华东师版数学分析1-1课件

一、实数的十进制小数表示
回顾中学中关于有理数和无理数的定义
p 实 有理数：分数 （p, q为整数且q ≠ 0)或有限小数和无限循环小数 q 数 无理数:用无限不循环小数表示.
问题: 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨 问题: 有理数，无理数的表示不统一， 论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“ 论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限 小数” 包括整数）也表示为“无限小数。 小数”（包括整数）也表示为“无限小数。
推出。 推出。
17:31
例2 若a , b ∈ R , 对 ∀ε > 0，a < b + ε，则 a ≤ b. 用反证法。 用反证法。 证 倘若a > b，设ε = a − b > 0, 则 a = b + ε ,
与 a < b + ε 矛盾 .
17:31
六、实数与数轴上的点一一对应
与数轴上的点可建立一一对应关系. 实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系 与数轴上的点可建立一一对应关系 1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 这种对应关系，粗略地可这样描述：

y = b0 .b1b2 Lbn L,
则 x = y ⇔ an = bn , n = 0, 1, 2,L . 用无限小数表示实数，称为正规表示 正规表示. 用无限小数表示实数，称为正规表示. m 3. Q = { x | x = , 其中 m , n ∈ Z, n ≠ 0} 表示有理数集. 表示有理数集. n ∀x ∈ Q, x 可用循环十进制小数表示， 可用循环十进制小数表示， 1 & & 如 = 0.142857. 7
x > y ⇔ a0 > b0 或 ∃n ∈ N + , 使
a0 .a1a2 Lan = b0 .b1b2 Lbn , 而an+1 > bn+1 . ∀x , y ∈ R − , 规定 x > y ⇔ − x < − y .
∀x ∈ R + , y ∈ R − , 规定 y < 0 < x .
17:31
则 a ≤ k + 1 < 10k +1.
为第一个不为零的正整数, 设 b = b0 .b1b2 Lbn L, bp为第一个不为零的正整数,
令 n = 10 p+ k +1 , 则 nb ≥ 10 k +1 > a .
17:31
1 例1 若 b > 0, 则 ∃n ∈ N + , 使得 < b. n 即 证 令 a = 1, 由阿基米德性 , ∃n ∈ N + , 使 nb > 1，
1 < b. n
阿基米德 ( Archimedes, 287B.C.－212B.C. , 希腊 ) －
17:31
五、实数的稠密性
1. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间 , 必有另一个 a+b . 实数 c . 例如 c = 2 2. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间，既有有理 之间，
数又有无理数. 数又有无理数. 证 若 a < b，则由例 1，存在 n ∈ N + , 使
17:31
三、实数的四则运算
对加、 有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0） ） 是封闭的. 封闭的. 对加、 实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为 0） ） 亦是封闭的. 亦是封闭的. 实数的四则运算与大小关系, 还满足: 实数的四则运算与大小关系 还满足
(1) ∀x , y ∈ R, λ ∈ R + , 若 x < y , 则 λ x < λ y .
a0 .a1a2 L an L .
17:31
反之, 任何一实数也对应数轴上一点. 反之 任何一实数也对应数轴上一点
2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论. 完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
17:31
七、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为: 定义为:
1 1 < (b − a ). n 2
17:31
k + 的最大的正整数， 设 k 是满足 n ≤ a 的最大的正整数，即 k n 1 > a . k +1 k + 2 k +1 k + 2 于是 , a < < < b, 则 , 是 n n n n k +1 π a 与 b 之间的有理数, 而 + 是 a 与 b 之间 n 4n 的无理数. 的无理数. 1 1 k+2 k≤a 其中 < b 可由 和 < (b − a ). n n 2 n
17:31
m 一般, 若x = , 则 x = a0 .a1a2 L ak ak +1 L ak + p , & & n 其中 p < n.
反之 , 若x = a0 .a1a2 L ak ak +1 L ak + p , & &
p ak + j ai 1 则 x = a0 + ∑ i + p ∑ 10k + j − p ∈ Q. 10 − 1 j =1 i =1 10 k
a, a ≥ 0 |a|= . − a, a < 0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离 就是到原点的距离： 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
-a 0
a
17:31
七、实数的绝对值与三角形不等式
2. 实数的绝对值性质 实数的绝对值性质:
( 1 ) | a | = | − a | ≥ 0; 当且仅当 a = 0 时 | a | = 0.
4. 无理数为无限不循环小数 无理数为无限不循环小数.
如:π = 3.1415926 L ;
x = 0.1010010001 L.
17:31
二、实数的大小
定义1 定义 ∀x , y ∈ R + , 若
x = a0 .a1 a2 L an L , y = b0 .b1 b2 L bn L
是正规的十进制小数表示, 是正规的十进制小数表示 规定
( 2) ∀x1 < x2 , y1 < y2 , 则 x1 + y1 < x2 + y2 .
17:31
四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: 实数具有阿基米德性
∀a , b ∈ R + , ∃ n ∈ N + , 使得 nb > a .
理由如下： 理由如下：设
a = a0 .a1a2 Lan L , a0 = k ∈ N,
实数的大小关系有以下性质: 实数的大小关系有以下性质
(1) x > y , x = y , x < y .
三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立. 实数集是有序集
(2) 若 x > y , y > z , 则 x > z .
即大小关系具有传递性. 即大小关系具有传递性
§1 实数
数学分析研究的是实数集上定义 的函数, 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质.
17:31
记号与术语
R : 实数集 N :自然数集(包含0)
R + : 正实数集 R − : 负实数集 Z : 整数集
N + : 正整数集
Q : 有理数集
Z + : 整数集
∀ : 任意
∃ : 存在
17:31
17:31
1. 任何一个实数都可以用十进制小数（有限或无限） 任何一个实数都可以用十进制小数（有限或无限） 表示. 表示 若 x ∈ R + , 则 x = a0 .a1 a2 L an L;
x ∈ R − , 则 x = − a0 .a1 a2 L an L .
其中 a0 ∈ N, an ∈ {0, 1, 2, L, 9}, n = 1, 2,L. 2. 有限小数 x = a0 .a1a2 Lak (其中 ak ≠ 0), 又可表示为
( 2) − | a | ≤ a ≤ | a | .
( 3) | a |< h ⇔ − h < a < h, | a |≤ h ⇔ −h ≤ a ≤ h.
(4) | a | − | b | ≤ | a + b | ≤ | a | + | b | (三角形不等式 三角形不等式). 三角形不等式 (5) | ab | = | a | | b | . |a| a (6) (b ≠ 0). = b |b|
又 | a |=| a − b + b |≤| a − b | + | b |, 即 | a | − | b |≤| a + b | .
把 b 换成 − b 可得
|a|−|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
17:31
作业
P4： 3 P4：
17:31
x = a0 .a1a2 Lak −1 (ak − 1)99L & = a0 .a1a2 L ak −1 ( ak − 1)9 .
2.001 → 2.0009999L −2.001 → −2.009999L
3 → 2.9999L −3 → −2.9999L
17:31
若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的 若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 x = a0 .a1a2 Lan L,
17:31
的证明： 3. 三角形不等式 | a | − | b | ≤ | a + b | ≤ | a | + | b |的证明：