函数性质与导数(有答案)

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课题21函数性质与导数

一、函数单调性与导数

1．函数的单调性与其导数正负的关系

定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：

f′(x)的正负f(x)的单调性

f′(x)>0单调递增

f′(x)<0单调递减

2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系

一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上

类型一利用导数研究函数的单调性

[例1]已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()

【解析】由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)在(－∞，0)上为增函数；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)在(2，＋∞)上为增函数．观察选项易知D正确．【答案】 D

方法归纳

通过图象研究函数单调性的方法：

(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；

(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．

特别提醒：函数的正负与导数的正负没有关系.

跟踪训练1设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为()

解析：由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区间，故排除B，故选D. 答案：D

类型二利用导数求函数的单调区间

[例2]求下列函数的单调区间．

(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2ln x.

【解析】(1)函数的定义域为R，因为f(x)＝x3－2x2＋x，所以f′(x)＝3x2－4x＋1.

令f′(x)>0，解得x>1或x<

1

3.因此f(x)的单调递增区间是⎝

⎛

⎭

⎫

－∞，

1

3，(1，＋∞)．

令f′(x)<0，解得

1

3

⎛

⎭

⎫

1

3，1.

导数的绝对值函数值变化函数的图象

越大快比较“陡峭”(向上或向下)

越小慢比较“平缓”(向上或向下)

(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2

x ＝2·3x 2－1x

.

令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得x >33；令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，解得0

3

.

所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫33，＋∞，单调递减区间为⎝

⎛⎭⎫0，3

3.

方法归纳

求函数单调区间的步骤

[注意] ①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．

②函数的单调区间之间只能用“和”或“，”隔开，不能用符号“∪”连接.

跟踪训练 2 求下列函数的单调区间：

(1)f (x )＝e x

x －2

； (2)f (x )＝－x 3＋3x 2.

解析：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)

(x －2)2

.

因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0.

由f ′(x )>0，解得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；

由f ′(x )<0，解得x <3，又x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)． (2)函数f (x )的定义域为R.f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．

当00，所以函数f (x )的单调递增区间为(0,2)；当x <0或x >2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞).

二、函数极值与导数

1．求函数y ＝f (x )的极值的方法

解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时，

(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值． (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．

类型一 求函数的极值点和极值

[例1] 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x x 2＋1

－2； (2)f (x )＝x 2e －

x .

【解析】 (1)函数f (x )的定义域为R.f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)

(x 2＋1)2

.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：

由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1.

(2)函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －

x . 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：