概率论与数理统计实训07
《概率论与数理统计》学习笔记七
⎪⎩ 0,
− R2 − x2 ≤ y ≤ 其它
R2 − x2
四、 随机变量的独立性
一．定义 设 F ( x, y) 和 FX ( x) ， FY ( y) 分别是(X，Y)的联合分布函数和边缘分布
概率论与数理统计—学习笔记七
函数，若对于任意实数 x, y ，都有
F ( x, y) = FX ( y) ⋅ FY ( y)
( j = 1, 2L)
（2）
为在 X = xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律。
例 1 射手进行射击，击中目标的概率为 p,0<p<1,射击进行到击中目标两次为 止，设 X 表示第一次击中目标所进行的射击次数，Y 表示总共进行的射击次数。 （见上节例 5<射击问题>）求条件分布律。 由上节例已知联合分布律为：
2．设(X，Y)是连续型随机向量， f ( x, y) 和 fX ( x), fY ( y) 分别为(X，Y)的联合概
率密度和边缘概率密度，则 X 和 Y 相互独立的充要条件为
f ( x, y) = fX ( x) ⋅ fY ( y)
3．若 g1 ( x), g2 ( y) 是连续函数，X 与 Y 相互独立，则 g1( X ) 与 g2 (Y ) 也相互独立。
概率论与数理统计—学习笔记七
主 题： 《概率论与数理统计》学习笔记 学习时间：整学期
《概率论与数理统计》学习笔记七
一、 离散型情形条件分布
——二维随机变量（三）
对于事件可讨论条件概率，同样对于随机变量可讨论条件概率分布。 定义 1 若（X，Y）的联合分布律为
P{X = xi ,Y = y j } = pij , i, j = 1, 2L ，且 P{Y = y j } > 0, 则称
概率论与数理统计 第7章
一、基本概念 二、基于截尾样本的最大似然估计 三、小结
一、基本概念
1. 寿命分布的定义
产品寿命T 是一个随机变量,它的分布称为寿 产品寿命 是一个随机变量 它的分布称为寿 命分布. 命分布
2. 完全样本的定义
将随机抽取的 n 个产品在时间 t = 0 时, 同时 投入试验直到每个产品 都失效 . 记录每一个产 品的失效时间 , 这样得到的样本 (即由所有产品 的失效时间 0 ≤ t1 ≤ t 2 ≤ ⋯ ≤ t n 所组成的样本 )
利用这一样本估计未知 参数 θ (产品的平均寿命 ).
在时间区间 [0, t m ] 有 m 个产品失效 , 有 n − m 个产品的寿命超过 t m .
估计θ , 利用最大似然估计法来
为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率. 为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率.
产品在(ti , ti + dti ] 失效的概率近似地为 f (ti )dti = e θ dti , i = 1, 2,⋯, m. 1
又因为 E ( X ) = D( X ) + [ E ( X )] =
2 2
σ
2
n
+ µ 2,
所以 E (σ 2 ) = E ( A2 − X 2 ) = E ( A2 ) − E ( X 2 ) ˆ
n −1 2 ˆ σ ≠ σ 2 , 所以 σ 2 是有偏的. = n n 若以 乘 σ 2 , 所得到的估， 若 X 1 , X 2 ,⋯, X n 为总体 X 的一个样本，
θ ∈ Θ 是包含在总体 X 的分布中的待估参数 , (Θ 是 θ 的取值范围 )
ˆ 若估计量θ = θ( X1, X2 ,⋯, Xn ) 的数学期望 ˆ ˆ E(θ ) 存在, 且对于任意θ ∈Θ 有E(θ ) = θ , 则称 ˆ θ 是θ 的无偏估计量.
概率论与数理统计完整课件第七章参数估计PPT课件
n
L(1,2,,k ) L(x1, x2,, xk ;1,2,,k ) f (xi ;1,2,,k ) i 1
将其取对数,然后对1,2 ,,k 求偏导数,得
ln L(1, 2 ,, k ) 0 1
ln L(1, 2 ,, k ) 0 k
该 方 程 组 的 解 ˆi ˆi (x1, x2,, xn),i 1,2,,k ,即 为 i 的 极
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布函数 F(x;) 形式已知，其中θ 是待估计的参数，点估计问题就是利用样本 (X1, X 2,, X n ) ，构造一个统计量ˆ ˆ(X1, X2,, Xn) 来估 计θ，我们称ˆ(X1, X2,, Xn )为θ的点估计量，它是 一个随机变量。将样本观测值 (x1, x2 ,, xn ) 代入估计 量 ˆ(X1, X2,, Xn ) ， 就 得 到 它 的 一 个 具 体 数 值 ˆ(x1, x2,, xn ) ，这个数值称为θ的点估计值.
如果样本中白球数为0,则应估计p=1/4,而不估计 p=3/4.因为具有X=0的样本来自p=1/4的总体的 可能性比来自p=3/4的总体的可能性要大.一般当 X=0,1时,应估计p=1/4;而当X=2,3时,应估计 p=3/4.
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定义:设总体 X 的分布类型已知,但含有未知参数θ. (1)设离散型总体 X 的概率分布律为 p(x; ) ，则样本 (X1, X2,, Xn ) 的联合分布律
~~ 2n1nLeabharlann ini1n1x(i xix
x
)
2
由微积分知识易验证以上所求为μ与σ2的极大似然 估计.
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• 例:设总体X具有均匀分布,其概率密度函数为
p(x;)
概率论与数理统计(经管类)第七章课后习题答案word-推荐下载
似然函数为������(������) =
������
������ = ∏1������������
������������������(������) = (∑������������)������������������ ‒ ������������ ‒ ������������(������1!������2!⋯������������!)
������������������
∑1
������ =
) = ������(������������),
������(������������)
������������ ������ ‒ ������������
=
������
1
(������������
������������������
∑1
������ =
������ = 1
令
������ ������������������(������) ������ ������
解得
=
∑ ������������
������ ������2 =‒ ������
∑ ������������
������ = 1
������
+
������
=
������������
1
3. 设总体������~������(������,1), ‒ ∞ < ������ < ∞,(������1,������2,������3)为其样品.试证下述三个估计量:
(1) ������1 = 15������1 + 130������2 + 12������3;
(2) ������2 = 13������1 + 14������2 + 152������3;
概率论与数理统计PPT课件第七章最大似然估计
引例 设总体 X 服从0-1分布，且P (X = 1) = p, 用极大似然法求 p 的估计值。 解 X 的概率分布可以写成
P ( X x ) p x (1 p)1 x , x 0,1
设 X1, X2,…, Xn为总体 X 的样本, 设 x1, x2,…, xn为总体 X 的样本值, 则
P ( X1 x1 , X 2 x2 , , X n xn )
p i1 (1 p)
xi
n
n
xi
i 1
n
L( p)
,n
6
xi 0,1, i 1, 2,
对于不同的 p ,L (p)不同，见右下图
Lp 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0.2 p 0.4 0.6 0.8 1
由
l ( ) n ln xi
i 1
n
1 ˆ 得 的最大似然估计为 xn
28
dl n xi 0 d i 1
n
例5 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 x 1 , 0 x 1 其中 >0, 求 的最大似然估计. 解：似然函数为
似然函数为：
L( , )
2 i 1
n
1 2
exp{
1 2
2
( xi ) }
2
24
对数似然函数为：
l ( , ) ln L( , )
2 2n n 1 2 ln(2 ) ln( ) 2 2 2 2
( x
i 1
n
i
)
2
, k.
解k个方程组求得1 ,
,k的最大似然估计值。
概率论与数理统计 第7章
7. 4 估计量的评选标准
从参数的点估计中可以看到:对于同一个参数，用不同 的估计方法求出的估计量可能不同。这样我们自然会问，采
用哪一个估计量为好呢? 这就涉及用什么样的标准来评价估
计量的问题。
习题7
即
例 7－9 设总体 X 的概率密度为
7. 2 区 间 估 计
图 7－1
例 7－14 就得到了 μ 的一个置信水平为 1- α 的置信区 间 这样的置信区间常写成
再将 α =0.05 ， n =100 ， ������
x =32000 ， σ =4000 代入，
定义 2 设总体 X 的分布函数为 F (x ; θ 1 ， θ 2 ，…， θ
k )，其中
θ 1 ， θ 2 ，…， θ k 为未知参数，假设总体 X 的 k
阶原点矩 μ k = EXk 存在，由下列方程组
例 7－2 求事件 A 发生的概率 p 的矩估计量。 解 设 X 表示事件 A 在一次试验中是否发生这样的一个 随机变量，即 则 P ( X =1 ) = P ( A ) = p ， P ( X =0 ) =1- p ，由于 EX = p ， 因此 p 的矩估计量为
综上所述，求参数 θ 的置信水平为 1- α 的置信区间有 以下的步骤:
2. 正态总体参数的置信区间 1 )单正态总体均值 μ 的置信水平为 1-α 的置信区间
图 7－3
图 7－5
图 7－6
3.0-1 分布总体参数的置信区间 定理 9 设总体 X ~ B ( 1 ， p )，即总体 X 服从参数为 p 的 0-1 分布， X 1 ， X 2 ，…，X n ( n >50 ，此时也称该样本 为大样本)为来自总体 X 的一个样本，则参数 p 的置信水平 为1- α 的置信区间为
概率论与数理统计第七章练习题与答案详解
概率论与数理统计 第七章 参数估计练习题与答案（答案在最后）1．设总体X 的二阶矩存在，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则2EX 的矩估计是（ ）．(A) X (B) ()∑=-n i i X X n 121 (C) ∑=n i i X n 121 (D) 2S2．矩估计必然是（ ）．(A) 总体矩的函数 (B) 样本矩的函数 (C) 无偏估计 (D) 最大似然估计3．某钢珠直径X 服从()1,μN ，从刚生产出的一批钢珠中随机抽取9个，求得样本均值06.31=X ，样本标准差98.0=S ，则μ的最大似然估计是 ．4．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若θθ≠ˆE ，则θˆ是θ的（ ） (A) 最大似然估计 (B) 矩估计 (C) 有效估计 (D) 有偏估计5．设21,X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ估计量中，只有（ ）才是μ的无偏估计．(A) 213432X X + (B) 214241X X + (C)215352X X + (D) 214143X X - 6．设总体X 服从参数为λ的Poisson 分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则下列说法中错误的是（ ）．(A) X 是EX 的无偏估计量 (B) X 是DX 的无偏估计量 (C) X 是EX 的矩估计量 (D) 2X 是2λ的无偏估计量 7．设321,,X X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ无偏估计量中，根据有效性这个标准来衡量，最好的是（ ）．(A) 321313131X X X ++ (B) 213132X X + (C)321412141X X X ++ (D) 216561X X + 8．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n U X n U X σσ025.0025.0，作为μ的置信区间，其置信水平是（ ）．(A) 0.9 (B) 0.95 (C) 0.975 (D) 0.05 9．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，μ的置信水平为α-1的置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n U X n U X σσαα22 ，的长度是α的减函数，对吗？10．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它101x x x f θθ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．11．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它002222x ex x f x θθ， 其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．12．设总体X 服从几何分布：()()11--==x p p x X P ，() ,2,1=x ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数p 的最大似然估计． 13．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,0σN 的一个样本，求参数2σ的最大似然估计．14．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,7t a n σμ+N 的一个样本，其中22πμπ<<-，求参数2,σμ的最大似然估计．15．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,~σμN X 的一个样本，对给定t ，求()t X P ≤的最大似然估计．16．一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，发现其中有k 个白球，求罐中黑球数和白球数之比R 的最大似然估计． 17．总体X 的分布律是：()()()θθθ312,0,21-=====-=X P X P X P ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计和最大似然估计． 18．设总体X 服从二项分布()p N B ,，N 为正整数，10<<p ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的大样本，求参数p N ,的矩估计量．19．设μ=EX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明：()∑=-=n i i X n T 121μ是总体方差的无偏估计．20．总体X 服从()θθ2,上均匀分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明X 32ˆ=θ是参数θ的无偏估计．21．设总体X 服从二项分布()p m B ,，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明∑==ni i X n m p 11ˆ是参数θ的无偏估计． 22．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，且X 服从参数为λ的Poisson 分布，对任意()1,0∈α，证明()21S X αα-+是λ的无偏估计，其中2,S X 分别是样本均值和样本方差．23．设02>=σDX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，问2X 是否是()2EX 的无偏估计．24．设321,,X X X 是来自总体()2,σμN 的一个样本，试验证：32112110351ˆX X X ++=μ，32121254131ˆX X X ++=μ，都是参数μ的无偏估计，并指出哪个更有效．25．从总体()1,1μN 抽取一个容量为1n 的样本：1,,,21n X X X ，从总体()4,2μN 抽取一个容量为2n 的样本：2,,,21n Y Y Y ，求21μμα-=的最大似然估计αˆ．假定总的样本容量21n n n +=不变时，求21,n n 使αˆ的方差最小． 26．为了测量一台机床的椭圆度,从全部产品中随机抽取100件进行测量，求得样本均值为mm X 081.0=，样本标准差为mm S 025.0=，求平均椭圆度μ的置信水平为0.95的置信区间．27．自动机床加工的同类零件中，随机抽取9件，测得长度如下：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6，已知零件长度X 服从()2,σμN ，置信水平为0.95，(1) 若15.0=σ，求μ置信区间； (2) 若σ未知，求μ置信区间； (3) 若4.21=μ，求σ置信区间； (4) 若μ未知，求σ置信区间． 28．设总体X 服从()23,μN ，如果希望μ的置信水平为0.9的置信区间长度不超过2，则需要抽取的样本容量至少是多少？29．某厂利用两条自动化流水线灌装面粉，分别从两条流水线上抽取12和17的两个独立样本，其样本均值和样本方差分别为：6.10=X ，4.221=S ，5.9=Y ，7.422=S ，假设两条生产线上灌装面粉的重量都服从正态分布，其均值分别为21,μμ，方差相等，求21μμ-的置信水平为0.9的置信区间． 30．设两位化验员独立对某种聚合物含氯量用相同方法各作10次测定，其测定值的样本方差分别为：5419.021=S ，6065.022=S ，设2221,σσ分别为两位化验员所测定值总体的方差，设两位化验员的测定值都服从正态分布，求方差比2221σσ的置信水平为0.9的置信区间．31．从一批产品中抽取100个产品，发现其中有9个次品，求这批产品的次品率p 的置信水平为0.9的置信区间．答案详解1．C 2．B 3．31.064．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．对10．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX 11+==⎰θθθθdx x ，所以21⎪⎭⎫⎝⎛-=EX EX θ，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X θ (2) 最大似然估计似然函数为：()()∏==ni i x f L 1θ()()121-=θθnnx x x ，两边取对数， ()θL ln ()()nx x x n21ln 1ln 2-+=θθ，令()θθd L d ln ()0ln 21221=+=n x x x n θθ， 得参数θ的最大似然估计为：212ln ˆ⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i x n θ11．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX ⎰∞+-=022222dx exx θθ⎰∞+∞--=dx e xx 2222221θθ⎰∞+∞--=dx exx 2222222θθπθπθπ22=， 所以EX πθ2=，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为X πθ2ˆ=。
概率论与数理统计 第7章 假设检验
10 机动 目录 上页 下页 返回 结束
这样, 我们可以认为X1, …, X5是取自正态
总体N (, 2 )的样本, 当生产比较稳定时,
例7.2 要判断该批产品的次
的信息来自 所抽取的样本
品率是否低于3%.
4 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在本节中, 我们将讨论不同于参数估计 的另一类重要的统计推断问题. 这就是根据 样本的信息检验关于总体的某个假设是否 正确. 这类问题称作假设检验问题.
所谓假设检验, 就是事先对总体参数或 总体分布形式作出一个假设, 然后利用样本 信息来判断原假设是否合理, 即判断样本信 息与原假设是否有显著差异, 从而决定是否 接受或否定原假设.
问题是: 如何给出这个量的界限? 这里用到人们在实践中普遍
采用的一个原则: 小概率事件在 一次试验中基本上不会发生.
15 机动 目录 上页 下页 返回 结束
小概率事件在一次试验中基本上不会发生.
下面我们用一例说明这个原则.
这里有两个盒子, 各装有100个球.
99个红球 一个白球
99个白球 一个红球
5 机动 目录 上页 下页 返回 结束
参数假设检验
假设检验
总体分布已知, 检验关于未知参数
的某个假设
非参数假设检验
6 机动 目录 上页 下页 返回 结束
总体分布未知时的 假设检验问题
7.1 假设检验的一般理论
Hale Waihona Puke 例7.3 罐装可乐的容量按标准应在350
浙大版概率论与数理统计答案---第七章
第七章 参数估计注意： 这是第一稿（存在一些错误）1、解 由θθθμθ2),()(01===⎰d x xf X E ，204103)(2221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^=θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，nnX D D 5204)2()(22^θθθ=⋅==。
3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为：3262121^=-=-=X θ。
建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L令0148))1ln(4ln 8()(ln =--=∂-+∂=∂∂θθθθθθθL ，得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计：()1012122μθλθλθλ=⋅+⋅+⋅--=--，()()()()2222222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =,234B =, 故()()()()222ˆˆ221,3ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ222121.4θλθλθθλλθλθλ⎧--=⎪⎨--++-++--=⎪⎩解得1ˆ,43ˆ.8λθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为所求矩估计。
极大似然估计：(){}()33214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--，()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，()(),330,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ∂⎧=-=⎪⎪∂--⎨∂⎪=-=⎪∂--⎩解得3ˆ,81ˆ.4θλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即为所求。
5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为^394(3)34322X X p -----==建立关于p 的似然函数：3210)1()2)1(3()()2)1(()(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =∂∂pp L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 22210^++=6、解：(1)()1112EX x x dx θθθθ+=+=+⎰， 由ˆ1ˆ2X θθ+=+得21ˆ1X X θ-=-为θ的矩估计量。
概率论与数理统计第七章参数估计习题答案
æ çè
x
±
ua
/
2
s n
ö ÷ø
=
(14.95
±
0.1´1.96)
=
(14.754,15.146)
大学数学云课堂
3028709.总体X ~ N (m,s 2 ),s 2已知,问需抽取容量n多大的样本，
才能使m的置信概率为1 -a,且置信区间的长度不大于L？
解：由s
2已知可知m的置信度为1
-
a的置信区间为
64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1）求m的置信概率为0.95的置信区 间.
（2）求s 2的置信概率为0.95的置信区间.
解：x = 76.6, s = 18.14,a = 1- 0.95 = 0.05, n = 20,
大学数学云课堂
3028706.设X1,X 2,L,X n是取自总体X的样本,E（X）= m,D（X）= s 2,
n -1
å sˆ 2 = ( X i+1 - X i )2 ,问k为何值时sˆ 2为s 2的无偏估计. i =1 解：令 Yi = X i+1 - X i , i = 1, 2,¼, n -1, 则E(Yi ) = E( X i+1) - E( X i ) = m - m = 0, D(Yi ) = 2s 2 , n -1 å 于是Esˆ 2 = E[k ( Yi2 )] = k(n -1)EY12 = 2s 2 (n -1)k, i =1 那么当E(sˆ 2 ) = s 2 ,即2s 2 (n -1)k = s 2时, 有k = 1 . 2(n -1)
的密度函数为f
(x,q