3.2.2对数函数教案

3.2.2对数函数

【学习要求】

1.理解对数函数的概念;

2.掌握对数函数的性质;

3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.

【学法指导】

通过画函数y＝log2x和y＝log x的图象,观察其图象特征及由图象归纳函数的性质,进一步培养由特殊到一般、由具体到抽象的思维方法,以及数形结合的数学思想,养成善于观察、归纳的学习习惯.

填一填：知识要点、记下疑难点

1.对数函数的概念:

函数y＝log a x (a>0,a≠1,x>0) 叫做对数函数.

2.a:

(1)对数函数的定义域是正实数集,即(0,＋∞) ,值域是实数集R;

(2)在定义域内,当a>1 时是增函数, 当0

(3)图象都通过点(1,0) .

研一研：问题探究、课堂更高效

探究点一对数函数的概念

问题1在现实生活的细胞分裂过程中,细胞个数y是分裂次数x的指数函数y＝2x,只要知道了x就能求出y.现在反过来研究,知道了细胞个数,如何确定分裂次数？

答：我们将y＝2x写成对数式, 即x＝log2y.

问题2在问题1得出的关系式中,x是y的函数吗？为什么？

答：在关系式x＝log2y中,x是y的函数,因为对于y在正实数集内的每一个确定的值,在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应.根据函数的定义,这个式子确定了正实数集上的一个函数关系,其中y是自变量,x是因变量.

问题3我们把函数x＝log a y(a>0,a≠1)叫做对数函数,但习惯上自变量用x表示,所以这个函数就写成y＝log a x.这样一来,你能给对数函数下一个定义吗？

答：函数y＝log a x(a>0,a≠1,x>0)叫做对数函数,它的定义域为(0,＋∞),值域是实数集R.

问题4你能说出在指数函数y＝2x和对数函数x＝log2y中,x,y两个变量之间的相同点及不同点吗？

答：在指数函数y＝2x和对数函数x＝log2y中,x,y两个变量之间的关系是一样的.所不同的只是在指数函数y＝2x里,x 当作自变量,y当作因变量,而在对数函数x＝log2y中,y当作自变量,x是因变量.

问题5函数y＝log a x与函数y＝a x(a>0,a≠1)的定义域、值域之间有什么关系？

答：对数函数的定义域是指数函数的值域,对数函数的值域是指数函数的定义域.

例1求下列函数的定义域(a>0,a≠1):

(1)y＝log a x2; (2)y＝log a(4－x).

解：(1)由x2>0,得x≠0,∴函数y＝log a x2的定义域是{x|x≠0};

(2)由4－x>0,得x<4, ∴函数y＝log a(4－x)的定义域是{x|x<4}.

小结：此题主要利用对数函数y＝log a x的定义域(0,＋∞)求解.

跟踪训练1求下列函数的定义域(a>0,a≠1):

(1)y＝log a(9－x2); (2)y＝log2(16－4x).

解：(1)由9－x2>0,得－3

(2)由16－4x>0,得4x<16＝42,由指数函数的单调性得x<2, ∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}.

探究点二对数函数的图象及性质

问题1如何作出函数y＝log2x及y＝log x的图象？

答：作图步骤:

列表描点连线:

问题2观察作出的函数y ＝log 2x 及y ＝log x 的图象,指出这两个函数有哪些相同性质和不同性质？

答：相同性质:两图象都位于y 轴右方,都经过点(1,0),这说明两函数的定义域都是(0,＋∞),且当x ＝1时,y ＝0.

不同性质:函数y ＝log 2x 的图象是上升的曲线,y ＝log 12

x 的图象是下降的曲线,这说明前者在(0,＋∞)上是增函数,后者在(0, ＋∞)上是减函数.

问题3 从描出的点及作出的图象中能看出函数y ＝log 2x 及y ＝log 12

x 的图象的对称关系吗？ 答：两个函数的图象关于x 轴对称.

问题4由具体的函数y ＝log 2x 及y ＝log 12

x 的性质,你能抽象出对数函数y ＝log a x (a>0,a≠1,x>0)的哪些性质？ 答：对数函数y ＝log a x(a>0,a≠1)具有下列性质:

(1)对数函数的定义域是正实数集,即(0,＋∞);值域是实数集R;

(2)在定义域内,当a>1时是增函数,当0

(3)图象都通过点(1,0).

探究点三 对数函数性质的应用

例2(1)比较log 23与log 23.5的大小;

(2)已知log 0.7(2m)

解：(1)考察函数y ＝log 2x,它在区间(0,＋∞)上是增函数.

∵3<3.5,∴log 23

(2)考察函数y ＝log 0.7x,它在(0,＋∞)上是减函数.

因为log 0.7(2m)

所以2m>m －1>0.由2m>m －1 和m －1>0 得m>1.

小结：比较两个同底数的对数大小,首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性;然后比较真数大小,再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的,需要对底数a 进行讨论.

跟踪训练2 比较下列各组数中两个值的大小:

(1)log 23.4,log 28.5;(2)log 0.31.8,log 0.32.7;

(3)log a 5.1,log a 5.9(a>0,a≠1).

解：(1)考察对数函数y ＝log 2x,因为它的底数2>1,

所以它在(0,＋∞)上是增函数,于是log 23.4

(2)考察对数函数y ＝log 0.3x,因为它的底数0<0.3<1,

所以它在(0,＋∞)上是减函数,

于是 log 0.31.8>log 0.32.7;

(3)当a>1时,y ＝log a x 在(0,＋∞)上是增函数,

于是log a 5.1

当0

于是log a 5.1>log a 5.9.

例3证明:函数f(x)＝log 2(x 2＋1)在(0,＋∞)上是增函数.

证明：设x 1、x 2∈(0,＋∞),且x 1

则f(x 1)－f(x 2)＝log 2(x 21＋1)－log 2(x 22＋1),

∵0

又∵y ＝log 2x 在(0,＋∞)上是增函数,

∴log 2(x 21＋1)

∴函数f(x)＝log 2(x 2＋1)在(0,＋∞)上是增函数.

小结：证明函数的单调性只能利用单调函数的定义,这与判断函数的单调性是有区别的.