八年级下册数学课件(鲁教版)二次根式的乘除 第二课时
1 18 2 3 12a 6a
2、
72 6
4
、
b 5
b 20a2
教师评讲 解1 18 2= 18 2= 9=3
2 72 = 72 = 12=2 3
66
3 12a 6a = 12a 6a = 2
4、
b 5
b 20a2
=
b 5
b 20a2
=
a a a 0,b＞0
bb
动脑想一想
师：怎么运用这个法则进行二次根式除法 运算呢？
例1计算
1 24
3
2
3
2
1 18
3 6a 3a
4
1 4
1 16
例题精讲
解1 24 = 24 = 8= 4 2=2 2
33
解2 3 1 = 3 1 = 3 18= 3 9=3 3
2 18 2 18 2
解3 6a 3a = 6a 3a = 2 解4 1 1 = 1 16= 4=2
4 16 4
除以一个数等 于乘以这个数 的倒数。能约 分先约分后计 算。开得尽的 因数、因式放 在根号外
动脑想一想做一做
师：同学们学会了吗？请大家小试身手。 巩固训练1
1、计算（学生演板）
（-b）2=b2
1、计算
1 x-y
x+ y
2
24
-2
3 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-3
5
3
a+b a-b =a 2 -b2
乘除混合运算从左到右
解1
x-y
x-y
=
=
x-y
x- y
x+ y x+ y x+ y x- y
x-y x- y
4 二次根式的乘除（2）
二次根式的除法
1、知识与技能： 理解 a = a （a≥0，b>0）和 及利用它b 们进b 行运算．
a= b
a
b（a≥0，b>0）
理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简
二次根式的化成最简二次根式．
2、过程与方法 ： 通过学生练习活动，发现规律，由特殊运算归
纳出一般的除法法则，并用逆向思维写出逆向等式 及利用它们进行计算和化简．分析计算或化简的结 果提炼最简二次根式的概念，并根据它的特点来检 验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 3、情感态度与价值观 ： 发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的 兴趣，创设探究式与合作交流的的学习气氛
52 5 =
32 3
2
75 27
巩固训练2
1、化简
1 3
6
2 3
2 40
小试牛刀
3
2xy 2x
4
3
45y2 5y
化简时要注意1、运算符号。2、运 用公式。3、约分与开方兼顾
分享硕果
学生小组合作展示学习成果教师点评
解：1 3 = 3 6 = 3 6 = 6（依据分数性质）
2 22 2
4 4 = 2 3 = 2 3
3 3 3 3
小数化成分数 再去掉分母中
根号
巩固训练
1、在
3x
2、13、
3x 3
、
a、 2
a
2
-4中最简二次根式有
13、 3x 、a2 -4 3
2、若a＞0，把 -4a 化成最简二次根式 b
解：2 -4a 0，a＞0
b ∴b＜0
-4a = -4ab =- 2 -ab b bb b
2．被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式．
在二次根式的运算中一般要把最后结果 化成最简二次根式，并且分母中不含二 次根式。
学而为之用
现在来看本章引言：可得它们的半径之 比是 2Rh1 怎样把这个式子化简呢？
2 Rh 2
解 2Rh1 = 2R h1 = h1 = h1 h2 = h1h2 2Rh2 2R h2 h2 h2 h2 h2 由此可得传播半径比只与高度有关
16 = 4 36 6
16
4 =
36 6
36 = 6 81 9
36 81 =
6 9
新知讲解：
16.2.2 二次根式的除法 观察以上运算我们发现：
99 16 = 16
16 = 16 36 36
4= 16
4 16
36 81
=
36 81
除法法则
即两个非负数的算术平方根的商等 于这两数商的算术平方根。由此可 得二次根式的除法法则：
例题精讲
例3把下列各式化成最简二次根式
1 32 3 1.5
2 40
4
4 3
回顾最简二次根式的条件化简。 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式．
解1 32= 16 2=4 2
2 40= 4 10=2 10
3 1.5= 3 = 3 2 = 6
2
2
解2 a b = a + b = a + b = a+b
b aba
ab
ab
∵a+b=-6、ab=8
原式 = -6 = -6 2 =- 6 2 = 3 2 8 8 2 16 2
3、已知b2 +10b+25+ 2a-1=0 ∴ b+5=0
求 - ab的值 10
解由b2 +10b+25+ 2a-1=0
3 5
5= 5
3
5
2
=
5
15 5
变式 目的： 去掉 分母 中根 号
再接再厉
解2 3 2 = 3 2 = 3 2
27 32 3 32 3 =3 2= 2= 2 3= 6
3 3 3 3 3 3
解3 8 = 8 2a = 4 a = 2 a
2a 2a 2a 2a a
观察上面计算题化简题的最后结果，可 以发现这些式子中的二次根式有如下两 个特点： 1．被开方数不含分母；
b 20a2 = 5b
4a2 =2a
精讲精炼
因为 a a a 0,b＞0
bb
反过来 a a a 0,b＞0这个公式可以对
bb 二次根式进行化简吗？
例题精讲
例2化简
1 3
100
解：1 3 = 3 = 3
100 100 10
解2
75 = 27
52 3 32 3 =
∴b+52 + 2a-1=0
2a-1=0
∴a= 1，b=-5 2
- ab =
1 -5
-2
=
1=1
10
10 4 2
a a a 0,b＞0
二 次 根
法则
bb
a a a 0,b＞0
bb
式
最简二次根式条件：
的
1．被开方数不含分母；
除
法
2．被开方数中不含能开得
尽方的因数或因式．
9y
3 5y 3 5y 3
整式与整 式结合， 根式与根 式结合
=- 1 3 y =- （y 强调9开方后应与分子乘） 3
再接再厉
2、计算演板
1 3
5
2 3 2
27
3
8 2a
解：1解法1、 3 =
5
35 = 55
15 52 =
15 =
52
15 5
解法2、 3 = 5
6 6 6 6 2
解2 2 = 1 2 = 1 1 = 1 5 = 5
3 40 3 40 3 20 3 20 5 30
结果：分母中不含根式
分享硕果
解3 2xy = 2xy 2x = 2xy 2x =y 2x
2x 2x 2x 2x
解4 - 45y2 =- 1
45y2 1 =-
=
= x- y
x-y
解2
24
-2
3 4
-3
5 3
=-
1 2
24
3 4
-3
5
3
=- 1 2
24
4 3
-3
5 3
=-
1 2
4
2
-3
5
3
=6 2 5 =6 10 3 =2 30 3 33
2、a b 6,ab 8，求 a b的值 ba
1 、引入新课 （学生活动）请同学们完成下列问题： 写出二次根式的乘法法则及逆运算等式．
a b ab a 0b 0 ab a b
那么二次根式除法运算有什么规律呢？请观 察下列各式计算结果：
做一做
9 3 16 4
9= 3 16 4
4 =2 16 4
42 16 = 4
2、
72 6
4
、
b 5
b 20a2
教师评讲 解1 18 2= 18 2= 9=3
2 72 = 72 = 12=2 3
66
3 12a 6a = 12a 6a = 2
4、
b 5
b 20a2
=
b 5
b 20a2
=
a a a 0,b＞0
bb
动脑想一想
师：怎么运用这个法则进行二次根式除法 运算呢？
例1计算
1 24
3
2
3
2
1 18
3 6a 3a
4
1 4
1 16
例题精讲
解1 24 = 24 = 8= 4 2=2 2
33
解2 3 1 = 3 1 = 3 18= 3 9=3 3
2 18 2 18 2
解3 6a 3a = 6a 3a = 2 解4 1 1 = 1 16= 4=2
4 16 4
除以一个数等 于乘以这个数 的倒数。能约 分先约分后计 算。开得尽的 因数、因式放 在根号外
动脑想一想做一做
师：同学们学会了吗？请大家小试身手。 巩固训练1
1、计算（学生演板）
（-b）2=b2
1、计算
1 x-y
x+ y
2
24
-2
3 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-3
5
3
a+b a-b =a 2 -b2
乘除混合运算从左到右
解1
x-y
x-y
=
=
x-y
x- y
x+ y x+ y x+ y x- y
x-y x- y
4 二次根式的乘除（2）
二次根式的除法
1、知识与技能： 理解 a = a （a≥0，b>0）和 及利用它b 们进b 行运算．
a= b
a
b（a≥0，b>0）
理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简
二次根式的化成最简二次根式．
2、过程与方法 ： 通过学生练习活动，发现规律，由特殊运算归
纳出一般的除法法则，并用逆向思维写出逆向等式 及利用它们进行计算和化简．分析计算或化简的结 果提炼最简二次根式的概念，并根据它的特点来检 验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 3、情感态度与价值观 ： 发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的 兴趣，创设探究式与合作交流的的学习气氛
52 5 =
32 3
2
75 27
巩固训练2
1、化简
1 3
6
2 3
2 40
小试牛刀
3
2xy 2x
4
3
45y2 5y
化简时要注意1、运算符号。2、运 用公式。3、约分与开方兼顾
分享硕果
学生小组合作展示学习成果教师点评
解：1 3 = 3 6 = 3 6 = 6（依据分数性质）
2 22 2
4 4 = 2 3 = 2 3
3 3 3 3
小数化成分数 再去掉分母中
根号
巩固训练
1、在
3x
2、13、
3x 3
、
a、 2
a
2
-4中最简二次根式有
13、 3x 、a2 -4 3
2、若a＞0，把 -4a 化成最简二次根式 b
解：2 -4a 0，a＞0
b ∴b＜0
-4a = -4ab =- 2 -ab b bb b
2．被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式．
在二次根式的运算中一般要把最后结果 化成最简二次根式，并且分母中不含二 次根式。
学而为之用
现在来看本章引言：可得它们的半径之 比是 2Rh1 怎样把这个式子化简呢？
2 Rh 2
解 2Rh1 = 2R h1 = h1 = h1 h2 = h1h2 2Rh2 2R h2 h2 h2 h2 h2 由此可得传播半径比只与高度有关
16 = 4 36 6
16
4 =
36 6
36 = 6 81 9
36 81 =
6 9
新知讲解：
16.2.2 二次根式的除法 观察以上运算我们发现：
99 16 = 16
16 = 16 36 36
4= 16
4 16
36 81
=
36 81
除法法则
即两个非负数的算术平方根的商等 于这两数商的算术平方根。由此可 得二次根式的除法法则：
例题精讲
例3把下列各式化成最简二次根式
1 32 3 1.5
2 40
4
4 3
回顾最简二次根式的条件化简。 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式．
解1 32= 16 2=4 2
2 40= 4 10=2 10
3 1.5= 3 = 3 2 = 6
2
2
解2 a b = a + b = a + b = a+b
b aba
ab
ab
∵a+b=-6、ab=8
原式 = -6 = -6 2 =- 6 2 = 3 2 8 8 2 16 2
3、已知b2 +10b+25+ 2a-1=0 ∴ b+5=0
求 - ab的值 10
解由b2 +10b+25+ 2a-1=0
3 5
5= 5
3
5
2
=
5
15 5
变式 目的： 去掉 分母 中根 号
再接再厉
解2 3 2 = 3 2 = 3 2
27 32 3 32 3 =3 2= 2= 2 3= 6
3 3 3 3 3 3
解3 8 = 8 2a = 4 a = 2 a
2a 2a 2a 2a a
观察上面计算题化简题的最后结果，可 以发现这些式子中的二次根式有如下两 个特点： 1．被开方数不含分母；
b 20a2 = 5b
4a2 =2a
精讲精炼
因为 a a a 0,b＞0
bb
反过来 a a a 0,b＞0这个公式可以对
bb 二次根式进行化简吗？
例题精讲
例2化简
1 3
100
解：1 3 = 3 = 3
100 100 10
解2
75 = 27
52 3 32 3 =
∴b+52 + 2a-1=0
2a-1=0
∴a= 1，b=-5 2
- ab =
1 -5
-2
=
1=1
10
10 4 2
a a a 0,b＞0
二 次 根
法则
bb
a a a 0,b＞0
bb
式
最简二次根式条件：
的
1．被开方数不含分母；
除
法
2．被开方数中不含能开得
尽方的因数或因式．
9y
3 5y 3 5y 3
整式与整 式结合， 根式与根 式结合
=- 1 3 y =- （y 强调9开方后应与分子乘） 3
再接再厉
2、计算演板
1 3
5
2 3 2
27
3
8 2a
解：1解法1、 3 =
5
35 = 55
15 52 =
15 =
52
15 5
解法2、 3 = 5
6 6 6 6 2
解2 2 = 1 2 = 1 1 = 1 5 = 5
3 40 3 40 3 20 3 20 5 30
结果：分母中不含根式
分享硕果
解3 2xy = 2xy 2x = 2xy 2x =y 2x
2x 2x 2x 2x
解4 - 45y2 =- 1
45y2 1 =-
=
= x- y
x-y
解2
24
-2
3 4
-3
5 3
=-
1 2
24
3 4
-3
5
3
=- 1 2
24
4 3
-3
5 3
=-
1 2
4
2
-3
5
3
=6 2 5 =6 10 3 =2 30 3 33
2、a b 6,ab 8，求 a b的值 ba
1 、引入新课 （学生活动）请同学们完成下列问题： 写出二次根式的乘法法则及逆运算等式．
a b ab a 0b 0 ab a b
那么二次根式除法运算有什么规律呢？请观 察下列各式计算结果：
做一做
9 3 16 4
9= 3 16 4
4 =2 16 4
42 16 = 4
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鲁教版(五四学制)八年级数学下册课件：7.3二次根式的
2.被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方
的因式，这样的二次根式称为最简二次根式.
27 = 32 ×3 = 3 3,
5 = 5×3 = 15 . 12 12×3 6
交流与发现 交流与发现
1. 如图，两个长方形的宽都是 m，2 它们的长分别是 2m和3m，求这两个长方形面积的和。
(1)这两个长方形的面积分别为 __2__2m2和___3__2m2，两个 长方形面积的和为____2__2___+_3___2m2.
明确目标
• 1.知道并会辨别两个根式是否是同类二次根 式,会区分最简二次根式与同类二次根式.
• 2.会通过合并同类二次根式，进行二次根式 加减法运算，进一步了解归类数学思想方法.
知识铺垫
1.二次根式的化简: ab = a · b (a ≥ 0,b ≥ 0).
a= a bb
(a ≥ 0,b > 0).
(2)直接求出大长方形的面积： _（__2_+__3_）___2__=_5（2m2）
因此我们得到：
2m
3m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2m
2 2 + 3 2 =（2+3） 2 =5 2
2.如果两个正方形的面积分别是18 和8，那么大正方形的边长比小正方 形的边长大多少?
需要计算 18 - 8
先把它们化简： 18 = 9 ×2 = 3 2
二次根式的加减法法则：
二次根式相加减，应先把各个二次根式化 为最简二次根式，然后再将同类二次根式 分别合并，有括号时，先要去括号.
例题引领
例1 计算：
（1） 2 12 - 27 + 18
1 （2） 45 -（5 1 + 5）
鲁教版数学八年级下册7.1《二次根式》ppt课件3
义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册
温故知新
1. 当a ≥ 0时, a2 = a.
2. 当a ≥ 0时, ( a )2 = a2 .
3.
2
2
3
3
5
5
4
4
=
注意：a≥0，b＞0时，性质才成立。
12
52
42
13
3
3
观察例5中化简后的各式，可以发现： （1）它们的被开方式中_都__不__含__分_母___, （2）被开方式中不含有_能__本P9
A组 4、5题 B组 3题
再 见
15 （3） x2
x
6
9y4 3y2
（思4考）：5当94 被37开方（数5）是带a3分数3a或2 多(a项≥0式) 时应a a如何3 做？
1.
2.
（1）它们的被开方式中_都__不__含__分_母___, （2）被开方式中不含有_能__开_得__尽__方___的因式.
这样的二次根式称为最简二次根式.
这样的二次根式称为最简二次根式.
1.下列各式中是最简二次根式的是（ D ）
x A. 3
B. 8a
C. 8x3 D. x3 1
2.若
x= x 1
x 成立，则（ D ）
x 1
A. x≥0 B. x≥1 C. 0≤x≤1 3.把下列根式化成最简二次根式：
D. x＞1
2 （1） 5
10 5
（2）
5 12
温故知新
1. 当a ≥ 0时, a2 = a.
2. 当a ≥ 0时, ( a )2 = a2 .
3.
2
2
3
3
5
5
4
4
=
注意：a≥0，b＞0时，性质才成立。
12
52
42
13
3
3
观察例5中化简后的各式，可以发现： （1）它们的被开方式中_都__不__含__分_母___, （2）被开方式中不含有_能__本P9
A组 4、5题 B组 3题
再 见
15 （3） x2
x
6
9y4 3y2
（思4考）：5当94 被37开方（数5）是带a3分数3a或2 多(a项≥0式) 时应a a如何3 做？
1.
2.
（1）它们的被开方式中_都__不__含__分_母___, （2）被开方式中不含有_能__开_得__尽__方___的因式.
这样的二次根式称为最简二次根式.
这样的二次根式称为最简二次根式.
1.下列各式中是最简二次根式的是（ D ）
x A. 3
B. 8a
C. 8x3 D. x3 1
2.若
x= x 1
x 成立，则（ D ）
x 1
A. x≥0 B. x≥1 C. 0≤x≤1 3.把下列根式化成最简二次根式：
D. x＞1
2 （1） 5
10 5
（2）
5 12
鲁教版(五四制)数学八年级下册二次根式的加减课件
S 小 长 方 形 S 大 长 方 形 22 32
方法2：
S总 长 方 形 (23) 252
2232(23) 2
（2）如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正 方形的边长比小正方形的边长大多少？与同伴进行交流。
大正方形的边长为 1 8 小正方形的边长为 8
所以，所求的是 18 8
都不是最简二次根式
(1) 2 (2) 75 (3) 1 (4) 1 (5) 3
50
27
(6)2 8ab3 (7)6b a (8) 12a12b
3
2b
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ B ）
A . 2, 12
B. 2,
1 2
• 4ab, ab2
D. a1, a1
同类二次根式可以像同类项那样进行合并。
一般地，二次根式加减时，可以先将各个二次 根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行合 并。有括号时，要先去括号。
简单来说就是：先化简,后合并。
二次根式的加减法则
例 计算：
解：
解：
原 式 433332
(43) 332
33 2
(111) 5
注意:不是同类二次根式的不能合并
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化
二找 三合并
比较二次根式的 加减与整式的加减， 你能得出什么结论？
6 (
3 2
2) 3
1.判断同类二次根式的关键是什么？ （1）化成最简二次根式， （2）被开方数相同，根指数相同(都等于2)
2.二次根式加减运算的步骤: （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
方法2：
S总 长 方 形 (23) 252
2232(23) 2
（2）如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正 方形的边长比小正方形的边长大多少？与同伴进行交流。
大正方形的边长为 1 8 小正方形的边长为 8
所以，所求的是 18 8
都不是最简二次根式
(1) 2 (2) 75 (3) 1 (4) 1 (5) 3
50
27
(6)2 8ab3 (7)6b a (8) 12a12b
3
2b
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ B ）
A . 2, 12
B. 2,
1 2
• 4ab, ab2
D. a1, a1
同类二次根式可以像同类项那样进行合并。
一般地，二次根式加减时，可以先将各个二次 根式化为最简二次根式，再将同类二次根式进行合 并。有括号时，要先去括号。
简单来说就是：先化简,后合并。
二次根式的加减法则
例 计算：
解：
解：
原 式 433332
(43) 332
33 2
(111) 5
注意:不是同类二次根式的不能合并
二次根式加减法的步骤：
（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化
二找 三合并
比较二次根式的 加减与整式的加减， 你能得出什么结论？
6 (
3 2
2) 3
1.判断同类二次根式的关键是什么？ （1）化成最简二次根式， （2）被开方数相同，根指数相同(都等于2)
2.二次根式加减运算的步骤: （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
第十六章 二次根式 单元解读 课件(共14张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数） 的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
教材分析
本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算.通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知 识结构，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习作好准备.
本章教学建议
02 加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程
前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具体数字的算术平方根的运算 中观察规律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据 教材的这一编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳 得出有关结论.例如，对于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式 的概念和性质进行一些具体数字的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘(除)与积(商) 的算术平方根之间的关系；然后让学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算；最后 归纳出二次根式的乘法、除法法则.
单元解读
第十六章 二次根式
R·八年级下册
课标分析
“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数 式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论 具有一般性.
数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念，发 展几何直观和运算能力.
课标要求
加强符号意识、运算能 力的培养
教材分析
设计思路 概念
性质
运算
介绍二次根式的性质，包括一 通过观察、操作、归纳、
个非负数的平方的算术平方根 类比等方法，给出二次
根式的概念
的性质、积的算术平方根和商
二次根式的乘除(知识点及常考题型精讲)课件2024-2025学年鲁教版(五四制)八年级数学下册
+
=
= +
计算：
解： ( + ) +( − )
( + ) +( − )
= + +( − )
= + + +( − + )
=+ +−
= + + + − +
③
∙( ÷
) =
=
=
=
××
×× =
=
（课本P44-习题3）设长方形的面积是，长是，宽是.
（1）已知 = m， = m，求.
(
)
=
解： = ∙ = ×
（2）已知 = m， = m2，求.
二次根式的乘法：
∙ = （ ≥ ， ≥ ）
二次根式的除法：
=
（ ≥ ， > ）
例1 计算：
解：
（1） ∙
= ×
=
（2） ∙
=×× ×
× =
= × =
练习 计算：
①
②
∙
=×
− × = − = −
− (
− )
= −
+
= ( − + )
=
= +
计算：
解： ( + ) +( − )
( + ) +( − )
= + +( − )
= + + +( − + )
=+ +−
= + + + − +
③
∙( ÷
) =
=
=
=
××
×× =
=
（课本P44-习题3）设长方形的面积是，长是，宽是.
（1）已知 = m， = m，求.
(
)
=
解： = ∙ = ×
（2）已知 = m， = m2，求.
二次根式的乘法：
∙ = （ ≥ ， ≥ ）
二次根式的除法：
=
（ ≥ ， > ）
例1 计算：
解：
（1） ∙
= ×
=
（2） ∙
=×× ×
× =
= × =
练习 计算：
①
②
∙
=×
− × = − = −
− (
− )
= −
+
= ( − + )
鲁教版八年级数学下册第七章 7.1二次根式优质课课件设计
东平县初中数学
知知识识铺铺垫：垫
1.什么叫做算术平方根？
一般地,如果一个正数 的平方等于a,那么
这个正数 x叫做a的算术平方根，记作“ a” .
2.求下列各数的算术平方根。
1
(1) 7 (2) 0 (3) -5 (4) 3
7
0
1
3Байду номын сангаас
正数的算术平方根是正数，0的算术平方根 是0，负数没有算术平方根.
5
5
（ 9 ）2 9 16 16
( a )2 a （a 0)
（ a）2 a（a 0）
一个非负数的算术平方根的平方等于这 个非负数.
东平县初中数学
例2 计算：
（1）（ 2.1）2
（2）（2 3）2
知识应用： 计算：
(1)( 12 )2
( 2 ) (
1 )2 4
（3）（- 2 3）2
(1) 15
(4) a X
(2) - 5 X
(3)3 8 X
(5) xy(x、y异号）(6) （- 1）2 2 X
东平县初中数学
2、下列各式中哪些是二次根式？并说明理由.
x2 2x 1
n2 1
(x 1)2
东平县初中数学
探究二：二次根式有意义的条件。
例1 x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
东平县初中数学
硕果累累：
通过这节课的学习，你有哪些收获？
（1）一般地，形如 概念 的式子叫做二次根式.
（1）含有二次根号“ ” 。 （2）条件 （2）被开方式是一个非负数。 二次根式和 它的性质 有意义 (1)被开方式是一个非负数； 的条件 (2)分母中有字母时，要保证分母
不为零.
知知识识铺铺垫：垫
1.什么叫做算术平方根？
一般地,如果一个正数 的平方等于a,那么
这个正数 x叫做a的算术平方根，记作“ a” .
2.求下列各数的算术平方根。
1
(1) 7 (2) 0 (3) -5 (4) 3
7
0
1
3Байду номын сангаас
正数的算术平方根是正数，0的算术平方根 是0，负数没有算术平方根.
5
5
（ 9 ）2 9 16 16
( a )2 a （a 0)
（ a）2 a（a 0）
一个非负数的算术平方根的平方等于这 个非负数.
东平县初中数学
例2 计算：
（1）（ 2.1）2
（2）（2 3）2
知识应用： 计算：
(1)( 12 )2
( 2 ) (
1 )2 4
（3）（- 2 3）2
(1) 15
(4) a X
(2) - 5 X
(3)3 8 X
(5) xy(x、y异号）(6) （- 1）2 2 X
东平县初中数学
2、下列各式中哪些是二次根式？并说明理由.
x2 2x 1
n2 1
(x 1)2
东平县初中数学
探究二：二次根式有意义的条件。
例1 x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内
东平县初中数学
硕果累累：
通过这节课的学习，你有哪些收获？
（1）一般地，形如 概念 的式子叫做二次根式.
（1）含有二次根号“ ” 。 （2）条件 （2）被开方式是一个非负数。 二次根式和 它的性质 有意义 (1)被开方式是一个非负数； 的条件 (2)分母中有字母时，要保证分母
不为零.
鲁教版八下数学二次根式的乘除第二课时课件
运算律及乘法 公式仍然适用
运算
思想
法则
二 次 根 式 的 乘 除
很多的问题，你都 可以用你已有的知 识经验来解决，所 以记住你是很优秀 的
必做 选做
合律、乘法的交换律、结合律、分配律以及乘 法公式同样适用。
1 2 345
例题大家的完 成的很好，下面就 看谁能在最短的时 间里最快最对的完 成下面的题目。
1 2 345
1 2 345
1 2 345
1 2 345
解决二次根式的混合运算我们应该注意的问题：
（1）结果要化成最简二次根式
1
2 3 4 5 （2）运算中注意负号的处理 （3）不要漏乘 （4）合理的运用运算律使计算简便
鲁教版数学八年级（下册）
7.4二次根式的乘除 第二课时
这节课我 们一起来 继续研究 二次根式 的乘除
请说出下面的法则，并写出字母表达式 1、说一下二次根式乘除法的法则
2、你能说出单项式乘多项式的法则吗？ 3、你能说出多项式乘多项式的法则吗？
4、你能说出平方差公式和完全平方公式吗？
5、你能说出多项式除以单项式的法则吗？
例3
这节课的例题，就
例4 交给大家自己完成，看
例5 看谁最棒。
例3
例4
例5
谈谈你对题目的理解
例3
例4
例5
习惯上把运算结果的有理数部分 写在前面，无理数部分写在后面。
例3 例4 例5
我们利用知识迁移的方式运用已有的知识
解决了新问题。 我们发现有理数混合运算的运算顺序同样适
用于二次根式 在二次根式的运算中，加法的交换律、结
鲁教版(五四制)八年级下册数学 7.1二次根式 课件
X
2
2、下列各式中哪些是二次根式？并说明理由.
- 1 (a 0) a
x2 2x 1
n2 1
(x 1)2
探究二：二次根式有意义的条件。
例1
a是怎样的实数时，下列各式
在实数范围内有意义？
（1） a 1
1
（3） 1 - a
（2） 1 - 3a
练习一： 当 x 分别取什么实数时，下列各式有意义？
x2
学习重难点：
1.二次根式的意义。 2.确定二次根式中字母的取值范围。
合合作作探探究究： 探究一：二次根式的概念
完成下列题目：
1.正方形的面积为2，它的边长是 ，面积为3的 正方形边长是 ；
2.面积为S的正方形边长是 ，把它的面积增加1， 新正方形的边长为 ；s 252ss p70
1
3
●思考：它们在表达形式上有什么共同特征？
一般地，形如 a 当a≥0时叫二次根式.
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
小组合作：二次根式必需具备哪些条件？
（1）含有二次根号“ .” （2）被开方式是一个非负数. 练习一： 1.下列各式中哪些是二次根式？并说明理由.
(1) 15
(2) X- 5
(3)X3 8
(4) Xa
(5) xy(x、y异号）(6) （- 1）2
复习巩固
1.什么叫做算术平方根？ 一般地，如果一个正数的平方等于a,那么
这个正数叫做a的算术平方根，记作“ a ”。
2.求下列各数的算术平方根。 1 (1) 7 (2) 0 (3) -5 (4) 3
7
0
1
3
正数的算术平方根是正数，0的算术平方根 是0，负数没有算术平方根.
鲁教版五四制八年级数学下 73 二次根式的加减法教学课件共24张含音乐MP3
4
2
(3) 2 9x ? x 1 ? x
3
x
(2 ) 2 8 ? ( 1 32 ? 9 )
4
2
解：原式 ? 2
1 8?
32 ?
9
4
2
? 4 2? 2? 3 2 2
? (4 ? 1? 3 ) 2 2
? (3 ? 3 ) 2 2
9 ?2
2
(3) 2 9x ? x 1 ? x
3
x
解：原式 ? 2 ? 3 x ? x x ? x
2a
27
（1）12 ? 2 3 （2） 2ab
(4) b ? 2ab 2a 2a
(5) 1 ? 3 27 9
一化 二看
（3）75 ? 5 3 (6) 8ab3 ? 2b 2ab
(1)(3)(5)是同类二次根式 (2)(4)(6)是同类二次根式
你能快速说出答案吗？
(1)2a+3a =(2+3)a =5a
? 2? 5 3 -3? 3 3 ? 3
? 10 3 -9 3 ? 3 10 3 - 9 3 ? 3
? 10 3 -10 3 ?0
? (10 - 9 ? 1) 3
?2 3 √
加减混合运算，应遵循从左往右的顺序
72 ? 18 ? 3 2 2
?6 2?3 2? 3 2 2
?9 2? 3 2
合 并
2
要
? (9 ? 3) 2
(1)(2) (3)(5) (4)(6)
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如 果被开方数相同，那么这几个二次根式 叫做同类二次根式.
合作交流：同桌两人各举一个二次根式，使它 们成为同类二次根式.
鲁教版数学八年级下7.3二次根式的加减课件(共15张PPT)
总结
几个二次根式化简成最简二次根式 后，如果它们的被开方数相同，那么 这几个二次根式是同类二次根式.
一般地，二次根式相加减，先把 各个二次根式分别化成最简二次根式， 然后再将同类二次根式分别合并.有括 号时，要先去括号.
例题解析
例 计算：
（1）212 ；27（ 12）8
.1 45(5 1 5)
3
8
3
(2)( 80 14) ( 31 4 45)
5
55
(3)2a 3ab2 (b 27a3 2ab 3 a)
6
4
练一练
12767; 2 80 20＋ 5；
3 18＋98 27； 4
24＋0.5
1 8
6.
解： １ 2 76 7
2 8 02 05
26 7
＝5 ４ 255
5
解：（1） 212 27 18
= 4 33 33 2
33 2;
（2）13
45(5 1 5) 5
5 5
1 5
5
5555.
想一想
下列计算是否正确？为什么？
练习 1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1 2 3 5 ; 2 2 2 2 2 ;
3 818 49235
2
练一练
练 习 2 .计 算 ：
错在没有 按照二次根式 加减混算从左 向右依次进行 的运算顺序计 算.
( 2 ) 72 18 3 2 2
6 23 23 2 2
9 23 2 2
15 2 2
运算不完 全，能合并的 没有合并.
归纳
先化为最 简二次根式
把同类二次根式合 并（合并系数）
二次根式的加减与整式的加减根据都 是分配律，它们的运算实质也基本相同