复杂动态网络基本概念
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一类非一致节点复杂动态网络的同步控制算法赵彬，李俊民西安电子科技大学数学系，710071[摘要] 本文旨在研究一类非一致节点、未知时变耦合强度的复杂动态网络的同步控制算法。
在假设耦合强度()i t ϕ有界，并且系统满足有界性条件和Lipschitz 条件下，给出的第一类算法为20()()()||()||()ti i i i i i u t d t e t k e d e t ττ=-=-⎰，它可以使得动态网络同步到给定平衡解。
第二种算法为2()()()()p i i i i i u t d t e t k t e t +=-=-，它能够保证当()i t ϕ夹在p 次多项式之间时，网络同步到给定平衡解；在系统的节点函数满足有界性条件和一系列不等式、外耦合矩阵为对称等条件下，2()()p i i u t kt e t +=-还可使系统同步到平均轨迹。
第二类算法的两种情况都可以使得动态网络达到指数同步。
文章还论证了两种算法中各个参数的有界性，从而确保了算法的现实意义。
最后，多组仿真实例验证了理论结果。
[关键词] 复杂动态网络非一致节点未知时变耦合强度同步控制算法[Abstract] This paper aims at developing synchronization control algorithms for the complex dynamical networks (CDNs) with nonidentical nodes and unknown coupling strength. By assuming the boundedness of ()i t ϕ, and the system satisfying the boundedness condition and the Lipschitz condition,the first kind of the algorithms is given as 20()()()||()||()ti i i i i i u t d t e t k e d e t ττ=-=-⎰, which makesthe nodes states synchronize to a designed equilibrium solution. The other kind is 2()()()()p i i i i u t d t e t t e t +=-=-, which guarantees that, if ()i t ϕ lies between p -polynomials, the network states synchronize to the designed equilibrium solution. If the system satisfies the boundedness condition and a series of inequalities, with the outer coupling matrix being symmetrical and some otherconditions, the control 2()()p i i u t kt e t +=- will synchronize the CDNs to the average trajectory. The second algorithm for both situations can synchronize the network exponentially. The boundedness of all the parameters in both algorithms are also proved, which ensure that the algorithms make sense. At last, many groups of simulation results prove the theoretical results.[Key Words] Complex Dynamical networks Nonidentical Nodes Unknown Coupling Strength一、引言近年来，关于复杂网络的研究不断涌现，因而复杂动态网络（Complex Dynamical networks ）同步问题的研究也成为控制科学的前沿热点问题。
复杂生态网络的结构分析与建模
复杂生态网络的结构分析与建模复杂生态网络是一个由许多生物和环境要素交织在一起的复杂系统。
并且这些生物和环境要素还互相作用影响着彼此的生长或者消亡。
生态网络是一个高度充满活力和复杂性的动态系统，因此，建立复杂生态网络模型，对于了解生态系统的结构和演变规律非常重要。
本文通过分析和建模，探讨复杂生态网络的结构及其基本特征。
一、复杂生态网络的结构概述复杂生态网络中有很多生物和环境要素，它们之间相互影响、制约和促进。
在生态系统中，不同物种之间存在着复杂的食物链和食物网关系。
食物链表示了生物之间的可消化关系，而食物网则更好地描述了不同物种的生态和环境关系。
复杂生态网络中各种生物分为食物链的顶端、中央或基础档位，相互之间形成了网络结构。
这个网络网络是非常复杂的，涉及到生物、环境、能量和物质四个基本要素，是一种动态的、复杂的和自组织的整体。
二、复杂生态网络的拓扑结构复杂生态网络的拓扑结构是指由节点和边构成的网络结构。
生态网络的节点代表着在生态系统中存在的单元，例如生物群落、生物种、生态过程等，而生态系统中不同单元之间的互作关系则通过边来表示。
最常见的网络结构是邻接矩阵和相邻矩阵，这两种结构都能够有效表示生物和环境要素之间的关系。
此外，生态网络还需要具备稳定性、合理性和可解释性的特征，以最大限度反映生态系统的实际情况。
三、复杂生态网络的分类按照生态系统中不同物种之间的直接依赖关系，可以将生态系统划分为食物链、食物网络和关键物种网络（KSN）。
食物链是由不同阶层生物之间可消费关系的分类，而食物网形象地表示了生物、环境和能量等众多要素之间的相互作用关系。
关键物种网络包含了特定生态系统的优势群落，其特点是对环境的变化具有很高的适应性和重要性。
KSN网络通常是由少量的优势品种和环境要素组成的，因此不同于食物链和食物网的复杂性，KSN网络拓扑结构相对简单。
四、建立复杂生态网络模型建立复杂生态网络模型的过程包括数据采集、网络结构分析、模型拟合、模型检验和模型预测。
复杂网络理论研究的现状与未来
复杂网络理论研究的现状与未来网络已经成为了人们生活中不可或缺的一部分。
无论是个人的社交网络还是全球的互联网，网络连接了我们的生活，也改变了我们的生活方式。
随着互联网的不断发展，网络已经从简单的连接工具演变成了复杂的系统。
因此，复杂网络理论的研究成为了当前的热点之一。
本文将探讨复杂网络理论的现状和未来发展方向。
一、复杂网络理论的概念和基本特征复杂网络是指由大量节点和边构成，具有复杂结构、多样性、非线性、动力学特征、自组织性、鲁棒性和鲜明的小世界效应、无标度特性等基本特征的网络。
通常情况下，复杂网络分为三类：随机网络、小世界网络和无标度网络。
随机网络是指所有节点的度数都差不多的网络，其中每个节点与其他节点随机连接。
小世界网络是指带有高度聚集性的连通性网络，即绝大部分节点都连接在一起，少数节点之间存在着远距离的联系。
无标度网络是指网络中有少部分节点拥有大量边缘连接的特性，即一小部分节点拥有着绝大部分的节点连接。
二、复杂网络理论的研究现状复杂网络理论的研究已经成为了跨学科研究的重要领域，包括数学、物理、计算机科学、生物学等。
近年来，随着人们对网络数据的深入研究，社交网络、生物网络、交通运输网络等越来越多的网络数据被发现，这些网络的存在和演变规律与我们生活中的许多重要问题相关。
比如，在社交网络中，人们如何形成朋友圈，如何通过朋友圈传播信息；在生物网络中，多种生物体之间的相互作用方式及其对生物群落演化的影响等等。
在复杂网络理论的研究中，目前主要的研究方向包括网络结构的建模和分析、网络中的动态演化过程、网络的鲁棒性和动力学过程。
在网络结构的建模和分析方面，研究者们主要从拓扑结构及其参数、形成机理、应用场景等方面展开探索。
在动态演化过程的研究中，主要探索网络中的复杂动态行为以及动态行为的建模。
在网络鲁棒性的研究中，主要探讨网络的鲁棒性如何改进和优化。
最后，在网络的动力学过程的研究中，主要是探讨网络的动态演化行为如何对网络中的元素产生影响，以及如何对网络整体产生作用。
数学中的复杂网络
数学中的复杂网络在数学领域中，复杂网络是指由大量节点和连接它们的边组成的网络结构。
这些节点和边的关系可以用数学模型来描述和分析，从而揭示网络的特性和行为。
复杂网络广泛应用于各个领域，如社交网络、生物网络、物流网络等。
它们的研究对于了解和解决实际问题具有重要意义。
一、复杂网络的定义和组成1. 节点：复杂网络的节点代表网络中的个体、物体或者事件等，可以是人、动物、物品等。
节点是网络的基本单位，每个节点可以有自己的属性和特征。
2. 边：复杂网络的边代表节点之间的连接关系，可以是直接或间接的连接。
边可以是有向或无向的，代表了节点之间的关系强度和方向性。
3. 度：节点的度是指与该节点相连接的边的数量。
节点的度可以衡量它在网络中的重要性和影响力，具有重要的拓扑属性。
二、复杂网络的特性和行为1. 小世界性：复杂网络具有小世界性质，即任意两个节点之间的平均路径长度较短。
这意味着网络中的节点之间可以通过较短的路径进行传递信息和交流。
2. 无标度性：复杂网络的节点度分布呈幂律分布，即只有少数节点具有非常高的度。
这些高度连接的节点被称为“关键节点”，对网络的鲁棒性和稳定性起到重要作用。
3. 聚类性：复杂网络中存在着节点的聚类现象，即相互连接的节点倾向于形成集群或社区。
这些聚类结构可以揭示网络中节点之间的相似性和密切关系。
4. 随机性：复杂网络中节点和边的连接关系具有一定的随机性，这导致了网络的不确定性和复杂性。
对随机网络的建模和分析有助于理解和预测现实世界中的复杂系统。
三、复杂网络的应用1. 社交网络：复杂网络理论被广泛应用于社交网络的研究中。
通过对社交网络的节点和边进行分析，可以揭示出个人之间的联系和社交群体的结构，对信息传播、社会动态等方面具有重要影响。
2. 生物网络：复杂网络在生物学领域有着广泛的应用。
生物网络可以表示蛋白质相互作用、基因调控等生物系统中的网络结构。
通过研究和模拟生物网络，可以洞察生物系统的功能和演化规律。
动态网络的建模与分析
动态网络的建模与分析网络在我们的生活中扮演着越来越重要的角色，尤其是互联网的出现和普及，让我们看到了网络世界的无限可能性。
随着信息技术的不断进步和发展，网络也在不断演变和发展，从静态网络逐渐过渡到动态网络。
动态网络不仅包含了静态网络的特性，还在网络拓扑结构和网络拥塞控制等方面加入了时间维度，更接近现实中的真实网络。
本文将探讨动态网络的建模与分析方法。
一、动态网络的基本特征动态网络是一种动态演变的网络，具有以下基本特征：1. 时间变化性：网络拓扑结构和网络状态随时间而变化。
2. 多层结构性：动态网络通常同时存在多个层次的网络结构。
3. 非线性性：动态网络的节点和边的关系呈现出“非线性”特征。
4. 同步性：网络中不同节点之间可能发生同步现象。
5. 自组织性：动态网络的演化过程具有自组织性和自适应性。
6. 尺度自相似性：动态网络的局部结构和全局结构表现出尺度自相似性。
二、动态网络的建模方法为了研究动态网络的特性和行为，需要对其进行建模。
目前，常用的动态网络建模方法包括以下几种：1. 随机图模型：随机图模型是一种静态网络模型，常用于描述节点之间的随机连接关系。
在动态网络中，可以通过引入时间演化规律，将其转化为动态网络模型。
2. 动力学模型：动力学模型是一种基于微观机制和节点行为的动态网络模型。
通过对节点状态和演化规律的建模，能够更好地刻画网络的演化过程。
3. 复杂网络模型：复杂网络模型是一种综合考虑网络结构和网络功能的动态网络模型。
通过对网络的拓扑、节点状态和节点行为等多个方面进行建模，能够更好地描述网络的复杂性和动态性。
三、动态网络的分析方法动态网络的分析方法主要包括以下几种：1. 时间序列分析：时间序列分析是一种基于时间序列的动态网络分析方法。
通过对网络拓扑结构和网络状态随时间的演化过程进行分析，能够揭示网络的变化规律和特征。
2. 网络拓扑分析：网络拓扑分析是一种基于网络拓扑结构的动态网络分析方法。
复杂网络基础理论
无标度网络
定义：无标度网络是指节点的度分布遵循幂律分布的网络即少数节点拥有大量连接大部分节点 只有少数连接。
特性：无标度网络具有高度的异质性其结构可以抵抗随机攻击但容易受到定向攻击。
构建方法：无标度网络的构建通常采用优先连接机制即新节点更倾向于与已经具有大量连接的 节点相连。
应用场景：无标度网络在现实世界中广泛存在如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。
07
复杂网络的未来研究方向和挑战
跨领域交叉研究
复杂网络与计算机 科学的交叉：研究 网络算法、网络安 全和网络流量控制 等。
复杂网络与生物学 的交叉：研究生物 系统的网络结构和 功能如蛋白质相互 作用网络和基因调 控网络等。
复杂网络与物理学 的交叉：研究网络 的拓扑结构和动力 学行为如复杂系统 、自组织系统和非 线性系统等。
复杂网络的演化过程中节点和边 的动态变化会导致网络的拓扑结 构和性质发生改变。
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复杂网络具有非线性和自组织的 特性能够涌现出复杂的结构和行 为。
复杂网络在现实世界中广泛存在 如社交网络、生物网络、交通网 络等。
复杂网络的特征
节点数量巨大且具有自组织、 自相似、小世界等特性
03
复杂网络的基本理论
网络拓扑结构
节点：复杂网络中的基本单元
连通性：网络中节点之间是否存 在路径
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边：连接节点的线段表示节点之 间的关系
聚类系数：衡量网络中节点聚类 的程度
网络演化模型
节点增长模型：节点按照一定概 率在网络中加入形成无标度网络
节点属性演化模型：节点属性随 时间发生变化影响网络的演化
动态网络和复杂系统的构建和研究方法
动态网络和复杂系统的构建和研究方法随着社会信息化的日益发展和互联网应用的流行，网络科学考察的视野也逐渐发展成为研究复杂系统的有力工具。
动态网络和复杂系统的构建和研究方法是研究网络科学的基础，本文将阐述这些方法的基本原理和应用。
一、动态网络的构建方法动态网络是指具有一定的时间序列信息并且网络拓扑结构会随时间发生不断变化的复杂网络。
动态网络的构建过程可以通过以下两种方法来进行。
1.直接观察法：该方法即通过直接观察网络结构的演化过程来构建动态网络。
例如，通过对社交网络中用户之间互动的记录进行统计，在一定时间间隔内，可以构建出对应的网络图，同时这些网络图还带有时间信息，从而构建出了社交网络的动态网络。
2.时间序列法：该方法通常采用时间序列分析的原理，将网络在不同时间点的拓扑结构作为观测数据，通过时间序列分析，得出网络的动态演化规律。
例如，在数据挖掘中，可以将社交网络的拓扑结构看做时间序列数据，利用时间序列分析方法，找到网络结构的变化模式，从而构建出动态网络。
二、复杂系统的构建方法复杂系统是指由多个简单元素相互作用、具有反馈机制、并具有自我组织、自调节和不确定性的系统。
复杂系统的构建过程可以分为以下几个步骤。
1.确定系统的复杂度：这个步骤是对所研究的系统进行分析，确定系统的复杂度和特征。
如果系统的规模较小，可以采用基于规则的方法进行构建；如果系统规模较大，则需要采用基于统计的方法进行构建。
2.确定系统元素的交互方式：通过分析系统元素之间的交互关系，确定系统元素的交互方式。
复杂系统的构建需要考虑到系统元素的相互作用和反馈机制。
3.确定系统的演化模式：复杂系统和动态网络一样，都有时间和演化性质。
确定系统的演化模式是对复杂系统进行构建的基础。
4.构建数学模型：构建数学模型是对复杂系统进行描述的主要方法之一，包括动态模型和静态模型。
动态模型是指对系统的演化过程进行数学描述，静态模型则是对系统的状态进行数学描述。
5.采用计算模拟方法进行验证：在构建数学模型之后，需要进行实验验证。
19复杂动态网络同步与控制
鲁棒自适应控制
鲁棒性
策略参数保持不变。
线性控制鲁棒性差
自适应控制鲁棒性
非脆弱控制
非脆弱控制
第一个节点同步误差
第二个节点同步误差
第三个节点同步误差
Outlines
复杂动态网络同步
时变复杂动态网络控制 时变复杂动态网络非脆弱控制 非一致节点复杂动态网络的同步控制算法
一类非一致节点复杂动态网络的 同步控制算法
Outlines
复杂动态网络同步
时变复杂动态网络控制 时变复杂动态网络非脆弱控制 非一致节点复杂动态网络的同步控制算法
时变复杂动力学网络同步化
以时变复杂动力学网络为模型, 通过引入反 馈控制来实现这类网络的同步. 模型中的耦 合配置矩阵及内部耦合矩阵并不需要假设 作为先验知识,只需要满足时变有界即可. 针对该界值在可以预估和难以获知的情况 下, 分别采用线性反馈和自适应反馈控制策 略来保证网络同步的实现, 并进一步研究了 时滞等不确定性因素对这两种控制策略的 影响.
问题描述
计算机仿真
Published related papers
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Weiyuan Zhang and Junmin Li, Global exponential synchronization of delayed BAM neural networks with reaction diffusion terms and the Neumann boundary conditions, Boundary Value Problems, 2012:2 doi:10.1186/1687-2770-2012-2, Published: 13 January 2012 (SCI) Guo Xiaoyong, Li, Junmin, Stochastic synchronization for time-varying complex dynamical networks，Chinese Physics B, 2012,21(2):020501 (SCI) Wang Tengfei, Li Junmin and Tang Shu, Adaptive Synchronization of Nonlinearly Parameterized Complex Dynamical Networks with Unknown Time-varying Parameters, Mathematical Problems in Engineering, Volume 2012, Article ID 592539, 16 pages, doi:10.1155/2012/592539.( SCI) Guo Xiaoyong and Li Junmin, A new synchronization algorithm for delayed complex dynamical networks via adaptive control approach, accepted by Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012, March, 18，(SCI)
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２)涌现性。即内部元素通过非线性相互作用，
在宏观层次上产生出新的、元素不具有的整体属
性，表现为整体斑图、模式等。虽然涌现同样是
所有系统都具有的，但这里涌现意味着新的整体
属性的产生。
例子， “整体大于部分之和”， 大脑的神经网
络系统
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３）演化性（不可逆性）。即通过与所在环境中的其它 系统的相互作用和内部的自组织，使系统发展到新的阶 段，表现出阶段性、临界性，完成系统演化的生命周期。 例:社会网络中的人，生物群体的自组织系统（鸟群）
二十一世纪（二十世纪末），系统成为主要 的研究对象，整合成为主要方法。普列高津的耗 散结构理论，哈肯的协同学，混沌和复杂系统理 论，系统生物学 … …。
9
当分析为主要的研究方法时，人类关注如何将系 统“分析”、“分解”，揭开系统的细部，了解是什 么元素或部件组成了系统，却忽视或破坏了这些元素 是如何组合成系统的。而整合的方法在于了解细部以 后，研究“如何组合”的问题。这种方法导致复杂网 络结构的研究。
dynamics, Phys. Rep. 424 (2006) 175-308. Newman, Barabasi, Watts. The Structure and Dynamics
of Networks. Princeton University Press, 2006.
4
复杂动态网络基本概念
复杂动态网络及其控制
任课教师：樊春霞 南京邮电大学自动化学院
课程介绍
• 学时：32 • 内容：复杂动态网络基本概念、小世界
模型、无尺度模型、复杂动态网络状态 耦合同步方法、复杂动态网络输出耦合 同步方法、时滞网络同步、复杂动态网 络拓扑辨识、复杂动态网络故障诊断
参考书
• 1．汪小帆、李翔、陈关荣编著，复杂网 络：理论及其应用，清华大学出版社， 2006年.
11
复杂网络是构成复杂系统的基本结构，每个复杂 系统都可以看作是单元或个体之间的相互作用网络； 复杂网络在刻画复杂性方面的重要性是由于结构 决定功能的。 复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法，它 关注系统中因子相互关联作用的拓扑结构，是理解复 杂系统性质和功能的基础。
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我认为，下个世纪将是复杂性的世纪 (I think the next century will be the century of complexity)
——斯蒂芬.霍金(StephenHaking)（2000）
英国剑桥大学应用数学及理论物理学系教授，当代最重要的广义相对论和 宇宙论家，是当今享有国际盛誉的伟人之一，被称为在世的最伟大的科学家， 还被称为“宇宙之王”。
网络与复杂网络成为二十一世纪的新科学领域！
2. 复杂系统与复杂？ • 2．为什么研究复杂网络? • 3. 复杂动态网络的基本概念
一、为什么研究复杂网络？
1. 二十一世纪涌现的新现象
万
万维网是怎样 “链”接的？
维
从一个页面到另
网
一个页面
平均需要点击多 少次鼠标？
6
美国航空网
城市公共交通网
为什么两者结构差异如此之大？ 这种差异是必然还是偶然的？ 城市交通涌堵的原因是什么？
美国《Science》周刊： “如果对当前流行的、时髦的关键词进行一 番分析，那么人们会发现，“系统”高居在 排行榜上。”
10
二、复杂系统与复杂网络
1. 1. 复杂系统与复杂网络的概念
（1）什么是系统？
系统：集合（具体元素）+ 结构+功能。 （例：不同角度分析系统，人）
（2）系统的结构是什么？
一切系统的基础结构都是网络； 一切系统的核心结构都是逻辑网络； 复杂系统的结构就是复杂网络。
４）复杂性。 包括系统的结构、行为、功能等多个方面 同时具有的复杂性。结构复杂性表现为多元性，非对称 性，非均匀性，非线性（分岔 (Bifurcation) , 混沌 (Chaos), 分形Fractal）；行为复杂性表现为学习，自适 应性，混沌同步，混沌边沿，随机性等等；认识复杂性 又称为主观复杂性，它表现为不确定性，描述复杂性与 计算复杂性等等。 例:神经网络中的突触有强有弱，可抑制也可兴奋
(2002)1079. M. E. J. Newman. SIAM Rev., 45(2003) , 167. S. N. Dorogovtesev, J.Mendes. Evolving of Networks,
Oxford Un. Press, 2003. E. Ben-Naim, et al. Complex Networks, Springer, 2004. S.Boccaletti, et al. Complex Networks: Structure and
7
非典发现在广州，为什么却 在北京爆发呢？
传染病是怎样扩散和消失的？
计算机病毒是怎样传播的？ 为什么“好事不出门，坏事 行千里”呢？
……
8
互联网
2. 二十一世纪科学研究的特点
二十世纪，科学研究的特点是分析的方法， 还原论的方法：物理学（牛顿力学、量子力学、 电子论、半导体），化学（量子分子论），生 物（双螺旋结构）；建筑工程（应力应变分 析），……。
• 2. 汪小帆、李翔、陈关荣编著，网络科 学导论，高等教育出版社，2012年.
• 3.针对研究方向，网络资料，海量
相关资料：
许晓鸣, 郭雷.复杂网络.上海科技教育出版社, 2006年11月.
S.H.Strogatz. Nature, 410, (2001) 268. R.Albert, A. -L. Barabasi. Rev. Mod. Phys. , 51
1) 开放性。即与环境和其它系统进行相互作用，
交换物质、能量、信息，保持和发展系统内部的有 序性与结构稳定性。在这种交换中，系统经历着从 低级向高级、从简单到复杂、从无序向有序的不断 优化的动态发展过程。虽然开放性是所有真实系统 的基本属性，但这里的开放非指一般意义上的相互 作用与交流，而开放的度量、性质、强度对复杂系 统的性态、演化具有决定性的意义。
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５）网络结构。即系统内部和系统之间的相 互作用可以看成由节点、边（连接）构成的 体系，出现网络复杂性、小世界特征与无标 度特征等。