高三数学解三角形,平面向量与三角形的综合练习
解三角形,平面向量与三角形的综合练习
一、填空题
1.若角α的终边经过点(1
2)P -,,则tan 2α的值为______________. 2.已知向量a 与b 的夹角为120,且4==a b ,那么a b 的值为________. 3.已知向量)3,1(=a ,)0,2(-=b ,则b a +=_____________________.
4. )6cos()(π
ω-
=x x f 最小正周期为
5
π
,其中0>ω,则=ω
5.b a ,的夹角为
120,1,3a b ==,则5a b -=
6.若BC AC AB 2,2=
=,则ABC S ?的最大值
7.设02x π??
∈ ???
,,则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 .
8.设向量(1
2)(23)==,,,a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--,c 共线,则=λ . 9.若向量a ,b 满足12a b ==,
且a 与b 的夹角为3
π
,则a b += . 10.若3
sin(
)25
π
θ+=,则cos 2θ=_________。 11.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若
()C a A c b cos cos 3=-,
则=A cos
。
12已知a 是平面内的单位向量,若向量b 满足()0b a b -=,则||b 的取值范围
是 。
13..在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,已知3,30,a b c ===? 则A = .
14. 关于平面向量,,a b c .有下列三个命题:
①若a b =a c ,则=b c .②若(1
)(26)k ==-,,,a b ,∥a b ,则3k =-. ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ,则a 与+a b 的夹角为60. 其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)
三、解答题
1.已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程
(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域
2.已知函数2
π()sin sin 2
f x x x x ωωω??
=+ ??
?
(0ω>)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03??????
,上的取值范围.
3.已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n ?= (Ⅰ)求tan A 的值;
(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.
4.已知函数f (x )=A sin(x +?)(A >0,0<π),x ∈R 的最大值是1,其图像经过点M 132π??
???
,.
(1) 求f (x )的解析式;
(2) 已知α,β∈02π?
?
??
?
,,且f (α)=
35,f (β)=1213
,求f (α-β)的值.
5. 如图,ACD △是等边三角形,ABC △是等腰直角三角形,90ACB =∠,BD 交AC 于E ,2AB =.
(Ⅰ)求cos CAE ∠的值; (Ⅱ)求AE .
6.如图,在平面直角坐标系xoy 中,以ox 轴为始边做两个锐角βα,,它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点,已知A 、B
522(1)求)tan(
βα+的值; (2)求βα2+的值。
7.某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO 、OP ,设排污管道的
B A C
D
E
总长为ykm 。
(1)按下列要求写出函数关系式:
①设∠BAO=θ(rad ),将y 表示成θ的函数关系式; ②设OP=x (km ),将y 表示成x 的函数关系式;
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。
8.(江西17)已知1tan 3α=-
,cos β=,(0,)αβπ∈ (1)求tan()αβ+的值;
(2
)求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值.
解三角形,平面向量与三角形的综合答案
B
一、填空题
4
3
8- 2 7 10
2
725-
3 [01], 6
π ②
三、解答题 1解:(1)
()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =
+-+
221cos 22sin cos 2x x x x =
+-
1cos 22cos 222
x x x =
+- s i n (2)
6
x π
=- 2T 2
π
π==周期∴ (2)
5[,],2[,]122636
x x ππ
πππ
∈-
∴-∈- 因为()sin(2)6
f x x π
=-在区间[,]123
ππ-
上单调递增,在区间[,]32ππ
上单调递减,
所以 当3
x
π
=
时,()f x 取最大值 1
又
1()()12
222f f π
π-
=-
<=,
∴当12x π=-时,()f x 取最小值2
-所以 函数 ()
f x 在区间[,]122ππ
-
上的值域为[ 2. 解:(Ⅰ)1cos 2()
22x f x x ωω-=
112cos 222x x ωω=
-+π1sin 262x ω?
?=-+ ??
?. 因为函数()f x 的最小正周期为π,且0ω>, 所以
2π
π2ω
=,解得1ω=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得π1
()sin 262
f x x ??=-
+ ??
?.因为2π03x ≤≤, 所以ππ7π2666x -
-≤≤,所以1πsin 2126x ??
-- ???
≤≤. 因此π130sin 2622x ?
?-
+ ??
?≤≤,即()f x 的取值范围为302??
????
,. 3. 解:(Ⅰ)由题意得m ·n =sin A -2cos A =0,因为cos A ≠0,所以tan A =2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知tan A =2得
2213
()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+
因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 当1
sin 2
x =时,f (x )有最大值32,
当sin x =-1时,f (x )有最小值-3, 所以所求函数f (x )的值域是33,.2
??-???
?
4.解:(1)依题意知 A =1 1
sin 332f ππφ????=+=
? ?????
, 又4333πππφ<+< ; ∴
53
6π
πφ+=
即 2
πφ= 因此 ()sin cos 2f x x x π??
=+= ??
?
; (2)
()3c o s
5f αα== ,()12
cos 13
f ββ== 且
,0,2παβ??
∈ ???
∴ 4s i n 5α= ,5sin 13β=
()()3124556
cos cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=?+?=
5. 解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=∠,CB AC CD ==,
所以15CBE =∠. 所以6cos cos(4530)CBE =-=
∠ (Ⅱ)在ABE △中,2AB =,由正弦定理
2
sin(4515)sin(9015)
AE =-+.
故2sin 30
cos15
AE
=
12?
=
= 12分
6.【解析】:本小题考查三角函数的基本概念、三角函数 的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式, 考查运算求解能力。
由条件得cos 10αβ==
αβ、
为锐角,sin 105
αβ∴==
1
tan 7,tan 2
αβ∴==
(1)17tan tan 2tan()31
1tan tan 172
αβαβαβ+
++==
=--?-? (
2
)
2
21
22tan 42tan 211tan 31()2βββ?
===--47tan tan 23tan(2)14
1tan tan 2173
αβαβαβ+
+∴+===--?-? αβ、为锐角,3022παβ∴<+<324
παβ∴+= 7. 【解析】:本小题考查函数的概念、
解三角形、导数等基本知识,考查数学建模能力、 抽象概括能力和解决实际问题的能力。
(1)①由条件知PQ 垂直平分AB ,若∠BAO=θ(rad ),则10
cos cos AQ OA BAO θ
=
=∠,
故10
cos OB θ
=
又1010OP tan θ=-,所以1010
1010cos cos y OA OB OP tan θθθ
=++=++- 所求函数关系式为2010sin 10
(0)cos 4
y θ
π
θθ
-=
+≤≤
②若OP=x (km ),则OQ=10-x
,所以OA OB ===
所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤
(2)选择函数模型①,22
10cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)
'cos cos y θθθθθθθ
-----== 令'0y =得1sin 2θ= 046
ππ
θθ≤≤∴=
当(0,)6πθ∈时'0y <,y 是θ的减函数;当(,)64
ππ
θ∈时'0y >,y 是θ的增函数;
所以当6
π
θ=
时,min 1
20101010y -?
=
=
此时点O 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB
km 处。 8. 解:(1
)由cos β=
(0,)βπ∈得tan 2β=
,sin β=
于是tan()αβ+=1
2
tan tan 311tan tan 13
αβ
αβ-++==-+.
(2)因为1tan ,(0,)3
ααπ=-∈
所以sin αα=
=
()f x x x x x =+
x = ()f x
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
高中数学解三角形和平面向量
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°