函数极限的性质

第十三讲、函数极限的性质
定理13.1.（唯一性）若极限
lim x→x f (x) 存在，则极限值唯一.
证明：我们使用反证法加以证明。

假设
lim ( ) lim ( )
x→x f x =A及x→x f x =B ，
0 0
A <
B 。

取ε= (B −A) / 2 ，则存在δ1>0，使得当0 <| x −x0|<δ1时
3A B A B
A ε f x A ε
−=−<<+=+（13.1）
( )
2 2
，使得当0 <| x −x0|<δ2时
20
存在δ>
A B 3B A
B ε f x B ε
+=−<<+=−（13.2）
( )
2 2
现取正数
δ=δδ，则当0 <| x −x0 |<δ时，由（13.1）与（13.2）可得min{ , }
1 2
A B
<<
2
+
f (x) f (x)
矛盾！证毕。

定理13.2 .（函数极限的局部有界性）
若极限l im x→x f (x) 存在，则存在δ>0，使得f (x) 在邻域( 0; )
U o x δ内有
界.
定理13.3. 若l im ( )
x→x f x =A，
x→x f x =
A，
0 lim ( )x→x g x =B 且A <B ，则存在δ>0使当
x→x g x =B 且A <B ，则存在δ>0使当
x∈U x δ时, 有 f (x) <g(x) .
o
( ; )
在上面的定理13.3 中，取g(x) ≡ 0 ，则有
x→x f x =A且A > 0 , ( A < 0 )
推论13.1 .( 局部保号性). 若lim ( )
x∈U o x δ时, 有 f (x) > 0 （f (x) < 0）.
则存在δ>0使当( 0; )
x∈U o x δ时, 有 f (x) ≤g(x) 且推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当( 0; )
lim ( )
x→x f x =A，x→x f x =
A，
0 lim ( )x→x g x = B ，则A ≤ B 。

x→x g x =B ，则A ≤
B 。

x∈U x δ时, 有 f (x) ≤h(x) ≤g(x)且
o
定理13.4.（迫敛性）若存在δ>0使当( 0; )
x→x f x =x→x g x =A 则且lim ( ) lim ( )
0 0 lim ( )
x→x h x =A。

x→x h x =
A。

注记13.1. （I）和数列极限性质类似，在推论13.2 中，把条件
“f (x) ≤g(x) ”换成更强的条件“f (x) <g(x) ”时，我们得到的结论仍然是A ≤ B ，并不能得到更强的A <B 。

（II）以上定理及推论都可以推广到左右极限x →x0 −，x →x +及自变量
趋于
∞, +∞, −∞的情形，请读者根据极限的定义自行给出。

例如对于上面的定理13.4，我们有：
定理：若存在实数M 使当x∈(−∞,M )时, 有 f (x) ≤h(x) ≤g(x)且
x→−∞f x =x→−∞g x =A 则lim x→−∞h(x) =
A。

且lim ( ) lim ( )
定理13.5.（归结原则）设f(x)在U o(0;λ)中有定义。

则
x l im ( )x→x f x =A的充
x→x f x =A
的充
分必要条件是：对于任何在U o(0;λ)中收敛于x0 的数列{x n}都有
x
n→+∞f x n =A.
lim ( )
x→x f x =A。

则对任意ε> 0 ，存在正数
证明：（必要性）假设lim ( )
0，使得
<δ<λ
| f (x) −A|<ε对所有x∈o(;)成立（13.3）
U x
0δ
现对任意取自于(0;λ)
U o中收敛于x0 的数列{x n}，取正整数N 使得当n >N
x
时，|n−|<δ。

则由（13.3）我们有：当n >N 时
x x
| ( ) |
f x −A <ε
n
于是得到lim n
→+∞
f (x n)=A。

(充分性)我们用反证法证明。

假设x
→x f x =A不真。

则存在0 0
ε>
，lim ( )
使得对任意正数0<δ<λ，均存在xδ∈U o x δ满
足
( ; )
| f (xδ) −A|≥ε
1的
δ现在对每个满足n<λ正整数n ，分别取=
1
n
，这样对应得到
x ∈U x n 满足 f x −A ≥ε（13.4）o ( ;1/ ) | ( ) |
n 0 n 0
于是，由（13.4）我们在(;)x ，它收敛于
U o0λ中得到数列{ }
x
n
n→+∞f x n =A不真，矛盾！证毕。

lim ( ) x的，但0
注记13.2. （I）上面定理13.5 的结论可以推广到左右极限x →x0 −，x→x+及自变量趋于∞, +∞, −∞的情形，请读者根据定理13.5 的证明0
方法自行给出相应的证明。

例如我们有：
定理A：lim x
→∞
f (x) =A的充分必要条件是：对于任何满足
n→+∞f x n =A。

{x }都有lim ( )
n x →∞的数列
n
定理B：lim ( ) +( ; )中收敛于
x 的数列{x }都有lim ( )
n→+∞f x n =A.
0 n
（II）上述定理给出了函数极限与数列极限之间的内在关系，在函数极限（连续型）与数列极限（离散型）之间架起了一座桥梁。

例如，很容易得到下面的定理
定理13.6. 设函数f (x)在(a,b)上单调增加（减少）有上界（下界），则
lim x→b−f (x) 极限存在。

1
lim sin
例子13.1. 证明x→0 x 不存在.
证明：这个例子我们在例子12.5 中已经证明，下面我们使用定理13.5（归结原则）来重新加以证明。

我们在0 的去心邻域内取两列趋于0 的数列
1 1
x , y
==
n n
nπnπ+π
2 2 / 2
然而知
1 1
→∞=→∞=。

于是，由定理13.5（归结原则）可lim sin 0, lim sin 1
n n
x y
n n
1
lim sin
x→x 不存在。

证毕。