2020年5月7日昆明市三统文科数学(2)
2022届云南省昆明市高三年级上册学期第三次综合测试数学(文)试题【含答案】
2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第三次综合测试数学（文）试题一、单选题1．设集合A ={ }，B ={ }，则A ∩B =（ ）2|230x x x --<()|ln 2x y x =-A ．{x |＜x ＜2}B ．{x |＜x ＜3}1-1-C ．{x |＜x ＜2}D ．{x |1＜x ＜2}3-【答案】A 【分析】分别求得，B ={}，求交集即可得解.{}|13A x x =-<<|2x x <【详解】由可得或，2230x x --==1x -3x =所以，{}|13A x x =-<<由，可得，20x ->2x <所以B ={}，|2x x <所以A ∩B =，{}|12x x -<<故选：A2．已知，则复数z +5的实部与虚部的和为（ ）2i 12i z=++A ．10B ．C ．0D ．10-5-【答案】A【分析】首先根据复数的运算可得，由即可得解.(12i)(2i)5i z =++=555i z +=+【详解】由可得，2i12i z=++(12i)(2i)5i z =++=，555i z +=+所以的实部与虚部的和为，5z +5510+=故选：A3．图二的程序框图所示的算法来自《九章算术》.若输入的值为16， 的值为24，则执行该程a b 序框图输出的结果为A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【详解】由程序框图，得当输入，则，，输出的值16,24a b ==24168,16b a =-==1688a =-=a 为8；故选C.4．已知数据是某市个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入12,,,n x x x *(3,)n n n N ≥∈，则这个数据中，下列说法正确的是（ ）1n x +1n +A ．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变；B ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变.【答案】B【分析】根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn +1后，数据的变化特征，易得年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，方差会变大．【详解】因为数据x 1，x 2，x 3，…，xn 是普通职工n （n ≥3，n ∈N *）个人的年收入，而xn +1为世界首富的年收入则xn +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，xn ，故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能稍微变大，由于数据的集中程度也受到xn +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选：B ．5．设，，，则，，的大小关系是（ ）0.32=a 20.3b =()2log 0.3m c m =+(1)>m a b c A ．B ．C ．D ．a b c <<b a c <<c b a<<b<c<a【答案】B【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，进行大小比较，从而得出相应答案．【详解】根据指数函数的单调性可得：，即， ，即，00.31222<<12a <<2000.30.31<<=由于，根据对数函数的单调性可得：，即，1m >()22log 0.3log 2m m m m +>=2>c 所以，故答案选B ．【点睛】本题主要考查学生对于对手函数的单调性及其应用这一知识点的掌握程度，指数函数以及对数函数的单调性，取决于底数与1的大小．a 6．将一根绳子对折，然后用剪刀在对折过的绳子上任意一处剪断，则得到的三条绳子的长度可以作为三角形的三边形的概率为A ．B ．C ．D ．16141312【答案】D【详解】试题分析：三边要能成为三角形，那么两边之和大于第三边，所以应在对折过的绳子的中点处和对折点之间的任意位置剪短，所以能构成三角形的概率,故选D.【解析】几何概型7．函数y ＝1＋x ＋的部分图象大致为（ ）2sin x xA ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除B.故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.8．设等差数列满足，且为其前n 项和，则数列的最大项为( ){}n a 81535a a =10,n a S >{}n S A ．B ．C ．D ．23S 25S 24S 26S 【答案】B【分析】设等差数列的公差为，由，利用通项公式化为，由可{}n a d 81535a a =12490a d +=10a >得，，利用二次函数的单调性即可得出答案0d <()()21162525222n n n d S na d n d -=+=--【详解】设等差数列的公差为，，{}n a d 81535a a = ()()1137514a d a d ∴+=+即12490a d +=，则10a > 0d <等差数列单调递减∴{}n a ()()21162525222n n n d S na d n d -=+=--当时，数列取得最大值25n ={}n S 故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式，二次函数的单调性，考查了推理n 能力与运算能力，属于中档题．9．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据题意和正三棱锥的性质，得到正三棱锥的底面面积和高，直接列棱锥的体积公式即可计算得到答案.【详解】由已知得，正三棱锥的底面是正三角形，且底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以，该底面的正三角形的外接圆的半径就是球的半径，且该正三棱锥的高也是球的半径，所以，，如1R =1h =图，，且，底面的面积为120AOB ∠=1OA OB R ===21sin1202OAB S R =⨯⨯=△13OAB V S h =⨯=△故选：D10．已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴sin cos y x a x =+3x π=sin cos y a x x =+是（ ）A ．B ．56x π=23x π=C ．D ．3x π=6x π=【答案】D【分析】先由函数的图像关于对称，求出化sin cos y x a x =+π3x =a =sin cos y a x x =+简即可求出.【详解】函数变为，（令）.sin cos y x a x =+()y x θ=+tan a θ=因为函数的图像关于对称，所以,sin cos y x a x =+π3x =Zπ,ππ32k k θ+=+∈解得：.Zπ6π,k k θ=+∈所以.πtan tan π6a k θ⎛⎫==+=⎪⎝⎭所以函数，其中()sin cos cos y a x x x x x ϕ=+=+=+tan ϕ=其对称轴方程,所以.ππ,Z 2x k k ϕ+=+∈ππ,Z2x k k ϕ=+-∈因为，所以.tan ϕ=11ππ,Z3k k ϕ=+∈()1ππππ26x k k k ϕ=+-=-+当时， 符合题意.1k k =π6x =对照四个选项，D 正确.故选：D.11．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆F 28y x =A B 28y x =的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是224120x y x +--=AB x FAB ∆（ ）A ．B ．C ．D ．(6,10)(8,12)[6,8][8,12]【答案】B【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置AF关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.B FAB ∆【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，28y x =()2,0F 2x =-根据抛物线定义可得，2A AF x =+圆，圆心为，半径为，()22216x y -+=()2,04点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.A B 28y x =224120x y x +--=点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心A B AB x x 和半径可知，()2,6B x ∈则的周长为，FAB ∆246A B A BAF AB BF x x x x ++=++-+=+所以，()68,12B x +∈故选：B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.12．函数与函数的图像至少有两个公共点，关于的不等式有解，2y kx =+1||y x =k ()20k a k -->则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．1(,3-∞1(1,)3-(,1)-∞-[1,)+∞【答案】A【分析】根据导数的几何意义得出的取值范围，再求出的最大值，进而得出实数的k ()2kg k k =-a 取值范围.【详解】令，1(),0f x x x =>设直线的方程为，且与切于，，1l 12y k x =+1(),0f x x x =>001,A x x ⎛⎫⎪⎝⎭21()f x x '=-则，显然，则，1201k x =-10k<0x =因为，解得，10012k xx =+22k ==11k =-由对称性可知，与相切的直线的斜率，1(),0f x x x =-<2l 21k =因为函数与函数的图像至少有两个公共点，所以，2y kx =+1||y x =11k -≤≤不等式等价为，()20k a k -->2k a k <-令，即函数在上单调递减，即，即()20(),()222k g k g k k k-'=--<=()g k []1,1-max 1()(1)3g k g =-=.13a <故选：A二、填空题13．已知向量，则它们的夹角是______ ；(a b ==【答案】π3【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案.【详解】，1cos ,2a b =则为锐角，所以.,a bπ,3a b =故答案为：π314．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的C C C A B ABC实轴长的2倍，则的离心率为_____________．C 【详解】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，22221(0,0)x y a b a b -=>>224b a a =222b a =，所以双曲线的离心率为223c a =e =点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂22b a 直的弦长为.2p 15．已知数列中，，为数列的前项和，，且当时，有{}n a 1=1a n S {}n a n 0n S ≠2n ≥成立，则________.221n n n na a S S =-2017S =【答案】11009【分析】根据时满足，结合所给条件可证明为等差数列.再由等差数列定义2n ≥1n n n a S S --=2n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭即可求得数列前项和的通项公式，即可代入求解.{}n a n n S 【详解】当时，，代入，2n ≥1n n n a S S --=221nn n na a S S =-化简可得，()()11212n n n n n n n n S S S S S S S S ----=--=-所以，又，1221n n S S -=-122S =所以是以2为首项，1为公差的等差数列，2n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，故，21n n S =+21n S n =+则.201711009S =故答案为：.11009【点睛】本题考查了等差数列中的简单应用，等差数列通项公式的求法，属于基础题.1n n n a S S --=16．如图所示，正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，过直线ABCD A B C D -''''1E F AA 'CC '的平面分别与棱、交于、，设，，给出以下四个命题：EF BB 'DD 'M NBM x =[]0,1x ∈①平面平面；MENF ⊥BDD B ''②当且仅当时，四边形的面积最小；12x =MENF ③四边形周长，是单调函数；MENF ()L f x =[]0,1x ∈④四棱锥的体积为常函数；C MENF '-()V h x =以上命题中真命题的序号为___________.【答案】①②④【分析】对于①根据平面以及，即可由线面垂直证明面面垂直；对于②，AC ⊥BDD B ''//EF AC 四边形是菱形即可作出判断；对于③，根据勾股定理可算菱形的边长，进而根据函数特征MENF 即可判断；对于④，根据四棱锥分割成两个三棱锥，而三棱锥的底面积和高都是定值即可判断.【详解】①连接、，在正方体中，因为且，BD AC ABCD A B C D -''''//AA CC ''AA CC ''=、分别是棱、的中点，则且，E F AA 'CC '//AE CF AE CF =所以四边形是平行四边形，故，EFCA //EF AC 因为四边形为正方形，则，则，ABCD AC BD ⊥EF BD ⊥因为平面，平面，所以，故，BB '⊥ABCD AC ⊂ABCD '⊥AC BB EF BB '⊥因为，、平面，则平面，BD BB B '⋂=BD BB '⊂BDD B ''EF ⊥BDD B ''又因为平面，所以平面平面，所以①正确；EF ⊂MENF MENF ⊥BDD B ''②连接，因为平面平面，平面平面，MN //AA B B ''CDD C ''MENF ⋂AA B B ME ''=平面平面，所以，，同理可得，MENF ⋂CC D D NF ''=//ME NF //NE MF 所以，四边形是平行四边形，MENF 由平面，平面，所以，EF ⊥BDD B ''MN ⊂BDD B ''EF MN ⊥故四边形为菱形，且对角线是定值，MENF EF 要使四边形面积最小，只需的长最小即可，在棱取，MENF MN DD 'DP BM x ==所以，MN =故当时，最小，因此当为棱的中点时，12x =MN M 即当且仅当时，四边形的面积最小，所以②正确；12x =MENF ③因为，所以四边形是菱形，EF MN ⊥MENF在正方形中，BCC B ''MF =当时，的长度由大变小，当时，的长度由小变大，10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦BF 1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦BF 所以周长，不是单调函数，所以③错误；()4L f x MF==[]0,1x ∈④连接、、，把四棱锥分割成两个小三棱锥，C E 'C M 'C N 'C MENF '-它们以为底，、为顶点，C EF ' M N ，平面，平面，则平面，//BB C F '' BB '⊄C EF 'C F '⊂C EF '//BB 'C EF '因为，则到平面的距离为定值，同理，到平面的距离也为定值，M BB '∈M C EF 'N C EF '所以四棱锥的体积为常函数，所以④正确.C MENF '-()V h x =命题中真命题的序号为①②④．故答案为：①②④．三、解答题17．如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD =1，E 为AC 的中点，AE =，cos B =32∠ADB =．23π(1)求AD 的长；(2)求△ADE 的面积．【答案】(1)2【分析】（1）首先利用同角三角函数可得sin B ==，在中利用正弦定理即可得解；sin sin()BAD B ADB ∠=+∠=ABD △（2）在△ACD 中，由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD •CDcos ∠ADC ，解得1DC =， 代入即可得解.11sin 24ADE ADC S S AD DC ADC ==⋅∠【详解】（1）在△ABD 中，∵，cos B =(0,)B π∈∴sin B ===∴1sin sin()()2BAD B ADB ∠=+∠=-=由正弦定理，知．sin sin AD BDB BAD =∠·sin 2sin BD BAD BAD===∠（2）由（1）知AD =2，依题意得AC =2AE =3，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD •CDcos ∠ADC ，即，29422cos3DC CD π=+-⨯⨯∴DC2-2DC -5=0，解得． 1DC =∴11sin 2(122ADC S ADDC ADC =⋅∠=⨯⨯= 从而12ADE ADC S S == 18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x （°C ）1011131286就诊人数y （个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ；（附：，）()()()1122211n ni i i i i i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx∧====---==--∑∑∑∑ˆˆa y bx =-【答案】(1)13(2)183077y x =-【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型， 从6组数据中选取2组数据共有=15种情况，抽26C 到相邻两个月的数据的情况有5种，代入公式即可得解；（2）先由数据求得，再由求，再由由求得，即可.11,24x y ==41422144i ii ii x y x yb xx ∧==-=-∑∑b ∧ˆˆa y bx =-ˆa【详解】（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有=15种情况，26C 每种情况都是等可能出现的，其中满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P （A ）=，51153=（2）由数据求得，11131282529261611,2444x y ++++++====由公式求得，4142222222141125132912268164112418111312841174i ii ii x y x yb xx ∧==-⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===+++-⨯-∑∑所以，182ˆˆ4117ay bx =-=-⨯=307-∴y 关于x 的线性回归方程为.183077y x =-19．如图，四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB =2CD =AC BD =F ，且△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 中点，G 为△PAD 的重心.(1)求证：GF ∥平面PDC ；(2)求三棱锥G -PCD 的体积.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）设PD 的中点为，连接AH ，CH ．证明GF ∥CH ，然后证明GF ∥平面PDC ．H （2）通过VG ﹣PCD ＝VF ﹣PCD ＝VP ﹣CDF ，转化求解即可．【详解】（1）设PD 的中点为H ，连接AH ，CH ．∵AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝，AC BD F = ∴，2AF ABFC CD ==又∵G 为△PAD 的重心G ，∴，∴GF ∥CH ，2H AGG =又∵GF ⊄面PDC ，CH ⊂面PDC ，∴GF ∥平面PDC ，（2）由（1）知GF ∥平面PDC ，则VG ﹣PCD ＝VF ﹣PCD ＝VP ﹣CDF ，AB =2CD =CD △PAD 与△ABD 均为正三角形，且AB =AD =AB =PE =3，△ABD 的高为3，∵，∴12DF FB =112CDF S ==△∴.133P CDF V -==20．已知椭圆的焦距为22221(0)x y a b a b +=>>（1）求椭圆方程；（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且，，(0,)B b k D x E ||BD ||BE 成等比数列，求的值．||DE 2k 【答案】（1）；（2）2214x y +=2k=【分析】（1）由焦距为，列出关于的方程组，求出222a b c =+,,a b c 从而求出椭圆方程；,a b （2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出点D 、E 的坐标，然后利用|BD|，|BE|，|DE |成等比数列，即可求解．【详解】（1）由已知，2c=c a=2a =c =所以2221b ac =-=椭圆的方程为2214x y +=（2）由（1）得过点的直线为，B 1y kx =+由，得，22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()224180k x kx ++=所以，所以，2814D kx k =-+221414D k y k -=+依题意，．0k ≠12k ≠±因为，，成等比数列，所以，||BD ||BE ||DE 2||||||BE BD DE =所以，即，()21D Db y y =-()11D Dy y -=当时，，无解，0D y >210D D y y -+=当，0D y <210DD y y --=D y =所以221414k k-=+2k =所以，当，，成等比数列时，||BD ||BE ||DE 2k =【点睛】方法点睛（1）求椭圆方程的常用方法：①待定系数法；②定义法；③相关点法．（2）直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于（或）的x y 一元二次方程，设出交点坐标），利用韦达定理得出坐标的关系,同时注意判别式()()1122,,,A x y B x y大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题及，联立即可求解．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运221414D k y k -=+()11D D y y -=算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用．属于中档题.21．已知关于的函数x ()(0)e xax af x a -=≠(1)当时，求函数的极值；1a =-()f x (2)若函数没有零点，求实数取值范围.()()1F x f x =+a 【答案】(1)极小值为，无极大值；2e --(2)2()e ,0-【分析】（1）由，求导可得，再根据导数的应用即可得解；1a =-2()e x x f x -'=（2）根据零点存在性定理分和两种情况讨论即可得解.a<00a >【详解】（1），.2e (2)(2)()(e )e x x xa x a x f x ----=='x ∈R 当时，，的情况如下表：1a =-()f x ()f x 'x(,2)-∞2(2,)+∞()f x '-0+()f x ↘极小值↗所以，当时，函数的极小值为，无极大值；1a =-()f x ()22e f -=-（2）.(2)()()e x a x F x f x --=='' ①当时，的情况如下表：a<0(),()F x F x 'x(,2)-∞2(2,)+∞()f x '-0+()f x ↘极小值↗因为， 若使函数没有零点，需且仅需，(1)10F =>()F x 2(2)10e aF =+>解得，所以此时；2e a >-2e 0a -<<②当时，的情况如下表：0a >(),()F x F x 'x(,2)-∞2(2,)+∞()f x '+0-()f x ↗极大值↘因为，且，(2)(1)0F F >>10110101110e10e 10(1)0eea aaF a------=<<所以此时函数总存在零点.()F x 综上所述，所求实数的取值范围是.a 2()e ,0-22．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标O x C 方程为，直线的参数方程为：(为参数)，点的极坐标为2410cos ρρθ-+=l x 31y t2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t A ，设直线与曲线相交于两点．π6l C ,P Q (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；C l (2)求的值．AP AQ OP OQ⋅⋅⋅【答案】（1），（2）122(2)3x y -+=0x =【分析】（Ⅰ） 利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C 的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l 的普通方程；（Ⅱ） 点A 的直角坐标为（3），设点P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，点P ，Q的极坐标分别为（），（）．将（t 为参数）与（x﹣2）2+y 2=3联立，得：16πρ，26，πρ312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 1t 2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【详解】Ⅰ曲线C 的直角坐标方程为：，即()22410x y x +-+=，直线l 的普通方程为22(2)3x y -+=0x =Ⅱ点A 的直角坐标为，设点P ，Q 对应的参数分别为，，点P ，Q 的极坐标分别为()(1t 2t ，将为参数与联立得：，1,6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,.6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭3(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩)22(2)3x y -+=210t ++=由韦达定理得：，121t t =1AP AQ =将直线的极坐标方程与圆的极坐标方程联立得：()6R πθρ=∈24cos 10ρρθ-+=，由韦达定理得：，即210ρ-+=121ρρ=1OP OQ =所以，12121AP AQ OP OQ t t ρρ==【点睛】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力．23．（1）已知函数，解不等式；()|1|f x x =-2()10f x x +->（2）已知函数，解不等式．()|2||1|f x x x =+--()5f x x ≥【答案】（1）{x |x ＞1或x ＜0}；（2）（-∞，]13【分析】（1）分和两种情况讨论即可；1x ≥1x <（2）分三种情况讨论即可得解.2,21,1x x x >--≤<≥【详解】（1）∵已知函数f （x ）=|x -1|，故不等式f （x ）+x 2-1＞0， 若，|x -1|＞1-x 2，∴x -1＞1-x 2①，1x ≥若，x -1＜-（1-x 2）②． 1x <解①求得x ＞1，解②求得 x ＜0，综上可得，原不等式的解集为 {x |x ＞1或 x ＜0}． （2）已知函数f （x ）=|x +2|-|x -1|，由不等式f （x ）≥5x 可得①，②，③．235x x <-⎧⎨-≥⎩21215x x x -≤<⎧⎨+≥⎩135x x ≥⎧⎨≥⎩解①求得x ＜-2，解②求得-2≤x ≤，解③求得x ∈∅． 13综上可得，不等式的解集为（-∞，].13。
2020年全国卷(3)文科数学
2020年全国卷(3)文科数学2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷（Ⅲ）文科数学适用地区：云南、贵州、四川、广西、西藏等一、选择题：1.已知集合 $A=\{1,2,3,5,7,11\}$，$B=\{x|3<x<15\}$，则$A \cap B$ 中元素的个数为 A。
2 B。
3 C。
4 D。
52.复数 $z\cdot(1+i)=1-i$，则 $z=$ A。
$1-i$ B。
$1+i$ C。
$-i$ D。
$i$3.设一组样本数据 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 的方差为 0.01，则数据 $10x_1,10x_2,\dots,10x_n$ 的方差为 A。
0.01 B。
1 C。
100 D。
4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域。
有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $I(t)$（$t$ 的单位：天）的 Logistic 模型$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中 $K$ 为最大确诊病例数。
当 $I(t^*)=0.95K$ 时，标志着已初步遏制疫情，则$t^*$ 约为（$\ln 19 \approx 3$） A。
60 B。
63 C。
66 D。
695.若 $\sin\theta+\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=1$，则$\sin(\theta+\frac{\pi}{3})=$ A。
$\frac{3}{4}$ B。
$\frac{1}{4}$ C。
$-\frac{1}{4}$ D。
$-\frac{3}{4}$6.在平面内，$A,B$ 是两个定点，$C$ 是动点，$AC\cdot BC=1$，则点 $C$ 的轨迹是 A。
圆 B。
椭圆 C。
抛物线 D。
直线7.设 $O$ 为坐标原点，直线 $x=2$ 与抛物线$C:y^2=2px(p>0)$ 交于 $D,E$ 两点，若 $OD\perp OE$，则$C$ 的焦点坐标为 A。
昆明市2020届“三诊一模”高三复习教学质量检测文科数学卷
另一个交点为 N,若 MN 的中点 P 恰好落在 y 轴上，则|MN|=
A.2 3
B.2 2
C. 3
D. 2
9.阿基米德（公元前 287 年-212 年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在 物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，抛物线上任意两点 A、B 处的切线交于点
P,称△PAB 为“阿基米德三角形”。当线段 AB 经过抛物线焦点 F 时，△PAB 具有以下特征：
秘密★启用前 【考试时间：5 月 7 日 15:00-17:00】
昆明市 2020 届“三诊一模”高三复习教学质量检测
文科数学
注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡 上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条 形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
2020届云南省昆明市数学(文科)三诊一模试卷及答案
物线的准线上，
∴点 P（﹣1，4），
∴直线 PF 的斜率为：
2，
又∵PF⊥AB，∴直线 AB 的斜率为 ，
∴直线 AB 的方程为：y﹣0 ሉ
，即 x﹣2y﹣1＝0，
故选：A． 10．（5 分）若直线 y＝ax 与曲线 y＝lnx﹣1 相切，则 a＝（ ）
A．e
B．1
C．
D．
【解答】解：
，设切点为（x，lnx﹣1），
C．2π
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
D．4π
可知该几何体是底面半径为 1，高是 2 的圆柱截去四分之一．
其体积为 V
．
故选：B． 6．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 T＝（ ）
A．
B．
C．
【解答】解：k＝1，S＝0，T＝0； S＝0+1＝1，T＝1，k＝2；
第 8页（共 20页）
B．2﹣i
C．﹣2+i
D．﹣2﹣i
【解答】解：∵z 满足（1+2i）z＝5i，
∴z
ሉ
ሉ
ሉ
2+i
故选：A．
3．（5 分）在正项等比数列{an}中，若 a1＝1，a3＝2a2+3，则其前 3 项的和 S3＝（ ）
A．3
B．9
C．13
D．24
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为 q＞0，∵a1＝1，a3＝2a2+3， ∴q2＝2q+3，解得 q＝3． 则其前 3 项的和 S3＝1+3+32＝13． 故选：C．
െൌ
则
，解得
．
故选：D． 11．（5 分）已知正四棱锥 P﹣ABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上，若 찐
2020届云南省昆明市高考数学三模试卷(文科)(有答案)(加精)
云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．13．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤04．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．28．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB 为（）A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=_______．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）=_______．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC的周长为_______．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为_______．三、解答题17．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=2a n﹣1．（1）证明：数列{a n}是等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求点B到平面PDC的距离．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=，=﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．云南省昆明市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设集合A={x|x（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，2]B．（0，2）C．（0，3）D．[2，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：x≤2，即B=（﹣∞，2]，则A∩B=（0，2]，故选：A．2．设z满足i（1+z）=2+i，则|z|=（）A．B．C．2 D．1【考点】复数求模．【分析】根据复数的四则运算求出z，然后利用复数的模长公式进行求解即可．【解答】解：由i（1+z）=2+i，得1+z==1﹣2i，则z=﹣2i，则|z|=2，故选：C3．设命题p：∀x＞0，xe x＞0，则￢p为（）A．∀x≤0，xe x≤0 B．∃x0≤0，x0e x0≤0C．∀x＞0，xe x≤0 D．∃x0＞0，x0e x0≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p：∃x0＞0，x0e x0≤0，故选：D4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数是C52种结果，满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女，有C31C21，进而得到概率．【解答】解：从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，共有C52=10种选法，选出的2名选手恰好是1男1女有C31C21=6种，故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=，故选：C．5．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入x=2，n=5，则输出的v=（）A．26 B．48 C．57 D．64【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=2，n=5，v=1，k=2执行循环体，v=4，k=3满足条件k＜5，执行循环体，v=11，k=4满足条件k＜5，执行循环体，v=26，k=5不满足条件k＜5，退出循环，输出v的值为26．故选：A．6．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39πB．48πC．57πD．63π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积．【解答】解：根据三视图可知该几何体是：一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥，且圆柱底面圆的半径为3，母线长是4，则圆锥的母线长是=5，∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π，故选：B．7．已知x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，则的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由得，即A（2，4），此时的最大值是，故选：D8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）（）A．在[0，3]上是减函数B．在[﹣3，0]上是减函数C．在[0，π]上是减函数D．在[﹣π，0]上是减函数【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）相交，其中一个交点P的横坐标为4，若与P相邻的两个交点的横坐标为2，8，则函数f（x）的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6，且函数f（x）在[3，6]上单调递减，故f（x）在[0，3]上是增函数，在[﹣3，0]上是减函数，故选：B．9．设函数f（x）=e x+ax在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立⇔a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立．【解答】解：f′（x）=e x+a，∵函数f（x）=e x+ax在区间（0，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x+a≥0在区间（0，+∞）上恒成立，∴a≥[﹣e x]min在区间（0，+∞）上成立，∵在区间（0，+∞）上﹣e x＜﹣1，∴a≥﹣1，故选：A．10．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1，∵OA=AB=1，OO1=AA′=1∴O1A=因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选：B．11．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可得g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．【解答】解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，故g（x）关于点（﹣2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（﹣4）=f（﹣2）=0，它的单调性示意图，如图所示：根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，∴xg（x）≤0的解集为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞），故选：C．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB 为（）A．﹣ B．﹣C．﹣D．﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（m，）、B（m，﹣），则=，p=，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．【解答】解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．设A（m，）、B（m，﹣），则=，∴p=．∴A（m，m），∴AF=m，∴cos∠AFB==，∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣．故选：D．二、填空题13．若和是两个互相垂直的单位向量，则|+2|=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算（）2，然后开方即可．【解答】解：∵和是两个互相垂直的单位向量，∴，．∴（）2==5，∴||=．故答案为：．14．已知α为锐角，cosα=，则sin（﹣α）=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵α为锐角，cosα=，∴sin==，∴sin（﹣α）=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=．故答案为：．15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，则△ABC的周长为15．【考点】余弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式可得：cosC=，又由余弦定理可得：cosC=，从而可得=，解得x，即可得解三角形的周长．【解答】解：∵∠A，∠B，∠C所对的边长分别是x+1，x，x﹣1，且∠A=2∠C，∴由正弦定理可得：，∴，可得：cosC=，又∵由余弦定理可得：cosC=，∴=，整理即可解得x=5，∴△ABC的周长为：（x+1）+x+（x﹣1）=3x=15．故答案为：15．16．已知圆C：（x﹣a）2+y2=1（a＞0），过直线l：2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB为锐角，则a的取值范围为（，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】作出直线l 和圆C ，PA ，PB 为圆的两条切线，连接AC ，BC ，PC ，由∠APB 为锐角，可得0＜∠APC ＜，运用解直角三角形可得可得1＜PA 恒成立，由勾股定理可得PA 2=PC 2﹣1，求得PC 的最小值，可得PA 的最小值，解不等式即可得到所求a 的范围．【解答】解：作出直线l 和圆C ，PA ，PB 为圆的两条切线，连接AC ，BC ，PC ，由圆心C （a ，0）到直线l 的距离为d=＞＞1，可得直线和圆相离．由∠APB 为锐角，可得0＜∠APC ＜， 即0＜tan ∠APC ＜1，在Rt △APC 中，tan ∠APC==， 可得1＜PA 恒成立，由勾股定理可得PA 2=PC 2﹣1，当PC ⊥l 时，PC 取得最小值，且为，即有1＜， 解得a ＞．故答案为：（，+∞）．三、解答题17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =2a n ﹣1．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S n =2a n ﹣1．可得当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为：a n =2a n ﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n =2a n ﹣1．∴当n=1时，a 1=2a 1﹣1，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣（2a n ﹣1﹣1），化为：a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2．（2）解：由（1）可得：a n =2n ﹣1．na n =n •2n ﹣1．∴数列{na n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1，2T n =2+2×22+…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴T n=（n﹣1）•2n+1．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，PC⊥BD．（1）证明：PB=PD；（2）若平面PBD⊥平面ABCD，且∠DPB=90°，求点B到平面PDC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．利用菱形的性质可得AC⊥BD，利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD⊥PO．又O是BD的中点，可得PB=PD．（2）底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，可得△PBD与△BCD都是等边三角形．由平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．可得PO⊥平面ABCD，因此PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，利用点B到平面PDC的距离d=即可得出．【解答】（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又PC⊥BD，且PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC．则BD⊥PO．又O是BD的中点，∴PB=PD．（2）解：底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△PBD与△BCD都是等边三角形．∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，PO⊥BD．∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC，又AC⊥BD，可建立如图所示的空间直角坐标系．∵∠DPB=90°，PB=PD，BD=2，∴PO=1，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），C（0，，0），=（﹣1，0，﹣1），=（0，，﹣1），=（1，﹣，0），设平面PCD的法向量=（x，y，z），则，∴，取=，则点B到平面PDC的距离d===．19．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用x=1，2，3，4，5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：μg/m3）．已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图：（1）根据折线图中的数据，完成表格：年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）（2）建立y关于x的线性回归方程；（3）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式；=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据折线图中的数据，完成表格即可；（2）计算线性回归方程中的系数，可得线性回归方程；（3）x=5代入线性回归方程，可得结论．【解答】解：（1）年份2013 2014 2015 2016年份代号（x） 1 2 3 4PM2.5指数（y）90 88 70 64（2）=2.5，=78，（x i﹣）（y i﹣）=﹣48，=5，==﹣9.6，=﹣=102，∴y关于x的线性回归方程是：=﹣9.6x+102；（3）2017年的年份代号是5，当x=5时，=﹣9.6×5+102=54，∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点C的左焦点F的直线l交C于A，B两点，是否存在常数λ，使||=λ•恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由=，2a+2c=6，a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆C的方程．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，可得λ==﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△＞0，利用根与系数的关系可得=，•=（x1+1）（x2+1）+y1y2，计算即可得出．【解答】解：（1）∵=，2a+2c=6，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）F（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l的斜率不存在时，x1=﹣1，不妨取y1=，||=3，=，=.•=，则λ===﹣．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），则，整理为：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=122（1+k2）＞0，x1+x2=，x1x2=.==，=（x1+1，y1），=（x2+1，y2）..•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（k2+1）[x1x2+（x1+x2）+1]=，则==﹣．综上所述：可得存在常数λ=﹣，使||=λ•恒成立．21．已知函数f（x）=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0．（1）求a，b．（2）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，根据f（1）=2，f′（1）=﹣1，求出a，b的值即可；（2）问题转化为（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），求出g（x）的单调区间，从而证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=+b，切点是（1，2），∴f（1）=b=2，f′（x）=，∴f′（1）=a=﹣1，故a=﹣1，b=2；（2）证明：由（1）得：f（x）=+2，f（x）＞，∴（x﹣﹣2lnx）＞0，令g（x）=x﹣﹣2lnx，（x＞0），则g′（x）=（x﹣1）2＞0，∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递增，∵g（1）=0，∴g（x）＞0⇔x＞1，g（x）＜0⇔0＜x＜1，∴x＞1时，g（x）＞0，0＜x＜1时，g（x）＞0，x＞0且x≠1时，（x﹣﹣2lnx）＞0，∴当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E为⊙O上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，CE=CB．（1）证明：AE2=AD•AB．（2）若AE=4，CB=6，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得：AE2=AD•AB．（2）根据切割线定理求出AD，即可求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C，∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°．∵CE=CB，OE=OB，∴∠CEB=∠CBE，∠OEB=∠OBE，∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°，∴CE⊥OE，∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线，根据切割线定理可得AE2=AD•AB．（2）解：∵CE=CB=6，AE=4，∴AC=10，∴AB=8∵AE2=AD•AB，AE=4，∴42=AD•8，∴AD=2，∴BD=8﹣2=6，∴⊙O的半径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点P（2，0）．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（2）设点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），若直线l经过点Q，且与曲线C相交于A，B两点，求△GAB的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，令，即可得出直角坐标方程．直线l 的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0）．k l=1，倾斜角为，可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得|AB|=|t1﹣t2|=．点G到直线l的距离d．即可得出S△GAB=|BA|•d．【解答】解：（1）ρsin2θ﹣8cosθ=0，化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0，∴直角坐标方程为：y2=8x．直线l的参数方程为：（t为参数）．（2）点Q和点G的极坐标分别为（2，），（2，π），分别化为：Q（0，﹣2），G（﹣2，0），k l==1，倾斜角为，直角坐标方程为：y=x﹣2．可得直线l的参数方程：（t为参数）．将参数方程代入曲线C的方程可得：t2﹣8t﹣32=0，△=128+4×32＞0，设t1与t2为此方程的两个实数根，可得：t1+t2=，t1t2=﹣32．∴|AB|=|t1﹣t2|===16．点G到直线l的距离d==2．∴S△GAB=|BA|•d==16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的值域是[m，n]，且a2+b2=m，c2+d2=n，求ac+bd的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，分类讨论求得g（x）=，从而求值域；（2）由柯西不等式知（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，从而求取值范围．【解答】解：（1）记g（x）=|x+3|﹣|x﹣1|+5，则g（x）=，故g（x）∈[1，9]，故f（x）∈[1，3]．（2）由（1）知，a2+b2=1，c2+d2=3，由柯西不等式知，（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，（当且仅当ad=bc时，取等号；）即（ac+bd）2≤3，故﹣≤ac+bd≤，故ac+bd的取值范围为[﹣，]．。
2024-2025学年云南省昆明市高三第三次联考数学检测试卷
2024-2025学年云南省昆明市高三第三次联考数学检测试卷本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列说法错误的是（ ）A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X 的分()2,X N μσ~σ布比较集中B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合2R 2R 的效果越好C. 在一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强0.98r =D. 对于一组数据，，…，，若所有数据均变成原来的2倍，则变为原来的2倍1x 2x n x 2s 2. 若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ 1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭）A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项3. 函数的部分图象大致为（）()()e1cos e 1xx x f x +=-A.B.C.D.4. 已知长方体的体积为，且，则长方体外1111ABCD A B C D -1612AA =1111ABCD A B C D -接球体积的最小值为（）A.D. 25π6π125π5. 在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，n l l a n a ⊥则向量叫做直线l 的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P 满n,M N M l ∈N l ∉足.则动点P 的轨迹为（）PM n PN n⋅=A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线6. 已知，，，是方程的两个根，则（α()0,πβ∈tan αtan β240x -+=αβ+=）A. B. C. D. 或π32π34π3π32π37. 已知曲线的方程为，若经过点Γ()()222222220xy x y x y x y ++++--=的直线l 与曲线有四个交点，则直线l 的斜率的取值范围是（）()4,2A --ΓA. B. 711,,12322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭177,,172323⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. D. 7,123⎛⎫ ⎪⎝⎭1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭8. 将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i 项为，若()1,2,,7i a i =⋅⋅⋅，，，则这样的数列共有（ ）123a a a <<345a a a >>567a a a <<A. 70个B. 71个C. 80个D. 81个二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数z 不为0，其共轭复数为，下列说法正确的是（ ）z A.22z z=B. 复平面内，z 与所对应的点关于实轴对称z C. ，与都是实数z z +z z -z z ⋅D. 若，则z 在复平面内所对应的点的轨迹为圆1zz =10. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，.若三角形有两解，ABC V 8b =45C =︒则边c 的取值可以是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 811. 已知双曲线，过原点的直线AC ，BD 分别交双曲线于A ，C 和B ，D 四点2213y x -=（A ，B ，C ，D 四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则的可能值为（13-tan AOB ∠）A.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到{}()16,n a n n *≤≤∈N 一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为______.13. 若函数在处有极小值，则______.()()2f x x x a =+1x =-a =14. 已知函数，为的零点，为()()sin f x x ωϕ=+0ω>π2ϕ≤π8x =-()f x π8x =图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为______.()f x ()f x ππ,186⎛⎫⎪⎝⎭ω四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占.1:31234（1）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性22⨯别有关？女生男生合计运动达人非运动达人合计（2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生3423闯关成功的概率.附：，.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()2P K k≥0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63516. 已知数列满足，，数列满足.{}n a 12a =()()12n n n a n a a n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数{}n b 21n n b a -=（1）求，的值；2b 3b （2）证明：数列是等差数列；{}n b （3）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，四P ABCD -PAD ⊥ABCD PAD △边形是梯形，且，，，点是ABCD //AB CD 2AD BD ==12DC AB ==G 的重心，与交于点.PAD △AC BDM （1）证明：平面；//GM PCD （2）求平面与平面的夹角的余弦值.PBC PAD 18. 已知F 为抛物线的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，()2:20C x py p =>的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为.OFM △9π4（1）求抛物线C 的方程；（2）设，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线交于点P ，过点()2,1A 2y x =-P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，求点F 到直线的距离的取值范围.BN d 19. 已知函数，.()23ln f x x x a x=-+a ∈R （1）当时，求函数在区间上的最小值；1a =()f x []1,2x ∈（2）若函数在区间上单调递减，求a 的取值范围；()f x []1,2（3）若函数的图象上存在两点，，且，使得()g x ()11,A x y ()22,B x y 12x x <，则称为“拉格朗日中值函数”，并称线段的中()()1212122g x g x x x g x x -+⎛⎫'=⎪-⎝⎭()y g x =AB 点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数是否为“拉格朗日中值函数”，若是，()f x 判断函数的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由.()f x。
2020年高考数学文科全国三试卷及答案解析
2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]6．（5分）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1C．D．7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5B．4C．3D．29．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB．C．D．10．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC 11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣B．C．D．1二、填空题13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且，则m=．14．（5分）双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a=．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=．16．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是．三、解答题17．（12分）设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣﹣2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2020年5月2020届云南省昆明市高三“三诊一模”教学质量检测文科综合试卷无答案
2020年5月2020届云南省昆明市高三“三诊一模”教学质量检测文科综合试卷
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2020年5月2020届云南省昆明市高三“三诊一模”教学质量检测文科综合试卷
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”教学质量检测数学(文)试题( 解析版)
2020年高考（文科）数学（5月份）三诊一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2}B．{2，3}C．{﹣3，﹣2，3}D．{﹣3，﹣2，2，3}2．若复数z满足（1+2i）z＝5i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在正项等比数列{a n}中，若a1＝1，a3＝2a2+3，则其前3项的和S3＝（）A．3B．9C．13D．244．已知向量a→=（1，1），b→=（2，4），则（a→−b→）•a→=（）A．﹣14B．﹣4C．4D．145．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．π2B．32πC．2πD．4π6．执行如图所示的程序框图，则输出的T＝（）A．85B．32C．43D．17．已知f（x）是定义在R上的减函数，则关于x的不等式f（x2﹣x）﹣f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）8．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞1）与x轴负半轴的交点为M，过点M且斜率为1的直线l与圆C的另一个交点为N，若MN的中点P恰好落在y轴上，则|MN|＝（）A．2√3B．2√2C．√3D．√29．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB③PF⊥AB．若经过抛物线y2＝4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（）A．x﹣2y﹣1＝0B．2x+y﹣2＝0C．x+2y﹣1＝0D．2x﹣y﹣2＝0 10．若直线y＝ax与曲线y＝lnx﹣1相切，则a＝（）A ．eB ．1C ．1eD ．1e 211．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，若AB =2√2，且P ﹣ABCD 的体积为323，则球O 的表面积为（ ）A ．25πB ．25π3C ．25π4D ．5π12．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C ，D ，E ，满足∠AOD ＝∠DOE ＝2∠AOC ，在扇形AOC 和四边形ODEB 区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE ，EB 作为观光路线，则当DE +EB 取得最大值时，sin ∠AOC ＝（ ）A ．√26B ．14C ．√23D ．12二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．能说明命题“∀x ∈R 且x ≠0，x +1x≥2”是假命题的x 的值可以是 ．（写出一个即可）14．由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知△DEF 是锐角△ABC 的欧拉三角形，若向△ABC 所在区域内随机投一个点，则该点落在△DEF 内的概率为 ．15．已知F 是双曲线M ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若|OP|=2b ，∠POF =π3，则M 的离心率为 ．16．定义域为R 的偶函数f （x ）满足f （1+x ）+f （1﹣x ）＝0，当x ∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，给出下列四个结论：①|f（x）|＜1；②若f（x1）+f（x2）＝0，则x1+x2＝0；③函数f（x）在（0，4）内有且仅有3个零点；其中，正确结论的序号是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）若AB＝2，求点B到平面A1B1D的距离．18．2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数；（2）从2012年至2019年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．（结论不要求证明）19．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2＝a2+bc．（1）求A；（2）从三个条件：①a=√3②b=√3③△ABC的面积为√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．20．已知函数f(x)=ax−(a+2)lnx−2x(a＞0)．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求f（x1）+f（x2）的最小值．21．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积为3√3，求点P的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4--4：坐标系与参数方程]x=12−√22t，22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数），以原点y=32+√22tO为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，求点M轨迹的极坐标方程．[选修4--5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x）的最小值为m，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝m，证明：|a+b+c|≤√6．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣2}B．{2，3}C．{﹣3，﹣2，3}D．{﹣3，﹣2，2，3}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{﹣3，﹣2，3}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．若复数z满足（1+2i）z＝5i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】通过分母实数化，求出z即可．解：∵z满足（1+2i）z＝5i，∴z=5i1+2i=5i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2+i故选：A．【点评】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题．3．在正项等比数列{a n}中，若a1＝1，a3＝2a2+3，则其前3项的和S3＝（）A．3B．9C．13D．24【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，由a1＝1，a3＝2a2+3，可得q2＝2q+3，解得q．再利用求和公式即可得出．解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1＝1，a3＝2a2+3，∴q2＝2q+3，解得q＝3．则其前3项的和S3＝1+3+32＝13．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知向量a→=（1，1），b→=（2，4），则（a→−b→）•a→=（）A．﹣14B．﹣4C．4D．14【分析】先根据平面向量的线性坐标运算求出a→−b→=（﹣1，﹣3），再根据数量积的坐标运算求解即可．解：∵a→=（1，1），b→=（2，4），∴a→−b→=（﹣1，﹣3），∴（a→−b→）•a→=−1﹣3＝﹣4．故选：B．【点评】本题考查平面向量坐标运算的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．π2B．32πC．2πD．4π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是底面半径为1，高是2的圆柱截去四分之一，再由圆柱体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体是底面半径为1，高是2的圆柱截去四分之一．其体积为V=34×π×12×2=32π．故选：B．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6．执行如图所示的程序框图，则输出的T＝（）A ．85B ．32C ．43D ．1【分析】根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环． 解：k ＝1，S ＝0，T ＝0； S ＝0+1＝1，T ＝1，k ＝2； S ＝1+2＝3，T =43，k ＝3；S ＝3+3＝6，输出T 43； 故选：C ．【点评】本题考查程序框图，注意一步一步运算，属于基础题．7．已知f （x ）是定义在R 上的减函数，则关于x 的不等式f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B ．（0，2）C ．（﹣∞，2）D ．（2，+∞）【分析】根据题意，由函数的单调性分析：f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0⇒f （x 2﹣x ）＞f （x ）⇒x 2﹣x ＜x ，结合一元二次不等式的解法分析可得答案．解：根据题意，f （x ）是定义在R 上的减函数，则f （x 2﹣x ）﹣f （x ）＞0⇒f （x 2﹣x ）＞f （x ）⇒x 2﹣x ＜x ，即x 2﹣2x ＜0，解可得0＜x ＜2，即不等式的解集为（0，2）； 故选：B ．【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 8．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝r 2（r ＞1）与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为1的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则|MN |＝（ ） A ．2√3B ．2√2C ．√3D ．√2【分析】由题意画出图形，求出M 的坐标，写出直线l 的方程，与圆的方程联立求得N 点横坐标，再由中点坐标公式求得r ，进一步求出M 与N 的坐标，则答案可求． 解：取y ＝0，可得x ＝1﹣r 或x ＝1+r ， 由题意可得，M （1﹣r ，0）， 设直线l 的方程为y ＝x +r ﹣1，联立{y =x +r −1(x −1)2+y 2=r 2，得x 2+（r ﹣2）x +1﹣r ＝0． 由1﹣r +x N ＝2﹣r ，得x N ＝1．由MN 的中点P 恰好落在y 轴上，得1﹣r +1＝0，即r ＝2．∴M （﹣1，0），N （1，2），则|MN |=√(−1−1)2+(0−2)2=2√2． 故选：B ．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题．9．抛物线上任意两点A 、B 处的切线交于点P ，称△PAB 为“阿基米德三角形”．当线段AB 经过抛物线焦点F 时，△PAB 具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②△PAB 为直角三角形，且PA ⊥PB ③PF ⊥AB ． 若经过抛物线y 2＝4x 焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为△PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ） A ．x ﹣2y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣2＝0C ．x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣y ﹣2＝0【分析】由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （﹣1，4），从而得到直线PF 的斜率为﹣2， 又PF ⊥AB ，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程．解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1， 由△PAB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4），∴直线PF 的斜率为：4−0−1−1=−2，又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12，∴直线AB 的方程为：y ﹣0=12(x −1)，即x ﹣2y ﹣1＝0，故选：A ．【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题． 10．若直线y ＝ax 与曲线y ＝lnx ﹣1相切，则a ＝（ ）A ．eB ．1C ．1eD ．1e 2【分析】先对曲线求出导数，然后设切点，根据切点是公共点、切点处的导数是切线的斜率列出方程组，即可求出a 的值．解：y′=1x ，设切点为（x ，lnx ﹣1），则{ax =lnx −1a =1x ，解得a =1e 2． 故选：D ．【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法．利用切点是公共点、切点处的导数是切线斜率，构造方程组是此类问题的基本思路．属于基础题．11．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，若AB =2√2，且P ﹣ABCD 的体积为323，则球O 的表面积为（ ）A ．25πB ．25π3C ．25π4D ．5π【分析】根据条件作图，数形结合求出球O 的半径r 即可． 解：如图，V P ﹣ABCD =13S 正ABCD ⋅PH =13×（2√2）2•PH =323，则PH ＝8， 设球O 的半径为r ，则在Rt △AOH 中，AO 2＝AH 2+OH 2，即r 2＝（4﹣r ）2+22，解得r =52，则球O 的表面积为4πr 2＝4π×254=25π， 故选：A ．【点评】本题考查正四棱锥的外接球的表面积的求法，考查正四棱锥的结构特征、球的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点C ，D ，E ，满足∠AOD ＝∠DOE ＝2∠AOC ，在扇形AOC 和四边形ODEB 区域内种植荷花，在扇形COD 区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道DE ，EB 作为观光路线，则当DE +EB 取得最大值时，sin ∠AOC ＝（ ）A ．√26B ．14C ．√23D ．12【分析】设∠AOC ＝α，则∠AOD ＝∠DOE ＝2α，∠BOE ＝π﹣4α，α∈（0，π4）．可得：DE ＝2sin α，BE ＝2sin （π2−2α），DE +BE ＝2sin α+2sin （π2−2α），化简和差公式、三角函数及其二次函数的单调性即可得出．解：设∠AOC ＝α，则∠AOD ＝∠DOE ＝2α，∠BOE ＝π﹣4α，α∈（0，π4）．可得：DE ＝2sin α，BE ＝2sin （π2−2α），∴DE +BE ＝2sin α+2sin （π2−2α）＝2sin α+2cos2α＝2sin α+2（1﹣2sin 2α）＝﹣4(sinα−14)2+94，∴当sinα=14时，DE+EB取得最大值．故选：B．【点评】本题考查了化简和差公式、三角函数及其二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．能说明命题“∀x∈R且x≠0，x+1x≥2”是假命题的x的值可以是﹣1，（任意负数均可以）．（写出一个即可）【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可．例如x＝﹣1，带入．解：当x＞0时，x+1x≥2，当且仅当x=1取等号，当x＜0时，x+1x≤−2，当且仅当x=−1取等号，∴只需x取值为负数，即可．例如x＝﹣1时x+1x=−2【点评】本题考察了，全称命题的真假，基本不等式应用（也可以利用对勾函数图象来解决），属于基础题．14．由三角形的垂心与各顶点连线的中点构成的三角形称为“欧拉三角形”已知△DEF是锐角△ABC的欧拉三角形，若向△ABC所在区域内随机投一个点，则该点落在△DEF内的概率为14．【分析】做出，根据中点连线三角形与大三角形相似，面积比为相似比的平方即可求解．解：根据中位线定理，显然△DEF ∽△ABC ，且相似比为12．设A ＝“点落在△DEF 内”，Ω＝“点落在△ABC 内”， ∴P(A)=S(A)S(Ω)=(12)2=14． 故答案为：14．【点评】本题考查几何概型条件下的概率计算问题，注意抓住几何图形性质解题．属于中档题．15．已知F 是双曲线M ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，点P 在M 上，O 为坐标原点，若|OP|=2b ，∠POF =π3，则M 的离心率为 √5 ．【分析】设P 的坐标，求出OP →，OF →的坐标，由∠POF =π3，所以cos ∠POF =12=OP →⋅OF→|OP →|⋅|OF →|=x 0⋅c2b⋅c，求出P 的横坐标，代入x 02+y 02＝4b 2进而求出纵坐标，再将P 坐标代入双曲线的方程可得a ，b 的关系，由a ，b ，c 之间的关系求出离心率． 解：设P （x 0，y 0）由题意可得x 0＞0，设y 0＞0，OP →=（x 0，y 0），由题意|OP |＝2b ，可得x 02+y 02＝4b 2，OF →=（c ，0），由∠POF =π3，所以cos ∠POF =12=OP →⋅OF→|OP →|⋅|OF →|=x 0⋅c 2b⋅c ，可得x 0＝b ，y 02＝3b 2，y 0＞0，将P 点的坐标代入双曲线的方程可得：b 2a 2−3＝1，所以b 2＝4a 2，所以双曲线的离心率e =√c 2a 2=√a 2+b 2a 2=√5，故答案为：√5．【点评】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题．16．定义域为R的偶函数f（x）满足f（1+x）+f（1﹣x）＝0，当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx 2，给出下列四个结论：①|f（x）|＜1；②若f（x1）+f（x2）＝0，则x1+x2＝0；③函数f（x）在（0，4）内有且仅有3个零点；其中，正确结论的序号是①③．【分析】由f（1+x）+f（1﹣x）＝0可知f（x）关于点（1，0）对称，令x＝1，可得f（1）＝0，再结合f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，可以作出函数的图象，根据图象逐一判断每个选项的正误即可得解．解：∵f（1+x）+f（1﹣x）＝0，∴f（x）关于点（1，0）对称，令x＝1，则f（1）+f（1）＝0，∴f（1）＝0，又∵f（x）为偶函数，且当x∈[0，1）时，f(x)=sin πx2，∴可作出函数f（x）的图象如下所示，①﹣1＜f（x）＜1，∴|f（x）|＜1，即①正确；②取x1＝﹣1，x2＝2，满足f（x1）+f（x2）＝0，但x1+x2＝1≠0，即②错误；③函数f（x）在（0，4）内的零点为x＝1，2，3，有且仅有3个，即③正确．∴正确的是①③，故答案为：①③．【点评】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面ABC为等边三角形，侧棱AA1⊥平面ABC，D为CC1中点，AA1＝2AB，AB1和A1B交于点O．（1）证明：OD∥平面ABC；（2）若AB＝2，求点B到平面A1B1D的距离．【分析】（1）如图所示，取AB的中点E，连接CE，OE．在△ABB1中，利用三角形中位线定理可得：EO∥BB1，EO=12BB1．D为CC1的中点，可得：EO∥CD，EO＝CD．利用平行四边形的性质可得：OD∥EC，利用线面平行的判定定理可得：OD∥平面ABC．（2）AB＝2，△ABC与△A1B1C1为等边三角形，及其侧棱AA1⊥平面ABC，可得A1D＝B1D＝2√2，A1B1＝2，可得S△A1B1D ，S△BB1D，点A1到平面BB1C1C的距离为√3．设点A1到平面A1B1D的距离为h．利用V A1−BB1D =V B−A1B1D，即可得出h．【解答】（1）证明：如图所示，取AB的中点E，连接CE，OE．在△ABB1中，E为AB的中点，O为AB1的中点，∴EO∥BB1，EO=12BB1．∵D为CC1的中点，∴CD=12CC1=12BB1．且CD∥BB1．∴EO∥CD，EO＝CD．∴四边形CDOE为平行四边形．∴OD∥EC，而OD⊄平面ABC，EC⊂平面ABC．∴OD∥平面ABC．（2）解：∵AB＝2，△ABC与△A1B1C1为等边三角形，AA1＝2AB＝4＝CC1．∴C1D＝2．∵侧棱AA1⊥平面ABC，∴A1D＝B1D＝2√2，A1B1＝2，可得S△A1B1D．S△BB1D=12×2×4=4．点A1到平面BB1C1C的距离为√3．设点A1到平面A1B1D的距离为h．则V A 1−BB 1D =V B−A 1B 1D ， ∴13×√3×4=13×√7h ，解得h =4√217．【点评】本题考查了直角与等边三角形三角形的性质、三角形中位线定理、线面面面平行与垂直的判定与性质定理、等体积法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）．强基计划聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．新材料产业是重要的战略性新兴产业，如图是我国2011﹣2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图．其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）．（1）求2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数；（2）从2012年至2019年中随机挑选一年，求该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．（结论不要求证明）【分析】（1）利用折线图能求出2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数．（2）设A表示事件”从2012年至2019年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规模的增加值达到6000亿元“，利用列举法能求出该年新材料产业市场规模较上一年的年增加量不少于6000亿元的概率．（3）由图判断，从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．解：（1）2015年至2019年这5年的新材料产业市场规模的平均数为：x=2.1+2.7+3.1+3.9+4.55=3.26万亿元．（2）设A表示事件”从2012年至2019年中随机挑选一年，该年新材料产业市场规模的增加值达到6000亿元“，从2012年起，每年新材料产业市场规模的增加值依次为：3000，2000，3000，5000，6000，4000，8000，6000，（单位：亿元），∴P（A）=3 8．（3）由图判断，从2012年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大．【点评】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查古典概型、列举法、折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2＝a2+bc．（1）求A；（2）从三个条件：①a =√3②b =√3③△ABC 的面积为√3中任选一个作为已知条件，求△ABC 周长的取值范围．【分析】（1）运用余弦定理，结合条件可得所求角；（2）选①②，先通过正弦定理，再由三角函数的和差公式，结合三角函数的图象和性质，可得所求范围；选③，可通过三角形的面积公式，求得bc ＝4，再由余弦定理和基本不等式，计算可得所求范围．解：（1）b 2+c 2＝a 2+bc ，可得cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，由A ∈（0，π），可得A =π3； （2）选①a =√3，又A =π3，可得a sinA =b sinB=c sinC=2，可设B =π3+d ，C =π3−d ，−π3＜d ＜π3，即有三角形ABC 的周长l ＝a +b +c ＝2sin B +2sin C +√3=2sin （π3+d ）+2sin （π3−d ）+√3＝2（√32cos d +12sin d +√32cos d −12sin d ）+√3=2√3cos d +√3，由cos d ∈（12，1]，可得周长l 的范围是（2√3，3√3]；选②b =√3，由A =π3，由正弦定理可得a =32sinB ，c =√3sinC sinB =√3sin(2π3−B)sinB =3cosB 2sinB +√32， 则周长为l ＝a +b +c =32sinB +3cosB 2sinB +3√32=6cos 2B 24sin B 2cos B 2+3√32 =32tan B 2+3√32，由B ∈（0，2π3），可得0＜B 2＜π3，即有0＜tan B 2＜√3， 可得△ABC 的周长的取值范围是（2√3，+∞）；若选③S △ABC =√3，由A =π3，可得S △ABC =12bc sin A =√34bc =√3，即bc ＝4，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ＝（b +c ）2﹣12， 则周长l ＝a +b +c =√(b +c)2−12+（b +c ），由b +c ≥2√bc =4，当且仅当b ＝c ＝2时等号成立，所以l ≥√42−12+4＝6， 则△ABC 的周长的范围是[6，+∞）．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换和三角函数的性质和基本不等式的运用，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．20．已知函数f(x)=ax −(a +2)lnx −2x (a ＞0)．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，求f （x 1）+f （x 2）的最小值．【分析】（1）先求出导函数f '（x ），再对a 的值分情况讨论，分别由导函数f '（x ）的正负得到函数f （x ）的单调性即可；（2）由（1）可知，f （x ）有两个极值点时，a ＞0且a ≠2，不妨设x 1＝1，x 2=2a ，所以f （x 1）+f （x 2）＝（a +2）ln a2−2lna ，设h （x ）＝（x +2）ln x2−2lnx ，x ∈（0，+∞），利用导数得到h （x ）min ＝h （2e）=−2e−2ln 2，所以当a ＞0且a ≠2时，f （x 1）+f （x 2）的最小值为−2e−2ln 2．解：（1）函数f(x)=ax −(a +2)lnx −2x(a ＞0)，定义域为（0，+∞），∴f '（x ）＝a −a+2x+2x2=ax 2−(a+2)x+2x2=(x−1)(ax−2)x， 由f '（x ）＝0得：x ＝1或x =2a，①若0＜a ＜2，则2a＞1，由f '（x ）＜0得，1＜x ＜2a ；由f '（x ）＞0得，0＜x ＜1或x ＞2a，∴函数f （x ）在（1，0）和（2a，+∞）上单调递增，在（1，2a）上单调递减；②若a ＝2，则2a=1，此时f '（x ）=2(x−1)2x2≥0恒成立，∴函数f '（x ）在（0，+∞）上单调递增； ③若a ＞2，则0＜2a＜1，由f '（x ）＜0得，2a＜x ＜1；由f '（x ）＞0得，0＜x ＜2a或x ＞1，∴函数f （x ）在（0，2a）和（1，+∞）上单调递增，在（2a，1）上单调递减；（2）由（1）可知，f （x ）有两个极值点时，a ＞0且a ≠2，不妨设x 1＝1，x 2=2a ，∴f （x 1）＝f （1）＝a ﹣2﹣lna ，f （x 2）＝f （2a）＝2﹣a +（a +2）ln a2−lna ，∴f （x 1）+f （x 2）＝（a +2）ln a 2−2lna ，设h （x ）＝（x +2）ln x2−2lnx ，x ∈（0，+∞），则h （x ）＝（x +2）（lnx ﹣ln 2）﹣2lnx ， ∴h '（x ）＝lnx ﹣ln 2+1，由h '（x ）＜0得0＜x ＜2e，∴函数h （x ）在（0，2e）上单调递减；由h '（x ）＞0得x ＞2e，∴函数h （x ）在（2e，+∞）上单调递增，∴x ＞0时，h （x ）min ＝h （2e）=−2e−2ln 2，∴当a＞0且a≠2时，f（x1）+f（x2）的最小值为−2e−2ln2．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题．21．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C．如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．（1）求椭圆C的方程；（2）设A1，A2是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x＝6上的动点，直线A1P，A2P分别交椭圆于Q，R两点，求四边形A1QA2R面积为3√3，求点P的坐标．【分析】（1）由|MN|的值及|ND|＝3|MD|，可得|MD|，|ND|的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得A1，A2电子版，由题意设P的坐标，进而求出直线A1P，直线A2P的方程，与椭圆联立分别求出Q，R的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标．解：（1）由|MN|＝4，D为旋杆上的一点，且在M，N两点之间，且|ND|＝3|MD|，可得|MD|＝1，|ND|＝3所以椭圆的长半轴a为3，短半轴b为1，所以椭圆的方程为：x 29+y 2＝1；（2）由（1可得A 1（﹣3，0），A 2（3，0），设P （6，t ），t ＞0， 则直线A 1P 的方程为：y =t 9（x +3），直线A 2P 的方程为：y =t 3（x ﹣3）， 设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），由{y =t9(x +3)x29+y 2=1整理可得：（9+t 2）y 2﹣6ty ＝0，因为yA 1=0，所以y Q =6t9+t 2， 由{y =t3(x −3)x29+y 2=1整理可得（1+t 2）y 2+2ty ＝0，因为yA 2=0，所以y R =−2t1+t 2， 所以四边形A 1QA 2R 的面积S =12|A 1A 2||y Q ﹣y R |=12•6•（6t 9+t 2+2t 1+t 2）=24t(3+t 2)(9+t 2)(1+t 2)=24t(3+t 2)(3+t 2)2+4t2=243+t 2t +4t 3+t 2， 因为t ＞0，m =t 2+3t=t +3t≥2√3，所以S =24m+4m=3√3，解得m ＝2√3，即t =√3， 当t ＜0，由对称性可得t =−√3，综上所述：当点P （6，√3）或（6，−√3）时，四边形A 1QA 2R 面积为3√3．【点评】本题考查求椭圆方程的方法及直线与椭圆的综合，及均值不等式的应用，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=12−√22t，y=32+√22t（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，求点M轨迹的极坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为{x=12−√22t，y=32+√22t（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y ﹣2＝0．转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+2＝0．（2）设动点M的极坐标为（ρ，θ），射线OM与直线l相交于点A，且满足|OA|•|OM|＝4，所以A（4ρ，θ），所以4ρ(sinθ+cosθ)=2，转换为ρ＝2sinθ+2cosθ（ρ＞0）．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4--5：不等式选讲]23．已知f（x）＝2|x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤4；（2）设f（x）的最小值为m，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝m，证明：|a+b+c|≤√6．【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f（x）≤4的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明．解：（1）f （x ）={−3x −1，x ≤−1x +3，−1＜x ＜13x +1，x ≥1，∴不等式f （x ）≤4等价于{x ≤−1−3x −1≤4或{−1＜x ＜1x +3≤4或{x ≥13x +1≤4，解得−53≤x ≤﹣1或﹣1＜x ＜1或x ＝1，∴不等式的解集为[−53，1]；（2）由（1）可知，f （x ）在（﹣∞，﹣1]递减，在（﹣1，+∞）递增， ∴f （x ）的最小值为f （﹣1）＝2， ∴m ＝2， 即a 2+b 2+c 2＝2，根据柯西不等式得（a +b +c ）2≤（12+12+12）（a 2+b 2+c 2）＝6， 故|a +b +c|≤√6．【点评】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2020届云南省昆明市高三元月三诊一模数学文试题
2020届云南省昆明市高三元月三诊一模数学文试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设全集U =R ，集合{}|10A x x =-≤，集合{}|23B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}|3x x <B ．{}|31x x -<≤C ．{}|2x x <D ．{}|21x x -<≤ 2．已知复数z 在复平面内对应的向量为OZ ，O 为坐标原点，则z 为（ ）A ．1BCD ．23．己知矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，则AC BD ⋅=（ ）A ．20B ．12C ．12-D ．20- 4．己知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则sin 2α=（ ）A ．2425-B ．2425C ．725-D ．7255．根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图：则下列说法错误的是（ ）A ．2018年的水质情况好于2017年的水质情况B ．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加C ．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质D ．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%6．己知2F 为双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且2F 在C 的渐近线上的射影为点,H O 为坐标原点，若2OH F H =，则C 的渐近线方程为（ ）A ．0x y ±=B 0y ±=C ．0x ±=D ．20x y ±= 7．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n （9n ≤且*n N ∈），已知()11f =，()21f =，且通过该规则可得()()()1221f n f n f n =-+-+，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）A ．7B ．16C ．19D ．218．设()'f x 是函数()f x 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，sin 7C =，2c =，则ABC ∆的面积等于（ ）A B ．C D 10．已知函数()x x f x e e -=-，则（ ）A ．()f f e f<< B ．()f f f e <<C ．()f e f f <<D ．()f f f e <<11．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是（ ）A ．2B ．4C ．D ．12．己知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在()0,2π上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．13,44⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．35,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．59,88⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．79,88⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．能够说明“若a b >，则22a b >”是假命题的一组整数,a b 的值依次为_________.14．若变量,x y 满足20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2x y -的最大值为_________.15．已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，O 为坐标原点，B 、C 两点在M 上，若四边形OABC 为平行四边形，且45OAB ∠=︒，则椭圆M 的离心率为____.16．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－免征额－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．其中免征额为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：备注： “专项扣除”包括基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金。