高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案
第七章 线性变换与相似矩阵 习题7.1 习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有
， 。 （3）在中， （Ⅰ）， 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ），其中是中的固定数； 解：是的线性变换：设，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有，，即。 （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明 （表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；， ，；，，，即，故。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 因为， ，所以。 习题7.1.3在中，，，证明。 证明：在中任取一多项式，有
。所以。 习题7.1.4设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有 命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对也成立。因有
，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。 习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（1）设都是的逆变换，则有，。进而。即的逆变换唯一。 （2）因，都是上的可逆线性变换，则有 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。 习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但 。证明，，，线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。 有定义知，，，线性无关。 习题7.1.7设是上的线性变换，证明是可逆线性变换的充要条件为既是单射线性变换又是满射线性变换，即是一一变换。 证明：已知是可逆线性变换，即存在。若，则两端用作用即得，因此是单射线性变换。 若任取，则存在，使得，即是满射线性变换。 已知既是单射线性变换又是满射线性变换，即双射。现定义新的变换：，定有，且有，规定，有，同时有，即有。由定义知是可逆线性变换。 习题7.1.8设是上的线性变换，证明（1）是单射线性变换的充要条件为；（2）是单射线性变换的充要条件为把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。 证明：（1）已知是单射线性变换，对，则有，由单射得，即。 已知，若，则有，得，即得，故是单射。 （2）已知是单射线性变换。设线性无关，现证也线性无关。令，整理有，而是单射，有，已知线性无关，所以，故也线性无关。 已知把线性无关的向量组变为线性无关的向量组。若，则有，并一定有。否则若，则说明向量线性无关，而表示把线性无关的向量组变为线性相关的向量组，与条件矛盾。而由可得，即是单射线性变换。 习题7.1.9设是中全体可逆线性变换所成的子集，证明关于线性变换的乘法构成一个群。（超范围略） 习题7.1.10设，是上的线性变换，且证明 （1）若，则； （2）若，则。 证明：（1）因为，。所以 ， 从而或。又因为
。 故。 （2）因为，，所以
。 习题7.1.11设与分别是数域上的维与维线性空间，是的一个有序基，对于中任意个向量，证明存在唯一的线性映射，使，。 证明：先证明存在性。对任意的，有唯一的线性表达式
我们定义 显然有 ，。 现验证为到的一个线性映射。 （1）对任意的向量，因为 ，由定义得
。 （2）对任意的，因为，由定义得 。 所以为到的一个线性映射。 再证唯一性：若另有到的一个线性映射，也使得 ，。 则对任意向量，一定有
。 由在中的任意性，可得。 习题7.1.12设与分别是数域上的维与维线性空间，是线性映射。证明是的子空间，是的子空间。又若有限，证明。这时称为的零度，称为的秩。 证明：（1）先证与分别为与的子空间， 对，，有， 所以，故为的子空间；同理，对， ，则，使，，所以
所以为的子空间. （2）再证 因有限，不妨设，，在中取一个基 ，再把它扩充为的一个基，则 是像空间的一个基. 事实上，对，存在，使得。 设，则有
即中的任意向量都可由线性表示。 现证向量组线性无关： 设 ，有，即 ，所以向量可由向量组线性表示，进而有 ，整理有 ， 又因线性无关，所以必有，因此线性无关，即为的一个基，故 。 习题7.1.13证明关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间。 证明：现证明定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法都是从到的线性映射。 事实上，对，，有
故为到的线性映射。同理，对，，有 ， ， 故为到的线性映射。 另外线性映射的加法与数量乘法显然满足： （1） 结合律：； （2）交换律: ； （3）存在零线性映射，对，有； （4）对，有负线性映射，使得； （5）； （6）； （7）； （8）。其中， 所以关于定义7.1.12中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间。 习题7.1.14证明：。 证明：设为维线性空间，为维线性空间，即，。取定的一组基和的一组基。令为到的如下映射：，其中为在基与基下的矩阵。这样定义的是到的同构映射。 事实上，（1）若，，且，则有，。由于，对每一个都有，故有，即是单射。 （2），令
。 则存在唯一的线性映射使得，并且 由此可见，是满射。 （3）对，，有，，其中即有，，所以
，故有，所以是到的同构映射。进而有 。 习题7.2 习题7.2.1求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵： （1）的线性变换，，其中
为固定矩阵。求，在这个基下的矩阵； （2）设是线性空间的线性变换，求在基
下的矩阵； （3）6个函数：，，，
，， 的所有实系数线性组合构成实数域上一个6维线性空间。求微分变换在基下的矩阵。 解：（1）由，的定义直接可得： ， ， ， 。 所以在这个基下的矩阵为
。 ， ， ， 。 所以在这个基下的矩阵为
。 （2）由直接可得：
， ， ， ………………………
， ………………………
。 所以在基下的矩阵为：
。 （3）由微分运算性质直接可得： ， ， ， ，
， 。 所以微分变换在基下的矩阵为： 。 习题7.2.2设是的一个基，
，，，。 已知线性无关。证明： （1） 存在唯一的线性变换，使，； （2）（1）中的在基下的矩阵为； （3）（1）中的在基下的矩阵为。 证明：（1）因为线性无关，所以也是的一个基。故对的一个基及个向量，定存在唯一的线性变换，使，。 （2） 由已知条件有 ，， 其中与都是的基，所以可逆，且有，进而有。再由（1）得，所以在基下的矩阵为。 （3） 类似有 ，所以在基下的矩阵为。 习题7.2.3在中，定义线性变换为 ，，， 其中 ，，。 （1）求在基下的矩阵； （2）求在基下的矩阵。 解：（1）由定义知
，， 所以有
。 故在基下的矩阵为：。 （2）类似有 。 故在基下的矩阵为：。 习题7.2.4在中，线性变换在基，，下的矩阵是。求在基下的矩阵。 解：已知，， 则有
。 即在基下的矩阵为：。 习题7.2.5设数域上3维线性空间的线性变换在基下的矩阵为
（1）求在基下的矩阵；
（2）求在基下的矩阵； （3）求在基下的矩阵。 解：（1）由已知可得 ， ， 。
所以在基下的矩阵为：。 （2）由已知可得
， ， 。
所以在基下的矩阵为：。 （3）由已知可得
，
《高等代数》第七章 线性变换
线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使
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[高等代数（下）课外习题第七章线性变换]资料[高等代数(下)课外习题第七章线性变换]第七章线性变换一、判断题1、在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ).2、σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,,m ααα线性相关, 那么12(),(),,()m σασασα也线性相关. ( ).3 在向量空间[]n R x 中, 则微商'(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ).4、线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ).5、相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ).6、向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ).7、属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ).8、σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ). 9、设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1()(0).V V σσ-=⊕ （）10、n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．( )11、.最小多项式是特征多项式的因式. （） 12、相似的矩阵有相同的特征多项式（） 13、设nn PA ?∈，A 的特征多项式有n 个单根，则存在可逆矩阵nn PT ?∈，使AT T 1-具有对角形。
（）14、若A 是数域P 上n 维线性空间的线性变换，A 的特征值为r λλλ,,,21 ，则A 可对角化?特征子空间的维数之和等于n 。
（）15、 A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，则V V =A +A -)0(1。
（F ）二、填空题1、在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是111213212223313233a a a A a a a a a a ??= ? ???那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵是_____________.2、在3F 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+, 那么σ关于基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵是________________. 3、0()0I A X λ-=的___________都是A 的属于0λ的特征向量.4、设V 是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根是12,,,t λλλ,则σ可对角化的充要条件是_____________.5、矩阵327024005??的特征根是______________.6、复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于________ ，而全体特征值的积等于_______ .7、数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为_______维线性空间，它与________同构. 8、设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为________ . 9、设=2231A ，则向量?11是A 的属于特征值的特征向量． 10、若--=100001011A 与????? ??--1010101k k B 相似，则k = ．11、n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为．12、设A 是有限维空间V 的线性变换，f (λ)是A 的特征多项式，那么f (A)=________13、已知三阶实对称矩阵A 的特征值为1，2-，3，则1-A 的特征值为。
高等代数第7章线性变换[1]
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A
a21
a22
a
2
n
an1
an2
a
nn
为线性变换A在基e1, e2, …, en下的矩阵.
采用矩阵形式记号，可写成
[ Ae1, Ae2, …, Aen]
a11 a12 a1n
= [e1, e2, …, en ]
a
2
1
a 22
a
2
nபைடு நூலகம்
a
n
1
an2
a
n
n
= [e1, e2, …, en ]A
= ai
唯一性 设有两个线性变换A与B，使
Ae1=Be1, Ae2=Be2, …, Aen=Ben，
则对V中任一向量
a=k1e1+k2e2++knen, Aa = k1Ae1+k2Ae2++knAen,
= k1a1+k2a2++knan Ba = k1Be1+k2Be2++knBen,
= k1a1+k2a2++knan
设 f (x)=amxm+am-1xm-1+…+a0
是P[x]中一多项式, A是V的线性变换, 定义
f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a0E f(A)是线性变换,称为线性变换A的多项式
若在P[x]中 h(x)=f(x)+g(x)， p(x)=f(x)g(x)，
则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地，
三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得
第七章 线性变换
第七章 线性变换 测试题一、单项选择题7.71.对于数域P 上线性空间V 的任意数乘变换K 来说,下列选项正确的是（ ）.A.只有一个不变子空间B.不存在不变子空间C.每个子空间都是K 的不变子空间D.无法判断是否存在不变子空间 2.设σ是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，下列选项不是-σ子空间的是( ).A.线性空间V 的任意子空间B.线性变换σ的核1(0)σ-C.线性变换σ的值域V σD.线性空间V 和零空间{}0 3.设στ，是数域P 上线性空间V 的线性变换，若=σττσ，则下列选项不是-σ子空间的是( ).A.线性变换τ的核1(0)τ-B.线性变换σ的值域V σ与核1(0)σ-C.线性变换τ的值域V τD.线性空间V 任意子空间二、填空题7.11.在3P 中的线性变换),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=σ, 则=-)1,2,1(σ__________.7.22.线性空间2R 的两个线性变换τσ,为),(),(),,(),(2212112121x x x x x x x x x x -=-=τσ则=-),)((212x x σστ .7.33.83)(2++=x x x f 在基4)(,3)(,2)(2321++=+==x x x f x x f x f 下的坐标是 .4.若线性变换σ关于基21,αα的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，则σ关于基21,2αα的矩阵为 . 7.45.设A 为3阶方阵,其特征值为2,1,-2,则A = .6.设A 为3阶方阵,其特征值为2,1,-2,则22A A -= . 三、证明题7.11.在n n P ⨯中，n n X P ⨯∀∈，有()X BXC σ=，其中,n n B C P ⨯∈是两个固定的矩阵.证明σ是n n P ⨯的一个线性变换.2.在[]P x 中，[]()f x P x ∀∈，有()()()f x f x σ'=，其中()f x '是()f x 微商.证明σ是数域P上线性空间[]P x 的一个线性变换.3.在线性空间3P 中，3P α∀∈，有()),,2(),,(3321321x x x x x x x +==ασα，，证明σ是3P 的一个线性变换.五、综合题7.4和7.51.已知0λ=是矩阵322143A k k k -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值.(1)求矩阵A 的行列式和k 的值；(2)判断矩阵A 能否对角化，并说明理由.2.已知111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是矩阵2125312A a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的一个特征向量. （1）求参数,a b 以及特征向量α所确定的特征值；（2）判断矩阵A 能否相似于对角矩阵，并说明理由.3.已知矩阵122212221A-⎛⎫⎪=--⎪⎪--⎝⎭，（1）求矩阵A的特征值；（2）利用A的特征值求方阵1E A-+的特征值.。
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第 7 章线性变换7.1 知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别1. 线性变换的定义数域P 上的线性空间 V 的一个变换称为线性变换， 如果对 V中任意的元素,和数域 P 中的任意数k ，都有：，kk。
注： V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2. 线性变换的判别设为数域 P 上线性空间 V 的一个变换，那么：为 V 的线性变换k l k l , , V , k,l P3. 线性变换的性质设 V 是数域 P 上的线性空间，为 V 的线性变换，1 ,2 ,, s ,V 。
性质 1.0 0,;性质 2. 若 1 , 2 , , s 线性相关，那么1,2 ,,s也线性相关。
性质 3. 设线性变换为单射，如果 1 , 2 ,, s 线性无关， 那么1 ,2,,s也线性无关。
注： 设 V 是数域 P 上的线性空间，1,2 ,, m，1,2,, s 是 V 中的两个向量组，如果：1 c111c122 c1ss2c211c222c2ssmcm1 1cm22cms s记：c11c21cm11, 2 ,, m1, 2 ,c12c22 cm2, sc1sc2scms于是，若 dim Vn ， 1, 2 , ,n 是 V 的一组基， 是 V 的线性变换， 1 , 2 , , m 是V 中任意一组向量，如果：1 b111b12 2b1n n2b 21 1 b 22 2 b 2 n nmbm11bm22bmnn记：1 ,2 ,, m1 ,2 m那么：b11b21cm11, 2 ,, m1, 2 ,b12 b22 cm2, nb1nb2ncmnb11b21cm1设 Bb 12b 22c m2， 1 ,2 ,,m 是矩阵B 的列向量组，如果i , i ,, i 是12rb1n b2n cmn1 , 2,, m 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 ， 那 么i 1 ,i 2 i r就 是1,2m 的一个极大线性无关组，因此向量组1,2m的秩等于秩B 。
东北大学线性代数_第七章课后习题详解线性空间与线性变换
教学基本要求：1.了解线性空间、线性子空间、基、维数、坐标等概念.2.了解基变换和坐标变换，会求过渡矩阵.3.了解线性变换的概念，了解线性变换的矩阵.4.了解内积、欧几里得空间的概念.5.了解规范正交基，会用施密特(Schmidt)正交化法把欧几里得空间中的线性无关向量组规范正交化.第七章线性空间与线性变换(P151)线性空间的理论具有高度的概括性和广泛的应用性，是线性代数的中心内容之一.本章将把在第四章中介绍的R n中的有关概念推广，给出更具一般性的线性空间定义，并讨论线性空间中的“极大线性无关组”与“秩”，介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵.一、线性空间的概念及其性质空间是集合，线性空间则是存在“封闭的”线性运算、符合“八条”的集合.线性空间的线性运算与数域密切相关.1. 数域数域K K是一个数集，且(1)0,1∈K；(2) K关于“+,-,×,÷运算”封闭.大家熟知的数域：有理数域Q，实数域R，复数域C.不熟悉的数域：Q(√2)={a+b√2|a,b∈Q}是数域.任意数域都包含有理数域.数域无穷多.2. 线性空间的定义和例子(P152)数域K上的线性空间V K若在非空集合V和数域K上定义了加法“⊕”和数乘法“⊗”两种线性运算：对∀α,β,γ∈V,∀k,l∈K，有唯一的α⊕β∈V和唯一的k⊗α∈V(即运算封闭)，且满足以下八条规律：“⊕”满足交换律α⊕β=β⊕α,∀α,β∈V；“⊕”满足结合律(α⊕β)⊕γ=α⊕(β⊕γ),∀α,β,γ∈V；“⊗”满足分配律k⊗(α⊕β)=(k⊗α)⊕(k⊗β),(k+l)⊗α=(k⊗α)⊕(l⊗α), (kl)⊗α=k⊗(l⊗α),∀α,β∈V,∀k,l∈K；V中有零元素“ο”α⊕ο=α,∀α∈V；每个元素有负元素∀α∈V,∃β∈V,∂α⊕β=ο，并记β=-α；“1⊗V ”的不变性1⊗α=α,∀α∈V ， 则称V 是数域K 上的一个线性空间，记作V K .线性空间也称为向量空间，其中的元素(不论其含义如何)也称为向量. P 151第四章提到的向量空间R n 、齐次线性方程组的解空间V 和L(α1,α2,…,αm )都是线性空间.大家应该知悉的线性空间：1. 矩阵集合R m×n ={(a ij )m×n |a ij ∈R}关于通常的矩阵加法和数与向量的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.1 P 152)2. 次数小于n 的所有一元多项式的集合{}n 1in i01n 1i 0R[x]a xa ,a ,,a R --==∈∑关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.2 P 152)3. 一元多项式的集合{}ii i i 0R[x]a x a R +∞==∀∈∑关于通常的函数加法和数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. P 1524. 区间[a,b]上所有连续函数的集合C[a,b]关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.3 P 152)5. 区间[a,b]上具有一阶连续导数的函数的集合C 1[a,b]关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间.6. 数域R 按照数的加法和乘法构成数域R 上的线性空间R n . (例7.4 P 152)大家不熟悉的线性空间：7.正实数集合R +={a|a ∈R 且a>0}是数域R 上的线性空间.这里加法“⊕”和数量乘法“⊗”分别定义为：a ⊕b=ab,k ⊗a=a k ,∀a,b ∈R +,∀k ∈R . (例7.5 P 153)两种运算的封闭性易见，“⊕”的交换律、结合律，“⊗”的分配律易验证. R +有零元素1，每个元素a 有负元素a -1，“1⊗R +”具有不变性：1⊗a=a.3. 线性空间的基本性质(P 153)性质1线性空间中的零向量是唯一的.性质2线性空间中的每一个向量的负向量是唯一的. 性质3 0⊗α=ο, (-1)⊗α=-α,∀α∈V ；k ⊗ο=ο,∀k ∈K . 性质4 若k ⊗α=ο，则k =0或α=ο.* 定义和性质的直接意义：若某个集合不符合定义或性质中的任何一条，则它必不是线性空间.哪些集合不是线性空间？1. 数域R上的所有一元二次多项式的集合2ii0122i0V a x a,a,a R a0==∈≠⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑且不是线性空间.因为V没有零元素.因为V关于函数的加法运算与数乘法运算均不封闭.2. n元非齐次线性方程组的解集合U={x|A x=β}(A∈R m×n)不是线性空间.因为U没有零元素.因为U没有负元素.因为U关于向量的加法运算与数乘法运算均不封闭.3. n阶实可逆矩阵的集合U={(a ij)n×n|a ij∈R且|(a ij)n×n|≠0}不是线性空间.因为U没有零元素.因为U关于矩阵的加法运算与数乘法运算均不封闭.4. 线性子空间(P154)线性空间V的子空间U若(1)U是V的非空子集；(2)U有与V相同的加法运算和数乘法运算；(3) U是线性空间，则称U是V的一个线性子空间，简称子空间. (定义7.2 P154)线性空间V的两个特殊的子空间：零子空间——只由V中零元素构成的子空间；全空间——V自身.零子空间和全空间称为V的平凡子空间，其他的叫V的非平凡子空间. P154定理7.1设U是线性空间V的非空子集，则U是V的子空间的充分必要条件是U对于V的加法和数乘运算是封闭的. (定理7.1 P154)例如，R n×n中的全体对称矩阵(反对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵)构成R n×n的一个子空间，但n阶可逆矩阵(或不可逆矩阵)的集合不是R n×n的子空间.(例7.6 P154)R[x]n是R[x]m(m≥n)的子空间，R[x]m是R[x]的子空间. P155在区间[a,b]上的函数集合C1[a,b]是C[a,b]的子空间. P155这里直接指出：在第三章中讨论n元数组时用到的线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组和秩等概念都可以推广到线性空间中，由这些定义出发所得到的结论在线性空间中也都成立.设α1,α2,…,αs∈V K是线性空间V K的一组向量，那么集合L(α1,α2,…,αs)={k1α1+k2α2+…+k sαs|k1,k2,…,k s∈K}是线性空间V K的一个子空间，称为由α1,α2,…,αs生成的子空间. P155二、基维数坐标这里直接指出：在第三章中讨论n元数组时用到的线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组和秩等概念都可以推广到线性空间中，由这些定义出发所得到的结论在线性空间中也都成立.线性空间要么只有零向量，要么有无穷多个向量.有无穷多个向量的线性空间有“极大线性无关组”、“秩”、“坐标”等概念.1. 基维数线性空间的基、维数、坐标的含义如下：基线性空间的“极大线性无关组”. (定义7.3 P155)维数线性空间的“极大线性无关组”中的向量个数. (定义7.3 P155)规定：仅含零向量的线性空间维数为0.如果线性空间有任意多个线性无关的向量，则称为无限维线性空间，维数为+∞. P155例如，R[x],C[a,b]都是无限维的线性空间.n 维数线性空间记为V n .以下仅讨论有限维的线性空间.例如，n 元齐次线性方程组A x =ο的基础解系是其解空间V={x |A x =ο}的基，维数为n-R(A).1,x,x 2,…,x n-1、1,1+x,1+x+x 2,…,1+x+…+x n-1和1,x-1,(x-1)2,…,(x-1)n-1等都是线性空间R[x]n 的基，R[x]n 的维数为n . (例7.7 P 155)100010001000000,,,,,000000000100010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭000001⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性空间R 2×3的一组基，100110,,000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111111111,,,000100110111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是R 2×3的另一组基， R 2×3的维数为6. (例7.8 P 156)一般地，R m×n 是m×n 维线性空间.向量组α1,α2,…,αs 的一个“极大线性无关组”是生成空间L(α1,α2,…,αs )的一组基，R(α1,α2,…,αs )是该生成空间的维数.关于基、维数有以下结论：定理7.2设V n 是n 维线性空间，如果V n 中的向量组α1,α2,…,αm 线性无关，那么在V n 中必有n-m 个向量αm+1,αm+2,…,αn ，使得α1,α2,…,αm ,αm+1,αm+2,…,αn 是V n 的一组基. (定理7.2 P 156)定理7.2既说明基的存在性，同时给出得到基的一种方法.推论1 含有非零向量的线性空间存在基. (倒数第12行 P 156) 推论2 非空的欧氏空间存在规范正交基. (正数第11行 P 167)推论3 如果线性空间U 是线性空间V 的子空间，那么R(U)≤R(V).且若R(U)=R(V)，则必有U=V. (推论 P 156)2.坐标坐标 向量由基线性表示的一组有序数. (定义7.4 P 156)同一个向量会随基的不同而有不同的坐标.例如，1,x,x 2是线性空间R[x]3的一组基，f(x)=-5x 2+3x-2在基1,x,x 2下的坐标为(-2,3,-5)T .而g(x)=2(x+1)2-3(x-4)-2=2x 2+x+12在基1,x,x 2下的坐标是(12,1,2)T ，在另一个基1,x-4,(x+1)2下的坐标则是(-2,-3,2)T . P 157向量111111⎛⎫⎪⎝⎭在R 2×3中基100020,,000000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭001000000,,,000400020⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭0000010⎛⎫ ⎪⎝⎭下的坐标为(-1,1/2,1,1/4,-1/2,1/10)T ，即11110002000111110000000002000000000111 .40002000104210-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭如果向量ξ在基α1,α2,…,αn 下的坐标为(x 1,x 2,…,x n )T ，仿照矩阵乘法，可以“形式地”记为1212n n x x (,,,)x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξααα.3.线性空间的同构(P 157)坐标的引入，使得n 维抽象空间V n 中的元素与n 元有序数组(即通常意义上的向量)一一对应起来，且元素之间的线性运算也保持对应，这称为同构现象.线性空间U 与V 同构线性空间U 与V 的元素之间存在一一对应关系，且元素之间的线性运算也保持对应. (定义7.5 P 157)设U(11,⊕⊗)与V(22,⊕⊗)同构，且α1,α2∈U, β1,β2∈V,k ∈R ，则11221112221122, k k ↔↔⊕↔⊕⊗↔⊗αβαβαβαβαα线性空间的同构关系具有反身性、对称性、传递性. P 157可见，同一数域上的同维线性空间都同构. 同构的线性空间有相同的线性运算性质. P 158例如，R 2×3与R 6同构，有111211121313212223212223a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 111112121111121213131313212122222323212122222323111211121313212223212223a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎝⎭，.⎪⎪由此可见，R 2×3中向量的线性相关性与在R 6中所对应的向量的线性相关性一致，R 2×3的基与R 6的基对应.三、基变换和坐标变换如果线性空间有非零向量，那么它就有无穷多元素，从而有不同的基，一个元素也会有不同的坐标，由此就有了以下概念.1.基变换(P 158)设α1,α2,…,αn 和β1,β2,…,βn 是线性空间V n 的两组基.基变换基之间的“线性表示”.即(β1,β2,…,βn )=(α1,α2,…,αn )C ， P 144该式称为基变换公式.过渡矩阵构成基变换的矩阵.上式中的C 称为由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定义7.6 P 159)过渡矩阵是可逆矩阵，因为n=R(β1,β2,…,βn )≤min{R(α1,α2,…,αn ),R(C)}=R(C)≤n.例7.1(例7.9 P 159) 在线性空间R[x]3中，由基1,x,x 2到基1,1+2x,1+2x+3x 2的过渡为(1,1+2x,1+2x+3x 2)=(1,x,x 2)111022003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 111022003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即是由基1,x,x 2到基1,1+2x,1+2x+3x 2的过渡矩阵.例7.2 在线性空间R 2×2中，由基11121001E =,E ,0000=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21220000E ,E 1001==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基121011B ,B ,0000==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341111B ,B 1011==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的过渡为 (B 1,B 2,B 3,B 4)=(E 11,E 12,E 21,E 22)1111011100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，1111011100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭即是由基E 11,E 12,E 21,E 22到基B 1,B 2,B 3,B 4的过渡矩阵.2.坐标变换(P 159)坐标变换同一个向量在两组基下的坐标之间的变换.定理7.3 如果向量ξ在基α1,α2,…,αn 与基β1,β2,…,βn 下的坐标分别为x 和y ，那么x =C y ，其中C 是由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定理7.3 P 159)证 12n 12n 1212n(,,,)(,,,)Cn 1212n n y y (,,,)y x x(,,,)x βββαααβββξααα=⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭=⇒⎨⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩x =C y .例7.3 向量(1,2,1)T 在基e 1=(1,0,0)T ,e 2=(0,1,0)T ,e 3=(0,0,1)T 下的坐标为1,2,1，而基e 1,e 2,e 3到基η1=(1,1,1)T ,η2=(1,1,-1)T ,η3=(1,-1,-1)T 的过渡矩阵为111C 111111=---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即(η1,η2,η3)=(e 1,e 2,e 3)C ，于是(1,2,1)T 在基η1,η2,η3下的坐标(x 1,x 2,x 3)T 满足(1,2,1)T =C(x 1,x 2,x 3)T .所以(x 1,x 2,x 3)T =C -1(1,2,1)T =(1,1/2,-1/2)T ，其中11011C 0112110-=--⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭.也可以直接求向量(1,2,1)T 在基η1,η2,η3下的坐标.设(1,2,1)T =(η1,η2,η3)(x 1,x 2,x 3)T ，得 (x 1,x 2,x 3)T =(η1,η2,η3)-1(1,2,1)T111111111212111112-=-=---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例7.4(例7.10 P 159) 设121011B ,B ,0000==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341111B ,B 1011==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是线性空间R 2×2中的一组基，求向量12A 34=⎛⎫⎪⎝⎭在基下的坐标.解 方法一 向量A 在R 2×2中基11121001E =,E ,0000=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21220000E ,E 1001==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下的坐标为(1,2,3,4)T，及基B 1,B 2,B 3,B 4由1112212210010000E =,E ,E ,E 00001001===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭过渡的过渡矩阵为11110111C 00110001=⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，所以向量A 在基B 1,B 2,B 3,B 4下的坐标(y 1,y 2,y 3,y 4)T =C -1(1,2,3,4)T =(-1,-1,-1,4)T ，即A=-B 1-B 2-B 3+4B 4.方法二 设A=y 1B 1+y 2B 2+y 3B 3+y 4B 4，则1234y 11111y 20111y 30011y 40001=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11234y 111111y 011121y 001131y 000144---==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故向量A 在基B 1,B 2,B 3,B 4下的坐标为(-1,-1,-1,4)T .四、线性变换及其矩阵表示线性空间V 到自身的映射称为V 的变换，能够保持线性运算关系的变换是线性变换，它反映线性空间的向量之间重要的、最基本的联系.1.线性变换线性空间V K 的线性变换T 满足线性运算的映射T: V K →V K ：T(α⊕β)=T(α)⊕T(β), T(k ⊗α)=k ⊗T(α),∀α,β∈V K ,∀k ∈K.(定义7.7 P 160)例7.5(例7.11 P 160) 线性空间R n×n 中的映射：T(A)=A T , A ∈R n×n ，是R n×n 中的一个线性变换.例7.6(例7.12 P161) 设A∈R n×n，线性空间R n中的映射：T(α)=Aα, α∈R n是R n中的一个线性变换.例7.7(例7.13 P161) 线性空间R[x]n中的微商运算：D(f(x))=f’(x), f(x)∈R[x]n是R[x]n中的一个线性变换.微商运算不是线性空间C1[a,b]的线性变换.例7.8(例7.14 P161) 设λ∈R，线性空间V n中的映射：T(α)=λα, α∈V n是V n中的一个线性变换. 当λ=1，称T是恒等变换；当λ=0，称T是零变换.线性变换的性质：P161(1)T(ο)=ο；(2)T(-α)=-T(α)；(3)T(k1α1+k2α2+…+k sαs)=k1T(α1)+k2T(α2)+…+k s T(αs).* T(α)=ο推不出α=ο.2.线性变换的矩阵线性变换的像线性空间的元素经线性变换映射的结果.T(α)是元素α经线性变换T : α→T(α)的像.线性变换在基下的矩阵以基表示基的像的矩阵(下式中的A称为线性变换T在基α1,α2,…,αn下的矩阵). (定义7.8 P162)(T(α1),T(α2),…,T(αn))=(α1,α2,…,αn)A.记(T(α1),T(α2),…,T(αn))T(α1,α2,…,αn)，那么 T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A .像在基下的坐标设α=x 1α1+x 2α2+…+x n αn ，并记x =(x 1,x 2,…,x n )T ，则T(α)=T(x 1α1+x 2α2+…+x n αn )=x 1T(α1)+x 2T(α2)+…+x n T(αn )=(T(α1),T(α2),…,T(αn ))x =(α1,α2,…,αn )A x ，所以像T(α)在基下的坐标为A x .例7.9(例7.15 P 162) 在线性空间R[x]n 中，求微商变换D 在基1,x,x 2,…,x n-1下的矩阵. 解 由D(1)=0, D(x)=1,D(x 2)=2x,…,D(x n-1)=(n-1)x n-2，有(D(1),D(x),D(x 2),…,D(x n-1))=(0,1,2x,…,(n-1)x n-2)=(1,x,x 2,…,x n-1)01000020000n 1000-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 故微商变换D 在基1,x,x 2,…,x n-1下的矩阵为01000020000n 1000-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.类似地可得微商变换D 在基1,x,x 2/2!,…,x n-1/(n-1)!下的矩阵为10000100001000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例7.10(例7.16 P 163) 求线性空间R 2×2中的线性变换：T(X)=X T , X ∈R 2×2在基111221100100E =,E ,E ,000010==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2200E 01=⎛⎫⎪⎝⎭下的矩阵. 解 由T(E 11)=E 11, T(E 12)=E 21, T(E 21)=E 12, T(E 22)=E 22，得 T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(E 11,E 21,E 12,E 22)=(E 11,E 12,E 21,E 22)100000101000001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭.100000101000001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭即为线性变换T 在基E 11,E 12,E 21,E 22下的矩阵.例7.11(例7.17 P 163)定理7.4(同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系) 设T 是线性空间V n 的线性变换，A,B 分别是T 在基α1,α2,…,αn 和β1,β2,…,βn 下的矩阵，那么B=C -1AC ，其中C 是由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定理7.4 P 164)证 由 T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A ，T(β1,β2,…,βn )=(β1,β2,…,βn )B ， (β1,β2,…,βn )=(α1,α2,…,αn )C ，得T(β1,β2,…,βn )=T((α1,α2,…,αn )C)=T(α1,α2,…,αn )C=(α1,α2,…,αn )AC =(β1,β2,…,βn )C -1AC.由于线性变换在基下的矩阵唯一，所以B=C -1AC.定理7.4表明，一个线性变换在不同的基下的矩阵相似.例7.12(例7.18 P 165) 设线性空间V 2中的线性变换T 在基α1,α2下的矩阵为12A 05=⎛⎫⎪⎝⎭，求线性变换T 在基β1=α1+2α2,β2=2α1+5α2下的矩阵.解 方法一 因为(β1,β2)=(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭, T(α1,α2)=(α1,α2)A ，所以T 在基β1,β2下的矩阵为 112121251025052501B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二因为(β1,β2)=(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭, T(α1,α2)=(α1,α2)A，所以T(β1,β2)=T(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭=(α1,α2)A1225⎛⎫⎪⎝⎭=(β1,β2)-1121212250525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(β1,β2)51001⎛⎫⎪⎝⎭，所以T在基β1,β2下的矩阵为51001⎛⎫ ⎪⎝⎭.五、欧氏空间具有度量性质的实线性空间——EuclidV空间(欧氏空间).1.定义和例子首先给出线性空间上的度量定义——内积.内积设V是实数域R上的一个线性空间，在V上定义一个二元函数，记作[α,β]，如果它满足：对∀α,β,γ∈V,∀k∈R，有(1) [α,β]=[β,α](对称性)；(2) [α+β,γ]=[α,γ]+[β,γ], [kα,β]=k[α,β](线性性)；(3) [α,α]≥0.且仅当α=ο时，[α,α]=0(正定性)，则称这个二元函数[α,β]是V上的内积. (定义7.9 P165)Euclid空间定义了内积的实线性空间. (定义7.9 P165)例如，向量空间R n中的内积，除了在第三章已定义的形式：[α,β]=a1b1+a2b2+…+a n b n，(这是常用形式)还可以定义为[α,β]=a1b1+2a2b2+…+na n b n.对应不同内积的欧氏空间被认为是不同的欧氏空间. P166例7.13(例7.19 P166) 在线性空间R[x]n中，定义[f(x),g(x)]=∫-11 f(x)g(x)dx, f(x),g(x)∈R[x]n.[f(x),g(x)]是R[x]n 中的内积，因此R[x]n 是欧氏空间.例7.14 在线性空间R m×n 中，定义mnij ij i 1j 1[A,B]a b ===∑∑, A=(a ij )n ,B=(b ij )n ∈R m×n .[A,B]是R m×n 中的内积，因此R m×n 是欧氏空间. P 166有了内积，在欧氏空间中就可以引入向量长度、向量的夹角等度量性的概念，而且有与R n 中的对应概念完全类似的性质.向量的长(或范数) |α. (定义7.10 P 166)|k α|=k|α|,∀α∈V n ,∀k ∈R .单位向量|α|=1.若α∈V n 且α≠ο，则α/|α|是单位向量. (规范性)向量的夹角<α,β>=arcos([α,β]/|α|·|β|), 0≤<α,β>≤π, α≠ο,β≠ο.(定义7.11 P 166) 易见，<α,β>=π/2 ⇔[α,β]=0, α≠ο,β≠ο.向量正交[α,β]=0. (定义7.12 P 166) 零向量与任意向量正交. 2.规范正交基在Euclid 空间中还有以下概念及结论： 规范向量组 向量长度皆为1的向量组.正交向量组/规范正交向量组向量均非零且互相正交(/既规范又正交)的向量组. (定义7.13 P 167)定理7.5 正交向量组必线性无关. (定理7.5 P 167)正交基/规范正交基 由正交(/规范正交)向量组成的基. (定义7.14 P 167)定理7.6 在欧氏空间中，如果向量组α1,α2,…,αm 线性无关，则有规范正交向量组ε1,ε2,…,εm 与之等价. (定理7.6 P 167)定理7.6表明：任意非零欧氏空间都存在规范正交基.得到规范正交基的方法——Schmidt 正交化法.在欧氏空间中，规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵.例7.15(例7.20 P 167) 在线性空间R[x]3中，按例7.13定义内积，求R[x]3的一个规范正交基. 解 取R[x]3中的一个基：α1=1,α2=x,α3=x 2，令 β1=α1=1，β2=α2-([α2,β1]/[β1,β1])β1=x ，β3=α3-([α2,β1]/[β1,β1])β1-([α2,β2]/[β2,β2])β2=x 2-1/3. 再规范化，得规范正交基：ε1=√2/2,ε2=√6x/2,ε3=3√10(x 2-1/3)/4.六、应用实例[实例7-1]线性变换在二维计算机图形学中的应用 1. 旋转变换x cos sin x y sin cos y 'θ-θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'θθ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即coc sin 0x x sin coc 0y y 00111'θ-θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=θθ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 表示点(x,y)绕原点逆时针旋转θ角得到点(x ,,y ,)，换句话说，坐标系绕原点顺时针旋转θ角，点(x,y)在新坐标系下即为点(x ,,y ,).旋转变换是正交变换.2.伸缩变换x c x y c y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即c0x x c 0y y 111'⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.平移变换00x x x y y y '+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'+⎝⎭⎝⎭， 即00001x x x x x 1y y y y y 111 1'+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪'==+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.线性变换的复合是线性变换.[实例7-2]调味品配制问题七、习题(P 173) 选择题： 1. A提示：线性空间必有零元素，所以R n 的子空间必包含原点. 2. A提示：(α1+α2,α2+α3,α3+α1)=(α1,α2/2,α3/3)101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.3. A提示：T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A.4.C (注意：当n>2，B 选项也不正确.)5.D (参见例7.20) 填空题：1. a=6提示：α1,α2线性无关，且121012101210110211021102211a 330a 000a 6---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 3提示：3阶反对称矩阵1213122313230a a a 0a a a 0⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭中不同的数有3个. 3.-6,1,1提示：f(x)=x 2+2x-3=(x 2+x+2)+(x+1)-64.2312⎛⎫⎪--⎝⎭提示：(β1,β2)=(α1,α2)C ，即1111C 1201⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5.012122111⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭提示：T(α1,α2,α3)=(000111,,010101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭) =(101111,,000001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)012122111⎛⎫ ⎪--- ⎪⎪⎝⎭解答题：1.(1)V={P(x)|P(x)=ax 2+bx+cx,a,b,c ∈R,a≠0}不是线性空间.因为若P(x)∈V ，则-P(x) ∈V ，但P(x)+(-P(x))=0∉V ，即V 关于多项式的加法运算不封闭. 因为P(x)∈V,0∈R ，但0·P(x)=0∉V ，即V 关于数与多项式的乘法运算不封闭. 因为V 没有零元素：P(x),-P(x)∈V ，但P(x)+(-P(x))=0∉V.(2)V={x |A x =β,β≠ο}不是线性空间.因为x ,y ∈V ，但x +y ∉V ，即V 关于向量的加法运算不封闭.因为x ∈V,0∈R ，但0x =ο∉V ，即V 关于数与向量的乘法运算不封闭. 因为V 没有负元素：x ∈V ，但-x ∉V. 因为V 没有零元素：A ο≠β，故ο∉V.(3)V={A|A ∈R n×n 且|A |≠0}不是线性空间.因为若A ∈V ，则-A ∈V ，但A +(-A)=O ∉V ，即V 关于矩阵的加法运算不封闭. 因为A ∈V,0∈R ，但0A=O ∉V ，即V 关于数与矩阵的乘法运算不封闭. 因为V 没有零元素：A ∈V ，则-A ∈V ，但A +(-A)=O ∉V .(4)V 1={A|A ∈R 3×3且A=A T }是线性空间. 因为V 1⊂R 3×3，R 3×3是线性空间，且A,B ∈V 1, k ∈R ⇒ A+B ∈V 1, kA ∈V 1，所以V 1是R 3×3的子空间.因此V 1是线性空间.V 2={A|A ∈R 3×3且A=-A T }是线性空间. 因为V 2⊂R 3×3，R 3×3是线性空间，且A,B ∈V 2, k ∈R ⇒ A+B ∈V 2, kA ∈V 2，所以V 2是R 3×3的子空间.因此V 2是线性空间.(5) V={X|XA=AX, A=1002⎛⎫⎪⎝⎭, X ∈R 2×2}是线性空间. 设X=a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，则由XA=AX ⇒X=a d ⎛⎫⎪⎝⎭.由于R 2×2是线性空间，且A,B ∈V, k ∈R ⇒ A+B ∈V, kA ∈V ，所以V 是R 2×2的子空间. 因此V 是线性空间.2. (4)V 1的一组基为100000000000,010,000,000000001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 010*********,001,000000010100⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， R(V 1)=6.V 2的一组基为010*********,001000000010100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，R(V 2)=3.(5)V 的一组基为10,01⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，R(V)=2.3. 提示：即求α1,α2,α3,α4的“极大线性无关组”及其“秩”.4. (1) V1是R n的子空间.因为V1⊂R n，且∀x=(0,x2,…,x n)T,y=(0,y2,…,y n)T∈V1, k∈R，有x+y=(0,x2+y2,…,x n+y n)T∈V1,k x=(0,kx2,…,kx n)T∈V1.(2)V2不是R n的子空间.因为x=(1,x2,…,x n)T,y=(1,y2,…,y n)T∈V2，但x+y=(2,x2+y2,…,x n+y n)T∉V2.因为x∈V2, k∈R，但0x=(0,0,…,0)T∉V2.因为V2没有零元素：(0,0,…,0)T∉V2.因为V2没有负元素：x=(1,x2,…,x n)T∈V2，但-x=(-1,-x2,…,-x n)T∉V2.(3)V3是R n的子空间.因为V3⊂R n，且∀x=(x1,x2,…,x n)T,y=(y1,y2,…,y n)T∈V3, k∈R，有x+y=(x1+y1,x2+y2,…,x n+y n)T,k x=(kx1,kx2,…,kx n)T,其中x1+y1+x2+y2+…+x n+y n=0, kx1+kx2+…+kx n=0，所以kx1,kx2,…,kx n∈V3, k x∈V3.(4)V4不是R n的子空间.因为x=(1,0,…,0)T, y=(0,1,…,0)T∈V4，但x+y=(1,1,…,0)T∉V4.因为x∈V4, k∈R，但0x=(0,0,…,0)T∉V4.因为V4没有负元素：例如x=(1,0,…,0)T∈V4，但-x=(-1,0,…,0)T∉V4.(5)V5是R n的子空间.因为V5⊂R n，且∀x=(x,2x,…,nx)T, y=(y,2y,…,ny)T∈V5, k∈R，有x+y=(x+y,2(x+y),…,n(x+y))T∈V5,k x=(kx,2kx,…,nkx)T∈V5.(6)V6是R n的子空间.因为V6⊂R n，且∀x=(x1,y1,…,y1)T, y=(x2,y2,…,y2)T∈V6, k∈R，有x+y=(x1+x2,y1+y2,…,y1+y2)T∈V6,k x=(kx1,ky1,…,ky1)T∈V6.5. (1) V1是n-1维线性空间.e2,e3,…,e n是V1的一组基.因为x=(0,x2,…,x n)T=x2e2+ x3e3+…+x n e n.(3)V3是n-1维线性空间.(1,0,…,0,-1)T, (0,1,…,0,-1)T,…, (0,0,…,1,-1)T是V3的一组基.因为x=(x1,x2,…,x n)T∈V3，总有(x1,x2,…,x n)T=x1(1,0,…,0,-1)T+x2(0,1,…,0,-1)T+…+x n-1(0,0,…,1,-1)T.(5)V5是1维线性空间，x=(1,2,…,n)T是V5的一组基.因为x=(x,2x,…,nx)T=x(1,2,…,n)T.(6) V6是2维线性空间，(1,0,…,0,0)T, (0,1,…,1,1)T是V6的一组基.因为x=(x,y,…,y)T=x(1,0,…,0,0)T+y(0,1,…,1,1)T.6. 提示：(1)由于α1,α2,α3,α4∈R4，且(α1,α2,α3,α4)11111111212101411110020101110111----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111110111011100230023007400013----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以R(α1,α2,α3,α4)=4，故α1,α2,α3,α4是线性空间R4的一组基.(2)设β=(α1,α2,α3,α4)x.由于(α1,α2,α3,α4,β)10001010020010100013⎛⎫⎪⎪→⎪-⎪⎝⎭行变换，所以β在基α1,α2,α3,α4下的坐标为(1,2,-1,3)T.7. 提示：1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1∈R[x]n.令k1+k2(x-a)+…+k n(x-a)n-1=0，显然有k1,k2,…,k n=0，故1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1线性无关.设∀f(x)=a0+a1x+…+a n-1x n-1∈R[x]n，则f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+…+f(n-1)(a)(x-a)(n-1)/n!.因此，1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1是线性空间R[x]n的一组基，且f(x)=1+x+…+x n-1在此基下的坐标为(1+a+…+a n-1, 1+2a+…+(n-1)a n-2,…,1)T.8. 提示：(1)设(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C，则过渡矩阵C=(α1,α2,α3)-1(β1,β2,β3)=…(2)设α=(α1,α2,α3)x，则α在基α1,α2,α3下的坐标为x=(α1,α2,α3)-1α=…设α=(β1,β2,β3)y，则α在基β1,β2,β3下的坐标为y=(β1,β2,β3)-1α=……或y=(β1,β2,β3)-1α=C-1(α1,α2,α3)-1α=C-1x=……9. 提示：(1)(α1,α2,α3)=(1,1+x,1+x+x2)=(1,x,x2)111 011 001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⇒过渡矩阵C=111011001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.(2)因为3+2x+x 2=(1,x,x 2)321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(α1,α2,α3)1111310112100111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以向量3+2x+x 在基α1,α2,α3下的坐标为(1,1,1)T .10. 提示：(1)、(3)、(4)是；(2)不是.(注：当n≠2时，(4)不是.)(2)因为T(A+B)=A+B+1101⎛⎫ ⎪⎝⎭=T(A)+T(B)-1101⎛⎫⎪⎝⎭≠T(A)+T(B).因为T(kA)=kA+1101⎛⎫ ⎪⎝⎭≠k A+k 1101⎛⎫ ⎪⎝⎭=kT(A) (当k≠1).(4)设A=11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B=11122122b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A *=22122111a a a a -⎛⎫⎪-⎝⎭,B *= 22122111b b b b -⎛⎫ ⎪-⎝⎭,(A+B)*=2222121221211111a b (a b )(a b )a b +-+⎛⎫ ⎪-++⎝⎭，且T(A+B)=(A+B)*=A *+B *,T(kA)=(kA)*=kT(A).11. 提示：首先求基在线性变换T 下的像：T(E 11),T(E 12),T(E 21),T(E 22)，然后将其表示为T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(E 11,E 12,E 21,E 22)C ，那么C 即为所求矩阵.(1)T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(1111⎛⎫ ⎪--⎝⎭,0101⎛⎫ ⎪-⎝⎭,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭,0101⎛⎫⎪⎝⎭)=(E 11,E 12,E 21,E 22)1010111110101111---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭， 所以线性变换T 在该基下的矩阵为1010111110101111---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭.(3) T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(2000⎛⎫ ⎪⎝⎭,0110⎛⎫ ⎪⎝⎭,0110⎛⎫ ⎪⎝⎭,0002⎛⎫⎪⎝⎭)=(E 11,E 12,E 21,E 22)2000011001100002⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭. 所以线性变换T 在该基下的矩阵为2000011001100002⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.(4)T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(0001⎛⎫⎪⎝⎭,0100-⎛⎫ ⎪⎝⎭,0010⎛⎫ ⎪-⎝⎭,1000⎛⎫⎪⎝⎭) =(E 11,E 12,E 21,E 22)000010000101000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭１. 所以线性变换T 在该基下的矩阵为000010000101000⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭１.12. 提示：T(ε1)=(1,1,1)T , T(ε2)=(2,-1,1)T , T(ε3)=(0,0,1)T ，T(ε1,ε2,ε3)=( (1,1,1)T , (2,-1,1)T , (0,0,1)T )=(ε1,ε2,ε3)120110111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.则120110111⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵.13. 提示：(1)因为T(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)120111011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以线性变换T 在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为120111011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.(2)因为(η1,η2,η3)=(ε1+ε2+ε3,ε1+ε2,ε1)=(ε1,ε2,ε3)111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，所以T(η1,η2,η3)=T(ε1,ε2,ε3)111 110 100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)120111011-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=(η1,η2,η3)1111110100-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭120111011-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=010 111 012⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭，所以线性变换T在基η1,η2,η3下的矩阵为010 111 012⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭.14. 提示：依题意有T(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a aa a aa a a⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(1)因为(ε3,ε2,ε1)=(ε1,ε2,ε3)001010100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，所以T(ε3,ε2,ε1)=T(ε1,ε2,ε3)001 010 100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭001010100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)1111213212223313233001a a a001 010a a a010 100a a a100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)111213212223313233001a a a 001010a a a 010100a a a 100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵. (2)因为(ε1,k ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)1000k 0001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，所以T(ε1,k ε2,ε3)=T(ε1,ε2,ε3)1000k 0001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)11000k 0001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)10001k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)111213212223313233a ka a a k a a k a ka a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以111213212223313233a ka a a k a a k a ka a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵. (3)因为(ε1+ε2,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，所以T(ε1+ε2,ε2,ε3)=T(ε1,ε2,ε3)100110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)1100110001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)100110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)11121213211122122212231331323233a a a a a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-+--- ⎪ ⎪+⎝⎭， 所以11121213211122122212231331323233a a a a a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-+--- ⎪ ⎪+⎝⎭即为所求矩阵.15.提示：T(x 2e x ,2xe x ,e x )=((x 2+2x)e x ,(x+1)e x ,e x )=(x 2e x ,xe x ,e x )100210011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，100210011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵.16.提示：(α1,α2,α3,α4)=2141r r r 2r 11101110102101110111011123110111--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()3242123r r r r r r r 11110121011101110000000000000000++-⨯-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故由α1,α2,α3,α4生成的子空间V 的一组基为(1,1,0,2)T ,(1,0,1,3)T .正交化：(1,0,1,3)T -7(1,1,0,2)T /6=(-1,-7,6,4)T /6 // (-1,-7,6,4)T 单位化：√6(1,1,0,2)T /6,√102(-1,-7,6,4)T /102.故空间V 的一组规范正交基为√6(1,1,0,2)T /6, √102(-1,-7,6,4)T /102.17. 提示：先求出一个基础解系，然后正交化、规范化.18. 证明 []T A A ,A (A )A α=αα=ααT T T (A A)=αα=αα=α.19. 提示：(1)关于y 轴对称；(2)投影到x 轴； (3)关于直线y=x 对称； (4)逆时针旋转900.20. 提示：由T(A,B,C,D)=(A ’,B ’,C ’,D ’)，有T((x,y)T )=A(x,y)T .(1)T((x,y)T )=(-x,y)T =10x 01y -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)T((x,y)T )=(x,2y)T =10x 02y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (3)T((x,y)T )=(2x+2y,-x+y)T =22x 11y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭.21. 参见P 171页上的例7.21.八、计算实践实践指导：(1)理解线性空间、线性子空间、基、维数和坐标等概念，会求线性空间的基、维数和坐标；(2)了解基变换和坐标变换，会求基的过渡矩阵； (3)了解线性变换的概念，会求线性变换的矩阵；(4)了解内积、Euclid 空间的概念，会用施密特（Schmidt ）方法将线性无关的向量组正交标准化； (5)了解标准正交基、正交矩阵的概念及它们的性质，会求标准正交基.例7.1 设A,B 都是n 阶正交矩阵，证明： (1) A T 是正交矩阵；(2)A -1是正交矩阵； (3)AB 是正交矩阵；(4)A O O B ⎛⎫ ⎪⎝⎭是正交矩阵.提示：(1)A 是正交矩阵 ⇒A T A=E ⇒A T (A T )T =E ⇒A T 是正交矩阵. (2)A 是正交矩阵⇒A -1(A T )-1=A -1(A -1)T =E ⇒A -1是正交矩阵. (3) AB 是正交矩阵⇒AB(AB)T =ABB T A T =E ⇒AB 是正交矩阵.(4) AB 是正交矩阵⇒TT T A O A O A O A O E O B O B O B OB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒A O O B ⎛⎫⎪⎝⎭是正交矩阵.例7.2 设A=(a ij )n 为正交矩阵，证明： (1)det(A)=1或det(A)=-1；(2)当det(A)=1时，a ij =A ij ；当det(A)=-1时，a ij =-A ij ，其中A ij (i, j=1,2,…,n )是元素a ij 的代数余子式. 提示：A 是正交矩阵 ⇔A T A=E ⇒det 2(A)=1⇒det(A)=±1. 另一方面，由A *A=det(A)E ，得A *=det(A)A -1=det(A)A T ，故ij ij ijij A a , A 1,A a ,A 1.⎧==⎪⎨=-=-⎪⎩当当例7.3 设A,B 都是n 阶正交矩阵，且det(A)+det(B)=0，证明：det(A+B)=0. 提示：det(A)+det(B)=0 ⇒det(A)·det(B)=-1. 再由 B T (A+B)A T =B T +A T =(A+B)T⇒det(B)·det (A+B)·det(A)=det (A+B) ⇒-det (A+B)=det (A+B) ⇒det (A+B)=0。
高等代数与解析几何习题答案
习题习题设A是一个"阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A的对角线元素吗H勺（门=1,2,…/）,则A必可对角化；（2）如果A的对角线元素a ll=a22=-=a ll…f且A不是对角阵，则A不可对角化。
证明：（1）因为A是一个〃阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为I 2E - A 1= （2 - ! ）（2 - «22）■ • （2 - 6/wj）,又因心工勺（/, j = 1,2, •••,/?）,所以人有" 个不同的特征值，即4有"个线性无关的特征向量，以这〃个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P,则有厂虫卩为对角阵，故A必可对角化。
（2）假设A可对角化，即存在对角阵〃= 人. ，使得A与B相似，进而A与3有相同的特征值人,人,…人。
又因为矩阵A的特征多项式为Ixtf —A1=（几_°］］）“ ，所以= ■ ■ ■ = A lt =, 从|（［J / 、如B=如=如丘，于是对于任意非退化矩阵x ,都有、% >X"BX =X%EX =gE = B,而A不是对角阵，必有厂曲=3",与假设矛盾，所以A 不可对角化。
习题设“维线性空间V的线性变换”有$个不同的特征值入，易，…,入，匕是人的特征子空间（心1,2,…,s）。
证明：（1）叫+岭+…+匕是直和；（2）a可对角化的充要条件是V = %㊉匕㊉…㊉匕。
证明：(1)取岭+£+・•・ +匕的零向量0，写成分解式有a x +a 2 + -- + a x =0,其中 q e V ； J = 1,2,…,s 。
现用 6b[…,b分别作用分解式两边，可得印+色+…+ % = 0人 © + + ・・• + A s a s = 0 常匕+石么+・・・+町匕=0写成矩阵形式为‘1人( 、1(4S ，…心):J 人f 1由于人,人,…，人是互不相同的，所以矩阵3= 1零，即矩阵B 是可逆的，进而有(卬，色,aJBB" = (0,0,…,0)B" = (0,0,…,0), (a 「勺，…)=(0,0,…,0)。
高等代数--第七章 线性变换_OK
45
线性变换的乘法
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
(A B )() A (B ()) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，
(A B )( ) A (B ( )) A (B () B ())
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
14
又如果1 , 2 ,, r之间有一线性关系式 k11 k22 krr 0,
那么它们的象之间也有同样的关系
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
15
3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性 相关的向量组.
A x1A 1 x2A 2 xnA n x1B 1 x2B 2 xnB n B .
20
结论1的意义就是，一个线性变换完全被它 在一组基上的作用所决定。
2.设 1,2,,n是线性空间V的一组基。对于
任意一组向量 1,2,,n一定有一个线性变换A
使
A i i ,i 1, 2, , n.
46
A (B ()) A (B ( )) (A B )( ) (A B )( ),
(A B )(k) A (B (k)) A (kB ())
kA (B ()) k(A B )().
这说明AB是线性的。
既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换
的乘法当然也适合结合律，即
(A B )C A (B C ).
29
例3 在 F 22 中定义线性变换 A
X
a c
b
d
X
第七章线性变换总结篇（高等代数）
第七章线性变换总结篇（高等代数）第 7章线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。
注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈ 。
性质1. ()()00,σσαα==-;性质2. 若12s ,,,ααα 线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα 也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα 线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ ，12,,,s γγγ 是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss sm m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ??= ?于是，若()d i m V n =，12,,,n ααα 是V 的一组基，σ是V 的线性变换，12,,,m βββ 是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n nm m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n nn mn b b c b b c b b c σβββααα??= ?设112111222212m m nn mn b b c b b c B b b c ??= ?，12,,,m ηηη 是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη 是12,,,m ηηη 的一个极大线性无关组，那么()()()2,ri i i σβσβσβ 就是()()()12,m σβσβσβ 的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ 的秩等于秩()B 。
高等代数第七章线性变换
高等代数第七章线性变换一、定义：变换：线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换线性变换=线性映射+变换更准确地说线性变换的特点就是满足线性性以及定义域和陪域都是同一个线性空间*这里说的陪域是丘维生的高等代数里提出的一个概念，与值域的每一个自变量都有因变量相对应不同的是陪域包含自变量没有因变量相对应的情况这样解释是为了类比：同构映射=线性映射+双射也就是说同构映射的特点是满足线性性以及每一个自变量都有一个因变量相对应下面引出线性变换的准确定义线性变换：如果对于V中任意的元素 \alpha,\beta和数域P 中任意数k，都有\sigma(\alpha+\beta )=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) ，\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) 则称线性空间V的一个变换 \sigma 称为线性变换。
二、线性变换的矩阵所有线性变换的全体可以通过选取V的一组基与所有矩阵的全体建立一一对应的关系，将几何对象和代数对象建立转化。
只要取一组足够好的基，就可以得到足够好的矩阵。
某些特殊情况下，矩阵可以取成对角阵，就称线性变换可以对角化，不可对角的矩阵可以写成若尔当块的形式，则选取的基就为循环基，当做不到选取循环基时就只能上三角化或者下三角化。
三、矩阵的相似1.定义Ⅰ.①相似的定义： A,B\in P^{n\times n} ，若存在可逆矩阵 P ，使得 P^{-1}AP=B ,则称A与B是相似的②相似的标准型：若尔当标准型Ⅱ.类比合同（相抵）：本质是初等变换①合同的定义： A,B\in P^{n\times n} 若存在可逆矩阵P ，使得 PAQ=B ,则称A与B是合同的②合同的标准型：PAQ=\left( \begin{array}{cc} E_{r}&0\\ 0&0 \end{array} \right),r=r(A),E(r)=\left( \begin{array}{cc} 1&&\\ &1 &\\ &...\\ &&1 \end{array} \right)_{r\times r}③性质：若 A\sim B ，则 \left| A \right|=\left| B \right| ,r(A)=r(B)若A\sim B ，则 A,B 的特征多项式相同，极小多项式相同若 A\sim B ，则 A'\sim B'*根据定义有 P^{-1}AP=B ，两边同时转置： P'A'(P')^{-1}=B' ,则 A'\sim B'若 A\sim B ，A可逆，则 A^{-1}\sim B^{-1}若 A\sim B ，则 A^{k}\sim B^{k}若 A\sim B ， f(x)\in k[x] （f(x)是数域K上的多项式）则 f(A)\sim f(B) (A与B的多项式相似）*多项式的形式是 f(x)=x^{k}+x^{k-1}+...+x+m ,由A^{k}\sim B^{k} ，则 f(A)\sim f(B)若 A\sim B，则 A^{*}\sim B^{*} (A的伴随矩阵相似于B的伴随矩阵）四、矩阵的特征值和特征向量1.定义：对于矩阵A，若存在 x\ne0 (非零向量）， x\inK^{n} ,s,t, Ax=\lambda x ，则称 \lambda 是 A 的一个特征值， x 是 \lambda 对应的特征向量2.求特征值、特征向量①求解特征多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n} -A\right|=0\Rightarrow\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} 为特征值②求 (\lambda_{i} E_{n} -A)x=0\Rightarrowx_{1},x_{2},...,x_{n} 为特征向量3.性质：若矩阵A的特征值为 \lambda_{1},...,\lambda_{n}① tr(A)=\lambda_{1}+...+\lambda_{n} （ tr(A) 为矩阵的迹：对角线元素之和为矩阵特征值之和）② \left| A\right|=\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}③哈密顿-凯莱定理：特征多项式一定是零化多项式f(\lambda)=\left| \lambda E_{n}-A \right|,f(A)=0*零化多项式： f(x)\in k[x] （ f(x) 是数域K上的多项式）,若 f(A)=0 则称 f(x) 是 A 的零化多项式eg. f(x)=x^2-3x+1 则有 A^2-3A+E_{n}=0④若 f(A)=0\Rightarrow f(\lambda)=0eg. A^2-3A+E_{n}=0\Rightarrow\lambda^2-3\lambda+1=0则根据④若矩阵A的特征值为\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}\Rightarrow A^{-1} 的特征值为\frac{1}{\lambda_{1}},\frac{1}{\lambda_{2}},...,\frac{ 1}{\lambda_{n}}\Rightarrow aA 的特征值为a\lambda_{1},a\lambda_{2},...,a\lambda_{n}\Rightarrow A^{k} 的特征值为\lambda_{1}^k,\lambda_{2}^k,...,\lambda_{n}^k五、矩阵A可对角化的判别办法① A_{n\times n} 可对角化 \Leftrightarrow n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量设 \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{s} 是两两不同的特征值②A可对角化 \LeftrightarrowdimV_{\lambda_{1}}+dimV_{\lambda_{2}}+...+dimV_{\lambd a_{s}}=n③（充分但不必要条件）A的特征多项式无重根 \Rightarrow A可对角化六、不变子空间定义：W是线性空间V的子空间，线性变换 \sigma：V\rightarrow V ，若 \sigma(W)\subseteq W ，则称W是\sigma 的不变子空间利用定义求不变子空间。