2019年高考数学一轮复习(北师大版理科) 第10章第8节二项分布与正态分布学案理北师大版

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北师大版版高考数学一轮复习计数原理概率随机变量及其分布二项式定理教学案理解析版

[考纲传真] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．１．二项式定理（１）二项式定理：（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n—１b＋…＋C错误!a n—r b r＋…＋C错误!b n （n∈N*）；（２）通项公式：T r＋１＝C错误!a n—r b r，它表示第r＋１项；（３）二项式系数：二项展开式中各项的系数C错误!，C错误!，…，C错误!.２．二项式系数的性质（１）0≤r≤n时，C错误!与C错误!的关系是错误!.（２）二项式系数先增大后减中间项最大当n为偶数时，第错误!—１项的二项式系数最大，最大值为C错误!n；当n为奇数时，第错误!项和错误!项的二项式系数最大，最大值为错误!１．C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝２n.２．C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝２n—１.[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）C错误!a n—k b k是（a＋b）n的展开式中的第k项．（）（２）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（）（３）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．（）（４）通项T k＋１＝C错误!a n—k b k中的a和b不能互换．（）[答案] （１）×（２）×（３）√（４）√２．（教材改编）（１—２x）４展开式中第３项的二项式系数为（）Ａ．6 Ｂ．—6Ｃ．２４Ｄ．—２４A[（１—２x）４展开式中第３项的二项式系数为C错误!＝6．故选Ａ．]３．（教材改编）二项式错误!５的展开式中x ３y ２的系数是（）Ａ．５Ｂ．—２0 Ｃ．２0 Ｄ．—５A [二项式错误!５的通项为T r ＋１＝C 错误!错误!５—r（—２y ）r .根据题意，得错误!解得r ＝２．所以x ３y ２的系数是C 错误!错误!３×（—２）２＝５．故选Ａ．]４．（教材改编）错误!的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．２ 0１9Ｄ．２ 0１9×２ 0２0B [原式＝错误!＝错误!＝１．故选Ａ．]５．（１＋x ）n 的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________. １0 [∵T 6＝C 错误!x ５，又仅有第6项的系数最大，∴n ＝１0．]二项展开式的有关问题【例１】（１）（x ２＋２）错误!５的展开式的常数项是（）Ａ．—３Ｂ．—２Ｃ．２Ｄ．３（２）（２0１8·广州二模）错误!6的展开式中，x ３y ３的系数是________．（用数字作答）（１）D （２）—１２0 [（１）能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x ２项，第二个因式取错误!项得x ２×错误!×C 错误!（—１）４＝５；第一个因式取２，第二个因式取（—１）５得２×（—１）５×C 错误!＝—２，故展开式的常数项是５＋（—２）＝３，故选Ｄ．（２）错误!6表示6个因式x ２—错误!＋y 的乘积，在这6个因式中，有３个因式选y ，其余的３个因式中有２个选x ２，剩下一个选—错误!，即可得到x ３y ３的系数．即x ３y ３的系数是C 错误!C 错误!×（—２）＝２0×３×（—２）＝—１２0．][律方规法] 求二项展开式中的特定项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项T k ＋１＝C 错误!a n —k b k 的特点，一般需要建立方程求k ，再将k 的值代回通项求解，注意k 的取值范围（k ＝0,１,２，…，n ）．（１）第m 项：此时k ＋１＝m ，直接代入通项；（２）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；（３）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．（４）求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦．6Ａ．±２Ｂ．错误! Ｃ．—２Ｄ．±错误!（２）已知在错误!n的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项分别是________．（１）A （２）错误!x ２，—错误!，错误!x —２ [（１）错误!6的展开式的通项为T r ＋１＝C 错误!（x２）6—r 错误!r＝C 错误!错误!r x １２—３r ，令１２—３r ＝0，得r ＝４．故C 错误!·错误!４＝错误!，即错误!４＝错误!，解得a ＝±２．故选Ａ．（２）由T r ＋１＝C 错误!·（错误!）n —r ·错误! r＝错误!rC 错误!·x 错误!.∵第6项为常数项，∴r ＝５时有错误!＝0，即n ＝１0．当错误!时，即r ＝２,５,8时错误!∈Z ，所以展开式中的有理项分别为错误!x ２，—错误!，错误!x —２.] 二项式系数的性质及应用►考法１二项式系数的和【例２】（１）在错误!n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为３２∶１，则x ２的系数为（）Ａ．５0 Ｂ．70 Ｃ．90Ｄ．１２0（２）（２0１9·汕头质检）若（x ＋２＋m ）9＝a 0＋a １（x ＋１）＋a ２（x ＋１）２＋…＋a 9（x ＋１）9，且（a0＋a ２＋…＋a 8）２—（a １＋a ３＋…＋a 9）２＝３9，则实数m 的值为________．（１）C （２）—３或１ [（１）令x ＝１，则错误!n＝４n ，所以错误!n的展开式中，各项系数和为４n ，又二项式系数和为２n ，所以错误!＝２n ＝３２，解得n ＝５．二项展开式的通项T r ＋１＝C 错误!x ５—r 错误!r＝C 错误!３r x ５—错误!r ，令５—错误!r ＝２，得r ＝２，所以x ２的系数为C 错误!３２＝90，故选Ｃ．（２）令x ＝0，则（２＋m ）9＝a 0＋a １＋a ２＋…＋a 9，令x ＝—２，则m 9＝a 0—a １＋a ２—a ３＋…—a 9，又（a 0＋a ２＋…＋a 8）２—（a １＋a ３＋…＋a 9）２＝（a 0＋a １＋a ２＋…＋a 9）（a 0—a １＋a ２—a ３＋…＋a 8—a 9）＝３9，∴（２＋m ）9·m 9＝３9，∴m （２＋m ）＝３， ∴m ＝—３或m ＝１．] ►考法２二项式系数的性质【例３】设m 为正整数，（x ＋y ）２m 展开式的二项式系数的最大值为a ，（x ＋y ）２m ＋１展开式的二项式系数的最大值为b ，若１３a ＝7b ，则m ＝（）Ａ．５Ｂ．6 Ｃ．7Ｄ．8B [根据二项式系数的性质知，（x ＋y ）２m 的二项式系数最大的项有一项，即C 错误!＝a ，（x ＋y ）２m ＋１的二项式系数最大的项有两项，即C 错误!＝C 错误!＝Ｂ．又１３a ＝7b ，所以１３C 错误!＝7C 错误!，将各选项中m 的取值逐个代入验证，知m ＝6满足等式．][规律方法] （１）“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如（ax ＋b ）n ，（ax ２＋bx ＋c ）m （a ，b ，c ∈R ）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．（２）若f （x ）＝a 0＋a １x ＋a ２x ２＋…＋a n x n ，则f （x ）展开式中各项系数之和为f （１），奇数项系数之和为a 0＋a ２＋a ４＋…＝错误!，偶数项系数之和为a １＋a ３＋a ５＋…＝错误!.（１）若错误!n的展开式中含x 的项为第6项，设（１—３x ）n ＝a 0＋a １x ＋a ２x ２＋…＋a n x n ，则a １＋a ２＋…＋a n 的值为________．（２）已知错误!n的展开式中的二项式系数和为３２，错误!错误!n的展开式中的各项系数的和为２，则该展开式中的常数项为________．（１）２５５（２）４0 [（１）错误!n展开式的第k ＋１项为T k ＋１＝C 错误!（x ２）n —k ·错误!k＝C 错误!（—１）k x ２n —３k ，当k ＝５时，２n —３k ＝１，∴n ＝8．对（１—３x ）8＝a 0＋a １x ＋a ２x ２＋…＋a 8x 8，令x ＝１，得a 0＋a １＋…＋a 8＝２8＝２５6．又当x ＝0时，a 0＝１， ∴a １＋a ２＋…＋a 8＝２５５．（２）错误!n的展开式中的二项式系数和为３２，所以２n ＝３２，所以n ＝５．令x ＝１，得错误!错误!n的展开式中的各项系数的和为（１＋a ）（２—１）５＝２，所以a ＝１，所以错误!错误!５的展开式中的常数项为C错误!·（—１）３·２５—３＋C错误!·（—１）２·２５—２＝４0．]１．（２0１7·全国卷Ⅰ）错误!（１＋x）6展开式中x２的系数为（）Ａ．１５Ｂ．２0Ｃ．３0 Ｄ．３５C[因为（１＋x）6的通项为C错误!x r，所以错误!（１＋x）6展开式中含x２的项为１·C错误!x２和错误!·C错误!x４.因为C错误!＋C错误!＝２C错误!＝２×错误!＝３0，所以错误!（１＋x）6展开式中x２的系数为３0．故选Ｃ．]２．（２0１５·全国卷Ⅰ）（x２＋x＋y）５的展开式中，x５y２项的系数为（）Ａ．１0 Ｂ．２0Ｃ．３0 Ｄ．60C[法一：利用二项展开式的通项公式求解．（x２＋x＋y）５＝[（x２＋x）＋y]５，含y２的项为T３＝C错误!（x２＋x）３·y２.其中（x２＋x）３中含x５的项为C错误!x４·x＝C错误!x５.所以x５y２项的系数为C错误!C错误!＝３0．故选Ｃ．法二：利用组合知识求解．（x２＋x＋y）５为５个x２＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x２，一个取x即可，所以x５y２的系数为C错误!C错误!C错误!＝３0．故选Ｃ．]。

10.8超几何分布二项分布正态分布课件高三数学一轮复习

CkMCnN－－kM P(X＝k)＝______C_nN_______，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中 n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，则 m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布．
(2)超几何分布的均值：设随机变量 X 服从超几何分布，则 X 可以解释为从包含 M 件
第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
第八节超几何分布、二项分布、正态分布
课前双基巩固
——整合知识夯实基础
『知识聚焦』 1．超几何分布 (1)定义：一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品，从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为
(1)用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；
(2)设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7： 30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率．
【解】 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校
_____1_0________.
【解析】由题意知 X＝2 表示取出的 4 件产品中 2 件次品，故 P(X＝2)＝CC23·41C0 27＝130.
4．小王通4过英语听力测试的概率是13，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是_____9_________．
【解析】＝49.
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__□1_1__0_.6_8_2_7_____. ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈__□_1_2_0_.9_5_4_5_____.

高考数学一轮专项复习ppt课件-二项分布、超几何分布与正态分布(北师大版)

( ×)
自主诊断
2.如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为23，那么播下 5 粒这样的
种子，恰有 2 粒不发芽的概率是
√A.28403
80 B.81
163 C.243
163 D.729
自主诊断
用 X 表示发芽的粒数，则 X～B5，23，则 P(X＝3)＝C35×233×1－232 ＝28403，故播下 5 粒这样的种子，恰有 2 粒不发芽的概率为28403.
对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙
三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，考查反面处理
这个问题. 其概率为 P1＝1－[1－P(X＝2)]3＝1－1－1163＝4702916. 对于方案二：机器发生故障时不能及时维修的概率为 P2＝1－346－ C16·14×345－C26·142×344＝1－36＋6×43059＋615×34＝2304478，
例1 (2023·广东大湾区联考)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机
器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是
1 4
，且一台机器的故障能由
一个维修工处理.已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，
方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙
两人共同维护6台机器.
(1)对于方案一，设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求X的分
品质型民宿的房间均不低于10间”为事件B，
民宿点普通型民宿品质型民宿
甲乙丙丁戊己庚辛 16 8 12 14 13 18 9 20 6 16 4 10 11 10 9 12
则 P(A)＝CC3836＝154，P(AB)＝CC3834＝114，所以 P(B|A)＝PPAAB＝15.

高考数学第一轮复习：《二项分布与正态分布》

高考数学第一轮复习：《二项分布与正态分布》最新考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．4.能解决一些简单的实际问题.【教材导读】1．条件概率和一般概率的关系是什么？提示：一般概率的性质对条件概率都适用，是特殊与一般的关系．2．事件A，B相互独立的意义是什么？提示：一个事件发生的概率对另一个事件发生的概率没有影响．3．在一次试验中事件A发生的概率为p，在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率值为什么是C k n p k(1－p)n-k?提示：n次恰好发生k次，为C k n个互斥事件之和，每个互斥事件发生的概率为p k(1－p)k，故有上述结论．4．正态分布中最为重要的是什么？提示：概念以及正态分布密度曲线的对称性．1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义设A、B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)与对立事件的关系如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(2)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，设在每次试验中事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图(2)所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ <X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ <X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ <X≤μ＋3σ)＝0.9974.【重要结论】1．P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c，则事件A，B.C至少有一个发生的概率为1－(1－a)(1－b)(1－c)．2．X～N(μ，σ)，若P(X<a)＝P(X>b)，则正态密度曲线关于直线x＝a＋b2对称．1．设随机变量ξ～N(2,4)，若P(ξ＞a＋2)＝P(ξ＜2a－3)，则实数a的值为()(A)1 (B)5 3(C)5 (D)9B解析：因为μ＝2，根据正态分布的性质得a＋2＋2a－32＝2，解得a＝53.2．已知随机变量X服从正态分布N(2,32)，且P(X≤1)＝0.30，则P(2<X<3)等于() (A)0.20 (B)0.50(C)0.70 (D)0.80A 解析：∵该正态密度曲线的对称轴方程为x ＝2， ∴P(X ≥3)＝P(X ≤1)＝0.30，∴P (1<X <3)＝1－P(X ≥3)－P(X ≤1)＝1－2×0.30＝0.40，∴P (2<X <3)＝12P (1<X <3)＝0.20. 3．设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f(x)＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )(A)56 (B)45 (C)3132(D)12C 解析： ∵函数f(x)＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4.∵X 服从X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，∴P(X ≤4)＝1－P(X ＝5)＝1－125＝3132.4．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长幼苗的概率为________．答案：0.725．在一次高三数学模拟考试中，第22题和23题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12，则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．答案：12考点一条件概率(1)某射击手射击一次命中的概率是0.7，两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是( )(A)710 (B)67 (C)47(D)25(2)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A 为“至少一次出现反面”，事件B 为“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝________.解析：(1)设第一次射中为事件A 、随后一次射中为事件B ，则P(A)＝0.7，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.40.7＝47. (2)由题意，知P(AB)＝323＝38，P(A)＝1－123＝78，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝3878＝37.答案：(1)C (2)37【反思归纳】 (1)一般情况下条件概率的计算只能按照条件概率的定义套用公式进行，在计算时要注意搞清楚问题的事件含义，特别注意在事件A 包含事件B 时，AB ＝B.(2)对于古典概型的条件概率，计算方法有两种：可采用缩减基本事件全体的办法计算P(B|A)＝n (AB )n (A )；直接利用定义计算P(B|A)＝P (AB )P (A ). 【即时训练】 (1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．(2)某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知某一这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率是________．解析：(1)解法一设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝C 55C 2100，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝5×4100×995100＝499.解法二第一次取到不合格产品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格的，因此第二次取到不合格品的概率为499.(2)记事件A 为这个家用电器使用了三年，事件B 为这个家用电器使用到四年，显然事件B A ，即事件AB ＝B ，故P(A)＝0.8，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.5. 答案：(1)499 (2)0.5考点二独立事件的概率甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．解析：设A k，B k分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”，则P(A k)＝13，P(B k)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知P(A3)＝13＋23×12×13＋(23)2×(12)2×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能取值为1,2,3，且P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2)＝23×12×13＋(23)2×(12)2＝29，P(ξ＝3)＝P(A1B1A2B2)＝(23)2×(12)2＝19.综上知，ξ的分布列为ξ 1 2 3P 232919所以E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.【反思归纳】概率计算的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．【即时训练】某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一小时按一小时计算)．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为13，12；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．解：(1)甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元．甲、乙两人所付费用都是10元的概率为 P 1＝13×12＝16，甲、乙两人所付费用都是20元的概率为 P 1＝12×13＝16，甲、乙两人所付费用都是30元的概率为 P 1＝1－13－12×1－12－13＝136故甲、乙两人所付费用相等的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＝1336.(2)随机变量ξ的取值可以为20,30,40,50,60. P(ξ＝20)＝12×13＝16P(ξ＝30)＝13×13＋12×12＝1336P(ξ＝40)＝12×13＋1－12－13×13＋1－13－12×12＝1136P(ξ＝50)＝12×1－12－13＋1－12－13×13＝536P(ξ＝60)＝1－12－13×1－12－13＝136 故ξ的分布列为：P16 1336 1136 536 136考点三二项分布京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N(μ，σ2)，同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内)，样本数据分布区间为[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，由此得到如图所示的频率分布直方图．(1)若P(ξ<38)＝P(ξ>68)，求a ，b 的值；(2)现从样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答，每人回答一个问题，答对赢得一台老年戏曲演唱机，答错没有奖品，假设每人答对的概率均为23，且每个人回答正确与否相互之间没有影响，用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数，求η的分布列及数学期望．解：(1)根据正态曲线的对称性，由P(ξ<38)＝P(ξ>68)，得μ＝38＋682＝53. 再由频率分布直方图得⎩⎪⎨⎪⎧(0.01＋0.03＋b ＋0.02＋a )×10＝1，0.1×35＋0.3×45＋10b ×55＋0.2×65＋10a ×75＝53，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.005，b ＝0.035.(2)样本年龄在[70,80]的票友共有0.05×100＝5(人)，由题意η＝0,1,2,3,4,5，所以P(η＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫1－235＝1243， P(η＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－234＝10243， P(η＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－233＝40243， P(η＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝80243， P(η＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫1－231＝80243， P(η＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝32243，所以η的分布列为η 012345 P1243 10243 40243 80243 8024332243所以E(η)＝0×1243＋1×10243＋2×40243＋3×80243＋4×80243＋5×32243＝103，或根据题设，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23，P(η＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)，所以E(η)＝5×23＝103.【反思归纳】在实际问题中具体列出服从二项分布的随机变量的概率分布列对解决问题有直观作用，求解服从二项分布的随机变量的概率分布列和数学期望，只要按照公式计算即可．【即时训练】某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数所进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9，11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列、均值与方差．解：(1)由频率分布直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为40.1＝40.又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.(2)解法一 ξ的所有可能的取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为3740，成绩不合格的概率为1－3740＝340，可判断ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，340. P(ξ＝0)＝C 02×⎝ ⎛⎭⎪⎫37402＝13691600，P(ξ＝1)＝C 12×340×3740＝111800， P(ξ＝2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫3402＝91600，故所求分布列为X 0 12P13691600111800 91600ξ的均值为E(ξ)＝0×13691600＋1×111800＋2×91600＝320，ξ的方差为D(ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3202×13691600＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3202×111800＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3202×91600＝111800.解法二求ξ的分布列同解法一．ξ的均值为E(ξ)＝2×340＝320，ξ的方差为D(ξ)＝2×340×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－340＝111800.考点四正态分布(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (4，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，＋∞)内取值的概率为( )(A)0.2 (B)0.4 (C )0.8(D)0.9(2)已知三个正态分布密度函数f i (x)＝12πσi ·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )(A)μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3(B)μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3(C)μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3(D)μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3(3)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为()(A)73(B)53(C)5 (D)3解析：(1)∵ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ＞0)，∴曲线的对称轴是直线x＝4，∴ξ在(4，＋∞)内取值的概率为0.5.∵ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，∴ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9.(2)正态分布密度函数f2(x)和f3(x)的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又f2(x)的对称轴的横坐标值比f1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数f1(x)和f2(x)的图像一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.故选D.(3)因为ξ服从正态分布N(3,4)，且P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，所以2a－3＋a＋22＝3，解得：a＝73.故选A.答案：(1)D(2)D(3)A【反思归纳】(1)在计算服从正态分布的随机变量在特殊区间上的概率时要充分利用正态密度曲线的对称性，将所求的概率转化到我们已知区间上概率．(2)根据正态密度曲线的对称性，当P(ξ>x1)＝P(ξ<x2)时必然有x1＋x22＝μ.【即时训练】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数是()(A)997 (B)954(C)819 (D)683解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6826，从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.答案：D正态分布与二项分布的综合某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？审题指导满分展示：解：解答：(1)解：20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)解：由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．命题意图：本题考查二项分布、数学期望等基础知识，考查综合运用概率统计知识分析问题和解决问题的能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)＝()(A)12 (B)14 (C)16(D)18A 解析：事件A 的概率为P (A )＝12，事件AB 发生的概率为P (AB )＝14，由公式可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12，选A. 2．已知ξ～N (3，σ2)，若P (ξ≤2)＝0.2，则P (ξ≤4)等于( ) (A)0.2 (B)0.3 (C)0.7(D)0.8D 解析：由ξ～N (3，σ2)，得μ＝3，则正态曲线的对称轴是x ＝3，所以P (ξ≤4)＝1－P (ξ≤2)＝0.8.故选D.3．若某人每次射击击中目标的概率均为35，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )(A)81125 (B)54125 (C)36125(D)27125A 解析：本题考查概率的知识．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35；若三次都击中，其概率为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125，故选A. 4．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )(A)5960 (B)35 (C)12(D)160B 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C →)＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A →)P (B )P (C →)＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.5．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )(A)1 (B)12 (C)13(D)14B 解析：设事件A ：第一次抛出的是偶数点，B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12×1212＝12.故选B.6．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )(A)0 (B)1 (C)2(D)3C 解析：根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得：C k 512k ×125－k ＝C k ＋1512k ＋1×124－k ，解得k ＝2.故选C.7．某电脑配件公司的技术员对某种配件的某项功能进行检测，已知衡量该功能的随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ≤4)＝0.9，该变量X ∈(0,4)时为合格产品，则该产品是合格产品的概率为( )(A)0.1 (B)0.2 (C)0.9(D)0.8D 解析：∵P (X ≤4)＝0.9，∴P (X ＞4)＝1－0.9＝0.1，又此正态曲线关于直线x ＝2对称，故P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝0.1，∴P (0＜X ＜4)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥4)＝0.8，故该产品合格的概率为0.8，故选D. 8．已知随机变量X ～N (2,2)，若P (X ＞t )＝0.2，则P (X ＞4－t )＝( ) (A)0.1(B)0.2(C)0.7 (D)0.8D 解析：P (X ＞4－t )＝1－P (X ＜4－t )＝1－P (X ＞t )＝1－0.2＝0.8.故选D.9．我国的植树节定于每年的3月12日，是我国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，通过立法确定的节日．为宣传此活动，某团体向市民免费发放某种花卉种子．假设这种种子每粒发芽的概率都为0.99，若发放了10 000粒，种植后，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：根据题意显然有X 2－B (10 000,0.01)，所以E (X2)＝10 000×0.01＝100，故E (X )＝200. 答案：20010．某高三毕业班的8次数学周练中，甲、乙两名同学在连续统计解答题失分的茎叶图如图所示．(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．解析：(1)x 甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x 乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0,1,2 .依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，316，P (X ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13162－k，k ＝0,1,2，则X 的分布列为：X 的均值E (X )＝2×316＝38.能力提升练(时间：15分钟)11．已知ξ～Bn ，12，η～Bn ，13，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( ) (A)5 (B)10 (C)15(D)20 B 解析：因为ξ～Bn ，12，所以E (ξ)＝n2，又E (ξ)＝15，则n ＝30. 所以η～B 30，13，故E (η)＝30×13＝10.故选B.12．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )(A)1127 (B)1124 (C)827(D)924 C 解析：设“从1号箱取到红球”为事件A ，“从2号箱取到红球”为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，所以P (AB )＝P (B |A |)·P (A )＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为827，故选C.13．设随机变量X－N(3，σ2)，若P(X＞m)＝0.3，则P(X＞6－m)＝________.解析：∵随机变量X～N(3，σ2)，∴P(X＞3)＝P(X＜3)＝0.5，∵P(X＞m)＝0.3，∴P(X＞6－m)＝P(X＜m)＝1－P(X＞m)＝1－0.3＝0.7.答案：0.714．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．解析：由P(0＜ξ＜3)＝P(ξ＞9)＝0.2，可得在9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2，因此在9年内这个部件不能正常工作的概率为0.83＝0.512，故该部件能正常工作的概率为1－0.512＝0.488.答案：0.48815．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)由题知，P(80≤X＜85)＝12－P(X＜75)＝0.2，P(85≤X＜95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064E (ξ)＝3×0.4＝1.2.16．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作多少个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)的数据，得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．(1)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，(ⅰ)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N *)的函数解析式； (ⅱ)在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率． (2)若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决策依据，判断应该制作16个还是17个？解：(1)(ⅰ)当n ≥17时y ＝17×(100－50)＝850；当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850(n ≤16，n ∈N *)，850(n ≥17，n ∈N *).(ⅱ)设当天的利润不低于750元为事件A ，当天需求量不低于18个为事件B ，由(ⅰ)得，日利润不低于750元等价于日需求量不低于16个，则P (A )＝710，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.15＋0.13＋0.10.7＝1935.(2)蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，X表示当天的利润(单位：元)，X的分布列为E(X)＝550×0.1＋650×0.2＋750×0.16＋850×0.54＝764.若蛋糕店一天制作16个生日蛋糕，Y表示当天的利润(单位：元)，Y的分布列为：E(Y)＝600×0.1＋700×0.2＋800×0.7＝760.由以上的计算结果可以看出，E(X)＞E(Y)，即一天制作17个生日蛋糕的利润大于一天制作16个生日蛋糕的利润，所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．。

2019届一轮复习北师大版二项分布与正态分布学案

12.5二项分布及其应用最新考纲考情考向分析1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3.能解决一些简单的实际问题. 以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用．识别概率模型是解决概率问题的关键．在高考中，常以解答题的形式考查，难度为中档.1．条件概率在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB)P(B)(P(B)>0)．2．相互独立事件(1)一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．(2)如果A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．(3)如果A1，A2，…，A n相互独立，则有P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．3．二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；(3)各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝)＝C k n p(1－p)n－(＝0,1,2，…，n)若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( × ) (2)相互独立事件就是互斥事件．( × )(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( × )(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( × )(5)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( √ ) 题组二教材改编2．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.38 D ．0.56答案 C解析设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为A B ＋A B ， ∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38.3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A.310B.13C.38D.29 答案 B解析设A ＝{第一次拿到白球}，B ＝{第二次拿到红球}，则P (AB )＝C 12C 110×C 13C 19，P (A )＝C 12C 110，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.题组三易错自纠4．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16 答案 B解析因为两人加工成一等品的概率分别为23和34，且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为P ＝23×14＋13×34＝512.5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12答案 B解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. 6．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45B.⎝⎛⎭⎫593×49C 35×14 D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×49答案 B解析由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为⎝⎛⎭⎫593×49.题型一条件概率1．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( )A.310 B.29C.78 D.79答案 D解析方法一设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P(A)＝310，P(AB)＝310×79＝730，则所求概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝730310＝79.方法二第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为C17C19＝79.2．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)，P(A|B)．解如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，∴n(AB)＝1，∴P(AB)＝19，P(A|B)＝n(AB)n(B)＝14.思维升华(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P(AB)P(A)，这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝n(AB)n(A).题型二相互独立事件的概率典例(2017·哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列．解记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35， P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ，于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25，故所求的分布列为思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．跟踪训练为了纪念2017在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．解 (1)记“甲回答正确这道题”、“乙回答正确这道题”、“丙回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝34，且有⎩⎨⎧P (A )·P (C )＝112，P (B )·P (C )＝14，即⎩⎨⎧[1－P (A )]·[1－P (C )]＝112，P (B )·P (C )＝14，所以P (B )＝38，P (C )＝23.(2)有0个家庭回答正确的概率为 P 0＝P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝14×58×13＝596，有1个家庭回答正确的概率为 P 1＝P (A B C ＋A B C ＋A B C ) ＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724，所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132.题型三独立重复试验与二项分布命题点1 根据独立重复试验求概率典例某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.公园甲乙丙丁获得签名人数45603015然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品． (1)求此活动中各公园幸运之星的人数；(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为22，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X ，求X 的分布列．解 (1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为 45150×10＝3，60150×10＝4，30150×10＝2，15150×10＝1. (2)根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为C 44⎝⎛⎭⎫224＝14，所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为 C 24⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫342＝27128.(3)由题意，知X 的所有可能取值为2,3,4，服从超几何分布，P (X ＝2)＝C 28C 22C 410＝215，P (X ＝3)＝C 38C 12C 410＝815，P (X ＝4)＝C 48C 02C 410＝13.所以X 的分布列为命题点2 根据独立重复试验求二项分布典例一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18，P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.思维升华独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率时，首先要确定好n 和的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率．跟踪训练 (2017·牡丹江模拟)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 m /h 的有40人，不超过100 m/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 m /h 的有20人，不超过100 m/h 的有25人． (1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 m/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 m/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的分布列．解 (1)平均车速不超过100 m/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 240，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 115C 125，所以所求的概率P (A )＝C 115C 125C 240＝15×2520×39＝2552.(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 m/h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25，故X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25.所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫250⎝⎛⎭⎫353＝27125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫25⎝⎛⎭⎫352＝54125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫252⎝⎛⎭⎫35＝36125，P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫253⎝⎛⎭⎫350＝8125. 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125独立事件与互斥事件典例(1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是37，乙夺得冠军的概率是14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． (2)某射手每次射击击中目标的概率都是23，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．错解展示：(1)设“甲夺得冠军”为事件A ，“乙夺得冠军”为事件B ，则P (A )＝37，P (B )＝14，由A ，B是相互独立事件，得所求概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝37×34＋47×14＋37×14＝1628＝47.(2)所求概率P ＝C 35×⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＝80243. 错误答案 (1)47 (2)80243现场纠错解析 (1)设“甲夺得冠军”为事件A ，“乙夺得冠军”为事件B ，则P (A )＝37，P (B )＝14.∵A ，B 是互斥事件，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝37＋14＝1928.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881. 答案 (1)1928 (2)881纠错心得 (1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”． (2)区分独立事件与n 次独立重复试验．1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.18 答案 A解析由古典概型知P (A )＝12，P (AB )＝14，则由条件概率知P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.2．(2018·大连模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45 答案 A解析已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.3．(2017·武昌模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p 等于( ) A.110 B.215 C.16 D.15 答案 B解析由题意得18(1－p )＋⎝⎛⎭⎫1－18p ＝940， ∴p ＝215，故选B.4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312 答案 A解析 3次投篮投中2次的概率为P ( ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P ( ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P ( ＝2)＋P ( ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B ．C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 答案 D解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582＝C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582.6．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.710 答案 A解析设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，“丙命中目标”为事件C ，则击中目标表示事件A ，B ，C 中至少有一个发生．又P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率P ＝1－P (A B C )＝34.7．(2017·德阳模拟)一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．答案1528解析记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 26C 28＝1528，即所求事件的概率是1528. 8．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．答案 38解析设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ， ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝⎝⎛⎭⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.9．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．答案516解析由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫122＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝516. 10．(2017·长沙模拟)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是________．答案1927解析乙队3∶0获胜的概率为13，乙队3∶1获胜的概率为23×13＝29，乙队3∶2获胜的概率为⎝⎛⎭⎫232×13＝427.∴最后乙队获胜的概率为P ＝13＋29＋427＝1927.11．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列．解 (1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3，同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X ～B (3,0.3)，X 的可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝ )＝C k 3(0.3) ·(1－0.3)3－. 故P (X ＝0)＝C 03×0.30×(1－0.3)3＝0.343， P (X ＝1)＝C 13×0.3×(1－0.3)2＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.32×(1－0.3)＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027，故X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.3430.4410.1890.02712．张先生家住H 小区，他工作在C 技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线(如图)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的分布列．解 (1)设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则P (A )＝C 03×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×12×⎝⎛⎭⎫122＝12. 所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－35＝110， P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－34×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P11092092013．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号) ①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，它与A 1，A 2，A 3中哪一个发生都有关．答案 ②④解析由题意知A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件， P (A 1)＝510＝12，P (A 2)＝210＝15，P (A 3)＝310，P (B |A 1)＝12×51112＝511，P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，而P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝12×511＋15×411＋310×411＝922. 14．(2017·兰州模拟)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？解 (1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，则事件A 1的对立事件A 1为“甲连续射击4次，全部击中目标”．由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验．故P (A 1)＝C 44⎝⎛⎭⎫234＝1681.所以P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－1681＝6581.所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232＝827， P (B 2)＝C 34⎝⎛⎭⎫343×⎝⎛⎭⎫1－341＝2764. 由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则A 3＝D 5D 4D 3(D 2D 1＋D 2D 1＋D 2D 1)，且P (D i )＝14.由于各事件相互独立，故P (A 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D 3)P (D2D 1＋D 2D 1＋D 2D 1)＝14×14×34×⎝⎛⎭⎫1－14×14＝451 024. 所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.15．设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________.答案1927解析 ∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59，解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927. 16．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解 (1)依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件A ( ＝0,1,2,3,4)．则P (A )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13 ⎝⎛⎭⎫234－ . 故这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4. 由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133×23＋C 44⎝⎛⎭⎫134 ＝19.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故 P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝C 14⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫233＋C 34⎝⎛⎭⎫133×23＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝⎛⎭⎫234＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝1781. 所以ξ的分布列是。

高考数学(理)北师大版一轮课件12.4二项分布与正态分布ppt版本

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答案
-12-
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1
条件概率
例1(1)把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A,“第
二次(出1)现由反古面典”概为型事知件BP,(则A)P=(B1,|PA()A等B于)=(1,则由) 条件概率知
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P(B|AA.)12=��(��(��))
P(X=4 000)=P(��)P(��)=(1-0.5)×(1-0=1,2,…,5;P(Cj)=18,j=1,2,…,8.
P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=15
×
1 8
=
410,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8.
考点1
考点2
考点3
考点4
-18-
设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”. 由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2 ∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4. 因此
③P(μ-σ<X<μ+σ)= 68.3%
;
P(μ-2σ<X<μ+2σ)= 95.4%
;
P(μ-3σ<X<μ+3σ)= 99.7%
.
知识梳理
-7-
知识梳理双基自测
12345
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.( ) (2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( ) (3)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中的a=p,b=1-p.( ) (4)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).( ) (5)X服从正态分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中参数μ和σ2分别表示正态分布的均值和方差.( )

一轮复习北师大版二项分布与正态分布课件ppt(共27张PPT)

复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
(2)正态曲线的性质 ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交． ②曲线关于直线x＝μ 对称 . ③曲线在x＝μ时位于最高点 . ④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降 . 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线
向它无限靠近．
⑤当μ一定时，曲线形状由σ确定．σ越大，曲线越 “矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 .
①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为
“成功”和“失败”；
②每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率为1－p；
③各次试验是相互独立的．
用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)
＝
.
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为 n，p的二项分布，简记为 X～B(n，p) .
复习目标
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1．二项分布是重要分布之一，判断一个随机变量是
否服从二项分布，要看两点：
(1)是否为n次独立重复试验；
(2)随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发
生的次数．
注意：①在实际应用中，往往出现数量“较
大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独
立重复试验，进而可以判断是否服从二项分布．
第76讲二项分布与正态分布
第第7766讲讲相二二互项项分分独布布与与立正正态态分分的布布，各学生的选择相互之间没有影响．
第76讲二项分布与正态分布
第76讲第76讲
二二项项分分(布布1与与)正正求态态分分其布布中甲、乙两人选做同一题的概率；

第十章第八节二项分布及其应用 (理)

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(2)记两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则 P(C)＝(14×12)＋(14×14＋12×12)＋(12×14＋14×12＋14×14)＝34. 答：两人所付的租车费用之和小于6元的概率是34.
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[悟一法] 1.求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． (2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入
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(2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D，“方程x2＋bx
＋c＝0有实根”为事件E，则P(D)＝
11 36
，P(D∩E)＝
7 36
，
P(E|D)＝PPD∩DE＝171.
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[做一题] [例2] (2011·四川高考)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车
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5．某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从 2 道文史题和 3 道理科题中不放回地依次抽取 2 道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为 ________．
解析：在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的
A23 概率为 P＝AC2513＝12.
C15 答案：12
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所以 ξ的分布列是
ξ
0
12
3
6
P
1 24 8 27 9 27 27
8 27
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[悟一法] 1.独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互
独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． 2.二项分布满足的条件 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．

2019高三数学理北师大版一轮教师用书第10章第8节二项分布与正态分布 Word版含解析

第八节二项分布与正态分布[考纲传真](教师用书独具).了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.理解次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．条件概率在已知发生的条件下，事件发生的概率叫作发生时发生的条件概率，用符号()来表示，其公式为()＝(()＞)．．相互独立事件()一般地，对两个事件，，如果()＝()()，则称，相互独立．()如果，相互独立，则与，与，与也相互独立．()如果，，…，相互独立，则有(…)＝()()…()．．独立重复试验与二项分布()独立重复试验在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验，其中(＝，…，)是第次试验结果，则(…)＝()()()…()．()二项分布进行次试验，如果满足以下条件：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率均为，“失败”的概率均为－；③各次试验是相互独立的．用表示这次试验中成功的次数，则(＝)＝(－)－(＝，…，)若一个随机变量的分布列如上所述，称服从参数为，的二项分布，简记为～(，)．．正态分布()正态曲线的特点：①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线＝μ对称；③曲线在＝μ处达到峰值；④曲线与轴之间的面积为；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．()正态分布的三个常用数据①(μ－σ＜≤μ＋σ)＝；②(μ－σ＜≤μ＋σ)＝；③(μ－σ＜≤μ＋σ)＝.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()相互独立事件就是互斥事件．( )()若事件，相互独立，则()＝()．( )()()表示事件，同时发生的概率，一定有()＝()·()．( )()在正态分布的分布密度上，函数：()＝中，σ是正态分布的标准差．( )()二项分布是一个用公式(＝)＝(－)－，＝，…，表示的概率分布列，它表示了次独立重复试验中事件发生的次数的概率分布．( )[答案]()×()√()×()√()√．已知()＝，()＝，则()等于( )．．．．[由()＝()()，得＝()，所以()＝.]．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试次，那么其中恰有次获得。

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第10章第8节

第八节二项分布与正态分布[考纲传真](教师用书独具)1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(对应学生用书第185页)[基础知识填充]1．条件概率在已知B发生的条件下，事件A发生的概率叫作B发生时A发生的条件概率，用符号P(A|B)来表示，其公式为P(A|B)＝P(AB)P(B)(P(B)＞0)．2．相互独立事件(1)一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．(2)如果A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．(3)如果A1，A2，…，A n相互独立，则有P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A i(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．(2)二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；③各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．4．正态分布(1)正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝68.3%；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝95.4%；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝99.7%.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相互独立事件就是互斥事件．()(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(3)P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．()(4)在正态分布的分布密度上，函数：f(x)＝1σ2πe－(x－μ)22σ2中，σ是正态分布的标准差．()(5)二项分布是一个用公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．已知P(B|A)＝12，P(AB)＝38，则P(A)等于()A ．316B ．1316C ．34D ．14C [由P (AB )＝P (A )P (B |A )，得38＝12P (A )，所以P (A )＝34.]3．(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )A ．49B ．29C ．427D ．227 A [所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.]4．(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312A [3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A ．]5．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜4)＝________.0.6 [由P (ξ＜4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x ＝2对称．则P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，所以P (0＜ξ＜4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6.](对应学生用书第186页)(1)(2018·西宁检测(一))盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为()A．35B．59C．25D．110(2)(2018·东北三省三校二模)甲、乙两人从1,2,3，…，10中各任取一数(不重复)，已知甲取到的数是5的倍数，则甲数大于乙数的概率为________．(1)B(2)1318[(1)“第一次摸出新球”记为事件A，则P(A)＝35，“第二次摸出新球”记为事件B，则P(AB)＝C26C210＝13，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1335＝59，故选B．(2)由于已知甲取到的数是5的倍数，那么所有的取数的基本事件有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(10,1)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共18种，而满足甲数大于乙数的基本事件有13种，故所求的概率为P＝13 18.]红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )【导学号：79140372】A ．110B ．15C ．25D ．12C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1512＝25.故选C ．](2018·重庆调研(二))甲、乙、丙三人各自独立地加工同一种零件，已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为12，乙加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率为112，甲加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率为29，记A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三人各自加工的零件是一等品的事件．(1)分别求出事件A ，B ，C 的概率P (A )，P (B )，P (C )；(2)从甲、乙、丙三人加工的零件中随机各取1个进行检验，记这3个零件是一等品的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．[解] (1)由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P (A B )＝12，P (BC )＝112，P (AC )＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P (A )·(1－P (B ))＝12，P (B )·P (C )＝112，P (A )·P (C )＝29.解得P (A )＝23，P (B )＝14，P (C )＝13.(2)由(1)知P (A )＝13，P (B )＝34，P (C )＝23，ξ的可能取值为0,1,2,3. ∴P (ξ＝0)＝P (A B C )＝13×34×23＝16， P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C ) ＝23×34×23＋13×14×23＋13×34×13＝1736，P (ξ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝23×14×23＋23×34×13＋13×14×13＝1136，P (ξ＝3)＝P (ABC )＝23×14×13＝118. ∴ξ的分布列为功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列． [解] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H －＝E －F －，于是P (H －)＝P (E －)P (F －)＝13×25＝215.故所求的概率为P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X ＝0)＝P (E －F －)＝13×25＝215， P (X ＝100)＝P (E －F )＝13×35＝15， P (X ＝120)＝P (E F －)＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝25. 故所求X 的分布列为一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12；且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ [解] (1)X 的可能取值有－200,10,20,100. 根据题意，有P (X ＝－200)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝18， P (X ＝10)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38， P (X ＝20)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120＝18. 所以X 的分布列为(2)由(1)P ＝38＋38＋18＝78.则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是P 1＝1－C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫780⎝ ⎛⎭⎪⎫1－783＝511512.须且只需在其中选做一题．设4名学生选做每一道题的概率均为12. (1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名学生中选做第23题的学生个数为ξ，求ξ的分布列． [解] (1)设事件A 表示“甲选做第22题”，事件B 表示“乙选做第22题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A B ”，且事件A 、B 相互独立．故P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则P (ξ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k ＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)．故ξ的分布列为(1)(2018·东北三省三校二模)已知随机变量X ～N (0，σ2)，若P (|X |<2)＝a ，则P (X >2)的值为( ) A ．1－a 2 B ．a 2 C ．1－aD ．1＋a 2(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )【导学号：79140373】(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.74%.A．4.56%B．13.59%C．27.18% D．31.74%(1)A(2)B[(1)根据正态分布可知P(|X|<2)＋2P(X>2)＝1，故P(X>2)＝1－a 2，故选A．(2)由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.9544，故P(3＜ξ＜6)＝P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.1359＝13.59%，故选B．]态分布N(100,102)，已知P(90≤X≤100)＝0.3，则该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．10[由题意，知P(X>100)＝1－2P(90≤X≤100)2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.]。

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