最优化_第7章 多目标及离散变量优化方法
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第七章多目标函数的优化设计方法7.1多目标最优化数学模型-Read
s.t. g u ( X ) 0 hv ( X ) 0
也可以用向量形式表示成
V min F ( X ) F1 ( X ), F2 ( X ),, Ft ( X )
u 1, 2, , m s.t. g u ( X ) 0
上式中，Ps(s=1,2,….L)是优先层次的记号，表 示后面括号中的目标函数属于第s优先层次。 3. 目标规划模型
图7.1两目标最优解的解集
7.3 多目标优化问题的求解方法
7.3.1 评价函数法
评价函数法的主要思想是根据优化问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标 转化为一个总目标的评价函数。通过对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归 结为求解与之相关的单目标极小化问题。
1. 线性加权和法 这是一种最简单也是最基本的评价函数法。它根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋 予一个系数，然后相加起来构造评价函数 t 对于一组目标函数F1,F2,…,Ft，分别赋予系数 W1,W2,…,Wt 例7-4 用例7-2来说明线性加权和法的求解过程。 解：由问题可知，钢梁设计问题归结为下面评价函数(约束条件略)
静强度约束
• 7.1.2 多目标最优化数学模型
1. 多目标极小化模型 归纳其共性，可以得到如下数学模型
min F1 ( X ) min F2 ( X ) min Ft ( X )
按其重要性分成如下的L>1个优先层次
1 1 第一优先层—— F1 ( X ), , Fl ( X );
1
2 2 第二优先层—— F1 ( X ),Fl2 ( X );
V ( / 4)(D d ) 2 H 0 0.785( x1 x2 ) 2 (0.35x3 x2 1.5x1 ) 105
多目标优化设计方法(ppt 40页)
di
(
fi
(X))
f (2) i
fi (X)
f (2) i
f (1) i
fi
(X)
f (1) i
f (2) i
f (1) i
(i 1,2,...,S) (i S1,...,L)
则可得功效函数为
X(x1,x2,...xn)T
max f (X)L d1(f1(X))d2(f2(X))...dL(fL(X))
h j ( X ) 0 ( j 1, 2, ..., k )
7.3 主要目标函数法 基本思想：从所有L个子目标函数中选出一个设
计者认为最重要的作为主要目标函数，而将其余L-1 个子目标限制在一定的范围内，并转化为新的约束条 件，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
设f2(X)为主要目标函数，则优化的数学模型为：
将多目标优化问题转 化为一系列单目标优 化问题的求解方法：
分层序列法 宽容分层序列法
7.5 分层序列法及宽容分层序列法（续）
一、分层序列法
1、基本思想
将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次，按 照其重要程度逐一排除，然后依次对各个目标函数求 最优解，只是后一目标应在前一目标最优解的集合域 内寻优。
7.4 功效系数法
一、功效系数 极小值
多目标优化设 计中，各子目 标的要求不同
极大值 一个合适的数值
每个子目标都用一个功效函数di表示 f(X )Ld 1 d 2 d L ——其值为功效系数
功效函数的范围[0,1]
fi(X)的值满意时，di=1 fi(X)的值不满意时，di=0
7.4 功效系数法（续）
构造评价函数。
多目标及离散变量优化方法-文档资料
min F ( x) wi fi ( x)
i 1
l
wi——加权因子 (wi≥0，i=1,2,…，l ) 加权因子取值对计算结果的正确性影响较大。
第六章 第二节 多目标优化方法
加权因子wi确定的方法: ①将各分目标转化后加权 为消除各分目标在量级上的差别，先将分目标函数fi(x) 转化为无量纲等量级目标函数 f i ( x) (i 1,2,...,l ) ( f i ( x) 1) 再组成统一目标函数。 l F ( x) wi f i ( x)
第六章
结束
第一节 多目标优化问题
机械设计中，同时要求几项设计指标达到最优的问题 ——多目标优化设计问题
T .. ( x ) [ f ( x ), f ( x ) f ( x )] F 2 l min min 1 n
s.t. g j ( x) 0 ( j 1,2,...,m)
x R
x R n
第二节 一、主要目标法
多目标优化方法
基本思想：多个目标中选择一个目标作为主要目标， 而其它目标则只需满足一定的要求即可，即 将目标转化为约束条件 目标函数转化为：
f k ( x) min (k ) x(D k) D x | f i min f i ( x) f i max (i 1,2,...,k 1, k 1,...l , x D)
式中，f imin和f imax为第i个目标函数的上、下限。 一般 f i ( x) 只有问题，通过一定方法转化为 统一目标函数或综合目标函数作为多目标优 化问题的评价函数。
第六章 第二节 多目标优化方法
常用的方法有：线性加权法、理想点法（目标规划法） 、 功效系数法和极大极小法等。
多目标优化方法及实例解析ppt课件
mZ a x(X ) （1）
s.t. (X )G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i
来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
k
maxii
i1
i ( x 1 , x 2 , x n ) g i ( i 1 , 2 , , m )
1(X)
g1
s .t.
( X)
2(X)
G
g2
m(X)
gm
式中： X [x 1 ,x 2 , ,x n ] T为决策变量向量。
缩写形式：
max(Zm Fi(n X)) （1） s.t. (X )G （2）
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程， 则：
Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；
在图1中，max(f1, f2) .就 方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优 与劣。
在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
8
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
✓ 效用最优化模型 ✓ 罚款模型 ✓ 约束模型 ✓ 目标达到法 ✓ 目标规划模型
方法一 效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用 函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调， 使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
s.t. (X )G（2）
是与各目标函数相关的效用函数的和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确定一组权值 i
来反映原问题中各目标函数在总体目标中的权重，即：
k
maxii
i1
i ( x 1 , x 2 , x n ) g i ( i 1 , 2 , , m )
1(X)
g1
s .t.
( X)
2(X)
G
g2
m(X)
gm
式中： X [x 1 ,x 2 , ,x n ] T为决策变量向量。
缩写形式：
max(Zm Fi(n X)) （1） s.t. (X )G （2）
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程， 则：
Z=F(X) 是k维函数向量， (X)是m维函数向量； G是m维常数向量；
在图1中，max(f1, f2) .就 方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目 标值 f1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优 与劣。
在各个方案之间， 显然：④比①好，⑤比 ④好, ⑥比②好, ⑦比 ③好……。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
8
二 多目标规划求解技术简介
为了求得多目标规划问题的非劣解，常常需要将 多目标规划问题转化为单目标规划问题去处理。实现 这种转化，有如下几种建模方法。
✓ 效用最优化模型 ✓ 罚款模型 ✓ 约束模型 ✓ 目标达到法 ✓ 目标规划模型
方法一 效用最优化模型（线性加权法）
思想：规划问题的各个目标函数可以通过一定的方式 进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用 函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调， 使多目标规划问题转化为传统的单目标规划问题：
最优化_第7章多目标及离散变量优化方法
最优化_第7章多目标及离散变量优化方法在实际问题中，往往存在多个相互关联的优化目标，这就引出了多目标优化问题。
与单目标优化问题相比，多目标优化问题更加复杂，需要综合考虑多个目标之间的平衡和权衡。
多目标优化方法可以分为基于加权法的方法和基于多目标遗传算法的方法。
其中，基于加权法的方法将多个目标函数转化为单一的综合目标函数，通过对综合目标函数的优化来求解多目标优化问题。
而基于多目标遗传算法的方法则直接将多目标函数进行优化，通过一系列的遗传算子（如选择、交叉和变异）来逐步逼近多目标的最优解。
在多目标优化问题中，离散变量的存在进一步增加了问题的复杂性。
离散变量是指变量的取值只能是有限个数中的一个，与连续变量不同。
针对离散变量的多目标优化问题，可以采用遗传算法、粒子群算法等进化计算方法进行求解。
这些算法通常会使用染色体编码来表示离散变量，采用相应的遗传算子对染色体进行进化操作。
在实际应用中，多目标及离散变量优化方法可以应用于多个领域。
举个例子，对于资源分配问题，可以将资源的分配方案和目标函数（如成本、效益、风险等）作为多个目标进行优化，得到最优的资源分配方案。
又比如，在工程设计中，可以将设计方案的多个目标（如性能、重量、成本等）作为优化目标，找到最优的设计方案。
总之，多目标及离散变量优化方法是解决实际问题中复杂优化问题的有效手段。
通过综合考虑多个目标和处理离散变量，可以得到更加全面和合理的最优解，提高问题的解决效果。
在实际应用中，需要选择合适的优化方法和算法，并针对具体问题进行适当的调整和改进，以获得更好的优化结果。
第7章 多目标优化和离散变量优化概述
[x2*] [x1*] X*周围的整型点群 [x1*]+1 X*周围的整型点群 均不在可行域内
离X*较远处整型点为 优化点
7.2.3 离散变量优化问题的网格解法
1、方法： 以一定的变量增量为间隔，把设计空间划分为若干个网格，计算 在域内的每个网格结点上的目标函数值，比较其大小，再以目标 函数值最小的节点为中心，在其附近空间划分更小的网格，在计 算在域内各节点上的目标函数值。重复进行下去，直到网格小到 满足精度为止。 2、特点： 此法对低维变量较有效，对多维变量因其要计算的网格节点数目 成指数幂增加，故很少使用。
7.1.2多目标优化问题解的特性
1.非劣解
是指若有m个目标fi(X0)(i=1,2,,m)，当要求(m-1)个目标值不变坏时， 找不到一个X，使得另一个目标函数值fi(X)比fi(X*)更好，则将此X*作 为非劣解，关键是要选择某种形式的折中。
2.例 V min F ( X ) min f1 ( X ), f 2 ( X )]T [
(ii)分目标函数值最优化法： j 1 / f j *
f j * minf j ( X) XD 目的：反映了各分目标函数离开各自最优值的程度。
7.1.5功效系数法——几何平均法
(1)适用条件：
各单目标要求不全相同，有的要求极小值，有的要求极大 值，有的则要求有一个合适的值。
(2)方法：
f2 ( X ) x f1 ( X ) x 2 2 x D { x | 0 x 2}
X R
n
a a’ 1
b
2
说明：
(1)当 D { x | 0 x 1} 时， X=[1，1]T，是绝对最优解； 其余点是劣解。 全区域中都能找到 (2)当 D { x | 0 x 2} 时， 全部分目标函数值 都比它小的点 X∈[1，2]中任何点都 是非劣解；
第7章(离散变量的优化方法)
到随机变量的相关数据，作出样本的 直方图，然后选择分布类型，进行假
设检验和分布参数的估计。
§7.5 随机变量优化设计的基本概念（续3）
方法二：根据样品试验、同类事件的数据或以往积累的经验，先推断一 种分布类型，再调整分布参数或特征值。 一般认为：加工误差服从正态分布；寿 命服从指数分布或威布尔分布；合金钢的 强度极限服从对数正态分布。 ① 若已知离差系数 cx ，则可根据 cx
§7.7 随机变量概率约束问题的优化设计 模型及最优解
二、概率约束模型的最优解： 在概率空间（Ω，T，P）内，存在一个用均值表示的设计点 x* ， x* = μx* ∈ X∈ Da，使不等式 E { f (x*,ω)} < E { f (x,ω)}对于某个 邻域 Nδ(x) 内的所有 x 都成立，则称 x* 为概率约束问题的最优点， E { f (x*,ω)}为最优均值。 三、概率约束模型的几何解释 1、概率约束的几何解释： p {gu (x,ω)≤0} –αu = 0 是概率约
第七章 离散变量和随机变量的最优化方法
§7.1 引言
§7.2
§7.3
离散变量优化设计的基本概念
离散变量优化设计的数学模型
§7.4
§7.5
离散变量优化设计的最优解及收敛条件
随机变量优化设计的基本概念
§7.6
§7.7
随机变量优化设计的数学模型
随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解
§7.1
一.
引言
变量类型：
§7.6
随机变量优化设计的数学模型
一、随机设计特性： 当设计特性或技术指标表示为随机设计变量和随机参数的函数时， 称为随机设计特性。 二、 目标函数： 由随机设计特性定义优化准则函数。
设检验和分布参数的估计。
§7.5 随机变量优化设计的基本概念（续3）
方法二：根据样品试验、同类事件的数据或以往积累的经验，先推断一 种分布类型，再调整分布参数或特征值。 一般认为：加工误差服从正态分布；寿 命服从指数分布或威布尔分布；合金钢的 强度极限服从对数正态分布。 ① 若已知离差系数 cx ，则可根据 cx
§7.7 随机变量概率约束问题的优化设计 模型及最优解
二、概率约束模型的最优解： 在概率空间（Ω，T，P）内，存在一个用均值表示的设计点 x* ， x* = μx* ∈ X∈ Da，使不等式 E { f (x*,ω)} < E { f (x,ω)}对于某个 邻域 Nδ(x) 内的所有 x 都成立，则称 x* 为概率约束问题的最优点， E { f (x*,ω)}为最优均值。 三、概率约束模型的几何解释 1、概率约束的几何解释： p {gu (x,ω)≤0} –αu = 0 是概率约
第七章 离散变量和随机变量的最优化方法
§7.1 引言
§7.2
§7.3
离散变量优化设计的基本概念
离散变量优化设计的数学模型
§7.4
§7.5
离散变量优化设计的最优解及收敛条件
随机变量优化设计的基本概念
§7.6
§7.7
随机变量优化设计的数学模型
随机变量概率约束问题的优化设计模型及最优解
§7.1
一.
引言
变量类型：
§7.6
随机变量优化设计的数学模型
一、随机设计特性： 当设计特性或技术指标表示为随机设计变量和随机参数的函数时， 称为随机设计特性。 二、 目标函数： 由随机设计特性定义优化准则函数。
多目标优化与离散变量优化
(k )
2 ( k ) [min(49 x12 x2 , 0)]2 [min( x1 , 0)]2 [min( x2 , 0)]2 (k )
) 4 x1 x 12
2 2
4q1 (1 q1 )
k
离散变量优化问题程序
2 min f ( X ) 4 x1 x2 12
) 4 x1 x 12
2 2
4q1 (1 q1 )
k
( X , +
(k )
2 ( k ) [min(49 x12 x2 , 0)]2 [min( x1 , 0)]2 [min( x2 , 0)]2 (k )
) 4 x1 x 12
S.t.
2 g1 ( X ) 49 x12 x2 0
g 2 ( X ) x1 0 g3 ( X ) x2 0 x1 2, 4, 6
x1是离散变量，构造外点形式的罚函数
( X , +
(k )
2 ( k ) [min(49 x12 x2 , 0)]2 [min( x1 , 0)]2 [min( x2 , 0)]2 (k )
p为离散变量的个数，n-p为连续变量的个数。 构造罚函数
p k 1 (k) (k) (X ,r ,s k , k ) f (X ) r sk 4q j (1 q j ) g ( X ) u=1 u j=1 m
p k 1 (X , k ,s k , k ) f (X ) k sk 4q j (1 q j ) g ( X ) u=1 u j=1 m
§7－1 多目标优化概述
1、问题的提出
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1、先求非劣解； 2、从非劣解中选出选好解。
四. 常用的求选好解的方法： 1、主要目标法 2、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小… 3、功效系数法 4、分层序列法
§7.2 多目标优化方法
一．主要目标法
思想:抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作 为主要目标，将其他目标转化成约束条件）
原模型: 转变后模型:
f
2 max
当x=b,
f2(X)取得最差值
f
2 min
f
f
1 max
f
2 max
f1
f
1 min
f
2 min
0 a x1 x2
f2 bx
随着设计变量X的值不断增大，目标函数 f1(X)的值越来越好，目标函数 f2(X)的值越来越差
§7.1 多目标优化问题
一. 多目标问题的数学模型：
设 X =[x1, x2 , …,xn]T
6
f1(X)
4．分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法：将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次， 按重要程度排序，然后依次对各个目标函数 求最优解。后一目标应在前一目标最优解的 集合域内寻优。
假设f1(X)最重要， f2(X)其次， f3(X)再其次, … 首先对第一个目标函数f1(X)求解
miXn f1D(X ) 求出最优解域 f1 *
min f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
min fk(X)
X∈Rn
s.t. fi(X) ≤ fi0
i = 1,2,,…,k-1,k+1,…q
gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
摇杆摆角越接近60°越好 取值范围59°～61° 故f3=60°, c3=1
f3=59°, c3=0 f3=61°, c3=0
c1 1
f1(x)
0
17°
c2
1
f2(x)
0 c3
55°
1
0 59°
f3(x) 60° 61°
建立各目标的功效函数：
c1
1)
c1
f1( X ) 17
1
2)
c2
55 f2 (X ) 55
第七章 多目标及离散变量优化方 法
7.1 多目标优化问题 7.2多目标优化方法 7.3离散变量优化
§7.1 多目标优化问题
在[a , b]区间内有两个目标函数：
对于f1(X) ：
当x=a,
f1(X)取得最差值
f
1 max
当x=b,
f1(X)取得最优值
f
1 min
对于f2(X)：
当x=a,
f2(X)取得最优值
4）功效系数的特点
①直观，计算后调整方便， ②避免某一目标函数值不可接受而评价函数值较好。 ③可以处理希望目标函数值取某一适当值的情况。 ④事先要求明确目标函数的取值范围 ⑤有一个单目标不能接受,则总方案不能接受。
3．协调曲线法
x2
一. 基本思想：
在多目标优化设计中，当各分目标函数 的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解， 以其集合得出协调曲线，再根据恰当的匹配 关系得到满意曲线，沿着满意程度的增加的 方向，各分目标值下降，直至获得选好解。
例如： F ( X ) 0.8 f1( X ) 0.2 f2( X )
10
1000
反映了各个单目标函数值离开各自最优值的程度。此法也 可理解为对各个分目标函数作统一量纲处理。这时在列出 统一目标函数时，不会受各分目标值相对大小的影响，能 充分反应出各分目标在整个问题中有同等重要含义。
2） 极大极小法
q
wi fi ( X ) i 1
q
式中： wi 1, wi 0 i 1
体现目标函数的重要程度
未考虑目标函数间量 级和量纲上的差异
f1取值范围是[10, 30], f2的取值范围是[1000, 3000],设计人员认为 目标函数 f1非常重要，则线性加权后的评价函数为：
F ( X ) 0.8f1( X ) 0.2f2( X )
综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。
f2
C
D
A
E
B
f1
使所有目标都能达到最优的解通常是不存在的或者很难 找到的，设计人员所能做到的就是在 Pareto解集中挑选 合适的解作为最终解，通过牺牲某个或某些目标的性能 来改善其它目标，在多个目标函数间进行折衷
最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。 劣 解：每个分目标函数值都比另一个解为劣，即为劣解。 选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。 三. 多目标函数问题的优化设计过程：
min. f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
二. 最优解与选好解、劣解与非劣解：
f2
●1 ●3
●6 ●4
●5
●2
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 0
f1
对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。
F ( X k1 ) 0.8 30 0.21000 224
这是由于没有考虑目标函数量纲上的差异造成的
进一步改进：
评价函数:
F ( X ) w1
f1( X f1*
)
w2
f2 ( X f2*
)
K
wq
fq(X ) fq*
q
wi
i 1
fi(X ) fi*
式中：fi*为各个目标进行单独优化时得到最优值
可 接 受
0.7
满 意
区
0.3
可间
接
受
间
区 间
0 fi
fi(0) fi(1) fi(2) fi(3) fi
区
0
间
fi(3) fi(2) fi(1) fi(0)fiʹ(0)fiʹ(1) fiʹ(2) fiʹ(3)
fi
目标函数越大越好
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
fi(0) :满意的目标函数值
fl ( fi
X )
(X)
fi*
i 1, 2,K
l 1
求
出
最
优
解
fl
＊
。
宽容分层序列法： 1）miXn f1D(X )
2）XminXf2
(X f1(
)
X ) f1* 1
3）X
min f3(X )
X fi (X ) fi* i i
△Ψ
l1
θ
C2
A
B2
l4
D
B1
分析：
① f1(X ) max
极位夹角取值范ห้องสมุดไป่ตู้0°～17° 故f1=17 °, c1=1
f1=0 ° , c1=0
② f2(X ) max min
最大压力角取值范围0°～55° 故f2=0° , c2=1
f2=55°, c2=0
③ f3( X ) 60o
0 f(1) f(0)
fʹ(0) fʹ(1) fi
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
fi(1) :接受与不可接受的目标函数值分界线 fi(0 :)难以接受的目标函数值
例：设计一曲柄摇杆机构，要求实现摇杆摆角△Ψ=60,最
大压力角 max尽可能小，以改善机构的传力性能；极
位夹角θ尽可能大，以提高机构的急回性质。
X D
式中： F X f1 X ,K , fr X T F X fr1 X fq X T
评价函数：F ( X )
f1 X fr X fr1 X fq X
FX
r
wj fj X
j1 q
o w j 1
wj fj X
jr 1
5） 功效系数法(几何平均法)
其次对第二个目标函数f2(X)求解。
min f2 (X )
X
X
f1( X ) f1*
求出最优解域 f2*
再次对第三个目标函数f2(X)求解
X
min X
f3 ( X fi (X
) ) fi* i 1,
2
求出最优解域 f3 *
如此继续，最优对第l个目标函数f2(X)求解
min X X
设计人员原本的意图是优化结束后，f1的取值尽量靠近10，f2的取 值可以稍微劣一些，例如可在2000左右。 第k次迭代时， f1的取值为15， f2的取值为1800，则
F ( X k ) 0.815 0.21800 372
第k+1次迭代时，为了让整体评价函数F(X)取值更优，无论采用 哪种优化方法，优化程序会拼命的降低 f2的取值，升高 f1的取值
（1）基本思想：给每一个分目标函数值一个评价，以功
效系数ci 表示: 功效函数: ci=Fi（fi）
0≤ci ≤1
当fi取值很满意时， ci=1；当fi取值不能接受时，ci=0
整体评价函数: c m c1c2 cm
c值要求越大越好，即c=1为最满意；c=0表示此方案 不能被接受。
（2）功效函数的类型（按照对目标函数的不同要求）
①目标函数越大越好 要求： fi越大, ci越大；当fi越小， ci越小；
②目标函数越小越好 要求： fi越小, ci越大；当fi越大， ci越小；
③目标函数取值在某个范围内最好 要求： fi取得的值越靠近预先确定的适当值时， ci越大；否则ci越小。
（3）功效系数的确定方法 ①直线法
四. 常用的求选好解的方法： 1、主要目标法 2、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小… 3、功效系数法 4、分层序列法
§7.2 多目标优化方法
一．主要目标法
思想:抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作 为主要目标，将其他目标转化成约束条件）
原模型: 转变后模型:
f
2 max
当x=b,
f2(X)取得最差值
f
2 min
f
f
1 max
f
2 max
f1
f
1 min
f
2 min
0 a x1 x2
f2 bx
随着设计变量X的值不断增大，目标函数 f1(X)的值越来越好，目标函数 f2(X)的值越来越差
§7.1 多目标优化问题
一. 多目标问题的数学模型：
设 X =[x1, x2 , …,xn]T
6
f1(X)
4．分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法：将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次， 按重要程度排序，然后依次对各个目标函数 求最优解。后一目标应在前一目标最优解的 集合域内寻优。
假设f1(X)最重要， f2(X)其次， f3(X)再其次, … 首先对第一个目标函数f1(X)求解
miXn f1D(X ) 求出最优解域 f1 *
min f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
min fk(X)
X∈Rn
s.t. fi(X) ≤ fi0
i = 1,2,,…,k-1,k+1,…q
gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
摇杆摆角越接近60°越好 取值范围59°～61° 故f3=60°, c3=1
f3=59°, c3=0 f3=61°, c3=0
c1 1
f1(x)
0
17°
c2
1
f2(x)
0 c3
55°
1
0 59°
f3(x) 60° 61°
建立各目标的功效函数：
c1
1)
c1
f1( X ) 17
1
2)
c2
55 f2 (X ) 55
第七章 多目标及离散变量优化方 法
7.1 多目标优化问题 7.2多目标优化方法 7.3离散变量优化
§7.1 多目标优化问题
在[a , b]区间内有两个目标函数：
对于f1(X) ：
当x=a,
f1(X)取得最差值
f
1 max
当x=b,
f1(X)取得最优值
f
1 min
对于f2(X)：
当x=a,
f2(X)取得最优值
4）功效系数的特点
①直观，计算后调整方便， ②避免某一目标函数值不可接受而评价函数值较好。 ③可以处理希望目标函数值取某一适当值的情况。 ④事先要求明确目标函数的取值范围 ⑤有一个单目标不能接受,则总方案不能接受。
3．协调曲线法
x2
一. 基本思想：
在多目标优化设计中，当各分目标函数 的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解， 以其集合得出协调曲线，再根据恰当的匹配 关系得到满意曲线，沿着满意程度的增加的 方向，各分目标值下降，直至获得选好解。
例如： F ( X ) 0.8 f1( X ) 0.2 f2( X )
10
1000
反映了各个单目标函数值离开各自最优值的程度。此法也 可理解为对各个分目标函数作统一量纲处理。这时在列出 统一目标函数时，不会受各分目标值相对大小的影响，能 充分反应出各分目标在整个问题中有同等重要含义。
2） 极大极小法
q
wi fi ( X ) i 1
q
式中： wi 1, wi 0 i 1
体现目标函数的重要程度
未考虑目标函数间量 级和量纲上的差异
f1取值范围是[10, 30], f2的取值范围是[1000, 3000],设计人员认为 目标函数 f1非常重要，则线性加权后的评价函数为：
F ( X ) 0.8f1( X ) 0.2f2( X )
综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。
f2
C
D
A
E
B
f1
使所有目标都能达到最优的解通常是不存在的或者很难 找到的，设计人员所能做到的就是在 Pareto解集中挑选 合适的解作为最终解，通过牺牲某个或某些目标的性能 来改善其它目标，在多个目标函数间进行折衷
最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。 劣 解：每个分目标函数值都比另一个解为劣，即为劣解。 选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。 三. 多目标函数问题的优化设计过程：
min. f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
二. 最优解与选好解、劣解与非劣解：
f2
●1 ●3
●6 ●4
●5
●2
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 0
f1
对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。
F ( X k1 ) 0.8 30 0.21000 224
这是由于没有考虑目标函数量纲上的差异造成的
进一步改进：
评价函数:
F ( X ) w1
f1( X f1*
)
w2
f2 ( X f2*
)
K
wq
fq(X ) fq*
q
wi
i 1
fi(X ) fi*
式中：fi*为各个目标进行单独优化时得到最优值
可 接 受
0.7
满 意
区
0.3
可间
接
受
间
区 间
0 fi
fi(0) fi(1) fi(2) fi(3) fi
区
0
间
fi(3) fi(2) fi(1) fi(0)fiʹ(0)fiʹ(1) fiʹ(2) fiʹ(3)
fi
目标函数越大越好
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
fi(0) :满意的目标函数值
fl ( fi
X )
(X)
fi*
i 1, 2,K
l 1
求
出
最
优
解
fl
＊
。
宽容分层序列法： 1）miXn f1D(X )
2）XminXf2
(X f1(
)
X ) f1* 1
3）X
min f3(X )
X fi (X ) fi* i i
△Ψ
l1
θ
C2
A
B2
l4
D
B1
分析：
① f1(X ) max
极位夹角取值范ห้องสมุดไป่ตู้0°～17° 故f1=17 °, c1=1
f1=0 ° , c1=0
② f2(X ) max min
最大压力角取值范围0°～55° 故f2=0° , c2=1
f2=55°, c2=0
③ f3( X ) 60o
0 f(1) f(0)
fʹ(0) fʹ(1) fi
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
fi(1) :接受与不可接受的目标函数值分界线 fi(0 :)难以接受的目标函数值
例：设计一曲柄摇杆机构，要求实现摇杆摆角△Ψ=60,最
大压力角 max尽可能小，以改善机构的传力性能；极
位夹角θ尽可能大，以提高机构的急回性质。
X D
式中： F X f1 X ,K , fr X T F X fr1 X fq X T
评价函数：F ( X )
f1 X fr X fr1 X fq X
FX
r
wj fj X
j1 q
o w j 1
wj fj X
jr 1
5） 功效系数法(几何平均法)
其次对第二个目标函数f2(X)求解。
min f2 (X )
X
X
f1( X ) f1*
求出最优解域 f2*
再次对第三个目标函数f2(X)求解
X
min X
f3 ( X fi (X
) ) fi* i 1,
2
求出最优解域 f3 *
如此继续，最优对第l个目标函数f2(X)求解
min X X
设计人员原本的意图是优化结束后，f1的取值尽量靠近10，f2的取 值可以稍微劣一些，例如可在2000左右。 第k次迭代时， f1的取值为15， f2的取值为1800，则
F ( X k ) 0.815 0.21800 372
第k+1次迭代时，为了让整体评价函数F(X)取值更优，无论采用 哪种优化方法，优化程序会拼命的降低 f2的取值，升高 f1的取值
（1）基本思想：给每一个分目标函数值一个评价，以功
效系数ci 表示: 功效函数: ci=Fi（fi）
0≤ci ≤1
当fi取值很满意时， ci=1；当fi取值不能接受时，ci=0
整体评价函数: c m c1c2 cm
c值要求越大越好，即c=1为最满意；c=0表示此方案 不能被接受。
（2）功效函数的类型（按照对目标函数的不同要求）
①目标函数越大越好 要求： fi越大, ci越大；当fi越小， ci越小；
②目标函数越小越好 要求： fi越小, ci越大；当fi越大， ci越小；
③目标函数取值在某个范围内最好 要求： fi取得的值越靠近预先确定的适当值时， ci越大；否则ci越小。
（3）功效系数的确定方法 ①直线法