2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
2020年全国100所名校高考模拟金典卷理科数学(五)试题JD-Y(含解析)
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2020最新高考模拟试题(含答案)理科数学
2020年高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油！本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分． 第I 卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页．满分150分, 考试用时120分钟, 考试结束后，将第Ⅱ卷交回．第I 卷注意事项：1．考生务必将自己的姓名、准考证号填写在第Ⅱ卷上． 2．每小题选出答案后，将所选答案填在第二卷的答题卡处，不能答在第I 卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A + B ) = P ( A ) + P ( B )24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P ( A · B ) = P ( A ) · P ( B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率 k n k kn n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的中四选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U I 则≥-+=≥= （ ）A ．{x |x <2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－1<x ≤2}D ．{x |－1≤x <2} 2．满足ii z-++=313111的复数z 是 （ ）A ．2+iB ．－2+3iC ．2+2iD ．2－i3．已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ,S 5=2，S 10=6，则a 16+a 17+a 18+a 19+a 20= （ ） A ．8B ．12C ．16D ．244．已知b OB a OA ==, ，C 为线段AB 上距A 较近的于个三等分点，D 为线段CB 上距C较近的一个三等分点，则用a 、b 表示OD 的表达式为 （ ）A ．)54(91+ B ．)79(161+ C ．)2(31+ D ．)3(41+5．已知y=f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=x －1，那么不等式f (x )<21的解集是（ ）A{x |0<x <23}B{x |－21<x <0} C{x |－21<x <0或0<x <23} D{x |x <－21或0≤x <23}6．设函数f (x )是偶函数，且对于任意正实数x 满足f (2+x )=－2f (2－x ),已知f (－1)=4,那么f (－3)的值是（ ） A ．2B ．－2C ．8D ．－8 7．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A=AB=2，若棱AB 上存在一点P ，使得D 1P ⊥PC ，则棱AD 的长的取值范围是（ ） A ．]2,1[B ．]2,0(C ．)2,0(D ．]1,0(8．已知,1sin ,1sin ,0]2,2[,2a a -=-=<+-∈βαβαππβα若且则实数a 的取值范围 是（ ）A ．（－∞，－2）∪（1，+∞）B ．（－2，1）C ．]2,1(D ．]2,0(9．设实数y x ,满足条件y x y x y x y x y x 22033,02204222+++⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-则的最大值为（ ）A ．23B ．25C ．23D ．510．已知函数]2,2[,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示的曲线过原点，且在1±=x 处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①)(x f 的解析式为]2,2[,4)(3-∈-=x x x x f ；②)(x f 的极值点有且仅有一个；③)(x f 的最大值与最小值之和等于0，其中正确的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．若对于任意的],[b a x ∈，函数101|)()()(|)(),(≤-x f x g x f x g x f 满足，则称在[a ，b]上)(x g 可以替代)(x f .若x x f =)(，则下列函数中可以在[4，16]替代)(x f 是（ ）A ．2-xB ．4xC ．56+x D ．62-x12．ABCD —A 1B 1C 1D 1是单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→……，黑蚂蚁爬行的路是AB →BB 1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第i i 与第2+段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）.设白、黑蚂蚁都走完2006段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请将答案填在题中的横线上）13．设,)1()1()1()32(1010221010-++-+-+=-x a x a x a a x K 则10210a a a a ++++K =14．设P 是双曲线14222=-by x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF 1|=3，则点P 到双曲线右准线的距离是 .15．6个不同大小的数按如图形式随机排列，设★ ……第一行第一行这个数为M 1，M 2、M 3分别表示第二、 ★★ ……第二行三行中的最大数，则满足M 1<M 2<M 3的所有 ★ ★★ ……第三行排列的个数是 .16．购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”（每月需交的固定费用）50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元，若某用户每月手机费预算为120元，则它购买卡才合算.第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2020高考理科数学仿真模拟卷(解析版)
2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =I （ ）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．23．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（ ） A ．a >b >c B ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u vu u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（ ） A ．13B ．13-C ．76D ．76-6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．112n - B ．121n- C ．113n - D ．1121n -+7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--U8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．69．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．4710．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．49512．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．A ．2B C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．14．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD，AB BD ==，1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124py y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R （I ）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集； （II ）若函数()f x 的最小值为1，证明：14918a b b c c a++≥+++（a b c ++）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =I （ ）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】D【解析】因为{}2,1,0,1,2A =-- ,{}0B x x =≤，所以{}2,1,0A B =--I .故选D.2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】A【解析】()()()()221222255a i i a i a az i i i i +-++-===+++-Q 是纯虚数 2105205a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得：12a =-本题正确选项：A3．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（ ） A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．b >c >a【答案】D 【解析】a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22，ln33，lnππ的大小比较．设f （x ）=lnx x，则f ′（x ）=1−lnx x 2，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减，∵e ＜3＜π＜4∴ln33＞lnππ＞ln44=ln22，∴b ＞c ＞a ，故选：D ．4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f ee =>-，排除D 选项.故选A. 5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=u u u v u u u v ，13CE AB AC μ=+u u uv u u u v u u u v ，则λμ+=（ ） A ．13B ．13-C ．76D ．76-【答案】B【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r ，因为E 是AD 的中点， 所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B. 6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+【答案】B【解析】111123n n n n n n a a a a a a -+-++= ,11123n n n a a a +-+= ,1111112()n nn n a a a a +--=-, 则1111211n n n n a a a a +--=-,数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列， 1111222n n n na a -+-=⨯= ，利用叠加法，211213211111111()()......()122.......2n n n a a a a a a a --+-+-++-=++++ ， 1212121n n n a -==-- ，则121n n a =-.选B. 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--UC ．1(,1]2- D ．{2}(1,1]--U【答案】D【解析】由题意得21362k T ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，k N ∈，得21T k π=+，故242k Tπω==+，因为06ω<<，k N ∈，所以2ω=.由2sin 263f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得232k ππϕπ+=+，因为2πϕ<，故6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤+≤，令26t x π=+，则由题意得2sin 0t m -=在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有唯一解，故由正弦函数图象可得12m =-或11222m -<≤，解得{}(]21,1m ∈-⋃-.故选D8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】抛物线28y x =的焦点()2,0F ，准线l ：2x =-，圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0F ，半径1r =，过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义可知|PB PF =，则1PA PQ PA PF r PA PB +≥+-=+-，∴当,,A P B 三点共线时PA PB +取最小值325+=，1514PA PQ PA PB ∴+≥+-≥-=．即有PA PQ +取得最小值4，故选B ．9．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17 B ．27C ．37D ．47【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 根据题意，如图，设5个区域依次为A,B,C,D,E ,分4步进行分析： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E ，与A,B 区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有3种颜色可选， 若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有2种颜色可选，则区域D,C 有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种， 其中，A,C 区域涂色不相同的情况有： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E 与A,B,C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选， 若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选， 则区域D,C 有2+2×1=4种选择， 不同的涂色方案有5×4×2×4=240种，∴A,C 区域涂色不相同的概率为p =240420=47 ,故选D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数【答案】A【解析】根据题意可知：（12341234+++++x x x x y y y y +）（）>0,又（12341234+++++x x x x y y y y +）（）去掉括号即得：（12341234+++++x x x x y y y y +）（） =1234T T T T +++>0,所以可知1234,,,T T T T 中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．495【答案】D 【解析】试题分析：A ，如果输出的值为792，则a =792， I （a ）=279，D （a ）=972，b =D （a ）−I （a ）=972−279=693，不满足题意． B ，如果输出的值为693，则a =693,，I （a ）=369，D （a ）=963，b =D （a ）−I （a ）=963−369=594，不满足题意． C ，如果输出的值为594，则a =594，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则a =495，，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，满足题意．故选D ．12．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．ABCD【答案】B【解析】连接EF ，因为EF //面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH //BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH //EF ,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH -FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N∠=α，因为sinα=1MN A M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H,故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2-【解析】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________． 【答案】1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =，结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为1．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=u u u u v u u u u v，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】设c为半焦距，则(),0F c，又()0,B b，所以:0BF bx cy bc+-=，以12A A为直径的圆的方程为Oe：222x y a+=，因为12i iPA PA⋅=u u u u r u u u u r，1,2i=，所以Oe与线段BF有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>⎩，故4223102e ee⎧-+<⎨>⎩，12e+<<.故填⎭.16．四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD==，1CB CD==，则四面体A BCD-的外接球的表面积为______【答案】4π【解析】如图，在四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD==1CB CD==，可得90BCD ∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，2=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1． 其表面积为2414ππ⨯=．故答案为：4π．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【解析】 (Ⅰ) ()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭Q ，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+Q ，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =. 又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n n n a ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()111211221212121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <， 因为n 是自然数，所以n 的最大值为4. 18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=， ∴X 的分布列为（Ⅱ）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：170009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10720=（元）. 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为：21000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）.∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长. 【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ， 由此可得，0MN n ⋅=u u u u r r，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD（Ⅱ），设1(,,)n x y z =u r 为平面1ACD 的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=u r u u u u r u r u u u r ，即220{20x y z x -+==，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =u r ，设2(,,)n x y z =u u r 为平面1ACB 的一个法向量，则2120{0n AB n AC ⋅=⋅=u u r u u u r u u r u u u r ，又1(0,1,2)AB =u u u r ，得20{20y z x +==，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-u u r ，因此有121212cos ,10n n n n n n ⋅〈〉==-⋅u r u u r u r u u r u r u u r，于是12,10sin n n 〈〉=u r u u r ， 所以二面角11D AC B --. （Ⅲ）依题意，可设111A E AB λ=u u u r u u u u r ，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+u u u r ， 又(0,0,1)n =r 为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos ,3NE n NE n NE n ⋅〈〉===⋅u u u r r u u u r r u u u r r ，整理得2430λλ+-=，又因为[0,1]λ∈，解得2λ=，所以线段1A E2.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点. （1）设直线:4p l y =与y 轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4p l y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124p y y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=，则212124p 80{x x 2x x 2p p p∆=->+==， ∵直线py 4=平分AFB ∠， ∴AF BF k k 0+=， ∴1212pp y y 440x x --+=，即：12121212p px1x1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴p 4=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2x 8y =．（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，，由2{x 2y kx bpy =+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pk pb∆=+>+==-， ∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===， ∵212p y y 4=， ∴22p b 4=， ∵b 0>， ∴pb 2=．∴直线AB 的方程为：py kx 2=+．假设存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，即PQPQ3PA PB +=，作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、， ∴121212p pPQPQOQOQy y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='，∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4=，∴222PQ PQp 2pk p ·4k 2p PA PB 24++==+，由24k 23+=，得1k 2=±， 故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22=±+． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【解析】 (1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'， 对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立. ()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数； ②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得x <或x >，0<<， ()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数.2a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立， ()f x ∴在()0,+∞为增函数。
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (11)
高三理科数学模拟试卷第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．）1.已知集合()(){}120Axx x =--<，{}124xB x =≤≤，则A B =I ( ) A. {}12x x <<B. {}12x x ≤≤C. {}12x x ≤<D. {}02x x ≤<2.复数z 满足(12)3zi i +=+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（ ） A. 1B. 1i -C. 2D. 1i +3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n =- D. 2122n S n n =-4.已知α是第三象限角，且3c o s ()25πα+=，则si n 2α=（ ） A.2425B. 2425-C.725D. 725-5.已知向量,a b rr 均为单位向量，它们的夹角为60°，则2a b +r r ＝（ ） A.B.C. 6D. 76.己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（ ）A .()10-，B. ()12-，C. ()02，D. ()2，+∞ 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A. 24里B. 12里C. 6里.D. 3里8.若实数x ，y 满足243700x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨⎪⎪≥⎩…则z ＝3x ＋2y 的最大值为（ ） A. 7 B. 6 C. 143D. 99.已知A B uuu v=(2,3)，A C uuuv =(3，t )，B C uuuv =1，则A B B C ⋅u u u v u u u v =A. -3B. -2C. 2D. 310.在A B C ∆中，角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c ，若b =，3c =，2B C =，则c os2C 的值为（ ） A.B.59C.49D.11.函数()l o g 31(0ay x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10m x n y ++=上，其中0m n >，则11m n+的最小值为（ ） A. 3-B. 5C. 3+D. 312.()()(),()()f x R f x f x x R f x f x ∀∈<''设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于 恒成立，则下列各式恒成立的是（ ）A. 2018(1)(0),(2018)(0)f e f f e f << B. 2018(1)(0),(2018)(0)f e f f e f >>C. 2018(1)(0),(2018)(0)f e f f e f >< D. 2018(1)(0),(2018)(0)f e f f ef第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数221()l o g(1)1xa x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______． 14.A B C V的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b a cB ===，则A B C V 的面积为__________. 15.已知曲线32()3f x x =在点()1,(1)f 处的切线的倾斜角为α，则222s i n c o s 2s i n c o s c o s ααααα-+的值为__________．16.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 三、解答题（本大题共6小题）17.已知向量2,1(),1,),3,1(b m a b n ba a k -==+=-=-r u r r r r r r r. (1)若m n u r rP ，求k 的值；(2)当=2k 时，求m ur 与n r夹角的余弦值．18.已知函数2(i n 212s i n ()f x x x R +-∈. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c =，()22Cf =，s i n 2s i n B A =，求,a b 的值. 19.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －n （n ∈N *）． （1）证明：数列{a n ＋1}等比数列；（2）若数列{b n }为等差数列，且b 3＝a 2，b 7＝a 3，求数列11n n b b +的前n 项和T n .20.已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4. (1)求数列{a n }，{b n }通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .21.在A B C ∆中，角,,A B C 的对边的边长为,,a b c ，且()2c o s c o s c o s c o s b a B C cB A =+． （1）求B 的大小；（2）若5a c +=，且A B C S ∆，求边长b 的值． 22.已知函数f （x ）=lnx ﹣ax ，其中a 为实数． （1）求出f （x ）的单调区间；（2）在a ＜1时，是否存在m ＞1，使得对任意的x ∈（1，m ）,恒有f （x ）+a ＞0，并说明理由.。
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (4)
高三理科数学模拟试卷Ⅰ卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分共计70分1．设全集U ＝[－2，2]，若集合A 满足C U A ＝[1，2），则A ＝__________. 【答案】[){}21,2U -【解析】在数轴上分别作出集合A C U U 与，根据补集的概念，可得[){}21,2U -=A . 2．在复平面内，复数20161i i iz +-=对应的点所在第 象限. 【答案】一 【解析】22112)1(11i i i i i z +=++=+-=∴z 表示的点所在的象限是第一象限． 3．某校有甲、乙、丙3个高三理科班. 其中甲班有47人，乙班51人、丙班49人.现分析3个班的一次数学考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是90分，丙班的平均成绩是87分，则该校3个理科班的数学平均成绩是 分． 【答案】89【解析】3个理科班的数学平均成绩是8987319032=⨯+⨯=x . 4.分别从集合{}4,3,2,1=A 和集合{}9,8,7,6,5=B 中各取一个数,则两个数之积为奇数的概率为 . 【答案】103【解析】从集合A 和集合B 中各取一个数共有:)9,1(),8,1(),7,1(),6,1(),5,1(, )9,2(),8,2(),7,2(),6,2(),5,2(,),8,3(),7,3(),6,3(),5,3()8,4(),7,4(),6,4(),5,4(),9,3(,)9,4(共20个,其中满足条件的有:)9,3(),7,3((),5,3(),9,1(),7,1(),5,1(共6个,故所求概率为103206==p .5. 已知，则．【答案】1- 【解析】cos cos()cos()cos()2cos()cos2(13666666x x x x x πππππππ+-=-++--=-=⨯⨯=- 6.右图是一个算法的流程图，该算法中若输出y 的值为16，则输入x 的值为__________； 【答案】4或—1【解析】 输出值,16=y 当4=x 时,不满足3<x ,则代入;1624==y 又由43=-x 推得1-=x 时,再则代入1624==y ,综上x 的值为4或—1.7.设21,F F 是双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的两个焦点,若在双曲线C上存在一点P,使21PF PF ⊥,且︒=∠3021F PF ,则双曲线C 的离心率为 . 【答案】13+【解析】由 a PF PF 221=-,由题意得c a PF c PF +=∴=2,12,222)2()2(c c c a =++∴,即,0222=--e e .13,1+=∴>e e Θ8. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF . 【答案】a 或2a【解析】由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可． 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ，得ACA1F ＝AFA1D ，即2ax ＝3a －xa ， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .9.已知周期为4的函数⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=]3,1(,21]1,1(,1)(2x x x x x f ，则方程x x f =)(3的解的个数为个.【答案】3 数)(x f y =的图象及3x y =【解析】作出函的图象,则两个图象的交点个数为3，即方程的解的个数为 3.10.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 则b＝ 【答案】4【解析】ABC ∆中 sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=g g 化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 11.点P 是函数xx y 4+=图象上任意一点,过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线, 垂足分别为A,B,则=⋅PB PA .【答案】 2-【解析】设)4,(000x x x P +为函数xx y 4+=图象上任意一点,结合图象知0002224x x x x PA =--=,0x PB =,由O,A,P,B 四点共圆得︒=∠135APB , 2)22(2213500-=-⋅=︒=⋅∴x x PB PA .12．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+a x y x y x 00 (a 为常数)，表示的平面区域的面积为4，则y x +2的最小值为 .【答案】41-【解析】由题意画出如图1可行域,因为平面区域的面积为4，易得)0,0(),2,2(),2,2(O B A -，用“角点法”，把A ，B ，O 三点的坐标分别代入目标函数y x +2得其最小值为0.由题意画出可行域如图2，令02=+y x ，即2x y -=，由一阶导数x y 2-='，当抛物线2x y -=与直线x y -=相切时，即,12-=-='x y 得21=x ，即得切点),21,21(-P 代入目标函数得：4121412-=-=+y x ，所以y x +2的最小值为41-.13. 已知ABC ∆的面积为1,点D 在AC 上,AB DE //,连结BD,设BDE ABD DCE ∆∆∆,,中面积最大值为y ,则y 的最小值为 . 【答案】253- 【解析】如图:,//AB DE Θ设)1(<<==λθλCACDCB CE , ∴又1=∆ABC S2λ=∆∴∆ABCECD S S ，即2λ=∆CDE S ，又BED ∆与DCE ∆等高，面积之比为λλ=-=)1(:EC BE即：λλ)1(-=∆∆DCE BDE S S λλλλλ+-=⋅-=∴∆221BDE S ,则CDE BDE ABC ABD S S S S ∆∆∆∆--=λλλλ-=-+-=1122,xyO )2,2(A)2,2(-BC图1OC图2O M记：21λ==∆CDE S y)10(22<<+-==∆λλλBDE S yλ-==∆13ABD S y在同一个坐标系中画出图象, 取三个图象的上边沿，如图，由⎩⎨⎧=-=21λλy y 得λλ-=12，012=-+λλ求得:251±-=λ,即215-=λ时 y 取最大值25321511-=--=-=λ. 14.关于x 的不等式x 2－ax －a 2＋1＜0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】]16,1()1,61[-⋃--.【解析】因为不等式0122<+--a ax x 的解集为A ,且集合中恰好有两个整数,则表明方程0122=+--a ax x 有两个不相等的实数根,即：045)1(4)(222>-=---=∆a a a ,可得：542>a . 设1)(22+--=a ax x x f 的两根为22121211,.,a x x a x x x x -=⋅=+.当012<-a 时,得：1-<a 或1>a .① 当1>a 时,由01,022121<-=⋅>=+a x x a x x （一正一负两实数根）. 结合图象,解集A 中恰好有两个整数,且这两个整数必为1,0.则限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<<0)2(0)1(0)1(0)0(f f f f ，可得a 的解集为]16,1(-；②当1-<a 时,由01,022121<-=⋅<=+a x x a x x （一正一负两实数根）.结合图象：解集A 中恰好有两个整数,且这两个整数必为0,1-，则限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<<-0)1(0)2(0)0(0)1(f f f f ,可得a 的解集为)1,61[--，③当012≥-a 时,即1542≤<a ,得：5521<≤-a 或1552≤<a . （1） 当1=a 时,不等式02<-x x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. （2） 当1-=a 时,不等式02<+x x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. （3） 当1552<<a 时,221211,a x x a x x -=⋅=+. 由145)1(44)(22221221221<-=--=-+=-a a a x x x x x x .即121<-x x ,所以不等式0122<+--a ax x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. （4） 当5521<<-a 时,221211,a x x a x x -=⋅=+. 由145)1(44)(22221221221<-=--=-+=-a a a x x x x x x .即121<-x x ,所以,不等式0122<+--a ax x 的解集A 中没有两个整数,所以不满足题意,舍去. 综上所述,a 的取值范围为]16,1()1,61[-⋃--.二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题14分）已知为坐标原点，，．（1）求的最小正周期；（2）将图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为，且 O 2(2sin ,1),(1,23sin cos 1)OA x OB x x ==-+u u u r u u u r 1()12f x OA OB =-⋅+u u ur u u u r )(x f y =()f x 6π()g x ()π2π5π,,,,6363παβ⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦B CA 1B 1C 1M N A，求的值．【解析】（1）由题设有， ，∴函数的最小正周期为．（2）由题设有，又，即，因为所以，∴∴所以16．（本小题14分）如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o．在面ABC 中，AB ＝23，BC ＝4，M 为BC 的中点，过A 1，B 1，M 三点的平面交AC 于点N ． (1)求证：N 为AC 中点； (2)平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．【解析】 (1)由题意，平面ABC //平面A 1B 1C 1，平面A 1B 1M 与平面ABC 交于直线MN ，与平面A 1B 1C 1交于直线A 1B 1，所以MN // A 1B 1． 因为AB // A 1B 1，所以MN //AB ，所以CNAN ＝CMBM ．因为M 为AB 的中点，所以CNAN ＝1，所以N 为AC 中点． (2)因为四边形A 1ACC 1是边长为2的菱形，∠A 1AC ＝60o．在三角形A 1AN 中，AN ＝1，AA 1＝2，由余弦定理得A 1N ＝3， 故A 1A 2＝AN 2＋A 1N 2，从而可得∠A 1NA ＝90o，即A 1N ⊥AC ． 在三角形ABC 中，AB ＝2，AC ＝23，BC ＝4，则BC 2＝AB 2＋AC 2，从而可得∠BAC=90o，即AB ⊥AC ． 又MN //AB ，则AC ⊥MN ．因为MN ∩A 1N ＝N ，MN ⊂面A 1B 1MN ，A 1N ⊂面A 1B 1MN ，所以AC ⊥平面A 1B 1MN ． 又AC ⊂平面A 1ACC 1，所以平面A 1B 1MN ⊥平面A 1ACC 1．34(),()55g g αβ==-cos2()1αβ--21()sin 3sin cos 2f x x x x =-++cos23sin 21sin(2)26x x x π+==+)(x f y =22ππ=()sin()3g x x π=+34(),()55g g αβ==-()()π3π4sin ,sin 3535+=+=-αβ()π2π5π,,,,6363⎡⎤∈∈--⎢⎥⎣⎦παβ()ππππ,π,,03232⎡⎤+∈+∈-⎢⎥⎣⎦αβ()()π4π3cos ,cos .3535+=-+=αβ()()()ππsin sin 33⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦αβαβ()()()()ππππsin cos cos sin 3333=++-++αβαβ()()33447,555525=⋅--⋅-=-()22798cos2()12sin ()2.25625--=--=-⨯-=-αβαβ17.（本小题满分14分）如图所示，直立在地面上的两根钢管AB 和CD ，m ， m ，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？（2）如图（2）设两根钢管相距m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的 F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？【解析】（1）设钢丝绳长为y m ，，则（其中，）， 当时，即时，.（2）设钢丝绳长为y m ，，则（其中，）.令得，当时，即时.答：按方法（1），米时，钢丝绳最短；按方法（2），米时，钢丝绳最短.18. （本小题满分16分）已知椭圆C;221(04)4x y b b+=<<的左右顶点分别为A 、B ，M 为椭圆上的任意一点，A 关于M 的对称点为P ，如图所示，（1）若M 的横坐标为12，且点P 在椭圆的右准线上，求b 的值； （2）若以PM 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，求b 的取值范围. 【解析】（1）Q M 是AP 的中点， 1,22M A x x ==-，3P x ∴=103AB =33CD =33CFD θ∠=331331tan cos sin cos y θθθθ+==+002πθθ<<<0tan 7θ=2233cos sin sin cos y θθθθ-'=+tan 3θ=34=BE min 8y =CFD θ∠=()33331cos sin sin cos y θθθθ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭00θθ<<012333tan 333θ-==()()223333cos sin 331sin cos cos sin sin cos sin cos y θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-'=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y '=sin cos θθ=π4θ=36=BE ()min 6322y =+34=BE 36=BE A ED C B F AE D C BF 图1 图2Q P在椭圆的右准线上，3=，解得209b =. （2）设点P 的坐标为（00,x y ），点M 的坐标为（11,x y ）， 又因为P 关于M 的对称点为A ，所以00112,22x yx y -== 即010122,2x x y y =+=Q PM 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，∴OM OP ⊥，∴0=*OP OM ，即01010x x y y +=，所以1111(22)20x x y y ++=，即22111y x x =--又因为点M 在椭圆221(04)4x y b b+=<<上，所以221114x y b +=，即221122114414y y b x x ==--， 所以2111122211111144144[1]4[1]4[1]1244(4)8(4)12(4)84x x x x b x x x x x x +++==+=+=+--+-++++-+，因为122x -<<，所以1246x <+<， 所以1112484x x ≤++<+， 所以11112(4)84x x ≤++-+111(12(4)84x x ∈-∞++-+所以(,4(1b ∈-∞+，即(,2b ∈-∞-又因为04b <<，所以(0,2b ∈-19. （本小题满分16分）已知数列}{,32}{2n n n b n n S n a 数列项和的前-=是正项等比数列，满足.)(,112311b a a b b a =--=（1）求数列}{}{n n b a 和的通项公式；（2）记M c N n M b a c n n n n ≤∈⋅=,,,*使得对一切是否存在正整数恒成立，若存在，请求出M 的最小值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）数列{a n }的前n 项和n n S n 322-=，)2,(541≥∈-=-=∴-n N n n S S a n n n …2分又11-==S a n ，)(54}{*N n n a a n n ∈-=∴的通项公式为数列}{n b 数列Θ是正项等比数列，41,4,131211=∴=-=-=b a a a b ， 公比21=q ，数列)(21}{*1N n b b n n n ∈=-的通项公式为（2）解法一：1254--=⋅=n n n n n b a c ， 由2,024925421411≤≥-=---=--+n nn n c c nn n n n 得123c c c >>∴，当Λ>>><≥+5431,,3c c c c c n n n 即时，又473=c 故存在正整数M ，使得对一切,,*恒成立M c N n n ≤∈M 的最小值为2. （2）解法二：1254--=⋅=n n n n n b a c ，令21ln )21()54()21(4)(,254)(111⋅⋅-+⋅='-=---x x x x x f x x f ，由69.22ln 1450)(≈+<>'x x f 得，函数.),2ln 145(;)2ln 145,()(上单调递减在上单调递增在+∞++-∞x f对于.}{,,47)3(;23)2(,33232*c c c c f c f c N n n 的最大项是即数列<∴====∈故存在正整数M ，使得对一切M c N n n ≤∈,*恒成立，M 的最小值为2.20、（本小题满分16分） 设函数b a x x x f +-=||)((1) 求证：)(x f 为奇函数的充要条件是022=+b a ；(2) 设常数322-<b ，且对任意0)(],1,0[<∈x f x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】（I ）充分性：若.||)(,0,022x x x f b a b a ====+所以即时)(||||)(x f x x x x x f -=-=--=-Θ，对一切x ∈R 恒成立，)(x f ∴是奇函数 必要性：若)(x f 是奇函数，则对一切x ∈R ，)()(x f x f -=-恒成立，即.||||b a x x b a x x ---=+---令.0,,0=-==b b b x 所以得 再令.0,0,0||2,22=+=∴==b a a a a a x 即得（II ）a x b ,0,0322时当=∴<-<Θ取任意实数不等式恒成立， 故考虑(].,||,1,0xbx a x b x x b a x x -<<+-<-∈即原不等式变为时(]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+>∈∴)2(.)()1(,)(,1,0min max x b x a xb x a x 满足只需对对（1）式，由b < 0时，在(]xbx x f +=)(,1,0上为增函数， .1)1()(max b f xbx +==+∴ .1b a +>∴ （3）对（2）式，当(].2,1,0,01b xbx x b x b -≥-+=-<≤-上在时当min ,()b bx x x x x =-=∴-= .2b a -<∴ （4）由（3）、（4），要使a 存在，必须有.2231.01,21+-<≤-⎩⎨⎧<≤--<+b b b b 即∴当.21,2231b a b b -<<++-<≤-时 当(]xbx x f b -=-<)(,1,0,1上在时为减函数，（证明略）min ()(1)1.1,11.bx f b b b a b x∴-==-∴<-+<<-当时综上所述，当a b ,3221时-<≤-的取值范围是)2,1(b b -+； 当a b ,1时-<的取值范围是).1,1(b b -+解法二：.||,322],1,0[,0||)(b a x x b x b a x x x f -<--<∈<+-=即恒成立 由于b 是负数，故.,22b ax x b ax x >--<-且（1）b ax x x g b x b ax x +-=-<∈-<-22)(,322],1,0[设恒成立在，则⎪⎩⎪⎨⎧><+-<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<)3(.4)2(,01)1(,0.044,0)1(,0)0(22b a b a b a b g g 即，其中（1），（3）显然成立，由（2），得.1b a +>（*）…10分 （2）b ax x x h b x b ax x --=-<∈>--22)(,322],1,0[0设恒成立在，①.0,0)0(,02<⎪⎩⎪⎨⎧><a h a 即 综合（*），得a b a b b ,3221;01,1时时-<≤-<<+-<值不存在②.22,20.044,1202⎩⎨⎧-<<--≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤b a b a a b a 即 综合（*），得.21,3221;20,1b a b b a b -<<+-<≤-≤<-<时时③⎩⎨⎧-<>⎪⎩⎪⎨⎧>>.1,2.0)1(,12b a a h a即综合（*），得a b b a b ,3221;12,1时时-<≤--<<-<不存在 . 综上，得.11,1;21,3221b a b b b a b b -<<+-<-<<+-<≤-时时数学Ⅱ附加题21.选做题，本题包括A,B,C 三小题，请选其中两小题作答。
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (32)
高三理科数学模拟试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中只有1项是符合题目要求的）1.下列集合中，是集合3{|2l o g9}x x <的真子集的是（ ） A. {x |x ＞2} B. {x |x ≤2} C. {x |x ≤0} D. {0，1，2，3}【答案】C 【解析】 【分析】可求出3{|2l o g 9}{|1}xx x x <=<，这样即可看出哪个选项的集合为该集合的真子集． 【详解】由题得3{|2l o g 9}{|1}xx x x <=<； {|1}x x ∴<的真子集为{|0}x x …． 故选：C ．【点睛】本题主要考查对数的运算、描述法的定义、指数函数的单调性，考查真子集的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．2.在复平面内，复数()2i i -+对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，可得复数对应坐标，从而可得答案．【详解】()212i i i -+=-Q ， ∴复数()2i i -+对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限，故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数几何意义，是基础题．解题时一定要注意应用21i =-，注意()()()()a b i c d i a c b d a d b c i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误. 3.已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄a ，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若“//m n ”则“//m α”成立，即充分性成立，//m αQ ，m ∴不一定平行n ，因为m 还有可能和n 异面.即“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件， 故选：D ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键．4.设a 122=，b 134=⎰（1﹣x 2）dx ，c ＝2ln 2，则（ ）A. a ＜b ＜cB. b ＜1＜c ＜aC. c ＜a ＜bD. c ＜b ＜a【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得122a =12031(1)42b x d x =-=⎰，224c l n l n ==，据此比较可得答案． 【详解】根据题意，1221a =>， 312100331(1)()|4432x b xd x x =-=-=⎰， 2241c l n l n ==>，n 2， 1077210241046,10l n 27,l n 210e =<≈∴<∴<.7n 2110⋅<，l n 4>. 则有1b c a <<<，故选：B ．【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查对数和分数指数幂的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n ﹣1，则{a n }的通项公式a n ＝（ ） A. 2n ﹣1 B. 2n ﹣1C. 2n ﹣1D. 2n +1【答案】B 【解析】 【分析】求出数列的首项，把式子21n n S a =-和1121n n S a --=-相减化简即得数列的通项公式． 【详解】数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，1n =时，解得11a =， 2n …时，1121n n S a --=-，可得122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=， 所以数列{}n a 为等比数列，公比为2； 则{}n a 的通项公式12n n a -=．故选：B ．【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，考查数列通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．6.已知向量AB =u u u r （2，1），点C （﹣1，0），D （3，2），则向量A B uuu r 在C D uuu r方向上的投影为（ ）B. ﹣C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用向量的加减运算可得(4,2)C D =u u u r ，运用向量的数量积的坐标表示，以及向量A B uuu r 在C D uuu r方向上的投影，即可得到所求值．【详解】向量(2,1)A B =u u u r ，点(1,0)C -，(3,2)D ，可得(4,2)C D =u u u r，所以241210A B C D =⨯+⨯=u u u r u u u rg ，||C D =u u u r所以向量A B uuu r 在C D uuu r 方向上的投影为||A BC D C D u u u r u u u rg u u u r ． 故选：A ．【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题． 7.若直线l 过点A （0，a ），斜率为1，圆x 2+y 2＝9上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为（ ）A. ±3B. ±C. ±2 D. ±【答案】D 【解析】 【分析】圆229x y +=上恰有3个点到l 的距离为1等价于圆心到直线的距离为2，再根据点到直线的距离列式可得． 【详解】圆229x y +=上恰有3个点到l 的距离为1等价于圆心到直线的距离为2， 因为直线l 的方程为：0x y a -+=，2∴=a =±．故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8.已知命题:,2l g p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ） A. 命题p q ∨是假命题 B. 命题p q ∧是真命题C. 命题()p q ∧⌝是真命题 D. 命题()p q ∨⌝是假命题 【答案】C 【解析】试题分析：先判断出命题p 与q 的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论． 解：由于x=10时，x ﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p 为真命题， 令x=0，则x 2=0，故命题q 为假命题， 依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q 是真命题，命题p∧q 是假命题，￢q 是真命题， 进而得到命题p∧（￢q ）是真命题，命题p∨（￢q ）是真命题． 故答案为C ．考点：全称命题；复合命题的真假．9.设α＞0，β＞0，将函数f （x ）＝sinx 的图象向左平移α个单位长度得到图象C 1，将函数6g x c o s x π=+（）（）的图象向右平移β个单位长度得到图象C 2，若C 1与C 2重合，则cos （α+β）＝（ ） A. 32-B.32C. 12-D.12【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数s i n ()yA x ωϕ=+的图象变换可求两图象的解析式，根据已知可得2s i n ()s i n ()3x x παβ+=-+，解得223k παβπ+=+，k Z ∈，即可求得c o s ()αβ+的值． 【详解】由已知可得1:s i n ()C y x α=+，22:c o s ()s i n ()63C y x x ππββ=-+=-+， 由题意可得：2s i n ()s i n ()3x x παβ+=-+恒成立，则：223k παπβ=-+，k Z ∈，可得：223k παβπ+=+，k Z ∈， 可得：1co s ()2αβ+=-． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数s i n ()y A x ωϕ=+的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．10.某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（ ）A.4π B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案.【详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小111113322V =⨯⨯⨯⨯=故答案选B【点睛】本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.11.在正方体1111A B C D A B C D -中，E 是棱1C C 的中点，F 是侧面11B C CB 内的动点，且1A F P 平面1D AE ，则1A F 与平面11B C CB 所成角的正切值t 构成的集合是（ ）A. 2523t t 镲铪B. 25|2t t 禳镲镲睚镲镲铪C. {}|223t t 剟D. {}|222t t 剟【答案】D 【解析】 【分析】为确定F 点位置，先找过1A 与平面1D AE 平行且与平面11BB C C 相交的平面，分别取111,BBBC 的中点,M N ，连接11,,A M M N A N ，可知平面1//AM N 平面1D AE ，故F 在线段MN 上，可知线面角为11AFB ∠，分析其正切值即可求出.【详解】设平面1AD E 与直线B C 交于点G ，连接,AGE G ，则G 为B C 的中点. 分别取111,BB BC 的中点,M N ，连接11,,A M M N A N ，则11//A M D E ， ∵1AM Ë平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，∴1//AM 平面1D AE ，同理可得//M N 平面1D AE . ∵1,A MM N 是平面1A MN 内的两条相交直线， ∴平面1//AM N 平面1D AE ，且1//A F 平面1D AE ， 可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上的动点.设直线1A F 与平面11B C CB 所成角为θ，运动点F 并加以观察，可得：当点F 与点M （或N ）重合时，1A F 与平面11B C CB 所成角等于11AM B Ð，此时所成角θ达到最小值，满足111ta n 2AB BM θ==； 当点F 与MN 中点重合时，1A F 与平面11B C CB 所成角达到最大值，此时111111t a n 2222A B B F B M θ===，∴1A F 与平面11B C CB 所成角的正切值t 构成的集合为{}|222t t 剟，故选D. 【点睛】本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题.12.在数列{}n a 中，10a =，()()1522*,2n n a a n n N n --+=+∈≥，若数列{}n b 满足181()11n n n b n a +=+，则数列{}n b 的最大项为( ) A. 第5项 B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B 【解析】 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，可得()181()11n n b n n -=+，进一步利用11n n nn b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，建立不等式组，从而可得结果．【详解】数列{}n a 中，10a =，()1522n n a a n --+=+， 得到：121n n a a n --=-， ()12211n n a a n ---=--， ⋯，21221a a -=⨯-， 上边()1n -个式子相加得：()()12231n a a nn -=++⋯+--， 解得：21n a n =-． 当1n =时，首项符合通项．故：21n a n =-． 数列{}n b 满足81()11nn b =， 则()181()11n n b n n -=+， 由于11n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，故：()()()()212221288()()111188()32()1111n n n nn n n n n n n n ---⎧+⋅≥-⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥++⋅⎪⎩，解得：161933n ≤≤， 由于n 是正整数， 故6n =．故选B ．【点睛】本题主要考查递推公式求数列的通项公式、累加法的应用，数列最大项的求法，属于难题．由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加法求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如1(0,1)n n aq a p p q -=+≠≠的递推公式，可构造等比数例{}n a m +，进而得出{}n a 的通项公式.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数x 、y 满足110x x y x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+≤⎩，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为_____.【答案】（3，+∞）. 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 【详解】作出不等式组对应的平面区域， 要使所表示的平面区域为三角形，则点A 必须在直线x y m +=的下方，即A 的坐标满足不等式x y m +<，由110x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)A ，此时满足x y m +<，即3m >．故答案为：(3,)+∞．【点睛】本题主要考查二元一次不等式组平面区域的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14.已知两个单位向量1e ur ，2e uu r ，且|12e e +u r u u r |＝1，则|12e e -u r u u r|＝_____.3.【解析】 【分析】根据12,e e u r uu r 为单位向量，对12||1e e +=u r u u r 两边平方即可求出1221e e =-u r u u r g ，从而可求出212||3e e -=u r u u r ，进而可求出12||e e -u r u u r．【详解】Q 22121e e ==u r u u r ，且12||1e e +=u r u u r ； ∴22212112212||2221e e e e e e e e +=++=+=u r u u r u r u r u u r u u r u r u u rg g ； ∴1221e e =-u r u u rg ； ∴222121122||21113e e e e e e -=-+=++=u r u u r u r u r u u r u u rg ； ∴12||e e -u r u u r．【点睛】本题主要考查单位向量的概念，考查了向量数量积的运算，以及向量长度的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15.已知圆x 2+y 2＝4.过点C （1）且被圆截得的弦长为3直线l 的方程_____.【答案】4x ﹣7＝0. 【解析】 【分析】根据勾股定理可得圆心到直线的距离d =，故可得O C l ⊥，可得l 的斜率，再根据点斜式可得．【详解】由题得圆心O 到直线l 的距离d，又||O C ，故O C l ⊥，l ∴的斜率为-故直线l 的方程为1)y x =-，即470x -=．故答案为：470x -=． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16.对于函数y ＝f （x ），若存在x 0，使f （x 0）+f （﹣x 0）＝0，则称点（x 0，f （x 0））是曲线f （x ）的“优美点”•已知f （x ）22030x x x kx x ⎧+=⎨+≥⎩，＜，若曲线f （x ）存在“优美点”，则实数k 的取值范围为_____.【答案】k 2≤- 【解析】 【分析】由题意等价于0x <时，2()2f x x x=+关于原点对称的函数在0x >时()3f x k x =+有交点，即可求解． 【详解】由题意可得，若0(x ，0())f x 是曲线()f x 的“优美点”，则0(x -，0())f x -也在曲线上，故当0x <时，2()2f x x x=+关于原点对称的函数与0x >时()3f x k x =+有交点， Q 当0x <时，22y x x =+，其关于原点对称的函数22y x x=-+，(0)x >， 联立22y x x=-+与3y k x =+可得，32k x x =--+在0x >时有解， 0x Q >时，322x x--+-…，2k ∴-…故答案为：(-∞，2-．【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用对称性求解函数的解析式，考查分析问题解决问题的能力，题目比较新颖．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答） 必考题：共60分17.在A B C ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且满足c o s 20c o s B a bC c-++=． （1）求角C 的值；（2）若2b =，AB边上的中线C D ，求A B C V 的面积． 【答案】⑴3C π=【解析】 【分析】()1由c o s 20c o s B a bCc-++=，根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，化简可得s i n2s i n c o s 0A A C -=，由于s i n 0A >，可求1cos 2C =，进而可求C 的值；()2由()12CD C A C B =+u u u r u u u r u u u r ，结合平面向量数量积的运算可得()2213222c o s 604a a =++⨯⨯⨯o ，解得a 的值，根据三角形面积公式即可得结果． 【详解】()c o s 210c o s B ab Cc -++=Q ，由正弦定理得：c o s 2s i n s i n 0c o s s i n B A BC C-++=， 即()c o s s i n c o s 2s i n s i n0B C CA B ⋅+-+=， 从而()s i n 2s i n c o s 0B C A C +-=，即：s i n2s i n c o s 0A A C -=， 又ABC V 中，s i n 0A >， 故1cos 2C =， 得3C π=. ()2由()12C D C A C B =+u u u r u u u r u u u r ，得：()2213222c o s 604a a =++⨯⨯⨯o ， 从而2a = 或4(a =-舍)，故11s i n 22s i n 622A B CS a b C ==⨯⨯⨯oV 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18.已知函数f （x ）＝x 3﹣4x 2+5x ﹣4.（1）求曲线f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程： （2）若g （x ）＝f （x ）+k ，求g （x ）的零点个数. 【答案】（1）x ﹣y ﹣4＝0（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，再求得f '（2）与f （2），利用直线方程点斜式求曲线()f x 在点(2，f （2）)处的切线方程；（2）()()g x f x k =+的零点个数，即()y f x =与y k =-的交点个数，利用导数求函数()f x 的单调性与极值，作出图象，数形结合得答案．【详解】（1）∵f （x ）＝x 3﹣4x 2+5x ﹣4，∴f ′（x ）＝3x 2﹣8x +5， ∴f ′（2）＝1，又f （2）＝﹣2，∴曲线f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ﹣（﹣2）＝x ﹣2， 即x ﹣y ﹣4＝0；（2）g （x ）＝f （x ）+k 的零点个数，即y ＝f （x ）与y ＝﹣k 的交点个数， 由f ′（x ）＝0，可得x ＝1或x 53=， 当x ∈（﹣∞，1）∪（53∞+，）时，f ′（x ）＞0，当x ∈（1，53）时，f ′（x ）＜0， ∴f （x ）在（﹣∞，1），（53∞+，）上单调递增，在（1，53）上单调递减， ∴f （x ）极大值＝f （1）＝﹣2，558327f x f ==-极小值（）（）. 如图所示， ∴﹣k ∈（﹣∞，5827-）∪（﹣2，+∞）时，有1个交点，﹣k ∈（5827-，﹣2）时，有3个交点， ﹣k 5827=-或﹣k ＝﹣2时，有2个交点. 综上所述，k ∈（﹣∞，2）∪（5827，+∞）时，g （x ）有1个零点，k ∈（2，5827）时，g （x ）有3个零点，k 5827=或2时，g （x ）有2个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题． 19.【题文】等边△ABC 的边长为3，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且满足2A E B DE C D A==（如图①），将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1﹣DE ﹣B 成直二面角，连接A 1B ，A 1C （如图②）.（1）求证：A 1D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P （不包括端点），使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出A 1P 的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在；A 1P 52= 【解析】 【分析】（1）计算DE ，利用勾股定理可证A 1D ⊥DE ，再根据面面垂直的性质得出1A D ⊥平面B C E D ；（2）建立空间坐标系，设B P B Cλ=u u u r u u u r ，求出平面1A BD 的法向量，根据线面角列方程计算λ的值即可得出结论．【详解】（1）证明：由题意可知A 1D ＝1，A 1E ＝2，∠DAE ＝60°， ∴DE 11421232=+-⨯⨯⨯= ∴A 1D 2+DE 2＝A 1E 2，∴A 1D ⊥DE ，∵二面角A 1﹣DE ﹣B 成直二面角，即平面A 1DE ⊥平面BDE ，平面A 1DE ∩平面BDE ＝DE ， ∴A 1D ⊥平面BCED .（2）由（1）可知DE ⊥BD ，以D 为原点，以DB ，DE ，DA 1为坐标轴建立空间坐标系D ﹣xyz ，如图所示， 则D （0，0，0），B （2，0，0），A 1（0，0，1），C （12330）， 则BC =uuu r （32-330），DB =u u u r （2，0，0），令B P B Cλ=u u u r u u u r （0＜λ＜1）， 则D PD B B P =+=u u u r u u u r u u u r（232-λ33，0），即P （232-λ33，0），∴1A P =uuur （232-λ，332λ，﹣1）， 由（1）知n =r（0，1，0）为平面A 1BD 的一个法向量，则cos 111223323332122n A P nA P nA P λλλ⋅==-++u u u r r u u u r r u u u r r ＜，＞（）（）， 令22333223332122λλλ=-++（）（），解得λ56=，即1A P =uuur （34，534，﹣1），∴A 1P 2235351442=++=（）（）. ∴线段BC 上存在点P 使得直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，且A 1P 52=.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，考查空间向量与线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20.在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，﹣3），点M 满足|MA |＝2|MO |. （1）求点M 的轨迹方程；（2）若圆C ：（x ﹣c ）2+（y ﹣c +1）2＝1，判断圆C 上是否存在符合题意的M ；（3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是点M 轨迹上的两个动点，点P 关于点（0，1）的对称点为P 1，点P 关于直线y ＝1的对称点为P 2，如果直线QP 1，QP 2与y 轴分别交于（0，a ）和（0，b ），问（a ﹣1）•（b ﹣1）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）x 2+（y ﹣1）2＝4（2）存在（3）是定值，定值为4 【解析】 【分析】（1）设(,)M x y ，由||2||M A M O =代入可求M 的轨迹方程；（2）由已知可得圆心(,1)Ccc-，圆C 与M的轨迹有公共点，则3可求c 的范围；（3）设1(P x ，1)y ，可求1P ，2P ，进而可求a ，b 的表达式，即可求解.【详解】（1）设M （x ，y ），由|MA |＝2|MO |可得x 2+（y +3）2＝4（x 2+y 2） 化简可得M的轨迹方程为x 2+（y ﹣1）2＝4 （2）由已知可得圆心C （c ，c ﹣1），若圆C 与M 的轨迹有公共点，则3≤ c ≤ c ≤时存在满足条件的M. （3）∵P （x 1，y 1），∴P 1（﹣x 1，2﹣y 1），P 2（x 1，2﹣y 1），由题意可得，直线QP 1，QP 2的斜率一定存在且不为0，否则a 或b 不存在∴QP 1：y ﹣y 221212(2)()y y x x x x --=-+，∴211212()2x y xy a x x -+=+，b 211221()2x y xy y y --=- ∴（a ﹣1）⋅（b ﹣1）2112122(1)()x y xy x x -+=-+⋅（2112212()x y xy y y ----1）222221122221)()(11x y x y x x ---=- ∵2211(1)4x y +-=，2222(1)4x y +-=. ∴（a ﹣1）⋅（b ﹣1）222221122221()(44)x x x x x x ---==-4. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，考查直线方程的应用， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.已知函数()ln a xf x x+=，()g x mx =． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a =时，()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当1a =时，求证：当1x >时，()()11121.x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）()f x 在1(0,)a e -单调递增，在1(,)ae -+∞单调递减；（2）12m e≥(3)见解析 【解析】分析：（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x>可确定增区间，由'()0f x <可确定减区间； （2）()()f x gx ≤即为ln x mx x ≤，即2ln xm x ≥，因此只要求得2l n x x的最大值即可； （3）不等式11l n 1(1)()2(1)xx x x e x e +++⋅>+可变形为11(1)(l n 1)211x x x x ee x x e -++⋅>++，只要分别证明1(1)(l n 1)()(1)1x x p x p e x ++=⋅>+，12()(1)1x x ehx h x e -=<+，其中(1)(1)ph =，即能证明题设不等式． 详解：（1）()ln a xf x x+=的定义域为()0,+∞， 且()()221l n 1l n 'a x x af x x x-+--==. 由()'01l n 0f x x a >⇒--> 1l n 10a x a x e-⇒<-⇒<<， ∴()f x 在()10,ae-单调递增，在()1,ae-+∞单调递减；（2）解：0a =，()ln xf x x=， ∴()()l n x f x g x x ≤⇔2l n xm x m x≤⇔≥， 令()2ln x u x x =，∴()312l n 'xu x x -=，由()'00u x >⇒<，∴()u x 在(单调递增，在)+∞单调递减，∴()m a x l 12ux e e===，∴12m e ≥； （3）证明：()()11121x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭等价于()()11l n 11211x x x x ee x x e -++⋅>++.令()()()1l n 1x x p x x++=，则()2ln 'x x p x x -=，令()l n x x x ϕ=-则()11'1x x x xϕ-=-=，∵1x >，∴()'0x ϕ>，∴()x ϕ在()1,+∞单调递增，()()110x ϕϕ>=>，()'0p x >，∴()p x 在()1,+∞单调递增， ∴()()12px p >=，∴()211p x e e >++， 令()121x xeh x xe -=+，则()()()1221'1x xxe e h x xe --=+，∵1x >，∴10xe -<，∴()'0h x <，()h x 在()1,+∞单调递减，∴当1x >时，()()211h x h e <=+， ∴()()211p x h x e e >>++，即()()11121xx x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点睛：（1）用导数研究函数的单调性方法是：求出导函数'()f x ，解不等式'()0f x>得增区间，解不等式'()0f x <得减区间．（2）用导数证明不等式()()f x gx >，一种方法是证明()()0f x g x ->，为此只要求得()()()H x fx g x =-的最小值，这个最小值大于0；另一种方法是求得()f x 的最小值m in ()f x ，再求得()g x 的最大值m ax ()g x ，由m i n m a x()()f x g x >得证． 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：2214y x +=，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心极坐标为（3，π），半径为1的圆.（1）求曲线C 1的参数方程和C 2的直角坐标方程；（2）设M ，N 分别为曲线C 1，C 2上的动点，求|MN |的取值范围. 【答案】（1）2x cos y sin ϕϕ=⎧⎨=⎩（φ为参数）；（x +3）2+y 2＝1（2）[1，5]【解析】 【分析】（1）由曲线221:14y C x +=，能求出1C 的参数方程；求出曲线2C 是圆心直角坐标为(3,0)-，半径为1的圆，由此能求出2C的直角坐标方程；（2）设(c o s,2s i n)M ϕϕ，2(3,0)C -，则222222||(c o s 3)4s i n 3c o s 6c o s 133(c o s 1)16M C ϕϕϕϕϕ=++=-++=--+，由此能求出||MN 的取值范围． 【详解】（1）∵曲线C 1：2214y x +=，∴C 1的参数方程为2x cos y sin ϕϕ=⎧⎨=⎩（φ为参数），∵曲线C 2是圆心极坐标为（3，π），半径为1的圆，∴曲线C 2是圆心直角坐标为（﹣3，0），半径为1的圆， ∴C 2的直角坐标方程为（x +3）2+y 2＝1.（2）设M （cosφ，2sinφ），C 2（﹣3，0），∴2222||34M C c o s s i n ϕϕ=++=-（）3cos 2φ+6cosφ+13＝﹣3（cosφ﹣1）2+16， ∵﹣1≤cosφ≤1，∴224||16M C ≤≤，2≤|MC 2|≤4， ∴1≤|MN |≤5.∴|MN |的取值范围是[1，5].【点睛】本题考查曲线的参数方程和直角坐标方程的求法，考查弦长的范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力． 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数 ()212fxx x =--+ （Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式21(3)35m fx x +≥+++有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1(,)(3,)3-∞-+∞U ；（2）(,3][2,)-∞-⋃+∞【解析】分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；（2）(3)3525210f x x x x +++=+++，利用绝对值的三角不等式求得25210x x +++的最小值min ，然后解不等式21m i n m +≥即可．详解：（1）()13,2131,223,2x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=---<<⎨⎪-+≤-⎪⎪⎩，当30x ->时，得3x >；当310x -->时，得123x -<<-；当30x -+>时，得2x ≤-， 综上可得不等式()0f x >的解集为()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （2）依题意()()m i n21335m fx x +≥+++， 令()()33525210g x f x x x x =+++=+++ 252105x x ≥--++=. ∴215m +≥，解得2m ≥或3m ≤-，即实数m 的取值范围是][(),32,-∞-⋃+∞. 点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：（1）“能成立”：存在x 使不等式()t f x ≥成立m i n ()t f x ⇔≥，存在x 使不等式()t f x ≤成立m a x ()t f x ⇔≤；（2）“恒成立”：对任意的x 不等式()t f x ≥恒成立m a x ()t f x ⇔≥，对任意的x 不等式()t f x ≤恒成立m i n ()t f x ⇔≤．。
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (20)
1 高三理科数学模拟试卷 一、单项选择题： 1.已知集合{1,2}A，{|1}Bxax，若BA，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（ ）
A. 11,2 B. 11,2 C. 10,1,2 D. 11,0,2 【答案】D
【解析】 【分析】 分B为空集和B不为空集两种情况讨论，分别求出a的范围，即可得出结果. 【详解】因为集合{1,2}A，{|1}Bxax，BA， 若B为空集，则方程1ax无解，解得0a； 若B不为空集，则0a；由1ax解得1xa，所以11a或12a，解得1a或12a，
综上，由实数a的所有可能的取值组成的集合为11,0,2
.
故选D 【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，熟记集合间的关系即可，属于基础题型. 2.若1izi（其中i是虚数单位），则复数z
的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】 分析：变形1izi，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标即可得结论. 详解：由i1iz，
得21ii1i1iiiz，1zi
复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为1,1，
位于第四象限，故选D. 点睛：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 2
3.函数()22lnxxfxx的图象大致为（ ）
A. B.
C. D. 【答案】B
【解析】 【分析】 根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除D；根据0,1x时，0fx，排除,AC，从而得到正确选项. 【详解】fxQ定义域为0xx，且22ln22lnxxxxfxxxfx fx为偶函数，关于y轴对称，排除D；
2020届高三理科数学模拟试卷(解析版)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|1}A x x =<，2{|log 1}B x x =<，则（ ）A ．{|1}AB x x =<U B ．{|2}A B x x =<UC ．{|1}A B x x =<ID ．{|2}A B x x =<I 【答案】B {|1}A x x =<，{|02}B x x =<<，{|01}A B x x =<<I ，{|2}A B x x =<U ． 2．i 是虚数单位，4i1iz =-，则||z =（ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 【答案】B 由题意得4i 4i(1i)2i(1i)22i 1i (1i)(1i)z +===+=-+--+，∴22||(2)222z =-+=．故选B ． 3．已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰．若该公司有工作10年以上的员工100人，工作510:年的员工400人，工作05:年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作510:年的员工代表有（ ） A ．8人 B ．16人 C ．4人 D ．24人【答案】B 依题意知，该公司的所有员工中工作10年以上、工作510:年、工作05:年的员工人数比例为1:4:2， 所以工作510:年的员工代表有428167⨯=． 4．已知向量||2=a ，||1=b ，(2)2⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．150︒【答案】B ∵2(2)2422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos ||||2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．5．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ） A ．1414 B ．8314 C ．1313D ．13【答案】A【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠， 在11AC D Rt △中，111C D =，222112314AC =++=，∴11111114cos 1414C D AC D AC ∠===，故选A ． 6．执行下图的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是（ ）A ．4?i <B ．5?i <C ．6?i <D ．7?i < 【答案】B【解析】由程序框图可知，该程序框图的功能是计算(1)1232i i S i +=++++=L 的值， 又10S =，所以4i =，当15i +=时退出循环，结合选项可知，应填5?i <．6题 7题7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象 向左平移π6个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()g x 为奇函数 B ．函数()g x 的最大值为3 C ．函数()g x 的最小正周期为π D ．函数()g x 在π(0,)3上单调递增【答案】D 由图可知3A =，35ππ3π()41234T =--=，∴πT =，2ω=， 将点5π(,3)12代入3sin(2)y x ϕ=+，得π2π3k ϕ=-+()k ∈Z ，故π()3sin(2)3f x x =-，向左平移π6个单位长度得ππ()3sin[2()]3sin 263y g x x x ==+-=，故A ，B ，C 正确，故选D ．8．随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为90秒，且一次亮红灯的时间不超过60秒，一次亮绿灯的时间不超过50秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为（ ）A ．14 B ．19 C ．59 D ．511【答案】A 设亮绿灯的时间随机设置为t 秒，则50t ≤，亮红灯的时间为9060t -≤，所以3050t ≤≤， 亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为45t ≥，由几何概型的概率公式知：P =50−4550−30=14． 9．已知函数1()1ln f x x x=--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ∵1()1ln f x x x=--，∴1ln 0x x --≠，令()1ln g x x x =--，∵(1)0g =，∴函数的定义域为(0,1)(1,)+∞U ，可得211()(1ln )x f x x x x -'=-⋅--， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，函数单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数单调递减，∴A 选项图象符合题意10．已知圆222x y r +=(0)r >与抛物线22y x =交于A ，B 两点，与抛物线的准线交C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于（ ） A ．22B ．2C ．52 D ．5 【答案】C 由题意可得，抛物线的准线方程为12x =-，画出图形如图所示：在222x y r +=(0)r >中，当12x =-时，则有2214y r =-．① 由22y x =，得22y x =，代入222x y r +=，消去x 整理得422440y y r +-=．②结合题意可得点A ，D 的纵坐标相等，故①②中的y 相等， 由①②两式消去2y ，得222211()4()4044r r r -+--=， 整理得42168150r r --=，解得254r =或234r =-（舍去），∴52r =，故选C ． 11．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知5a =，2534ABC S =△，且2222cos cos b c a ac C c A +-=⋅+⋅，则sin sin B C +=（ ）A ．3B ． 9√32C ．3D ．33【答案】C 在ABC △中，由余弦定理得22222222cos cos 22a b c b c a ac C c A ac c bc ab bc+-+-⋅+⋅=⋅+⋅=，∵2222cos cos b c a ac C c A +-=⋅+⋅，∴222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，∵0πA <<，∴π3A =，∵2534ABC S =△，∴13253sin 244bc A bc ==，∴25bc =，即22225b c a +-=， ∵5a =，∴2250b c +=，由222550bc b c =⎧⎨+=⎩，解得5b c ==，∴a b c ==，∴π3B C A ===， ∴π3sin sin 2sin2332B C +==⨯=．12．已知函数24,0(),0x x x x f x e x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax =-，若()g x 有4个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．2(,4)4eB ．(,4)4eC ．(,)4e +∞D ．2(,)4e +∞【答案】A 因为()()g x f x ax =-有4个零点，即函数()y f x =与y ax =有4个交点，当0x >时，2(1)()xx ef x x-'=， 所以(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 画出()f x 的图象如图所示，求出()f x 的过原点的切线，()f x 在0x =处的切线1l 的斜率为2100(4)|(24)|4x x k x x x =='=+=+=， 设()f x 的过原点的切线2l 的切点为000(,)x e P x x 0(0)x ≠，切线2l 的斜率为2k ，又2(1)()x x e x e x x -'=，故000220020(1)x x x e k x e x k x ⎧-=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩，解得02x =，224e k =， 由图可知()y f x =与y ax =有4个交点，则21k a k <<，所以244ea <<．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若5(2)()ax x x+-展开式的常数项等于80，则a = ． 【答案】2【解析】5()a x x -的通项公式为55525155C (1)(1)C r r r r r r r r r r T a x x a x ----+=⋅⋅⋅-⋅=-⋅，∴5(2)()a x x x+-展开式中的常数项为235C 80a =，∴2a =．14．设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是 ．【答案】-6【解析】根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，由103x y x -+=⎧⎨=⎩，得34x y =⎧⎨=⎩，由图可知目标函数在点(3,4)A 取最小值23346z =⨯-⨯=-．15．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，点M 的坐标为2(,0)3，且M 到直线1AF ，2AF 的距离相等，则1||AF = ．【答案】4【解析】由题意得1(2,0)F -，2(2,0)F ，点A 在双曲线的右支上，又点M 的坐标为2(,0)3， ∴128||233F M =+=，224||233MF =-=． 画出图形如图所示，1MP AF ⊥，2MQ AF ⊥，垂足分别为P ，Q ，由题意得||||MP MQ =，∴AM 为12F AF ∠的平分线，∴1122||||2||||AF F M AF MF ==，即12||2||AF AF =， 又12||||2AF AF -=，∴1||4AF =，2||2AF =．故答案为4．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，直线:l y x a =+，过直线l 上点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得32PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[−2√2，2√2]【解析】取AB 中点H ，OH AB ⊥，∵PA PB =，H 为AB 中点，∴90AHP ∠=︒，∴O ，H ，P 三点在一条直线上，2PA PB PH +=u u u r u u u r u u u r，322PH PO =u u u r u u u r ，34PH PO =u u u r u u u r ，设||3PH x =u u u r ，∴||4PO x =uuu r，∴OH x =，在AHO Rt △中，得222r OH AH -=，221AH x =-，①，在OAP 中运用射影定理得2AH OH PH =⋅，2233AH x x x =⋅=，②， 联立①②，2231x x =-，214x =，12x =，||42OP x ==， ∴P 点以O 为圆心，2r =的圆上，P 轨迹224x y +=， 又∵P 在y x a =+上，直线与圆有交点，∴||211a d =≤+，∴2222a -≤≤． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 满足132********n n n a a a a +-++++=-L ()n ∈*N ，4log n n b a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11{}n n b b +⋅的前n 项和n T ．【解析】（1）∵132********n n n a a a a +-++++=-L ，∴31212222222nn n a a a a --++++=-L (2)n ≥， 两式相减得112222n n n nn a +-=-=，∴212n n a -=(2)n ≥． 又当1n =时，12a =满足上式，∴212n n a -=()n ∈*N ． ∴数列{}n a 的通项公式212n n a -=． （2）由（1）得21421log 22n n n b --==， ∴114112()(21)(21)2121n n b b n n n n +==-⋅-+-+， ∴12231111111112[(1)()()]3352121n n n T b b b b b b n n +=+++=-+-++-⋅⋅-+L L 142(1)2121nn n =-=++．18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22AD BC ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：PC BC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，求二面角B PC D --的余弦值． 【解析】（1）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ， ∵PAD △为等边三角形，∴PO AD ⊥．底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，∴CO AD ⊥，∵0PO CO =I ，∴AD ⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，AD PC ⊥． 又AD BC ∥，所以PC BC ⊥．（2）由面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥知，∴PO ⊥平面ABCD ，OP ，OD ，OC 两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为30︒， 即30CPO ∠=︒，由2AD =，知3PO =，得1CO =．分别以OC u u u r ，OD u u u r ，OP uuu r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)C ，(1,1,0)B -，(0,1,0)BC =u u u r ，(1,0,3)PC =-u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，∴030y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,0,1)=n ．设平面PDC 的法向量为(,,)x y z =m ，∴030x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，则(3,3,1)=m ．427|cos ,|||||727⋅<>===m n m n m n ， ∴二面角B PC D --的余弦值为277-．19．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况， 采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于元的学生称为“高消费群”．（1）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）解：（1）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=，解得0.0035a =，样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．（2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人．随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，337310C C ()C k k P X k -==(0,1,2,3)k =，所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：750222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．20．（12分）已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率为63，过x 轴正半轴一点(,0)m 且斜率为33-的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由． 解：（1）∵抛物线28y x =的焦点是(2,0)，∴(2,0)F ，∴2c =，又∵椭圆的离心率为63，即63c a =，∴6a =，26a =，则2222b a c =-=，故椭圆的方程为22162x y +=．（2）由题意得直线l 的方程为3()3y x m =--(0)m >， 由221623()3x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得222260x mx m -+-=， 由2248(6)0Δm m =-->，解得2323m -<<，又0m >，∴023m <<，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=，∴212121212331[()][()]()33333m m y y x m x m x x x x =--⋅--=-++． ∵11(2,)FA x y =-u u u r ，22(2,)FB x y =-u u u r，∴212121212462(3)(2)(2)()43333m m m m FA FB x x y y x x x x +-⋅=--+=-+++=u u u r u u u r ， 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB ⋅=u u u r u u u r， 即2(3)03m m -=，解得0m =或3m =． 又023m <<，∴3m =，即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点．21．（12分）已知函数1()ln 12m f x x x =+-()m ∈R 的两个零点为1x ，2x 12()x x <．（1）求实数m 的取值范围；（2）求证：12112x x e+>． 解：（1）2212()22m x mf x x x x -'=-+=， 当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，不可能有两个零点； 当0m >时，由()0f x '>，可解得2x m >；由()0f x '<，可解得02x m <<， ∴()f x 在(0,2)m 上单调递减，在(2,)m +∞上单调递增，∴min 1()(2)ln 2122m f x f m m m ==+-， 要使得()f x 在(0,)+∞上有两个零点，则11ln 21022m +-<，解得02e m <<，则m 的取值范围为(0,)2e ． （2）令1t x=，则1111()ln()1ln 122f x m mt t x x =--=--，由题意知方程1ln 102mt t --=有两个根，即方程ln 22t m t+=有两个根，不妨设111t x =，221t x =，令ln 2()2t h t t+=，则当1(0,)t e ∈时，()h t 单调递增，1(,)t e∈+∞时，()h t 单调递减，综上可知，1210t t e >>>， 令2()()()x h x h x e ϕ=--，下面证()0x ϕ<对任意的1(0,)x e∈恒成立，2221ln()21ln ()()()222()x x e x h x h x e x x eϕ-----'''=+-=+-， ∵1(0,)x e ∈，∴ln 10x -->，222()x x e<-，∴222221ln()2ln ()1ln ()2222()2()2()x x x x e e x x x x e e eϕ--------'>+=---， 又∵1(0,)x e∈，∴22221()()2x xe x x e e +--≤=， ∴()0x ϕ'>，则()x ϕ在1(0,)e 单调递增，∴1()()0x eϕϕ<=，∵2222()()()0t h t h t e ϕ=--<，∴222()()h t h t e<-，又∵12()()h t h t =，∴122()()h t h t e<-，∴122t t e >-，∴122t t e +>，即12112x x e +>．2020届尼尔基一中高三理科数学模拟试卷7(教师版）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为131x t y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-． （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线l '过点(2,0)M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求||||MA MB ⋅．【解析】（1）把直线l 的参数方程化为普通方程为3(1)1y x =-+，即3130x y -+-=． 由22cos 1cos θρθ=-，可得22(1cos )2cos ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =． （2）直线l 的倾斜角为π3，∴直线l '的倾斜角也为π3， 又直线l '过点(2,0)M ，∴直线l '的参数方程为12232x t y t ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '， 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=，∴16||||3MA MB ⋅=． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()|||2|([0,2])f x x a x a a =+---∈．（1）当1a =时，解不等式()1f x ≥；（2）求证：()2f x ≤．【解析】（1）当1a =时，解不等式()1f x ≥等价于|1||1|1x x +--≥，①当1x ≤-时，不等式化为111x x --+-≥，原不等式无实数解；②当11x -<<时，不等式化为111x x ++-≥，解得112x ≤<； ③当1x ≥时，不等式化为111x x +-+≥，解得1x ≥，综上所述，不等式()1f x ≥的解集为1[,)2+∞．（2）()|()(2)|2f x x a x a a a ≤+---=+-，∵[0,2]a ∈，∴(2)2(2)a a a a +-≥-，∴22[(2)](2)a a a a +-≥+-， ∴2(2)4a a +-≤，22a a +-≤，∴()2f x ≤．。
2020高考理科数学模拟试卷含答案
2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin sincossin sin cossincos cos cos coscos cos sinsinθφθφθφθφθφθφθφθφθφθφθφθφ+=+--=+-+=+--=-+-222222222222正棱台、圆台的侧面积公式S c c l 台侧（）=+12' 其中c’，c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式V S S S S h 台体（）=++13'' 其中S’、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A R B R f A B ==→+，，：是从集合A 到B 的一个映射，若f x x ：→-21，则B 中的元素3的原象为 （A ）—1 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）已知两条直线l ax by c l mx ny p an bm l l 121200：，直线：，则是直线∥++=++==的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）方程x t y t=+=⎧⎨⎪⎩⎪π6sin （t 是参数，t ∈R ）表示的曲线的对称轴的方程是（）（）（）（）（）（）（）（）A x k k ZB x k k ZC x k k ZD x k k Z =+∈=+∈=-∈=+∈23232626ππππππππ（4）在复平面中，已知点A （2，1），B （0，2），C （-2，1），O （0，0）。
给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行； ②AB BC CA -→-→-→+=； ③OA OC OB -→-→-→+=； ④AC OB OA -→-→-→=-2。
2020届高考理科数学模拟竞优卷 第五卷
2020届高考理科数学模拟竞优卷第五卷1、若复数1i,i z =+为虚数单位,则(1)z z +⋅等于( ) A.13i +B.33i +C.3i -D.32、已知全集{}201U =-,,，集合{}2|20A x x x =+-=，{}2|0B x x x =-+=，则()U A B ⋃=ð( )A.{}10-,B.{}01,C.{}21-,D.{}201-,, 3、阅读下面程序框图,如果输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内,则输入的实数x 的取值范围是（ ）A. (,2]-∞-B. []2,1--C. []1,2-D. [)2+∞，4、若向量,a b r r 满足2,3,a b a b ==-=r r r r ()a ab ⋅+r r r=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85、记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2389a a =，5163a =，则（ ）A ．23nn a =B ．13n n a -=C ．312n n S -=D ．213n n S -=6、曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程是（ ） A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-= D ．450x y --=7、“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8、函数())cossin f x x x x =+-的最小正周期是( )A.2πB. πC.32π D. 2π9、已知数列{}n a 是等差数列，18989000a a a a a +⋅＜,＞,＜．则使0n S ＞的n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．15D ．1610、若22135x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ）A. (3)5，B. (4)5，C. (3)∞，＋D. (3)4， 11、方程3lg x x =-在下面哪个区间内有实根（ ） A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D.(3,4)12、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ）A ．2B ．2C ．2D13、总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为______.14、已知椭圆22195x y +=的右焦点为,F P是椭圆上一点,点(0,A ,当点P 在椭圆上运动时,APF △的周长的最大值为_________.15、不等式组2024020x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪--+≤⎩，表示的平面区域的面积为 .16、已知函数22,0()log (),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩若关于x 的方2()2()0f x f x m ++=有三个不同的实根，则m 的取值范围为________．17、在平面四边形ABCD 中, 90,ADC ∠=︒45,A ∠=o2,AB = 5.BD =(1).求cos ADB ∠; (2).若DC =求BC18、如图,在四棱锥S ABCD -中,四边形ABCD 是边长为2的菱形,60,90ABC ASD ∠=∠=o o ,且2SC =(1)证明:平面SAD ⊥平面ABCD(2)当四棱锥S ABCD -的体积最大时,求钝二面角B SC D --的余弦值19、为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：(1).根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱(已知：0.751r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较弱)；(2).求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式：()()nii xx y yr --=∑，()2110ni i x x=-=∑，()211.3ni i y y=-=∑ 3.6056≈，()()()·121.nii i nii xx y yba y bxxx==--==--∑∑$$， 20、设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的下、上焦点，过2F 的直线l 与椭圆C交于,AB 两点，直线l 的倾斜角为30︒，1F 到直线l 的距离为1.求椭圆C 的焦距2.如果222AF F B =u u u u r u u u u r，求椭圆C 的方程。
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绝密 ★ 启用前 2020年高考模拟试题（一）
理科数学 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知a，b都是实数，那么“22ab”是“22ab”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．抛物线22(0)xpyp的焦点坐标为（ ）
A．,02p B．1,08p C．0,2p D．10,
8p
3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A．24种 B．16种 C．12种 D．10种
4．设x，y满足约束条件36020 0,0xyxyxy≤≥≥≥，则目标函数2zxy的最小值为（ ） A．4 B．2 C．0 D．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）
A．5 B．34 C．41 D．52 6． sin,00,xfxxx大致的图象是（ ） A． B． C． D．
此
卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座
位号 7．函数sincos(0)fxxx在,22上单调递增，则的取值不可能为（ ） A．14 B．15 C．12 D．34 8．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A，从集合A中任取一个元素a，
则函数ayx，0,x是增函数的概率为（ ）
A．35 B．45 C．34 D．37
开始
输出y结束是否3x
3x≤22yxx
1xx 9．已知A，B是函数2xy的图象上的相异两点，若点A，B到直线12y的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是（ ） A．,1 B．,2 C．,3 D．,4
10．在四面体ABCD中，若3ABCD，2ACBD，5ADBC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8
11．设1x是函数32121nnnfxaxaxaxnN的极值点，
数列na满足11a，22a，21lognnba，若x表示不超过x的最大整数，则
122320182019201820182018bbbbbb
=（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020 12．已知函数eexxafxaR在区间0,1上单调递增，则实数a的取值范围（ ）
A．1,1 B．1, C．1,1 D．0, 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13．命题“00x，20020xmx”的否定是__________．
14．在ABC△中，角B的平分线长为3，角2π3C，2BC，则AB__________． 15．抛物线24yx的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，且满足4AFBF，点O为原点，则AOF△的面积为__________．
16．已知函数223sincos2cos0222xxxfx的周期为2π3，当π03x，时，函数gxfxm恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17、已知数列na的前n项和nS满足122nnnSa.
（1）求数列na的通项公式； （2）若不等式223(5)nnna对nN恒成立，求实数的取值范围.
18、在四棱锥ABCD-P中，PA平面ABCD， ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，
又0120CDACDAD4ABPA，，，点N是CD中点. 求证：（1）平面PMN平面PAB； （2）求二面角D-PC-B的余弦值.
A
B C
D
P M N 19、某高校在2017年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分为五组，得到如下的频率分布表： 组 号 分 组 频 数 频 率 第一组 [145,155） 5 0.05 第二组 [155,165） 35 0.35 第三组 [165,175） 30 a
第四组 [175,185） b c 第五组 [185,195） 10 0.1 （1）请写出频率分布表中,,abc的值，若同组中的每个数据用该组中间值代替，请估计全体考生的平均成绩； （2）为了能选出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名考生进入第二轮面试. ①求第3、4、5组中每组各抽取多少名考生进入第二轮面试； ②从上述进入二轮面试的学生中任意抽取2名学生，记X表示来自第四组的学生人数，求X的分布列和数学期望； ③若该高校有三位面试官各自独立地从这12名考生中随机抽取2名考生进行面试，设其中甲考生被抽到的次数为Y，求Y的数学期望. 20、在平面直角坐标系中，已知抛物线xy82，O为坐标原点，点M为抛物线上任意一点，过点M作x轴的平行线交抛物线准线于点P，直线PO交抛物线于点N.
（1）求证：直线MN过定点G，并求出此定点坐标； （2）若M，G，N三点满足GNMG4，求直线MN的方程. 21、已知函数()ln(1),fxmxmR. （1）当1m时，证明：()fxx； （2）若21()2gxxmx在区间0,1上不是单调函数，讨论()()fxgx的实根的个数.
请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分. 22、【选修4——4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为32cos42sinxy，（为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C的极坐标方程； （2）已知平面直角坐标系xOy中：(2,0),(0,2)AB，M是曲线C上任意一点，求ABM面积的最小值. 23、【选修4——5：不等式选讲】 已知函数()2fxx. （1）解不等式()41fxx；
（2）已知2(0,0)abab，求证：541()2xfxab.
2020年高考模拟试题（一） 理科数学 答案及解析 1、【答案】D 【解析】p：22abab，q：22abab，ab与ab没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”．故选D． 2、【答案】B 【解析】化为标准方程得212yxp，故焦点坐标为1,08p．故选B． 3、【答案】C 【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有43=12种，故选C． 4、【答案】A 【解析】
如图，过2,0时，2zxy取最小值，为4．故选A． 5、【答案】D 【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：
其中PA平面ABCD，∴3PA，4ABCD，5ADBC，∴9165PB，9162552PC，92534PD．该几何体最长
棱的棱长为52．故选D． 6、【答案】D 【解析】由于函数sin,00,xfxxx是偶函数，故它的图象关于y轴对称，再由当x趋于时，函数值趋于零，故答案为：D． 7、【答案】D
【解析】∵sincos2sin(0)4fxxxx，
∴令22242kxk≤≤，kZ，即23244kkx≤≤，kZ， ∵sincos(0)fxxx在,22上单调递增，∴42≤且342≥， ∴102≤，故选D． 8、【答案】A 【解析】由框图可知3,0,1,8,15A，其中基本事件的总数为5，设集合中满