与角平分线有关的基本模型 ppt课件
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角平分线的性质教学课件
三角形中的角平分线与相对边 成比例，这是三角形中一个重 要的性质。
利用这个性质，可以解决与三 角形相关的问题，例如求边长 、角度等。
此外，三角形中的角平分线还 是三角形内切圆和外接圆的半 径的角平分线。
在日常生活中的应用
角平分线在日常生活中也有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造等领域。
在建筑设计方面，可以利用角平分线来设计建筑物的外观和结构，使其更加美观和 稳固。
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角平分线的性质教学课件
• 角平分线的定义 • 角平分线的性质定理 • 角平分线的应用 • 角平分线的相关定理 • 习题与解答
01
角平分线的定义
什么是角平分线
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角分为两个相等的部分的 一条射线。
02
角平分线将相对边分为两等份， 形成的两个小角相等。
角平分线的作法
通过角的顶点，作一条射线，使得该 射线和角的两边相交形成的两个小角 相等。
使用量角器或三角板等工具辅助作图 。
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边距离 相等。
角平分线将相对边分为两等份。
角平分线上的任意一点到角的两 边的距离之和等于从角的顶点到
该点的距离。
02
角平分线的性质定理
定理内容
01
02
答案： $AB = AC$
解析：由于$AD$是$angle BAC$的角平分线，且$BD = CD$，根据等 腰三角形的性质，我们可以得出$triangle ABD cong triangle ACD$（ SAS），所以$AB = AC$。
习题答案与解析
01
答案与解析3：
02
答案： AC是$angle BCD$的角平分线。
角平分线ppt课件
5．如图，△ABC的两外角的平分线CF，BF相交于点F， 连结AF，则下列结论正确的是( B ) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
6．如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供 大家休息，要求凉亭到草坪三条边的距离都相等，则 凉亭的位置应选在( D ) A．△ABC三条中线的交点 B．△ABC三条高所在直线的交点 C．△ABC三条边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
【答案】120°
9．【中考·大庆】如图，∠B＝∠C＝90°，点M是BC的 中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则 ∠MAB＝( B ) A．30° B．35° C．45° D．60°
10．【2020·鄂州】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC ＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°.连结AC，BD交 于点M，连结OM.下列结论： ①∠AMB＝36°；②AC＝BD； ③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD. 其中正确的结论有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.即∠AOC＝∠BOD.
∴△AOC≌△BOD.∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故②正确． 在△AOC 和△BOD 中，O∠AA＝OOC＝B，∠BOD，
OC＝OD， 如图，设AM与OB交于点E，
∵∠AEO＝∠BEM，∴∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB.
13．如图，AE∥CF，AG，CG分别平分∠EAC和∠FCA， 过点G的直线BD⊥AE，交AE于点B，交CF于点D. 求证：AB＋CD＝AC.
证明：如图，过点G作GH⊥AC于点H. ∵AE∥CF，BD⊥AE，交CF于点D，∴GD⊥CF. ∵AG平分∠EAC，∴BG＝HG. 在 Rt△AGH 和 Rt△AGB 中，AHGG＝＝ABGG，， ∴Rt△AGH≌Rt△AGB(H.L.)， ∴AH＝AB.同理可得CD＝CH，∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
《角平分线的性质》课件
角平分线的应用
• 利用角平分线可以求解未知角度，解决几何问题。 • 通过实例演示角平分线的应用，帮助加深理解。
思考题
• 给定一个三角形，如何构造它的角平分线？ • 如果角平分线上的点不在三角形内怎么办？ • 如果角平分线所分割的边不是三角形的边怎么办？
结语
• 角平分线是几何学中重要的概念，有着广泛的应用。 • 总结角平分线的性质和应用，强调其重要性。 • 提供参考资料，供进一步学习和探索。
《角平分线的性质》PPT 课件
这是一份关于角平分线性质的PPT课件，让我们一起探索角平分线的定义、性 质、应用和相关问题。
什么是角平分线
• 角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。 • 作图方法有使用直尺和指南针、使用角度量具等。
角平分线的性质
• 角平分线定义了角的特殊性质，具有重要的几ห้องสมุดไป่ตู้意义。 • 角平分线和角相似，具有相等比例关系。 • 角平分线具有平行、垂直等重要性质。
8.1.1 第2课时 三角形的中线、角平分线和高 课件(共19张PPT).ppt
形的三条角平分线，并观察它们的交点有什么规律？
A
A
F
B
F
O E
D
C
B
O
D
A
E
F
C
B
画图发现
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.
O
D
E
C
合作探究
A
三角形的高
0
5
1
知识点3
3
0
8
10
0
1
2
3
4
5
垂足
D
9
B
定义
7
1
6
2
5
怎样画三角形的高？
垂直
符号
4
问题2
3
什么是三角形的高？
4
2
问题1
C
如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=
A
B
D
BC=5cm.
∴S△ABE=
BE∙AD= ×5×4.8=12(cm2).
E
C
典例精析
（2） ∵AE是△ABC的中线，
A
∴BE=CE.
∴△ACE和△ABE的周长的差
（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)
B
D
E
C
=AC+AE+CE-AB-AE-BE
高的画法
我们就称AD是△ABC的角平分线．三角形的角平分线与角的角平
分线相同吗？为什么？
A
(
答：相同点是：∠BAD= ∠CAD;
不同点是：前者是线段，后者是射线.
A
A
F
B
F
O E
D
C
B
O
D
A
E
F
C
B
画图发现
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.
O
D
E
C
合作探究
A
三角形的高
0
5
1
知识点3
3
0
8
10
0
1
2
3
4
5
垂足
D
9
B
定义
7
1
6
2
5
怎样画三角形的高？
垂直
符号
4
问题2
3
什么是三角形的高？
4
2
问题1
C
如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足
∵AE是△ABC的中线，
∴BE=
A
B
D
BC=5cm.
∴S△ABE=
BE∙AD= ×5×4.8=12(cm2).
E
C
典例精析
（2） ∵AE是△ABC的中线，
A
∴BE=CE.
∴△ACE和△ABE的周长的差
（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)
B
D
E
C
=AC+AE+CE-AB-AE-BE
高的画法
我们就称AD是△ABC的角平分线．三角形的角平分线与角的角平
分线相同吗？为什么？
A
(
答：相同点是：∠BAD= ∠CAD;
不同点是：前者是线段，后者是射线.
1.1(2)三角形的角平分线、中线、高线课件
A E B C
从三角形的一个顶点向它的对边 所在的直线作垂线，顶点和垂足 之间示，AD⊥BC于点D， AD就是△ABC的BC边上的高．
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
∵ AD ⊥ BC ∴ AD是△ ABC的BC边上的高
B
D
C ∵ AD是△ ABC的BC边上的高 ∴ AD ⊥ BC
一个三角形 有几条高？
（1）∠BAE
（2）∠AEB
C E A B
三角形的中线
在三角形中，连结一个顶点与它对 边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
A
∵ AD是△ ABC的 中线 1 BD = CD = BC 2
B
D
C
三角形的三条中线的性质
三角形的三条中线交于三角形内一点.
2:如图，在△ABC中, BE是边AC上的中线, 已知AB=4cm,AC=3cm,BE=5cm。求△ABE 的周长.
1.1(2) 三角形的 角平分线、中线和高线
角平分线:
是指从一个角的顶点引出的一条射线， 把这个角分成两个相等的角。
B
∵OC是∠AOB的角平分线
1 ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB 2
三角形的角平分线:
C O A
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段 A ∵AD是 △ ABC的 角平分线 B 1 D 2 C
用三角尺分别作图1- 13中锐角三角形ABC,直角三 角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高.
A D P
B
C E
图1- 13
F
Q
R
锐角三角形的三条高都在三角形内部，且三 条高交于一点
用三角尺分别作图1- 13中锐角三角形ABC,直角三 角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高.
从三角形的一个顶点向它的对边 所在的直线作垂线，顶点和垂足 之间示，AD⊥BC于点D， AD就是△ABC的BC边上的高．
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
∵ AD ⊥ BC ∴ AD是△ ABC的BC边上的高
B
D
C ∵ AD是△ ABC的BC边上的高 ∴ AD ⊥ BC
一个三角形 有几条高？
（1）∠BAE
（2）∠AEB
C E A B
三角形的中线
在三角形中，连结一个顶点与它对 边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
A
∵ AD是△ ABC的 中线 1 BD = CD = BC 2
B
D
C
三角形的三条中线的性质
三角形的三条中线交于三角形内一点.
2:如图，在△ABC中, BE是边AC上的中线, 已知AB=4cm,AC=3cm,BE=5cm。求△ABE 的周长.
1.1(2) 三角形的 角平分线、中线和高线
角平分线:
是指从一个角的顶点引出的一条射线， 把这个角分成两个相等的角。
B
∵OC是∠AOB的角平分线
1 ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB 2
三角形的角平分线:
C O A
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段 A ∵AD是 △ ABC的 角平分线 B 1 D 2 C
用三角尺分别作图1- 13中锐角三角形ABC,直角三 角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高.
A D P
B
C E
图1- 13
F
Q
R
锐角三角形的三条高都在三角形内部，且三 条高交于一点
用三角尺分别作图1- 13中锐角三角形ABC,直角三 角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高.
角平分线的性质ppt课件
这个角的平分线上吗？A l1 M
P
l2
O
NB
如果将∠AOB沿直线OP对折.你发现∠AOP与∠BOP重合
吗？由此你能得到什么结论？
归纳：角平分线的性质2
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
几何语言：
B
M
∵ PM⊥AB, PN⊥AC且PM=PN
∴AP是∠ BAC的平分线
P
特别强调
A
NC
（1）应用判定应具备的条件 （2）性质的作用
等，你能确定中转站的位置吗？
任 务 一 探究角的轴对称性
在卡纸上把∠ AOB沿经过点O的某条直线对折，使角的两 边OA与OB重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为OC 你发现 ∠ AOB是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是哪条直线？
A
O·
C
B
〖结论〗角是轴对称图形， 角的平分线所在的直线 是它 的对称轴。
①点P在∠BAC的内部 ②PM⊥AB PN⊥AC ③ PM=PN
判断点是否在角平分线上
测试二
如图，P是∠AOB 内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别
为点 E，F，且PE =PF . Q是OP 上的任意一点，QM⊥OA，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
QN⊥OB，垂足分别为点 M 和N . QM与QN相等吗？为什么？ A
M
∠AMP= ∠ANP
∠1= ∠2
AP=AP ∴ △ AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN
归纳：角平分线的性质1
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
B
几何语言：
∵AD是∠ BAC的平分线，
M
1
2
P
D
PM⊥AB, PN⊥AC（已知）
P
l2
O
NB
如果将∠AOB沿直线OP对折.你发现∠AOP与∠BOP重合
吗？由此你能得到什么结论？
归纳：角平分线的性质2
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
几何语言：
B
M
∵ PM⊥AB, PN⊥AC且PM=PN
∴AP是∠ BAC的平分线
P
特别强调
A
NC
（1）应用判定应具备的条件 （2）性质的作用
等，你能确定中转站的位置吗？
任 务 一 探究角的轴对称性
在卡纸上把∠ AOB沿经过点O的某条直线对折，使角的两 边OA与OB重合，然后把纸展开后铺平，记折痕为OC 你发现 ∠ AOB是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是哪条直线？
A
O·
C
B
〖结论〗角是轴对称图形， 角的平分线所在的直线 是它 的对称轴。
①点P在∠BAC的内部 ②PM⊥AB PN⊥AC ③ PM=PN
判断点是否在角平分线上
测试二
如图，P是∠AOB 内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别
为点 E，F，且PE =PF . Q是OP 上的任意一点，QM⊥OA，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
QN⊥OB，垂足分别为点 M 和N . QM与QN相等吗？为什么？ A
M
∠AMP= ∠ANP
∠1= ∠2
AP=AP ∴ △ AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN
归纳：角平分线的性质1
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
B
几何语言：
∵AD是∠ BAC的平分线，
M
1
2
P
D
PM⊥AB, PN⊥AC（已知）
九年级中考专题复习微专题5 角平分线模型课件人教版
第6章
微专题5
角平分线模型
1.角平分线上的点向两边作垂线
如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点
A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.
【模型分析】利用角平分线的性质:角平分线上的点到角
两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等
创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口.
,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,交BD的延长线于
E. 求证:BD=2CE.
【解析】如图,延长CE,BA交于点F.
∵CE⊥BD交BD的延长线于E, ∠BAC=90°,
∴∠BAD=∠CED.
∴∠ABD=∠ACF.
又AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°,
∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.
50°.
2.截取构造对称全等
如图,P是∠MON的平分线上的一点,点A是射线OM上任意
一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则△OPB≌△OPA.
【模型分析】利用角平分线图形的对称性,在角的两边构
造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等,利用对称
性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧.
如图,P是∠MON的平分线上一点,AP⊥OP于点P,延长AP交
ON于点B,则△AOB是等腰三角形.
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合
一”,得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相
等.这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来.
例5 如图,已知等腰直角三角形ABC中
∵AD 为∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠CAD.
∵AE=AE,∴∠AEB=∠AEF=90°,
∴△AEB≌△AEF.∴AB=AF, BE=EF,
微专题5
角平分线模型
1.角平分线上的点向两边作垂线
如图,P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点
A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.
【模型分析】利用角平分线的性质:角平分线上的点到角
两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等
创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口.
,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD,交BD的延长线于
E. 求证:BD=2CE.
【解析】如图,延长CE,BA交于点F.
∵CE⊥BD交BD的延长线于E, ∠BAC=90°,
∴∠BAD=∠CED.
∴∠ABD=∠ACF.
又AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°,
∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.
50°.
2.截取构造对称全等
如图,P是∠MON的平分线上的一点,点A是射线OM上任意
一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则△OPB≌△OPA.
【模型分析】利用角平分线图形的对称性,在角的两边构
造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等,利用对称
性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧.
如图,P是∠MON的平分线上一点,AP⊥OP于点P,延长AP交
ON于点B,则△AOB是等腰三角形.
【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合
一”,得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相
等.这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来.
例5 如图,已知等腰直角三角形ABC中
∵AD 为∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠CAD.
∵AE=AE,∴∠AEB=∠AEF=90°,
∴△AEB≌△AEF.∴AB=AF, BE=EF,
角平分线的判定课件
判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上．
符号语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD = PE， ∴点 P 在∠AOB的平分线上 （OP 平分 ∠AOB）
双垂等距推角分
留一个思考问题：为什么会有“角的内 部”这个前提？没有的话会怎样？
思考 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公
证明：过P作PM⊥AC于M， PN⊥BC于N，PQ⊥AB于Q.
∵CE为∠MCN的平分线， ∴PM = PN，
同理PN = PQ， ∴点P到三边AB，BC，CA 的距离相等.
M Q
巩固提高
1. 如图所示，表示三条相互交叉的公路， 现要建一个货物中转站，要求它到三条公路 的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
定理应用
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相 交于点 P．求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的 距离相等．
证明：过P 点作 PD，PE， PF分别垂直于 AB，BC，CA，垂 足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC的角平分线， 点P 在BM 上，
∴PD = PE . 同理 PE = PF . ∴ PD = PE = PF . 即点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等．
分析：全等推角等
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP PD= PE ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP ∴点P在∠AOB的平分线上.
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
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12．感知：如图 1，AD 平分∠BAC.∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易 知：DB＝DC.
探究：如图 2，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°， 求证：DB＝DC.
图1
图2
1．(2019·大庆)如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外
角∠ACM 的平分线，BE 与 CE 相交于点 E.若∠A＝60°，则∠BEC＝( B )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
2．(2018·黄石)如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE，BF 分
解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角 平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两 端取相等的线段(截长或补短)构造全等三角形．
8．(2019·陕西)如图，在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E.若 DE＝1，则 BC 的长为(A )
图3 如图 3，在△ABC 中，BC>BA，BO 是∠ABC 的平分线．
③采用截长补短法构造全等三角形 如图 3，在△ABC 中，BC>BA，BO 是∠ABC 的平分线．
(截长法)在BC上取线段BE＝BA，连接OE， 则△BEO≌△BAO；
( 补 短 法 ) 延 长 BA 至 点 D ， 使 BD ＝ BC ， 连 接 OD，则△BDO≌△BCO.
解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内 角的一半．
模型3 两外角平分线的夹角 ∠如A之图间，的在关△系AB为C：中∠，OBO＝，90C°－O是12∠△AA．BC的外角平分线，则∠O与
解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的 一半的差．
模型 4 内角平分线和高线的夹角 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线(AE 可能在 AD 的左侧或右侧)，则∠EAD＝ 12|∠B－∠C| ．
的长为( B)
A．4
B．6
C．4 3
D．8
7．(2019·安顺节选)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AF 与 DC 的延长线交于点 F，点 E 是 BC 的中点．若 AE 是∠BAF 的平分线，试探 究 AB，AF，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．
②过角平分线上任意一点作角平分线的垂线 如图 2，BO 是∠ABC 的平分线，EF⊥BO，则△BEO≌△BFO. ③采用截长补短法构造全等三角形
别是∠BAC，∠ABC 的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋
∠ACD＝(A ) A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
4．如图，在△ABC 中，∠A＝α，△ABC 的两外角平分线交于点 D1，
∠CBD1 的平分线与∠BCD1 的平分线交于点 D2，∠CBD2 的平分线与 ∠BCD2 的平分线交于点 D3，则∠D3＝ 157.5°－81α (用含 α 的代数式表示)．
与角平分线有关的基本模型
一、三角形中角平分线的夹角问题
模型 1 两内角平分线的夹角
如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE，CF 相交于点 G，
则∠BGC 与∠A 之间的关系为： ∠BGC线的夹角等于90°与第三个内角的一 半的和．
模型 2 一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与 CP 相交于点 P，则∠P 与∠A 之间的关系为： ∠P＝12∠A．
A．2＋ 2 B. 2＋ 3 C．2＋ 3 D．3
9．(2019·永州)已知∠AOB＝60°，OC 是∠AOB 的平分线，点 D 为 OC 上一点，过 D 作直线 DE⊥OA，垂足为 E，且直线 DE 交 OB 于点 F，如图 所示．若 DE＝2，则 DF＝ 4 ．
10．(2019·威海改编)如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC，过点 C 作 CE⊥BC，交 AD 于点 E，且 EC 平分∠BED.连接 BE.若 AB＝6，则 CD＝ 3．
5．(2019·陕西)如图，OC 是∠AOB 的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则
∠2 的度数为( C) A．52°
B．54°
C．64°
D．69°
6．(2018·淄博)如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，
过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC.若 AN＝1，则 BC