2018-2019学年广东省广州市荔湾区高一上学期期末数学试题(解析版)
广东省广州市荔湾区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 含解析
广东省广州市荔湾区2018-2019学年高一上学期期末数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.的值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式把要求的式子化为，即，从而得到答案．【详解】，故选：B．【点睛】本题主要考查利用诱导公式化简求值，熟记诱导公式，准确计算是关键，属于基础题．2.三个数，，的大小顺序是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果．【详解】，，；．故选：A．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，是基础题.3.设集合2，，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【详解】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1-4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2-4x+3=0}={1，3}．故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．Array4.在中，，则的值为A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和特殊角的三角函数的值求出结果．【详解】在中，，则，，，,故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换和特殊角三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是( )【答案】A 【解析】试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A ．考点：函数图像的特征． 6.函数的图象沿x 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为A.B.C. 0D.【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数的图象变换可得新函数解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【详解】令，则，为偶函数，，，，当时，．故的一个可能的值为． 故选：B ．【点睛】本题考查函数的图象变换，考查三角函数的奇偶性，熟记变换原则，准确计算是关键，属于中档题．7.已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为A. B. C. 7 D. 8【答案】A【解析】【分析】AD为的中线，从而有，代入，根据长度进行数量积的运算便可得出的长度．【详解】根据条件：；．故选：A．【点睛】本题考查模长公式，向量加法、减法及数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，根据公式计算是关键，是基础题.8.已知函数f(x)=若f（f（0））=4a，则实数a等于【】A. B. C. 2 D. 9【答案】C【解析】，选C.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.9.若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：函数分别是上的奇函数、偶函数，由得，解方程组得，代入计算比较大小可得考点：函数奇偶性及函数求解析式10.函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.11.已知函数，则的零点所在区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】根据函数的零点判定定理可求．【详解】连续函数在上单调递增，，，的零点所在的区间为，故选：B．【点睛】本题主要考查了函数零点存在定理的应用，熟记定理是关键，属于基础试题．12.函数在区间上的最大值为2，则实数a的值为A. 1或B.C.D. 1或【答案】A【解析】试题分析：因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算______．【答案】11【分析】进行分数指数幂和对数式的运算即可．【详解】原式．故答案为：11．【点睛】本题考查对数式和分数指数幂的运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题.14.设，，，则______．【答案】【解析】【分析】利用向量的坐标运算先求出的坐标，再利用向量的数量积公式求出的值．【详解】因为，，，所以，所以，故答案为：【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量的数量积公式，熟记坐标运算法则，准确计算是关键，属于基础题．15.函数的一段图象如图所示则的解析式为______．【答案】【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而得到函数的解析式．【详解】由函数的图象的顶点的纵坐标可得，再由函数的周期性可得，．再由五点法作图可得，．故函数的解析式为，故答案为．【点睛】本题主要考查函数的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题．16.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（−，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）＞f（），则a的取值范围是______.【答案】【解析】试题分析：由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得．【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】利用数形结合解决不等式问题时，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助函数图象的性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需要注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现由“数”向“形”的转化．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数，．1求的值；2若，，求【答案】(Ⅰ)=1；(Ⅱ)=【解析】试题分析：（1）将代入可得：，在利用诱导公式和特殊角的三角函数值即可；（2）因为，根据两角和的余弦公式需求出和，，，则，根据二倍角公式求出代入即可．试题解析：（1）因为，所以；（2）因为，，则。
2018-2019学年广东省广州市高一上学期期末考试数学试卷及答案解析
2018-2019学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U＝{x∈N|0＜x＜7}，A＝{2，5}，B＝{1，3，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，5}D．{1，3}2．下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是（）A．y＝x2 B．y＝lnx C．y＝x3D．y＝3．某地一所中学在校初中学生人数是在校高中学生人数的2倍，教务处对在校初中和在校高中男女生的人数分别进行了统计，得到如下扇形统计图，则全校在校男生的人数是（）A．1700B．1750C．1800D．18504．已知向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．5．直线l1：x+ay+2＝0与l2：x+3y+a﹣2＝0平行，则a的值等于（）A．﹣1或3B．1C．3D．﹣16．现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．7．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，该圆锥的母线长为（）A．B．4C．D．8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合．若点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，则＝（）A．﹣2B．C．D．29．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3B．6C．9D．1210．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g （x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，1]C．D．11．若⊙O1：x2+y2＝5与⊙O2：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是（）A．1B．2C．3D．412．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数的定义域为．14．若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，则＝．15．已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，则该球的半径为．16．已知a，b，c是△ABC的三边，其面积S＝（b2+c2﹣a2），角A的大小是．三、解答题：本大题共6小题，共70分17．（10分）已知函数f（x）＝sin x+sin（x+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（A）＝，求sin2A的值．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a sin C﹣c cos A．（1）求A；（2）若a＝1，△ABC的面积为，求b，c．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．20．（12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P＝3，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q＝，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（x）及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线P A与PB的斜率之和为定值．22．（12分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）设h（x）＝log2（b•2x﹣b），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．2018-2019学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U＝{x∈N|0＜x＜7}，A＝{2，5}，B＝{1，3，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，5}D．{1，3}【分析】根据集合补集交集的定义进行求解即可．【解答】解：U＝{x∈N|0＜x＜7}＝{1，2，3，4，5，6}，则∁U A＝{1，3，4，6}，则（∁U A）∩B＝{1，3}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2．下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是（）A．y＝x2 B．y＝lnx C．y＝x3D．y＝【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性及单调性．【解答】解：结合选项可知，y＝lnx为非奇非偶函数，不符合题意，y＝x2为偶函数，不符合题意，y＝为奇函数，但是在定义域内不是单调函数，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据定义法是解决本题的关键．3．某地一所中学在校初中学生人数是在校高中学生人数的2倍，教务处对在校初中和在校高中男女生的人数分别进行了统计，得到如下扇形统计图，则全校在校男生的人数是（）A．1700B．1750C．1800D．1850【分析】由扇形统计图先求出高中生在校生男生数，再由扇形统计图求出初中生在校生男生数，由此能求出全校在校男生的人数．【解答】解：由题意得高中生在校生男生数为：＝600，∴初中生在校生男生数为：2（400+600）×55%＝1100，∴全校在校男生的人数是1100+600＝1700．故选：A．【点评】本题考查全校在校男生人数的求法，考查扇形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得m的值．【解答】解：∵向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则＝，求出m＝，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．直线l1：x+ay+2＝0与l2：x+3y+a﹣2＝0平行，则a的值等于（）A．﹣1或3B．1C．3D．﹣1【分析】由a﹣3＝0，解得a．经过验证即可得出．【解答】解：由a﹣3＝0，解得a＝3．经过验证两条直线平行．故选：C．【点评】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，则P＝＝．故选：D．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，该圆锥的母线长为（）A．B．4C．D．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，利用圆锥的表面积公式和侧面展开图，求出圆锥的底面圆半径和母线长．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，∴2πr＝•2πl，∴l＝4r，又圆锥的表面积为5π，∴πr2+πr•4r＝5π，解得r＝1，∴母线长为l＝4r＝4．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合．若点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，则＝（）A．﹣2B．C．D．2【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式，求得的值．【解答】解∵：点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，∴tanα＝＝3，则＝＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，属于基础题．9．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3B．6C．9D．12【分析】先求f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，再由对数恒等式，求得f（log212）＝6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）＝，即有f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，f（log212）＝＝×＝12×＝6，则有f（﹣2）+f（log212）＝3+6＝9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．10．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g （x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，1]C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）在的值域．【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）＝2sin（2x++φ）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2sin（2x+）．∵x∈，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，则函数y＝f（x）在的值域为[﹣1，2]，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．11．若⊙O1：x2+y2＝5与⊙O2：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时应该过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解．【解答】解：由题意做出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心O2O1．则在Rt△O2AO1中，|O1A|＝|O2A|＝，斜边上的高为半弦，用等积法易得：⇒|AB|＝4．故选：D．【点评】此题重点考查了学生对于圆及题意的理解，还考查了圆的切线性质及直角三角形的求解线段长度的等面积的方法．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，令g（x）＝log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）＝f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x＝﹣1可得f（﹣1+2）＝f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）＝f（1），可得f（1）＝0 则有，f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18＝﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）＝log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即log a（2+1）＞f（2）＝﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．【点评】本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数的定义域为[3，+∞）．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：log3x﹣1≥0，解得：x≥3，故函数的定义域是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．14．若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，则＝5．【分析】由向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，解得x＝3，从而＝（3，4），由此能求出|﹣|的值．【解答】解：∵向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，∴＝x+1﹣4＝0，解得x＝3，∴＝（3，4），∴|﹣|＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量的运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，则该球的半径为．【分析】首先求出球心，进一步确定球的半径．【解答】解：已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，如图所示：则AD＝，OD＝，所以，解得：r＝故答案为：【点评】本题考查的知识要点：球的球心的确定，球的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．已知a，b，c是△ABC的三边，其面积S＝（b2+c2﹣a2），角A的大小是．【分析】由S＝（b2+c2﹣a2），得bc sin A＝（b2+c2﹣a2），利用余弦定理及同角三角函数的关系可求得tan A＝1，由A的范围可求A．【解答】解：∵S＝（b2+c2﹣a2），即bc sin A＝（b2+c2﹣a2）＝×2bc cos A，∴tan A＝＝，由A为三角形的内角，∴A＝，故答案为：．【点评】该题考查三角形的面积公式、余弦定理，属基础题，准确记忆公式并灵活运用是解题关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分17．（10分）已知函数f（x）＝sin x+sin（x+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（A）＝，求sin2A的值．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin x+sin（x+）＝sin x+cos x＝．所以函数的最小正周期为，（2）由于f（A）＝，所以sin A+cos A＝，所以，解得sin2A＝﹣1+．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a sin C﹣c cos A．（1）求A；（2）若a＝1，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin C＝sin A sin C﹣sin C cos A，又sin C≠0，利用三角函数恒等变换的应用可得sin（A﹣）＝，结合A的范围，即可得解A的值．（2）由已知利用三角形面积公式可求bc＝1，利用余弦定理可求得b+c＝2，联立方程即可得解b，c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知结合正弦定理可得sin C＝sin A sin C﹣sin C cos A，…（2分）∵sin C≠0，∴1＝sin A﹣cos A＝2sin（A﹣），即sin（A﹣）＝，…（4分）又∵A∈（0，π），∴A﹣∈（﹣，），∴A﹣＝，∴A＝，…（6分）（2）S＝bc sin A，即＝bc•，∴bc＝1，①…（7分）又∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣2bc cos，即1＝（b+c）2﹣3，且b，c为正数，∴b+c＝2，②…（10分）由①②两式解得b＝c＝1．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）连结BD交AC于点F，连结EF，由中位线定理可得EF∥PD，故而PD∥平面ACE；（2）证明BC⊥平面PCD可得PD⊥BC，利用勾股定理可得PD⊥PC，故而PD⊥平面PBC；（3）作PM⊥CD，可证PM⊥平面ABCD，于是V E﹣ABC＝V P﹣ABC，则三棱锥E﹣ABC 的体积可求．【解答】（1）证明：连结BD交AC于点F，连结EF．∵底面ABCD是矩形，∴F为BD中点．又∵E为PB中点，∴EF∥PD．∵PD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∴PD∥平面ACE；（2）证明：∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥CD．又∵平面PCD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BC⊥平面PCD．∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．∵PC＝PD＝，∴PC2+PD2＝CD2，即PD⊥PC．∵BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，∴PD⊥平面PBC；（3）解：取CD的中点M，连接PM．∵PC＝PD＝，CD＝AB＝2，M是CD的中点，∴PM⊥CD，且PM＝1，∵平面PCD⊥平面ABCD，PM⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PM⊥平面ABCD，∵E是PB的中点，∴V E﹣ABC＝V P﹣ABC＝×．故三棱锥E﹣ABC的体积为．【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P＝3，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q＝，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（x）及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【分析】（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120﹣x万元，f（x）＝3﹣6+（120﹣x）+2，即可得出．（2）令t＝，则t∈[2，4]．y＝﹣t2+3t+26＝﹣+44．利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120﹣x万元．∴f（x）＝3﹣6+（120﹣x）+2＝﹣x+3+26，依题意得，解得40≤x≤80．故f（x）＝﹣＝﹣x+3+26，（40≤x≤80）．（2）令t＝，则t∈[2，4]．∴y＝﹣t2+3t+26＝﹣+44．当t＝6，即x＝72万元时，y的最大值为44万元∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．【点评】本题考查了函数模型、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线P A与PB的斜率之和为定值．【分析】（1）设出直线的方程后，利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径可解得；（2）设直线方程与圆的方程联立消去y并整理得关于x的一元二次方程，由韦达定理及斜率公式可得斜率之和为定值．【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，显然直线x＝3与圆C相切，当直线l的斜率存在时，设切线方程为：y+3＝m（x﹣3），圆心到直线的距离等于半径＝2，解得m＝﹣，切线方程为：5x+12y+21＝0，综上，过点M（3，﹣3）且与圆C相切的直线方程为：x＝3或5x+12y+21＝0．（2）圆C：（x﹣1）2+y2＝4与x轴正半轴的交点为P（3，0），依题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB：y+3＝k（x﹣3），代入圆C：（x﹣1）2+y2＝4＝整理得：（1+k2）x2﹣2（3k2+3k+1）x+9（k+1）2﹣3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），且P（3，0），∴x1+x2＝，x1x2＝，∴直线P A和PB的斜率之和为：k P A+k PB＝+＝+＝k﹣+k﹣＝2k﹣3（+）＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣＝2k﹣2k+＝．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．22．（12分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）设h（x）＝log2（b•2x﹣b），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．【解答】解（1）∵函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数∴f（﹣x）＝log4（4﹣x+1）﹣kx）＝log4（）﹣kx＝log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立∴﹣（k+1）＝k，则k＝．（2）g（x）＝log4（b•2x﹣b），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）＝g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x＝log4（b•2x﹣b），∴log4（）＝log4（b•2x﹣b），方程等价于，设2x＝t，t＞0，则（b﹣1）t2﹣﹣1＝0有一解若b﹣1＞0，设h（t）＝（b﹣1）t2﹣﹣1，∵h（0）＝﹣1＜0，∴恰好有一正解∴b＞1满足题意若b﹣1＝0，即a＝1时，h（t）＝﹣﹣1，由h（t）＝0，得t＝﹣＜0，不满足题意若b﹣1＜0，即b＜1时，由，得b＝﹣3或b＝，当b＝﹣3时，t＝满足题意当b＝时，t＝﹣2（舍去）综上所述实数a的取值范围是{b|b＞1或a＝﹣3}．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．。
2017-2018学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一(上)期末数学试卷及答案
2017-2018学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知R为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，则∁R A＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（﹣3，1）D．[﹣3，1]2．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角是（）A．B．C．D．3．（5分）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β4．（5分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4＝0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1＝0B．3x+2y+7＝0C．2x﹣3y+5＝0D．2x﹣3y+8＝0 5．（5分）一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．56．（5分）由直线y＝x+1上的一点向圆x2﹣6x+y2+8＝0引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．2C．D．37．（5分）下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（）A．y＝﹣B．y＝lg（﹣1）C．y＝2x D．y＝2x+2﹣x8．（5分）设a＝log3，b＝（）0.2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c9．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．④若m∥α，α⊥β，则m⊥β．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝AB＝4，DA⊥平面ABC，E是BD的中点．若此三棱锥的体积为，则异面直线AE与DC所成角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2＝1，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）＝，则函数y＝2f2（x）﹣3f（x）+1的零点的个数为（）个．A．3B．4C．5D．6二、填空题（每小题5分，共10分）13．（5分）已知函数为奇函数，则实数a＝．14．（5分）在平面直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心且与直线（3m+2）x+（m﹣1）y ﹣5（m+1）＝0，（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．三、解答题（每小题10分，共30分）15．（10分）已知函数f（x）＝x|m﹣x|（x∈R），且f（4）＝0．（1）求实数m的值；（2）作出函数f（x）的图象；（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间；（4）若方程f（x）＝a只有一个实数根，求a的取值范围．16．（10分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE∥平面BFD．17．（10分）已知O为坐标原点，直线l的斜率为﹣，且与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交于B，三角形AOB面积等于6．（1）求直线l的方程．（2）设三角形AOB的重心为G，外心为M，内心为N，试求出它们的坐标，并判定这三点是否共线．18．（10分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于．19．（10分）方程lg（﹣x2+3x﹣m）﹣lg（3﹣x）＝0在（0，3）上有唯一解，则实数m的取值范围为．20．（10分）已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为2，圆心C 在第一象限．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P是直线l：2x+y+5＝0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，当△PBC 的面积最小时，求切线PB的方程．21．（10分）如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P、C为原正方体的顶点，E、F为原正方体侧棱的中点，正方形ABCD为原正方体的底面．（1）求证：EF⊥平面APC；（2）在棱BC上存在点G，使三棱锥E﹣FBG的体积恰为几何体ABEP﹣CDF的体积的若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．22．（10分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且当x≥1时，f（x）＝lg（x+）．（1）若lg9＝t，求f（﹣1）的值（用t表示）．（2）解不等式f（2﹣2x）＜f（x+3）．（3）若关于x的方程f（x）＝lg（+2a）在（1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．2017-2018学年广东省广州市荔湾区广雅中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知R为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，则∁R A＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（﹣3，1）D．[﹣3，1]【分析】先求出集合A，再由补集定义能求出∁R A．【解答】解：∵R为实数集，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，∴∁R A＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3）．故选：A．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．（5分）直线x+y+1＝0的倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：直线x+y+1＝0的斜率k＝﹣1，∴直线x+y+1＝0的倾斜角α＝．故选：C．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．3．（5分）下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【分析】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．【解答】解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．故选：D．【点评】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．4．（5分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4＝0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1＝0B．3x+2y+7＝0C．2x﹣3y+5＝0D．2x﹣3y+8＝0【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x﹣3y+4＝0垂直的直线方程为﹣3x﹣2y+c＝0，再把点（﹣1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线2x﹣3y+4＝0垂直，∴设方程为﹣3x﹣2y+c＝0∵直线过点（﹣1，2），∴﹣3×（﹣1）﹣2×2+c＝0∴c＝1∴所求直线方程为3x+2y﹣1＝0．故选：A．【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．5．（5分）一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5【分析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V1为＝2剪去的三棱锥体积V2为：＝所以几何体的体积为：2﹣＝，故选：A．【点评】本题考查学生的空间想象能力，考查学生的计算能力，是基础题．6．（5分）由直线y＝x+1上的一点向圆x2﹣6x+y2+8＝0引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．2C．D．3【分析】由已知得切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1＝0的距离d＝＝2，由勾股定理切线长最小值为：＝．【解答】解：圆x2﹣6x+y2+8＝0⇒（x﹣3）2+y2＝1的圆心C（3，0），半径r＝1，∵半径一定，∴切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1＝0的距离d＝＝2，由勾股定理切线长最小值为：＝．故选：C．【点评】本题考查圆的切线长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．7．（5分）下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（）A．y＝﹣B．y＝lg（﹣1）C．y＝2x D．y＝2x+2﹣x【分析】逐一判断各个函数在它的定义域上的单调性以及奇偶性，从而得出结论．【解答】解：由于y＝﹣在定义域{x|x≠0}上没有单调性，故排除A；由于y＝lg（﹣1）的定义域不关于原点对称，故它不是奇函数，故它的图象一定不关于原点对称，故排除B；由于y＝2x在定义域R上是单调递增函数，且是奇函数，故它的图象关于原点对称，故满足条件；由于y＝2x+2﹣x是偶函数，它的图象关于y轴对称，故不满足条件，故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，函数的图象特征，属于中档题．8．（5分）设a＝log3，b＝（）0.2，c＝2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】由指数函数、对数函数的单调性，并与0，1比较可得答案．【解答】解析：∵由指数、对数函数的性质可知：，，∴有a＜b＜c故选：A．【点评】本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识．9．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．④若m∥α，α⊥β，则m⊥β．其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】在①中，由面面垂直的判定理定理得α⊥β；在②中，n∥α或n⊂α；在③中，由线面平行判定定理得n∥α且n∥β；在④中，m与β相交、平行或m⊂β．【解答】解：α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：在①中：若m⊥α，m⊂β，则由面面垂直的判定理定理得α⊥β，故①正确；在②中：若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，故②错误；在③中，若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则由线面平行判定定理得n∥α且n∥β，故③正确．④若m∥α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故④错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．10．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝AB＝4，DA⊥平面ABC，E是BD的中点．若此三棱锥的体积为，则异面直线AE与DC所成角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】由三棱锥的体积为，求出AD＝4，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AD 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与DC所成角的大小．【解答】解：∵三棱锥D﹣ABC的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝AB＝4，DA⊥平面ABC，E是BD的中点．此三棱锥的体积为，∴V D﹣ABC＝＝＝，解得AD＝4，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，则B（4，0，0），C（0，4，0），E（2，0，2），D（0，0，4），A（0，0，0），＝（2，0，2），＝（0，4，﹣4），设异面直线AE与DC所成角的大小为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，∴异面直线AE与DC所成角的大小为60°．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．11．（5分）已知实数x，y满足方程x2+y2＝1，则的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由的几何意义，即圆x2+y2＝1上的动点与定点P（2，0）连线的斜率求解．【解答】解：如图，设过P（2，0）的直线的斜率为k，则直线方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，由坐标原点O（0，0）到直线kx﹣y﹣2k＝0的距离等于1，得，解得：k＝．∴的取值范围是[]．故选：A．【点评】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12．（5分）已知f（x）＝，则函数y＝2f2（x）﹣3f（x）+1的零点的个数为（）个．A．3B．4C．5D．6【分析】函数y＝2f2（x）﹣3f（x）+1＝[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）＝和f（x）＝1的根，画出函数f（x）＝的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数y＝2f2（x）﹣3f（x）+1＝[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零点，即方程f（x）＝和f（x）＝1的根，函数f（x）＝的图象如下图所示：由图可得方程f（x）＝和f（x）＝1共有5个根，即函数y＝2f2（x）﹣3f（x）+1有5个零点，故选：C．【点评】本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数．二、填空题（每小题5分，共10分）13．（5分）已知函数为奇函数，则实数a＝．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（﹣x）＝﹣f（x），即+a＝﹣（+a），解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其中2x﹣1≠0，则x≠0，即函数的定义域为{x|x≠0}，若f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），即+a＝﹣（+a），解可得a＝；故答案为：﹣．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，注意奇函数的性质即可．14．（5分）在平面直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心且与直线（3m+2）x+（m﹣1）y ﹣5（m+1）＝0，（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝2．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：（法1）圆心（1，0）到直线（3m+2）x+（m﹣1）y﹣5（m+1）＝0的距离：d＝＝＝．令y＝，整理可得（10y﹣4）m2+（10y﹣12）m+5y﹣9＝0，因为m∈R，所以△＝（10y﹣12）2﹣4（10y﹣4）（5y﹣9）＝﹣100y2+200y≥0，解得0≤y≤2，故此时y最大值为2，即r2＝d2＝2，此时圆方程为（x﹣1）2+y2＝2，故答案为：（x﹣1）2+y2＝2．（法2）由条件可的直线（3m+2）x+（m﹣1）y﹣5（m+1）＝0恒过定点B（2，﹣1），当点B为切点时，半径最大，此时r＝＝，则圆方程为：（x﹣1）2+y2＝2，故答案为：（x﹣1）2+y2＝2．【点评】本题考查圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，是基础题．三、解答题（每小题10分，共30分）15．（10分）已知函数f（x）＝x|m﹣x|（x∈R），且f（4）＝0．（1）求实数m的值；（2）作出函数f（x）的图象；（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间；（4）若方程f（x）＝a只有一个实数根，求a的取值范围．【分析】（1）直接解方程f（4）＝0即可（2）将绝对值去掉化为分段函数，再根据分段函数作图象（3）根据图象即可求出单调区间（4）根据图象数形结合易得交点个数．【解答】解：（1）∵f（x）＝x|m﹣x|（x∈R），且f（4）＝0，4|m﹣4|＝0，∴m＝4．（2），由（1）可知，f（x）＝x|4﹣x|＝，故函数图如下：函数的递增区间为：（﹣∞，2），（4，+∞）；递减区间为：[2，4]．（3）∵f（2）＝4，∴方程f（x）＝a只有一个实数根⇔方程组只有一组解⇔函数y＝f（x）的图象与直线y＝a只有一个交点⇔a∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）故a的取值范围（﹣∞，0）∪（4，+∞）【点评】本题考查含有绝对值的函数图象画法，以及根据图象数形结合讨论函数的性质，属于基础题．16．（10分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：AE∥平面BFD．【分析】（Ⅰ）由AD⊥平面ABE，AD∥BC可证BC⊥AE，又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，可证BF⊥AE即可证明AE⊥平面BCE；（Ⅱ）连接AC与BD，相交于点G，连接GF，则G为AC的中点．可证BF⊥CE，由BC＝EB，可证GF∥AE，即可判定AE∥平面BFD．【解答】证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE∵BC⊂平面BCE，BF⊂平面BCE，BC与BF相交∴AE⊥平面BCE；…6分（Ⅱ）连接AC与BD，相交于点G，连接GF，则G为AC的中点．∵BF⊥平面BCE，CD⊂平面BCE∴BF⊥CE∵BC＝EB，∴F为CE的中点∴在△ACE中，GF∥AE∵GF⊂平面BFD，AE⊄平面BFD∴AE∥平面BFD…12分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．17．（10分）已知O为坐标原点，直线l的斜率为﹣，且与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交于B，三角形AOB面积等于6．（1）求直线l的方程．（2）设三角形AOB的重心为G，外心为M，内心为N，试求出它们的坐标，并判定这三点是否共线．【分析】（1）设直线在y轴上的截距为m（m＞0），取y＝0求出直线在x轴上的截距，代入三角形面积公式求得m，则直线方程可求；（2）利用重心坐标公式求重心，利用两边垂直平分线的交点求外心，由两内角平分线的交点求内心，再由斜率的关系判断不共线．【解答】解：（1）如图，设直线在y轴上的截距为m（m＞0），则直线方程为y＝﹣，取y＝0，得x＝．由，解得m＝3．∴直线l的方程为y＝﹣；（2）由（1）可得，A（4，0），B（0，3）．由重心坐标公式可得G（，1）；联立直线，得M（2，）；设∠BAO的角平分线的斜率为k，则k＝﹣tan＝﹣＝﹣．∴∠BAO的角平分线方程为y＝﹣，联立，解得N（1，1）．∵，，k MG≠k MN，∴G、M、N三点不共线．【点评】本题考查直线方程的求法，考查计算能力，是中档题．18．（10分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于4π．【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA＝AB＝1，BC＝，∴2R＝＝2∴球O的表面积S＝4•πR2＝4π故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O的直径（半径），是解答本题的关键．19．（10分）方程lg（﹣x2+3x﹣m）﹣lg（3﹣x）＝0在（0，3）上有唯一解，则实数m的取值范围为（﹣3，0]．【分析】方程有唯一解，化为﹣x2+3x﹣m＝3﹣x有两个相等的实根在（0，3）内，即△＝0，或方程﹣x2+3x﹣m＝3﹣x有两个不等的实根，其中一个在（0，3）内，即对应函数在（0，3）上存在一个零点，根据零点存在定理，构造关于m的不等式，解不等式可得答案．【解答】解：由题意方程lg（﹣x2+3x﹣m）﹣lg（3﹣x）＝0在（0，3）上有唯一解，就是方程﹣x2+3x﹣m＝3﹣x在x∈（0，3）内有唯一解，令f（x）＝﹣x2+4x﹣m﹣3，若方程﹣x2+3x﹣m＝3﹣x在x∈（0，3）内有唯一解，则f（0）•f（3）＜0，或△＝16﹣4（m+3）＝0，或m＝1，即（﹣m﹣3）（﹣m）＜0，或m＝0，或m＝1．解得：﹣3＜m≤0或m＝1．经检验，m＝1不合题意，∴﹣3＜m≤0．故答案为：（﹣3，0]．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，解答时易忽略方程﹣x2+3x﹣m＝3﹣x有两个相等的实根在（0，3）内，即△＝0的情况，考查发现问题解决问题的能力，是中档题．20．（10分）已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为2，圆心C 在第一象限．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P是直线l：2x+y+5＝0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，当△PBC 的面积最小时，求切线PB的方程．【分析】（Ⅰ）由题意设圆心坐标为（a，1），则半径为r＝a（a＞0），再由圆被x轴所截得的弦长为2，利用垂径定理求得a＝2，则圆C的方程可求；（Ⅱ）P为直线l：2x+y+5＝0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，可知，要使△PBC的面积最小，则|PB|最小，也就是|PC|最小，此时CP⊥l，求出CP所在直线方程，与直线l联立解得P（﹣2，﹣1），设切线方程为y+1＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1＝0，再由圆心到切线的距离等于半径求得k，则切线PB的方程可求．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C与y轴相切于点A（0，1），圆心C在第一象限，∴设圆心坐标为（a，1），则半径为r＝a（a＞0），又圆被x轴所截得的弦长为2，可得，得a＝2．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4；（Ⅱ）如图，P为直线l：2x+y+5＝0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，连接CB，则CB⊥PB，∴△PBC的面积S＝．要使△PBC的面积最小，则|PB|最小，也就是|PC|最小，此时CP⊥l，由l：2x+y+5＝0，可得k l＝﹣2，则CP所在直线斜率为，由直线方程的点斜式可得CP：y﹣1＝，即x﹣2y＝0．联立，解得P（﹣2，﹣1），设切线方程为y+1＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1＝0．由，解得k＝0或k＝．∴所求切线PB的方程为y＝﹣1或4x﹣3y+5＝0．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是中档题．21．（10分）如图所示的几何体由平面PECF截棱长为2的正方体得到，其中P、C为原正方体的顶点，E、F为原正方体侧棱的中点，正方形ABCD为原正方体的底面．（1）求证：EF⊥平面APC；（2）在棱BC上存在点G，使三棱锥E﹣FBG的体积恰为几何体ABEP﹣CDF的体积的若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据正方体的结构特征可证BD⊥平面P AC，由四边形BEFD为平行四边形得出BD∥EF，故EF⊥平面P AC；（2）可得ABEP﹣CDF的体积为长为2的正方体的体积的，若在棱BC上存在点G，即三棱锥E﹣FBG的体积为，可得，解得h＝，即可判定．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．∵P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴P A⊥BD．又AC⊂平面P AC，P A⊂平面P AC，AC∩P A＝A，∴BD⊥平面P AC，∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BEFD是平行四边形，∴EF∥BD．∴EF⊥平面P AC．（2）如图对几何体ABEP﹣CDF进行分割，可得ABEP﹣CDF的体积为长为2的正方体的体积的，若在棱BC上存在点G，使三棱锥E﹣FBG的体积恰为几何体ABEP﹣CDF的体积的，即三棱锥E﹣FBG的体积为，可得，解得h＝，∵AC⊥面BEF，且C到面BEF的距离为，∵，∴在棱BC上不存在点G，使三棱锥E﹣FBG的体积恰为几何体ABEP ﹣CDF的体积的．【点评】本题考查了线面垂直的判定，体积的计算，属于中档题．22．（10分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且当x≥1时，f（x）＝lg（x+）．（1）若lg9＝t，求f（﹣1）的值（用t表示）．（2）解不等式f（2﹣2x）＜f（x+3）．（3）若关于x的方程f（x）＝lg（+2a）在（1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．【分析】（1）把x＝﹣1代入函数解析式，结合对数的运算性质可得f（﹣1）的值；（2）由已知等式可得函数的对称轴方程，由复合函数的单调性判断函数在（1，+∞）上单调递增，把f（2﹣2x）＜f（x+3）转化为|2﹣2x﹣1|＜|x+3﹣1|求解；（3）若关于x的方程f（x）＝lg（+2a）在（1，+∞）上有解，即x2﹣2ax+1﹣a＝0在（1，+∞）上有解，利用一元二次方程根的分布分类分析得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且当x≥1时，f（x）＝lg（x+），∴f（﹣1）＝f（3）＝lg＝1﹣lg3，∵lg9＝t，∴t＝2lg3，则lg3＝，∴f（﹣1）＝1﹣lg3＝1﹣；（2）∵函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），∴f（x）图象关于直线x＝1对称，当x≥1时，f（x）＝lg（x+），由复合函数的单调性可知该函数在（1，+∞）上单调递增，∴f（2﹣2x）＜f（x+3）可化为|2﹣2x﹣1|＜|x+3﹣1|，即|2x﹣1|＜|x+2|，解得x∈（﹣，3）；（3）若关于x的方程f（x）＝lg（+2a）在（1，+∞）上有解，即lg（x +）＝lg （+2a）在（1，+∞）上有解，也就是x2﹣2ax+1﹣a＝0在（1，+∞）上有解．若x2﹣2ax+1﹣a＝0在（1，+∞）上有两根，则，此不等式组无解；若x2﹣2ax+1﹣a＝0一根大于而另一根小于1，则1﹣2a+1﹣a＜0，解得a．综上，若关于x的方程f（x）＝lg （+2a）在（1，+∞）上有解，则实数a的取值范围是（，+∞）．【点评】本题考查函数的对称性与单调性，考查转化与化归思想方法，考查一元二次方程根的分布，是中档题．第21页（共21页）。
【优质文档】2018-2019学年高一(上)期末数学试卷(含答案)
18．已知向量 =（ x，﹣ 1）， =（ x﹣2 ，3）， =（ 1﹣ 2x， 6）． （ 1）若 ⊥（ 2 + ），求 | | ； （ 2）若 ? ＜ 0，求 x 的取值范围．
2
19．已知函数 f（ x）=Asinx+cosx， A＞ 0． （ 1）若 A=1，求 f （ x）的单调递增区间；
．
22. 解： Ⅰ）若 a=1，则 f（ x）=
，
函数 f （ x）的图象如下图所示：
；
（Ⅱ）若 f（ x） ≥２﹣ x 对任意 x∈[1，2] 恒成立， 即 x2﹣ 4ax+3a2≥２﹣ x 对任意 x∈[1 ，2] 恒成立， 即 x2+（ 1﹣4 a） x+（3a2﹣ 2） ≥０对任意 x∈[1 ， 2]恒成立，
（ 2）函数 f（ x）在 x=x0 处取得最大值
，求 cosx0 的值．
20．已知 f （ x）是定义在 R上的偶函数，当 x ≥０时， f（ x） =xa（ a∈R），函数 f（ x）的图象经过点（ （ 1）求函数 f （ x）的解析式； （ 2）解不等式 f （ x2）﹣ f（﹣ x2+x﹣ 1）＞ 0．
4， 2）．
3
21．已知向量 =（ sinx ，﹣ 1）， =（ cosx ， m），m∈ R．
（ 1）若 m= ，且 ∥ ，求
的值；
（ 2）已知函数 f （ x） =2（ + ） ? ﹣2m2﹣ 1，若函数 f（ x）在 [ 0， ] 上有零点，求 m 的取值范围．
22. 设函数 f （ x） =
由 y=x2+（ 1﹣ 4a） x+（ 3a2﹣ 2）的图象是开口朝上，且以直线 x=
为对称轴的抛物线，
2017~2018学年广东广州荔湾区广东实验中学(高中)高一上学期期末数学试卷
2017~2018学年广东广州荔湾区广东实验中学（高中）高一上学期期末数学试卷选择题（每小题5分，共60分）1.A. B. C. D.已知集合，，则（）．M ={x ∈Z |x (x −3)⩽0}N ={x |ln x <1}M ∩N ={1,2}{2,3}{0,1,2}{1,2,3}2.A. B. C. D.直线的倾斜角是（ ）．3x +y +1=03√30∘60∘120∘150∘3.A. B. C. D.计算其结果是（ ）．+−lg 5+()169−123log 314−lg 4+1(lg 2)2−−−−−−−−−−−−−√−11−334.A. B. C. D.已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）．ABCD E F AC BD AB =6CD =8EF =5AB CD 30∘45∘60∘90∘5.A. B. C. D.直线在轴上的截距是（）．−=1x a 2y b 2y |b |−b 2b 2±b6.已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，使得，；②存在两条平行直线αβa a ⊥αa ⊥βA. B. C. D. ，，使得，，，；③存在两条异面直线，，使得，，，；④存在一个平面，使得，．其中可以推出的条件个数是（ ）．a b a //αa //βb //αb //βa b a ⊂αb ⊂βa //βb //αγγ⊥αγ⊥βα//β12347.A. B. C. D.已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（）．ABCD A ′B ′C ′D ′=2A ′D ′=4B ′C ′=1A ′B ′DC 5√22√25√3√8.A. B. C. 或 D.都不对经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）．(2,1)l A (1,1)B (3,5)l 2x −y −3=0x =22x −y −3=0x =29.A. B. C. D.已知函数的图像与函数的图像交于点，如果，那么的取值范围是（）．y =()12xy =x (a >0,a ≠1)log a P (,)x 0y 0⩾2x 0a [2,+∞)[4,+∞)[8,+∞)[16,+∞)10.A. B. C. D.矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（ ）．ABCD AB =4BC =3AC ABCD B −AC −D ABCD π1253π1256π1259π1251211.A. B. C. D.若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是（）．x x =log 12m 1−m(0,1)m (0,1)(1,2)(−∞,1)(2,+∞)(−∞,0)∪(1,+∞)12.已知棱长为填空题（每小题5分，共20分）解答题（6大题，共70分）A. B. C. D. 的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）．3√ABCD −A 1B 1C 1D 1AC 13π2√2π3√9π2√49π2√813.直线与直线平行，则．2x +(1−a )y +2=0ax −3y −2=0a =14.如图所示的正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，高为，则它的侧棱长为．2832√15.如图，网格纸上正方形小格的边长为，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为．116.已知函数，若存在实数使得函数的值域为，则实数的取值范围是．f (x )={(1−x )+1,−1⩽x <k log 2x |x −1|,k ⩽x ⩽a k f (x )[0,2]a 17.（1）（2）已知直线的方程为．求过点，且与垂直的直线的方程．求与平行，且到点的距离为的直线的方程．l 2x −y +1=0A (3,2)l l P (3,0)5√18.已知函数．f (x )=x −1x（1）（2）讨论并证明函数在区间的单调性．若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．f (x )(0,+∞)x ∈[1,+∞)f (mx )+mf (x )<0m19.（1）（2）如图，在直三棱柱中，三角形为等腰直角三角形，，，点是的中点．求证：平面．二面角的平面角的大小．ABC −A 1B 1C 1ABC AC =BC =2√A =1A 1D AB A //C 1CDB 1−CD −B B 120.（1）（2）如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．证明：平面平面．若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．PABCDE ABCD 2PA ⊥ABCD ED //PA PA =2ED =2PAC ⊥PCE PC ABCD 45∘P −CE −D21.如图，甲、乙是边长为的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．4a（1）（2）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明．试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．22.（1）（2）（3）已知二次函数满足，，且该函数的最小值为．求此二次函数的解析式．若函数的定义域为，（其中），问是否存在这样的两个实数，，使得函数的值域也为 ？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．若对于任意的，总存在使得，求的取值范围．f (x )f (0)=f (4)=41f (x )f (x )A =[m ,n ]0<m <n m n f (x )A m n ∈[0,3]x 1∈[1,2]x 2f ()<2+−1x 1x 2a x 2a。
2018-2019学年广东省广州市荔湾区高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年广东省广州市荔湾区高一上学期期末数学试题一、单选题1．的值是A．B．C．D．【答案】B【解析】利用诱导公式把要求的式子化为，即，从而得到答案．【详解】，故选：B．【点睛】本题主要考查利用诱导公式化简求值，熟记诱导公式，准确计算是关键，属于基础题．2．三个数，，的大小顺序是A．B．C．D．【答案】A【解析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果．【详解】，，；．故选：A．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，是基础题3．设集合2，，若，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由交集的定义可得1∈Ａ且1∈Ｂ，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【详解】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈Ａ且1∈Ｂ，可得1-4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2-4x+3=0}={1，3}．故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．4．在中，，则的值为A．B．C．D．2【答案】C【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和特殊角的三角函数的值求出结果．【详解】在中，，则，，，,故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换和特殊角三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是( )【答案】A【解析】试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A．【考点】函数图像的特征．6．函数的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为A．B．C．0 D．【答案】B【解析】利用函数的图象变换可得新函数解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【详解】令，则，为偶函数，，，，当时，．故的一个可能的值为．故选：B．【点睛】本题考查函数的图象变换，考查三角函数的奇偶性，熟记变换原则，准确计算是关键，属于中档题．7．已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为A ．B ．C ．7D ．8【答案】A【解析】AD 为的中线，从而有，带入，根据长度进行数量积的运算便可得出的长度．【详解】根据条件：；．故选：A ．【点睛】本题考查模长公式，向量加法、减法及数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，根据公式计算是关键，是基础题8．已知函数f(x)=若f （f （0））=4a ，则实数a 等于（）A ．B ．C ．2D ．9【答案】C 【解析】，选C.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.9．若函数,f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足xf xg x e ，则有（）A ．230f f g B ．032g f f C ．23f g f D ．23g f f 【答案】 D【解析】试题分析：函数,f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数,f x f x g x g x ，由2xf x gx得222xxxf x gxf xg xf xg x ，解方程组得2222,22xxxxf xg x，代入计算2,3,0f f g 比较大小可得023g f f 【考点】函数奇偶性及函数求解析式10．函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选 D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解. 11．已知函数，则的零点所在区间为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的零点判定定理可求．【详解】连续函数在上单调递增，，，的零点所在的区间为，故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数零点存在定理的应用，熟记定理是关键，属于基础试题．12．函数在区间上的最大值为2，则实数a 的值为A ．1或B ．C ．D ．1或【答案】A【解析】试题分析：因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选 A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式； 2.二次函数的最值问题； 3.分类讨论的思想.二、填空题13．计算______．【答案】11【解析】进行分数指数幂和对数式的运算即可．【详解】原式．故答案为：11．【点睛】本题考查对数式和分数指数幂的运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题. 14．设，，，则______．【答案】【解析】利用向量的坐标运算先求出的坐标，再利用向量的数量积公式求出的值．。
高中广东省广州市荔湾区高一上学期期末数学试题
广东省广州市荔湾区【精品】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．函数()()32f x log x =-的定义域为()A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦ D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ）A ．f （x ）=x -1，()211x g x x -=+B ．f （x ）=|x +1|，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<⎩C ．f （x ）=x +1，x ∈R，g （x ）=x +1，x ∈ZD ．f （x ）=x ，()2g x =3．函数()326xf x x =+-的零点所在的区间是( )A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,34．已知向量()()3,2,,4a b x ==，且//a b ，则x 的值为() A ．6B ．－6C ．83-D ．835．函数()()2212f x x a x =-+-+在(),4-∞-上是增函数，则a 的范围是()A ．[)5,+∞B ．[)3,-+∞C ．(],3-∞-D ．(],5-∞- 6．已知向量a ，b 满足3,23,3a b a b ==⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°7．设20.34log 4log 30.3a b c -===，，，则a ，b ，c 大小关系是 （ ）A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<b<aD ．b<a<c8．为了得到函数()23y cos x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y cos x =的图象()A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度D ．向右平行移动6π个单位长度9．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A ．2B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 210．已知向量()3,4a =-，()4,3b =，则向量b a -在向量a 方向上的投影是()A．B．-C ．5D ．5-11．已知函数()()(0,0,)2f x Asin x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的简图如图所示，则方程()(f x m m =为常数且12)m <<在[]0,π内所有解的和为()A ．6πB ．3π C ．2π D ．π12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12log 2,011,1x x f x x x +<<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩，若()4f a =-，则a =（ ） A ．14-B ．3-C ．14-或3 D ．14-或3-二、填空题13．已知幂函数()y f x =的图像过点⎛ ⎝⎭，则()4f =___________. 14．在不考虑空气阻力的条件下，火箭最大速度/Vm s 和燃料的质量Mkg 、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是22000log 1M V m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达12Km/s ． 15．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=,则tan()4πα+=________. 16．在等腰直角ABC 中，2A π∠=，1AB AC ==，M 是斜边BC 上的点，满足3BC BM =，若点P 满足1AP =，则AP BM ⋅的取值范围为______．三、解答题 17．已知02πα<<，且513sin α=．()1求tan α的值； ()2求()222222sin sin sin cos sin απααπαα--⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值． 18．已知全集,U R =集合{}240,A x x x =-≤{}22(22)20B x x m x m m =-+++≤.(Ⅰ)若3m =，求U C B 和AB ；(Ⅱ)若B A ⊆，求实数m 的取值范围.19．已知()()2222f x sin x x a a R =-++∈．()1若x ∈R ，求()f x 的单调递减区间；()2若,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为4-，求a 的值．20．药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量(v 单位：千克)是每平方米种植株数x 的函数．当x 不超过4时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是x 的一次函数，其中当x 为10时，v 的值为4；当x 为20时，v 的值为0．()1当020x <≤时，求函数v 关于x 的函数表达式；()2当每平方米种植株数x 为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值．(年生长总量=年平均生长量⨯种植株数)21．已知1e ，2e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+，12BE e e λ=-+，122EC e e =-+，且A ，E ，C 三点共线．()1求实数λ的值；()2已知点()2,4D ，()12,1e =--，()22,2e =-，若A ，B ，C ，D 四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标． 22．已知函数()a g x log x =，其中1a >．(Ⅰ)当[]0,1x ∈时，()21x g a +>恒成立，求a 的取值范围；(Ⅱ)设()m x 是定义在[],s t 上的函数，在(),s t 内任取1n -个数1x ，2x ，⋯，2n x -，1n x -，设1221n n x x x x --<<⋯<<，令0s x =，n t x =，如果存在一个常数0M >，使得()()11||nii i m x m x M -=-≤∑恒成立，则称函数()m x 在区间[],s t 上的具有性质P .试判断函数()()f x g x =在区间21,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由．(注：()()()()()()()()112111||)nii nn i m x m x m x m x m x m x m x m x --=-=-+-+⋯+-∑参考答案1．A 【解析】 【分析】要使得()f x 有意义，则需满足21020x x ->⎧⎨->⎩，解出x 的范围即可．【详解】要使()f x 有意义，则21020x x ->⎧⎨->⎩，解得122x <<，()f x ∴的定义域为1,22⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A 【点睛】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题． 2．B 【解析】A 中的2个函数()1f x x =-与()211x g x x -=+的定义域不同，故不是同一个函数；B 中的2个函数()1f x x =+与()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩具有相同的定义域、值域、对应关系，故是同一个函数；C 中的2个函数()1f x x =+，x R ∈与()1g x x =+，x Z ∈的定义域不同，故不是同一个函数；D 中的2个函数()f x x =，()2g x =的定义域、对应关系都不同，故不是同一个函数；综上，A C D 、、中的2个函数不是同一个函数，只有B 中的2个函数才是同一个函数，故选 B ． 3．C 【分析】由零点存在定理，依次判断选项中区间端点函数值的正负，从而得到零点所在的区间. 【详解】因为()132)1(160f -=+---⋅<，()03600f =-<，()132610f =+-=-<，()294670f =+-=>，所以()f x 在()1,2上存在零点． 故选C. 【点睛】本题考查零点存在定理的运用，考查基本运算求解能力，求解时只要算出区间端点函数值的正负，即可得到答案. 4．A 【分析】两向量平行，內积等于外积。
2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二(上)期末数学试卷(文科)解析版
2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.双曲线-=1的渐近线方程是（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±x【答案】A【解析】解：根据题意，双曲线的方程为：-=1，其中a==4，b==3；且其焦点在x轴上，则其渐近线方程为：y=±x；故选：A．根据题意，由双曲线的标准方程可得其中a、b的值，结合焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程即可得答案．本题考查双曲线的标准方程，掌握双曲线的渐近线方程即可．2.命题“如果x≥a2+b2，那么x≥2ab”的逆否命题是（）A. 如果x＜a2+b2，那么x＜2abB. 如果x≥2ab，那么x≥a2+b2C. 如果x＜2ab，那么x＜a2+b2D. 如果x≥a2+b2，那么x＜2ab【答案】C【解析】解：命题的逆命题是：如果x≥2ab，那么x≥a2+b2∴逆否命题是：如果x＜2ab，那么x＜a2+b2，故选：C．根据命题的逆否命题的概念，即是逆命题的否命题，也是逆命题的否命题；写出逆命题，再求其否命题即可．本题主要考查四种命题间的关系．如图3.根据给出的算法框图，计算f（-1）+f（2）=（）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】A【解析】解：由程序框图知：程序的功能是求分段函数f（x）=的值，∴f（-1）=-4；f（2）=22=4，∴f（-1）+f（2）=0．故选：A．程序的功能是求分段函数f（x）=的值，分别求出f（-1），f（2），可得答案．本题考查了选择结构的程序框图，根据框图流程判断算法的功能是关键．4.某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为3：4：3，其中青年男教师24人．现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为（）A. 12B. 6C. 4D. 3【答案】D【解析】解：某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为3：4：3，其中青年男教师24人．则青年教师人数为120×=36人，青年女教师12人，现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，被选出的青年女教师的人数为：30××=3．故选：D．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查被选出的青年女教师的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.为了测试小班教学的实践效果，王老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、B两班学生的平均成绩分别为，，A、B两班学生成绩的方差分别为S A2，S B2，则观察茎叶图可知（）A.＜B，S A2＜S B2 B. A＞B，S A2＜S B2AC.＜B，S A2＞S B2 D. A＞B，S A2＞S B2A【答案】B【解析】解：A班学生的分数多集中在[70，80]之间，B班学生的分数集中在[50，70]之间，故A＞B；相对两个班级的成绩分布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更加离散，故S A2＜S B2，故选：B．观察茎叶图数据，根据平均分，方差的定义即可判断得解．本题主要考查了平均分，方差的定义，考查了茎叶图的应用，属于基础题．6.设F1是椭圆的一个焦点，AB是经过另一个焦点F2的弦，则△AF1B的周长是（）A. 12B. 8C. 6D. 4【答案】A【解析】解：∵椭圆的方程为，∴a=3，b=2，又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12．故选：A．由椭圆的方程知，长半轴a=4，利用椭圆的定义知，△ABF2的周长为4a，从而可得答案．本题考椭圆的简单性质，着重考查椭圆定义的应用，属于基础题．7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和等于9的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和等于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），共4个，∴出现向上的点数之和等于9的概率为p==．故选：C．基本事件总数n=6×6=36，利用向量法能求了出现向上的点数之和等于9包含的基本事件有4个，由此能求出出现向上的点数之和等于9的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h．现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）．根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90km/h的概率分别为（）A. 85，0.25B. 90，0.35C. 87.5，0.25D. 87.5，0.35【答案】D【解析】解：由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数为：=87.5，由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的频率为：（0.05+0.02）×5=0.35，∴由频率分布直方图估计在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的概率为：0.35，故选：D．由频率分布直方图能估计在此路段上汽车行驶速度的众数和在此路段上汽车行驶速度超过90km/h的概率．本题考查众数和概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9.函数y=f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A. 0＜f'（1）＜f'（2）＜f（2）-f（1）B. 0＜f'（1）＜f（2）-f（1）＜f'（2）C. 0＜f'（2）＜f（2）-f（1）＜f'（1）D. 0＜f'（2）＜f'（1）＜f（2）-f（1）【答案】C【解析】解：根据题意，f（x）的导数为f′（x），则f′（1）函数f（x）在x=1处切线的斜率，f′（2）函数f（x）在x=2处切线的斜率，f（2）-f（1）=，图象上x为2和3对应两点连线的斜率，f′（2）是（1，f（1））与（2，f（2））两点连线的斜率，则有0＜f'（2）＜f（2）-f（1）＜f'（1）；故选：C．根据题意，由导数的几何意义可得f′（1）函数f（x）在x=1处切线的斜率，f′（2）函数f（x）在x=2处切线的斜率，又由f′（2）是（1，f（1））与（2，f（2））两点连线的斜率，据此结合函数的单调性变化分析可得答案．本题考查导数的几何意义，涉及直线斜率的计算，关键是掌握导数的几何意义．10.函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. [-1，+∞）B. （-∞，-1]C. （-1，+∞）D. （-∞，-1）【答案】B【解析】解：函数，f′（x）=x2+2x-a，若f（x）在R递增，则x2+2x-a≥0在R恒成立，可得△=4+4a≤0故a≤-1，故选：B．求出函数的导数，问题转化为即a≤x2+2x在R恒成立，从而求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．11.设命题p：函数f（x）=2x+2-x在R上单调递增，命题q：在△ABC中，A＞B是sin A＞sin B的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∨（￢q）C. （￢p）∧qD. （￢p）∧（￢q）【答案】C【解析】解：命题p：函数f（x）=2x+2-x在（-∞，0）上单调递减，因此是假命题．命题q：在△ABC中，A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：=，因此sin A＞sin B，反之也成立，是真命题．则下列命题为真命题的是（￢p）∧q．故选：C．命题p：函数f（x）=2x+2-x在（-∞，0）上单调递减，即可判断出真假．命题q：在△ABC 中，A＞B⇔a＞b，再利用正弦定理可得：=，进而判断出真假．本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.F1、F2为双曲线的左、右焦点，过F1作x轴的垂线与双曲线交于M，N两点，，则C的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】解：由题意可知：|MF2|=2a+，cosα==．，可得：=，可得：=8e，解得e=或e=（舍去）．故选：A．画出图形，求出cos∠OF2M，然后通过，求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题p：“∃x∈N，x2≥2x”，则￢p：______．【答案】∀x∈N，x2＜2x【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：“∃x∈N，x2≥2x”，则￢p：∀x∈N，x2＜2x．故答案为：∀x∈N，x2＜2x．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是______．【答案】【解析】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：S=-1，k=1，满足条件k＜5，执行循环体，S=，k=2满足条件k＜5，执行循环体，S=2，k=3满足条件k＜5，执行循环体，S=-1，k=4满足条件k＜5，执行循环体，S=，k=5此时，不满足条件k＜5，退出循环．输出S的值为．故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.已知M={（x，y）||x|≤2，|y|≤2}，点P的坐标为（x，y），当P∈M时，则x，y满足（x-2）2+（y-2）2≥4的概率为______．【答案】【解析】解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD及其内部满足（x-2）2+（y-2）2≥4的点位于的区域是以C（2，2）为圆心，半径等于2的圆及其外部∴P满足（x-2）2+（y-2）2≤4的概率为P=1-=1-=1-=故答案为：根据题意，满足|x|≤2且|y|≤2的点P在如图的正方形ABCD及其内部运动，而满足（x-2）2+（y-2）2≥4的点P在以C为圆心且半径为2的圆及其外部运动．因此，所求概率等于圆C与正方形ABCD重叠部分扇形面积与正方形ABCD的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率．根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率．本题给出点P满足的条件，求点P到点C（2，2）距离大于或等于2的概率．着重考查了正方形、扇形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．16.抛物线x2=4y的焦点为F，P为抛物线上一点，O为坐标原点．△OPF的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的半径为______．【答案】【解析】解：抛物线x2=4y的焦点为F（0，1），抛物线的准线方程为y=-1，设△OPF的外接圆的圆心C为（m，n），半径为r，可得C在线段OF的垂直平分线上，即有n=，由外接圆与准线相切可得n+1=r，即有r=．故答案为：．求得抛物线的焦点和准线方程，由外接圆圆心在线段OF的垂直平分线上，可得圆心的纵坐标为，再由直线和圆相切的条件：d=r，计算可得所求半径．本题考查抛物线的焦点和准线方程，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知抛物线C：y2=2px经过点M（1，2）．（1）求C的标准方程和焦点坐标；（2）斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．【答案】解：（1）由已知抛物线经过点M（1，2），代入y2=2px得22=2p，解得p=2………………………2 分所以，抛物线C的标准方程为y2=4x………………3 分所以，抛物线的焦点为（1，0），……………4 分（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得直线l的方程为y=x-1……………5 分联立方程消去y得x2-6x+1=0……………7 分解得，……………8 分所以x1+x2=6（也可以由韦达定理直接得到x1+x2=6）………………9 分于是|AB|=x1+x2+2=8…………10 分【解析】（1）设出抛物线方程，利用已知条件求出p，得到抛物线的方程，然后求解焦点坐标．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线方程与抛物线联立，求出AB坐标，然后求解弦长即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，考查计算能力．18.某电视台为了宣传本区，随机对本区内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本（1）分别求出n，a，b，x，y的值．（2）根据频率分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数．（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率．【答案】解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为=25，再结合频率分布直方图可知n==100，…（1分）a=100×（0.010×10）×0.5=5，b=100×（0.030×10）×9=27，…（2分）x==0.9，…（3分）y==0.2．…（4分）（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x∈[35，45），且有0.010×10+0.020×10+（x-35）×0.030=05，解得x≈41.67，…（6分）故估计这组数据的中位数为41.67，估计这组数据的平均数为：=20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10+50×0.025×10+60×0.030×10=41.5．…（8分）（3）由（1）知a=5，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，共有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），（b，c）10个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件A，共有（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）7个基本事件，∴至少抽中一名女性的概率p=．【解析】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知n=100，由此有求出a，b，x，y．（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x∈[35，45），且有0.010×10+0.020×10+（x-35）×0.030=05，得x≈41.67，由此能估计这组数据的中位数和平均数．（3）第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少抽中一名女性的概率．本题考查实数值、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.设函数f（x）=x3+ax2+4x+1在x=-2时取得极值．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）在区间[-3，0]上的最值．【答案】（本小题满分12分）解：（1）f'（x）=3x2+2ax+4，……………2 分因为f（x）在x=-2处取得极值，所以f'（-2）=0解得a=4……………4 分当a=4时，f'（x）=3x2+8x+4，令f'（x）=0，得x=-2或当x＜-2时，f'（x）＞0，f（x）在（-∞，-2）上单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）在上单调递减，当时，f'（x）＞0，f（x）在上单调递增，所以当a=4时，f（x）在x=-2取得极大值．……………5 分21……………分由表可知，在[-3，0]上，当x=-2时函数f（x）取得极大值f（-2）=1当时函数f（x）取得极小值……………9 分又由于f（-3）=-2，f（0）=1……………11 分所以函数f（x）在[-3，0]上的最大值是1，最小值是-2．……………12 分【解析】（1）求出函数的导数，利用导函数求出极值点，然后求解a，利用导函数的符号，验证即可．（2）利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解最值．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20.如图是某公司2001年至2017年新产品研发费用y（单位：万元）的折线图．为了预测该公司2019年的新产品研发费用，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2001年至2017年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：；根据2011年至2017年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该公司2019年的新产品研发费用的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】解：（1）利用模型①，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为（万元）．……………3 分利用模型②，该公司2019年的新产品研发费用的预测值为（万元）．……6 分（2）利用模型②得到的预测值更可靠．……………8 分理由如下：（i）从折线图可以看出，2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型①不能很好地描述新产品研发费用的变化趋势.2011年相对2010年的新产品研发费用有明显增加，2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2011年开始新产品研发费用的变化规律呈线性增长趋势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型可以较好地描述2011年以后的新产品研发费用的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．……………12 分（ii）从计算结果看，相对于2017年的新产品研发费用135万元，由模型①得到的预测值134.8万元明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．……………12 分【解析】（1）在模型①中，取t=19，在模型②中，取t=9，即可求得这两个模型该公司2019年的新产品研发费用的预测值；（2）（i）从散点图分析，可知2001年至2017年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，说明利用2001年至2017年的数据建立的线性模型①不能很好地描述新产品研发费用的变化趋势.2011年至2017年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2011年开始新产品研发费用的变化规律呈线性增长趋势，利用2011年至2017年的数据建立的线性模型可以较好地描述2011年以后的新产品研发费用的变化趋势．（ii）从计算结果相对于2017年的新产品研发费用的关系分析．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，考查学生读取图表的能力，是中档题．21.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且过点．直线l与C交于A，B两点，点F1是C的左焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）若l过点F1且不与x轴重合，求△AOB面积S的最大值．【答案】解：（1）依题意得，设a=2λ，则，由a2=b2+c2……………1 分得b=λ，此时椭圆方程为，将点代入得，解得λ=1，所以，……………3 分所以椭圆C的方程为．……………4 分（2）依题意得解法1：设直线l的方程为，联立椭圆方程得消去x整理得……………6 分因为F1在椭圆内部，所以△＞0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，……………7 分．=== (9)分令，则t≥1，，……………10 分因为当t＞1时，，当且仅当时“=”号成立，所以，所以△AOB的面积S的最大值是1．……………12 分解法2：当直线l垂直于x轴时，将代入椭圆方程得，解得，此时，………5 分当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为（k≠0），联立椭圆方程得消去y整理得………6 分因为F1在椭圆内部，所以△＞0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，……………7 分．==点O到AB的距离，所以因为k≠0所以令，则，……………9 分令，则t≥1，，……………10 分因为当t＞1时，，当且仅当时“=”号成立，所以，……………11 分综上得△AOB的面积S的最大值是1．……………12 分【解析】（1）通过椭圆离心率为，过点．列式值计算即得a，b即可；（2）解法1：设直线l的方程为代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，计算三角形的面积，换元，利用函数的单调性，即可求得结论．解法2：当直线l垂直于x轴时，将代入椭圆方程得，解得，此时，当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为（k≠0），代入椭圆方程，整理，利用韦达定理，计算三角形的面积，换元，利用函数的单调性，即可求得结论．本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查三角形面积的计算，考查运算求解能力，属于中档题．22.已知函数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a=1，证明：当x∈[1，+∞）时，．【答案】（本小题满分12分）解：（1）……………1 分当a=0时，，当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．……………2 分当a≠0时，令f'（x）=0得ax2-2x-a=0（*）因为△=4+4a2＞0所以方程（*）有两根，由求根公式得，……………3 分当a＞0时，x1＜0＜x2，当x＜x1或x＞x2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x1＜x＜x2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在（-∞，x1）和（x2+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增．………4 分当a＜0时，x2＜0＜x1，当x＜x2或x＞x1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x2＜x＜x1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在（-∞，x2）和（x1+∞）上单调递增，在（x2，x1）上单调递减．………5 分综上所述，当a=0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（-∞，x1）和（x2+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（-∞，x2）和（x1+∞）上单调递增，在（x2，x1）上单调递减．……6 分（2）当a=1时，，由题意知，要证在[1，+∞）上恒成立，即证明（x2+1）ln x≥2x-2，（x2+1）ln x-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．……7 分设g（x）=（x2+1）ln x-2x+2，则，……8 分因为x≥1，所以2x lnx≥0，（当且仅当x=1时等号成立），即g'（x）≥0，……10 分所以g（x）在[1，+∞）上单调递增，g（x）≥g（1）=0，所以在[1，+∞）上恒成立．……12 分【解析】（1）求出导函数通过a的取值，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）当a=1时，，要证，即证明（x2+1）ln x≥2x-2，（x2+1）ln x-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立，设g（x）=（x2+1）ln x-2x+2，利用函数的导数，判断函数的单调性然后推出结果．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．。
2018-2019学度广东xx中学高一上年末数学试卷(含解析解析).doc
2018-2019学度广东xx中学高一上年末数学试卷（含解析解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】选择题：本大题12小题，每题5分，总分值60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、〔5分〕函数f〔x〕＝log〔2x﹣1〕的定义域是〔〕A、〔，＋∞〕B、〔，1〕∪〔1，＋∞〕C、〔，＋∞〕D、〔，1〕∪〔1，＋∞〕2、〔5分〕直线x＋2ay﹣1＝0与〔a﹣1〕x﹣ay＋1＝0平行，那么a的值为〔〕A、B、或0 C、0 D、﹣2或03、〔5分〕设f〔x〕是定义在R上单调递减的奇函数，假设x1＋x2》0，x2＋x3》0，x3＋x1》0，那么〔〕A、f〔x1〕＋f〔x2〕＋f〔x3〕》0 B、f〔x1〕＋f〔x2〕＋f〔x3〕《0C、f〔x1〕＋f〔x2〕＋f〔x3〕＝0 D、f〔x1〕＋f〔x2〕》f〔x3〕4、〔5分〕如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，那么原平面图形的面积为〔〕A、a2B、a2C、2a2D、2a2β＝m，n⊂γ，且＿＿＿＿＿＿＿＿，那么m∥n”中的横线处填入以下三组条件中的一组，使该命题为真命题、①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ、可以填入的条件有〔〕A、①或③B、①或②C、②或③D、①或②或③6、〔5分〕一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，那么该几何体的体积为〔〕A、17B、C、D、187、〔5分〕如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A 1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，那么下面四个值中不是定值的是〔〕A、点P到平面QEF的距离B、直线PQ与平面PEF所成的角C、三棱锥P﹣QEF的体积D、△QEF的面积8、〔5分〕如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝90°，O在△ABC 内，∠OPC＝45°，∠OPA＝60°，那么∠OPB的余弦值为〔〕A、 B、 C、D、9、〔5分〕函数＋2，那么关于x的不等式f〔3x＋1〕＋f〔x〕》4的解集为〔〕A、〔﹣，＋∞〕B、〔﹣，＋∞〕C、〔﹣，＋∞〕D、〔﹣，＋∞〕10、〔5分〕当0《x≤时，4x《logax，那么a的取值范围是〔〕A、〔0，〕B、〔，1〕C、〔1，〕D、〔，2〕11、〔5分〕函数f〔x〕＝x2＋e x﹣〔x《0〕与g〔x〕＝x2＋ln〔x＋a〕图象上存在关于y轴对称的点，那么a的取值范围是〔〕A、〔﹣，〕B、〔﹣，〕C、〔﹣∞，〕D、〔﹣∞，〕12、〔5分〕假设x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2〔x﹣1〕＝5，x1＋x2＝〔〕A、B、3 C、D、4【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13、〔5分〕函数f〔x〕＝〔a》0〕，假设x1＋x2＝1，那么f〔x1〕＋f〔x2〕＝，并求出＝、14、〔5分〕如下图几何体的三视图，那么该几何体的表面积为、15、〔5分〕点M〔x1，y1〕在函数y＝﹣2x＋8的图象上，当x1∈【2，5】时，那么的取值范围、16、〔5分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2，那么二面角A﹣PB﹣C的正切值为、【三】解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、〔12分〕过点〔3，2〕的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积、18、〔12分〕一四棱锥P﹣ABCD的三视图如下图，E是侧棱PC上的动点、〔Ⅰ〕求四棱锥P﹣ABCD的体积、〔Ⅱ〕假设点E为PC的中点，AC∩BD＝O，求证：EO∥平面PAD；〔Ⅲ〕是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论、19、〔10分〕设直线l的方程为〔a＋1〕x＋y＋2﹣a＝0〔a∈R〕、〔1〕假设l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；〔2〕假设l不经过第二象限，求实数a的取值范围、20、〔12分〕如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m〔1〕试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；〔2〕在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论、21、〔12分〕平行四边形ABCD〔如图1〕，AB＝4，AD＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C＝4，F是线段A1C的中点〔如图2〕、〔1〕求证：BF∥面A1DE；〔2〕求证：面A1DE⊥面DEBC；〔3〕求二面角A1﹣DC﹣E的正切值、22、〔12分〕函数g〔x〕＝ax2﹣2ax＋1＋b〔a≠0，b《1〕，在区间【2，3】上有最大值4，最小值1，设f〔x〕＝、〔1〕求a，b的值；〔2〕不等式f〔2x〕﹣k•2x≥0在x∈【﹣1，1】上恒成立，求实数k的取值范围；〔3〕方程f〔｜2x﹣1｜〕＋k〔﹣3〕有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围、参考答案与试题解析【一】选择题：本大题12小题，每题5分，总分值60分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、〔5分〕函数f〔x〕＝log〔2x﹣1〕的定义域是〔〕A、〔，＋∞〕B、〔，1〕∪〔1，＋∞〕C、〔，＋∞〕D、〔，1〕∪〔1，＋∞〕【解答】解：由，解得x》且x≠1、∴函数f〔x〕＝log〔2x﹣1〕的定义域是〔，1〕∪〔1，＋∞〕、应选：B、2、〔5分〕直线x＋2ay﹣1＝0与〔a﹣1〕x﹣ay＋1＝0平行，那么a的值为〔〕A、B、或0 C、0 D、﹣2或0【解答】解：当a＝0时，两直线重合；当a≠0时，由，解得a＝，综合可得，a＝，应选：A、3、〔5分〕设f〔x〕是定义在R上单调递减的奇函数，假设x1＋x2》0，x2＋x3》0，x3＋x1》0，那么〔〕A、f〔x1〕＋f〔x2〕＋f〔x3〕》0 B、f〔x1〕＋f〔x2〕＋f〔x3〕《0C、f〔x1〕＋f〔x2〕＋f〔x3〕＝0 D、f〔x1〕＋f〔x2〕》f〔x3〕【解答】解：∵x1＋x2》0，x2＋x3》0，x3＋x1》0，∴x1》﹣x2，x2》﹣x3，x3》﹣x1，又f〔x〕是定义在R上单调递减的奇函数，∴f〔x1〕《f〔﹣x2〕＝﹣f〔x2〕，f〔x2〕《f〔﹣x3〕＝﹣f〔x3〕，f〔x3〕《f〔﹣x 1〕＝﹣f〔x1〕，∴f〔x1〕＋f〔x2〕《0，f〔x2〕＋f〔x3〕《0，f〔x3〕＋f〔x1〕《0，∴三式相加整理得f〔x1〕＋f〔x2〕＋f〔x3〕《0应选B4、〔5分〕如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，那么原平面图形的面积为〔〕A、a2B、a2C、2a2D、2a2【解答】解：由斜二测画法的规那么知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为＝应选：C、5、〔5分〕设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且＿＿＿＿＿＿＿＿，那么m∥n”中的横线处填入以下三组条件中的一组，使该命题为真命题、①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ、可以填入的条件有〔〕A、①或③B、①或②C、②或③D、①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确、应选A、6、〔5分〕一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，那么该几何体的体积为〔〕A、17B、C、D、18【解答】解：由中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体，棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h＝＝2，故棱台的体积为：＝，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2＝，故组合体的体积V＝﹣＝，应选：B7、〔5分〕如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A 1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，那么下面四个值中不是定值的是〔〕A、点P到平面QEF的距离B、直线PQ与平面PEF所成的角C、三棱锥P﹣QEF的体积D、△QEF的面积【解答】解：A、∵平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，∴点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离＝为定值；D、∵点Q到直线CD的距离是定值a，｜EF｜为定值，∴△QEF的面积＝为定值；C、由A、D可知：三棱锥P﹣QEF的体积为定值；B、直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出、综上可得：只有B中的值不是定值、应选：B、8、〔5分〕如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝90°，O在△ABC 内，∠OPC＝45°，∠OPA＝60°，那么∠OPB的余弦值为〔〕A、 B、 C、D、【解答】解：如下图：过O做平面PBA的垂线，交平面PBC于Q，连接PQ那么∠OPQ＝90°﹣45°＝45°、∵cos∠OPA＝cos∠QPA×cos∠OPQ，∴cos∠QPA＝，∴∠QPA＝45°，∴∠QPB＝45°∴cos∠OPB＝cos∠OPQ×cos∠QPB＝、应选C、9、〔5分〕函数＋2，那么关于x的不等式f〔3x＋1〕＋f〔x〕》4的解集为〔〕A、〔﹣，＋∞〕B、〔﹣，＋∞〕C、〔﹣，＋∞〕D、〔﹣，＋∞〕〔＋x〕﹣2016﹣x，【解答】解：设g〔x〕＝2016x＋log2016〔＋x〕﹣2016x＋＝﹣g〔x〕；g〔﹣x〕＝2016﹣x＋log2016g′〔x〕＝2016x ln2016＋＋2016﹣x ln2016》0；∴g〔x〕在R上单调递增；∴由f〔3x＋1〕＋f〔x〕》4得，g〔3x＋1〕＋2＋g〔x〕＋2》4；∴g〔3x＋1〕》g〔﹣x〕；∴3x＋1》﹣x；解得x》﹣；∴原不等式的解集为〔﹣，＋∞〕、应选：D、x，那么a的取值范围是〔〕10、〔5分〕当0《x≤时，4x《logaA、〔0，〕B、〔，1〕C、〔1，〕D、〔，2〕【解答】解：∵0《x≤时，1《4x≤2x，由对数函数的性质可得0《a《1，要使4x《loga数形结合可知只需2《logx，a∴即对0《x≤时恒成立∴解得《a《1应选B11、〔5分〕函数f〔x〕＝x2＋e x﹣〔x《0〕与g〔x〕＝x2＋ln〔x＋a〕图象上存在关于y轴对称的点，那么a的取值范围是〔〕A、〔﹣，〕B、〔﹣，〕C、〔﹣∞，〕D、〔﹣∞，〕【解答】解：由题意，存在x《0，使f〔x〕﹣g〔﹣x〕＝0，即e x﹣﹣ln〔﹣x＋a〕＝0在〔﹣∞，0〕上有解，令m〔x〕＝e x﹣﹣ln〔﹣x＋a〕，那么m〔x〕＝e x﹣﹣ln〔﹣x＋a〕在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m〔x〕《0，假设a≤0时，x→a时，m〔x〕》0，故e x﹣﹣ln〔﹣x＋a〕＝0在〔﹣∞，0〕上有解，假设a》0时，那么e x﹣﹣ln〔﹣x＋a〕＝0在〔﹣∞，0〕上有解可化为e0﹣﹣ln〔a〕》0，即lna《，故0《a《、综上所述，a∈〔﹣∞，〕、应选：C12、〔5分〕假设x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2〔x﹣1〕＝5，x1＋x2＝〔〕A、B、3 C、D、4【解答】解：由题意①2x2＋2log2〔x2﹣1〕＝5②所以，x 1＝log2〔5﹣2x1〕即2x1＝2log2〔5﹣2x1〕令2x1＝7﹣2t，代入上式得7﹣2t＝2log2〔2t﹣2〕＝2＋2log2〔t﹣1〕∴5﹣2t＝2log2〔t﹣1〕与②式比较得t＝x2于是2x1＝7﹣2x2即x1＋x2＝应选C【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13、〔5分〕函数f〔x〕＝〔a》0〕，假设x1＋x2＝1，那么f〔x1〕＋f〔x2〕＝1，并求出＝、【解答】解：∵函数f〔x〕＝〔a》0〕，x1＋x2＝1，∴f〔x1〕＋f〔x2〕＝f〔x1〕＋f〔1﹣x1〕＝＋＝＋＝＝1，∴＝1007＋f〔〕＝1007＋＝、故答案为：1，、14、〔5分〕如下图几何体的三视图，那么该几何体的表面积为16＋2、【解答】解：由中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E和F分别是AB和CD中点，作EM⊥AD，连接PM，且PD＝PC，由三视图得，PE⊥底面ABCD，AB＝4，CD＝2，PE═EF＝2在直角三角形△PEF中，PF＝＝2，在直角三角形△DEF中，DE＝＝，同理在直角梯形ADEF中，AD＝，根据△AED的面积相等得，×AD×ME＝×AE×EF，解得ME＝，∵PE⊥底面ABCD，EM⊥AD，∴PM⊥AD，PE⊥ME，在直角三角形△PME中，PM＝＝，∴该四棱锥的表面积S＝×〔4＋2〕×2＋×4×2＋×2×2＋2×××＝16＋2、故答案为：16＋2、15、〔5分〕点M〔x1，y1〕在函数y＝﹣2x＋8的图象上，当x1∈【2，5】时，那么的取值范围、【解答】解：当x1∈【2，5】时，可得A〔2，4〕，B〔5，﹣2〕、设P〔﹣1，﹣1〕，那么kPA ＝＝，kPB＝＝，∴的取值范围是、16、〔5分〕如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2，那么二面角A﹣PB﹣C的正切值为、【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD＝CD＝2，PC＝2，可得∠PCD＝30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°＝、∴A〔1，0，0〕，P〔0，﹣1，〕，B〔1，2，0〕，C〔0，2，0〕，＝〔1，1，﹣〕，＝〔1，3，﹣〕，＝〔0，3，﹣〕，设平面PAB的法向量＝〔x，y，z〕，那么，取z＝1，得＝〔〕，设平面PBC的法向量＝〔a，b，c〕，那么，取c＝，得＝〔2，1，〕，设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，那么cosθ＝＝＝，sinθ＝＝，tanθ＝＝、∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为、故答案为：、【三】解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、〔12分〕过点〔3，2〕的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积、【解答】解：设A〔a，0〕，B〔0，b〕，那么直线l的方程为：＋＝1、把点P〔3，2〕代入可得：＋＝1、〔a，b》0〕、∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a＝6，b＝4时取等号、＝ab≥12，l的方程为：＋＝1，即4x＋6y﹣24＝0∴S△AOB18、〔12分〕一四棱锥P﹣ABCD的三视图如下图，E是侧棱PC上的动点、〔Ⅰ〕求四棱锥P﹣ABCD的体积、〔Ⅱ〕假设点E为PC的中点，AC∩BD＝O，求证：EO∥平面PAD；〔Ⅲ〕是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论、【解答】〔Ⅰ〕解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2、…〔1分〕∴VP﹣ABCD ＝S▱ABCD•PC＝、…〔3分〕〔Ⅱ〕证明：∵E、O分别为PC、BD中点∴EO∥PA，…〔4分〕又EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD、…〔6分〕∴EO∥平面PAD、…〔7分〕〔Ⅲ〕不论点E在何位置，都有BD⊥AE，…〔8分〕证明如下：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，…〔9分〕∵PC⊥底面ABCD且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC，…〔10分〕又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC，…〔11分〕∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE、…〔12分〕19、〔10分〕设直线l的方程为〔a＋1〕x＋y＋2﹣a＝0〔a∈R〕、〔1〕假设l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；〔2〕假设l不经过第二象限，求实数a的取值范围、【解答】解：〔1〕令x＝0，得y＝a﹣2、令y＝0，得〔a≠﹣1〕、∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a＝2或a＝0、∴所求的直线l方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0、〔2〕直线l的方程可化为y＝﹣〔a＋1〕x＋a﹣2、∵l不过第二象限，∴，∴a≤﹣1、∴a的取值范围为〔﹣∞，﹣1】、20、〔12分〕如图，在棱长为1的正方体中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m〔1〕试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；〔2〕在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论、【解答】解：〔1〕连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC＝OG，故OG∥PC，所以，OG＝PC＝、又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角、在Rt△AOG中，tan∠AGO＝，即m＝、所以，当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为4、〔2〕可以推测，点Q应当是AI CI的中点，当是中点时因为D1O1⊥A1C1，且D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A＝A1，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP⊂平面ACC1A1，故D1O1⊥AP、那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直、21、〔12分〕平行四边形ABCD〔如图1〕，AB＝4，AD＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C＝4，F是线段A1C的中点〔如图2〕、〔1〕求证：BF∥面A1DE；〔2〕求证：面A1DE⊥面DEBC；〔3〕求二面角A1﹣DC﹣E的正切值、【解答】解：〔1〕证明：如图，取DA1的中点G，连FG，GE；F为A1C中点；∴GF∥DC，且；∴四边形BFGE是平行四边形；∴BF∥EG，EG⊂平面A1DE，BF⊄平面A1DE；∴BF∥平面A1DE；〔2〕证明：如图，取DE的中点H，连接A1H，CH；AB＝4，AD＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点；∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA1E也为等边三角形；∴A1H⊥DE，且；在△DHC中，DH＝1，DC＝4，∠HDC＝60°；根据余弦定理，可得：HC2＝1＋16﹣4＝13，在△A1HC中，，，A1C＝4；∴，即A1H⊥HC，DE∩HC＝H；∴A1H⊥面DEBC；又A1H⊂面A1DE；∴面A1DE⊥面DEBC；〔3〕如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A1O；A1H⊥面DEBC；∴A1H⊥DC，A1H∩HO＝H；∴DC⊥面A1HO；∴DC⊥A1O，DC⊥HO；∴∠A1OH是二面角A1﹣DC﹣E的平面角；在Rt△AHO中，，；1故tan；所以二面角A﹣DC﹣E的正切值为2、122、〔12分〕函数g〔x〕＝ax2﹣2ax＋1＋b〔a≠0，b《1〕，在区间【2，3】上有最大值4，最小值1，设f〔x〕＝、〔1〕求a，b的值；〔2〕不等式f〔2x〕﹣k•2x≥0在x∈【﹣1，1】上恒成立，求实数k的取值范围；〔3〕方程f〔｜2x﹣1｜〕＋k〔﹣3〕有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围、【解答】附加题：〔此题共10分〕解：〔1〕g〔x〕＝a〔x﹣1〕2＋1＋b﹣a，当a》0时，g〔x〕在【2，3】上为增函数，故，可得，⇔、当a《0时，g〔x〕在【2，3】上为减函数、故可得可得，∵b《1∴a＝1，b＝0即g〔x〕＝x2﹣2x＋1、f〔x〕＝x＋﹣2、…〔3分〕〔2〕方程f〔2x〕﹣k•2x≥0化为2x＋﹣2≥k•2x，k≤1＋﹣令＝t，k≤t2﹣2t＋1，∵x∈【﹣1，1】，∴t，记φ〔t〕＝t2﹣2t＋1，＝0，∴φ〔t〕min∴k≤0、…〔6分〕〔3〕由f〔｜2x﹣1｜〕＋k〔﹣3〕＝0得｜2x﹣1｜＋﹣〔2＋3k〕＝0，｜2x﹣1｜2﹣〔2＋3k〕｜2x﹣1｜＋〔1＋2k〕＝0，｜2x﹣1｜≠0，令｜2x﹣1｜＝t，那么方程化为t2﹣〔2＋3k〕t＋〔1＋2k〕＝0〔t≠0〕，∵方程｜2x﹣1｜＋﹣〔2＋3k〕＝0有三个不同的实数解，∴由t＝｜2x﹣1｜的图象〔如右图〕知，t2﹣〔2＋3k〕t＋〔1＋2k〕＝0有两个根t1、t2，且0《t1《1《t2或0《t1《1，t2＝1，记φ〔t〕＝t2﹣〔2＋3k〕t＋〔1＋2k〕，那么或∴k》0、…〔10分〕。
广东省广州市2018-2019学年高一数学上学期期末教学质量检测试题
广东省广州市2018-2019学年高一数学上学期期末教学质量检测试题一、选择题 1．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -2．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的面积公式为S πab =，某同学需通过下面的随机模拟实验估计π的值。
过椭圆E:22195x y +=的左右焦点12,F F 分别作与x 轴垂直的直线与椭圆E 交于A,B,C,D 四点，随机在椭圆E 内撒m 粒豆子，设落入矩形ABCD 内的豆子数为n ，则圆周率π的值约为（ ）A ．9nB ．20mC ．9nD ．40m3．命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．存在0x R ∈，都有200x ≥B ．对任意x R ∈，使得20x <C ．存在0x R ∈，使得200x <D ．不存在x R ∈，使得20x <4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 5．若函数32()37f x x x x a =--+的图象与直线21y x =+相切，则a =()A.284或B.284-或C.284-或D.284--或6．的展开式中的第7项是常数,则正整数n 的值为( )A.16B.18C.20D.227．若函数，，且有三个零点，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.8．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f xy e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A.(),1-∞-B.(),2-∞C.()0,1D.()1,29．有4个人同乘一列有10节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为（ ） A.63125B.62125C.63250D.3112510．已知点（x,y）满足曲线方程4{6x y θθ=+=+ （θ为参数），则yx的最小值是（ ）A.2B.32D.111．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。