ(r＋r′)l(3)侧面积两个底面积侧面积一个底面积2．(1)Sh 13Sh13h()S＋SS′＋S′(2)πr2h 13πr2h13πh()r2＋rr′＋r′23．(1)4πR2(2)43πR3已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为( )A.2π2B.2πC.3π3D.3π解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为22-12＝3，因此其体积是13π·12×3＝3π3.故选C.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体对角线的长是( )A．2 3 B．3 2 C．6 D. 6解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有ab＝2，ac＝3，bc＝6，解得a＝1，b＝2，c＝3，则长方体的体对角线的长l＝a2＋b2＋c2＝6.故选D.(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A．17πB．18πC．20πD．28π(解：由三视图作出该四棱柱的直观图如图所示，为等腰梯形．由三视图给出的数据容易求出(1＋2)×1＝32，所以四棱柱的体积为故填32.类型一 空间几何体的面积问题2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方，粗实线画出的是某多面体的三视图，36 5 B ．54＋1890D ．81解：由三视图可得该几何体是平行六面体，上下3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3，该边上的高为B ．π＋3D.52π＋解：由三视图可知，该几何体是半个圆锥，且母解：如图，设球的一条半径与圆柱相应的母线的，圆柱侧面积S ＝2π×4sin ＝π4时，S 取最大值球的表面积与该圆柱的侧面积之差为【点拨】根据球的性质，内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上、下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据．·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )B ．4πC ．2解：该几何体为半圆柱，底面半径为1，高为π×12＋2×2＋12×2π×1×2＝类型三 空间多面体的体积问题如图，在多面体ABCDEF 中，已知边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，2，则该多面体的体积为( )B.33C.43如图，过A ，B 两点分别作AM ，BN 垂直于，N ，连接DM ，CN ，可证得DM 则多面体ABCDEF 分为三部分，即多面体的体积＋V E AMD ＋V F BNC .依题意知AEFB 为等腰梯形．△DME Rt △CNF ，所以EM ＝NF ＝，所以BN ＝32. ，则H 为BC 的中点，12 B．18 C．24解：由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的．所以该几何体的体积为×3×4×3＝24.故选C.类型四空间旋转体的体积问题已知某几何体的三视图如图所示，其中，视图、侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，＋12B.4π3＋16＋16D.2π3＋12由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视图中的数据可得V＝12⎭⎪⎫12×1×1×1＝2π6＋16.故选C.【点拨】根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )π B.23＋2π D.23＋2π解：由三视图容易看出，该几何体是由一个半圆B．2πC．3π解：由三视图可知，该几何体为半径为r＝表面积为底面圆面积加上半球面的面积，位置有关 位置有关 Q 位置都有关 Q 位置均无关，是定值＝V Q A ′EF ＝13×⎝ ⎛12×的体积与点E ，F .ABC A 1B 1C 1的底面边长为的中点，则三棱锥A ．32C ．1 解：在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，易知面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面·AD ＝13×12×2×．22斛 C ．36斛 D ．解：设圆锥底面半径为r ，因为米锥底部弧长为r ＝16≈16尺，所以米堆的体积为B.17C.16解：设正方体棱长为a ，则截去部分为三棱锥，其体积VA A 1B 1D 1＝13×12a 3＝16a 3，剩余部分的56a 3，所以截去部分体积与剩余部分体故选D .是球O 半径OP 上的两点，且解：由三视图作出该几何体的直观图如图所示，ABC 是等腰三角形．点D 为底边AC 的中点．3，BD ⊥AC ，BD ＝1，SD ⊥底面ABC ，SD ＝ABC ＝13SD ·S △ABC ＝13×1×12×1×23＝33.故填．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，，则V 1V 2的值是____________． 解：设两圆柱底面半径为r 1，r 2，两圆柱高为＝94，r 1r 2＝32，又两圆柱侧面积相等，所以2πr 2πr解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底半径和高．如OA 于C ，则Rt △ABC ＝2x ，BC ＝O ′O ＝2＋（5x ）2＝3x .9.·上海)底面边长为其表面展开图是三角形P 1P 2P 3.如图，的边长及三棱锥的体积V .解：由正三棱锥P ABC 的性质及其表面展开图是，C 分别是△P 1P 2P 3三边的中点，且依三角形中位线定理可得易判断正三棱锥P ABC 为棱长为V ＝212×23＝223. ·全国卷Ⅱ)如图，长方体10，AA 1＝8，点E ，F 4.过点E ，F 的平面的面相交，交线围成一个正方形．，垂足为M ，则AM ＝A 1E 为正方形，所以EH ＝EF ＝2-EM 2＝6，AH ＝10，HB 因为长方体被平面α分成两个高为所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.一个几何体的三视图如图所示，从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )4<V 3 B ．V 1<V 3<V 23<V 4D ．V 2<V 3<V 1解：由已知条件及三视图可知，该几何体从上到下依次是圆台，圆柱，正方体，棱台，则V 1＝4π)＝7π3，V 2＝π×12×2＝1×(4＋4×16＋16)＝283.综上可知，。
空间几何体的表面积和体积-每日一题2018年高考数学(理)二轮复习
空间几何体的表面积和体积高考频度：★★★★☆难易程度：★★★☆☆某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是A．31π6B．31π8C．481π64D．3131π48【参考答案】C【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图以及外接球的表面积，重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.1．已知三棱锥O ABC -的顶点,,A B C 都在半径为3的球面上，O 是球心，150AOB ∠=︒，则三棱锥O ABC -体积的最大值为A ．934 B ．932 C ．92 D ．942．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．16π3B ．11π2 C ．17π3 D ．35π61．【答案】D【解析】当OC ⊥平面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积取最大值，此时O ABC C OAB V V --==319sin 64R AOB ∠=，故选D ． 【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球问题需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后利用同样的方法找到到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成直角三角形利用勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.学+。
精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题8立体几何与空间向量第48练表面积与体积练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题8 立体几何与空间向量第48练 表面积与体积练习 理1．(2016·苏州模拟)若一个长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则它的外接球的表面积是________．2．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若AA 1＝4，AB ＝2，则四棱锥B －ACC 1D 的体积为________．3.如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.4．(2016·唐山模拟)若正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为________．5．(2016·江苏苏北四市二调)已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积为________．6．(2016·扬州模拟)已知圆台的母线长为4 cm ，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的12，则这个圆台的侧面积是________ cm 2.7．(2016·南京、盐城模拟)设一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为____________ .8．(2016·连云港模拟)已知三棱锥P －ABC 的所有棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，对其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥P －ABC 的体积为________．9．(2016·江苏无锡上学期期末)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点．记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.10．如图，在棱长为1的正四面体S －ABC 中，O 是四面体的中心，平面PQR ∥平面ABC ，设SP ＝x (0≤x ≤1)，三棱锥O －PQR 的体积为V ＝f (x )，则其导函数y ＝f ′(x )的图象大致为________．(填序号)11．(2016·贵州遵义航天高中第七次模拟)如图，一竖立在水平面上的圆锥形物体的母线长为4 cm ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处，则该小虫爬行的最短路程为4 3 cm ，则圆锥底面圆的半径等于________cm.12．(2016·扬州中学质检)已知三个球的半径R 1，R 2，R 3满足R 1＋R 3＝2R 2，记它们的表面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1＝1，S 3＝9，则S 2＝________.13．(2016·镇江一模)一个圆锥的侧面积等于底面积的2倍，若圆锥底面半径为3，则圆锥的体积是________．14．已知球O 的直径PQ ＝4，A ，B ，C 是球O 球面上的三点，△ABC 是等边三角形，且∠APQ ＝∠BPQ ＝∠CPQ ＝30°，则三棱锥P －ABC 的体积为________．答案精析1．6π 2.2 3 3.1∶24 4．64π 解析如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连结AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt△OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，解得R ＝4，则球的表面积S ＝4πR 2＝64π. 5.245解析 因为平面DAC ⊥平面BAC ，所以D 到直线AC 的距离为三棱锥D －ABC 的高，设为h ，则V D －ABC ＝13S △ABC ·h ，易知S △ABC ＝12×3×4＝6，h ＝3×45＝125， ∴V D －ABC ＝13×6×125＝245.6．24π 解析如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面， 由题意知AC ＝4 cm ，∠ASO ＝30°，O 1C ＝12OA ，设O 1C ＝r ，则OA ＝2r ， 又O 1C SC ＝OASA＝sin 30°，∴SC ＝2r ，SA ＝4r ，∴AC ＝SA －SC ＝2r ＝4 cm ，∴r ＝2 cm.∴圆台的侧面积为S ＝π(r ＋2r )×4＝24π cm 2.7．2解析 设该正四棱锥为四棱锥P －ABCD ，底面正方形ABCD 的中心为O ，则由题意可知AO ＝6， ∴OP ＝102－62＝2，则四棱锥的体积V ＝13×(23)2×2＝8，设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，解得a ＝2.8．9解析 该平面图形为正三角形， 所以三棱锥P －ABC 的各边长为32， 所以三棱锥的高h ＝23， 所以V ＝13×23×34×(32)2＝9.9.14解析 V 1＝V D －ABE ＝V E －ABD ＝12V E －ABP ＝12V A －BEP ＝12×12V A －BCP＝12×12V P －ABC ＝14V 2. 10．①解析 设O 点到底面PQR 的距离为h ，即三棱锥O －PQR 的高为h ，设底面PQR 的面积为S ，∴三棱锥O －PQR 的体积为V ＝f (x )＝13Sh ，点P 从S 到A 的过程中，底面积S 一直在增大，高h 先减小再增大，当底面经过点O 时，高为0，∴体积先增大，后减少，再增大，故①正确． 11.43解析 作出该圆锥的侧面展开图，如图所示，该小虫爬行的最短路程为PP ′，由余弦定理可得cos∠P ′OP ＝OP 2＋OP ′2－PP ′22OP ·OP ′＝－12，∴∠P ′OP ＝2π3.设底面圆的半径为r ，则有2πr ＝2π3×4，∴r ＝43.12．4解析 ∵S 1＝1，S 3＝9，∴4πR 21＝1,4πR 23＝9， ∴R 1＝π2π，R 3＝3π2π， 又∵R 1＋R 3＝2R 2， ∴R 2＝π2π＋3π2π2＝ππ，∴S 2＝4πR 22＝4. 13．3π解析 设圆锥的母线长为R ，高为h .则圆锥的侧面积S 侧＝12(2π×3)×R ，圆锥底面积S 底＝π(3)2＝3π，因为圆锥的侧面积等于底面积的2倍，故12(2π×3)×R ＝6π，解得R＝23，则h ＝R 2－32＝3，所以圆锥的体积为13S 底×h ＝13×3π×3＝3π.14.934解析如图，设球心为M ，△ABC 截面所截小圆的圆心为O . ∵△ABC 是等边三角形，∠APQ ＝∠BPQ ＝∠CPQ ＝30°， ∴点P 在平面ABC 上的投影是△ABC 的中心O . 设AB 的中点为H ，∵PQ 是直径，∴∠PCQ ＝90°， ∴PC ＝4cos 30°＝23， ∴PO ＝23cos 30°＝3，OC ＝23sin 30°＝ 3.∵O 是△ABC 的中心，∴OC ＝23CH ，∴△ABC 的高CH ＝332，AC ＝332sin 60°＝3，1 3PO·S△ABC＝13×3×12×332×3＝934.∴V三棱锥P－ABC＝。
2018年高考理科数学空间几何体100题(含答案解析)
2018年高考理科数学空间几何体100题（含答案解析）1.一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．52.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）16π3（B ）11π2（C ）17π3（D ）35π64.已知正方形1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是边1AA ，1CC 的中点，点M 是1BB 上的动点，过点E ，M ，F 的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ）．A ．23()22,[0,1]2f x x x x =-+∈B ．31,0,22()11,,122x x f x x x ⎧⎡⎫-∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩C ．22312,0,22()312(1),,122x x f x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪--+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩D ．23()22,[0,1]2f x x x x =-++∈5.已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，给定下列四个命题： ①a b ∥，a b αα⇒∥∥；②a b ⊥，a b αα⇒⊥∥； ③a α∥，a βαβ⇒∥∥；④a α⊥，a βαβ⇒⊥∥． 其中不正确的是（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6.在空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，则该四面体的体积为（ ）．A ．2B ．43CD ．237.已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m n ∥，m n αα⇒⊥⊥ ②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥ ③m n ∥，m n αα⇒∥∥④αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥其中正确命题的序号是（ ）． A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③8.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：2cm ）为（ ）．(单位：cm)主视图左视图俯视图A．48+B．48+ C．36+ D．36+9.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为11A B ，1CC 的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与1D M 所成的角，则sin α的值为（ ）．A ．12BCD ．110.点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（ ）．A ．11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[1,0]-D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（ ）．A ．9+B ．18+C ．18+D ．912.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）．A B ．3C ．D 13.已知α，β表示不重合的两个平面，a ，b 表示不重合的两条直线，则下列命题中正确的是（ ）．A ．若a b ⊥，且b α∥，则a α⊥B ．若a b ⊥且b α⊥，则a α∥C ．若a α⊥，且b α∥，则a b ⊥D ．若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥14.四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是 ( )A15.一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为边长为1的正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（）A.4416.设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列四个命题为真命题的是（）①若m⊥α，n⊥m，则n∥α；②若α∥β，n⊥α，m∥β，则n⊥m；③若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β．A．②③B．③④C．②④D．①④17.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A． B． C．D．18.已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题正确的是（）①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．A．②④B．①②C．③④D．①③19.如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积是（）A．B．C．D．2π20.一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（）A．2+2+B．16+2C．8+2D．8+21.一个几何体的三视图如图所示．已知这个几何体的体积为8，则h=（）A．1 B．2 C．3 D．622.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为（）A．3B． C．2D．223.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．1 D．24.α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题错误的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βB．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥nC．α∥β，m⊂α，那么m∥βD．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等25.在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标系分别为（0，0，2），（2，2，2），（2，2，0），（2，1，1），给出编号为①②③④⑤的五个图，则该四面体的侧视图和俯视图分别为（）A．①和⑤B．②和③C．④和⑤D．④和③26.设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，a⊂β，则α⊥βD．若a，b在α内的射影相互垂直，则a⊥b27.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为，那么这个几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．28.如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设AE=x ，B 1F=y ，若棱DD 1与平面BEF 有公共点，则x+y 的取值范围是（ ）A ．[0，1]B ．[21，23] C ．[1，2] D ．[23，2] 29.已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，AB=6，BC=，且四棱锥O-ABCD 的体积为R 等于（ ）A ．4B ． D 30.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）A ．4立方丈B ．5立方丈C ． 6立方丈D ．12立方丈 31.如图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位：cm 2）等于（ ）A ．55πB ．75πC ．77πD ．65π 32.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．56πcm 3 B ．3πcm 3C ．32πcm 3 D ．37πcm 3 33.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 34.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．335.某几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）A ．28πB ．37πC ．30πD ．148π36.如图是一个几何体的三视图，其中俯视图中的曲线为四分之一圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．3B ．C ．4D ．37.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．40cm 3B ．30cm 3C ．20cm 3D ．10cm 338.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π39.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．5 C． D．640.已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直41.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A．21+B．18+C．21 D．1842.如图，一张A4，,E F 分别为AD ,BC 的中点．现分别将△ABE ,△CDF 沿BE ,DF 折起，且A ,C 在平面BFDE 同侧，下列命题正确的是__________．（写出所有正确命题的序号）HGF E DC B A①A ,G ,H ,C 四点共面；②当平面ABE 平面CDF 时， AC 平面BFDE ；③当A ,C 重合于点P 时，平面PDE 平面PBF ；④当A ,C 重合于点P 时，设平面PBE平面PDF =l ，则l 平面BFDE ．43.一个几何图的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．俯视图侧视图44.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是__________．45.给出下列结论：①一条直线垂直于一个平面，则这条直线就和这个平面内的任何直线垂直；②过平面外一点有只有一个平面和这个平面垂直；③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）46.已知直线m ，n 与平面α、β，给出下列四个命题：①若m α∥，n α∥，则m n ∥；②若m α∥，n α⊥，则n m ⊥；③若m α⊥，m β∥，则αβ⊥；④若m n ∥，m α∥，则n α∥．其中所有真名题的序号是_____________．47.如图，在四面体ABCD 中，点1B ，1C ，1D 分别在棱AB ，AC ，AD 上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111A B C D -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V f x =，则下列结论正确的是__________．DC ①当23x =时，函数()f x 取到最大值； ②函数()f x 在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数； ③函数()f x 的图像关于直线12x =对称； ④不存在0x ，使得01()4A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD 的体积）． 48.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．49.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为．50.若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．51.已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为120°，且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于．52.已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为．53.一个正方体消去一个角所得的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为3的正方形），则该几何体外接球的表面积为．54.已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为．55.几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．56.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的表面积为．57.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是．58.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若α∥β，l∥α，则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β．其中真命题是（写出所有真命题的序号）．59.已知空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，CD=，若二面角A﹣BD﹣C的取值范围为[，]，则该几何体的外接球表面积的取值范围为 ．60. 已知正四棱锥的底面边长为1，高为1，则这个正四棱锥的外接球的表面积为 ． 61.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 ．62.如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为边长为2的正方形，四边形BB 1C 1C 为菱形，∠BB 1C 1=60°，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，点E 、F 分别是B 1C ，AA 1的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求二面角B ﹣AC 1﹣C 的余弦值．63.在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD ．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若PA=2，求二面角A ﹣PD ﹣B 的余弦值．64.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，12BC CD AB ==，AP PD =，90APD ABC BCD ∠=∠=∠=．（Ⅰ）求证：AP ⊥平面PBD ；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成角的余弦值．DC B AP65. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD =︒∠，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP =︒∠，2AB AC PA ===，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ．（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：ME ∥平面PAB ．（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所在的角相等，求PM PD的值． MF E C BAPD66.如图，在三棱柱111ABC A B C -，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，E ，F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F ∥平面AEG ．（1）求1CG CC 的值． （2）求证：1EG AC ⊥． （3）求二面角1A AG E --的余弦值．A 1B 1C 1GF A B CE67.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3PB AB AD ===，1BC =．（Ⅰ）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF ∥平面PAB ． （Ⅱ）求二面角B PD A --的大小．（Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥？若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由．P FD BCA68. 如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，CD AB ∥，BC CD ⊥，EA ED ⊥，4AB =，2BC CD EA ED ====．Ⅰ证明：BD AE ⊥．Ⅱ求平面ADE 和平面CDE 所成角（锐角）的余弦值．DAC E69.己知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且2PA AB ==．60ABC ∠=︒，BC 、PD 的中点分别为E ，F ．（Ⅰ）求证BC PE ⊥．（Ⅱ）求二面角F AC D --的余弦值．（Ⅲ）在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF 平行于平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．D 70.如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒． D A BCEF（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）求二面角F BE D --的余弦值．（Ⅲ）设点M 线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．71.如图，PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点．MDA BCP（Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求二面角A PC B --的余弦值．（Ⅲ）在线段PC 上是否存在点D ，使得BD AC ⊥，若存在，求出PD PC 的值，若不存在，说明理由．72.如图，多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 是菱形，4AB =,60BAD ∠=，BD AC ,相交于O ，EF ∥AC ，点E 在平面ABCD 上的射影恰好是线段AO 的中点． （Ⅰ）求证：BD ACF ⊥平面；（Ⅱ）若直线AE 与平面ABCD 所成的角为45，求平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值．73.如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD ．D ABC EF H M N（I ）求证：FA BC ⊥．（II ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值．（III ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段FD ，AD 上的点（都不与点D 重合）．若直线FD ⊥平面MNH ，求MH 的长．74.空间几何体ABCDEF 如图所示．已知面ABCD ⊥面ADEF ，ABCD 为梯形，ADEF 为正方形，且AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD=4，AB=AD=2，G 为CE 的中点．（Ⅰ）求证：BG ∥面ADEF ；（Ⅱ）求证：面DBG ⊥面BDF ．75.一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M、N分别是AF、BC的中点，（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求平面MNF与平面CDEF所成的锐二面角的大小．76.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．77.在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 与△PAC 均为正三角形，AB=2，平面ABC ⊥平面PAC ．M ，D 分别是AC 与PC 的中点，E 在AP 上且AE=41AP ． （1）证明ME ⊥平面MBD ；（2）若F 为PA 上一点，且PF=λFA ，当二面角F ﹣BD ﹣M 为直二面角时，求λ的值； （3）写出三棱锥P ﹣ABC 外接球的体积（不需要过程）．78.如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BA ⊥PD 于点A ，PD=3BC ，且AB=BC=1．沿AB 把△PAB 折起到△P'AB 的位置（如图2），使∠P'AD=90°．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面P'AC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣P'D ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）线段P'A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面P'CD ．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．79.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1=AB=AC=1，E 、F 分别是CC 1、BC 的中点，AE ⊥A 1B 1（1）证明：AB ⊥AC（2）在棱A 1B 1上是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由．80.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（1）证明：AC⊥DE；（2）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为60°，求PD：AD的值．81.已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B1B=AB=2BC=4，D、E分别是B1C1，A1A的中点．（1）求证：A1D∥平面B1CE；（2）设M是的中点，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的动点，直线NP与平面MNC所成角为θ，试问：θ的正弦值存在最大值吗？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．82.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点．（1）求证：A1C∥平面BED；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．83.（14分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．84.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=∠CBA=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．（1）求EF与DG所成角的余弦值；（2）若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．85.（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．求证：（1）平面PAD⊥平面ABCD；（2）EF∥平面PAD．86.（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，点M，N分别是AE，CD的中点．求证：（1）直线MN∥平面EBC；（2）直线EA⊥平面EBC．87.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明： PB∥平面AEC；，求二面角D－AE－C的余（Ⅱ）设PA=1，∠ABC=60°，三棱锥E－ACD的体积为8弦值．88.（12分）如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为2的正方形，PA⊥BD．（1）求证：PB=PD；（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．89.（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）当点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心时，求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．90.（13分）如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，EB∥PA，AB=PA=4，EB=2，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥PC；（2）求证：BD∥平面PEC；（3）求锐角二面角D﹣PC﹣E的余弦值．91.（12分）如图所示，正三角形ABC的外接圆半径为2，圆心为O，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，点D在平面ABC内的射影为圆心O．（Ⅰ）求证：DO∥平面PBC；（Ⅱ）求平面CBD和平面OBD所成锐二面角的余弦值．92.（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．93.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．94.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．95.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F 分别为PC，CD的中点．（1）证明：AB⊥平面BEF；（2）若，求二面角E﹣BD﹣C的大小；（ 3）求点C到平面DEB的距离．96.（12分）如图，四棱锥P﹣ABC中，PA⊥ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．97.如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E，（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．98.如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．99.如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F为线段DE上的动点．（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）若二面角E﹣BC﹣F与二面角F﹣BC﹣D的大小相等，求DF长．100.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面ABB1A1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，请问在线段A1C上是否存在点E，使得二面角A﹣BE﹣C的大小为，请说明理由．答案1.A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V1为=2剪去的三棱锥体积V2为： =所以几何体的体积为：2﹣=，故选：A．2.A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：=R2，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．【解答】解：设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时： =R2，∴R=，∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：==．故选：A．3.A【命题意图】本小题主要考查三视图、空间几何体的体积，等基础知识，考查空间想像能力、运算求解能力、创新意识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查数学抽象、直观想象等．【试题简析】该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，然后挖掉一个相同的14圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此321633V r ππ==，故选A. 【错选原因】错选B ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个14圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥. 错选C ：把该几何体可以看成：在一个半球上叠加一个12圆锥，且未挖掉一个相同的14圆锥.错选D ：圆锥的公式记忆错误.4.A由题意得EF ⊥平面11BB D D ，即EF MN ⊥，∴12EMFN S EF MN =⋅，在平面11BB D D 中，2222(12)443MN x x x =+-=-+， ∴2213(443)22242y S x x x x ==-+⨯=-+，[0,1]x ∈．故选A ．5.D①a b ∥，a α∥，则b α∥或b α⊂，故①错误；②a b ⊥，a α⊥，则b α∥或b α⊂，故②错误；③a α∥，βα∥，则a β∥或a α⊂，故③错误；④a α⊥，βα⊥，则a β∥或a β⊂，故④错误．综上，不正确的有4个．故选D ．6.D112212323V =⨯⨯⨯⨯=．故选D ．7.C①若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，①正确；②若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥或m ，n 异面，②错误；③若m n ∥，m α∥，则n α∥或n α⊂，③错误；④若αβ∥，m n ∥，m α⊥，则n β⊥，④正确．综上，正确命题的序号为①④，故选C ．8.A由三视图可得，该几何体为三棱锥D ABC -，如图所示，面DBC ⊥面ABC ，AC AB ⊥，DA DB DC ==，取BC 中点M ，AC 中点N ，DM ⊥面ABC ，132MN AB ==，4DM =，利用勾股定理得5DN =， ABC DAC DAB DBC S S S S S =+++△△△△11116665654482222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+． 故选A ．DAB CM N9.D如图，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为1，则(,0,0)P x ，(01)x ≤≤，11,,12M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，(0,0,1)D ，10,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴11,,12PM x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，110,1,2D N ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴10PM D N ⋅=，1PM D N ⊥， ∴π2α=，sin 1α=． 故选D ．10.D如图，以1D 为原点，以11D C ，11D A ，1D D 方向为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,1)A ，1(1,0,0)C ，(,,0)P x y ，(,1,1)PA x y =--，1(1,,0)PC x y =--，221111222PA PC x y ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（其中01x <<，01y <<）， ∴1PA PC ⋅的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故选D ．11.A由三视图可知，该几何体是三棱锥，其中底面是底边长为6，高为3的等腰三角形，棱锥高是3，所以该几何体的表面积是：11163269222S =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=++． 故选A ．12.DC B AD P作出三棱锥P ABC -的直观图如图所示，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，连接PD ．由三视图可知PA ⊥平面ABC ，1AB AD ==，2CD PA ==，∴3BC =，PD =AC，AB BC PD ⊥． ∴1322ABC S BC AD =⨯⨯=△，12ABP S AB PA =⨯⨯△12ACP S AC PA =⨯⨯△12BCP S BC PD =⨯⨯△．∴三棱锥P ABC -的四个面中，侧面PBC ． 故选D ．13.C A 项，若a b ⊥，且b α∥，则a α∥或a 与α相交，故A 选项错误； B 项，若a b ⊥且b α⊥，则a α∥或a α⊂，故B 选项错误； C 项，若b α∥，则存在b α'⊂且b b ''∥，因为a α⊥，所以a b '⊥，所以a b ⊥，故C 选项正确；D 项，若a α⊥，且αβ⊥，则a β∥或a β⊂，故D 选项错误．故选C ．14.B15.D16.C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①，若m ⊥α，n ⊥m ，则n ∥α或n ⊂α；②，若α∥β，n ⊥α⇒n ⊥β，又∵m ∥β，则n ⊥m ；③，若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α、β不一定垂直；④，若n ⊥β，m ∥n ⇒m ⊥β，又∵m ∥α，则α⊥β．【解答】解：对于①，若m ⊥α，n ⊥m ，则n ∥α或n ⊂α，故错；对于②，若α∥β，n ⊥α⇒n ⊥β，又∵m ∥β，则n ⊥m ，故正确；对于③，若m ∥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α、β不一定垂直，故错；对于④，若n ⊥β，m ∥n ⇒m ⊥β，又∵m ∥α，则α⊥β，故正确．故选：C17.B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据近似公式V ≈L 2h ，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则L=2πr ，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．18.D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：①∵l⊥平面α，直线m⊂平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，①正确；②如图，由图可知②不正确；③∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂平面β，∴α⊥β，③正确；④由②图可知④不正确．∴正确的命题为①③．故选：D．19. C【考点】球的体积和表面积．【分析】构造补充图形为长方体，几何体三棱锥P﹣ABC的外接球，与棱长为1，1，．长方体的外接球应该是同一个外接球，再用长方体的对角线长求解外接球的半径，即可求解体积．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=，∴画出几何图形，可以构造补充图形为长方体，棱长为1，1，．∵对角线长为（）2+（）2=2．∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为1，体积为×π×13=π．故选：C．20.D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意作图，从而求各个三角形的面积即可．【解答】解：由题意作图如右，△ABC与△ADC是全等的直角三角形，其中AB==3，BC=2，故S△ADC=S△ABC=×2×3=3，△BDC是等腰直角三角形，BC=CD=2，故S△BCD=×2×2=2，△ADB是等腰三角形，AB=AD=3，BD=2，故点A到BD的距离AE==，故S△BAD=×2×=，故表面积S=3+3+2+=8+，故选：D．21.B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可构造关于h的方程，解得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，故底面面积S=3×4=12，高为h，故这个几何体的体积为V=×12×h=8，解得：h=2，故选：B．22.D【考点】球内接多面体．【分析】根据正六棱柱和球的对称性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量．【解答】解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图．设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则O是O1，O2的中点．设正六棱柱的底面边长为a，高为2h，则a2+h2=9．正六棱柱的体积为V==，则V′=3（9﹣3h2），得极值点h=，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点．故当正六棱柱的体积最大，其高为2．故选：D．23.D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥（也可以看成是一个四棱锥与三棱锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面S=（1+2）×1=，高h=1，故体积V==，故选：D也可以看成是一个四棱锥与三棱锥的组合体，同样得分．24.A【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：对于A，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；对于B，如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；对于C，如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确对于D，如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故选：A．25.B【考点】简单空间图形的三视图．【分析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，即可得出结论．【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得四面体的侧视图和俯视图分别为②和③．故选：B．26.C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，a与b相交、平行或异面．【解答】解：由α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中若a∥α，b∥β，a∥b，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若a⊥α，a⊂β，则根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故C正确；在D中，若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：C．27.C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，如果直角三角形的斜边长为，则直角三角形的直角边长均为1，故几何体的体积V=×1×1×1=，故选：C28.C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，即可得出结论．【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意．故选C．【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题．29.A由题意可知球心到平面ABCD的距离 2，矩形ABCD所在圆的半径为32，从而球的半径R.故选A.430.B由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.31.C【分析】由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥A﹣BCD；由三棱锥的体积求出h的值，把三棱锥还原为长方体，长方体对角线的长是三棱锥外接球的直径2R，由此求出外接球的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，作出其直观图三棱锥A﹣BCD；由三视图可知AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BD=5，BC=6，AB=h，∴三棱锥的体积V=××5×6h=20，∴h=4；把三棱锥还原为长方体，如图所示；则长方体对角线的长是三棱锥外接球的直径2R；∴（2R）2=42+52+62=77，∴三棱锥外接球的面积为S=4πR2=77π．故选：C．。
八 立体几何 第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积【理.2010-2018.高考真题分类】
专题八 立体几何初步第二十二讲 空间几何体的三视图、表面积和体积一、选择题1．(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．(2018全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．23．(2018全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是俯视图侧(左)视图正(主)视图BA4．(2018全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A．B．C．D．5．(2018上海)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．166．(2018浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是A ．2B ．4C ．6D ．87．（2017新课标Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A 1A俯视图正视图A．10 B．12 C．14 D．168．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A．90πB．63πC．42πD．36π9．（2017新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．34πC．2πD．4π10．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+ D ． 332π+ 11．（2017北京）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A ．B ．C ．D ．212．（2016山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为俯视图A ．B ．C ．D ． 13．（2016全国I ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 14．（2016全国II ）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π15．（2016年全国III ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．18+ B．54+ C ．90 D ．8116．(2015浙江)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是1233+π13+13+1+A ．38cm B ．312cm C ．3323cm D ．3403cm 17．（2015陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+ 18．（2015重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．13π+ B ．23π+ C ．123π+ D ．223π+ 19．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．81 B ．71 C ．61 D ．51 20．（2015安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A ．1+B ．2C ．1+D ．21．（2015湖南）某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）A ．89πB ．169πC ．31)πD ．31)π22．（2015新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16 + 20π，则r =A．1 B．2 C．4 D．823．（2014新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A．B．6 C．D．424．（2014新课标Ⅱ）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为A．1727B．59C．1027D．1325．（2014安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为A．21 B．18+ C ．21 D ．1826．（2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A ．圆柱B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱27．（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A ． 90B ． 129C ． 132D ． 13828．（2014新课标Ⅱ）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A ．3B ．32C ．1 D29．（2014福建）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于A ．2πB ．πC ．2D ．130．（2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为俯视图侧视图正视图2cm 2cm 2cm 2cm俯视A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π- 31．（2014陕西）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为A ．4πB ．3πC ．2πD ．π32．（2014江西）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是33．（2013新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ． 34．（2013江西）一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为俯视图左视图主视图ABCD168π+88π+1616π+816π+A ．200+9πB ．200+18πC ．140+9πD ．140+18π 35．（2012广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π36．（2012湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ． 37．（2011新课标）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图侧视图正视图俯视图正视图8π33π10π36π38．（2011安徽）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．48B ．C ．D ．8039．（2011辽宁）如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．的是A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角40．（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为俯视图正视图DCBA侧视图BCASDA ．280B ．292C ．360D ．37241．(2010浙江)若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是A ．3523cm 3 B ．3203cm 3 C ．2243cm 3D ．1603cm 3 二、填空题42．(2018天津)已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 ．侧视图正视图1A C43．(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．44．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。
[推荐学习]新课标2018届高考数学二轮复习专题能力训练11空间几何体的三视图表面积与体积理
专题能力训练11 空间几何体的三视图、表面积与体积(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.若一棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥D.圆锥的顶点与其底面圆周上的任意一点的连线都是母线2.(2017浙江台州实验中学模拟)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为()A.8-B.8-C.8-2π D3.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为()4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π5.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A B C D6.一只小球放入一长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点P到这三个面的距离分别为4,5,5,则这只小球的半径是()A.3或8B.8或11C.5或8D.3或117.一正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为()A.64πB.32πC.16πD.8π8.某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A.4B.2C D.8二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2017浙江舟山模拟)已知正三角形ABC的边长为a,则△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为.10.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是cm3,则正视图中x的值是cm,该几何体的表面积是cm2.11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为,表面积为.12.所谓正三棱锥,指的是底面为正三角形,顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥,在正三棱锥S-ABC中,M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=2,则正三棱锥S-ABC的体积为,其外接球的表面积为.13.下面是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是.14.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则当AM+MC1最小时,△AMC1的面积为.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=30°.(1)求证:EF⊥PB;(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB 的体积.16.(本小题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.参考答案专题能力训练11空间几何体的三视图、表面积与体积1.D解析 A.如图(1)所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥,故A错误;B.如图(2)(3)所示,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥,故B错误;C.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由过中心和定点的截面知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长,故C错误;D.根据圆锥母线的定义知本选项正确.故选D.2.A解析由题意可知,该几何体为正方体内挖去一个圆锥,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,则正方体的体积为V1=23=8,圆锥的体积为V2=·π·12·2=.故该几何体的体积为V=8-.3.D解析由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD⊥平面BCD.4.B解析由题意,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为6的圆柱截去一半后的图形和高为4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为V=×π×32×6+π×32×4=63π.故选B.5.B解析由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉一半圆锥的组合体,其体积V=×2×2×2-π×1=.6.D解析设小球球心为O,半径为r,点P所在的与底面平行的截面圆心为O1,O1O=d,则d=r-4,O1,O到与底面垂直的棱的距离为r,故点P到棱的距离为r+,且有化简得r2-14r+33=0,解得r=3或r=11.故选D.7.A解析作PM⊥平面ABC于点M,则球心O在PM上,PM=6,连接AM,AO,则OP=OA=R.在Rt△OAM中,OM=6-R,OA=R,又AB=6,且△ABC为等边三角形,故AM==2,则R2-(6-R)2=(2)2,解得R=4,所以球的表面积S=4πR2=64π.8.D解析由题中所给的三视图可知,该几何体如图所示,其底面为正方形,正方形的边长为2,HD=3,BF=1,将两个这样的几何体放在一起,可以构成一个高为4的长方体,所以该几何体的体积为×2×2×4=8.9. 解析作出正三角形ABC的实际图形和直观图如图①②,由图②可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=O'C'=a,所以S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.10.2解析由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,其直观图如右图所示,由棱锥的体积公式得×(1+2)×x=,解得x=2,侧面ADS,CDS,ABS为直角三角形,侧面BCS是以BC为底的等腰三角形,所以该几何体的表面积为S=[(1+2)×+2×2+×2+1×+2×]=.11.4032+16解析由题中三视图可知该几何体是放倒的三棱柱去掉两个三棱锥后的组合体,底面是边长为4,8的矩形,两个侧面都是等腰梯形,上、下底边长为8,4;两侧面是全等的等腰三角形,底边长为4,三角形的高为.等腰梯形的高为.几何体的体积为×4×3×4+2××2×4×3=40,几何体的表面积为4×8+2××4×+2××(4+8)×=32+16.12. 12π解析如图,由正三棱锥性质可知,SB⊥AC,又SB⊥AM,故SB⊥平面SAC.∴∠BSA=∠BSC=∠CSA=90°.由AB=2,可知SA=SB=SC=2.∴V S-ABC=V B-SAC=·S△SAC·SB=·22·2=,可以把三棱锥补成一个棱长为2的正方体,故其外接球的直径为2r=2,表面积为S=4πr2=12π.13.3解析由三视图作出几何体的直观图(如图所示),计算可知AF最长,且AF==3.14. 解析将直三棱柱沿侧棱A1A剪开,得平面图形如图所示,A'C1为定长,当A,M,C1共线时AM+MC1最短,此时AM=,MC1=2.又在原图形中AC1=,易知∠AMC1=120°,故×2×sin 120°=.15.(1)证明∵EF∥BC,且BC⊥AB,∴EF⊥AB,即EF⊥BE,BF⊥PE.又BE∩PE=E,∴EF⊥平面PBE.又PB⊂平面PBE,∴EF⊥PB.(2)解设BE=x,PE=y,则x+y=4.∴S△PEB=BE·PE·sin∠PEB=xy≤=1,当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大.此时,BE=PE=2.由(1)知EF⊥平面PBE,∴平面PBE⊥平面EFCB.在平面PBE中,作PO⊥BE于O,则PO⊥平面EFCB.即PO为四棱锥P-EFCB的高.又PO=PE·sin 30°=2×=1,S EFCB=×(2+4)×2=6,∴V P-BCFE=×6×1=2.16.(1)证明由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x.故四棱锥P-ABCD的体积V P-ABCD=AB·AD·PE=x3.由题设得x3=,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为PA·PD+PA·AB+PD·DC+BC2sin 60°=6+2.。
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2018届高考理科数学立体几何空间几何体的表面积与体积
复习题及答案
5 c 高三数学（理）一轮复习教案第八编立体几何总第36期
§82空间几何体的表面积与体积
基础自测
1（Bcc1B1的体积为
答案
3已知正方体外接球的体积为 ,那么正方体的棱长等于
答案
4（（ + ）= R3- R3= R3
例3 如图所示，长方体ABcD—A′B′c′D′中，用截面截下一个棱锥c—A′DD′，
求棱锥c—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比
解已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—Bcc′B′
设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh
而棱锥c—A′DD′的底面面积为 S，高是h,
因此，棱锥c—A′DD′的体积Vc—A′DD′= × Sh= Sh余下的体积是Sh- Sh= Sh
所以棱锥c—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5
例4 如图所示，在等腰梯形ABcD中，AB=2Dc=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEc分别沿ED、Ec向上折起，
使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积
解由已知条知，平面图形中AE=EB=Bc=cD=DA=DE=Ec=1
∴折叠后得到一个正四面体
方法一作AF⊥平面DEc，垂足为F，F即为△DEc的中心
取Ec的中点G，连接DG、AG，过球心作H⊥平面AEc
则垂足H为△AEc的中心∴外接球半径可利用△HA∽△GFA求得。