第一节 椭圆及其标准方程

第一讲 椭圆及其标准方程一、知识梳理： 【知识要点】 1、 椭圆的定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和等于定长（大于12||F F ）的动点的轨迹叫椭圆。

这两个定点21F F 、叫椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。

2、 椭圆的定义应注意以下几点：（1）椭圆定义中将常数记为2a ，应特别注意： 当12||F F =2a 时,其轨迹为线段12F F ； 当12||F F >2a 时，其轨迹不存在; 只有当12||F F <2a 时,其轨迹才是椭圆。

椭圆的定义表达式为：12||||2PF PF a +=(其中12||F F <2a)。

（2）注意定义的双向运用：若12||||2PF PF a +=(其中12||F F <2a)，则P 点轨迹为椭圆。

反之，椭圆上任意一点P 到两焦点21F F 、的距离之和等于定长2a ，即12||||2PF PF a +=(其中12||F F <2a)。

3、 椭圆的标准方程：o F 1F 2B 2O F 2F 1A 2A 4、 椭圆的标准方程应注意如下几点： （1） 在两种标准方程中，总有a>b>0； （2） 椭圆的焦点总在长轴上；（3） 在方程22Ax By C +=中，只要A B C 、、同号，且A B ≠就是椭圆方程；（4） 在求椭圆的标准方程时，如果明确了焦点所在的坐标轴，方程只有一种形式；如果不明确焦点所在的坐标轴，方程有两种形式。

二、例题讲解： 【题型分析】【题型一】椭圆的定义及其运用例1、已知21F F 、是两定点，12||F F =6，动点M 满足12|M ||M |6F F +=,则动点M 的轨迹是（D ） A 、椭圆 B 、直线 C 、圆 D 、线段例2、已知椭圆221259x y +=的两个焦点为12F F 、，过2F 且斜率不为零的直线与椭圆交于A 、B 两点，则1AB F ∆的周长是多少？(20 )例3、已知：点P 事椭圆22154y x +=上的一点，12F F 、是两个焦点，且12P F F ∠=30°，求12FPF ∆的面积。

余弦定理计算出：12PF PF ∙=，再正弦面积公式：19(24S =【题型二】椭圆的标准方程及其运用例4、已知方程22153x y k k +=--表示椭圆，求k 的取值范围。

提示：分母都大于0，且分母不相等。

35k <<且4k ≠。

【即时突破】1、已知椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，则（D ）A 、a b c >>B 、a c b >>C 、a b c >=D 、以上都有可能2、若椭圆2212516x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为6，则点P 到另一个焦点2F 的距离为（B ） A 、5 B 、4 C 、8 D 、63、若椭圆221259x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则||ON 等于（B ） A 、 2 B 、4 C 、8 D 、324、椭圆221259x y +=的两焦点之间的距离为 8 5、在椭圆22154y x +=上有一点P ，12F F 、是椭圆的两个焦点，且21P F F ∠=90°，求12FPF ∆的面积。

提示：根据直角三角形，求P 点纵坐标，在根据P 在椭圆上，求出P 横坐标。

最后求直角三角形的面积5。

5、 若方程2212516x y m m+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆标准方程，则实数m 的取值范围是？ 根据16250m m +>->，的9252m << 【基础自测】（一） 基础经典题：1、椭圆2211625x y +=的两个焦点坐标为（ D ） A 、(4,0)± B 、(0,4)± C 、(3,0)± D 、(0,3)±2、若方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ D ） A 、{|3}a a > B 、{|2}a a <- C 、{|23}a a a <->或 D 、{|623}a a a -<<->或3、若椭圆的标准方程22143x y +=，则椭圆上的点到两焦点的距离之和为 4 （二）精选考试题：1、（2008年上海高考）设P 为椭圆2212516x y +=上一点，若12F F 、是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（ D ）A 、4B 、5C 、8D 、102、（2008年福州联考）已知12F F 、分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，且点P 在椭圆上，2POF ∆是面2b 的值是 （提示：根据正三角形面积求出c ，在P 求出的坐标，最后代入椭圆标准方程） （一）选择题：1、设平面内的动点(,)P x y 到两定点(2,3),(1,7)M N -的距离之和为5，那么点P 的轨迹是（ B ） A 、椭圆 B 、线段 C 、无轨迹 D 、不能确定2、椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值为（A ） A 、5或3 B 、8 C 、5 D 、163、（2008年上海春季高考）已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ D ）A 、4B 、5C 、7D 、84、设P 使椭圆2211612x y +=上一点，P 到两焦点12F F 、的距离之差为2，则12FPF ∆是（ B ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰直角三角形 （二）填空题：5、若12F F 、分别是椭圆C ：22121x y +=的左、右焦点， P 是椭圆C 上的一点，则12||||PF PF ∙的最大值是 2 (提示：根据基本不等式可知，当12PF PF =时，12PF PF ∙有最大值，即当在短轴端点时。

)6、椭圆22141x y +=的左右焦点为12F F 、，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF 等于72（三）解答题：7、设椭圆2212516x y +=与坐标轴的交点分别为A 、B 、C 、D ，求四边形ABCD 的面积。

8（2006年四川高考）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，求1234567PF P F PF P F P F P F P F ++++++=？ 35附加：1两定点A 、B 间距离为M 到A 的距离为4，MB 的中垂线交MA 于点P ，求P 点的轨迹方程。

解：4PA PB PA PM AM +=+==P 是以为,A B 焦点的椭圆，2,1a c b ==，2214x y +=。

2、在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>内，内接三角形ABC ∆的一边BC 过两个焦点，A 点在椭圆上运动，试求ABC ∆的重心的轨迹方程。

3、在椭圆2214520x y +=上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。

解：利用余弦定理求出1240PF PF ∙=， 等面积法：12121122s PF PF F F y =∙=∙求出4y =，代入椭圆求得23x =±。

4、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点F 的距离为4，N 是MF 的中点，则ON = 3 6、 如图，在圆C ：22(1)25x y ++=内有一点(1,0)A 。

Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C,Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程。

解：5CM AM CM MQ CQ +=+==M 是以为,A C 焦点的椭圆,，51,1,22a cb ===。

7、 设12F F 、分别是椭圆E ：2221(01)y x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E 交于A 、B 两点，且12||,,||AF AB BF 成等差数列，则AB =8、 设12F F 、分别是椭圆221123x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，线段1PF 的中点在y 轴上，那么12PF PF 是的 7 倍。

9、 已知动圆P 过点(3,0)A -，且在定圆B ：22(3)64x y -+=的内部，若圆P 与圆B 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

221167x y += 10、已知1(,0)2A -，B 是圆F ：221()4F 2x y -+=（为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF于P ，则动点P 的轨迹方程为2241253x y +=11、一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程。

221167x y +=。