2018年数学同步优化指导选修2-2练习：活页作业八 含解析 精品

活页作业(八) 生活中的优化问题举例1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( ) A.203 cm B ．10 cm C ．15 cmD.2033cm解析：设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积V ＝13πx (202－x 2)(0<x <20)．V ′＝π3(400－3x 2)，令V ′＝0得x ＝2033，又当0<x <2033时，V ′>0；2033<x <20时，V ′<0， ∴当x ＝2033时，V 取最大值．答案：D2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度 (单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1D ．－8解析：原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：C3．一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积为S ，为使窗户周长最小，用料最省，圆的半径应为( )A.3S π＋4B.S π＋4C.2S π＋4D ．2S π＋4解析：设圆的半径为x ，矩形的高记作h ， 那么窗户面积S ＝π2x 2＋2hx .窗户周长为l (x )＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋Sx .令l ′(x )＝π2＋2－Sx 2＝0，解得x ＝2Sπ＋4(舍去负值)． ∵l (x )只有一个极值，且为极小值，∴x ＝2Sπ＋4为最小值点． 答案：C4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为______万元．解析：设甲地销售x 辆，则乙地销售(15－x )辆．总利润L ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(15≥x ≥0)．令L ′＝－0.3x ＋3.06＝0，得x ＝10.2.∴当x ＝10时，L 有最大值45.6. 答案：45.6万元5．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件则每件售价比原来减少1元，当公司的收益最大时订购件数为______．解析：设销售额为y ，销售件数为x ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧200x (x ≤150，x ∈N )，x ·[200－(x －150)] (x >150，x ∈N ). 当x ≤150且x ∈N 时，y 的最大值为200×150＝30 000. 令g (x )＝x ·[200－ (x －150)]＝350x －x 2，g ′(x )＝350－2x . 解g ′(x )＝0，得x ＝175.易知，当x ＝175时，g (x )有最大值30 625.∵30 625＞30 000，∴当x ＝175时，y 取得最大值30 625. 答案：1756．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距a m ．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x m 的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式．(2)当a ＝640 m 时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解：(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝a .则n ＝ax－1.∴y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫a x －1＋a x (2＋x )·x ＝256x a ＋a x ＋2a －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256a x 2＋12ax －12＝a 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64 <x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数． ∴f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝a x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．7．正三棱柱体积是V ，当其表面积最小时，底面边长a 为( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V解析：设正三棱柱的高为h ，则V ＝12a 2sin 60°·h ＝34a 2h ，∴h ＝4V 3a 2.所以正三棱柱的表面积S ＝2·34a 2＋3ah ＝32a 2＋3a ·4V 3a 2＝32a 2＋43V a ，∴S ′＝3a －43V a2.令S ′＝0，得a ＝34V . 答案：C8．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，每年生产的产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析：设Q (x )表示产量为x 时的总利润则Q (x )＝R (x )－100x －20 000＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －12x 2－20 000，0≤x ≤40060 000－100x ，x >400当0≤x ≤400时，Q ′(x )＝300－x ， 令Q ′(x )＝0，则x ＝300， 当0≤x <300时，Q ′(x )>0， 当300<x ≤400时，Q ′(x )<0，∴当x ＝300时，Q (x )max ＝Q (300)＝25 000. 当x >400时，Q ′(x )＝－100<0， ∴Q (x )单调递减Q (x )<Q (400)． 综上Q (x )max ＝Q (300)．故选D. 答案：D9．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile /h ，当速度为10 n mile/h 时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为__________n mile/h.解析：设每小时的燃料费z 与航速x 满足关系式z ＝ax 3(0≤x ≤30)． ∵25＝a ·103，∴a ＝140.设从甲地到乙地海轮的航速为v ，费用为y ， 则y ＝a v 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v . 由y ′＝40v －320 000v 2＝0，得v ＝20<30.答案：2010．某厂生产某种产品x 件的总成本C (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为______件时，总利润最大．解析：设产品的单价为p 万元，根据已知，可设p 2＝kx ，其中k 为比例系数．因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250 000， 所以p 2＝250 000x ，p ＝500x，x >0.设总利润为y 万元，则y ＝500x ·x －1 200－275x 3＝500x －275x 3－1 200.求导数得，y ′＝250x －225x 2.令y ′＝0得x ＝25.故当x <25时，y ′>0；当x >25时，y ′<0.因此，当x ＝25时，函数y 取得极大值，也是最大值． 答案：2511．某商场预计2015年1月份起前x 个月，顾客对某商品的需求总量p (x )(单位：件)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，x ≤12)．该商品第x 月的进货单价q (x )(单位：元)与x 的近似关系是：q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧150＋2x ，(x ∈N *，且1≤x ≤6)，185－160x ，(x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2015年第x 月的需求量f (x )(单位：件)与x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2015年哪个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？解：(1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37， 当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x ·(41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1时也符合，∴f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)该商场预计第x 月销售该商品的月利润为g (x )，则 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－3x 2＋40x )(35－2x )，(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x ，(x ∈N *，且7≤x ≤12)， 即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x ，(x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400，(x ∈N *，且7≤x ≤12). 当1≤x ≤6，且x ∈N *时， g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5，或x ＝1409(舍去)．当1≤x <5时，g ′(x )>0， 当5<x ≤6时，g (x )′<0， 此时g (x )max ＝g (5)＝3 125；当7≤x ≤12，且x ∈N *时， g (x )＝－480x ＋6 400是减函数， 当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040，综上，商场2015年5月份的月利润最大，最大利润为3 125元．12．(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12＜x ＜32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．解：(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12＜x ＜32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝⎛⎭⎫－1，12上单调递增，⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.。