人教版高中数学《椭圆及其标准方程》教学设计
完整word版,人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案
人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案一、课型新授课二、教学内容1、椭圆的定义；2、椭圆的两类标准方程；3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。
三、教学目标1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。
能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。
让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。
培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。
通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。
四、教学重点、难点重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的推导过程。
五、教学方法教师引导为主、学生自主探究为辅。
六、教学媒体幻灯片、黑板。
七、教学过程（一）创设情境，导入新课用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。
此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。
这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。
（二）问题探究老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？1、椭圆的形成下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。
然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。
高中数学新人教版A版精品教案《椭圆及其标准方程》
引导复习圆的概念，说明椭圆是圆的自然推广。启发用类比方法研究椭圆
复习确定一个圆的条件及件制作相关课件
环节三
运用几何画板等信息技术，演示动画：
椭圆的形成过程圆——分心——椭圆；
启发学生给出椭圆概念定义与图形
学生观看的同时，记录运行过程中动点的约束条件从代数视角表述椭圆概念。
自我反思
信息技术使用起到什么作用，是否达到预计实践能学习、思考交流有收获，整节课教学效果良好
有什么不足或遗憾
加强信息技术理论与实践的学习力争熟练运用信息技术为教学服务
如果再上一次，你将进行哪些改进？
加强用几何画板的软件制作课件的技术与实践活动，使所制作的课件更为美观、合理、科学且易操作
信息化背景下数学课堂教学设计
学科
数学
年级
高二
课程名称
椭圆
节选片段名称
椭圆及其标准方程
全课教学目标
掌握椭圆的概念、标准方程、椭圆的简单几何性质和椭圆的简单应用；
渗透解析几何思想、合理运算、逻辑推理等数学核心素养；
体验常用数学思想方法数形结合、函数方程、转化化归和分类讨论在解决数学问题中的应用。
节选部分目标
环节三、动画展示圆到椭圆形成过程，揭示椭圆概念的本质，为椭圆概念的本质袋鼠描述提供可行条件；
环节四、利用白板、和几何画板软件，演示师生共同推导椭圆标准方程，通过旋转变换，揭示两类标准方程之间的关系，加强了对标准方程的理解和记忆。
课堂评价：
教学重点突出、教学难点处理恰当，促进学生理解与记忆方法有效，学生学习数学的兴趣高涨，信息化技术的运用起到了良好的作用：内容有趣想学习、动手实践能学习、思考交流有收获，整节课教学效果良好
掌握椭圆的定义;
《椭圆及其标准方程》教学设计
椭圆及其标准方程教学设计简介本教学设计主要针对高中数学课程的椭圆章节，旨在让学生了解椭圆的基本概念、性质以及标准方程的推导方法。
通过学习本设计，学生将会掌握椭圆形状和位置的基本特征，使其能够应用于实际问题中。
教学目标1.理解椭圆的定义及其基本性质；2.掌握椭圆的标准方程的推导方法；3.掌握椭圆在平面直角坐标系中的位置、切线和法线等重要概念；4.能够应用椭圆解决实际问题。
教学内容1.椭圆基本概念和性质：1.定义：直角坐标系中到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹称为椭圆。
2.椭圆的标准方程：$(\\frac{x}{a})^2 + (\\frac{y}{b})^2 = 1$3.椭圆的焦点、半径、离心率等基本概念4.椭圆的对称性、离心率大小对形状的影响等性质2.椭圆的推导方法：1.通过定义将椭圆转化为F1F2上距离为a的点的轨迹，利用勾股定理和平面几何基本关系导出椭圆的标准方程；2.从标准方程推导椭圆的坐标方程及常见变形；3.利用坐标方程求椭圆的参数和焦点、半径、离心率等基本性质。
3.椭圆的位置和切线、法线等：1.椭圆在平面直角坐标系中的位置；2.椭圆的切线、法线等基本概念；3.利用导数求解椭圆的切线和法线方程。
4.椭圆的应用：1.利用椭圆解决实际问题；2.椭圆在工程和科学技术中的应用。
教学方法本教学设计采用讲解结合案例分析、练习课以及小组讨论等多种教学方法，其中讲解部分将以PPT和黑板稿为主要教学工具，以椭圆的基本概念和性质为主要讲解内容，辅以实例或动画，让学生更好地理解椭圆的形状和特征；案例分析部分将通过真实案例或应用场景的模拟案例等形式，让学生学会如何应用椭圆解决实际问题；练习课部分将以自主完成、小组讨论以及教师点拨等形式进行，让学生独立思考、合作探讨；小组讨论部分将以邀请学生在小组中讨论解决与椭圆相关的问题，提高学生的合作共性。
课堂评价本教学设计将通过多种形式进行课堂评价，如课堂测验、练习测试、小组探讨、应用解决问题等，通过这些形式，将学生对椭圆的概念、性质、基本方程及其应用进行全面深入的掌握，以及学生的思维能力和解决实际问题的能力的提升。
人教版高中数学优质教案2：2.1.1 椭圆及其标准方程(二) 教学设计
2.1.1 椭圆及其标准方程（二）教学目标：明确圆锥曲线的概念.理解并掌握椭圆的定义、掌握椭圆的标准方程及其推导方法.教学重点：椭圆的定义及其标准方程.教学难点：椭圆标准方程应用和求法.教学过程：一、课前复习：椭圆的定义及其标准方程.二、讲解新课典例[解析]例1根据下列条件，求椭圆的标准方程.①坐标轴为对称轴，并且经过两点A （0，2）和B （3,21）. ②经过点（2，-3）且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同的焦点.解：①设所求椭圆的方程为n y m x 22+=1(m ＞0,n ＞0)，∵椭圆过A （0，2），B （3,21）， ∴⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+41:,1341140n m nm n m 解得，∴所求椭圆方程为：x 2+42y =1。
②∵椭圆9x 2+4y 2=36的焦点为（0，±5），则可设所求椭圆方程为：522++m y m x =1(m ＞0)将x =2,y =-3代入上式得：1594=++m m ，解得：m =10或m =-2（舍去），∴所求椭圆的方程为：151022y x +=1 指出：①小题中所求椭圆方程设为ny m x 22+=1(m ＞0,n ＞0)，这是因为题中未给定焦点所在的坐标轴，如若用常规思路设为2222by a x +=1（a ＞b ＞0）或2222a y b x +=1(a ＞b ＞0)去求时，运算过程将会非常繁琐，而且还要舍去一个不符合题意的.因此，在焦点位置未明确的情况下，本题所设方程是恰当合理的，简单易行的.如遇类似问题时我们不妨采取这一设法.②小题中的设法也不失为一种好的设法.因已知椭圆的焦点为（0，±5），如若能注意到方程522++m y m x =1(m ＞0)表示的是其焦点F 1（0，-5）、F 2（0，5）的椭圆方程时，问题将会变得简单易解，使我们感到得心应手.在以后学习过程中如遇类似问题不妨采取这种设法.例2 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ˊ，求线段PP ˊ的中点M 的轨迹解：（1）当M 是线段PP ˊ的中点时，设动点M 的坐标为),(y x ，则P 的坐标为)2,(y x ，因为点P 在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有4)2(22=+y x ，即1422=+y x ，所以点M 的轨迹是椭圆，方程是1422=+y x 。
《椭圆及其标准方程》教学设计
椭圆及其标准方程的教学设计与反思一 教材介绍本节课是高中数学选修1—1（人教A 版）第二章圆锥曲线与方程第一节课，本节课是在学习了高中数学必修2（人教A 版）直线与圆的方程的知识之后展开的，它是继续学习椭圆的几何性质和双曲线、抛物线的定义和几何性质的基础。
因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。
本课教学的设计理念：以学生发展为本，让学生自己去发现问题，讨论问题。
注重培养学生独立思考能力、创新能力、实践能力，促进学生全面发展。
二 学法指导并通读教材P 32—P 36，完成课前预习题，将不能理解的问题填写在“我的疑惑”处,查阅资料，补充完善。
三 学习目标1了解椭圆的实际背景，体验从具体中抽象出椭圆定义的过程2体会根据椭圆的定义利用坐标法推导椭圆标准方程的过程3掌握椭圆的定义和标准方程四 重点1椭圆的定义及其标准方程2定义法，待定系数法，坐标法的应用五 难点椭圆标准方程的推导六 教学过程（一）问题引入2013年6月11号我国第五艘载人飞船神舟十号发射升空，宇航员王亚平在太空中首次进行了太空授课，实现了历史的突破。
请问：“神十飞船的运行轨道是什么？”（二）探索新知解决预习提纲的几个问题定义法 轨迹法待定系数法1椭圆的有关概念（1） 把________内与两个定点F 1，F 2的距离之和________（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆（2） 椭圆定义中的两个定点F 1，F 2做椭圆的________两焦点间的距离叫做椭圆的________2椭圆的标准方程（1） 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程________（2） 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程________（3） ,a b,c 之间的关系为________3探究问题探究点一：椭圆的定义问题1：如何理解椭圆的定义？问题2：当常数不大于21F F 时点的轨迹是什么？针对练习若动点M 到两个定点F 1，F 2的距离之和为定值t ，则点M 的轨迹是（ ）A 椭圆B 线段C 不存在D 以上都不对 探究点二：问题1：两个标准方程有什么相同点和不同点？问题2：如何区分这两个标准方程？问题3：怎样求解椭圆的标准方程？针对练习1已知椭圆两个焦点坐标分别是（-2，0）和（2，0）且经过点（25，-23），求它的标准方程。
高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册第三章3.1.1椭圆及其标准方程 教学设计
椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学·选择性必修第一册》（人教A版）第三章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时。
用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线。
圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。
17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。
在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。
解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。
在第二章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在本章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。
由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。
本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。
因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。
二、教学目标：按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：1．知识与技能目标：①理解椭圆的定义。
②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。
2．过程与方法目标：①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。
②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。
③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识3．情感态度价值观目标：①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心三、教学重难点：重点：椭圆定义的形成过程、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用四、教法分析：新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。
《椭圆及其标准方程》教学设计
《椭圆及其标准方程》教学设计霞浦第一中学郑德松一、概述1．课名是《椭圆及其标准方程》，是高中数学选修1-1（人教版）2.1.1中的内容。
2．分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。
本节是第一课时.3．主要学习内容是运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生自已动手作图，“定性”地画出椭圆，再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。
4．本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
二、教学目标分析知识与技能：（1）学生能够归纳椭圆的定义，理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式；（2）明确焦点、焦距的概念；（3）学生能根据条件求出椭圆的标准方程。
过程与方法：（1）学生通过对椭圆概念的学习，达到提高观察分析、动手操作、概括能力，同时能养成分类讨论的数学思想方法；（2）学生通过亲身经历椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并学会处理比较复杂根式化简的思想方法。
情感态度与价值观：（1）通过对椭圆的学习，感受数学的对称、简洁、和谐美；（2）通过查找“神舟7号”有关材料，增强数学应用意识；（3）通过主动探究，讨论交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强对物理学习的兴趣。
三、学习者特征分析1．在此之前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够，2．从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍.3．在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。
高中数学教学课例《椭圆及其标准方程》课程思政核心素养教学设计及总结反思
发现轨迹上点的特征的能力较强（数形结合），但计算
能力较弱，因此在方程的推导中会遇到障碍，成为本节
的难点.
为了更好地培养学生自主学习能力，提高学生的综
合素质，我主要采用探究式教学方法．通过设置情境、
问题诱导充分发挥主导作用。新课标的理念倡导“以人
为本”，强调“以学生发展为核心”．因此本节课给学
（二）动手实验，归纳概念 我用多媒体演示画椭圆，同时请学生拿出事先准备 好的自制教具：木板、细绳、图钉、铅笔，同桌一起合 作画椭圆．我在学生的绘图纸上精心设计了三个问题： 1、在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点， 动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？ 2、改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画 出的图形还是椭圆吗？ 3、绳长能小于两图钉之间的距离吗？
问题，让学生在课堂中能更多地体验成功的乐趣．
（一）设置情境、问题诱导
教学过程
首先，复习提问：圆的定义是什么？圆的标准方程
是什么形式？
接下来我用课件演示一些生活中的椭圆的例子，还 有一些天体运行的轨迹图，并提出问题：“这些天体运 行的轨迹是什么呢？”
学生经过观察，很直观地看出是椭圆，从而引出课 题.
了基本模式和理论基础，因此本节课起到了承上启下的
重要作用．重点：椭圆的定义及其标准方程，难点：椭
圆标准方程的推导。
1.知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程；会根
据条件写出椭圆的标准方程；通过对椭圆标准方程的探
求，再次熟悉求曲线方程的一般方法．
2.能力目标：学生通过动手画椭圆、分组讨论探究 教学目标
椭圆定义、推导椭圆标准方程等过程，提高动手能力、
生提供以下 4 种机会：1．提供观察、思考的机会：用 教学策略选
高中数学《椭圆及其标准方程》公开课优秀教学设计
1
2
4．类比迁移，推导方程
引导学生思考以下两个问题：
路.
x
2
y
2
（4)化简得到方程
a
2
a
2
2
【设计意图】经过推导椭圆标准方程的过程，掌握推导方法。
5.启发引导，探究意义
,c,ac
2表示的线段.
（1）引导学生在椭圆上找出a
2
ac
2的必要性及几何意义.
（2）理解引入b
2
x
y
a
b
y
2
x
2
1
a
2
b
2
接下来，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆两种标准方程的理解。
点
关系
焦点位置
的判断
小结（2）：思想方法总结：
一种方法：坐标法
2
2
二类方程：
2
(1)阅读课本相关内容进行复习；
(2)课本42页练习第1、2题，49页习题2.2A组第1题；
（3）课外作业：课本50页课后探究。
参考文献：
〔1〕中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）〔M〕.北京：人民教育出
版社，2003.
（1）通过用细绳画椭圆的实验，能用自己的语言叙述椭圆的定义，会用定义判定点的轨
（5）通过椭圆知识的学习，体会类比思想、数形结合思想和坐标法。
三Hale Waihona Puke 学生学情分析题，教师及时介入，帮助学生顺利导出方程。
逐步深入，思维水平不断提高。
五、教学过程
【设计意图】一方面，通过复习前面学过的有关知识，唤起学生的记忆，为本节课学习
一、教学内容解析
1.课程目标
（1）了解圆锥曲线与二次方程的关系；
人教版高中数学优质教案1：2.1.1 椭圆及其标准方程(二) 教学设计
2.1.1 椭圆及其标准方程（二）教学目的：1．能正确运用椭圆的定义与标准方程解题；2．学会用待定系数法与定义法求曲线的方程教学重点：用待定系数法与定义法求曲线的方程教学难点：待定系数法 教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）(为下面离心率概念作铺垫)2. 椭圆标准方程：（1）12222=+b y a x ，它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a +=（2）12222=+b x a y ，它所表示的椭圆的焦点在y 轴上，焦点是),0(),,0(21c F c F -,中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a +=所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+b y a x 与12222=+bx a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b y a x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小) 二、讲解范例：例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.选题意图：训练待定系数法求方程的思想方法，考查椭圆上离焦点最近的点为长轴一端点等基本知识.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a b y a x ∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)∴⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14a 1101022222222b b a b a 故所求椭圆的标准方程为1422=+y x （２）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为：)0(12222>>=+b a bx a y ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０.又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2，∴－c －（－１０）＝２，故c =8.∴36222=-=c a b . ∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . 说明：(1)标准方程决定的椭圆中，与坐标轴的交点横坐标(或纵坐标)实际即为a 与b 的值. (2)后面的学习中将证明椭圆长轴端点距焦点最远或最近.例2已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程 解：设椭圆的标准方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+ 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2222n m n m ，解得,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为10622=+y x 例3已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x （y ≠0）（特别强调检验) 因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件三、课堂练习：1．设21,F F 为定点，|21F F |=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.直线C.圆D.线段AC B xO y[答案]D2.椭圆171622=+y x 的左右焦点为21,F F ，一直线过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（）A.32B.16C.8D.4[答案]B 3.设α∈(0,2π)，方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则α∈ A.(0,4π]B.(4π,2π) C.(0,4π) D.［4π,2π) [答案]B 4.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是______.分析：将方程整理，得12222=+ky x ，据题意⎪⎩⎪⎨⎧>>022k k ，解之得0＜k ＜1. 5.方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______. 分析：据题意⎪⎩⎪⎨⎧>--><-m m m m 2)1(0201，解之得0＜m ＜31 6.在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程.分析：以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M 为重心，则|MB |+|MC |=32×39=26. 根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为12516922=+y x (y ≠0) 四、小结：椭圆标准方程的两种形式及运用待定系数法求椭圆的标准方程的方法FEAMC B xO y。
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一、教学内容解析： 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1第二章第二节第一课时，主要学习椭圆的定义和标准方程.在必修2学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形.这一节课是在学完圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，是继续学习椭圆的几何性质的基础；椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.因此这节课有承前启后的作用.另外本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、类比思想、化归思想等.因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值. 基于以上分析确定了本节课的教学重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想；教学难点：椭圆标准方程的推导与化简．
二、教学目标设置： 1.借助动手实验让学生画出圆、椭圆、线段，找到它们三者之间的联系，为后面研究椭圆做准备。 2.通过播放圆的研究过程的微课，让学生回忆起研究圆的基本流程，从而让学生学会类比圆的研究过程研究椭圆。 3. 通过类比圆的标准方程的推导，小组合作给出椭圆标准方程的推导过程，巩固用坐标化的方法求动点的轨迹方程，同时体会含有两个根式的化简思路。 4. 通过经历椭圆标准方程的推导, 对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识，同时增强学生战胜困难的意志品质，并体会数学的简洁美、对称美。 以上教学目标结合了教学实际，将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节． 三、学生学情分析： 本节课是在学生已学习了圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后，学习椭圆定义及其标准方程，符合学生的认知规律，学生有能力学好本节内容; 但在推导椭圆的标准方程时，学生需要自己建立坐标系，再研究推导出方程仍是一个难点。且之前未接触过一个式子中含两个根式相加的情况，故化简也能是个问题。基于此，本节课确定如下重难点。 四、教学策略分析： 教学方法：问题驱动式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围。让学生自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 学法指导：改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体，教师为主导，发展为主旨的现代教育原则。采用以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题；以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体，在教师的引导下，学生“跳一跳”就能摘得果实；于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展.通过不断探究、发现，让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程，使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥. 教学手段：多媒体辅助教学、动手实验. 教学准备: 课件（包括PPT课件、几何画板课件）、准备画椭圆工具（包括一块木板、两颗钉子、一根细绳）. 五、教学过程： 为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，计划将教学过程设计为四个阶段： 通过实验让学生画出圆、椭圆、线段，让学生建立起三者之间的联系 ↓ 播放微课回忆圆的研究过程，为学生类比圆的学习研究椭圆做铺垫 ↓ 小组合作交流，展示讨论成果，总结出椭圆的定义及标准方程 ↓ 通过对例题求解，深化学生对椭圆的定义及标准方程的理解 ↓ 课堂小结与作业 （一）创设情境，引入新课 教师：①将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？ 学生：动手在黑板上进行演示，画出圆。 教师：②将固定在同一个定点的绳子的两端沿一条直线运动，使其固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移动笔尖，得到的是轨迹是什么？ 学生：拿出提前准备好的工具，同学同桌合作在白纸上画，教师可以现场录制一组，之后借助希沃白板播放，让学生观看。 （设计意图：以活动为载体，让学生在“做”中学数学，通过画圆、椭圆，给学生一个动手实验的机会;让学生经历知识的形成过程，积累感性经验，通过实践思考，为进一步上升到理论做准备.） (二)总结归纳，形成定义 教师：椭圆的图形我们已经画出，下面我们应该研究什么了？ 学生：椭圆上的点所满足的条件，归纳出椭圆的定义。 教师：很好！那我们选择其中一个椭圆。考虑椭圆在形成的过程中，哪些量没有变？哪些量变了？ 学生：笔尖到两个图钉的距离和没有变，都等于绳长，两个图钉之间的距离也没有变，但笔尖的位置在变化。 教师：你观察的很仔细，请坐。我们说不变的量才叫做性质。那下面你能类比圆的定义（平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆）给出椭圆的定义吗？ 学生：平面内与两个定点21,FF的距离的和等于定长的点的轨迹叫椭圆. 教师：语言表达的很流畅，那根据上课开始我们做的实验，考虑一下，这个定长有无限制条件？ 学生：噢！定长要大于21FF，因为定长如果等于21FF的话，轨迹就是线段了。 教师继续追问：那如果定长小于21FF呢？ 学生：不可能。 教师：对！所以此时的轨迹就是不存在。因此平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫椭圆； 当常数等于21FF时，点的轨迹为:线段21FF； 当常数小于21FF时，点的轨迹不存在。 （设计意图1．在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围. 在变化的过程中建立起用联系与发展的观点看问题.2．结合几何画板演示，形象直观的说明定义中的必备条件，体会数学的理性与严谨.） 教师：那你认为椭圆的定义中，我们需要注意哪几个关键词？ 学生：（1）.平面—大前提； （2）.任意一点到两个定点的距离的和等于常数2a； （3）.常数2a大于焦距2c. 教师：这里，我们把两个定点1F，2F叫作椭圆的焦点．．．．．，两个焦点1F，2F间的距离叫作椭圆的焦距．．．．．。你是否理解了刚才我们所学习的椭圆的定义，请做一下下面几个小题。 （三）应用举例，及时评价 例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆. （1）到12(1,0),(1,0)FF的距离之和为4的点M的轨迹. （2）到12(1,0),(1,0)FF的距离之和为2的点M的轨迹. （3）到12(1,0),(1,0)FF的距离之和为1的点M的轨迹. （设计意图：恰当处理预设与生成的关系，运用反馈调节机制，及时评价，激励学生的学习热情.） 学生：口答问题。 （四）类比研究，推导方程 教师：继续回忆圆的研究过程，知道了椭圆的定义后，下面我们要研究什么了？下面请同学们观看微课，回忆我们当时是如何研究圆的。微课内容：复习研究圆的标准方程的基本方法：建系、设点、列式、化简、证明（可省略）。 教师：下面我们就需要求椭圆的方程了。第一步是建系。下面四种建系方式，哪一种针对求椭圆的标准方程比较好？
xy
Oxy
OxyOx
y
O（设计意图：激活学生已有的认知结构,用类比思想为研究椭圆找到了方法与策略.椭圆方程不止一种，建立的坐标系不同，椭圆方程的表达形式也不同，让学生学会怎样建系可以使椭圆的方程更简洁。在研究圆的微课中提前渗透根据对称建系，方程更简洁。） 教师：第二步是？ 学生：设点，设yxM，为椭圆上的任意一点。 教师：第三步？ 学生：列式。将条件式代数化，得aycxycx2)()(2222。 教师：那第四步呢？ 学生：化简。 教师：圆的方程涉及一个根号，所以我们采用直接平方去掉根号即可，那现在这个式子含有两个根号，直接平方好化简吗？试一下！ 教师：前后四人作为一个小组合作交流一下？看看怎么办？交流完后，教师说哪个小组代表来表达一下你们的观点？ 学生：两个根号在一侧不好化简，可以给这个式子变一下形转化成我们熟悉的一个根号的问题再化简，即移项。 教师：那试一下是否可以？ (设计意图：通过小组合作突破难点“怎么化简带根式的式子”.学生会提出两种方案：一、是直接将根式平方。二、是将其中一个根式平移再平方.这时教师让学生进行小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点.教师引导，发现以上同学们提出的这两种方法都需要进行两次平方，只是方法二计算较方法一较简单.） 学生：各自在练习本上自行化简，在此过程中，教师一边巡视，一边给予指导和提示，然后选出1位学生的推导过程实物投影展示出来，并请学生本人作简要陈述． 教师：观察22,yx的系数以及常数项，考虑怎样能让方程22222222caayaxca 更简洁？
学生：两边同除222caa。（在数列学习中学生有这种经验）
教师：那还能让方程122222cayax再简洁？ 学生：再简洁？ 教师：你在哪见过22ca 学生：勾股定理中有222cab。 教师：所以我们可以令222cab得椭圆的方程为)0(12222babyax，该方程叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程. (设计意图：暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法，使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美，简洁美。) 教师：刚才我们说过，在直角三角形中有勾股定理222cab，即222cba，那你能在下面的图中找出表
示cba,,的线段吗？ （设计意图：对照图形加以引导，数形结合让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用.） 学生：bOMcOFaMF,,
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教师：所以说我们令222cab，是有一定的几何意义的，不是随便令的。（学
生若有所思的点头） 教师：如果椭圆的焦点在y轴上，那椭圆的方程又如何？ 方法1：焦点坐标变为),0(),0(21cFcF，，重复推导过程，布置为作业. 方法2：由学生动手列式，acyxcyx22222，引导学生观察焦点在x轴上与焦点在y轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在y轴上椭
圆的标准方程)0(12222babxay ，这个方程叫焦点在y轴上的椭圆的标准方程. （设计意图：利用类比对称，划归的思想让学生体会问题的本质所在，只是位置不同，图形是一致的，得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，避免繁杂计算.） （五） 去伪存真，知识运用 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程： 12222byax（0ba） 12222bxay（0ba） 教师：1.椭圆的标准方程中三个参数,,abc的关系怎样? 2.如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？