人教A版高中数学必修四2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案
高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案
高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1.掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；2.掌握向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，能解决一些简单问题.【知识梳理】知识回顾：1．两个向量的数量积的性质：设与为两个非零向量(1)、  (2)、当与同向时，  = ，当与反向时， 特别的： =_____或，|  | ≤ | || |， =________新知探究：已知非零向量，，怎样用和的坐标表示 ？1、平面两向量数量积的坐标表示：即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2. 平面内两点间的距离公式（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定：设，，则 4.两向量夹角的余弦（） = =思考感悟:向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有  0（0）？对点练习：1.已知a→=(—3,4),b→=(5,2), 则a→b→等于( )A. —14B. —D. 82.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),c→=(1,—1), 则(a→b→)c→等于 ( )A. —14B. —(7,—7) D. (—7,7)3.已知A(—1,1),B(1,2), 则|AB→|等于 ( )A. 5 B—1 D. 74. 已知a→=(3,4),b→=(5,12), 则a→,b→夹角的余弦为( )A. 6365 BD. 13【合作探究】典例精析：例1.已知向量，；（1）求，；（2）求的值；（3）求的值；变式1：已知向量，；（1）求向量与的夹角；（2）若向量与垂直，求的值；例2.设 = (5，7)， = (6，4)，求及、间的夹角θ的余弦值。
高中数学人教A版必修4教案-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学准备
1. 教学目标
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
2. 教学重点/难点
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1°e×a = a×e =|a|cosq； 2°a^b Û a×b = 0
3°当a与b同向时，a×b = |a||b|；当a与b反向时，a×b = -|a||b|. 特别的a×a = |a|2或。
人教A版《必修4》“2.4.2平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角”导学案-精选教育文档
高一数学《必修4》导学案2.4.2平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角【课前导学】（一）复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义： __________a b ⋅=，其中||cos a θ叫做_________________.2．两个向量的数量积的重要性质：（1）________a b ⊥⇔；（2）__________a a a ⋅==或||；（3）cos __________θ= 3．探究：已知两个非零向量11()a x ,y =，22()b x ,y =，试用a 和b 的坐标表示a b ⋅.提示：若直角坐标系中，x 轴方向的单位向量为i ，y 轴方向上的单位向量为j ，则向量,a b 用,i j 可以表示为a = ，b = ；其中i i = ，j j = ，i j = 故：a b ⋅=（二）新课学习 （阅读课本P106～107后，完成下列内容）1、平面两向量数量积的坐标表示：若两个非零向量11()a x ,y =、22()b x ,y =，则_________a b ⋅=即，两个向量的数量积等于它们对应坐标的________________.2. 平面内两点间的距离公式：（1）设()a x,y =，则2_____________||_________a a ===，故.（2）如果11()A x ,y 、22()B x ,y ，那么_____________,AB = A 、B 间的距离||___________________AB = （平面内两点间的距离公式）3、 向量垂直的判定：设11()a x ,y =、22()b x ,y =，则a ⊥b ⇔_________________a b ⋅=⇔.4、两向量夹角的余弦：已知两个非零向量11()a x ,y =，22()b x ,y =，a 与b 之间的夹角为θ，则cos θ=_____________________.【预习自测】1、已知(34)a ,=-，(5,2)b =，则_________a b ⋅=，||_______a =，||_______b =.2、已知(32)a ,=，(2,3)b =，a 与b 之间的夹角为θ，则cos θ=______.3、若(22)BA ,=-，C (11)B ,=，则ABC ∠=_________.【典例分析】 例1、(3,4),(6,8),a b =-=-已知求 ()()a b a b +⋅-及a b -｜｜的值. 例2、已知(1,4),(5,2),(3,4)A B C --，先作图观察△ABC 的形状，然后给出证明.变式：若(34),12)_______.a ,b a b x,3x b =⊥=，且的起点坐标为(，，终点坐标为(),则 例3、（1）(13)(223)a ,b ,a b ==-已知，，求与的夹角.（2）(12)(23)2a ,b ,c a b ==--=+设，，又，d a mb =+，且45c d ︒与的夹角为，求实数m 的值. 【总结提升】1、掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；2、要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.【课后作业】1、(2,3),(2,4),(1,2)a b c ==-=--已知，则 （1）______,______b a b =⋅=；（2）求()()()a b a b a b c +⋅-⋅+，. 2、求证：(1,0),(5,2),(8,4),(4,6).A B C D -为顶点的四边形是一个矩形3、（1）3,//.a b a b a =已知｜｜=(1,2),且,求的坐标.（提示：设a x,y 的坐标为()）（2）(4,2),.a a e =已知求与垂直的单位向量的坐标4、（选做）课本P108 B 组 第2题。
高中数学 第二章 平面向量 242 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案 新人教A版必修4 学案
2．4．2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、三维目标：知识与技能：掌握平面向量数量积的坐标表示；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用 两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题。
过程与方法：通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度。
情感态度与价值观：培养运算能力，创新能力，提高数学素质。
二、学习重、难点：重点：平面向量数量积的坐标表示。
难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用。
三、学法指导：通过数量积的坐标表示的学习，会求夹角及两点间距离公式。
四、知识链接：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ，叫a 与b 的数量积，记作a b ，即有cos a b a b θ=，(0)θπ≤≤。
并规定0与任何向量的数量积为0.2．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影cos b θ的乘积。
3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量。
1 cos e a a e a θ==； 2 0a b a b ⊥⇔=3当a 与b 同向时，a b ab =；当a 与b 反向时，a b ab =-。
特别的2a a a=或||a a a =⋅4 cos =||||a ba b ⋅ ；5a b ab ≤5．平面向量数量积的运算律 交换律：a b b a =数乘结合律：()a b λ=()a b λ=()a b λ 分配律：()a b c a c b c +=+五、学习过程：问题1.在直角坐标系中，已知两个非零向量a =（x 1，y 1）,b =（x 2，y 2），如何用a 与b 的坐标表示a b （x 轴上的单位向量i ，y 轴上的单位向量j ）这就是说：问题2. 平面内两点间的距离公式设(,)a x y =，则（ ）或（ ）（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么(平面内两点间的距离公式) 问题3 向量垂直的判定设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（ ） 问题4两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）cos= （ ）B 例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明。
导学案1：2 .4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
必修四第二章 平面向量2.4 .2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：向量数量积的坐标表示2、难点：向量数量积的坐标表示知识要点．1．两个向量数量积的坐标表示：若a =（x 1，y 1）、b =（x 2，y 2），则a ·b =x 1x 2+y 1y 22．向量的模：若a =（x ，y ），则|a |2=a ·a =x 2+y 2，∴|a 3．两点间的距离公式：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）则AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∴|AB |=4．两向量垂直的坐标条件：设两非零向量a =（x 1，y 1）、b =（x 2，y 2），则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=05．设A 、B 、C 是坐标平面上的三点，它们的坐标分别为：A （x 1，y 2），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则AC AB ⊥⇔（x 3-x 1）（x 2-x 1）+（y 3-y 1）（y 2-y 1）=0预习自测1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32[归纳反思]能力提升5．已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=，试求()a b c 和()a b c 的值.6. 已知(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-，根据下列情况求x ：（1）//u v （2）u v ⊥7． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .8． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．参考答案预习自测:1、答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2、答案 B解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10.3、答案 D 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73. 4、答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 能力提升5.答案：()a b c ＝（－8，－12），()a b c ＝（－16，－8）6.答案：（1）12 （2）－2或727.解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4， ∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)． (2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12， ∴c ＝12b ＝(－1,3)． 8.解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1， ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7. 由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12. 当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)． 故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．。
人教版高中数学高一A版必修4导学案 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．2．会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系．平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则有下表：坐标表示数量积 a ·b ＝__________模 |a |＝__________或|a |2＝__________设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2→|＝______________ 垂直 a ⊥b a ·b ＝0______________＝0夹角cos θ＝a ·b|a ||b |＝__________________已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． 若a ∥b x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0. 若a ⊥b x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.这两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：共线纵横交错积相等，垂直横横纵纵积相反．【做一做1－1】 向量m ＝(1,0)，n ＝(2，－5)，则m ·n 等于( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．7【做一做1－2】 已知MN →＝(3，－4)，则|MN →|等于( ) A ．3 B ．4 C. 5 D ．5 【做一做1－3】 若向量a ＝(4,2)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则m 的值是( ) A ．12 B ．3 C ．－3 D ．－12 【做一做1－4】 已知a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角θ＝__________.答案：x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 21＋y 21(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 x 1x 2＋y 1y 2x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22【做一做1－1】 C m ·n ＝1×2＋0×(－5)＝2. 【做一做1－2】 D |MN →|＝32＋(－4)2＝5.【做一做1－3】 D ∵a ⊥b ，∴4×6＋2m ＝0，解得m ＝－12. 【做一做1－4】3π4|a |＝9＋0＝3，|b |＝25＋25＝52，a ·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15， 则cos θ＝a·b |a||b |＝－153×52＝－22.又0≤θ≤π，∴θ＝3π4，即a 与b 的夹角为3π4.1．投影的坐标表示剖析：由于向量b ＝(x 2，y 2)在向量a ＝(x 1，y 1)方向上的投影为|b |·cos θ＝|a ||b |cos θ|a |＝b ·a|a |(θ为a 与b 的夹角)，从而向量b 在向量a 方向上的投影的坐标表示为x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12.同理可得，向量a 在向量b 方向上的投影的坐标表示为|a |cos θ＝|a ||b |cos θ|b |＝a ·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22.2．向量数量积性质的坐标表示剖析：设两个非零向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，a 与b 的夹角为θ. (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； (2)a ⊥b a 1b 1＋a 2b 2＝0； (3)a ·a ＝|a |2|a |＝a 12＋a 22；(4)cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 12＋a 22·b 12＋b 22；(5)|a ·b |≤|a ||b ||a 1b 1＋a 2b 2|≤a 12＋a 22·b 12＋b 22.在解决向量数量积的坐标运算问题时，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2以及相关的向量的长度公式和夹角公式．在这个过程中还要熟练运用方程的思想．值得注意的是，对于一些向量数量积的坐标运算问题，有时考虑其几何意义可使问题快速得解．题型一 数量积的坐标运算【例1】 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )． 分析：先求出a ·b ，a 2，b 2，再对(3a －b )·(a －2b )展开求解．反思：对于数量积的坐标运算有两种方法：一是先化简再代入向量的坐标，二是先确定向量的坐标，再计算数量积．题型二 垂直问题【例2】 已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( ) A ．9 B ．4 C ．0 D ．－4 反思：有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量积为0来解决．本题也可先求出a －b 的坐标，再代入a ·(a －b )＝0解得x .题型三 夹角问题【例3】 已知a ＝(3，1)，b ＝(2,23)． (1)求a ·b ；(2)求a 与b 的夹角θ.分析：(1)直接用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2即可； (2)直接用cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12·x 22＋y 22求解．反思：利用坐标求两向量夹角的步骤为：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积； (2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模；(3)由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12·x 22＋y 22直接求出cos θ的值；(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.【例4】 已知△ABC 中，A (2，－2)，B (5,1)，C (1,4)，求∠BAC 的余弦值．分析：∠BAC 是AB →和AC →的夹角，转化为求向量的夹角问题．反思：已知三角形各顶点坐标求其内角时，可转化为求向量的夹角问题．题型四 易错辨析【例5】 已知a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，且a 与b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－2，23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 错解：∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ＞0，即a ·b ＝1－2λ＞0，得λ＜12，故选D.错因分析：以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的．如当a 与b 同向时，即a 与b 的夹角θ＝0°时cos θ＝1＞0，此时λ＝－2，显然是不合理的．反思：对非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角cos θ＞0且cos θ≠1a ·b ＞0且a ≠m b (m ＞0)；θ为钝角cos θ＜0且cos θ≠－1a ·b ＜0且a ≠m b (m ＜0)；θ为直角cos θ＝0a ·b ＝0.答案：【例1】 解法一：因为a ·b ＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a 2＝22＋(－1)2＝5，b 2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a －b )·(a －2b )＝3a 2－7a ·b ＋2b 2＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 解法二：∵a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，∴3a －b ＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a －2b ＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)． ∴(3a －b )·(a －2b )＝3×(－4)＋(－1)×3＝－15. 【例2】 A ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0， ∴a 2－a ·b ＝5－(x －4)＝0，解得x ＝9. 【例3】 解：(1)a ·b ＝23＋23＝4 3.(2)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22＝433＋1×4＋12＝32. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.【例4】 解：AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)， AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15. 又|AB →|＝32＋32＝32， |AC →|＝(－1)2＋62＝37，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532×37＝57474.【例5】 A ∵a 与b 的夹角θ为锐角，∴cos θ＞0且cos θ≠1，即a ·b ＞0且a 与b 方向不同，即a ·b ＝1－2λ＞0，且a ≠m b (m ＞0)，解得λ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－2，12，故选A.1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( ) A ．(－15,12) B ．0 C ．－3 D ．－11 2．△ABC 中，A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形3．(2011·广东佛山高三质检)已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,2)，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.π3D.π24．若向量a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，c ＝(1,2)，且(a －b )⊥c ，则实数x 的值为__________．5．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若k a ＋b 与a －3b 垂直，求实数k 的值．答案：1．C a ＋2b ＝(－5,6)，(a ＋2b )·c ＝－5×3＋6×2＝－3.2．B BA ＝(4，－2)，BC ＝(1,2)，则BA ·BC ＝4＋(－2)×2＝0. ∴BA ⊥BC .∴∠ABC ＝90°.3．B 由于2a ＋b ＝(4,2)，则b ＝(4,2)－2a ＝(2,0)，则a ·b ＝2，|a ||b |＝2.设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝||||a ba b ＝2.又θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 4．3 a －b ＝(x －1,2－x )． 由于(a －b )⊥c ，则(a －b )·c ＝0， 所以(x －1)＋2(2－x )＝0，解得x ＝3.5．分析：由(k a ＋b )⊥(a －3b )，得(k a ＋b )·(a －3b )＝0，列方程解得k 的值． 解：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． ∵k a ＋b 与a －3b 垂直， ∴(k a ＋b )·(a －3b )＝0，即(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0，解得k ＝19.。
高中数学_2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案_新人教A版必修4
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案一．【学习目标】 学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.二．【情景创设】1.平面向量数量积（内积）的坐标表示2.向量的运算有几种？是怎样进行的？三．【学习任务】（预习教材106107P -）探究一：已知两个非零向量1122(,),(,),a x y b x y →→==怎样用a →与b →的坐标表示数量积a b →→⋅呢？a b →→⋅=探究二：若(,),a x y →=如何计算向量的模||a →呢？||a →=问题1：若1122(,),(,),A x y B x y 如何计算向量AB →的模和两点,A B 间的距离呢？如图，以原点和(5,2)A 为顶点作等腰直角,OAB ∆使090,B ∠=求点B 和向量的坐标.探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设,a b →→都是非零向量，1122(,),(,),a x y b x y →→==如何判定a b →→⊥或计算a →与b →的夹角,a b →→〈〉呢？问题2：向量夹角的坐标表示问题3：a b →→⊥⇔ 12120x x y y ⇔+=<=>x 1x 2+y 1y 2=0问题3：//a b →→怎样用a →与b →的坐标表示？6365四．【巩固练习】1.已知|a |=2，|b |=1，a →与b →之间的夹角为3π，那么向量m →=4a b →→-的模为（ ）A.2 B .23 C.6 D.122.已知(3,4),(5,12),a b →→==-则a b 与夹角的余弦为（ ）A. B.3.已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥ ，且则λ＝__________。
4.a=(4,7);b=(5,2)- 则a b=⋅ _______ ()()a =_____ 2a 3b a+2b =-⋅ _______5.与(3,4)a →=垂直的单位向量是（ ） A. 43(,)55 B. 43(,)55-- C 43(,)55-或43(,)55- D.43(,)55或 43(,)55-- 6.a=(2,3),b=(-3,5) 则a b 在方向上的投影为_________7.已知(1,2),(3,2),a b →→==-分别求当k 为何值时，①()(3)k a b a b →→→→+⊥-？；②()//(3)k a b a b →→→→+-，平行时，它们同向还是反向？五．【学习反思】。
2020年高中数学新人教A版必修4第2章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[教材研读]预习课本P 106～107，思考以下问题 1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？[要点梳理]1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.(1)向量的模：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(2)两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. (3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)的数量积仍是向量，其坐标为(x 1x 2，y 1y 2)．( ) 2．|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．( )3．非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)的夹角为锐角，则x 1x 2＋y 1y 2>0，反之，若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)满足x 1x 2＋y 1y 2>0，则它们的夹角为锐角．( )[答案] 1.× 2.√ 3.×题型一 向量数量积的坐标运算思考：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b 如何计算？ 提示：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(1)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．(2)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)，求：①2a ·(b －a )；②(a ＋2b )·c . [思路导引] 利用向量垂直的充要条件及数量积的坐标表示求解．[解析] (1)AB →＝OB →－OA →＝(3,2－t )，由题意知OB →·AB →＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.(2)解法一：①∵2a ＝2(1,3)＝(2,6)，b －a ＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，∴2a ·(b －a )＝(2,6)·(1,2)＝2×1＋6×2＝14. ②∵a ＋2b ＝(1,3)＋2(2,5)＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)， ∴(a ＋2b )·c ＝(5,13)·(2,1)＝5×2＋13×1＝23.解法二：①2a ·(b －a ) ＝2a ·b －2a 2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14. ②(a ＋2b )·c ＝a ·c ＋2b ·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23. [答案] (1)5 (2)①14 ②23数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．[跟踪训练](1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2[解析] (1)a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝5. [答案] (1)C (2)A 题型二 向量的模思考：向量的模与两点间的距离有什么关系？提示：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得OA →＝a ＝(x ，y )，∴|OA →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点A 到原点的距离．同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．(1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标是________． [思路导引] (1)利用向量平行垂直的充要条件求解x ，y .(2)利用AB →与a 共线得AB →＝λa 解得λ，注意λ范围．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥c ，b ∥c⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)． ∴|a ＋b |＝10.(2)由题意可设AB →＝λa (λ>0)，∴AB →＝(2λ，3λ)．又|AB →|＝213， ∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2， 解得λ＝2或－2(舍去)．∴AB →＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)． [答案] (1)B (2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.[跟踪训练]平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图)．已知点A (16,12)，B (－5,15)．(1)求|OA →|，|AB →|； (2)求∠OAB .[解] (1)由OA →＝(16,12)， AB →＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得|OA →|＝162＋122＝20， |AB →|＝(－21)2＋32＝15 2. (2)cos ∠OAB ＝cos 〈AO →，AB →〉 ＝AO →·AB →|AO →||AB →|.其中AO →·AB →＝－OA →·AB → ＝－(16,12)·(－21,3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300. 故cos ∠OAB ＝30020×152＝22.∴∠OAB ＝45°. 题型三 向量的夹角思考：如果a 与b 是坐标形式时，如何求a 与b 的夹角？ 提示：若a ，b 是坐标形式，则可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解． 已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．[思路导引] 利用向量平行和垂直的充要条件，求出向量b 和c ，再利用夹角公式求解． [解] (1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3，∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)． (2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m 、n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m 、n 的夹角为3π4.解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[跟踪训练]求与向量a ＝(3，－1)和b ＝(1，3)夹角相等，且模为2的向量c 的坐标． [解] 设c ＝(x ，y )， 由|c |＝2， 得：x 2＋y 2＝2.① ∵c 与a 和b 夹角相等，∴3x －y (3)2＋(－1)2x 2＋y2＝x ＋3y12＋(3)2x 2＋y2，得3x －y ＝x ＋3y ，② 联立①②可得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12，y ＝3－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋12，y ＝－3－12.∴c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12，3－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋12，－3－12.课堂归纳小结1．本节课的重点是向量的坐标运算以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题.2．要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用 (1)向量数量积的坐标运算，见典例1； (2)向量的模，见典例2； (3)向量的夹角，见典例3.3．本节课的易错点：解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或π的特殊情况.1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] a ·b ＝1×(－1)＋1×2＝1，选A. [答案] A2．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， 即(x －1)×2＋2×1＝0，∴x ＝0. [答案] D3．已知a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么a ，b 的夹角θ＝( ) A ．30° B．60° C．120° D．150°[解析] ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－3×1＋(－1)×3(－3)2＋(－1)212＋32 ＝－234＝－32.∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝150°. [答案] D4．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. [解析] ∵c ＝a －(a ·b )b＝(2,4)－[2×(－1)＋2×4]·(－1,2) ＝(2,4)－(－6,12) ＝(8，－8)．∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. [答案] 8 25．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，则(a ＋b )·(a －b )＝________. [解析] (a ＋b )·(a －b )＝(0,7)·(4，－1) ＝0×4＋7×(－1)＝－7. [答案] －7课内拓展 课外阅读1．数量积的综合运用数量积及其运算经常用来解决几何问题．解题时一般分为三步：一是用向量表示几何关系，二是进行向量运算，三是还原几何结论．若O 为△ABC 内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对[解析] OB →－OC →＝CB →，OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →.如图所示，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，连接AD ，则AB →＋AC →＝AD →. ∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，∴CB →·AD →＝0，∴CB →⊥AD →，∴平行四边形ABDC 为菱形，∴AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形．[答案] A[点评] 解决此题用到了向量运算的恒等变形、向量加法运算的几何意义及菱形的判定等，采用了数形结合的方法．2．与向量有关的最值问题与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决，即寻找变量，借助向量的坐标运算构造函数并求其最值．还需指出的是，利用向量解决函数问题，或者利用函数与方程思想解决向量问题已成为高考命题的一大热点，应引起重视．已知平面xOy 内有向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，OP →＝(2,1)，点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当XA →·XB →取最小值时，求OX →的坐标；(2)当点X 满足(1)的条件时，求cos ∠AXB 的值．[解] (1)设OX →＝(x ，y )，∵点X 在直线OP 上，∴向量OX →，OP →共线，由OP →＝(2,1)，可以求得x ＝2y .∴XA →·XB →＝(OA →－OX →)·(OB →－OX →)＝(1－2y,7－y )·(5－2y,1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.∴当y ＝2时，XA →·XB →取得最小值－8，此时OX →＝(4,2)．(2)当OX →＝(4,2)时，XA →＝(－3,5)，XB →＝(1，－1)，∴|XA →|＝34，|XB →|＝ 2.∴cos ∠AXB ＝XA →·XB →|XA →||XB →|＝－41717. [点评] 利用向量的坐标运算，把XA →·XB →化为关于变量y 的函数，利用二次函数求最值．。
高中数学 2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案 新人教A版必修4
2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》导学案【学习目标】学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【重点难点】平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用【学法指导】预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
了解向量的模、夹角等公式。
【知识链接】1.平面向量数量积（内积）的坐标表示2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1)向量模的坐标表示：能表示单位向量的模吗？(2)平面上两点间的距离公式：向量a的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)AB=(3)两向量的夹角公式cos =3. 向量垂直的判定（坐标表示）4.向量平行的判定（坐标表示）三、提出疑惑【学习过程】（一）创设问题情景，引出新课a与b的数量积的定义？⑵向量的运算有几种?应怎样计算？（二）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积a·b呢？a·b=(x1,y1)·(x2,y2)=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难，点拨学生：i2=1,j2=1,i·j=0探究二：探索发现向量的模的坐标表达式若a=(x,y)，如何计算向量的模|a|呢？若A(x 1,x 2), B(x 2,y 2)，如何计算向量AB 的模两点A 、B 间的距离呢？例1、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.变式：已知a+b=2i-8j,a b=8i+16j,a b -- 则探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b 都是非零向量，a=(x 1,y 1),b(x 2,y 2),如何判定a ⊥b 或计算a 与b 的夹角<a,b>呢？1、向量夹角的坐标表示2、a ⊥b<=> <=>x 1x 2+y 1y 2=03、a ∥b <=>X 1y 2-x 2y 1=056365例2 在△ABC 中，=(2， 3)，=(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.变式：已知，(1,2),(3,2)a b ==- ，当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？ （2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？【学习反思】【基础达标】1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.123、a=(5,-7),b=(-6,-4)，求a 与b 的 数量积4、设a=(2,1),b=(1,3),求a ·b 及a 与b 的夹角5、已知向量a=(-2,-1),b=(λ,1)若a 与b 的夹角为钝角,则λ取值范围是多少?【拓展提升】1.已知(4,3),(5,6)a b =-= 则23a 4a b=-⋅ （ ）A.23B.57C.63D.832.已知()()a 3,4,b=5,12- 则a b 与夹角的余弦为（ ）A. B.C. D.3.()a=2,3,b=(2,4),- 则()()a+b a-b =⋅ __________。
人教版高中数学必修四 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【导学案】
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。
——爱迪生学习目标1．理解掌握平面向量数量级的坐标表达式，会进行数量积的坐标运算.2．理解掌握相连的模、夹角等公式，能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题. 学习重点利用平面向量数量积的坐标运算求向量的夹角、模等学习难点平面向量数量积坐标运算的灵活应用自主学习1．平面向量的数量积的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a•b=______.2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零的向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则______. 3．三个重要公式(1)向量模的公式：若a=(x,y)，则=_____________.(2)两点间的夹角公式：A=(x1,y1),B=(x2,y2),，则=__________.(3)向量的夹角公式：设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a与b的夹角为θ，则c osθ=______________. 预习评价1．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角为180°，且,则b=A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)2．若a=(3,4),b=(2,-1)则= , = ,a•b= .3．若a=(4,-2),b=(k,-1)且a⊥b则k=____________.4．已知，则向量a，b的夹角θ=___________.♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．平面向量数量积的坐标运算及向量模的坐标表示根据平面向量数量积的坐标表示公式a•b=x1x2+y1y2，(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))，探究下列问题：(1)如何用向量a与向量b的坐标推导表示a•b？(2)平面向量数量积的坐标表示的作用是什么？2．如何利用向量的数量积坐标表示公式推导？3．平面向量的夹角与垂直的坐标表示设a，b为非零向量，已知a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且a与b的夹角为θ，回答下列问题：(1)能否用向量a与b的坐标表示其夹角？(2)当θ＝90°即a⊥b时，利用向量a与b的坐标能得到什么关系？教师点拨平面向量的夹角与垂直的坐标表示的四点说明已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)且a与b的夹角为θ.(1)夹角公式：其作用是求两个向量的夹角，证明两个向量垂直；判断两个向量夹角的范围.(2)垂直的等价形式：.(3)平面向量的夹角公式与垂直的坐标表示的前提条件是：a≠0且b≠0.(4)因为，所以.交流展示——平面向量数量积与模的坐标运算1．在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=A.5B.4C.3D.22．已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=.变式训练1．向量，且与方向相同，则的范围是A. B. C. D.2．已知向量a=(2，l)，a·b=10，，则|b|=A. B. C.5 D.25交流展示——应用数量积解决垂直与夹角问题已知向量，.(Ⅰ)当时，求的值；(Ⅱ)当时，求向量与的夹角的余弦值；(Ⅲ)当时，求.变式训练3．已知中，、、,为边上的高，则点的坐标为_______. 4．已知向量a=(4,2),b=(1,1),则向量a-b与向量a+b的夹角的余弦值是.交流展示——平面向量数量积的综合运算与应用4．平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，M是线段DC上一点，且满足，若N 为平行四边形ABCD内任意一点(含边界), 则的最大值为A.13B.0C.8D.55．如图,已知二次函数y=a x2+b x+c(a,b,c∈R,a≠0)是偶函数,其图象过点C(t,2)且与x轴交于A,B两点,若AC ⊥BC,则a的值为.变式训练5．已知三个点，，．(1)求证：；(2)要使四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值．6．在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t)( 0≤θ≤).(1)若⊥a,且||=||,求向量;(2)若向量与向量a共线,当k>4,且tsin θ取最大值为4时,求·.学习小结1．求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤:(2)注意事项:在个别合有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算的值.2．求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.(2)a·a= a2=|a|2或此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3) 一些常见的等式应熟记,如等. 3．利用数量积求两向量夹角的步骤(1)求数量积:利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积.(2)求模:利用计算出这两个向量的模.(3)求余弦值:由公式直接求出的值.(4)求角:在内,由的值求角.4．求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2 =x2+y2,于是有.类型二平面向量的夹角和垂直问题5．数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时,要正确使用公式并能灵活运用以下几个关系:|a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2.(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.当堂检测1．已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与bA.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向2．已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为A. B. C. D.3．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是 .4．已知点A(-3，-4)，B(5，-12)，O 为坐标原点.(1)求的坐标及.(2)若，，求及的坐标.(3)求.5．已知向量的夹角为.(1)求；(2)若,求的值.知识拓展已知向量)2,1(-=，)3,2(=，若b a m +=λ与b a n -=的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是 .2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】1．x1x2＋y1y22．x1x2＋y1y2＝03．(1) (2) (3)【预习评价】1．A2．5 23．4．120°♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)设i，j是x轴、y轴上的单位向量，即i＝(1，0)，j＝(0，1)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b ＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2.(2)引入向量的坐标表示后，实现了向量的数量积的运算与两向量坐标的运算的转化，从而将两者联系起来.同时向量的坐标表示与运算可以简化数量积的运算.2．由向量的数量积公式的坐标表示，得a2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，又向量模的坐标公式｜a｜＝,得｜a｜2＝x2＋y2，所以a2＝｜a｜2.3．(1)提示:由向量的数量积公式a·b＝｜a｜｜b｜c osθ，得，根据向量数量积与向量模的坐标表示，得cosθ＝.(2)根据向量夹角的坐标公式，当θ＝90°时，cos90°＝＝0，x1x2＋y1y2＝0，即a⊥b x1x2＋y1y2＝0.【交流展示——平面向量数量积与模的坐标运算】1．A【解析】本题主要考查平面向量的基本运算.由+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得·=(2,1)·(3,-1)=5,故选A.【备注】平面向量的基本运算,首先要注意应用向量的加减法产生必要的向量,然后结合向量的乘法及一些其他运算.2．2【解析】本题主要考查平面向量的基础知识,考查考生的运算求解能力.由a=(2,0),|b|=1,可知|a|=2,a·b=|a||b|cos 60°=1,又|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4+4=12,故|a+2b|=2.【变式训练】1．C【解析】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及平行向量，两个向量与方向相同，我们可以判断存在实数使得：，然后根据已知条件，将条件中的等量(不等)关系转化为方程(不等式)，解方程(不等式)即可求得答案．∵与同向，∴可设，则有，又∵，∴，∴的范围是，故应选C.2．C【解析】()222250a b a b a b a b +=∴+=++⋅=，得5b =，故选C.【交流展示——应用数量积解决垂直与夹角问题】(Ⅰ)∵，∴，即.(Ⅱ)∵，，∴，又，.∴向量与向量的夹角的余弦值为.(Ⅲ)依题意 .∵，∴.即，∴.∴.∴.【解析】本题主要考查了平面向量的数量积.如果两个向量垂直，则它们对应坐标乘积的和等于0.如果求两个向量夹角的余弦值则会用两个向量数量积去求解.【变式训练】3．(1，1)【解析】本题主要考查了向量共线和垂直的坐标表示.设D 点坐标为，则向量，因为点D 在BC 上，所以向量和共线，所以有，整理得；又因为为边上的高，所以，所以有，即，整理得，，把①②联立解得：.所以点D 的坐标为(1，1). 4．【解析】因为向量a =(4,2),b =(1,1),所以向量a -b =(3,1),a +b =(5,3),所以|a -b |=,|a +b |=,(a -b )·(a +b )=15+3=18,所以cos<a -b ,a +b >=.【交流展示——平面向量数量积的综合运算与应用】4．A【解析】本题考查平面向量的数量积. 如图建立平面直角坐标系. 令(,),N x y 则M C .2AM AN x ∴⋅=+，令2Z x =+,当它过点C 时，max Z =2513⨯=.选A5．-【解析】由题意可知b=0,故函数图象与x轴交点的坐标分别为A(-,0),B(,0);点C的坐标为C(-,2),则=(-+,-2),=(+,-2),故·=++4=+4=0,可得a=-.【变式训练】5．(1)证明：由题意，，，∴ .∴，∴.(2)由(1)及四边形ABCD为矩形，得，设，则(1，1)=(x+1，y-4)，∴，即C(0，5)；∴，得：，，.设与夹角为，则，∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值．【解析】本题考查两向量垂直的充要条件并利用向量垂直证明两线垂直；利用向量的数量积求向量的夹角.(1)求出向量的坐标，利用向量的数量积为0，两向量垂直证出两线垂直．(2)利用向量相等对应的坐标相等求出点C的坐标，求出两对角线对应的向量坐标，利用向量的数量积公式求出向量的夹角．6．(1)=(n-8,t),∵⊥a,∴8-n+2t=0.又||=||,∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得t=±8.∴=(24,8)或=(-8,-8).(2)=(ksin θ-8,t),∵向量与a共线,∴t=-2ksin θ+16,tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k(sin θ-)2+,∵k>4,∴1>>0,∴当sin θ=时,tsin θ取得最大值.由=4,得k=8,此时θ=,=(4,8),∴·=(8,0)·(4,8)=32.【解析】本题主要考查向量的坐标运算、向量垂直、向量的数量积运算和三角函数的最值问题,考查考生的运算求解能力.【当堂检测】1．A【解析】∵ab= (-5,6)·(6,5)=(-5)×6+6×5=0,∴a ⊥b.2．B【解析】因为a·(b-a)=a·b-a2=2,所以a·b=3,所以cos<a,b>===,所以<a,b>=.【解析】本题考查平面向量的数量积。
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§2.4.2平面向量数量积的
坐标表示、模、夹角
1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；
2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性.
P107） 复习：1.向量a 与b 的数量积a b ⋅
= .
2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①a b a b ⊥⇔⋅= ；
②a = ；
③cos θ= .
二、新课导学
※ 探索新知
探究：平面向量数量积的坐标表示
问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y == ，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅ 呢？
1. 平面向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅
（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y = 和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？
2.平面内两点间的距离公式 （1）设a=(x,y), 则2a = ________________或a ________________。
（2）若()11,A x y ，()22,B x y =___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y == 的夹角θ和判断两个向量垂直？
3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________
向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y , 则⇔⊥b a _________________
※ 典型例题
例1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A
（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明.
（2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。
例2、已知()()1,3,3,1==
，求a 与b 的夹角θ.
变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3,k=4
π则______________.
三、小结反思
1、平面向量数量积的坐标表示.
2、向量数量积的坐标表示的应用.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1、若()4,3a =- ，()5,6b = ，则234a a b -⋅ =
2、已知()3,2a =-- ，()4,b k =- ，若()()5355a b b a -⋅-=- ，试求k 的值.
3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-
，当k 为何值时， （1）3ka b a b +- 与垂直？ （2）3ka b a b +- 与平行吗？它们是同向还是反向？
4、 已知()3,4a =- ，()2,b x = ，()2,c y = ，且//a b ，a c ⊥ ，求： （1）b c ⋅ ； （2）b 、c 的夹角.
1. 已知点1,2A 和()4,1B -，问能否在y 轴上找到一点C ，使90ACB ∠=
，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.
2. 已知＝(3，－1)，＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，32. (1)求证：a ⊥ b ； (2)若存在不同时为0的实数k 和t ，使＝＋(t －3) ，＝－k ＋t ，且 ⊥ ，试求
函数关系式k ＝f (t )；
(3)求函数k ＝f (t )的最小值．。