高等代数与解析几何第七章
高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.7
若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1
A2
.
As
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
其次，任取 Vi , 设
( i E )ri Wi 0.
1 2 s , i Wi . 即 1 2 (i ) s 0 令 j j , ( j i); i i .
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
由（2）, 有 ( i E)ri (i ) 0, i 1,2, , s. 又 ( i E)ri (i ) ( i E)ri (i )
Wi fi ( )V , 则Wi 是 fi ( ) 的值域， Wi是 的不变子空间.
又 ( i E)ri Wi ( i E)ri fi ( )V
( i E)ri fi ( ) V f V
( i E)ri Wi 0.
（2）
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
下证 V V1 V2 Vs . 分三步：
1 . 证明 V W1 W2 Ws .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs (s是)直和1 .
3∴. 证存明在多Vi 项 W式i
, i
u1 (
1, 2,
), u2(
, s. ),
, us ( ),
使
u1( ) f ( )1 u2( ) f2( ) us ( ) fs ( ) 1
高代第7章习题参考答案
第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数 讲义 第七章
(στ ) δ
= σ (τδ )
D( f ( x )) = f ′( x )
J ( f ( x ) ) = ∫ f ( t )dt
x
（2） Eσ = σ E = σ ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
( DJ ) ( f ( x ) ) = D ∫0 f ( t ) dt
x
στ ≠ τσ .
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即
若 β = k1α1 + k2α 2 + L + krα r , 则 σ ( β ) = k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + L + krσ (α r ).
例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
C ( a , b ) 上的变换
σ ( X ) = AX , τ ( X ) = XB ,
∀X ∈ P n×n
则 σ ,τ 皆为 P n×n 的线性变换，且对 ∀X ∈ P n×n , 有
(στ )( X ) = σ (τ ( X )) = σ ( XB ) = A( XB ) = AXB , (τσ )( X ) = τ (σ ( X )) = τ ( AX ) = ( AX ) B = AXB .
= σ (τ (α )) + σ (τ ( β )) = (στ )(α ) + (στ )( β ), (στ )( kα ) = σ (τ ( kα )) = σ ( kτ (α )) = kσ (τ (α )) = k (στ )(α )
§7.1 线性变换的定义
２．基本性质
（1）满足结合律：
例1. 线性空间 R[ x ]中，线性变换
高等数学第七章空间解析几何与向量代数课件.ppt
D
b a BD
2 MB
b M
MA
1 2
(
a
b
)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
首页
上页
返回
下页
结束
C B
第9页，共33页。
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
首页
上页
返回
下页
结束
第21页，共33页。
3. 向量在轴上的投影与投影定理
z
r
在三个坐标轴上的分向量：
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
首页
上页
返回
下页
结束
第19页，共33页。
cos x
r
cos y
r
cos rz
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
高等代数与解析几何第七章知识题7答案解析
习题7.4习题7.4.1设A 是一个n 阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则A 不可对角化。
证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。
（2）假设A 可对角化，即存在对角阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B λλλO21，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。
又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而E a a a a B nn 112211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与假设矛盾，所以A 不可对角化。
习题7.4.2设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。
证明：（1）s V V V +++Λ21是直和；（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。
证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。
现用12,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121s s s s s ss s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。
高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解析
第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。
（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。
（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。
因对于，有，，所以。
（Ⅱ）；解：是的线性变换。
设，其中，，则有，。
（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。
（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。
（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。
因为取，时，有，，即。
（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。
解：是的线性变换。
对，，有，。
习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。
证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。
证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。
因为，，所以。
因为，，所以。
因为，，所以。
习题7.1.3在中，，，证明。
证明：在中任取一多项式，有。
所以。
习题7.1.4设，是上的线性变换。
若，证明。
证明：用数学归纳法证明。
当时，有命题成立。
假设等式对成立，即。
下面证明等式对也成立。
因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。
习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。
证明：（1）设都是的逆变换，则有，。
进而。
即的逆变换唯一。
（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。
习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。
证明，，，线性无关。
证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。
高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题7.4习题7.4.1设A是一个n阶下三角矩阵。
证明：（1）如果A的对角线元素aii a(i,j1,2,,n)，则A必可对角化；jj（2）如果A的对角线元素a1122，且A不是对角阵，则aannA不可对角化。
证明：（1）因为A是一个n阶下三角矩阵，所以A的特征多项式为|E|()()()，又因a ii a jj(i,j1,2,,n)，所以A有Aa11aa nn22n个不同的特征值，即A有n个线性无关的特征向量，以这n个线性无1为对角阵，故A必关的特征向量为列构成一个可逆阵P，则有PAP可对角化。
1（2）假设A可对角化，即存在对角阵2，使得ABn与B相似，进而A与B有相同的特征值1,2,,。
又因为矩阵A的特n征多项式为n|EA|(a11)，所以12na11，从而a 11Ba22 aE11，于是对于任意非退化矩阵X，都有ann1，而A不是对角阵，必有X1BXBA，与1XBXXa11EXa11EB假设矛盾，所以A不可对角化。
习题7.4.2设n维线性空间V的线性变换有s个不同的特征值1，V i是i的特征子空间(i1,2,,s)。
证明：s,2,,（1）V1VV是直和；2s（2）可对角化的充要条件是 V 12。
VVVs证明：（1）取VV1V 的零向量0，写成分解式有2s1s0，其中iV i ，i1,2,,s 。
现用2, 2,,s1分别作用分解式两边，可得012s 01122ss。
s 1 1 1s 2 1 2s s 1 s 0写成矩阵形式为 11 s 1 1( , 1 , 2,s11 22s )。
(0,0,,0)1ss s11 1s 11 由于1,2,,是互不相同的，所以矩阵ss1122B 的行列式不1 ss s1 为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 (11 1s BBB ，(1,2,,s )(0,0,,0)。
,,,)(0,0,,0)(0,0,,0) 2这说明V 1V 2V s 的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 V 12是直和。