大学概率论随机事件与概率

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(完整版)概率论第一章随机事件与概率

P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间：离散样本空间样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理

大学概率论与数理统计公式全集

大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X 乞b) =F(b) P(a ：： X 冬b) = F(b) _ F(a)2、离散型随机变量3、连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 P i =P(X =X i )二％ P(X = xi ,丫二 yj ) = ' pij pj =P( Y=yj )=' P(X 二 X j , 丫二 yj )=' pij j j离散型二维随机变量条件分布P(X =X j ,Y =yj )pij…= P(X =X j Y =y j ),i=1,2jP(丫 =yj )P j P(X=X j ,Y=y j )p j2、 P i j P ji3、x yf(u,v)dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数： F x (x) = [「f(u,v)dvdu 边缘密度函数：f x (x)二.-^o a-bof(u,y)du*^0.■bof (x, v)y ■:: F y (y)f (u,v)dudv f Y (y)二 5、二维随机变量的条件分布fYx (yx)二■■■■■y < fxY (xy)二<x :：: ■：：x Y四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：E(X)=.；「X k P k连续型随机变量：E(X)二=xf(x)dx2、数学期望的性质(1)E(C) =C,C为常数E[E(X)] =E(X) E(CX) =CE(X)(2)E(X _Y) =E(X) _E(Y) E(aX _b) =aE(X) _b E(C^X^ ■ C n X n^C1E(X1^ ■ C n E(X n) ⑶ 若GY相互独立则：E(XY) =E(X)E(Y)(4) [E(XY)]2 <E2(X)E2(Y)3、万差:D(x) =E(X2) —E2(x)4、方差的性质(1) D(C) =0 D[D(X)] =0 D(aX _b) =a2D(X) D(X) ：：:E(X -C)2⑵ D(X _Y)二D(X) • D(Y) _2Cov(X,Y)若 GY相互独立则：D(X _Y)二D(X) • D(Y)5、协方差：Cov(X,Y)二E(X,Y) _E(X)E(Y)若 GY相互独立则：Cov(X,Y)=06、相关系数：认「(X,Y)〜Cov(X,丫)若GY相互独立则：认=0即GY不相关J D(X)阿石7、协方差和相关系数的性质(1)Cov(X,X) =D(X) Cov(X,Y)二Cov(Y, X)(2)Cov(X1 X2,Y) =Cov(X1,Y) Cov(X2,Y) Cov(aX c, bY • d)二abCov(X,Y)&常见数学分布的期望和方差五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X)-」.,D(X)=：；2,对于任意'.0 有 P{X _E(X) _ }空里^2 或 P{X _E(X) ：：： }n n2、大数定律：若X i …X n 相互独立且「时，—、• X i —D r-7 E(X i )ni 4ni二nn(1)若 X i X n 相互独立，E(X i ) =A i , D(X i ) =52且 O i 2兰M 贝y ： -Z X i — 1瓦 E(X i ),(n T ©nyny1n⑵若X i …X n 相互独立同分布，且E(X j )=n 则当n 时：―、X, P> Jn y3、中心极限定理(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为」，方差为C 20的独立同分布时，当n 充分大时有：n' X k —n ・iY n = ------------------- 二 N(0,1)U n cr(2) 拉普拉斯定理：随机变量n (n =1,2 )~B( n, p)则对任意G 有:xt 2lim P { ：n np兰x} = f -j^e 2dt =Q (x) x -°p(1-p) - ： .2 二六、数理统计1、总体和样本n _(5) 样本 k 阶中心距：B k =Mk(X i -X)k ,^2,3'nm(1)样本平均值： n n n2X 」、X i (2)样本方差：S 2匚、(X i -X)2L' (X i 2-nx )n-1y n -1(3)样本标准差：，彳 n ns= 1v(X i-X)2(4)样本 k 阶原点距：A k X i k,k=1,2 … ,n -1^(X 1，X 2 X n )的联合分布为 F(X 1,X 2 X n )F (X k )心(3)近似计算:nP(a 乞、X k Eb) =P(生' X k -n 」■k'.nc<^n 1才一门.」：泸- nc、、..总体X 的分布函数F(X)样本 2、统计量(6)次序统计量：设样本(X1，X2…X n)的观察值凶七和，将为,X?…X.按照由小到大的次,记取值为X(i)的样本分量为X(i),则称X(1宀(2)「乞x(n) 序重新排列,得到X(1)乞X(2) <X(n)为样本(X1,X2…X n)的次序统计量。

随机事件与概率大学的教案

一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解随机事件的概念，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的分类；（2）理解概率的定义，掌握概率的基本性质；（3）学会运用概率知识解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解随机事件与概率的关系；（2）通过小组讨论、合作学习，提高学生的探究能力和团队协作能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对概率论的兴趣，激发学生的学习热情；（2）使学生认识到概率论在现实生活中的应用价值。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）随机事件的概念及分类；（2）概率的定义及基本性质。

2. 教学难点：（1）概率的定义及基本性质的运用；（2）概率在实际问题中的应用。

三、教学过程（一）导入新课1. 展示生活中常见的随机事件，如掷骰子、抛硬币、抽奖等，引导学生思考这些事件的特点；2. 引入随机事件的概念，解释必然事件、不可能事件、随机事件的区别。

（二）新课讲授1. 随机事件的概念及分类：（1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件；（2）不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件；（3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。

2. 概率的定义及基本性质：（1）概率的定义：在一定条件下，某个事件发生的可能性大小；（2）概率的基本性质：① 非负性：任何事件的概率不小于0；② 稳定性：当试验次数足够多时，某个事件发生的频率将趋近于其概率；③ 稳定性：对于任意两个事件A和B，有0≤P(A)≤1，0≤P(B)≤1；④ 加法公式：对于任意两个互斥事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)；⑤ 对立事件概率之和为1：对于任意两个对立事件A和B，有P(A) + P(B) = 1。

（三）巩固练习1. 完成课本上的例题，巩固所学知识；2. 小组讨论，互相解答问题。

（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调重点和难点；2. 引导学生思考概率论在现实生活中的应用。

（五）布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识；2. 收集生活中与概率相关的事例，下节课分享。

随机事件与概率知识点

随机事件与概率知识点随机事件和概率是概率论中的基本概念，它们揭示了不确定性现象背后的规律性。

本文将介绍随机事件的定义及性质，以及概率的概念、性质和计算方法。

一、随机事件的定义随机事件是指在一定条件下，具有不确定性的事件。

简单来说，就是不知道会发生什么的事件。

一个事件发生与否，可以用0或1表示，其中0代表事件不发生，1代表事件发生。

这种不确定性使得我们需要运用概率论的知识来描述和研究。

对于一个随机试验，其样本空间为Ω，由所有可能出现的结果组成。

样本空间中的每一个元素称为一个样本点，记作ω。

而样本空间中的子集，称为事件。

简单来说，事件就是样本空间的一个子集，用来描述某些结果的集合。

二、随机事件的性质1. 必然事件和不可能事件：必然事件是指在所有可能的结果中，一定会发生的事件。

记作Ω，其对应的概率为1。

例如，在一次掷骰子的实验中，必然事件就是出现的点数在1至6之间。

不可能事件是指在所有可能的结果中，一定不会发生的事件。

记作∅，其对应的概率为0。

例如，在一次掷骰子的实验中，不可能事件就是出现的点数为7。

2. 事件的互斥与对立：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。

例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是互斥事件，因为在一次实验中，掷出奇数的点数和掷出偶数的点数不可能同时发生。

对立事件是指两个事件必定有一个发生，但不能同时发生的情况。

例如，掷骰子出现的点数为奇数和出现的点数为偶数就是对立事件。

三、概率的概念与性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示。

概率的取值范围在0到1之间，其中0代表不可能事件，1代表必然事件。

1. 古典概型：古典概型是指所有样本点出现的概率相等的情况。

例如，在一次掷骰子的实验中，每个点数出现的概率都是1/6。

2. 几何概型：几何概型是指样本空间是一个有限的几何图形的情况。

例如，在一个正方形平面内随机选择一个点，那么点落在正方形的某个子区域中的概率就可以通过计算子区域面积与正方形面积的比值得到。

大学概率论随机事件与概率

② A B AB
AB
AB
A
B
BA
四、事件的运算律
1.交换律、结合律:(略)
2.分配律：
① AUBI C AUBAUC ② A I B UC AB U AC
3.对偶律：
① A U B A I B （和的逆＝逆的积） ② A I B A U B （积的逆＝逆的和）
例2. 用A、B、C的运算关系表示下列各事件:
P( A) A的测度(长度,面积,体积) 的测度(长度,面积,体积)
例4.
如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平
方公里的大陆架贮藏着石油,
若在海域里随意选取一点
钻探, 问钻到石油的概率是多少？
解:
由题意知, 问题归结为几何概率的计算,
设A={钻到石油},
则 P( A) 40 50000
①三个事件中至少一个发生:
A U B UC
②没有一个事件发生:
ABC A U B UC
③恰有一个事件发生:
ABC U ABC U ABC
④至多有两个事件发生:
（考虑其对立事件）
ABC A U B UC
⑤至少有两个事件发生:
（由对偶律）
ABC U ABC U ABC U ABC AB U BC UCA
考虑可能出现的点数;
2 1, 2, 3, 4, 5, 6
E3: 记录某网站一分钟内受到的点击次数;
3 0，1，2，L
E4: 任选一人,
记录他的身高(m)和体重(kg).
4 h, g 0 h 3, 0 g 400
注: ①样本空间是一个集合;
②对于一个随机试验而言,
例如:
掷两枚均匀的骰子一次,

大学概率论知识点总结

大学概率论知识点总结概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，在大学数学中占据着重要的地位。

以下是对大学概率论中一些重要知识点的总结。

一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。

2、样本空间样本空间是随机试验的所有可能结果组成的集合。

3、事件的关系与运算包括包含、相等、并、交、差、互斥（互不相容）和对立等关系。

4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

古典概型中，概率等于有利事件的个数除以总事件的个数；几何概型中，概率等于几何度量（如长度、面积、体积等）的比值。

5、概率的性质包括非负性、规范性和可加性等。

二、条件概率与乘法公式1、条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率，记作 P(B|A)。

2、乘法公式P(AB) ＝ P(A)P(B|A)三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式如果事件组 B1，B2，，Bn 是样本空间的一个划分，且 P(Bi) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），则对任意事件 A 有 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi)2、贝叶斯公式在全概率公式的基础上，如果已知 P(A)，P(Bi) 和 P(A|Bi)，可以计算在事件 A 发生的条件下，事件 Bi 发生的概率 P(Bi|A)四、随机变量及其分布1、随机变量是定义在样本空间上的实值函数。

2、离散型随机变量其取值为有限个或可列个。

常见的离散型随机变量分布有：二项分布、泊松分布等。

3、连续型随机变量其取值可以是某个区间内的任意实数。

常见的连续型随机变量分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。

4、随机变量的分布函数F(x) ＝ P(X ＜＝ x)，具有单调不减、右连续等性质。

五、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成。

2、联合分布函数F(x, y) ＝ P(X ＜＝ x, Y ＜＝ y)3、边缘分布包括边缘分布函数和边缘概率密度（离散型为边缘概率分布）。

概率论与数理统计教案随机事件与概率

概率论与数理统计教案-随机事件与概率一、教学目标1. 理解随机事件的定义及其分类。

2. 掌握概率的基本性质和计算方法。

3. 能够运用概率论解决实际问题。

二、教学内容1. 随机事件的定义与分类1.1 随机事件的定义1.2 随机事件的分类1.3 事件的运算2. 概率的基本性质2.1 概率的定义2.2 概率的取值范围2.3 概率的基本性质3. 概率的计算方法3.1 古典概型3.2 条件概率3.3 独立事件的概率3.4 互斥事件的概率4. 随机事件的排列与组合4.1 排列的定义与计算4.2 组合的定义与计算5. 概率论在实际问题中的应用5.1 概率论在社会科学中的应用5.2 概率论在自然科学中的应用三、教学方法1. 讲授法：讲解随机事件的定义、分类及概率的基本性质。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用概率论解决。

3. 互动教学法：提问、讨论，提高学生对知识点的理解和掌握。

四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。

2. 计算器、黑板、粉笔等教学工具。

3. 实际问题案例库。

五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对随机事件定义、分类和概率基本性质的理解。

2. 课后作业：布置有关概率计算和方法的应用题，检验学生掌握程度。

3. 课程报告：让学生选择一个实际问题，运用概率论进行分析，评价其应用能力。

4. 期末考试：设置有关概率论与数理统计的综合题，全面评估学生学习效果。

六、教学内容6. 大数定律与中心极限定理6.1 大数定律6.2 中心极限定理7. 随机变量及其分布7.1 随机变量的概念7.2 离散型随机变量7.3 连续型随机变量7.4 随机变量分布函数8. 随机变量的数字特征8.1 数学期望8.2 方差8.3 协方差与相关系数9. 抽样分布与抽样误差9.1 抽样分布的概念9.2 抽样误差的估计9.3 抽样方案的设计10. 估计量的性质与假设检验10.1 估计量的性质10.2 假设检验的基本概念10.3 常用的假设检验方法七、教学方法1. 讲授法：讲解大数定律、中心极限定理、随机变量及其分布等概念。

概率论知识梳理

个事件的概率的途径又多了一条。其实全概率公式精华之处并不在其本身，而
是推导过程以及思想。
18. 贝叶斯公式： P(Bi A)
p(A Bi )P Bi
n
，贝叶斯公式主要是根据结果反求
P(A Bj )P Bj
j 1
导致这个结果的某种情形的可能性。贝叶斯公式和全概率公式复习起来光看概
念没什么用，要借助几个较难的例题和做一些往届考题，这样效率会高很多。
是它本身，而是： P(A B C) P(A) P(A B) P(A B C) 。
更加重要的是当事件数量更多的时候如何处理。一句话总结：加多了减，减多了加。 11. 概率的减法公式： P(A－B)＝P(A) －P(AB) P(A-B)=P(A)-P(AB)，当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)，当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)。
19. 事件的独立性：简而言之“你关我屁事！”，更重要的是多个事件的情形。
描述性定义：
数学定义：
设 A，B 为两个事件，如果其中任何 P( AB) P( A)P(B)
一个事件发生的概率不受另外一个事特别注意：
件发生与否的影响（我发生也好，不概率为 1 或者 0 的事件与任何事件独立。
发生也好，都不受你任何影响，你关考试题型：
率论的学习，因而在接触这个概念的时候就应该去努力弄懂，弄透彻它。很多书上有这么一句话：随机变量就是其值会随机而定的变量。有些孩子一看就发宝气了，我当然知道它是变量呀！其实是抓错了重点，关键在于“随机”二字。我们过去说的变量往往指不固定的量，虽然不固定，但往往遵循一个确切的法则（取值在内定义域）。这里的随机变量也是如此，它不太有规律可循，但既然是出现在概率论这个大背景下，它也不可能算是一匹脱缰的野马。从另一个角度解读这个概念：随机试验的结果经常是数量，或者可以数量化表示，但是这些数量与以往用来表示时间，位移等的变量有很大的不同，这就是其取值的变化完全取决于随机试验的结果，因而是不可以完全预言的，这种随机取值的变量就是随机变量。说白了，随机变量就是这样的一个家伙：你无法确切的知道他是什么，但是你能知道他很可能会是什么？

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7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔
可夫过程》来描述;
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《概率统计》电子教案
第一章随机事件与概率
8. 许多服务系统，如电话通信、船舶
装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
可用一类概率模型来描述，其涉及到的知
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第一章随机事件与概率
预备知识
1.加法原理: 如果完成某件事有m 种途径, 而每种途径有 ni (i1,2, ,m)种不同的方法, 那么完成该件事共有 n1+n2+ +nm种不同的方法.
2.乘法原理: 如果完成某件事须经过 m 个步骤, 而完成每个步骤分别有 n i 种不同的方法, 那么完成该件事共有 n1n2 nm 种不同的方法.
3.重复排列: 从 n 个不同的元素中任意取出 r 个元素 (1≤r≤n), 按照一定顺序允许重复出现排成一列, 称为
从n 个元素取出 r 个元素的重复排列, 排列总数为 n r .
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第一章随机事件与概率
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第一章随机事件与概率
概率统计应用广泛,发展迅速.不仅高等学校各专业都开设了该课程，而且在上世纪末，此课程特意被教育部定为本科生考研的数学课程之一.
概率统计的思想：看待万事万物的一种方法。通过比较概率的大小做决定—— 统计规律、统计决策。
统计方法》. 法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:
“ 生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾
对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正
的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那
么我们就寸步难行, 无所作为.
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整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科.
概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列
的数学分支学科，并无从属关系.
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其每个元素称为样本点. " A
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第一章随机事件与概率
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如
1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能
否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
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随机现象的统计规律性
随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现的结果的规律性.
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第一章随机事件与概率
概率论是一门研究客观世界随机现象统计
规律的数学分支学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、
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第一节
第一章随机事件与概率
第一章
随机事件及其运算
一、基本概念二、事件之间的关系三、事件之间的运算四、事件的运算律
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第一章随机事件与概率
随机事件及其运算随机事件的概率条件概率与事件的独立性
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第一章随机事件与概率
前
言
确定性现象与不确定性现象
确定性现象:
• 每天早晨太阳从东方升起;
• 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
不确定性现象:(随机现象)
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？
• 一天内进入某超市的顾客数.
Pn n! n ( n 1 ) 2 1
6.组合: 从 n 个不同的元素中任意取出 r 个(0≤r≤n)
元素组成一组(不考虑次序), 称为从 n 个元素中取出r个
元素的一个组合, 记为 C
r n
,
且有
C
r n
A
r n
n (n 1 ) (n 2 ) [n (r 1 )]
Pr
r (r 1 ) (r 2 ) 2 1
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第一章随机事件与概率
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》
和《数据处理》； 4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其
发射都离不开《可靠性估计》;
5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》；
6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间
序列分析》方法非常有用;
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第一章随机事件与概率
一、基本概念
1.随机试验:(E) 对随机现象进行观察或试验. ①可在相同条件下重复进行 ②试验的所有可能结果明确可知，且不止一个 ③每一次试验的结果是不可预言的
2.样本空间: 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合. " "
识就是《排队论》. 目前, 概率统计理论进入其他自然科学
领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领
领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经
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第一章随机事件与概率
济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率
预备知识
4.选排列: 从 n 个不同的元素中任取出 r 个(1≤r≤n)
元素按照一定顺序不重复地排成一列, 称为从 n 个元素
中取出r 个元素的选排列,
记为
A
r n
,
且有
A
r n
n ( n 1 ) ( n 2 ) [ n ( r 1 ) ]
5.全排列: r = n 的选排列称为全排列, 记为 P n , 且有