高考理科数学刷题练习考点九三角函数的图象与性质
高考数学专项复习11《三角函数的图象与性质》
高考数学专项复习11《三角函数的图象与性质》牢记概念公式，避免卡壳1.同角三角函数的基本关系(1)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R ). 2.三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中，“奇、偶”是指“k ·π2±α(k ∈Z )”中k 的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号. 3.三角函数的性质(1)y ＝sin x 与y ＝cos x 的值域是[－1，1]，最小正周期T ＝2π. (2)y ＝sin x (x ∈R )是奇函数，y ＝cos x (x ∈R )是偶函数.(3)y ＝tan x 是奇函数，最小正周期T ＝π，定义域是{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. 4.由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法活用结论规律，快速抢分1.由sin α±cos α符号判断α位置(1)sin α－cos α>0⇔α终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α>1).(2)sin α＋cos α>0⇔α终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1).2.三角函数的对称中心与对称轴(1)函数y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z ). (2)函数y ＝cos x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π(k ∈Z ). (3)函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，没有对称轴.高效微点训练，完美升级1.若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255B.－55C.55D.255 解析 由三角函数定义，cos α＝25＝255， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255.答案 A2.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝－79.答案 A3.函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1D.2，－2解析 y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，所以最大值为2，最小值为－2. 答案 D4.若直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交，则相邻两交点间的距离是( ) A.π2 B.2πC.πD.与a 值有关解析 结合函数y ＝tan x 的图象，知相邻两点间的距离是y ＝tan x 的最小正周期.∴d ＝T ＝π. 答案 C5.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3 C.π6D.π3解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. 答案 D6.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2D.3 解析 因为ω>0，－π3≤x ≤π4，所以－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，所以ω≥32. 答案 B7.已知曲线C 1：y ＝22sin x cos x ，C 2：y ＝sin 2x ＋cos 2x ，则下面结论正确的是( )A.把曲线C 1向右平移π8个单位长度，得到曲线C 2 B.把曲线C 1向左平移π4个单位长度，得到曲线C 2 C.把曲线C 2向左平移π4个单位长度，得到曲线C 1 D.把曲线C 2向右平移π8个单位长度，得到曲线C 1解析 曲线C 1：y ＝22sin x cos x ＝2sin 2x ，曲线C 2：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8，所以把曲线C 2向右平移π8个单位长度，得到曲线C 1(或把曲线C 1向左平移π8个单位长度，得到曲线C 2).故选D. 答案 D8.将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增.答案 A9.已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位，所得函数的部分图象如图所示，则φ的值为( )A.π6 B.5π6 C.π12D.5π12解析 由题图知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ， ∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫512π＋φ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋2φ＝2.∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，则φ＝π12＋k π(k ∈Z ). 又0<φ<π2，所以φ＝π12. 答案 C10.(多选题)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω可能的取值为( ) A.－2 B.2 C.6D.14 解析 因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，分别令k ＝0，1，2，可选A ，C ，D 项. 答案 ACD11.已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为________. 解析 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z ).∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1.答案 －112.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是________.解析 因为ω>0，π<x <2π，所以ωπ＋π6<ωx ＋π6<2ωπ＋π6，又函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)内没有最值，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)上单调，所以2ωπ＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6＝ωπ<π，0<ω<1，则π6<ωπ＋π6<7π6.当π6<ωπ＋π6<π2时，则2ωπ＋π6≤π2，所以0<ω≤16； 当π2≤ωπ＋π6<7π6时，则2ωπ＋π6≤3π2，所以13≤ω≤23. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2313.已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.由题意知－π3≤x ≤m ， 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3.14.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2. 又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )， φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12－π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).。
高考数学复习考点知识讲解与专题练习38--- 三角函数的图象与性质
高考数学复习考点知识讲解与专题练习三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心(k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无[常用结论与微点提醒]1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式.3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条.(2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(新教材必修第一册P213T3改编)下列函数中，是奇函数的是( ) A.y ＝|cos x ＋1| B.y ＝1－sin x C.y ＝－3sin(2x ＋π) D .y ＝1－tan x解析 选项A 中的函数是偶函数，选项B ，D 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y ＝－3sin(2x ＋π)＝3sin 2x ，所以是奇函数，选C. 答案 C3.(老教材必修4P36T2改编)函数y ＝－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6＋3的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A.T ＝π A ＝32B.T ＝π2A ＝92C.T ＝4π A ＝92D.T ＝2π A ＝－32 解析 T ＝2π12＝4π，A ＝32＋3＝92.答案 C4.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65. 答案 A5.(2019·北京卷)函数f (x )＝sin 22x 的最小正周期是________.解析 由降幂公式得f (x )＝sin 22x ＝1－cos 4x 2＝－12cos 4x ＋12，所以最小正周期T ＝2π4＝π2.答案π26.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2 的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.解析 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝－π6.答案 －π6考点一 三角函数的定义域 【例1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________.(2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________.解析 (1)要使函数有意义，必须有 ⎩⎨⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数有意义，则⎩⎨⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎨⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎨⎧2k π<x <π＋2k π（k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π（k ∈Z ），所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z规律方法 三角函数与基本初等函数复合，求其定义域，一般有以下几种情形： (1)分式中的分母不为零；(2)偶次方根下的数(或式)大于等于零； (3)指数式的底数大于零且不等于1；(4)对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零；(5)由几部分数学式子组成的，那么函数的定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.【训练1】(一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________. 解析 法一要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z .法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )考点二 三角函数的值域(最值)【例2】 (1)函数y ＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为________.(2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.解析 (1)∵y ＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴函数y ＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为[－3，3].(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. 答案 (1)[－3，3] (2)1规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)(2020·衡水调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________.(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，知x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6.∵x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. (2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1考点三 三角函数的周期性与对称性多维探究角度1 三角函数的周期性【例3－1】 (1)函数f (x )＝|tan x |的最小正周期是______. (2)函数f (x )＝cos 232x －sin 232x 的最小正周期是________.解析 (1)y ＝|tan x |的图象是y ＝tan x 的图象保留x 轴上方部分，并将下方的部分翻折到x 轴上方得到的，所以其最小正周期为π.(2)函数f (x )＝cos 232x －sin 232x ＝cos 3x ，最小正周期T ＝2π3. 答案 (1)π (2)2π3规律方法 三角函数周期的一般求法：(1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 和函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的最小正周期T ＝2π|ω|；(2)函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的最小正周期T ＝π|ω|；(3)不能用公式求周期的函数，可考虑用图象法求周期. 角度2 三角函数图象的对称性【例3－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(2)若函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)图象的一个对称中心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9，0，距离点M 最近的一条对称轴为直线x ＝5π18，则ω＝________.解析 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称， 所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称.(2)函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，因为图象的对称中心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9，0，距离点M 最近的一条对称轴为x ＝5π18，所以5π18－π9＝T 4，即T ＝2π3.故ω＝2πT ＝3. 答案 (1)C (2)3规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练3】 (1)(角度1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为4π，且∀x∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 (2)(角度2)(2020·武汉调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( ) A.－π6B.π6C.－π3 D.π3解析 (1)由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π， 得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6. 答案 (1)A (2)A考点四 三角函数的单调性 多维探究角度1 求三角函数的单调区间【例4－1】 (1)(2020·岳阳质检)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，7π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，4π3 (2)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间是______.解析 (1)由2k π－π2≤x 2＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得，4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3(k ∈Z )， 又x ∈[－2π，2π]，所以－5π3≤x ≤π3.故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3.故选A.(2)由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )， 得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ). 答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数. 角度2 根据三角函数的单调性求参数【例4－2】 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.解析 由π2<x <π，ω>0得 ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54规律方法 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. 【训练4】 (1)(角度1)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) (2)(角度2)(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4 D.π解析 (1)函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ).(2)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.答案 (1)D (2)AA 级 基础巩固一、选择题1.函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2B.2π3 C.π D .2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π. 答案 C2.函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） 解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D. 答案 D3.若函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D. 答案 D4.若f (x )为偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上满足：对任意x 1<x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则f (x )可以为( )A.f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π2 B.f (x )＝|sin(π＋x )|C.f (x )＝－tan xD.f (x )＝1－2cos 22x解析 ∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π2＝－sin x 为奇函数，∴排除A ；f (x )＝－tan x 为奇函数，∴排除C ；f (x )＝1－2cos 22x ＝－cos 4x 为偶函数，且单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2，k π2＋π4(k ∈Z )，排除D ；f (x )＝|sin(π＋x )|＝|sin x |为偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增.答案 B5.(2019·昆明诊断)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A.周期为π，最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称，为奇函数 B.周期为π，最大值为1，图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0对称，为奇函数C.周期为π，最大值为1，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递减，为奇函数D.周期为π，最大值为1，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数解析 将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x的图象，则函数g (x )的周期为π，最大值为1，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，且为奇函数，故选D. 答案 D 二、填空题6.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________.解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ).答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 7.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23. 答案238.(2020·合肥调研)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，则下列说法正确的是________(填序号).①f (x )的周期是π2；②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}； ③直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴； ④f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z .解析 函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确.答案 ④ 三、解答题9.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.由题意知－π3≤x ≤m ， 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1.所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 故实数m 的最小值为π3.10.已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性.解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )， 即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )，令k ＝0，得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.B 级 能力提升11.(2020·山东百日冲刺)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≤π4，cos x ，x >π4，则下列结论正确的是()A.f (x )是周期函数B.f (x )是奇函数C.f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D.f (x )在5π2处取得最大值 解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可知函数f (x )不是周期函数，所以A 不正确；同时图象不关于原点对称，所以不是奇函数，所以B 不正确；若x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝22(cos x －sin x )， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22(cos x －sin x )， 此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ； 若x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝22(cos x ＋sin x )， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22(cos x ＋sin x )， 此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，综上，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，即图象关于直线x ＝π4对称，所以C 正确；当x ＝5π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＝cos 5π2＝0不是函数的最大值，所以D 错误，故选C.答案 C12.(2019·长沙模拟)已知P (1，2)是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点，设∠BPC ＝θ，若tan θ2＝34，则f (x )图象的对称中心可以是( ) A.(0，0) B.(1，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 解析 由已知作出图形，连接BC ，过P 作BC 的垂线，如图所示.由题意知A ＝2.又∠BPC ＝θ，所以tan θ2＝12BC 2×2＝34，解得BC ＝6，所以T ＝6＝2π|ω|，又∵ω>0，解得ω＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ.将点P (1，2)的坐标代入函数解析式，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2，解得φ＝π6＋2k π(k ∈Z ).令k ＝0，得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.令π3x ＋π6＝m π(m ∈Z )，解得x ＝3m －12(m ∈Z ).令m ＝1，得x ＝52，即f (x )图象的对称中心可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.故选D. 答案 D13.若函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________.解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ). 又∵函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a ，7π6上均单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，7π24 14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.C 级 创新猜想15.(多选题)已知函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ，则下列说法正确的是( )A.f (x )的最小正周期为πB.f (x )的最大值为2C.f (x )的图象关于y 轴对称D.f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增 解析 ∵f (x )＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，f (x )的最大值为1.∵f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称.∵y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，∴f (x )＝－cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增.故选ACD. 答案 ACD16.(开放题)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＋1，将f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若g (x 1)g (x 2)＝9，则|x 1－x 2|的值可以是________(答案不唯一，写出一个即可).解析 f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ＋1＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，将函数f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象对应的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所得的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋1的图象，则函数g (x )的值域为[－1，3]，又g (x 1)g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝g (x )max ＝3，则|x 1－x 2|＝nT (n ∈N ，T 为g (x )的最小正周期)，又T ＝π2，故|x 1－x 2|＝n π2(n ∈N )，故可填π2.答案 π2(答案不唯一)。
高三数学专题复习-三角函数图像及其性质
三角函数及其图像性质精讲精练〔2〕【知识点回忆】【考向一】三角函数的定义域【例1】函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_____。
【精练1】．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠kπ－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2kπ－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠kπ＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2kπ＋π4，k ∈Z【解析】 ∵π4－x ≠π2＋kπ，∴x ≠－π4－kπ，又∵k ∈Z ，∴A 正确．【答案】 A【考向二】三角函数的单调性【思路点拨】 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 解析式确实定与性质的研究借助图象或文字表达，先求A 、ω、φ、B 的值后，再依据解析式研究三角函数的单调性、值域、最值及周期性、奇偶性等性质是高考的常见题型．【例1】〔2012湖南文18〕已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>∈+=20,0,sin πϕωϕωR x x A x f 的部分图像如图5所示。
〔Ⅰ〕求函数()x f 的解析式； 〔Ⅱ〕求函数()⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212ππx f x f x g 的单调递增区间。
【精练1】3．(2013·佛山模拟)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x x ∈[0，π]为增函数的区间为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎦⎤π12，712πC.⎣⎡⎦⎤π3，56πD.⎣⎡⎦⎤56π，π 【解析】 因为y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤32π＋2k π，k ∈Z 得π3＋k π≤x ≤56π＋k π，k ∈Z ，即函数在R 上的增区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，56π＋k πk ∈Z ，当k ＝0时增区间为⎣⎡⎦⎤π3，56π.故选C. 【答案】 C【精练1】〔2012全国新课标9〕已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
高考数学复习重要知识点：三角函数的图象与性质
高考数学复习重要知识点：三角函数的图象与性质三角函数在研讨三角形和圆等几何外形的性质时有重要作用，下面是2021高考数学温习重要知识点：三角函数的图象与性质，希望对考生有协助。
1、周期函数的定义：
关于函数f(x)，假设存在一个非零常数T，使妥当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.
2、最小正周期：
假设在周期函数f(x)的一切周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1、求三角函数定义域实践上是解复杂的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
2、求解触及三角函数的值域(最值)的标题普通常用以下方法：
(1)、应用sin x、cos x的值域;
(2)、方式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的方式逐渐剖析ωx+φ的范围，依据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2));
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个全体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)效果(如例1(2)).
小编为大家提供的2021高考数学温习重要知识点：三角函数的图象与性质大家细心阅读了吗?最后祝大家可以考上理想的大学。
高考数学冲刺复习三角函数图像考点解析
高考数学冲刺复习三角函数图像考点解析在高考数学中，三角函数图像是一个重要的考点，它不仅要求我们掌握基本的概念和性质，还需要我们能够灵活运用这些知识解决各种问题。
在冲刺复习阶段，对三角函数图像考点进行系统的梳理和深入的理解，能够帮助我们在考试中更加得心应手。
一、三角函数的基本类型我们先来了解一下常见的三角函数，包括正弦函数（y ＝ sin x）、余弦函数（y ＝ cos x）和正切函数（y ＝ tan x）。
正弦函数的图像是一个以2π 为周期，在－1 到1 之间波动的曲线。
它在 x ＝ 0 时，函数值为 0；在 x ＝π/2 时，函数值为 1；在 x ＝3π/2 时，函数值为－1。
余弦函数的图像同样是以2π 为周期，在－1 到 1 之间波动。
它在 x ＝ 0 时，函数值为 1；在 x ＝π 时，函数值为－1。
正切函数的图像则有所不同，它的周期是π，定义域为x ≠ （π/2)＋kπ（k 为整数），值域为R。
其图像在每个周期内都是单调递增的，且有垂直渐近线 x ＝（π/2) ＋kπ。
二、三角函数图像的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，正切函数的周期是π。
周期性是三角函数的重要特征之一，利用周期性可以将函数在一个周期内的性质推广到整个定义域。
2、对称性正弦函数是关于直线 x ＝π/2 ＋kπ（k 为整数）对称的奇函数；余弦函数是关于直线 x ＝kπ（k 为整数）对称的偶函数。
3、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k 为整数）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ上单调递减。
余弦函数在2kπ π, 2kπ上单调递增，在2kπ, 2kπ ＋π上单调递减。
4、值域正弦函数和余弦函数的值域都是-1, 1，正切函数的值域是 R。
三、三角函数图像的变换1、平移变换对于函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图像向左平移φ 个单位；当φ ＜ 0 时，图像向右平移|φ|个单位。
高考数学复习：三角函数的图象与性质
得，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝___k_π____(k∈Z)解得；
数
二
(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝____kπ____(k∈Z)解得，对 学
轮
复 习
称中心的横坐标由ωx＋φ＝___k_π_＋__π2_____(k∈Z)解得；
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象的对称中心由ωx＋φ＝k2π(k∈Z)解得．
二
③中，当x＝0时，f(x)＝0，
学
轮
复 习
当x∈(0，π]时，f(x)＝2sin x，令f(x)＝0，得x＝π．
又∵f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误．
返回导航
专题三 三角函数及解三角形
④中，∵sin|x|≤|sin x|，∴f(x)≤2|sin x|≤2，
当x＝π2＋2kπ(k∈Z)或x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，y 当x＝2kπ，k∈Z时，y取得
取得最大值1，
最大值1，
最值
无最值
当x＝－
π 2
＋2kπ，k∈Z 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取 得最小值－1
二 轮
时，y取得最小值－1
数 学
复
习
对称中心：
对称中心：
对称 性
___(_k_π_，__0_)(_k_∈__Z_)_____． 对称轴： __x_＝__π2_＋__k_π_(_k_∈__Z_)____
返回导航
专题三 三角函数关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；
高考数学复习考点题型专题讲解1 三角函数的图象与性质
高考数学复习考点题型专题讲解 专题1 三角函数的图象与性质 高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或作为解答题其中一问考查.
1.(2022·浙江卷)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin3x＋π5图象上所有的点( ) A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单位长度 C.向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长度 答案 D 解析 因为y＝2sin3x＋π5＝2sin3x＋π15， 所以要得到函数y＝sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin3x＋π5的图象上所有的点向右平移π15个单位长度，故选D. 2.(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)＝sinωx＋π4＋b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3A.1 B.32 C.52D.3 答案 A 解析 因为2π3
因为y＝f(x)的图象关于点3π2，2中心对称，所以b＝2，且sin3π2ω＋π4＋b＝2，即sin3π2ω＋π4＝0，所以3π2ω＋π4＝kπ(k∈Z)， 又2所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52， 所以f(x)＝sin52x＋π4＋2， 所以fπ2＝sin52·π2＋π4＋2＝sin 3π2＋2＝1.故选A. 3.(2022·北京卷)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( ) A.f(x)在－π2，－π6上单调递减B.f(x)在－π4，π12上单调递增 C.f(x)在0，π3上单调递减D.f(x)在π4，7π12上单调递增 答案 C 解析 依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x. 对于A选项，因为x∈－π2，－π6，所以2x∈－π，－π3，函数f(x)＝cos 2x在－π2，－π
高考数学热门考点与解题技巧考点三角函数的图象与性质
高考数学热门考点与解题技巧考点三角函数的图象与性质Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】考点10 三角函数的图象与性质题型1 三角函数的图形变换例1 （2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：，则下面结论正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D.【解题技巧】关于y ＝Asin (ωx+φ)函数图像由y ＝sinx 的图像的变换，先将y ＝sinx 的图像向左(或右)平移|φ|个单位，再将其上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1ω倍，再将其纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍，也可先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是|φ|个单位，而是|φω|个单位，原则是保证x 的系数为1，同时注意变换的方法不能出错．变式1.（2016四川理3）为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点（ ）A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度 C.向左平行移动π6个单位长度 D.向右平行移动π6个单位长度题型2 三角函数的周期性例2 （2016山东理7）函数()(3cos 3sin )f x x x x x =+-的最小正周期是（ ）A ．π2 B ．π C ．3π2D ．2π解析：由()()22()2sin cos 3cos sin sin 23cos 2f x x x x x x x ⎡⎤=+-=+=⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期是π. 故选B.【解题技巧】求三角函数最小正周期的基本方法： (1)将所给函数化为y ＝Asin (ωx+φ)的形式； (2)利用图像的根本特征，作出图像，观察得出．变式1.（2015四川）下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（ ）.A. πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. sin 2cos 2y x x =+ D. sin cos y x x =+题型3 三角函数的单调性例3 （2016天津理15）已知函数()ππ4tan sin cos 323f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）讨论()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.解析:（1）()f x 的定义域为ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .()ππ4tan cos cos 34sin cos 333f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134sin cos sin 32sin cos 23sin 322x x x x x x ⎛⎫+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭()πsin 231cos 23sin 23cos 22sin 23x x x x x ⎛⎫+--=-=- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （2）令π23z x =-，函数2sin y z =的单调递增区间是()ππ2π,2π22k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 由πππ2π22π232k x k -+-+，得π5πππ1212k xk -++，k ∈Z . 设ππ,44A ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，π5πππ,1212B x k xk k ⎧⎫=-++∈⎨⎬⎩⎭Z ，易知ππ,124A B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.又πππ12462T ⎛⎫---=< ⎪⎝⎭，所以当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在区间ππ412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 变式1.（2015重庆）已知函数()2πsin sin 3cos 2f x x x x⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.（2）令πππ2π22π232k x k--+，k∈Z，得π5πππ1212k x k-+，k∈Z，所以()f x的单调递增区间为π5ππ,π1212k k⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k∈Z.同理，()f x的单调递减区间为5π11ππ,π1212k k⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k∈Z.故当π2π,63x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x在π5π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.变式2.（2015浙江）函数2()sin sin cos1f x x x x=++的最小正周期是，单调递减区间是．解析因为1cos212π3()sin21sin22242xf x x x-⎛⎫=++=-+⎪⎝⎭，所以2ππ2T==. 所以ππ3π2π22π242k x k+-+，即3π7πππ,88k x k k++∈Z.所以单调递减区间是()3π7ππ,π,88k k k⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z.题型4 根据图象确定三角函数的表达式例4.（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数π3sin()6y x kϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）．A． 5 B．6 C．8 D．10Oyx时间/h水深/m218126题型5 三角函数性质的综合应用例5 （2016全国乙理12）已知函数π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π1836⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）. A.11 B.9 C.7 D.5 解析：选B. 因为x ＝-π4为函数f(x)的零点，x ＝π4为y ＝f(x)图像的对称轴，所以π2＝kT2+T 4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k+1(k ∈Z)． 又f(x)在(π18，5π36)上单调，所以T≥π6，k ≤112， 又当k ＝5时，ω＝11，φ＝-π4，f(x)在(π18，5π36)上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f(x)在(π18，5π36)上单调，满足题意； 故ω＝9，即ω的最大值为9.变式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）. A.23ω=，12ϕπ=B.23ω=，12ϕ11π=-C.13ω=，24ϕ11π=-D.13ω=，24ϕ7π= 解析 解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A.变式2. (2015安徽)已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）. A. ()()()220f f f <-< B. ()()()022f f f <<- C.()()()202f f f -<< D. ()()()202f f f <<-当2262x k ππ+=+π时，即6x k π=+π时，()f x 取最大值．下面需判断0,2-,2与最近的最高点处的对称轴的距离,距离越大,相应的函数值越小，如图所示，π6－5π6Oyx-22因为00.5266ππ-=≈，2 1.486π-≈，20.6265π⎛⎫---≈ ⎪⎝⎭，所以()()()220f f f<-<．故选A．【高考真题链接】1.（2016北京理7）将函数πsin23y x⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点π,4P t⎛⎫⎪⎝⎭向左平移()0s s>个单位长度得到点P'.若P'位于函数sin2y x=的图像上，则（）.A.12t=，s的最小值为π6B.32t=，s的最小值为π6C.12t=，s的最小值为π3D.3t=，s的最小值为π3解法二：由①可得，π22π(3s k k=±∈Z)，ππ(6s k k=±∈Z).再由0s>，可得s的最小值为π6.故选A.2.（2016全国丙理14）函数sin3y x x=-的图像可由函数sin3y x x=的图像至少向右平移_______个单位长度得到.2π3解析由πsin 3cos 2sin 3y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，πsin 3cos 2sin 3y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，显然函数π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像可由π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像至少向右平移2π3个单位长度得到.3.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）.A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减2π35π3π3-6πxyO4.（2015湖南）将函数()sin2f x x =的图像向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min π3x x -=，则ϕ=（ ）. A.5π12B.π3C.π4D.π6 解析 依题意()f x 向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ， 又因为2|)()(|21=-x g x f ，所以不妨设1π22π2x k =+，2π222π2x m ϕ-=-+， 所以12π()π2x x k m ϕ-=-+-. 又因为12min π3x x -=，所以πππ236ϕϕ-=⇒=.故选D.5.（2015全国1）函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）.15414OyxA ．13,44k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z B ．132,244k k ⎛⎫π-π+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C ．13,44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z D ．132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z6.（2015山东）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 4y x =的图像( ).A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移3π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度 解析 因为sin 4sin 4312y x x π⎡π⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到sin 412y x ⎡π⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，只需将sin 4y x =的图像向右平移12π个单位．故选B ．7.（2016浙江理5）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期（ ）. A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关C.与b 无关，且与c 无关D.与c 无关，但与c 有关8．2016上海理7）方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为 ．π5π,66解析 由3sin x =222sin x -，即22sin 3sin 20x x +-=，所以()()2sin 1sin 20x x -+=，故1sin 2x =.由于[]0,2πx ∈，故π5π,66x =． 9．（2016江苏9）定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像的交点个数是 ．解析 解法一（图像法）：画出函数图像草图，共7个交点．xyOπ2π3π1-110.（2016全国乙理12）已知函数π()sin()0,2f x xωϕωϕ⎛⎫=+>⎪⎝⎭，π4x=-为()f x的零点，π4x=为()y f x=图像的对称轴，且()f x在π5π1836⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）.A.11B.9C.7D.5解析依题意，可得()π2124Tk=⋅+，k∈N，且5ππ36182T-，即π6T.故2112k+，k∈N，即112k，k∈N.当5k=时，2π11T=.又ππ2π3π5π184114436<-=<，因此()f x在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上不单调.当4k=时，2π9T=，且π2πππ5π,49361836⎛⎫-=∉ ⎪⎝⎭.又ππ5ππ5π,49361836⎛⎫-=∉ ⎪⎝⎭，因此()f x在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为9.故选B.11.（2016浙江理10）已知22cos sin2sin()(0)x x A x b Aωϕ+=++>，则A=______，b=________．解析2π2cos sin2cos2sin212214x x x x x⎛⎫+=++++⎪⎝⎭.所以2,1A b==.12.（2016天津理15）已知函数()ππ4tan sin cos323f x x x x⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x的定义域与最小正周期；（2）讨论()f x在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.解析 （1）()f x 的定义域为ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z .()ππ4tan cos cos 34sin cos 333f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134sin cos sin 32sin cos 23sin 32x x x x x x ⎛⎫+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭()πsin 231cos 23sin 23cos 22sin 23x x x x x ⎛⎫+--=-=- ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.13.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos 23sin cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 （1）由23sin 3π21cos 32π=-，得2223131232322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x =-，sin22sin cos x x x =，得()cos 2322sin 26f x x x x π⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π.由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z ，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z . 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.14.（2015湖北）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解 析式；（2）将()y f x =图像上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图 像. 若()y g x =图像的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值. 解析（1）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为()π5sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.。
高考数学专题：三角函数的图象与性质
y t 2 3t 1 4
当t
3 2
时，ymax
1
上一页
返回导 航
下一页
第二部分 专题一 三角函数与解三角形
11
［明考情—备考如何学］ 高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在 第 6～12 题或第 14、15 题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性 质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三 角恒等变换交汇命题．
上一页
返回导 航
下一页
第二部分 专题一 三角函数与解三角形
18
2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象 如图所示，则 f(2 019)的值为___-_1____．
上一页
返回导 航
下一页
第二部分 专题一 三角函数与解三角形
19
B．在π4，51π2上单调递减
C．1π2，0是 g(x)图象的一个对称中心
D．直线 x＝－π6是 g(x)图象的一条对称轴
上一页
返回导 航
下一页
第二部分 专题一 三角函数与解三角形
26
2. (2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sinωx＋π6(ω>0)在区间－π4，23π上单调
(3)基本关系：
sin2x＋cos2x＝1，
tan
x＝csions
x x.
上一页
返回导 航
下一页
第二部分 专题一 三角函数与解三角形
13
［研考点考向·破重点难点］
考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考点九 三角函数的图象与性质 一、选择题 1．(2019·天津红桥区二模)已知函数f(x)＝cos2x＋π4，则f(x)在区间0，π2上的最小值为( ) A．22 B．－22 C．－1 D．0 答案 C
解析 ∵x∈0，π2，∴π4≤2x＋π4≤5π4，当2x＋π4＝π时，即x＝3π8时，函数f(x)有最小值－1，故选C. 2．(2019·东北三省四市一模)下列各点中，可以作为函数y＝sinx－3cosx图象的对称中心的是( )
A．π3，0 B．π6，0 C．2π3，0 D．5π6，0 答案 A 解析 原函数可化为y＝2sinx－π3，令x－π3＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ＋π3(k∈Z)，则函数的对称中心为kπ＋π3，0(k∈Z)，当k＝0时，对称中心为π3，0，故选A. 3．函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是( ) A．kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z) B.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z) C．kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z) D.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z) 答案 B 解析 由kπ－π2<2x－π3
＝tan2x－π3的单调递增区间为kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)，故选B. 4．若一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为( ) A．2 B．1
C．1sin21 D．1cos21 答案 C 解析 设扇形的半径为r，则r＝1sin1，故S扇形＝12r2α＝1sin21.故选C.
5．(2019·唐山一模)为了得到函数y＝sin5π6－x的图象，可以将函数y＝sinx的图象( ) A．向左平移π6个单位长度
B．向右平移π3个单位长度 C．向右平移π6个单位长度 D．向左平移π3个单位长度 答案 A 解析 因为y＝sin5π6－x＝sinπ－π6＋x＝sinx＋π6，所以为了得到函数y＝sin5π6－x的图象可以将函数y＝sinx的图象向左平移π6个单位长度． 6．(2019·河北石家庄市一模)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)ω>0，|φ|数图象如图所示，点A(0，3)，Bπ6，0，则函数f(x)图象的一条对称轴方程为( ) A．x＝－π3 B．x＝－π12 C．x＝π18 D．x＝π24 答案 D 解析 由题意可得xB－xA＝T4＋T4×13＝T3＝π6，则T＝π2，ω＝2πT＝4，当x＝0时，
2cosφ＝3，结合函数图象可知φ＝－π6，故函数的解析式为f(x)＝2cos4x－π6，令4x－π6＝kπ，可得图象的对称轴方程为x＝kπ4＋π24(k∈Z)，令k＝0可得一条对称轴方程为x＝π24，故选D. 7．函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( ) 答案 C 解析 函数是非奇非偶函数，所以排除A，B.当x∈[0，π]时，y′＝1＋cosx≥0，函数在[0，π]上单调递增，排除D.故选C. 8．(2019·石家庄重点中学模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋
φ)x∈－π12，2π3，φ∈
0，
π
2的图象如图所示，若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，则f(x1
＋x2)的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B 解析 由f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈－π12，2π3的图象，得最小正周期T＝2πω＝43
2π3＋π12＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，将点2π3，－2代入，得sin4π3＋φ
＝－1，又φ∈0，π2，解得φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6x∈－π12，2π3，因为f(x1)＝f(x2)且x1≠x2，由图象得x1＋x2＝π3，所以f(x1＋x2)＝2sin5π6＝1，故选B. 二、填空题 9．已知函数f(x)＝sin[2(x＋φ)](φ>0)是偶函数，则φ的最小值是________．
答案 π4 解析 因为f(x)＝sin(2x＋2φ)是偶函数，所以2φ＝π2＋kπ，k∈Z，即φ＝π4＋kπ2，k∈Z，又φ>0，故当k＝0时，φ取得最小值π4. 10．(2019·河南百校联盟仿真试卷)已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω>0)的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2019)＝________. 答案 2＋1
解析 由题意得T2＝4，即T＝8，所以ω＝π4，故f(x)＝sinπ4x＋π4，所以g(x)＝f(x－1)＝sinπ4x－π4＋π4＝sinπ4x，因为g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(8)＝0，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2019)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＝2＋1. 11．(2019·静海区模拟)已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图
象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 答案 π6 解析 由题意得，两个函数图象的交点坐标为π3，cosπ3，即π3，12，代入y＝sin(2x＋φ)得12＝sin2π3＋φ，因为0≤φ＜π，所以2π3≤2π3＋φ＜5π3，所以2π3＋φ＝5π6， φ＝π6.
12．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________． 答案 1
解析 f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1.∵x∈0，π2，∴cosx∈[0,1]， ∴当cosx＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1. 三、解答题 13．已知函数f(x)＝2sinωx(0右平移π3个单位，再向上平移1个单位可以得到函数g(x)的图象． (1)求函数g(x)的解析式； (2)求函数g(x)在区间－π3，π2上的值域． 解 (1)由题意fπ4＝2sinωπ4＝±2， 故ωπ4＝kπ＋π2，k∈Z，∴ω＝4k＋2，k∈Z， 又0故g(x)＝2sin2x－2π3＋1. (2)根据题意，∵－π3≤x≤π2， ∴－4π3≤2x－2π3≤π3， ∴－1≤sin2x－2π3≤32，∴－1≤g(x)≤3＋1， 即函数g(x)在区间－π3，π2上的值域为[－1, 3＋1]． 14．(2019·天津质量调查二)已知函数f(x)＝cosx(sinx－3cosx)． (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在区间π3，2π3上的单调性． 解 (1)由题意得f(x)＝cosxsinx－3cos2x ＝12sin2x－32(1＋cos2x)＝12sin2x－32cos2x－32 ＝sin2x－π3－32. 所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π， 其最大值为1－32. (2)令z＝2x－π3，则函数y＝sinz的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z. 由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，
得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z， 设A＝π3，2π3，B＝x －π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝π3，5π12，所以当x∈π3，2π3时，f(x)在区间π3，5π12上单调递增，在区间5π12，2π3上单调递减．
一、选择题 1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是( ) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线
向右平移π6个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 答案 D 解析 ∵C2：y＝sin2x＋2π3＝sin2x＋π6＋π2＝cos( 2x＋π6 )＝cos2x＋π12，根据三角函数图象变换的规律，可得D正确． 2．(2019·云南昆明高三第二次统考)若直线x＝aπ(0象无公共点，则不等式tanx≥2a的解集为( )
A．x kπ＋π6≤x＜kπ＋π2，k∈Z
B.x kπ＋π4≤x＜kπ＋π2，k∈Z C．x kπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈Z D.x kπ－π4≤x≤kπ＋π4，k∈Z 答案 B 解析 因为x＝aπ(0
即tanx≥1的解集为x kπ＋π4≤x＜kπ＋π2，k∈Z. 3．已知a是实数，且a≠0，则函数f(x)＝acosax的图象可能是( )