对数函数优秀教案

《对数函数》优秀教案
一、教材分析
对数函数是在学习指数函数、对数的基础上引入的，由此我制定了这样的教学目标。

1、通过指数与对数的联系，掌握对数函数的概念、图象、性质并能简单应用。

2、在教学过程中，通过数形结合、分类讨论等数学思想方法，发展学生的逻辑思维能力，提高他们的信息检查和整合能力。

教学重点：对数函数的概念、图象和性质．
教学难点：由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质。

二、指导思想和教学方法
利用多媒体辅助教学，通过讨论启发学生归纳对数函数的概念图像及性质，同时在教学中渗透“类比联想”、“数形结合”及“分类讨论”的数学思想方法。

三、教学过程
1、提出问题
我们来看下上节课的2.1.2的例8：截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？
1999年底，我国人口约13亿；
经过1年（即2000年），人口数为13+13*1%=13*（1+1%)(亿）
经过2年（即2001年），人口数为13*（1+1%）+13*（1+1%）*1%=13*（1+1%）2（亿）
经过3年（即2002年），人口数为13*（1+1%）2+13*（1+1%）2*1%=13*(1+1%)3（亿）。

所以经过x 年，人口数为y=x %)11(*13+=x 01.1*13（亿）
当x=20时，1601.1*1320≈=y （亿）
所以经过20年后我国人口数最多为16亿。

咱们上节课的例题，我们能从关系式x y 01.1*13=中，算出任意一个年头x 的人口总数，那反之，如果问，哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿，该如何解决？ 上述问题实际上就是从x x x 01.113
30,01.11320,01.11318===，...中分别求出x ，即已知底数和幂的值，求指数这是我们这节课将要学习的对数函数问题，
通过我们学习的对数表示方法，咱们可以把上面的式子表示成：x y =01.1log ，其中
y=人口数/13,y 是自变量，x 是y 的函数，但习惯上，用x 表示自变量，y 表示它的函数，因此对上式进行改写：x y 01.1log =。

说明：这里，以学生熟悉的问题为背景，以旧有知识为基点，顺利切入学生的最近发展区，使学生亲历了对数函数模型的形成过程，初步理解对数函数的概念，感受研究对数函数的意义。

2、探究新知
根据上面的讨论，引出对数函数的定义。

（一般地，函数log (0,1)a y x a a =>≠叫做对数函数，它的定义域是(0,)+∞）
在类比联想的基础上，进行以下探究：
探究1：函数log a y x =与函数x y a =(0,1)a a >≠的定义域、值域之间有什么关系？ 说明：定义域、值域是函数的两大要素，再加上对数函数和指数函数的关系，因此，有必要对此问题进行讨论。

这里，让学生探究并汇报问题的结果（log a y x =的定义域和值域分别是x y a =的值域和定义域。

）（显示）通过比较，进一步感受指数函数与对数函数的内在联系。

探究2：描点作图，画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，给出它们之间的关系.
2(1) 2,log ;x y y x == 12
1(2) ,log .2x
y y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 说明：图像是研究、验证性质的工具之一，也是函数的表示方法之一。

这里，要求学生自主绘出2log y x =，12log y x =的图像（指数函数的图像给出）。

目的有三：一是培养
学生的动手能力，二是让学生进一步感受指数函数与对数函数的关系，三是为下面学生探索对数函数的性质奠定基础。

在学生观察、讨论或动手翻折的基础上得出图像之间的关系：关于直线y x =对称，并由特殊到一般，得出（显示）：当0,1a a >≠时，函数x y a =与log a y x =的图像关于直线y x =对称。

根据探究1、2的讨论，适时给出反函数的概念（不展开讲述），指出指数函数和对数函数互为反函数。

（我们把x y a =称为log a y x =的反函数，log a y x =称为x y a =的反函数，即它们互为反函数。

）
一般地，函数()y f x =的反函数记作：1()y f x -=.
探究3：观察图形，类比联想指数函数的性质，你发现了对数函数的那些性质？
说明：这是本节课的重点。

教学中，我准备这样处理：
（1）留给学生足够的时间进行探索、交流、讨论。

探索性质可以借助学生自己绘制的图像，也可利用老师给出的图像。

（显示）
（2）引导学生在类比联想指数函数的图像特征和函数性质基础上，由特殊到一般，充分发表意见，并与周围的人交流思维的过程和结果。

通过观察、分析、类比、交流讨论，使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识得以明朗、一致。

（3）让学生把自己总结出的结果和图像“整合”成知识图表，使学生头脑中的知识进一步条理化、系统化。

表：对数函数的图像与性质
1
a>01
a
<<
图象
图象特1、图象的位置：在y轴的右侧；
2、图象过定点：（1，0）
3、图象向上无限延伸，向下无限接近y3、图象向下无限延伸，向上无限接近y
(1,0) x
y
(1,0)
x
y
征 轴.
轴. 4、随着x 增大，图象是上升的 4、随着x 增大，图象是下降的
5、1x >时，函数图象在x 轴的上方； 01x <<时，函数的图象在x 轴的下方；
5、1x >时，函数图象在x 轴的下方； 当01x <<时，函数的图象在x 轴的上方； 函
数
性
质 定义域 (0,)+∞ 值 域 R 单调性 单调递增 单调递减
奇偶性 非奇非偶 探究4：再仔细观察对数函数图象，你还有其他新的发现吗？
在学生深入观察、讨论、交流的基础上，总结自己的发现，这里主要指出两点发现：
（1）从特殊到一般，得出：函数log a y x =与函数1log a
y x =的图象关于x 轴对称；
（2）（2）底数a 的变化对对数函数图象的影响：当a>1时，a 越大，图像在第一象限内曲线越靠近x 轴；在第四象限内的曲线越靠近y 轴。

当0<a<1时，a 越小，图像在第四象限内曲线越靠近x 轴；在第一象限内的曲线越靠近y 轴。

对第二个发现，在学生充分发言后，教师通过课件演示，进一步印证学生的发现，并给学生更加直观的感受。

3、例题讲述
例1 求下列函数的定义域
（1）0.2log (4);y x =- （2）log 1(0,1).a y x a a =->≠
说明：通过例1要让学生明确，求解对数函数定义域问题的关键是要抓住“真数大于零”，当真数为某一代数式时，可将其看作一个整体单独提出来求其大于零的解集即该函数的定义域
例2 利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小
⑴ log 23.4 , log 28.5
⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a ＞0 , a ≠1 )
例3 比较下列各组中两个值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
说明：例2例3考察学生利用对数函数性质解决问题的能力，讲解时，先让学生回顾利用指数函数比较大小时的处理方法，然后引导学生采用类似的方法解决本题。

即：如果两个对数值同底，应构造一个同底的对数函数，利用它的单调性直接判断；如果底不同，应构造两个对数函数，借助两个对数函数的单调性和中间值“1”或“0”进行判断。

本题解决后，让学生反思明白，要想利用性质解决问题，关键要做到“脑中有图”，以“形”促“数”；同时，形成这类问题的一般解题流程：“识别――判断――比较”。

其中，识别，指“模式识别”，这也是波利亚所提倡的一种重要数学解题思想。

在教学中渗透这样的数学思想，是发展学生数学素质的一项重要的基本训练。

4、巩固练习
根据课堂具体情况，处理课后相关练习题。

5、课堂小结
主要请学生总结并说出本节课学到了什么？还有哪些需要加强的地方？
6、布置作业
（1）P69 2，3.
（2）课后思考题：（p70，ex9）如图，已知函数
log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====的图像分别
是1234,,,C C C C ,试判断1，1，a ，b ，c ，d 的大小。

说明：设置这样的两道课后思考题，使得课堂教
学得以很好的延续与深入。