一元二次方程的定义提高练习(含答案)
一元二次方程的定义提高练习（含答案）一．选择题（共8小题）1．（2012•汉川市模拟）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣1=y B．（x+2）（x+1）=x2C．6x2=5 D．2．（2007•滨州）关于x的一元二次方程（m+1）+4x+2=0的解为（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．无解3．（2002•甘肃）方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±24．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0是一元二次方程，则k的取值范围是（）A．k≠0 B．k≠1 C．k≠0且k≠1 D．k=05．关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣mx+1=0是一元二次方程，则m=（）A．±2 B．2C．﹣2 D．不确定6．方程①；②3y2﹣2y=﹣1；③2x2﹣5xy+3y2=0；④中，是一元二次方程的为（）A．①B．②C．③D．④7．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，﹣4，B．0，﹣4，﹣C．0，﹣4，D．1，﹣4，﹣8．关于x的方程（a2﹣a﹣2）x2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（）A．a≠﹣1 B．a≠2 C．a≠﹣1且a≠2 D．a≠﹣1或a≠2二．填空题（共8小题）9．关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，则m应满足条件是_________．10．若关于x的方程（m﹣1）﹣mx﹣3=0是一元二次方程，则m=_________．11．关于x的一元二次方程ax2﹣3x+2=0中，a的取值范围是_________．12．若是关于x的一元二次方程，则a=_________．13．当k=_________时，（k﹣1）﹣（2k﹣1）x﹣3=0是关于x的一元二次方程．14．当m=_________时，方程（m2﹣1）x2﹣mx+5=0不是一元二次方程．15．方程（m+4）x|m|﹣2+5x+3=0是关于x的一元二次方程，则m=_________．16．关于x的方程（m+3）+（m﹣3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为_________．三．解答题（共4小题）17．方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1=0；（1）m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m取何值时是一元一次方程．18．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．19．已知关于x的方程（m2﹣8m+20）x2+2mx+3=0，求证：无论m为任何实数，该方程都是一元二次方程．20．若（m+1）x|m|+1+6﹣2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2012•汉川市模拟）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣1=y B．（x+2）（x+1）=x2C．6x2=5 D．考点：一元二次方程的定义．专题：存在型．分析：根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．解答：解：A、是二元二次方程，故本选项错误；B、原方程可化为：3x+2=0是一元一次方程，故本选项错误；C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、是分式方程，故本选项错误．故选C．点评：本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．（2007•滨州）关于x的一元二次方程（m+1）+4x+2=0的解为（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．无解考点：一元二次方程的定义．专题：计算题．分析：因为本题是关于x的一元二次方程，所以m2+1=2解得m=±1因为m+1≠0不符合题意所以m=1，把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0，解这个方程即可求出x的值．解答：解：根据题意得m2+1=2∴m=±1又m=﹣1不符合题意∴m=1把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0解得x1=x2=﹣1．故选C．点评：本题主要考查了一元二次方程的一般形式，要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．3．（2002•甘肃）方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±2考点：一元二次方程的定义．专题：压轴题．分析：本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此即可求解．解答：解：由一元二次方程的定义可得，解得：m=2．故选B．点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0是一元二次方程，则k的取值范围是（）A．k≠0 B．k≠1 C．k≠0且k≠1 D．k=0考点：一元二次方程的定义．专题：方程思想．分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．解答：解：根据题意，得k﹣1≠0，即k≠1．故选B．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，切记，二次项系数不为零．5．关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣mx+1=0是一元二次方程，则m=（）A．±2 B．2C．﹣2 D．不确定考点：一元二次方程的定义．专题：计算题．分析：本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．解答：解：根据题意，得，解得，m=﹣2；故选C．点评：本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．6．方程①；②3y2﹣2y=﹣1；③2x2﹣5xy+3y2=0；④中，是一元二次方程的为（）A．①B．②C．③D．④考点：一元二次方程的定义．专题：推理填空题．分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解答：解：①未知数的最高次数是1，故本选项错误；②符合一元二次方程的定义，故本选项正确；③方程含有两个未知数，故本选项错误；④不是整式方程，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．7．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，﹣4，B．0，﹣4，﹣C．0，﹣4，D．1，﹣4，﹣考点：一元二次方程的定义．分析：在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0），ax2叫二次项，bx是一次项，c是常数项，其中a，b，c分别是二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义即可判断．解答：解：由定义直接可得出二次项系数，一次项系数，常数项分别为1，﹣4，﹣．故选：D点评：在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要把一元二次方程首先化为一般形式．8．关于x的方程（a2﹣a﹣2）x2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（）A．a≠﹣1 B．a≠2 C．a≠﹣1且a≠2 D．a≠﹣1或a≠2考点：一元二次方程的定义．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的定义解答：二次项系数不为0．解答：解：根据题意，得a2﹣a﹣2≠0，即（a+1）（a﹣2）≠0，解得，a≠﹣1且a≠2．故选C．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，二次项系数不为零．二．填空题（共8小题）9．关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，则m应满足条件是m≠1．考点：一元二次方程的定义．分析：先移项，再合并同类项得出（m﹣1）x2+3x﹣4=0，根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0，求出即可．解答：解：mx2+3x=x2+4，mx2﹣x2+3x﹣4=0，（m﹣1）x2+3x﹣4=0，∵关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，∴m﹣1≠0，∴m≠1，故答案为：m≠1．点评：本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a b c都是常数，且a≠0）．10．若关于x的方程（m﹣1）﹣mx﹣3=0是一元二次方程，则m=﹣1．考点：一元二次方程的定义．分析：本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足三个条件：（1）含未知数的项最高次数是2；（2）只有一个未知数；（3）是整式方程．由这三个条件得到相应的关系式，再求解即可．解答：解：因为原方程为关于x的一元二次方程，所以，解得：m=﹣1．点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．11．关于x的一元二次方程ax2﹣3x+2=0中，a的取值范围是a≠0．考点：一元二次方程的定义．专题：计算题．分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．解答：解：根据题意，知一元二次方程的二次项系数不为0，∴a≠0；故答案是：a≠0．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0．12．若是关于x的一元二次方程，则a=﹣1．考点：一元二次方程的定义．专题：探究型．分析：根据一元二次方程的定义列出关于a的不等式组，求出a的值即可．解答：解：∵此方程是一元二次方程，∴，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查的是一元二次方程的定义，根据题意列出关于a的不等式组是解答此题的关键．13．当k=﹣2时，（k﹣1）﹣（2k﹣1）x﹣3=0是关于x的一元二次方程．考点：一元二次方程的定义．专题：方程思想．分析：本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．解答：解：根据题意，知，解得，k=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．14．当m=±1时，方程（m2﹣1）x2﹣mx+5=0不是一元二次方程．考点：一元二次方程的定义．分析：根据方程不是一元二次方程得出二次项系数等于0，求出即可．解答：解：∵（m2﹣1）x2﹣mx+5=0不是一元二次方程，∴m2﹣1=0，解得：m=±1，故答案为：±1．点评：本题考查了对一元二次方程的定义的应用，注意：一元二次方程：ax2+bx+c=0（a b c是常数，且a≠0）．15．方程（m+4）x|m|﹣2+5x+3=0是关于x的一元二次方程，则m=4．考点：一元二次方程的定义．分析：本题根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程）解答．解答：解：根据题意，得|m|﹣2=2，且m+4≠0，解得，m=4；故答案是：4．点评：本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．16．关于x的方程（m+3）+（m﹣3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为3．考点：一元二次方程的定义．分析：根据一元二次方程的定义可知，二次项系数为2，则可以得到m2﹣7=2；再根据一元二次方程中二次项系数不等于零，即可确定m的值．解答：解：∵该方程为一元二次方程，∴m2﹣7=2，解得m=±3；当m=﹣3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；所以m=3．点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件；这是在做题过程中容易忽视的知识点．三．解答题（共4小题）17．方程（m+1）x+（m﹣3）x﹣1=0；（1）m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m取何值时是一元一次方程．考点：一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．分析：（1）要使关于x的方程是一元二次方程，则m2+1=2且系数不为0．先确定m的值，然后求出一元二次方程的根．（2）当二次项系数为0，一次项系数不为零的时候，此方程为一元一次方程．解答：解：（1）解：若方程是一元二次方程，则m2+1=2，∴m=±1．显然m=﹣1时m+1=0故m=1符合题意．当m=1时，原方程可化简为2x2﹣2x﹣1=0，即：（x﹣1）（2x+1）=0，∴x1=，x2=．因此m=1，方程的两根为x1=，x2=．（2）当m+1=0时，解得：m=﹣1，此时方程为﹣4x﹣1=0．当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为﹣2x﹣1=0，∴当m=﹣1或m=0时，方程为一元一次方程．点评：本题考查了一元一次方程及一元二次方程的定义，当出现字母系数时，要特别注意字母系数的取值．18．x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．考点：一元二次方程的定义．分析：本题根据一元二次方程的定义求解．分5种情况分别求解即可．解答：解：∵x2a+b﹣2x a+b+3=0是关于x的一元二次方程，∴①，解得；②，解得；③，解得；④，解得；⑤，解得．综上所述，，，，．点评：本题主要考查了一元二次方程的概念．解题的关键是分5种情况讨论x的指数．19．已知关于x的方程（m2﹣8m+20）x2+2mx+3=0，求证：无论m为任何实数，该方程都是一元二次方程．考点：一元二次方程的定义．专题：证明题．分析：无论m取何实数这个方程都是一元二次方程，只要说明无论m为什么值时m2﹣8m+20的值都不是0，可以利用配方法来证明．解答：解：m2﹣8m+20=（m2﹣8m+16）+4=（m﹣4）2+4，∵（m﹣4）2≥0，∴（m﹣4）2+4≠0，∴无论m取何实数关于x的方程（m2﹣8m+20）x2+2mx+3=0都是一元二次方程．点评：本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．20．若（m+1）x|m|+1+6﹣2=0是关于x的一元二次方程，求m的值．考点：一元二次方程的定义．分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．解答：解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1一定是此二次项．所以得到，解得m=1．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式，要特别注意二次项系数a≠0这一条件，本题容易出现的错误是忽视m+1≠0这一条件．。
中考数学提高题专题复习一元二次方程练习题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)， 综上所述，n=0.2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1， ∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣13．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b 2﹣4ac=9＞0∴2b b 4ac -±-732± ∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x 2﹣2x+34=0， ∴x 1=12，x 2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1x2＝11＝－1，x2＝5.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝12，∴x2－2x＋1＝32.∴(x－1)2＝32.∴x－1＝.∴x 1＝1＋2，x 2＝1－2. (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.6．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.7．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w ，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.8．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.9．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。
长春市九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》提高练习(含答案解析)
一、选择题1．方程22(1)10m x -+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠±l B ．m≥-l 且m≠1 C ．m≥-l D ．m ＞-1且m≠1 2．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝123．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ） A ．3125x x +=- B ．31(25)x x +=-- C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-4．方程2240x x --=经过配方后，其结果正确的是（ ） A ．()215x -=B ．()217x -=C ．()214x -=D ．()215x +=5．关于x 的一元二次方程()25410a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠B ．1a ≥且5a ≠C ．1a ≥D ．1a <且5a ≠6．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=7．已知a ，b ，c 分别是三角形的三边长，则关于x 的方程()()220a b x cx a b ++++=根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有且只有一个实数根 D ．没有实数根8．一元二次方程2304y y +-=，配方后可化为（ ） A ．21()12y +=B ．21()12y -=C ．211()22y +=D ．213()24y -=9．若整数a 使得关于x 的一元二次方程()2210a x -+=有两个实数根，并且使得关于y 的分式 方程32133ay yy y -+=--有整数解，则符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．若方程()200++=≠ax bx c a 中，,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（ ） A ．1,0B ．1,0-C ．1,1-D ．2,2-11．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．－1C ．1或－1D ．012．方程23x x =的解为（ ） A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-13．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+＝-有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．0m ≠B ．14mC ．14m <D ．14m >14．若关于x 的方程（m ﹣1）x 2+mx ﹣1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≠1 B ．m ＝1C ．m ≥1D ．m ≠015．已知方程2202030x x +-=的根分别为a 和b ，则代数式2a a 2020a b ++的值为（ ） A ．0B ．2020C ．1D ．-2020二、填空题16．对于实数m ，n ，定义一种运算“*”为：*m n mn n =+．如果关于x 的方程()**1x a x 4=-有两个相等的实数根，则a =_______．17．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．18．若二次式236x -的值与2x -的值相等，则x 的值为_______． 19．方程230x -=的解为___________．20．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________． 21．已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______． 22．关于x 的方程2880kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围______________． 23．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x ，根据题意，可得方程_______24．已知1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，则2212123x x x x ++=__________． 25．已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，则m =_________． 26．若()22214x y +-=，则22x y +=________．三、解答题27．用配方法解方程：22510x x -+=28．某水果超市以每千克20元的价格购进一批大枣，规定每千克大枣的售价不低于进价又不高于40元．经市场调查发现：大枣的日销售量y （千克）与每千克售价x （元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：每千克售价x（元）…253035…日销售量y（千克）…11010090…（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该水果超市想要获利1000元的日销售利润，每千克大枣的售价应定为多少元? 29．解方程：2420++=．x x30．用一块边长为70cm的正方形薄钢片制作一个长方体盒子．（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图②）．当做成的盒子的底面积为2900cm 时，求该盒子的容积；（2）如果要做成一个有盖的长方体盒子，制作方案要求同时符合下列两个条件：①必须在薄钢片的四个角上截去一个四边形（如图③阴影部分），②沿虚线折合后薄钢800cm时，该盒子的高．片即无空隙又不重叠地围成各盒面，求当底面积为2。
一元二次方程专题能力培优(含答案)
第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知2(3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A.m ≠3B.m ≥3C.m ≥-2D. m ≥-2且m ≠32. 已知关于x 的方程21(1)(2)10mm x m x +++--=，问：（1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值3.关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，求m 的值．4.若一元二次方程2(24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项，则a 的值为 .专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式5.已知关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），则a-b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.26.若一元二次方程ax 2+bx+c=0中，a －b+c=0，则此方程必有一个根为 .7.已知实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，求代数式22120122013a a a +--的值.知识要点：1.只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次），等号两边都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.温馨提示：1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件.2.一元二次方程的根是两个而不再是一个.方法技巧：1.ax k+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.答案： 1. D 解析：3020m m -≠⎧⎨+≥⎩，解得m ≥-2且m ≠32.解：（1）当212,10m m ⎧+=⎨+≠⎩时，它是一元二次方程.解得：m=1．当m=1时，原方程可化为2x 2-x-1=0； （2）当20,10m m -≠⎧⎨+=⎩或者当m+1+（m-2）≠0且m 2+1=1时，它是一元一次方程.解得：m=-1，m=0.故当m=-1或0时，为一元一次方程．3.解：由题意，得：210,10.m m ⎧-=⎨-≠⎩ 解得：m=－1．4.a=-2 解析：由题意得360,240.a a +=⎧⎨-≠⎩解得a=－2.5. A 解析：∵关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a （a≠0），∴a 2－ab+a=0.∴a （a －b+1）=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．6.x=－1 解析：比较两个式子会发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子x 2对应了第二个式子中的1，第一个式子中的x 对应了第二个式子中的-1.故211x x ⎧=⎨=-⎩.解得x=－1.7. 解：∵实数a 是一元二次方程x 2－2013x+1=0的解，∴a 2－2013a+1=0. ∴a 2+1=2013a ，a 2－2013a=－1. ∴2.2 一元二次方程的解法专题一利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值1.若方程25x2-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A．-9或11 B．-7或8 C．-8或9 C．-8或92.如果代数式x2+6x+m2是一个完全平方式，则m= .3.用配方法证明：无论x为何实数，代数式－2x2+4x－5的值恒小于零．专题二利用△判定一元二次方程根的情况或者判定字母的取值范围4.已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根5.关于x的方程kx2+3x+2=0有实数根，则k的取值范围是（）6.定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c专题三解绝对值方程和高次方程7.若方程（x2+y2-5）2=64，则x2+y2= .8.阅读题例，解答下题：例：解方程x2－|x－1|－1=0.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.解得：x1=0（不合题设，舍去），x2=1.（2）当x－1＜0，即x＜1时，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.解得x1=1（不合题设，舍去），x2=－2.综上所述，原方程的解是x=1或x=－2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．专题四一元二次方程、二次三项式因式分解、不等式组之间的微妙联系9.探究下表中的奥秘，并完成填空：10.请先阅读例题的解答过程，然后再解答：代数第三册在解方程3x （x+2）=5（x+2）时，先将方程变形为3x （x+2）-5（x+2）=0， 这个方程左边可以分解成两个一次因式的积，所以方程变形为（x+2）（3x-5）=0．我们知 道，如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个 因式有一个等于0，它们的积等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相当于解方程 x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解为x 1=-2，x 2=53． 根据上面解一元二次方程的过程，王力推测：a ﹒b ＞0，则有 0,0a b >⎧⎨>⎩或者0,0.a b <⎧⎨<⎩请判断王力的推测是否正确？若正确，请你求出不等式51023x x ->-的解集，如果不正确，请说明理由．专题五 利用根与系数的关系求字母的取值范围及求代数式的值11. 设x 1、x 2是一元二次方程x 2+4x －3=0的两个根，2x 1（x 22+5x 2﹣3）+a =2，则a = ． 12.（2012·怀化）已知x 1、x 2是一元二次方程()0262=++-a ax x a 的两个实数根，⑴是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2=4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；⑵求使（x 1＋1）（x 2＋1）为负整数的实数a 的整数值．13.(1)教材中我们学习了：若关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2,x 1+x 2=－b a ,x 1·x 2=ca .根据这一性质，我们可以求出已知方程关于x 1、x 2的代数式的值．例如：已知x 1、x 2为方程x 2-2x-1=0的两根，则：（1）x 1+x 2=____，x 1·x 2=____，那么x 12+x 22=( x 1+x 2)2-2 x 1·x 2=__ __． 请你完成以上的填空．．．．．．．．．． （2）阅读材料：已知2210,10m m n n --=+-=，且1mn ≠．求1mn n+的值． 解：由210n n +-=可知0n ≠．∴21110n n +-=．∴21110n n --=. 又210,m m --=且1mn ≠，即1m n ≠．∴1,m n是方程210x x --=的两根．∴11m n +=．∴1mn n+=1．（3）根据阅读材料所提供的的方法及（1）的方法完成下题的解答．已知222310,320m m n n --=+-=，且1mn ≠．求221m n+的值．知识要点：1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac 与一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解； 当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； △<0时，一元二次方程没有实数解.3.一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2与系数a 、b 、c 之间存在着如下关系： x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=.温馨提示： 1.x 2+6x+m 2是一个完全平方式，易误以为m=3.2.若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根x 1、x 2有双层含义：（1）ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0；（2）x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=.方法技巧：1.求二次三项式ax 2+bx+c 极值的基本步骤：（1）将ax 2+bx+c 化为a （x+h ）2+k ；（2）当a>0，k>0时，a （x+h ）2+k ≥k ；当a<0，k<0时，a （x+h ）2+k ≤k.2.若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）． 3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.4.解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解.5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.答案： 1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．2. ±3 解析：据题意得，m 2=9，∴m=±3．3.证明：－2x 2+4x －5=－2（x 2－2x ）－5=－2（x 2－2x+1）－5+2=－2（x －1）2－3.∵（x －1）2≥0，∴－2（x －1）2≤0，∴－2（x －1）2－3＜0.∴无论x 为何实数，代数式－2x 2+4x-5的值恒小于零．4.A 解析：△=（2c ）2﹣4（a +b ）（a +b ）=4（a +b +c ）（c ﹣a ﹣b ）.根据三角形三边关系，得c ﹣a ﹣b ＜0，a +b +c ＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．5.A 解析：当kx 2+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时k=0； 当kx 2+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则203420k k ≠⎧⎨-⨯⨯≥⎩.解得98k ≤且k ≠0.综上所述98k ≤.6.A 解析：∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b 2－4ac＝0，又a ＋b ＋c ＝0，即b ＝－a －c ，代入b 2－4ac ＝0得（－a －c ）2－4ac ＝0，化简得（a－c ）2＝0，所以a ＝c ．7.13 解析：由题意得x 2+y 2-5=±8.解得x 2+y 2=13或者x 2+y 2=－3（舍去）.8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x 2+2（x+2）－4=0，∴x 2+2x=0.解得x 1=0，x 2=－2；②当x+2＜0，即x ＜-2时，x 2－2（x+2）－4=0，∴x 2－2x －8=0. 解得x 1=4（不合题设，舍去），x 2=－2（不合题设，舍去）． 综上所述，原方程的解是x=0或x=－2． 9.41-，﹣3；41，3．发现的一般结论为：若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根为x 1．x 2，则ax 2+bx +c =a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．11.8 解析：∵x 1x 2＝－3，x 22+4x 2－3=0，∴2x 1(x 22+5x 2－3)+a =2转化为2x 1(x 22+4x 2－3+ x 2)+a =2. ∴2x 1x 2+a =2.∴2×(－3)+a ＝2.解得a ＝8.12.解：（1）根据题意，得△=（2a ）2－4×a （a －6）=24a ≥0．∴a ≥0． 又∵a －6≠0，∴a ≠6．由根与系数关系得：x 1＋x 2=－62-a a ，x 1x 2=6-a a. 由－x 1＋x 1x 2=4＋x 2 得x 1＋x 2 ＋4=x 1x 2.∴－62-a a ＋4 =6-a a，解得a =24．经检验a =24是方程－62-a a ＋4 =6-a a的解．（2）原式=x 1＋x 2 ＋x 1x 2 ＋1=－62-a a ＋6-a a ＋1=a-66为负整数，∴6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a =7或8，9，12．13.解：（1）2，－1， 6．（3）由n 2+3n-2=0可知n ≠0,∴1+3n －2n 2=0.∴2n 2－ 3n －1=0.又2m 2-3m-1=0,且mn ≠1，即m ≠1n ．∴m 、1n是方程2x 2-3x-1=0的两根．∴m+1n = 32,m ·1n =－12,∴m 2+ 1n 2=(m+ 1n )2-2m ·1n =( 32)2-2·(－12)= 134.2.3 一元二次方程的应用专题一、利用一元二次方程解决面积问题1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m2（铝合金条的宽度忽略不计）．2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题：（1）在长为a m，宽为b m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草m；坪的面积可表示为2（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时m；余下草坪的面积为2（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！（如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒m．求小路的宽x.为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为14212专题二、利用一元二次方程解决变化率问题4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，20XX年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？6.（2012·广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670 元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题7.（2012·济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？8.（2012·南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元.(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元.(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）专题四、利用一元二次方程解决生活中的其他问题9. (1)经过凸n边形(n＞3)其中一个顶点．．．．．．的对角线有条.(2)一个凸多边形共有14条对角线,它是几边形？(3)是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在,它是几边形？如果不存在,说明得出结论的道理.10.如图每个正方形是由边长为1的小正方形组成．（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设红色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．知识要点：列方程解决实际问题的常见类型：面积问题，增长率问题、经济问题、疾病传播问题、生活中的其他问题.温馨提示：1.若设每次的平均增长(或降低)率为x，增长(或降低)前的数量为a，则第一次增长(或降低)后的数量为a(1±x)，第二次增长(或降低)后的数量为a(1±x)2．2.面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积(体积)公式列出一元二次方程．3.列方程解决实际问题时，方程的解必须使实际问题有意义，因此要注意检验结果的合理性. 方法技巧：1. 变化率问题中常用a （1±x ）n=b ，其中a 是起始量，b 是终止量，n 是变出次数，x 是变 化率.变化率问题用直接开平方法求解简单.2.解决面积问题常常用到平移的方法，利用平移前后图形面积不变建立等量关系.答案：1.解：设高为x 米，则宽为9.50.523x --米.由题意，得9.50.5233xx --⨯=.解得121.5,3x x == (舍去,高度为2.8m 的一面墙上). 当x=1.5时，宽9.50.529.50.53233x ----==.答：高为1.5米,宽为2米.2.解：设横、竖彩条的宽度分别为2xcm 、3xcm ，由题意，得（20－6x ）（30－4x ）=（1－13）×20×30.整理，得6x 2－65x ＋50＝0. 解，得x 1＝56，x 2＝10（不合题意，舍去）.∴2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm ，52cm ．3.解：(1)(1)a b -（或ab a -）；(2) (1)a b -（或ab a -）；(3)将笔直的小路平移到草坪的左边，则余下部分的长为(50-x)m,将弯曲的小路的两侧重合，则余下部分的宽为（30-x ）m,由题意得：(50-x)（30-x ）=1421. 解得 x 1=1， x 2=79（舍去）. 答：小路的宽为1m.4.解：设我省每年产出的农作物秸杆总量为a ，合理利用量的增长率是x ，由题意，得30%a （1+x ）2=60%a.∴x 1≈0.41，x 2≈-2.41（不合题意舍去）．∴x≈0.41． 答：每年的增长率约为41%．5.解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意，得1＋x ＋(1＋x )x ＝81.整理得(1＋x )2＝81. ∴x 1＝8，x 2＝ －10（舍去）.∴(1＋x )3＝(1＋8)3＝729＞700． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．6.解：（1）设平均每次下调%p ，则有5670%)1(70002=-p .∴81.0%)1(2=-p .∵1—p%>0，∴1—p%=0.9. p%=0.1=10%.答：平均每次下调10%；（2）先下调5%，再下调15%，这样最后单价为7000元×(1—5%)×(1—15%）=5652.5元. ∴ 销售经理的方案对购房者更优惠一些．7.解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，所以该校购买树苗超过60棵．精品资料 欢迎下载 设该校共购买了x 棵树苗，由题意，得()1200.5608800x x --=⎡⎤⎣⎦ . 解得12220,80x x ==． 当1220x =时，()1200.52206040100--=<，∴1220x =不合题意，舍去；当280x =时，()1200.58060110100--=>，∴280x =.∴80x =.答：该校共购买了80棵树苗．8.解：(1)27－0.3=26.7；（2）设需要销售出x 部汽车可盈利12万元.①当销售10部以内（含10部）时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+0.5x=12.解得6)(2021=-=x x ，不合题意，舍去.当销售6部汽车时，当月可盈利12万元. ②当销售10部以上时，依题可得﹝28－27+0.1（x －1）﹞x+x=12.解得24,521-==x x ，均不合题意，应舍去.答：当销售6部汽车时，当月可盈利12万元.9.解:（1）n －3；(2)设这个凸多边形是n 边形,由题意,得(3)142n n -=. 解得127,4n n ==- (不合题意,舍去).答:这个凸多边形是七边形.(3)不存在.理由:假设存在n 边形有21条对角线. 由题意,得(3)212n n -=. 解得31772n ±=.因为多边形的边数为正整数，但31772±不是正整数，故不合题意.所以不存在有18条对角线的凸多边形.10.解：（1）1，5，9，13（奇数）2n －1；4，8，12，16（偶数）2n ．（2）由（1）可知n 为偶数时P 1=2n ．∴P 2=n 2－2n.根据题意得n 2－2n=5×2n ，n 2－12n=0，解得n=12，n=0（舍去）．∴存在偶数n=12使得P 2=5P 12．。
九年级上《21.1一元二次方程定义、配方法》练习题含答案
九年级上《211. 一元二次方程的定义：方程两边差不多上整式，只含有一个未知数，同时未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。
举例：2230x x +-=；20x x -=；22x =。
2. 一元二次方程的一样形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
举例：2230x x +-=。
3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也能够叫做一元二次方程的根。
例题1 （1）下列方程中，是一元二次方程的有 。
（填序号）①25x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=；④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x-+=；⑥204y y -=。
（2）若关于x 的方程(a －5)3a x -+2x －1=0是一元二次方程，则a 的值是_______。
思路分析：（1）按照一元二次方程的定义进行判定：①③⑥是一元二次方程；②是二元一次方程；④通过化简二次项系数为0，不是一元二次方程；⑤分母中含有未知数，方程左边是分式而不是整式；（2）由一元二次方程的定义可得32a -=，因此5a =±；然而当5a =时，原方程二次项系数为0，不是一元二次方程，故5a =应舍去；当5a =-时，原方程为210210x x -+-=，因此5a =-。
答案：（1）①③⑥；（2）5-点评：做概念辨析题要紧扣定义，关于一元二次方程要把握如此几个关键点：①方程两边差不多上整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。
例题2 把方程x(2x －1)=5(x+3)化成一样形式是___________，其中二次项是_________，一次项系数是_________，常数项是_________。
思路分析：将方程左右展开，然后移项（把所有的项都移到等号的左边），合并同类项即可：由()()2153x x x -=+得22515x x x -=+，移项得225150x x x ---=，合并同类项得226150x x --=。
一元二次方程概念同步练习含答案
一元二次方程概念1、了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax 2+bx+c= 0（a≠0），正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程；一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！1、下列方程：(1)x 2-1=0； (2)4 x 2+y 2=0； (3)（x-1）（x-3）=0； (4)xy+1=3． (5)3212=-x x 其中，一元二次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是 ，二次项，二次项系数 ，一次项 ，一次项系数 ，常数项 。
二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！3、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。
5、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A.3(x+1)2= 2(x+1) B .05112=-+x xC.ax 2+bx+c= 0D.x 2+2x= x 2-1 6、把下列方程化成ax 2+bx+c= 0的形式，写出a 、b 、c 的值：(1)3x 2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)7、当m 为何值时，关于x 的方程(m-2)x 2-mx+2=m-x 2是关于x 的一元二次方程？8、若关于的方程(a-5)x ∣a ∣-3+2x-1=0是一元二次方程，求a 的值?三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！9、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？10、一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。
求这个正方形的边长。
11、判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程：(1)2（x 2－1）=3y ； (2)4112=+x ； (3)（x －3）2=（x ＋5）2； (4)mx 2＋3x －2=0；(5)（a 2＋1）x 2＋（2a －1）x ＋5―a =0.12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。
初中数学《一元二次方程的定义及一元二次方程的解》同步练习(含答案)
一元二次方程的定义及一元二次方程的解一 、选择题（本大题共4小题）1.若2(3)330n m x nx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 、n 的取值范围是（ ）A.0m ≠、3n =B.3m ≠、4n =C.0m ≠，4n =D.3m ≠、0n ≠2.关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在3.关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在4.已知关于x 的方程22(3)230m x x m m ++++-=一根为0，则m 的值为（ ）A.1B.3-C.1或3-D.以上均不对二 、填空题（本大题共7小题）5.关于x 的方程2((3)4m m x m x m --+=是一元二次方程,则m 的取值范围是 .6.若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________．7.若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________．8.关于x 的方程2((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程，则m 的取值范围是9.已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，则a 的取值范围是 ．10.一元二次方程2()0ax b bx c +++=的二次项系数为 ,一次项系数为 ，常数项为11.关于x 的方程27(3)30m m x x ---+=是一元二次方程，则______m =三 、解答题（本大题共6小题） 12.已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．13.把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项 ⑴2(21)(32)2x x x -+=+⑵2)(3)x x x =+14.已知关于x 的一元二次方程22(21)330x k x k k -+-+=⑴求证：原方程总有两个实数根⑵请找出k 的一个合适的值，使这个方程的两个根都是整数，并求出这两个根15.已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．16.已知：关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-=．⑴若原方程有实数根，求k 的取值范围；⑵设原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，当k 取哪些整数时，1x ，2x 均为整数；17.阅读材料解答下列问题为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x -视为一个整体，设21x y -=，则222(1)x y -=，原方程化为2540y y -+=①，解得14y =，21y =当4y =时，214x -=，∴x =当1y =时，211x -=，∴x =∴原方程的解为1x =，2x =3x =，4x =解答问题：⑴填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 方法达到降次的目的，体现了 的数学思想⑵解方程：4260x x --=一元二次方程的定义答案解析一 、选择题1.B;关于一元二次方程的定义考查点有两个：①二次项系数不为0，②最高次项的次数为22.C;21a +恒大于03.C ；21a +恒大于04.A二 、填空题5.22m =，∴m =，且0m ≠，∴m = 6.2-；由题意可知，240m -=，20m -≠，故2m =-．7.-2;由题意可知，240m -=，20m -≠，故2m =-．8.22m =，∴m =，且0m ≠，∴m = 9.3a ≠；整理方程得：2(3)10a x ax --+=，当3a ≠时，原方程是一元二次方程．10.二次项系数为2a ，一次项系数为2ab b +，常数项为2b c + 11.3m =-三 、解答题12.整理得：222(1)4420a x ax a a --+-+=，当210a -≠，即1a ≠±，则原方程是一元二次方程．13.⑴化简后为2540x x +-=，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为4- ⑵化简后为22610x x ++=，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为114.⑴2222(21)4(33)1681(41)0k k k k k k ∆=+--=-+=-≥ ∴原方程总有两个实根⑵由求根公式得x =，∴13x k =，21x k =- 不妨设1k =，此时方程的两根为13x =，20x =15.本题有3种情况：22a b a b +=⎧⎨-=⎩；21a b a b +=⎧⎨-=⎩；12a b a b +=⎧⎨-=⎩；解得20a b =⎧⎨=⎩；3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 16.⑴∵原方程有实数根 ∴44(2)0k k ∆=--≥，整理得24(1)0k -≥，对任意的k 都成立但又因为0k ≠，∴k 的取值范围是0k ≠⑵由求根公式得11x =-，2221k x k k -==- ∵1x 、2x 均为整数 ∴k 的值为1±、2±17.⑴换元、转化。
人教版九年级数学上册：一元二次方程同步练习 (含答案)
第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程知识点1.只含有 个未知数，并且未知数的 方程叫一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项 ，常数项 ，二次项系数 ，一次项系数 .3.使一元二次方程左右两边 叫一元二次方程的解。
一．选择题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x-2=0B ．x 2-4x-1=0C ．x 2-2x-3D ．xy+1=02．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．5x+3=0B ．x 2-x （x+1）=0C ．4x 2=9D ．x 2-x 3+4=03．关于x 的方程013)2(22=--+-x x a a 是一元二次方程，则a 的值是（ ）A ．a=±2B ．a=-2C ．a=2D ．a 为任意实数4．把一元二次方程4)3()1(2+-=-x x x 化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）A ．2，-3B ．-2，-3C ．2，-3xD ．-2，-3x5．若关于x 的一元二次方程x 2+5x+m 2-1=0的常数项为0，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或-1D ．06．把方程2（x 2+1）=5x 化成一般形式ax 2+bx+c=0后，a+b+c 的值是（ ）A ．8B ．9C ．-2D ．-17．（2013•安顺）已知关于x 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-28．（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ）A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012二．填空题9.当m= 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m 是一元二次方程；10．若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是 .11．方程5)1)(13(=+-x x 的一次项系数是 .12．（2012•柳州）一元二次方程3x 2+2x-5=0的一次项系数是 .13．关于x 的一元二次方程3x （x-2）=4的一般形式是 .14．（2005•武汉）方程3x 2=5x+2的二次项系数为 ，一次项系数为 .15．（2007•白银）已知x=-1是方程x 2+mx+1=0的一个根，则m= .16．（2010•河北）已知x=1是一元二次方程x 2+mx+n=0的一个根，则m 2+2mn+n 2的值为 ．17．（2013•宝山区一模）若关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+x+m 2-4=0的一个根为0，则m 值是 .18．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有一个根为1，一个根为-1，则a+b+c= ，a-b+c= ．三．解答题19．若（m+1）x |m|+1+6-2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．20．（2013•沁阳市一模）关于x 的方程（m 2-8m+19）x 2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程？请证明你的结论．2１．一元二次方程0)1()1(2=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求0222=-+c b a 的值的算术平方根．21.1 一元二次方程知识点1.一，最高次数是2的整式。
(完整版)一元二次方程培优提高例题
考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。
m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。
一元二次方程测试题及答案
一元二次方程测试姓名 学号一、选择题(每题3分，共30分)：1.下列方程中不一定是一元二次方程的是() A.(a-3)x 2=8 (a *3) 2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D..3x 2 —x 2 0572下列方程中，常数项为零的是()22-x-12=12 ； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+2次方程 2x 2-3x+1=0 化为(x+a)2=b则a 值为(A 11x 2-14x+48=0的一根，则这个三角形的周长为() A.11 B.17 C6 .已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x 2 8x7 0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是()A 百B 、3C 、6D 、97 .使分式x 25x 6的值等于零的x 是()x 16 C8.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根，则k 的取值 范围是()A.k>——>—且 kw0 C.k》— D.k> — 且 k4 444W09.已知方程x 2 x 2,则下列说中，正确的是()(A)方程两根和是1 (B)方程两根积是2 (C)方程两根和是 1(D)方程两根积比两根和大210 .某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业 额共1000万元，如果平均每月增长率为x,则由题意列方程 应为()A.200(1+x) 2=1000B.200+200 X2x=1000C.200+200X 3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000二、填空题：(每小题3分，共30分) 11 .用 _____ 法解方程3(x-2) 2=2x-4比较简便. 12 .如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数，则x 的值为.3. ()A. 的形式，正确的是4.关于x 的216; B. 2 x 次方程a116; C.21 160的一个根是 0,25.已知三角形两边长分别为 9,第三边的长为二次方程13. x2 3x （x ）214.若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a w0）有——个根为-1,则a、b、c的关系是.15.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,贝U a= , b=.16.一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=0的所有实数根的和等于.17.已知3- J2是方程x2+mx+7=03勺——个根,贝U m=另——根为.18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是.1 119.已知“，x2是方程x2 2x 1 0的两个根，则x1 x2等于20.关于x的二次方程x2 mx n 0有两个相等实根，则符合条件的一组m, n的实数值可以是m , n .三、用适当方法解方程：（每小题5分，共10分）24.如图所示，在宽为20m,长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570n2,道路应为多宽？25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元,四、列方程解应用题：（每小题8分，共48分）23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%,若每年下降的百分数相同，求这个百分数.(3 x)2 x2 5 22. x2 2 3x 3 0商场平均每天可多售出2件。
一元二次方程综合提高精选题含答案
一元二次方程综合提高题一、选择题1.若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4 >-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C。
【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>-。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。
∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m =x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。
令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。
故选C。
2.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a 。
∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0， 解得，a=﹣3。