简单函数逼近定理
函数逼近
第3章 函数逼近
设函数 f ( x ) C[a, b] ，集合
H n span 1, x , x ,
2
,x
n
如果存在 p( x ) H n，满足 max f ( x ) p( x ) En
a xb
其中 En min max f ( x ) pn ( x )
pn ( x )H n a x b
a n
b k 0 k k a k
f ( x) S( x)
b a
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1,
21
,n
数值分析
第3章 函数逼近
Th
设给定节点 f ( x ) C[a, b]，则其最佳平方逼近
唯一存在，且可以由前述 Gram 组成的方程组求解构造。
注：
组成的交错点组。
Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质
10
数值分析
第3章 函数逼近
f ( x )有唯一 设函数 f ( x ) C[a, b] ，则在 H n 中， 的最佳一致逼近多项式 P ( x ) 。
Th
（存在唯一性）
Th
（最佳一致逼近多项式的一种求法）
( n1)
[a , b]上不 设 f ( x ) 在[a , b]上有n+1阶导数， f ( x) 在 p( x ) H n 是 f ( x ) 的最佳一致逼近多项式，则： 变号， [a , b]的端点属于f ( x ) p( x ) 的交错点组。
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , ( x ) 为[a,b]上的一个权函数。 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
通用逼近定理
通用逼近定理通用逼近定理是数学领域中的一种定理，它的作用是解决函数逼近的问题。
在实际应用中，我们通常需要在一个已知的函数族中找到一些函数来逼近未知函数，通用逼近定理为我们提供了一种可行的途径。
通用逼近定理最早由美国数学家斯通－韦尔斯于1936年提出，其基本思想是：对于一个函数集合，如果具有某些特定的性质，那么它们能够在某个意义下最好地逼近一个连续函数。
通用逼近定理在函数逼近的应用中有很广泛的应用，例如，在信号处理、信号识别、模式识别和控制等领域中，它可以帮助我们更好地描述系统的动态特性。
通用逼近定理具有以下几个基本特点：1.其适用范围较广，可以应用于各种类型的函数集合中；2.定理的内容具有一定的普遍性，可以应用于任意的函数集合中，而不需要特定的条件；3.通用逼近定理的特点不随维度的增加而变化，因此可以应用于高维的对象逼近问题。
在实践中，通用逼近定理其实就是将一个函数通过一个由一系列函数组成的函数集合来逼近的过程，因此它实际上是一个函数逼近的基本理论。
通用逼近定理的研究内容主要可以分为以下几个方面：1.函数的连续性与收敛性研究，这是通用逼近定理的基础研究内容；2.逼近函数的构造问题，即如何从函数族中选择最好的逼近函数；3.逼近误差的估计问题，即如何确定逼近误差的大小和估计方法；4.逼近定理的推广问题，即如何将通用逼近定理推广到更广泛的函数集合中。
通用逼近定理在理论研究和应用研究中都有着广泛的应用。
在理论研究中，通用逼近定理可以用于解决各种不同类型的函数逼近问题。
在应用方面，通用逼近定理可以用于信号处理、图像处理和自然语言处理等领域，甚至可以用于解决金融市场预测等实际问题。
总之，通用逼近定理是数学领域中一个非常有用的定理，它可以帮助我们更好地解决函数逼近问题，同时具有广泛的应用前景，将为更多的实际问题的解决提供有力的支持。
runge逼近定理
runge逼近定理Runge逼近定理是数学分析中的一个重要定理，它给出了如何逼近解析函数的一种方法。
在数学中，解析函数是指在某个域内处处可导的函数。
本文将介绍Runge逼近定理的基本概念和定理陈述，并探讨其应用和推广。
首先，我们来描述一下解析函数。
假设f(z)是一个定义在某个域上的复数函数，其中z = x + iy是复变量，x和y是实数。
如果f(z)在该域上的导数存在，则称f(z)是解析函数。
解析函数有许多重要性质，比如它们可以展开为幂级数或洛朗级数，并且具有唯一性。
这些性质使得解析函数在数学和物理中有广泛的应用，比如在复分析、微积分、物理学和工程学中。
Runge逼近定理是由德国数学家Carl David Tolmé Runge于1885年提出的。
该定理给出了如何通过有理函数逼近解析函数的一种方法。
具体来说，它断言在复平面上的任何有界区域D内，都存在一个有理函数序列{R_n(z)}可以以任意给定的精度逼近D上的任何解析函数f(z)。
定理的形式化陈述如下：设f(z)是D上的解析函数，且R是D的闭包。
对于任意给定的ε > 0，存在有理函数序列{R_n(z)}，使得R_n(z)一致收敛于f(z)在R上，即对于R上的每一个点z，有|R_n(z) - f(z)| < ε对于足够大的n成立。
这个定理的证明非常复杂，涉及到复分析中的许多重要概念和工具，比如复变函数的收敛性、Laurent级数、共形映射等。
定理的证明可以追溯到数学家Peter Gustav Lejeune Dirichlet和Bernhard Riemann的工作，他们为Runge逼近定理提供了一些重要的启示。
Runge逼近定理的一个重要应用是在数值计算中。
通过有理函数逼近解析函数，可以将高阶的函数近似转化为低阶的有理函数，从而简化计算过程。
这在计算机图形学、信号处理和控制理论等领域非常有用。
此外，Runge逼近定理还被广泛应用于复变函数的奇点理论、拟调和函数等相关问题的研究中。
实变函数重要定理
实变函数重要定理
实变函数是数学分析中的重要概念，其中有许多重要的定理。
以下是一些实变函数的重要定理：
1. Weierstrass逼近定理：任何连续函数都可以被一列多项式函数逼近，也就是说，对于任意的ε>0，存在一列多项式P_n(x)，使得|f(x) - P_n(x)|<ε，其中n为一个正整数。
2. Stone-Weierstrass定理：任何实函数的代数闭包或者说线性空间的闭包，都可以由一组多项式函数生成，也就是说，任何连续函数都可以被一组多项式函数逼近。
3. 反函数定理：如果实函数f在某个区间内是严格单调的，并且它在该区间内可导，则f的反函数在相应区间上也是可导的，且其导数为f的导数的倒数。
4. 广义中值定理：如果实函数f在[a,b]上满足连续且可导，那么存在c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=(b-a)f′(c)。
这些定理不仅在数学分析中有广泛应用，而且在物理学、工程学等其他学科中也有重要的应用。
- 1 -。
-函数的幂级数展开,逼近定理
f (n)( x0 )( x n!
x0 )n
？
回答是：不一定.
2019/11/2
福州大学数学与计算机学院
7
例如
f
(x)
e
1 x2
,
x0
0, x 0
在x=0点任意可导, 且 f (n) (0) 0 (n 0,1,2,)
代入上述表达式的右端得到： 0 xn n0
二、幂级数的分析性质
(1) 连续性
设幂级数
a
(x
x
)n
的收敛半径为
n0 n
0
R,
幂级数
a
n0 n
(
x
x 0
)n
的和函数
s(
x)在区间
(x 0
R,
x 0
R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧
连续.
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1
(2)
逐项可积性
a
幂级数 n0
n
（1）
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0 )n1
-----拉格朗日余项
（2）Rn( x)
f
( x (n1) 0
n!
(x
x0 ))
(1
)n
(x
x0 )n1,
(0 1)
-----柯西余项
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该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除x 0外,该级数处处不收敛于 f ( x).
计算方法讲义：六 函数逼近
第六章 函数逼近用简单的函数近似代替复杂函数，是计算数学中最基本的方法之一。
近似又称为逼近，被逼近的函数与逼近函数之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项。
简单函数：仅用加、减、乘、除。
多项式是简单函数。
插值也可以理解为一种逼近形式。
用Taylor展开：10)1(00)(000)()!1()()(!)())(()()(++-++-+-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ 的部分和逼近f (x )也是一种逼近方法，其特点是：x 越接近于x 0，误差就越小。
如何在给定精度下求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。
逼近的度量标准有：一致逼近和平方逼近。
6.1 函数内积本节介绍几个基本定义：权函数、内积、正交、正交函数系。
定义1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，若具有下列性质：(1) ρ(3) 对非负的连续函数g (x )，若⎰=ba dx x x g 0)()(ρ，则在(a ,b )上g (x ) ≡ 0，称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
常用权函数有：211)(],1,1[xx -=-ρ；x e x -=∞)(],,0[ρ；2)(],,[x e x -=∞+-∞ρ；1)(],1,1[=-x ρ等。
定义2 设f (x )，g (x ) ∈ C [a , b ]，ρ (x )是[a , b ]上的权函数，则称⎰=ba dx x g x f x g f )()()(),(ρ为f (x )与g (x )在[a ,b ]上以ρ (x )为权函数的内积。
内积有如下性质：(1) (f , f )≥0，且(f , f )=0 ⇔ f = 0；(2) (f , g ) = (g , f )；(3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g ) + (f 2,g )；(4)对任意实数k ，(kf , g ) = k (f , g )。
函数逼近论
函数逼近论函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。
在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差。
这就是函数逼近问题。
在函数逼近问题中，用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的；g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。
所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。
这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。
在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。
切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。
他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题，得到了许多重要结果。
已知[α,b]区间上的连续函数ƒ(x)，(n≥0)，叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值，简称为最佳逼近值，简记为En(ƒ)。
能使极小值实现的多项叫做ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。
切比雪夫证明了，在区间[-1,1]上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式必满足关系式。
多项式就是著名的切比雪夫多项式。
切比雪夫还证明了ƒ(x)在[α,b]上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在[α，b]上存在着n+2个点：α≤x1<x2<…xn+2≤b，在这些点上依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号，像这样的点组{x1,x2,…,xn+2} 便是著名的切比雪夫交错组。
1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。
第三章 1 逼近论
( x)dx
2mn1m!n!11
dm dxm
[(x2
1)m
]
dn dxn
[(x2
1)n
]dx
1
dm
2mn m!n!dxm
[( x 2
1)m
]ddxnn11 [( x2
1)n
1
]
1
2m
1 n m!
n!
11
dm1 dx m 1
[(
x
2
i 1
1
||
x
||2
n
xi2
2
，
i1
称为2 范数.
类似地，对C[a,b]上的f ( x)，可定义三种常用范数：
|| f || max | f ( x) |， 称为 范数，
a xb
|| f ||1 ab| f ( x) | dx， 称为1 范数,
i 1
定义4 设( x)是区间[a,b]上的非负函数, 如果满足条件
(1)
ab xk ( x)dx存在,
k
0,1,2,; 可以有限或
无限区间
(2) 对于[a,b]上的非负连续函数g( x),若abg( x)( x)dx 0,
则在[a,b]上g( x) 0；
就称( x)为[a,b]上的权函数.
f
,
x)
n
k0
f
k n
Pk
(
x),
(1.3)
其中Pk
(
x)
n k
xk
函数逼近
上海理工大学理学院
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
计算方法与数值计算
函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A（如连续函数类）中给定的函数f (x)，要求在另 一类较简单的且便于计算的函数类B（如多项式、三角函数类等）
b
a
g ( x) ( x)dx 0
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College of Science
计算方法与数值计算
2．内积
则称
定义2 设f (x)，g (x) C [a, b]， (x)是[a, b]上的权函数，
1
1
0, 1 Tm ( x)Tn ( x)dx , 1 x2 2 ,
mn mn0 mn0
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计算方法与数值计算
S ( x) a 0 0 ( x) a11 ( x) a n n ( x)
的全体是C[a, b]的一个子集，记为
Span{ 0 , 1 , , n }
并称
0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是生成集合的一个基底。
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a
b
则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权 (x)正交。 定义4 设在[a, b]上给定函数系{k(x)} ，若满足条件
切比雪夫最佳逼近定理
切比雪夫最佳逼近定理
切比雪夫最佳逼近定理是一种数学定理，它指出任何一个连续函数都可以用一组多项式来最好地逼近。
具体来说，给定一个函数f(x)，切比雪夫最佳逼近定理可以找到一组多项式P_n(x)，使得在[-1,1]上，P_n(x)与f(x)的最大差值最小，即P_n(x)是f(x)的最佳逼近。
这个定理在数值计算和信号处理中都有广泛的应用。
例如，在数值逼近中，我们可以利用切比雪夫最佳逼近定理来构造一组多项式，用它们来逼近一个给定的函数。
在信号处理中，我们可以用这个定理来设计数字滤波器，以便在频域中最好地逼近一个给定的频率响应。
总之，切比雪夫最佳逼近定理是一个非常有用的数学工具，它可以帮助我们更好地理解和应用数学。
- 1 -。
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简单函数逼近定理
简单函数逼近定理是数学分析中的一个重要定理，它表明在某些条件下，任何连续函数都可以用一系列简单函数逼近。
简单函数是指具有有限个取值的函数，例如阶梯函数和分段线性函数等。
简单函数通常比较容易处理，因此简单函数逼近定理的重要性在于将复杂的函数问题转化为简单函数的问题，从而简化计算和分析过程。
简单函数逼近定理的一个常见形式是Stone-Weierstrass定理，它表明在闭区间上的连续函数可以用多项式函数逼近。
具体而言，对于给定的闭区间[a, b]上的任意连续函数f(x)，存在一系列多项式函数P_n(x)可以无限接近于f(x)，即对于任意给定的误差ε>0，存在某个多项式函数P_n(x)使得|f(x) - P_n(x)| < ε，其中n是多项式的次数。
简单函数逼近定理的证明通常基于构造逼近序列的方法，即通过构造一系列简单函数来逼近给定的连续函数。
这些简单函数通常具有一定的性质，例如在给定的区间上连续、有界等，从而确保逼近的有效性和精度。
总而言之，简单函数逼近定理是数学中的一个重要工具，它将复杂的函数逼近问题转化为简单函数的逼近问题，简化了计算和分析过程，同时也为其他数学理论和应用提供了基础。