10s索引

B树与B+树
47/47
红黑树的层数
14 9 28
5
12
25
50
3
20
26
30
60
•红-黑树层数最小、最大分析：
15
23
最小：从根开始，连续跟随父结点的子结点都是黑色的。 设为 K。 最大：从根开始，“插入”尽可能多的红结点，由于红结点不能 连
续存在，所以将为：黑、红、黑、红……黑、红的情况，
这时的层数将不超过 2K。
B树与B+树 26/47
2-3树删除
情况2：从包含1个记录的叶子结点中删除这个记录。 33
25
48
20
30
45 47
50 52
解决方法：兄弟结点不够借，需要合并相邻结点， 并影响双亲结点，这可能减少树的高度。
B树与B+树 27/47
2-3树删除
情况2：从包含1个记录的叶子结点中删除这个记录。 33 48
叶子结点只包含2个记录
B树与B+树
插入新记录，分裂－提升 17/47
218 33
12 10 15 20 21
23 30 24 31
48 52
45 47 50
55
提升
叶子结点只包含2个记录
B树与B+树
插入新记录，分裂－提升 18/47
2-3树删除
情况1：从包含2个记录的叶子结点删除1个记录。
B树与B+树 23/47
2-3树删除
情况2：从包含1个记录的叶子结点中删除这个记录。 18 33
12 10 15 20 21
30
48
31
45 47
50 52
解决方法：兄弟结点不够借，需要合并相邻结点， 并影响双亲结点。
B树与B+树 24/47
2-3树删除
情况2：从包含1个记录的叶子结点中删除这个记录。 18 33
数据结构与算法 For 软件学院08级本科生 2009-2010秋
10 索引
10.4 动态索引
• B树 • B+树
B树与B+树
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基本概念
• 动态索引结构
– 索引结构本身也可能发生改变 – 在系统运行过程中插入或删除记录时
• 目的
– 保持较好的性能 • 例如较高的检索效率
B树与B+树
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2-3树插入
新记录将插入到相应的叶子结点中。
18 33
12 10 15 20 21
23 30 24 31
48
45 47
50 52
11
叶子结点只包含1个记录
B树与B+树
插入新记录
13/47
2-3树插入
新记录将插入到相应的叶子结点中。
18 33
12 10 11 15 20 21
23 30 24 31
B树与B+树 20/47
2-3树删除
情况2：从包含1个记录的叶子结点中删除这个记录。 18 33
12
23 30
48 31 45 47 50 52
10
15
20 21
24
解决方法：向兄弟结点借一个记录，同时修改双亲 结点的记录。
B树与B+树 21/47
2-3树删除
情况2：从包含1个记录的叶子结点中删除这个记录。 18 33
B+树的插入
• 插入——分裂
– 过程和B树类似 – 注意保证上一层结点中有这两个结点的最大 关键码（最小关键码）
B树与B+树
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3阶B+树插入
插入15
B树与B+树
36/47
3阶B+树插入
插入15后
B树与B+树
37/47
3阶B+树插入
23 35
插入16
10 15 1623 10 23 15 23 33 35
20 25
45 47
50 52
2-3树的优点：能够以相对较低的代价保持树高平衡。 解决方法：兄弟结点不够借，需要合并相邻结点， 并影响双亲结点，这可能减少树的高度。
B树与B+树 28/47
2-3树删除
情况3：从内部结点删除一个记录。
18 33
12 10 15 20 21
23 30 24 31
48
45 47
18 33
12 10 15 20 21
23 30 24 31
48
45 47
50 52 55
插入
叶子结点只包含2个记录
B树与B+树
插入新记录，分裂－提升 16/47
2-3树插入
新记录将插入到相应的叶子结点中。
18 33
12 10 15 20 21
23 30 24 31
48
45 47
50 52 55
分裂
•插入要点：
2、 新的红结点X，其父结点P是红色的。则： 父结点P的兄弟结点S是红色的（空结点认为是黑结点），P 的父结点G（结点X的祖父结点），肯定是黑色的。可分二种 情况： B、结点X是结点G的内侧孙结点：G仍是根结点，但G变为红结 点，而其子结点变为黑结点；仅仅改变颜色而已。
G
调整为
S
G
P
P
S
12 10 15 20 21
30
48
31
45 47
50 52
解决方法：兄弟结点不够借，需要合并相邻结点， 并影响双亲结点。
B树与B+树 25/47
2-3树删除
情况2：从包含1个记录的叶子结点中删除这个记录。 33
18 30
48
10 12
20 21
31
45 47
50 52
解决方法：兄弟结点不够借，需要合并相邻结点， 并影响双亲结点。
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外结点
B树与B+树
2-3树
2-3树：是具有下列特性的树： ⑴ 一个结点包含1个或者2个关键码。 ⑵每个内部结点有2个子女（包含一个关键码）或者 3个子女（包含两个关键码）。 ⑶ 所有叶子结点都在树的同一层。
B树是2-3树的推广，2-3树是一个3阶B树 。
B树与B+树 7/47
2-3树示例
50 52
解决方法：将被删除记录用右边子树中的最小关键码Y 代替（ Y一定在某个叶子结点中），然后再删除Y。
B树与B+树 29/47
2-3树删除
情况3：从内部结点删除一个记录。
20 33
12 10 15 21
23 30 24 31
48
45 47
50 52
解决方法：将被删除记录用右边子树中的最小关键码Y 代替（ Y一定在某个叶子结点中），然后再删除Y。
B树与B+树 32/47
2阶B+树的例子
B树与B+树
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B+树的查找
• 查找应该到叶结点层
–在上层已找到待查的关键码，并不停止 –而是继续沿指针向下一直查到叶结点层的这 个关键码
• B+树的叶结点一般链接起来，形成一个双链 表
– 适合顺序检索（范围检索） – 实际应用更广
B树与B+树
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的父结点G（结点X的祖父结点），肯定是黑色的。可分二种
情况：主要矛盾解决不可以有连续的红结点存在，当然不可 违反二叉排序树的性质 A、结点X是结点G的外侧孙结点：P 成为新的根结点，注意P 为红结点。
G P S X
调整为
P G
注意：红结点可能向上波及，引 起新的调整。
X
C B
D
E
A
B
C
D
S
A
E
红黑树的插入
B树与B+树 30/47
B+树
• 是B树的一种变形 • 在叶结点上存储信息的树
–所有的关键码均出现在叶结点上 –各层结点中的关键码均是下一层相应结点中 最大关键码（或最小关键码）的复写
B树与B+树
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B+树的结构定义
m阶B+树的结构定义如下： (1)每个结点至多有m个子结点； m (2)每个结点(除根外)至少有 个子结点； 2 (3)根结点至少有两个子结点； (4) 所有的叶子结点在同一层 (5) 有 k 个 子 结 点 的 结 点 必 有 k 个 关 键 码 。 （同B树的差别） （叶子结点之间的链接，跟应用相关）
设该红黑树的高度(即层数)为 H，则 K ≤ H ≤ 2K ， 又：2K - 1≤ n; ∴ K ≤ log(n + 1) 故： 2K ≤ 2log(n + 1) 是 O(logn)的。
红黑树的插入
• 插入：新结点插入后，令其为红色结点，因若令它为黑色结点将违反性质5。
•插入要点： 1、 新插入的红结点X，如其父结点为黑结点则插入结束。 2、 新的红结点X，其父结点P是红色的。则： 父结点P的兄弟结点S是红色的（空结点认为是黑结点），P
10 15
16 17
B树与B+树
19
23
33 35
44/47
课堂练习
• 按照以下次序输入关键字的值建立2-3 树(3阶B树):(68,54,82,35,75,90， 103，22)。 (1)请画出所建的2-3树。 (2)如果此后依次删除22,75，画出每一步 执行后的2-3树的状态。
B树与B+树
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(4) 所有叶子结点都出现在同一层次，可用来“查找失败”处理;
(5) 有k个子节点的中间结点恰好包含k-1个关键码。 B树与B+树
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B树