2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词教学案(含答案)新人教A版选修1_1
2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4逻辑联结词“且”“或”“非”课件北师大版选修1_120170830366
【做一做1】 指出下列各个命题分别运用了哪个逻辑联结词. (1)函数f(x)=sin x+3不是周期函数; (2)a2+b2≥2ab; (3)有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形. 解(1)非.(2)或.(3)且.
2.含逻辑联结词的命题的真假判断
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∨q 真 真 真 假 p∧q 真 假 假 假 ������ p 假 假 真 真
名师点拨1.对于逻辑联结词“且”“或”“非”,可以分别结合集合中 的“交集”“并集”“补集”来进行理解. 2.简单命题与复合命题:不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是 简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题,因此 就有“p∨q”“p∧q”“������ p”形式的复合命题,其中p,q是简单命题,由简 单命题构成复合命题的关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”的理解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“������ p”形 式的命题的真假. (1)p:梯形有一组对边平行;q:梯形有一组对边相等; (2)p:1是方程x2-4x+3=0的根;q:3是方程x2-4x+3=0的根; (3)p:不等式x2-2x+1>0的解集为R;q:不等式x2-2x+2≤1的解集为⌀. 解(1)因为p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题,p∨q是真命题, ������ p是假命题. (2)因为p和q均是真命题,所以p∧q是真命题,p∨q是真命题, ������ p 是假命题. (3)因为p和q均是假命题,所以p∧q是假命题,p∨q是假命题, ������ p 是真命题.
【审题策略】 应先将命题p,q为真时,相应m的范围求出来,再根 据p∧q为假,p∨q为真确定p,q的真假性,最后建立不等式组求得m的 取值范围.
2017_2018版高中数学第一章经常使用逻辑用语4_1逻辑联结词“且”4_2逻辑联结词“或”学案北
跟踪训练4 已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上是增加的．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.假设p且q假，p或q真，求实数a的取值范围．
∵方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无解，
∴Δ＝16(m－2)2－16<0即1<m<3.
则q：1<m<3.
∵“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p与q一真一假．
当p为真，q为假时，
得m≥3.
当p为假，q为真时，
得1<m≤2.
综上所述，m的取值范围是
(1,2]∪[3，＋∞)．
跟踪训练4 解 ∵函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3
即
或
∴a≤－1或a≥4或0≤a<2.
∴实数a的取值范围是
(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．
当堂训练
1．D 2.D 3.B4．x>5或x＝55．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
其中真命题的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
3．“p为真命题”是“p且q为真命题”的( )
A．充分没必要要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又没必要要条件
4．把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为“________________________”．
5．已知p： <0，q：x2－4x－5<0，假设p且q为假命题，那么x的取值范围是_____________．
∴命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．
【数学】1.3 简单的逻辑联结词 课件1(人教A版选修1-1)
思考：命题 p ∨ q的真假如何确定？
一般地，我们规定:
当p，q两个命题中有一个命题是真命题时， p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时， p∨q是假命题。 p 开关p,q的闭合 对应命题的真假, 则整个电路的接 通与断开分别对 应命题 p q 的真与假.
q
有真即真, 全假为假.
例3、判断下列命题的真假：
解： p∧q : 菱形的对角线互相垂直且平分。
（3） p :35是15的倍数， q :35是7的倍数。
解：
p∧q : 35是15的倍数且是7的倍数。
练习1:将下列命题用“且”联结成新命题,并 判断它们的真假： (1)p:36是6的倍数,q:36是7的倍数;
(2)p:1是质数,q:1是合数 解：(1)36是6的倍数且是7的倍数
2
q真
又p且q假
2
p假
x x| 6 | x Z
6 x x 6 即 x Z
2 x 3 x Z
x 1,0,1,2
练习2：设p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,
q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且 q为假,求m的取值范围. 解：若方程x2+mx+1=0有两个不等的负根
m2 4 0 Δ 则 m 0 m 2 即 p: m>2
若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根
则∆=16(m-2)2-16<0,
即1<m<3
q:1 m 3
p或q为真,则p,q至少一个为真,又p且q为假,
则p,q至少一个为假
p,q一真一假,p真q假或者p假q真
高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1“且”与“或”学案(含解析)新人教A版选修2-1
1。
3。
1 “且”与“或”自主预习·探新知情景引入要在某居民楼一楼与二楼的楼梯间安一盏灯，一楼和二楼各有一个开关，使得任意一个开关都能独立控制这盏灯,你能运用“或”“且”的方法解决吗？新知导学1．逻辑联结词“或”“非"构成新命题记作读作用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就__p∧q____p且q__得到一个新命题用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，__p∨q____p或q__就得到一个新命题p q p∧q p∨q真真__真____真__真假__假____真__假真__假____真__假假__假____假__预习自测1．“xy≠0"是指( A ）A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0 D．不都是0[解析］xy≠0当且仅当x≠0且y≠0.2．p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q"为真命题的一个点P（x，y）是( C ）A．（0，－3）B．（1,2）C．（1,－1）D．(－1,1)［解析］点P（x，y）满足错误!，解得P（1,－1）或P(－3，－9),故选C．3．下列判断正确的是（ B ）A．命题p为真命题,命题“p或q”不一定是真命题B．命题“p且q”是真命题时，命题p一定是真命题C．命题“p且q”是假命题，命题p一定是假命题D．命题p是假命题，命题“p且q”不一定是假命题［解析] 因为p、q都为真命题时,“p且q”为真命题．4．由下列各组命题构成的新命题“p或q"“p且q”都为真命题的是( B ）A．p：4＋4＝9,q:7〉4B．p:a∈{a，b，c｝,q：｛a｝｛a，b，c}C．p：15是质数,q：8是12的约数D．p：2是偶数，q:2不是质数[解析] “p或q"“p且q”都为真，则p真q真,故选B．5．给出下列条件：(1)“p成立，q不成立”；(2）“p不成立,q成立”；(3）“p与q都成立”；（4）“p与q都不成立”．其中能使“p或q"成立的条件是__(1）(2）（3）__(填序号)．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶命题的构成形式典例1 分别指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题．（1)小李是老师，小赵也是老师;（2）1是合数或质数；（3）他是运动员兼教练员；（4）这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误;（5）要么周长相等的两个三角形全等，要么面积相等的两个三角形全等．［规范解答］(1）这个命题是“p∧q"的形式，其中，p：小李是老师；q：小赵是老师．（2）这个命题是“p∨q”的形式,其中，p：1是合数;q：1是质数．（3）这个命题是“p∧q”的形式，其中，p：他是运动员；q：他是教练员．（4）这个命题是“p∧q"的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点;q：这些文学作品政治上有错误．（5）这个命题是p∨q形式，其中p：周长相等的两个三角形全等，q：面积相等的两个三角形全等．『规律总结』1。
1.3简单的逻辑联结词
命题q：指数函数f ( x ) (5 2m) 是增函数.若“p q”为真，求 实数m的取值范围.
x
m 1
新知拓展
已知p：方程x mx 1 0有两个不等
2
负实根；q：方程4 x 4(m 2) 1 0
2
无实根，若p q为真，p q为假，求 m的取值范围.
q 真 假 真 假
p ∧q 真 真 假 真 假 真 假
一 假 则 假
当p、q都是真命题时，p∧q为真命题；
当p、q中有一个是假命题时，p∧q为假命题.
例题讲解
例1 将下列命题用“且”联结成新命题， 并判断它们的真假： （1）p：平行四边形的对角线互相平分， q：平行四边形的对角线相等； （2）p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分； （3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.
m 3或1 m 2
探究（一）：逻辑联结词“非” 思考1：下列各组语句是命题吗？它们之间 有什么关系？并判明真假. 真 （1）35能被5整除， 35不能被5整除； 假 （2）函数y＝lgx是偶函数， 假 函数y＝lgx不是偶函数； 真 （3）|a|≥0， 真 | a| ＜ 0 ； 假 （4）方程x2－4＝0无实根， 假 2 方程x －4＝0有实根. 真
既不充分也不必要
课堂练习 2 2. 方程 ax bx c 0(a 0) 有实数根是 ac 0 的_________ 必要不充分 条件.
x y 4 x 2 必要不充分 3. 是 的_________条件. xy 4 y 2
课堂练习
1 0, 4.已知 p : x 3x 2 0 , q : 2 x x6
例题讲解
高中数学第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词第2课
数学
选修2-1 ·人教A版
第一章 常用逻辑用语
1.3 简单的逻辑联结词
第2课时 “非”
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
某公司在被查出违规建造豪华高尔夫球场时，负责人说 “我们的场地没有球洞，不算高尔夫球场！”他说的有道 理吗？
命题的否定 1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作____¬_p___，读 作_非__p_____或_p_的__否__定______．
『规律总结』 判断¬p的真假，一是利用p与¬p的真假 不同的性质，由p的真假判定¬p的真假；二是利用所学知识 直接判断¬p的真假．
命题方向3 ⇨命题的否定与否命题
典例 3
们的真假.
写出下列各命题的否定及否命题，并判断它
(1)若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(3)若一个数是质数，则这个数一定是奇数．
假
假
__假____
__假____
___真___
含“且”“或”命题的否定
3．根据“且”、“或”的含义，“p∧q”的否定为“___(_¬_p_)∨__(_¬_q_)__”，“p
∨q”的否定为“_____(_¬_p_)∧__(_¬_q_)_________”．
1．已知命题 p：若 α＝π2，则 sin α＝1；命题 q：若 sin α＝1，则 α＝π2.下面四
含逻辑联结词的命题真假判断
2．若p是真命题，则¬p是__假____命题，若p是假命题，则¬p是__真____命 题．
含有逻辑联结词的命题的真假判断如表：
p
q
p或q
p且q
[推荐学习]2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.2简单的逻辑联结词学案苏教版选修1_1
1.2 简单的逻辑联结词学习目标 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p∨q”“p∧q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题．知识点一p∧q思考1 观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？思考2 分析思考1中三个命题的真假？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∧q的真假判断命题p∧q的真假与命题p和命题q的真假有着必然的联系，我们将命题p、命题q以及命题p∧q的真假情况绘制成命题p∧q的真值表如下：命题p∧q知识点二p∨q思考1 观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？思考2 思考1中的真假性是怎样的？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∨q的真假判断我们将命题p、命题q以及命题p∨q的真假情况绘制成命题p∨q的真值表如下：命题p∨q的真值表可以简单归纳为“一真则真，假假才假”．知识点三綈p思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？并指出其真假：(1)p：5是25的算术平方根，q：5不是25的算术平方根；(2)p：y＝tan x是偶函数，q：y＝tan x不是偶函数．梳理(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”或“____________”．(2)命题綈p的真假判断因为命题p与命题綈p互为否定，所以它们的真假一定不同，真值表如下：命题綈p类型一用逻辑联结词联结组成新命题例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：正△ABC的三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角．反思与感悟解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p、q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p、q中的条件或结论合并．跟踪训练1 指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)方程x2－3＝0没有有理根；(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二、三象限．类型二含有逻辑联结词命题的真假例2 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．反思与感悟判断含逻辑联结词命题的真假的步骤(1)逐一判断命题p、q的真假．(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．跟踪训练2 指出下列命题的形式及命题的真假：(1)48是16与12的公倍数；(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；(3)相似三角形的周长相等或对应角相等．类型三用含逻辑联结词命题的真假求参数的范围例3 已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，(綈p)∨(綈q)也为真命题，求实数a的取值范围．反思与感悟由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假．反之，由p∨q，p∧q，綈p 命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．1．把“x ≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为____________________________________． 2．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}．则在四个命题p ，q ，p ∧q ，p ∨q 中，真命题有________个．3．命题s 具有“p 或q ”的形式，已知“p 且r ”是真命题，那么s 是________命题．(填“假”“真”)4．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q . 其中真命题是________．(只填序号)5．分别判断由下列命题构成的“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假： (1)p ：函数y ＝x 2和函数y ＝2x 的图象有两个交点；q ：函数y ＝2x 是增函数；(2)p ：∅{0}；q ：0∈∅.1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真．类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真．3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．提醒：完成作业第1章§1.2答案精析问题导学知识点一思考1 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．思考2 命题①②③均为真．梳理(1)p∧q p且q知识点二思考1 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．思考2 ①③为真命题，②为假命题．梳理(1)p∨q p或q知识点三思考两组命题中，命题q都是命题p的否定．(1)中p真，q假．(2)中p假，q真．梳理(1)綈p非p p的否定题型探究例1 解(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数；p∧q：π是无理数且e不是无理数；綈p：π不是无理数．(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)p∨q：正△ABC的三内角都相等或有一个内角是直角；p∧q：正△ABC的三内角都相等且有一个内角是直角；綈p：正△ABC的三个内角不都相等．跟踪训练1 解(1)“p且q”的形式．其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．(2)“非p”的形式．p：方程x2－3＝0有有理根．(3)“p或q”的形式．其中p：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二象限，q：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第三象限．例2 解(1)∵p为假命题，q为真命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． (2)∵p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题，綈p 为真命题． (3)∵p 为真命题，q 为真命题，∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题． (4)∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．跟踪训练2 解 (1)这个命题是“p ∧q ”的形式．其中p ：48是16的倍数，是真命题；q ：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．(2)这个命题是“綈p ”的形式．其中p ：方程x 2＋x ＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x 2＋x ＋3＝0没有实数根”是真命题．(3)这个命题是“p ∨q ”的形式．其中p ：相似三角形的周长相等，是假命题；q ：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题． 例3 解 ∵y ＝a x在R 上为增函数， ∴命题p ：a >1.∵不等式x 2－ax ＋1>0在R 上恒成立， ∴应满足Δ＝a 2－4<0，即0<a <2， ∴命题q ：0<a <2.由p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，由(綈p )∨(綈q )也为真，则綈p 、綈q 中至少有一个为真， ∴p 、q 中有一真、一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2，∴a ≥2；②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <2，∴0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围为{a |a ≥2或0<a ≤1}．跟踪训练3 解 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根， 设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m <0，x 1x 2＝1>0，Δ＝m 2－4>0，得m >2，∴p ：m >2.又方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝16(m －2)2－4×4<0，得1<m <3， ∴q ：1<m <3.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 中一真一假． 当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，∴m ≥3；当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，∴1<m ≤2.综上可知，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． 当堂训练1．“x >5或x ＝5” 2.2 3.真 4.②④ 5．解 (1)∵命题p 是真命题，命题q 是真命题， ∴p 且q 为真命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题． (2)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题．。
1.3简单的逻辑联结词
第一章
常用逻辑用语
判断含逻辑联结词命题的真 假
例2 判断下列含有逻辑联结词的命题的类型与真假：
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)9的平方根是3或9的平方根是－3. 【解】 (1)这个命题是“p且q”的形式，其中p：等腰三角形顶
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
角的平分线平分底边,q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边．
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0. 【名师点评】 (1)否命题是对原命题的条件与结论都作否定，
否命题与原命题可同真同假，也可一真一假．而命题的否定是
仅仅对命题的结论作否定． (2) 任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假 ( 常用这一点 来验证写出来的命题的否定是否正确)．
栏目 导引
第一章
常用逻辑用语
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
￢ p：梯形没有一组对边平行． (2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解. p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解． ￢ p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
栏目 导引
变式训练
第一章
常用逻辑用语
1.指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题，若是含逻 辑联结词的命题，写出构成它的简单命题． (1)两个角是 45°的三角形是等腰直角三角形； (2)若 x∈{x|x<1 或 x>2}，则 x 是不等式(x－1)(x－2)>0 的解； (3){正方形} {矩形}； (4)π 不是无理数．
栏目 导引
第一章
常用逻辑用语
当p真q假时有－3<a≤0，
当p假q真时有a≥1.(8分)
综上所述，a的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞) 【名师点评】 由逻辑联结词构成的新命题的真假可以用真值
简单的逻辑联结词
注：“命题的否定”与“否命题”的 区别
结论:
若p则q的否命题为若 条件与结论都否定;
p 则
q ;即
若p则q的否定为若p则 q,只否定结论. 原命题与它的否命题真假性无关, 而原命题与它的否定真假性相反.
常用的 正面叙述词语及其否定：
正面 词语 大于 小于 (<) 是 （>） 小于或 大于或 否定 不等于 等于 等于（≥）不是 （≤） 等于 都是
（2）p：9是质数；q：{1} {1,2}
（3）p： {0}，q： {0}
(4) p:1 {1,2};
3
q:{1} {1,2}
( 5 ) P : 函数 y x 是奇函数。 q : 函数 y x 是增函数。
3
逻辑联结词——“或”
一般地，用联结词“或”把命题p和命 一真即真 题q联结起来，就得到一个新命题， 记作p ∨ q，读作“p或q” p：10可以被3整除 q：10可以被5整除 p∨q：10可以被3或5整除
引例： 判断下列命题的真假
(1)菱形的对角线互相垂直且平分 (2)10可以被3或5整除 (3)0.5非整数 “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑 联结词
在数学中常常要使用逻辑联结词
“或”、“且”、“非”，它们与日常生 活中这些词语所表达的含义和用法是不尽 相同的，下面我们就分别介绍数学中使用 联结词“或”、“且”、“非”联结命题 时的含义与用法。
p 真
真 假 假
q 真
假 真 假
p且q 真
假 假 假
口诀：一假即假
逻辑联结词的集合语言解释
或
两者至少有一个
并集
且
两者同时兼有
交集
非
高三数学问题：1.3-含参数的常用逻辑用语问题(含答案)
2017届高三数学跨越一本线问题三 含参数的常用逻辑用语问题通过多年的高考试卷看,求参数的取值范围问题一直是高考考查的重点和热点,同时也是一个难点．考生有时会感到难度较大,与简易逻辑问题有关的参数问题,需要正确理解充分条件和必要条件的定义,弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论,本文从各方面多角度地阐述与简易逻辑有关的问题,以飨读者．一、与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若p 则”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理．【例1】【2017湖南省郴州市上学期第一次质量监测】设集合2{|21,03}A y y x x x ==-+≤≤,集合2{|(21)(1)0}B x x m x m m =--+-≤.已知命题:p x A ∈,命题:q x B ∈,且命题p 是命题的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.【分析】先化简给定集合,再利用p 是的必要不充分条件⇔⊂B A ≠解题 【解析】由已知得{|04}A y y =≤≤,{|1}B x m x m =-≤≤. ∵p 是的必要不充分条件,∴A B ⊂≠.则有104m m -≥⎧⎨≤⎩.∴14m -≤≤,故m 的取值范围为[1,4].【点评】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．【小试牛刀】设p :114≤-x ；:2(21)(1)0x a x a a -+++≤．若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,求实数的取值范围． 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21． 【解析】由114≤-x 得,1141≤-≤-x , 故210≤≤x 由2(21)(1)0x a x a a -+++≤()()10x a x a ⇔--+≤⎡⎤⎣⎦1a x a ⇔≤≤+若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件,∴p 是q 的必要而不充分条件,即[]1,21,0+⊂⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a ⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤⇒2110a a 021≤≤-⇒a ,故所求的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21． 二、与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围．【例2】【2017宁夏育才中学月考】已知命题函数321()3f x mx x x =++在区间(1,2)上单调递增；命题:q 函数C 的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“()p q ∨⌝”为真命题,“()p q ⌝∨”也为真命题,求实数m 的取值范围.【分析】先确定p 真值相同．再根据p ,同真时或同假确定实数m 的取值范围.【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围【小试牛刀】已知命题:p 方程2222220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线2215y x m-=的离心率(1,2)e ∈,若命题“p q ∧”为假命题,“p q ∨”为真命题,求实数m 的取值范围．【答案】215m ≤<【解析】若命题p 为真命题 ,则2240D E F +->,即22(2)4(22)0m m m --->整理得220m m -<,解得02m <<．若命题为真命题,则25(1,4)5me +=∈,解得015m << 因为命题p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,所以p q 、中一真一假,若p 真假,则m ∈∅ ; 若p 假真,则215m ≤<,所以实数m 的取值范围为215m ≤<．三、与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的．【例3】若命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则实数m 的取值范围是（ ）（A ）[10,6]- （B ）(6,2]- （C ）[2,10]- （D ）(2,10)-【分析】命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解．【解析】由命题“0,R ∃∈x 使得2002+50++<x mx m ”为假命题,则命题“x R ∀∈使得22+50x mx m ++≥”为真命题．所以24(25)0,210m m m =-+≤∴-≤≤ ．故选（C ）． 【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理．【小试牛刀】【2017山东潍坊2017届高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,()212log 11x mx -+<-成立,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【答案】12m <或32m =． 【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立,设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--,∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,解得1322m ≤≤,∴p 为真时：1322m ≤≤；若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,∴21x m x -<成立.设()211x g x x x x-==-,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为()322g =,∴32m <,∴为真时,32m <, ∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时132232m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩,∴32m =,当p 假真时132232m m m ⎧<>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或,∴12m <,综上所述,m 的取值范围是12m <或32m =.四、与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“∀”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．【例3】已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”,命题：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”． 若命题“p 且”是真命题,则实数的取值范围为（ ） A ．2-≤a 或1=a B ．2-≤a 或21≤≤a C ．1≥a D ．12≤≤-a【分析】若命题“p 且”是真命题,则命题,p q 都是真命题,首先将命题,p q 对应的参数范围求出来,求交集即可．【点评】命题p 是恒成立问题,命题是有解问题．【小试牛刀】已知2:(0,),1p x x mx ∀∈+∞+≥-恒成立,:q 方程222128x y m m +=+表示焦点在轴上的椭圆,若命题“p 且”为假,求实数m 的取值范围． 【答案】(,4]-∞．【解析】由题意：若p 为真,则有1()m x x ≥-+对(0,)x ∈+∞恒成立．12(1x x x+≥= 取“＝”)2m ∴≥-若为真,则有2280m m >+>,即42m -<<-或4m >,由p 且为假,则p 、中至少一个为假．若p 、均为真,则4m >,∴p 且为假,实数m 的取值范围是(,4]-∞【迁移运用】1．【2017四川双流中学高三模拟】已知命题p ⌝：存在()2,1∈x 使得0>-a e x,若p 是真命题,则实数a 的取值范围为（ ）A ．()e ,∞-B ．(]e ,∞-C ．()+∞,2e D ．[)+∞,2e 【答案】D【解析】若存在)2,1(∈x ,使得0>-a e x ,则2max ()x a e e <=,若p 为真命题,则p ⌝为假命题,实数a 的取值范围为),[2+∞e .故本题正确答案为D ． 2．【2017河南南阳一中高三上学期月考】已知“x k >”是“,则的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．(,1]-∞- 【答案】A 可得1x <-或2x >,因为“x k >”是“条件,所以“x k >”是“1x <-或2x >”的真子集,所以2k ≥,故选A.3．【2017使得0122<+-x x λ成立”是假命题,则实数λ的取值范围为（ ）A ．3=λ【答案】A4．函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数的必要不充分条件是（ ）A ．2≥aB ．6=aC ．3≥aD ．0≥a 【答案】D ．【解析】函数12)(2+-=ax x x f 在(]2,∞-上是单调递减函数则2≥a ；选项A 是充要条件；选项B 、C 是充分不必要条件；故选D ．5．命题“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）A ．4a ≥B ．4a ≤C ．3a ≥D ．3a ≤ 【答案】C【解析】即由“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”可推出选项,但由选项推不出“对任意实数x [1,2]∈,关于的不等式20x a -≤恒成立”．因为x [1,2]∈,所以2[1,4]x ∈,20x a -≤恒成立,即2x a ≤, 因此4a ≥；反之亦然．故选C ．6．已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ） A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥ B ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≤． C ．0,0,()0a x f x ∀>∀>≥ D ．000,0,()0a x f x ∃>∃>≥ 【答案】C ．7.【2017广东郴州高三第二次教学质量监测】若命题:p “020223x x R a a ∃∈-≤-，”是假命题,则实数的取值范围是________. 【答案】[1,2]【解析】“020223x x R a a ∃∈-≤-，”是假命题等价于2223x x R a a ∀∈->-，,即223a a -≥-,解之得12a ≤≤,即实数的取值范围是[1,2].8．已知关于的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ,集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,则实数的取值范围是__________．． 【答案】－2,0]．【解析】由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,可知A B,因此a≥－2且a ＋2≤2 解得a∈－2,0]9．已知命题:p R x ∈∃,0122≤++ax ax ．若命题⌝p 是真命题,则实数的取值范围是 ．【答案】)1,0[【解析】若命题⌝p 是假命题,即对于012,2>++∈∀ax ax R x ,当0=a 时,显然成立,当0≠a 时,则100<<⇒⎩⎨⎧<∆>a a ,综上)1,0[∈a ．10．由命题“x∈R,x 2＋2x ＋m≤0”是假命题,求得实数m 的取值范围是（a,＋∞）,则实数a ＝． 【答案】1．【解析】由题意得命题“∀x∈ R,x 2＋2x ＋m>0”是真命题,所以Δ＝4－4m<0,即m>1,故实数m 的取值范围是（1,＋∞）,从而实数a 的值为1．11．【2015学年江苏省涟水中学高三12月月考数学试卷】已知命题：“2(1,4),0x x ax a ∃∈-+<”为真命题,则实数的取值范围是． 【答案】a>4．【解析】2(1,4),0x x ax a ∃∈-+<⇔当(1,4)x ∈时,20x ax a -+<有解⇔(1,4)x ∃∈,使得21x a x >-,设2(x)1x f x =-,则222(x 1)(x)0(1)x x f x --'==-解得x=0,2,当(1,2)x ∈(x)0,(x)f f '<单调递减,当(2,4)x ∈(x)0,(x)f f '>单调递赠,所以2(x)1x f x =-的最小值为(2)4f =,所以a>4．12．【2015届江苏省如东高中高三上学期第8周周练理科数学试卷】若不等式102x m x m-+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<,则实数m 的取值范围是． 【答案】3441≤≤m ． 【解析】因为不等式的102x m x m -+<-成立的充分非必要条件是1132x <<,所以111||0322x m x x x x m -+⎧⎫⎧⎫<<⊂<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭,当12m m -<即1m >-时,不等式的102x m x m -+<-解集为{|12}x m x m -<<, 由11|{|12}32x x x m x m ⎧⎫<<⊂-<<⎨⎬⎩⎭得：1131221m m m ⎧-≤⎪⎪⎪≥⎨⎪>-⎪⎪⎩,解之得：3441≤≤m ,当12m m -=即1m =-时,不等式102x m x m-+<-解集为∅；当12m m ->即1m <-时,不等式102x m x m-+<-解集为{|21}x m x m <<-由11|{|21}}32x x x m x m ⎧⎫<<⊂<<-⎨⎬⎩⎭得：1231121m m m ⎧≤⎪⎪⎪-≥⎨⎪<-⎪⎪⎩,此时m 无解,所以m 的取值范围为3441≤≤m ． 13．设命题p ：实数满足22430x ax a -+<,其中0a >；命题：实数满足2560x x -+≤． （1）若1a =,且p q ∧为真,求实数的取值范围； （2）若p 是成立的必要不充分条件,求实数的取值范围． 【答案】（1） [)2,3（2）()1,214.已知命题P :在R 上定义运算⊗：.)1(y x y x -=⊗不等式1)1(<-⊗x a x 对任意实数恒成立；命题Q ：若不等式2162≥+++x ax x 对任意的*N x ∈恒成立．若P Q ∧为假命题,P Q ∨为真命题,求实数的取值范围． 【答案】123>-<<-∴a a 或．【解析】由题意知,x a x x a x )1)(1()1(--=-⊗若命题P 为真,01)1()1(2>+---x a x a 对任意实数恒成立,∴①当01=-a 即1=a 时,01>恒成立,1=∴a ；②当01≠-a 时,⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(4)1(012a a a ,13<<-∴a , 综合①②得,13≤<-a若命题Q 为真,0>x ,01>+∴x ,则有)1(2)6(2+≥++x ax x 对任意的*N x ∈恒成立 , 即2)4(++-≥x x a 对任意的*N x ∈恒成立,令2)4()(++-=xx x f ,只需max )(x f a ≥, 224242)(-=+-=+⋅-≤xx x f ,当且仅当)(4*N x x x ∈=即2=x 时取“=”,2-≥∴aP Q ∧为假命题,P Q ∨为真命题,Q P ,∴中必有一个真命题,一个假命题,（1）若P 为真Q 为假,则⎩⎨⎧-<≤<-213a a ,23-<<-a ,（2）若P 为假Q 为真,则⎩⎨⎧-≥>-≤213a a a 或,1>∴a ,综上：123>-<<-∴a a 或．15．设命题p :实数满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题:实数满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩．（1）若1,a =且p q ∧为真,求实数的取值范围; （2）若p ⌝是⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围． 【答案】（1） (2,3) （2） (]1,2【解析】（1）当1a =时,{}:13p x x <<,{}:23q x x <≤, 又p q ∧为真,所以p 真且真, 由1323x x <<⎧⎨<≤⎩,得23x <<所以实数的取值范围为(2,3)（2） 因为p ⌝是⌝的充分不必要条件, 所以是p 的充分不必要条件, 又{}:3p x a x a <<,{}:23q x x <≤,所以0233a a a >⎧⎪≤⎨⎪>⎩,解得12a <≤所以实数的取值范围为(]1,216.【2016湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】设:p 实数满足：03422<+-a ax x （0>a ）,:q 实数满足：121-⎪⎭⎫⎝⎛=m x ,()2,1∈m()I 若41=a ,且q p ∧为真,求实数的取值范围； ()II 是p 的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<4321x x；（Ⅱ）11[,]32．()II 是p 的充分不必要条件,记⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=121x x A ,{}0,3><<=a a x a x B则A 是B 的真子集 ⎪⎩⎪⎨⎧>=∴1321a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥<1321a a … 得2131≤≤a ,即的取值范围为1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，… 17. 【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】设命题:p 实数满足22430x ax a -+<,0a ≠；命题:q 实数满足302x x-≥-. （Ⅰ）若1a =,p q ∧为真命题,求的取值范围；（Ⅱ）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围.18．已知命题p ：“方程230x ax a -++=有解”,q：“11042x xa +->∞在[1,+)上恒成立”,若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数的取值范围．【答案】206a a -<≤≥或【解析】:26p a a ≤-≥或．令21,2xt t t a =+> 02t <≤ ,:0q a ∴≤．∵pq 一真一假,∴260a a a ≤-≥⎧⎨>⎩或 或260a a -<<⎧⎨≤⎩ 得：206a a -<≤≥或19．命题p 实数满足03422<+a ax -x （其中0a >）,命题实数满足⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x- （1）若1a =,且p q ∧为真,求实数的取值范围；（2）若p ⌝是⌝的充分不必要条件,求实数的取值范围．【答案】（1）()2,3.；（2）(1,2]．【解析】由：03422<+a ax -x （其中0a >）,解得3a x a <<, 记(,3)A a a = 由⎪⎩⎪⎨⎧>+≤02321x-x x-,得132,3或x x x -≤≤⎧⎨><-⎩,即23x <≤,记(]2,3B =． （1）若1a =,且p q ∧为真,则(1,3)A =,(]2,3B =,又p q ∧为真,则1323x x <<⎧⎨<≤⎩,所以23x <<,因此实数的取值范围是()2,3.（2）∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,∴p 是的必要不充分条件,即B A ≠⊂,(]2,3(,3)a a ≠⊂,则只需3302a a >⎧⎨<≤⎩,解得12a <≤,故实数a 的取值范围是(1,2]．20．【2017届山东潍坊市高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立, 设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--, ∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,∴p 为真时： 若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为∴为真时∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时当p 假真时综上所述,m 的取值范围是21．【2017届山东潍坊市高三上学期期中联考】已知m R ∈,设[]: 1 1p x ∀∈-，,2224820x x m m --+-≥成立；[]: 1 2q x ∃∈，,,如果“p q ∨”为真,“p q ∧”为假,求m 的取值范围. 【解析】若p 为真：对[]1 1x ∀∈-，,224822m m x x -≤--恒成立, 设()222f x x x =--,配方得()()213f x x =--, ∴()f x 在[]1 1-，上的最小值为3-,∴2483m m -≤-,∴p 为真时： 若为真：[]1 2x ∃≤，,212x mx -+>成立,易知()g x 在[]1 2，上是增函数,∴()g x 的最大值为∴为真时∵p q ∨”为真,“p q ∧”为假,∴p 与一真一假,当p 真假时当p 假真时综上所述,m 的取值范围是。
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1.3 简单的逻辑联结词
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P14～P17的内容，回答下列问题．
(1)教材P14“思考”中的命题(3)与命题(1)、(2)之间有什么关系？
提示：命题(3)是由命题(1)(2)使用联结词“且”联结得到的新命题．
(2)教材P15“思考”中的命题(3)与命题(1)、(2)之间有什么关系？
提示：命题(3)是由命题(1)(2)用联结词“或”联结得到的新命题．
(3)教材P16“思考”中的命题(2)与命题(1)之间有什么关系？
提示：命题(2)是命题(1)的否定．
2．归纳总结，核心必记
(1)用逻辑联结词“或”“且”“非”构成新命题
①用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“
p
且q”．
②用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“
p
或q”．
③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作“非p”或“p的否定”．
(2)含有逻辑联结词的命题的真假判断
p q p∨q p∧q
真 真 真 真 假
真 假 真 假 假
假 真 真 假 真
假 假 假 假 真
[问题思考]
(1)“平面向量既有大小，又有方向”使用的逻辑联结词是什么？
提示：且．
(2)“a≥b”使用的逻辑联结词是什么？
提示：或．
(3)“方程x2－3＝0没有有理根”使用的逻辑联结词是什么？
提示：非．
(4)“p∨q”为真是“p∧q”为真的什么条件？(充要、充分不必要、必要不充分、既不
充分也不必要)．
提示：必要不充分．
(5)命题的否定与否命题有什么不同？
提示：命题的否定只否定命题的结论，而否命题，既否定命题的条件，又否定命题的结
论．
[课前反思]
(1)用逻辑联结词“且”、“或”、“非”构成的命题各是什么？其记法和读法各是什么？
；
(2)含逻辑联结词的命题的真假性有什么特点？
；
(3)“命题的否定”与“否命题”有什么不同？
．
讲一讲
1．指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)集合A⊆(A∪B);
(4)正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数并且是周期函数．
[尝试解答] (1)是“p∧q”形式的命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是“p∨q”形式的命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是“”形式的命题．
其中p：A⊆(A∪B)．
(4)是“p∧q”形式的命题．
其中p：正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，
q：正弦函数y＝sin x(x
∈R)是周期函数．
正确理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义是解决这类问题的关键，有些命题中并不
一定包含这些联结词，这时要结合命题的具体含义分析这些命题的构成．
练一练
1．指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题．
(1)李明是男生且是高一学生．
(2)方程2x2＋1＝0没有实根．
(3)12能被3或4整除．
解：(1)是“p且q”形式．
其中p：李明是男生；q：李明是高一学生．
(2)是“非p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．
(3)是“p或q”形式．其中p：12能被3整除；q：12能被4整除．
[思考1] 若p为真命题，q为假命题，则p∨q，p∧q，的真假性是什么？
名师指津：p∨q为真，p∧q为假，为假．
[思考2] 若p∧q为真命题，那么p∨q一定是真命题吗？反之，若p∨q为真命题，
那么p∧q一定是真命题吗？
名师指津：若p∧q为真，则p∨q一定为真；若p∨q为真，则p∧q的真假性不能确定．
[思考3] p与綈p的真假性一定相反吗？
名师指津：若p是真命题，则一定是假命题；若p是假命题，则一定是真命
题．
讲一讲
2．分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“”形成的命题，并判断其真
假．
(1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；
(2)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1>0恒成立．
[尝试解答] (1)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．
p∧q
：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．
：等腰梯形的对角线不相等，假命题．
(2)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1>0恒成立，真命题．
p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x
＋1>0恒成立，假命题．
：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题．
(1)命题结构的两种类型及判断方法
①从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．
②若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．
(2)判断命题真假的三个步骤
①明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”还是“”；
②对命题p和q的真假作出判断；
③由“p∧q”“p∨q”“”的真假判断方法给出结论．
练一练
2．分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；
(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
(3)(A∩B)⊆B.
解：(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：
等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命
题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程
x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q
”真，所以该命题是真命题．
(3)这个命题是“”的形式，其中p：(A∩B)⊆B，因为p真，则“”假，所以
该命题是假命题.
讲一讲
3．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0
无实根．若使p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
[尝试解答] 由Δ1＝4m2－4>0，x1＋x2＝－2m>0，得m<－1，
所以p：m<－1.
由Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0，知－2
①当p真q假时，m<－1，m≥3或m≤－2，此时m≤－2，
②当p假q真时，m≥－1，－2
解决由含有逻辑联结词的三种命题的真假求参数的取值范围问题时，(1)由命题p∧q，
p∨q，非p的真假确定命题p、q
可能的真假情况，依次讨论求解；(2)注意补集思想的应用，
当“p假”不易求解时改为求“p真”时参数的取值范围构成的集合的补集．
练一练
3．设命题p：“方程x2＋mx＋1＝0有两个实根”，命题q：“方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0
无实根”，若p∧q为假，为假，求实数m的取值范围．
解：若方程x2＋mx＋1＝0有两个实根，
则Δ1＝m2－4≥0，
解得m≤－2或m≥2，
即p：m≤－2或m≥2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ2＝16(m－2)2－16<0，
解得1
则p，q至少有一个为假；
又为假，则q真，
所以p为假，
即p假q真，从而有－2
——————————————[课堂归纳·感悟提
升]———————————————
1．本节课的重点是含逻辑联结词的命题的真假判断，难点是根据含逻辑联结词的命题
的真假性求参数的取值范围．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)判断含逻辑联结词的命题真假的方法，见讲2.