直线与圆锥曲线的位置关系(第1课时)教学设计

直线与圆锥曲线的位置关系（第1课时）教学设计灵山中学张小强【教材分析】本节课是高三复习专题《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一课时．圆锥曲线是解析几何的核心内容，在整章的复习中，主要以课本知识系统为线索，全面、深刻地复习基础知识、基本技能和其中蕴涵的基本的数学思想方法．本章内容主要突出了解析几何中的数形结合思想，方程思想，函数思想，对应和运动变化思想等数学思想及定义法，待定系数法，参数法等常用的基本方法．其中，直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点内容之一，主要涉及的问题有直线与圆锥曲线的位置关系的判断，求相交弦长，焦点弦长及中点弦等问题，主要考查数形结合，等价转化，函数与方程等数学思想．【学情分析】《直线与圆锥曲线的位置关系》共2课时．学生在高二解析几何的学习中已经基本掌握了圆锥曲线的定义、方程、性质以及直线与圆的位置关系等，具备了一定的知识基础和分析问题、解决问题的能力．第1课时通过对方程组解的讨论，巩固用代数的方法来研究直线与圆锥曲线公共点的问题，掌握直线与圆锥曲线之间的位置关系的判断，进一步领会用代数方法研究几何问题的数学本质．同时，借助几何画板，运用运动变化的观念，让学生在直接观察、运动变化的过程中实现自主探究，数形结合，以形助数．第2课时，要求能够正确熟练地解决直线和圆锥曲线位置关系的一些问题．【教学目标】知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力【教学重点】重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）来研究直线与圆锥曲线的公共点问题难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究【教学仪器】电脑，投影仪【教学过程与操作设计】【情景一】问题1：直线与圆位置关系有相离，相切，相交三种．如果把圆换成一般的圆锥曲线，又有怎样的位置关系呢？【设计意图】与直线和圆的位置关系进行类比，引起学生认知上的冲突．【情景二】（幻灯片：讨论题组1）1．若直线l 过点（0，1），则它与椭圆12422=+y x 的位置关系是___________． 2．过点（0，1）且与抛物线x y 42=仅有一个公共点的直线方程为_______________．3．过点（0，1），斜率为5的直线与双曲线122=-my x 只有一个公共点，则=m ______． 问题2：浏览之后想一想，你打算用什么方法来解决这几个问题呢？【设计意图】复习巩固直线与圆锥曲线位置关系判断的两种方法，几何法和代数法。

【问题解决】第一个问题，学生口答，用什么方法判断的？题后反思：抓住了点在椭圆内这个特征，借助图形迅速判断．接下来两个题，分组来解决．（讲义准备，分组解题；投影交流，教师补充板书）【情景三】（切换几何画板）针对刚才的2，3两个小题，结合图形，让学生意识到同样是只有一个公共点，直线与圆锥曲线的位置关系可能是相切也可能是相交．回忆解题过程，相交直线的斜率从0=A 得到，而切线的斜率是从0=∆得到．从图中看，当两个公共点重合时的直线就是切线，这与高三导数中切线的定义是一致的．因此，这个题也可以用导数的方法来解决．【设计意图】用代数方法解决问题之后，再回到图像，数形结合，帮助学生进一步理解和巩固直线与圆锥曲线仅一个公共点时的位置情况．【情景四】讨论2：直线l 过点（0，2），交双曲线1222=-y x 于21,P P 两点，且213AP A P =，求直线l 的方程．【设计意图】进一步巩固用联立方程韦达定理的方法来解决直线与圆锥曲线相交的一些问题．【问题解决】 分析：直线l 与双曲线交于两个不同的点，因此联立方程需满足0>∆；同时，213AP A P =，可以找到P 1,P 2坐标之间的关系，用韦达定理来解决．求解：设直线方程为：2+=kx y ，代入双曲线方程得：064)2(22=---kx x k因为直线与双曲线交于两个不同的点，因此有：260848)6)(2(4)4(02222222≠<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-=----=∆≠-k k k k k k 且 设),(),,(222111y x P y x P ，21213,3x x AP A P -=∴= ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-=-=+222212221326224x k x x x k k x x 则有，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=22222263242k x k k x －－即：，解得：322=k 236,236+-=+=∴x y x y 或所求直线方程为． 回顾：直线与圆锥曲线相交问题，别忘判别式！【情景五】（师生讨论） 讨论3：已知椭圆13422=+y x ，直线m x y l +=4:，若椭圆上存在两个不同的点关于该直线对称，求m 的取值范围．【设计意图】经过讨论题组1的3个问题和讨论2的探究和解决过程，学生已经复习并巩固了直线与圆锥曲线位置关系的判断方法．这个问题是对该方法的进一步的应用，使学生熟练和运用这种思想，并用之培养学生数学分析问题、解决问题的能力．【问题解决】分析：若存在21,P P 关于直线l 成轴对称，则直线l 是线段21P P 的垂直平分线．要根据这几个条件，寻求它们与所求之间的联系，设计自己的解题方案，然后再实施解题方案． 求解：假设存在),(),,(222111y x P y x P 关于直线m x y +=4对称l P P ⊥21 ，4121-=∴P P k ，b x y l P P +-=41:21设可，代入13422=+y x 化简得：0481681322=-+-b bx x 4130)1239(6422<⇒>-=∴b b ∆ 设21P P 的中点为M ，则131241,134221b b x y b x x x M M M =+-==+= 将M 坐标代入直线m x y +=4得：m b 413-= 1313213132134413)413(2222<<-⇒<⇒<=⇒m m m b 回顾：先利用0>∆求出b 的范围，再找到m b 与的关系，从而求出m 的取值范围．法二：假设存在),(),,(222111y x P y x P 关于直线m x y +=4对称，它们的中点为),(00y x M则：)2(1243)1(124322222121--=+--=+y x y xm y m x m x y x y y x x x y y k 3,4,34143)2()1(000000002121-=-=⇒+==⇒-=-=--=-又得： )(413:)3,(21m x m y l m m M P P +-=+⇒--∴，代入椭圆方程得： 048169261322=-++m mx x ，令13402<>∆m 得： 1313213132<<-⇒m 法三： )3,(,m m M -- 在椭圆内 131321313213)3(4)(22<<-⇒<-+-⇒m m m【情景六】今天主要研究了直线与圆锥曲线的公共点的情况00),(02=++⇒⎩⎨⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B y A 或 （1）没有公共点 → 方程组无解（2）一个公共点 → 0,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交（3）两个公共点 → 0,0>∆≠A问题1：回顾整节课的过程，在讨论中需要注意什么问题？有哪些是容易出错的？ 问题2：直线与圆锥曲线的公共点可能有三个或者四个吗？【设计意图】小结主要分两个内容，一是方法上的总结，也就是本节课所研究的用方程的思想来解决直线与圆锥曲线公共点的问题，另一个是易错之处的强调，这个主要由学生提炼，加深印象．另外，对本节课开始所提出的直线与圆锥曲线公共点是否可能有3个或4个的疑问，加以解决。

关注学生解决问题后的反思和总结，可以培养学生表达交流数学的能力．【情景七】课后作业：1．已知点D(0,2)，椭圆1222=+y x ，点M 和N 在椭圆上，且满足DN DM λ=，求实数λ的取值范围．2．已知双曲线方程1222=-y x ，试问过点)1,1(A 能否作直线l ，使它与双曲线交于21,P P 两点，且点A 是线段21P P 的中点？如果存在，求出它的方程；如果不存在，试说明理由．【设计意图】巩固用方程的思想来解决直线与圆锥曲线位置关系的方法说明：一．多媒体设计问题均用Powerpoint放映，同时结合几何画板，使学生体会数形结合的思想．对于学生思考探究的情况，利用投影仪反馈，以充分利用课堂时间．二．设计后记1．本节课的设计紧扣解析几何用代数方法研究几何问题的本质，数形结合，以形助数，来研究直线与圆锥曲线的位置关系，确切地说是它们公共点的个数．通过对基本方法的巩固教学，使学生能把学习知识、应用知识、探索发现和培养良好的科学态度、思维品质更好的结合起来，熟练掌握位置关系的判断方法．在教学及探索过程中，利用几何画板等多媒体工具，使学生进一步体会以形助数的思想，激发学生的学习兴趣，培养学生的运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题、思考问题，分析问题，进一步提高他们分析和解决问题的能力．2．在进行具体的教学时，还应该注意以下几点：（1）在探索的过程中，注意突出用代数方法研究的思想，几何方法为辅．（2）在巩固方法的同时，让学生自己发现容易出错或忽略的地方，以便引起足够的重视．（3）讨论3所涉及的“点差法”，其应用具有一定的局限性，但是可以简化计算，前提是直线与圆锥曲线必须要有两个不同的交点．。