2020届四川省凉山州高考数学一诊试卷(理科)(解析版)
2020年四川省凉山州高考一诊试卷数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2}，B={-1，1，a+1}，且A⊆B，则a=（）A. 1B. 0C. -1D. 22.在复平面内，复数z=（1+i）（2-i）对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.抛物线x2+3y=0的准线方程为（）A. x=B. x=-C. y=D. y=-4.已知2||=||，（-）⊥，则与的夹角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5.如图所示的程序框图，若输出值y=1，则输入值x的集合是（）A. {0，1}B. {1，2}C. {0，2}D. {1}6.污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一．凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（）（精确到小数点后2位）A. 0.13B. 0.15C. 0.20D. 0.227.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=A sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8.△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，b cos A=sin B，则A=（）A. B. C. D.9.已知平面α，β，γ和直线l，则“α∥β”的充分不必要条件是（）A. α内有无数条直线与β平行B. l⊥α且l⊥βC. γ⊥α且γ⊥βD. α内的任何直线都与β平行10.函数f（x）=，其图象的对称中心是（）A. （0，1）B. （1，-1）C. （1，1）D. （0，-1）11.已知点M为直线x+y-3=0上的动点，过点M引圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则点P（0，-1）到直线AB的距离的最大值为（）A. B. C. D.12.若函数f（x）=x2-ax+b ln x在区间（1，2）上有两个极值点，则b的可能取值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知的展开式中的常数项为______（用数字答）．14.已知0＜α＜，tanα=，则sinα+cosα=______．15.在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是、、，则小球体积的最大值为______．16.如图，PT和AB分别是函数f（x）=x3-3x过点P（2，2）的切线（切点为T）和割线，则切线PT的方程为______；若A（a，f（a）），B（b，f（b））（b＜a＜2），则a+b=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=1，S3=9．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a2n-1+a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示．（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求x（x＜10，x∈N）的值；（2）从样本中任意抽取3名学生的成绩，若至少有两名学生的成绩相同的概率大于，则该班成绩判断为可疑．试判断甲班的成绩是否可疑？并说明理由．19.在△ABC中（图1），AB=5，AC=7，D为线段AC上的点，且BD=CD=4，以BD为折线，把△BDC翻折，得到如图2所示的图形，M为BC的中点，且AM⊥BC，连接AC．（1）求证：AB⊥CD；（2）求二面角B-AC-D的余弦值．20.已知函数f（x）=（e=2.71828…为自然对数的底数）．（1）若a≠0，试讨论f（x）的单调性；（2）对任意x∈（0，+∞）均有（x2+1）e x-ax3-x2-ax≥0，求a的取值范围．21.已知椭圆C：的离心率为，且与双曲线有相同的焦点•（l）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M满足，点P（1，），若直线MP斜率为，求△ABP面积的最大值及此时直线l的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（1，0），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρcosθ+ρsinθ-1=0．（1）判断点M与直线l的位置关系；（2）设直线l与曲线C：（t为参数，t∈R）相交于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．23.已知f（x）=|x+a|．（1）若a=2，求不等式f（2x-2）＜3的解集；（2）若f（x）+f（x-2）≥m2+m对任意，x∈R恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合A={1，2}，且A⊆B，所以A是B的子集，则A中有的元素，B中都有，则2∈B，因为B={-1，1，a+1}，且需要满足集合中元素的互异性，所以2=a+1，即a=1故选：A．通过集合包含关系，可知元素的关系，可知2=a+1，解出即可．本题考查集合包含关系，属于基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的运算及其几何意义，属基础题．化简复数z后可得其对应点为（3，1），从而可解.【解答】解：z=（1+i）（2-i）=3+i，故z对应的点在第一象限，故选：A．3.【答案】C【解析】解：抛物线x2+3y=0即：x2=-3y的准线方程为：y=．故选：C．直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．4.【答案】C【解析】解：由2||=||，（-）⊥，所以（-）•=0，即-•=0，所以•==，所以cosθ===；又θ∈[0°，180°]，所以与的夹角是θ=60°．故选：C．根据平面向量的数量积，计算夹角即可．本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．5.【答案】C【解析】解：根据程序框图知，该程序运行后输出函数y=；当x≥1时，令y=log2x=1，解得x=2；当x＜1时，令y=-1=1，解得x=0；综上知，输出值y=1时，输入值x的集合是{0，2}．故选：C．根据程序框图知该程序运行后输出分段函数，利用分类讨论法即可求出结果．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了分段函数应用问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：设年平均增长率为x，则150（1+x）2=216，∴=1.44，则1+x=1.20，得x=0.20．∴这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为0.20．故选：C．设年平均增长率为x，则150（1+x）2=216，由此求解x值得答案．本题考查根据实际问题选择函数模型，正确理解题意是关键，是基础题．7.【答案】B【解析】解：设f（x）的周期为T，根据函数的图象，可得：=-，得T=2π，由=π，可得ω=1．∵A＞0，函数的最小值为-2，∴A=2．函数表达式为f（x）=2sin（x+φ），又∵当x=时，函数有最小值，∴+φ=-+2kπ（k∈Z），解之得φ=-+2kπ（k∈Z），∵|φ|＜，∴取k=1，得φ=，因此，函数的表达式为f（x）=2sin（x+），由此可得函数g（x）=2sin x=f（x-），∴将函数f（x）的图象右移个单位长度，即可得到g（x）=2sin x的图象．故选：B．由函数f（x）的最值求出A，求出函数的周期并利用周期公式算出ω．再由当x=时函数有最小值，建立关于φ的等式解出φ，从而得到f（x）．最后根据函数图象平移的公式加以计算，可得答案．本题给出y=A sin（ωx+φ）的部分图象，确定其解析式并讨论函数图象的平移．着重考查了三角函数的图象与性质、函数图象平移公式等知识，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：∵a=，b cos A=sin B，∴b cos A=a sin B∴由正弦定理可得sin A sin B=sin B cos A，∵B是三角形内角，sin B≠0，∴tan A=，∴由A是三角形内角，可得：A=．故选：D．利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由α内有无数条直线与β平行，不能得到α∥β，故A不是α∥β的充分条件；由l⊥α且l⊥β，得α∥β，反之，由α∥β，不一定有l⊥α且l⊥β，故B是α∥β的充分不必要条件；由γ⊥α且γ⊥β，不能得到α∥β，故C不是α∥β的充分条件；由α内的任何直线都与β平行，可得α∥β，反之，由α∥β，可得α内的任何直线都与β平行，故D是α∥β的充分必要条件．故选：B．由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及充分必要条件的判定逐一核对四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查充分必要条件的判定，是基础题．10.【答案】D【解析】解：f（x）===-1，设g（x）=，则g（x）是奇函数，g（x）关于（0，0）对称，则f（x）=g（x）-1，则f（x）关于（0，-1）对称，故选：D．利用诱导公式，进行化简，先构造奇函数，然后进行平移即可．本题主要考查函数对称性的应用，根据条件构造一个奇函数，利用函数平移是解决本题的关键．比较基础．11.【答案】D【解析】解：设M（a，3-a），切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），设直线MA上任意一点Q（x，y），由，得（x-x1，y-y1）（x1，y1）=0，化简得xx1+yy1=1，同理直线MA的方程为xx2+yy2=1，因为（a，3-a）都在直线MA，MB上，且A，B都满足上面两式，所以直线AB的方程为：ax+（3-a）y=1，由点P（0，-1）到直线AB的距离d=令a-4=t，a=t+4，所以d====，故选：D．求出切线的方程，结合切点弦的性质，求出直线AB，利用距离公式d，求出最大值即可．考查直线与圆的相切，切点弦问题，同时考查了求直线与圆的最值问题，中档题．12.【答案】A【解析】解：，令g（x）=x2-ax+b，依题意，函数g（x）在（1，2）上有两个零点，则，则必有4b＜a2＜16，即b＜4．故选：A．求导可知，函数g（x）=x2-ax+b在（1，2）上有两个零点，进而得到a，b的关系，由此即可得解．本题考查利用导数研究函数的极值，同时也涉及了二次函数的零点分布问题，难度不大．13.【答案】10【解析】解：∵的通项是=C5r x15-5r，∵要求展开式中的常数项，∴15-5r=0，∴r=3∴展开式中的常数项是C53=10，故答案为：10首先写出二项式的通项，把通项整理成最简形式，根据要求展开式的常数项，得到x的指数等于0，求出r的值，写出结果．本题考查二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项，注意对于通项的整理，不管要求那一项，一般都写出通项．14.【答案】【解析】解：∵0＜α＜，tanα=，∴cosα==，sinα==，∴sinα+cosα=．故答案为：．由已知利用同角三角函数的基本关系式即可求解．本题主要考查了同角三角函数的基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，由题意得：a=，b=，c=1，由题意得小球的最大直径为1，设小球的半径为r，则2r=1，所以r=，所以小球的体积V==，故答案为：小球与最小的棱长垂直的相对面相切时体积最大，且这时最小的棱长为小球的直径，进而求出小球的体积的最大值．考查球内接多面体的最大体积的求法，及球的体积公式，属于基础题．16.【答案】y=2 -2【解析】解：由直线PT∥x轴，可得直线PT的方程为y=2，由P（2，2），A（a，a3-3a），B（b，b3-3b）三点共线，可得k PA=k PB，由k PA===（a+1）2，同样可得k PB=（b+1）2，即有（a+1）2=（b+1）2，因为a≠b，可得a+1+b+1=0，可得a+b=-2．故答案为：y=2，-2．由图象可得直线PT∥x轴，可得直线PT的方程，再由三点P，A，B共线可得k PA=k PB，由直线的斜率公式，化简可得所求值．本题考查导数的几何意义和三点共线的条件，考查化简运算能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，由a1=1，S3=9，可得3+×3×2d=9，解得d=2，则a n=1+2（n-1）=2n-1；（2）b n=a2n-1+a2n=2（2n-1）-1+4n-1=8n-4，则前n项和T n=4+12+…+（8n-4）=n（4+8n-4）=4n2．【解析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的求和公式计算可得d，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=a2n-1+a2n=2（2n-1）-1+4n-1=8n-4，由等差数列的求和公式可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）样本中甲、乙两班的平均成绩分别为，，=（70×3+80×3+90×2+100×2+5×3+3+7×6）=89，=（70×2+80×3+90×4+100+8×2+3×2+1+2+4+5+x+9）=84+，∵=，∴84+=89，解得x=7．（2）甲班的成绩可疑．理由如下：甲班成绩相同的有：87分3人，75分2人，97分2人，∴从样本中抽取3名学生的成绩中至少有两名学生的成绩相同的概率为：P==，∴甲班的成绩可疑．【解析】（1）分别求出样本中甲、乙两班的平均成绩，，由=，能求出x．（2）甲班成绩相同的有：87分3人，75分2人，97分2人，从样本中抽取3名学生的成绩中至少有两名学生的成绩相同的概率为P==，从而甲班的成绩可疑．本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、排列组合等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（1）证明：在图1中有：AC+7，BD=CD=4，∴AD=3，在△ABD中，AB=5，AD=3，BD=4，∴AD2+BD2=AB2，∴BD⊥CD，在图2中，△ABC中，AM⊥BC，M为BC的中点，∴AB=AC=5，在△ABD中，AC=5，CD=4，AD=3，∴AC2=CD2+AD2，∴CD⊥AD，翻折后仍有BD⊥CD，∵AD∩BD=D，∴CD⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB．（2）解：由（1）得CD，BD，AD两两垂直，以D为原点，DB，DA，DC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，3，0），B（4，0，0），C（0，0，4），=（4，-3，0），=（0，-3，4），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取y=4，得=（3，4，3），平面ACD的法向量=（1，0，0），∴cos＜＞==．∴二面角B-AC-D的余弦值为．【解析】（1）推导出BD⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面ABD，由此能证明CD⊥AB．（2）以D为原点，BD，AD，CD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，，当a＞0时，令f′（x）＞0解得x＞1；令f′（x）＜0解得x＜1且x≠0；当a＜0时，令f′（x）＞0解得x＜1且x≠0；令f′（x）＜0解得x＞1；∴当a＞0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（-∞，0），（0，1）单调递减；当a＜0时，f（x）在（-∞，0），（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；（2）因为x∈（0，+∞），所以x3+x＞0，故在（0，+∞）上恒成立，设，则 a≤g（x）min，，令 g′（x）=0，则 x=1，∴函数 g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，即实数 a 的取值范围为．【解析】（1）求导后，分 a＞0 及 a＜0 讨论即可；（2）依题意，在（0，+∞）上恒成立，设，则 a≤g（x）min，求出函数 g（x）的最小值即可． 本题考查函数的单调性，极值及最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档 题．21.【答案】解：（1）由题意，双曲线的焦点（±1，0）所以由题意知椭圆中：c=1，e==，b2=a2-c2，解得：a2=4，b2=3，所以椭圆的方程为：；（2）∵，∴M 为线段 AB 的中点，又 kMP==kPO，1）当 M 为坐标原点时， ①当 AB 的斜率不存在时，此时，A，B 为短轴的两个端点，S△ABP= 2b•|xP|==，②当 AB 的斜率存在时，设的斜率为 k，设 A（x，y），B（x'，y'），则直线 AB：y=kx（k ）代入椭圆方程整理：（3+4k2）x2-12=0，x+x'=0，xx'= ，∴|AB|===4，P 到直线 AB 的距离 d= ，所以 SABP=•|AB|•d=2=，令 t=6-12k，∴ ==，∵要得面积 S△ABP 的最大值，则 t＞0，t+ ≥24，∴=3，这时 t= ，即 t=12，∴6-12k=12，k=-时等号成立，∴（S△ABP）max=2 ，直线方程为：y=-x． 2）当 M 不为原点时， 由 kMP=kOP=，∴M，O，P 三点共线， ∴kMO=，设 A（x，y），B（x'，y'），M（x0，y0），lAB 的斜率为：kAB，x+x'=2x0，y+y'=2y0， =，第 11 页，共 13 页因为 A，B 在椭圆上：，∴+=0，∴1+=0，∴1+ •kAB=0，即 1+=0，∴kAB=-，设直线 lAB：y=-x+m 代入椭圆整理得：x2-mx+m2-3=0，△=m2-4（m2-3）＞0，m2＜4，x+x'=m， xx'=m2-3∴|AB|==•，P 到直线 AB 的距离为：d==2 ，∴S△ABP==••2=•，令 g（m）=（2-m）3（2+m），（-2＜m＜2），g'（m）=-4（2-m）2（m+1），m∈（-2，-1），g'（m）＞0，g（m）单调递增，m∈（-1，2），g'（m）＜0，g（m）单调递减，所以 g（-1）max=27，∴S△ABP）max=，∴直线AB 的方程：y=- -1，综上所述，面积的最大值为，直线 AB 的方程：y=- -1．【解析】（1）离心率及焦点及 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程； （2）分 M 是原点和不是原点两种情况，设直线 AB 的方程，与椭圆联立，求出两根之 和及之积，求出弦长 AB，及 P 到直线 AB 的距离， 求出面积的表达式，用均值不等式或导数的方法，求出面积最大时的直线 AB 的方程． 考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．22.【答案】解：（1）l 在平面直角坐标系的方程为 x+y-1=0，将 M（1，0）代入得 1+0-1=0， ∴点 M 在直线 l 上． （2）曲线 C 的直角坐标系为 y2=4x，直线 l 的参数方程为，（t 为参数），将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y2=4x，得： ，∴点 M 到 A，B 两点的距离之积为：|t1t2|=8．第 12 页，共 13 页【解析】（1）l 在平面直角坐标系的方程为 x+y-1=0，将 M（1，0）代入成立，从而点 M 在直线 l 上．（2）曲线 C 的直角坐标系为 y2=4x，直线 l 的参数方程为，（t 为参数），将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y2=4x，得，由此能求出点 M 到 A，B 两点的距离之积． 本题考查点与直线的位置关系的判断，考查点到两点的距离之积的求法，考查参数方程、 直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：（1）当 a=2 时，f（2x-2）＜3 即|2x-2+2|＜3，解得，故所求不等式的解集为；（2）f（x）+f（x-2）=|x+a|+|x+a-2|≥|x+a-x-a+2|=2， ∴只需 2≥m2+m 成立即可， ∴-2≤m≤1，即实数 m 的取值范围为[-2，1]．【解析】（1）将 a=2 代入，解绝对值不等式得到答案； （2）由绝对值不等式的性质可知，只需 2≥m2+m 成立即可，由此得到 m 的取值范围． 本题考查绝对值不等式的解法及不等式的恒成立问题，属于基础题．第 13 页，共 13 页。
专题25 椭圆(解答题)(新高考地区专用)(解析版)
专题25 椭 圆（解答题）1．已知椭圆Γ：()22211y x a a+=>与抛物线C ：()220x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆于A ，B 两点，且1AB =． （1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 交椭圆Γ于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值．【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试（文）【答案】（1）Γ的方程为2214y x +=，C的方程为2x =；（2）最大值为1． 【解析】（1）因为1AB =，所以不妨设A 的坐标为1(,)22p --，B 的坐标为1(,)22p-， 所以有：2222114414p a p a ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以24a =，p = 所以椭圆Γ的方程为2214y x +=，抛物线C的方程为2x =；（2）由（1）可知F的坐标为，设直线l的方程为y kx =O 到MN 的距离为d ，则d ==，联立2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 可得()22410k x ++-=，则()22414k k MN +==+，1OMNS==≤=，当且仅当22k =时取等号，故OMN 面积的最大值为1．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1： 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1(－2，0)，且点P (0，2)在椭圆C 1上． （1）求椭圆C 1的方程；（2）设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝8x 相切，求直线l 的方程 【试题来源】宁夏固原市隆德县2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）y =+y x =- 【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(2,0)F -，所以2c =， 点(0,2)P 代入椭圆22221x y a b+=，得241b =，即2b =，所以2228a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为22184x y +=；（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4280k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以△2222164(12)(28)0k m k m =-+-=整理得22840k m -+=①，由28y x y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(28)0k x km x m +-+=，因为直线l 与抛物线2C 相切，所以△222(28)40km k m =--=，整理得2km =②，综合①②，解得k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以直线l的方程为y =+y x =- 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．3．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>左、右焦点分别为1F 、2F ．设P是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，212PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB 的面积． 【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期一模考试数学（三校生）试题【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据条件列出关于,,a b c 的方程求解；（2）设直线x y =，与椭圆方程联立，11212AOBSOF y y =⨯⨯-，代入根与系数的关系，求三角形的面积． 【解析】（1）由条件可知2222212c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程是2214x y +=；（2）设直线:l x y =-()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与椭圆方程联立2214x y x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得2510y --=，125y y +=，1215y y -=，11212AOBSOF y y =⨯⨯-==4．椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-(0k ≠)与C 交于A ，B 两点（异于点P ）．（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值．【试题来源】四川省凉山州2020-2021学年高三第一次诊断性检测（理）【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析，定值为1． 【解析】（1）由题意得1c b ==，则2223a b c =+=，∴椭圆方程为2213xy +=；（2）解法一（常规方法)：设()()1122,,,A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简可得()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=，直线1)20(y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A B 、两点，0,∴∆>即()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->，解得01k <<， 由根与系数关系()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++， ()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+()()121212222kx x k x x x x +-+= ()()226621121211211212k k k k kk k k k-+--===--，∴直线PA PB 、得斜率和为定值1． 解法二（构造齐次式)：由题直线1)20(y kx k k =+-≠恒过定点()2,1-- ①当直线AB 不过原点时，设直线AB 为()()11*mx n y +-=， 则221mx n --=，即12m n +=-有12m n =--，由2213x y +=有()()2231610y x y +-+-=，则()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=，整理成关于,1x y -的齐次式： ()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=，进而两边同时除以2x ，则()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令1y k x -=， 则121216116213636PA PBn y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++，②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为()()00001,,,,2y x A x y B x y =--， 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯=， 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1．【名师点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的条件，确定出,b c 的值，进而求得2a 的值，得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，根与系数关系求得两根和与两根积，利用斜率公式证得结果．5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>()2,1A ．（1）求C 的方程；（2）点,M N 在C 上，且AM AN ⊥，证明：直线MN 过定点．【试题来源】河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22163x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意得222222411a b c c e a a b⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y+=．（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，AM AN ⊥，()()()()121222110AM AN x x y y ∴⋅=--+--=，整理可得()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-…①当直线MN 斜率k 不存在时，显然AM AN ⊥不成立，则可设:MN y kx m =+，联立2226y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124260k x kmx m +++-=， 由()()222216412260k m km∆=-+->得22630k m -+>，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，()121222212m y y k x x m k ∴+=++=+， ()()22221212122612m k y y k x x km x x m k-=++++=+， 代入①式化简可得()()2481310k km m m ++-+=，即()()212310k m k m +-++=，12m k ∴=-或213k m +=- 则直线方程为()1221y kx k x k =+-=-+或2121333k y kx x k +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， ∴直线过定点()2,1或21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,1和A 点重合，故舍去，∴直线MN 过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到根与系数关系的形式； ③利用根与系数关系表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(2,3)A ，右顶点为B ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作两条直线分别交椭圆于点M ，N 满足直线AM ，AN 的斜率之和为3-，求点B 到直线MN 距离的最大值．【试题来源】江苏省常州市四校联考2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）2211612x y +=；（2）最大值为2． 【解析】（1）由题2222212491b c a c e a a b ⎧⎪+=⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的标准方程为2211612x y +=；（2）若直线MN 斜率不存在，设0000(,),(,)M x y N x y -，则220000001161233322x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨---⎪+=-⎪--⎩，解得0040x y =⎧⎨=⎩，此时,M N 重合，舍去．若直线MN 斜率存在，设直线1122(,),(,)MN y kx t M x y N x y =+：，，联立2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(43)84480k x ktx t +++-=，所以21212228448,4343kt t x x x x k k -+=-=++， 由题意121233322y y x x --+=---，即121233322kx t kx t x x +-+-+=--- 化简得1212(23)(29)()4240.k x x t k x x t ++--+-+=因此2224488(23)(29)()4240.4343t ktk t k t k k -++----+=++ 化简得2286860k kt t k t ++---=，即(23)(42)0k t k t +-++= 若230k t +-=，则23t k =-+，直线MN 过点(2,3)A ，舍去， 所以420k t ++=，即42t k =--，因此直线MN 过点(4,2)P -． 又点(4,0)B ，所以点B 到直线MN 距离最大值即2BP =，此时2MN y =-：，符合题意．所以点B 到直线MN 距离最大值为2【名师点睛】易错点为需讨论直线MN 斜率是否存在，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据根与系数关系，求得1212,x x x x +⋅的表达式，再代入题干条件，化简整理，才能求得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左顶点为A ，右焦点F ，3AF =．过F 且斜率存在的直线交椭圆于P ，N 两点，P 关于原点的对称点为M ． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在常数λ，使得12k k λ=恒成立？若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（理）【答案】（1）22143x y +=，（2）3λ= 【解析】（1）因为离心率为12，所以12c e a ==，又3AF =，所以3a c +=，解得2a =，1c =，又222c a b =-，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知()1,0F ，()2,0A -，设直线PN 的方程为1x my =+，()11,P x y ，()22,N x y ， 因为M 与P 关于原点对称，所以()11,M x y --，所以1112y x k =-，2222y k x =+，若存在λ，使得12k k λ=恒成立，所以121222y y x x λ=-+， 所以()()122122y x y x λ+=-，两边同乘1y 得()()21221122y x y y x λ+=-，因为()11,P x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，所以()()2112113223144x x x y -+⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 所以()()()()112211322224x x x y y x λ-++=-，当12x ≠时，则()()12213224x x y y λ-++=，所以()21212136124x x x x y y λ--+-=①；当12x =时，M 与A 重合，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()2234690m y my ++-=，所以212212934634y y m my y m -⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，所以()212128234x x m y y m +=++=+， ()222121212412134m x x m y y m y y m -=+++=+， 代入①得22221236489124343434m m m m λ-+--+-=+++，整理得10836λ-=-，解得3λ=8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>1F 、2F分别为椭圆E 的左、右焦点，M 为E 上任意一点，12F MF S △的最大值为1，椭圆右顶点为A ． （1）求椭圆E 的方程；（2）若过A 的直线l 交椭圆于另一点B ，过B 作x 轴的垂线交椭圆于C （C 异于B 点），连接AC 交y 轴于点P ．如果12PA PB ⋅=时，求直线l 的方程． 【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考【答案】（1）2212x y +=；（2）:22x l y =-或22x y =-+．【解析】（1）当M 为椭圆的短轴端点时，12F MF S △取得最大值即1212S c b =⨯⨯=，因为c a =，222a b c =+，解得a =1b =，1c =，所以椭圆方程为2212x y +=．（2）)A，根据题意，直线l 斜率存在且不为0，设直线(:l y k x =，()00,B x y，联立(2212y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得()222212420kxx k +-+-=，20212x k =+2204212k k -=+即)22221,1212k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，由题意得)222112k C k ⎛- +⎝⎭，又直线(:AC y k x =-，故()P ，())22212,12k PA PB k ⎛⎫- ⎪⋅=⋅ ⎪+⎝⎭42241021122k k k +-==+， 即4281850k k +-=解得252k =-（舍）214k =，故12k =±，直线:2x l y =或2x y =-+． 9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(1,0)F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，判断AB DF是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测【答案】（1）22143x y +=；（2）是，4． 【解析】（1）依题意得22224,1,2.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y+=； （2）AB DF是定值．由已知得直线:(1)l y k x =-． 由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，消去y ， 整理得()22224384120k x k x k +-+-=． 所以()()()2222284434121441440k k k k ∆=--+-=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 所以()()()()222222121121214AB x x y y kx x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦()()()222222222441212181434343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-+⎛⎫ ⎪⎢⎥=+-= ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭， 则()2212143k AB k +=+，因为()212122286224343k ky y k x x k k k ⎛⎫-+=+-=-= ⎪++⎝⎭，所以线段AB 的中点为22243,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． （1）当0k =时，AB 4=，1DF =．所以4AB DF=．（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2223144343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2243k x k =+，即22,043k D k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以()22223114343k k DF k k +=-=++， 所以()()22221214343143k AB k DF k k ++==++，综上所述，AB DF 为定值4．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于联立直线l 与椭圆方程，根据根与系数关系以及弦长公式表示出AB ，再由题中条件，求出DF ，即可得出AB DF的值．（求解时要注意讨论斜率k 的取值）10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A -，()2,0B ，且离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点E ，且与x 轴交于点G （E ，G 不重合），ET x ⊥轴，垂足为T ，求证：TA GA TBGB=．【试题来源】北京市东城区2021届高三上学期期末考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由题意可得，222212a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由题设知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()2223484120k x kmx m +++-=．依题意，有()()222264163430k m k m∆=-+-=，解得2234m k =+．设()1,0G x ，()00,E x y ，则1m x k =-，024434km kx k m-==-+． 因为ET x ⊥轴，所以4,0k T m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4242224242kTA k m m k m TB m k m k k m -+-+-===++⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 因为2222mGA m k km GB m k k-+-==++，所以TA GA TB GB =．【名师点睛】求解直线与圆锥曲线相关问题时，一般需要联立直线与圆锥曲线方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，结合根与系数关系与判别式，以及题中条件，利用圆锥曲线的相关性质，即可求解．11．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x ya b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（3）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值．【试题来源】上海市高考压轴【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3(,0)2-；（3） 【解析】（1）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k k D k k -+++，因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-， 即3214n kk m -⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立，所以(46)30m k n +-=， 所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-．（3）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥=，即2k=±时取等号，所以当2k=±时，AD AEOM+的最小值为．【名师点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y，，()22B x y，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数关系；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x+形式；（5）代入根与系数关系求解．12．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且椭圆C过点3,22⎛⎝⎭．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于,A B两点，且与圆22:2O x y+=交于E F、两点，求2||||AB EF⋅的取值范围．【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）【答案】（1）22132x y+=；（2）3⎡⎢⎣．【分析】（1）先利用离心率得到,a b的关系，再利用点在椭圆上得到,a b另一个关系，解方程即得椭圆方程；（2）先讨论斜率不存在时2||||AB EF⋅的值，再设斜率存在时的直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数关系求弦长||AB，再利用几何法求圆中的弦||EF的长，最后计算2||||AB EF⋅的取值范围即可．【解析】（1）由已知可得ca=，所以2213c a=，故222223b ac a=-=，即2232a b=，所以椭圆的方程为2222132x ybb+=，将点32⎛⎝⎭带入方程得22b=，即23a=，所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=；（2）由（1）知，21c =，故椭圆的右焦点为(1,0)， ①若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，则,1,,(1,1),(1,1)A B E F ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，所以22|||4,||||AB EF AB EF ==⋅=②若直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与椭圆方程()221321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()2222236360k x k x k +-+-=， 则2122623k x x k+=+，21223623k x x k -=+， 所以)22123k AB k +===+， 因为圆心()0,0到直线l的距离d =所以在圆22:2O x y +=中由21||2EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()222222242||44211k k EF r dk k +⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭，所以)())2222222142223123k k k AB EF k k k +++⋅=⋅=+++2431233k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 因为[)20k ∈+∞，，则222,33k ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭，230,2213k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，故(]20,22433k ∈+，(]24311,323k +∈+，故24312333k ⎫⎪⎛+∈ ⎪ ⎝ ⎪+⎝⎭，即2||3AB EF ⎛⋅∈ ⎝，综上，2||3AB EF ⎡⋅∈⎢⎣．13．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB． （1）求椭圆C 的方程；（2）若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程 ②当三角形OPQOM 的取值范围．【试题来源】江苏省连云港市新海高级中学2020-2021学年高三上学期期末【答案】（1）22142x y +=（2）①230x y +-=，②OM ⎡∈⎣． 【解析】（1）设直线:1x yAB a b+=，即0bx ay ab +-=， 所以O 到直线AB==，所以226a b +=，因为2222226c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）①因为PQ 的中点为()1,1M ，且PQ 的斜率存在，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以221122222424x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以()()222212122x x y y -=--，所以121212122x x y y y y x x +-=-+-， 因为12122,2x x y y +=+=，所以121212PQ y y k x x -==--，所以PQ 的直线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=； ②若直线PQ 垂直于x轴，则2221222222p p p p p x x y x x ⎛⎫⨯=-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ 22M x ⇒=，0M y =，所以OM =若直线PQ 不垂直于x 轴，设直线PQ 方程：()0y kx m m =+≠，()()1122,,,P x y Q x y ，()22222124240142y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 所以122412km x x k +=-+，21222412-⋅=+m x x k，()()()2224412240km k m∆=-+->，即2242k m +>，因为O 到PQ的距离为d =所以12OPQS===，()()()2222222222241212012m k m k k m k m ⎡⎤⇒+-=+⇒+-=⇒+=⎣⎦， 且此时2242k m +>，即0∆>满足，而12222212M x x km k x k m+-===-+， 1M M y kx m m =+=，所以OM ===，因为2212k m +=，所以21m ≥，所以21122m ≤-<，所以1OM ≤<综上可知OM ⎡∈⎣．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点(0,1)D ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(1,0)A -和点(4,0)B -，过点B 的动直线l 交椭圆C 于,M N 两点（M 在N 左侧），试讨论BAM ∠与OAN ∠的大小关系，并说明理由． 【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题【答案】（1）2214x y +=；（2）BAM ∠=OAN ∠，理由见解析． 【解析】（1）由已知1b =，c e a ==， 又222a b c =+，解得2,1a b ==． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）依题意设直线l 的方程为(4)y k x =+，设1122(,),(,)M x y N x y ．联立221,4(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2222(41)326440k x k x k +++-=，则216(112)0k ∆=->，解得k <<． （*） 则21223241k x x k -+=+，212264441k x x k -=+．若11x =-，则1y =k =±与（*）式矛盾，所以11x ≠-． 同理21x ≠-．所以直线AM 和AN 的斜率存在，分别设为AM k 和AN k ． 因为1212121212(4)(4)332111111AM AN y y k x k x k k k k k x x x x x x +++=+=+=++++++++ 12121212123(2)3(2)22(1)(1)1k x x k x x k k x x x x x x ++++=+=++++++22222222323(2)3(242)142206443236311414k k k k k k k k k k k k -+-++=+=+=---++++，所以AM AN k k =-．所以BAM ∠=OAN ∠．15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线y x m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段的中点M 在圆221x y +=上，求m 的值．【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为()22,0F，且过点(，所以222421a b=⎨+=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此椭圆C 的方程为22184x y +=； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22184y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2234280x mx m ++-=，由()221612280m m ∆=-->解得212m <， 又1243mx x +=-，则1212422233m m y y x x m m +=++=-+=，所以AB 的中点坐标为2,33m m M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 又点M 在圆221x y +=上，所以222133m m ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得295m =满足212m <，所以m =． 【名师点睛】求解本题的关键在于用m 表示出点M 的坐标；利用题中条件，联立直线与椭圆方程，消去x （y ）得到关于y （或x ）的一元二次方程，根据根与系数关系及中点坐标公式，求出M 坐标，即可求解．16．已知椭圆22:142x y C +=．（1）求椭圆C 的离心率和长轴长；（2）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点． 是否存在实数k ，使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由．【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题 【答案】（1）2，4；（2）存在，当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-．【解析】（1）由题意：24a =，22b =，所以2a =． 因为222a b c =+，所以22c =，c =c e a ==． 所以椭圆C，长轴长为4． （2）联立222,142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 整理得22(21)840k x kx +++=． 因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0>，解得212k >． 设()()1122,,,A x y B x y ，则122821k x x k -+=+，122421x x k =+． 设AB 中点00(,)G x y ，则12024221x x k x k +-==+，0022221y kx k =+=+，故2242(,)2121k G k k -++． 假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=-，所以222211421k k k m k +⨯=--+，解得2221k m k -=+，故22(0)2+1kP k -，．因为2APB π∠=，所以0PA PB ⋅=． 所以1122(,)(,)0x m y x m y -⋅-=，即1112()()0x m x m y y --+=．整理得 221212(1)(2)()40k x x k m x x m ++-+++=．所以222248(1)(2)402121k k k m m k k +⋅--⋅++=++， 代入2221km k -=+，整理得41k =，即21k =． 当1k =-时，P 点坐标为2(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3-． 此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，且C的离心率为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围． 【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题【答案】（1）2214x y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．所以椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立， 由根与系数关系可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 由弦长公式可得()()22121223114m PA PB y y m y y m +⋅==+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+． 综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上．【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底（期末）考试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=．（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =．所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-．所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3．所以点Q 在直线4x =上．②若直线l 的斜率存在时，如图．设斜率为k ．所以直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得()2223484120kx kx k +-+-=．显然0∆>．不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+． 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++．令4x =，得1162=+yy x ．直线BN 的方程是()2222y y x x =--．令4x =，得2222y y x =-．所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭． 所以点Q 在直线4x =上．【名师点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可．考查运算求解能力，是中档题．19．椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、2F ，过1F 向圆2F ：22(2)1x y -+=引切线F 1T （T 为切点），切线F 1T23， （1）求椭圆C 的方程；（2）设(,)M x y 为圆2F 上的动点，O 为坐标原点，过F 2作OM 的平行线，交椭圆C 于G ，H 两点，求MGH 的面积的最大值．【试题来源】江西省新余市2021届高三上学期期末统考（理）【答案】（1）22195x y +=；（2）52． 【解析】（1）连接2F T ，则F 1T ⊥2F T，由题意得12||4F F =，所以c ＝2． 因为23c e a ==，则a ＝3，b ==C 的方程为22195x y+=；（2）设1122(,),,()G x y H x y ，直线GH 的方程为x ＝my ＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+．所以12||y y -===所以12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++． 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH的距离，距离为△MGH的面积为22130(1)259m S m +==+ 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=， 因为点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，因为4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12，所以△MGH 的面积的最大值为52．20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =直线10x +-=被以椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且||||||||MA MB MA MB λ+=⋅，求λ的取值范围．【试题来源】吉林省长春外国语学校2021届高三上学期期末考试（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）2]3．【解析】（1）因为原点到直线10x -=的距离为12，所以22212b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭（0b >），解得1b =．又22222314c b e a a ==-=，得2a = 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）当直线l 的斜率为0时，12MA MB ⋅=，268MA MB +=+=， 所以||||82||||123MA MB MA MB λ+===⋅，当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：4x my =+，()11A x y ，，()22B x y ，，联立方程组22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2248120m y my +++=， 由()22=644840m m ∆-+>，得212m >， 所以122124y y m =+，12284my y m +=-+，()21221214m MA MB y y m +⋅==+，1212MA MB y y +==+284mm =+，||||||||121MA MB MA MB m λ+====⋅+由212m >，得211113121m ∴<-<+，所以2233λ<．综上可得2133λ<≤，即2(]133． 【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21．如图，点()0,1P -是椭圆1C ：22221x y a b+=(0a b >>)的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交椭圆1C 于另一点D ，2l 交圆2C 于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）当ABD △的面积取得最大值时，求直线1l 的方程．【试题来源】上学期江西省新余市2021届高三上学期期末质量检测（文）【答案】（1）2214x y +=；（2）1012y x =±- 【解析】（1）由题意可得1b =，24a =，即2a =．∴椭圆1C 的方程为2214xy +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(D x ，0)y ．由题意可知直线1l 的斜率存在，设为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-．又圆222:4C x y +=的圆心(0,0)O 到直线1l 的距离21d k =+．22243||2421k AB d k +∴=-+21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x ky k ++=， 联立22044x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩，消去y 得到22(4)80k x kx ++=，解得0284k x k =-+， 281||k PD +∴=．∴三角形ABD 的面积21843||||2ABDk S AB PD +==令244k t +=>，则24k t =-，224(4)34131244()13()131313t t f t t t -+-===--+，16S ∴=，当且仅132t =，即252k=，当k = 故所求直线1l 的方程为12y x =±-． 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ 的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值．【试题来源】陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析． 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故C 的标准方程为22195x y +=．（2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ，设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ， 由010133TA PA y y k k x x =⇒=++'①，020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++，又2211195x y +=，故2211195x y -=-， 所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+． 所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点，所以设直线PQ 的方程为2x my =+，代入22195x y +=，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅，所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=，解得092x =． 所以点T 横坐标为定值92． 【名师点睛】解题的关键是根据A 、P 、T 和B 、Q 、T 共线得到TA PA k k =，TB QB k k =，化简整理，结合根与系数关系求解，直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题．23．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>倍，且过点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆心在原点OO 上的一个动点，过点P 作椭圆的两条切线，且分别交其圆O 于点E ､F ，求动弦EF 长的取值范围．【试题来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（理）【答案】（1）22184x y +=；（2）． 【解析】（1）由22a c =得a =，把点代入椭圆方程得22421a b +=， 又222a b c =+，所以228,4a b ==，椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）设过点P 作椭圆的两条切线分别为12,l l ．①当12,l l 中有一条斜率不存在时，不妨设1l 斜率不存在，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为x =x =-， 当1l方程为x =1l 与圆O交于点和2)-，此时经过点，2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-， 即2l 为2y =或122,y l l =-⊥，由题目知，圆O 的方程为2212x y +=， 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =．②当12,l l 斜率都存在时，设点()00,P x y ，其中220012x y +=，且22008,4x y ≠≠，设经过点()00,P x y 与椭圆只有一个公共点的直线为()00y t x x y =-+，则()0022184y t x x y x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到()()()2220000124280t x t y tx x y tx ++-+--=， 所以()2220000648163280x t x y t y ∆=-++-=，()2200122200328123281648648x y t t x x ---===---， 所以121t t =-，满足条件的两直线12,l l 垂直． 所以线段EF 应为圆O的直径，所以||EF =，综合①②知因为12,l l 经过点()00,P x y ，又分别交圆于点E ，F ，且12,l l 垂直，所以线段EF 为圆220012x y +=的直径，所以||EF =为定值．故EF的取值范围．24．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为12，过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =． （1）求C 的方程；（2）若直线:4m x =与x 轴交于M 点，AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，求证：直线BD 平分线段FM ．【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试（文）【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见详解． 【解析】（1）记椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，因为椭圆的离心率为12，即12caa ==，所以2234b a =；又过F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当AB x ⊥轴时，3AB =，将x c =代入22221x y a b +=可得2422221c b y b a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则2b y a =±，所以223b a =，由2223423b a b a==解得2243a b ⎧=⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）因为直线:4m x =与x 轴交于M 点，则()4,0M ；又AD ⊥直线m ，垂足为D (不与M 重合)，所以直线AB 斜率不为0， 不妨设直线AB 的方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 可得()22314120my y ++-=，整理得()2234690m y my ++-=，则122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，2334234m y m m -±==++， 不妨令1y=，2y =， 因为AD ⊥直线m ，垂足为D ，所以()14,D y ， 因此直线BD 的方程为()211244y y y x y x -=-+-， 令0y =，则()()1212121212121433444y x y my my y y x y y y y y y ---=-=-=----293544422m-===-=；即直线BD与x轴的交点为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，因为()1,0F，()4,0M，所以5,02⎛⎫⎪⎝⎭是FM中点，即直线BD平分线段FM．【名师点睛】求解本题第二问的关键在于求出直线BD与x轴交点的横坐标；解题时，需要先设AB的方程，联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系，以及题中条件，表示出直线BD 的方程，即可求出与x轴交点的横坐标．25．椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>过点()2,3M，其上､下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB的斜率之积为34AM BMk k⋅=-．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左顶点(),0Q a-作两条直线，分别交椭圆C于另一点S，T．若2QS QTk k+=，求证：直线ST过定点．【试题来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考（理）【答案】（1）2211612x y+=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为()0,A b，()0,B b-，所以333224MA MBb bk k-+⋅=⋅=-，解得212b=，将212b=，()2,3M都代入椭圆方程，得216a=，所以椭圆方程为2211612x y+=；（2）证明：设()11,S x y，()22,T x y，直线ST的方程为y kx t=+．将y kx t=+代入椭圆方程，整理得()2223484480k x ktx t+++-=，122843ktx xk+=-+，212244843tx xk-=+，由1212244y yx x+=++，得1212244kx t kx tx x+++=++．。
凉山“一诊”数学(理科)答案(1)高考资料高考复习资料中考资料
..................................................................................................................................................6 分
（Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为 0.25，将频率视为概率，则
f ¢(x) = 6x - 1 = 6x 2 -1 (x > 0) ..............1 分（有 x > 0或f (x) = 6x - 1 均得1分 ）
xx
x
当
f ¢(x) > 0 时，趈 得
66，当
f ¢(x) p 0 时，趈 屣
6 6
.............2 分
所以函数
趈
在
0,
又∵2믨比当1 线 믨比 当 믨比当2，所以数列 믨比 为等比数列
所以믨2 程 믨1 线 2 当 λ 2 线 4，所以λ 线 0
.................4 分
所以存在λ 线 0，使 2믨比当1 线 믨比 当 믨比当2成立。.................5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当λ − 1，믨1 线 0 时
∴BC ⊥ AB ................3 分;又 BC ⊥ BB1，BB1 设B 线 B，∴B面 豐 面 设BB1设1......5 分
又 B1M Ì 面ABB1 A1 ，∴B面 豐 B1 .....................................6 分
证明（方法二）：在△ABC 中， AC cos∠BAC=2 2cos45° = 2 = AB ∴∠ABC=90 ゜∴BC ⊥ AB..............................................3 分 又 BC ⊥ BB1，BB1 设B 线 B，∴B面 豐 面 设BB1设1.......................................5 分
四川省凉山彝族自治州2024届高三第一次诊断性检测数学(理科)试题及答案
凉山州2024届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分第1卷（选择题），第Il卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫术的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确2选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3考试结束后，将答题卡收回第1卷（择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的））设全集U =l l,2,3,4,5,6}，集合M=l l,3,4l ,N=l 3,5,6}，则MU (C,JI ＇)=（）A. ！ 5 }B {l,2,3,4,5}c. ! 1,2,3,4 ID.U2.已知复数z满足z(1-i )=2+i ，则z=()A－卡宁l 3 B. －一＋－i 2 2C1 3 ．一－一i2 2． 3-2＋ l -2D 3已知数列忆I的前n项和S,.=n 2＋血，则a )如＝（）2 A.9B lOc.11D. 124.已知厂寸＝98，则X +J-=()心，＋矿＝一30A.2B.3C.4D. 5-－ 5已知平面向扭(L,b满足1-;-u'I－ －(t-2b =1, (t. b =l ，则1了＋2t/|＝（）A .V3B.2\/了C.3D.2\/了6万名同学彝族新年期间去邓海湿地公园采风观泉，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有()A. 12种B. 24种C.48种数学（理科）试卷第l页（共4页）D. 96种7已知函数八t)＝」—+“ +」—，则”八尤）是奇函数”是“a=O”的() x-1 x+a-1．飞＋lA.充分而不必要条件C.充分必要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件8已知双曲线斗－乓＝1（心O,b>O)的渐近线与y轴的夹角为工，则此双曲线的离心率c为（） ”- b 3A. 2V了3B. 2或2V3 C.V3 D. V了或29在三棱锥S-ABC中，SA=SC=AC=V了，AB=BC=I，二面角S-AC-8的正切值是V了，则三棱锥S-ABC外接球的表而积是（）A.V丁'ITB. 3'ITC. 4'TTD. 4V了石10将函数J(x)=a n(2x+f)的图象向左平移工个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于6函数g(．飞）的说法正确的是（）A图象关于直线x=O对称B在（－于，千l上单洞递增C.最小正周期为'7TD.图象关于点（于，0）对称2.. 211已知点P在椭圆土＋兮＝1（（L>b>0)上，凡，片是椭圆的左、右焦点，若万平万;=3，且A PF)凡的a2. b面积为2，则胪＝（）A. 2B. 3C. 4D. 512函数f(无）＝—无2+aln飞在区间(I,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为（）2A.(-2,l)B.(-2,-1)C.(-2,0)第Il卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13设伍，｝是等比数列，且a,+a,=I业＋（4=2，则（叶偉＋（砃您＝0. (-3,-2)14已知P(x,y)是曲线心户L(x>O)土的点，则兰立L的取值范围是一x+I数学（理科）试卷第2页（共4页）15若圆锥侧面展开图是圆心角为立L，半径为2的扇形，则这个圆锥表面积为316在!:::,ABC中，角A,B,C的对边分别为ci,b,c,lanA=2t a nB,b=Y了，当6ABC的面积取最大值时，则a=.三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤．共70分）l7 l2分）已知函数f(尤）却虹CO莎x-cos2x.I求j(.飞）的减区间；(2) j(x)在(O,＋动上的零点从小到大排列后构成数列伍，1，求伍，｝的前10项和18.12分）体育课上，同学们进行投篮测试规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练已知甲同学每次投中的概率为—，每次是否投中相互独立I求甲同学通过侧试的概率；2若乙同学每次投中的概率为上，每次是否投中相互独穸经过测试后，甲、乙两位同学2需婓进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望E(X)l9 l2分）如图在四棱锥P-ABCD中，底而ABCD是边长为4的正方形，LPAD=工，PD=2,PB=2V761证明：平面PAD.l平面ABCD;2若E为PC的中点，求二面角A-B E-C的余弦值/．＇．．u\/cA B数学（理科）试卷第3页（共4页）20.(12分）已知函数f(x)＝（釭2+x+I)已(1)当（已0时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单洞性21.(12分）P(2,2)为抛物线r寸＝IIIX J:.一点，过P作两条关于．飞＝2对称的直线分别交r于A (x,,y,),8伍，Y2)两点(l)证明：直线B的斜率为定值，并求出该定值；(2)祚．x,<2<．飞2，求LPA B面积的最大值请考生在第22、23两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22.(10分）［选修4-4:坐标系与参数方程］已知曲线c,的参数方程为．飞＝2c o边，（a为参数），以直角坐标原点0为极点，尤轴的正半轴y=sma为极轴建立极坐标系曲线C2的极坐标方程p＝知o s8(I）求C，的极坐标方程；(2)若曲线0＝工（p>O)与曲线C,、曲线C2分别交于A,B两点，点P的极坐标为(4,0),6求l::,PA B的面积23.(10分）［选修4一5：不等式选讲］已知函数f(x)=lxl(l)解不等式f(x)+f(x一）斥2;(2)对a+b=l(a,b>O)及Vx eR，不等式f(x-rn)-lx+2 I,;;;上十上恒成立，求实数m的取值a. b范围数学（理科）试卷第4页（共4页）凉山州2024届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1.本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.只给整数分数，选择题不给中间分．一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. CDCAC6-10. BBABDIH2. CD二、填空题（每小题5分，共20分）13【答案】48;14【答案】(0,2): 15【答案】16亢9，16【答案】石．三、解答题（共70分）17解：（1) /(x)=sinxcosx-cos 2 xl l = �sin 2x-�(cos 2x + I) 2 2 5兀l=—sin(2x －一）－－24 2 冗兀37t令2朊＋－�2x －一三2朊＋—，keZ2 42 得朊＋31t . 71t －—�x �朊＋—，k e Z.8 831t .7兀因此，函数．／（x ）的减区间是［朊＋—，k 下＋—］，keZ..8. 8•....•..•....•..•....... 3分..•.......•..... 6分＄．亢l(2)？函数／（x)=7s in(2x －一）－一的最小正周期为兀242冗兀函数f(x)在(0,7t ）上的零点分别为一，－4 2 :．数列｛a 五－，｝是以巴为首项，兀为公差的等羌数列；4亢数列{%}是以－为首项，2 7t 为公养的等羌数列，则沁＝（a ,+a 3+..·+(I 9)+ (a 2 +a .+ ·••a 10)冗5x4兀5x4. 95n =(5x-＋—兀）＋（5X-＋—兀）＝— 4 2 2 2 4所以{a,，}的前10项和为95n4...............•... 8分•....•..•....•..•.... 10分.......•................ 12分18.解：（l）解：记事件A:甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，则P(A)=C i日（1分）＋C!甘）三 5 分(2)解：若乙通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中，所以，乙通过测试的概率为［主］叶g虳－甘＝；，出题意可知，随机变量X的可能取值有0,30, 60, .........•........ 7分7 1 7 7 1 7 l lP(X=O)＝—x-＝—P(X=30)＝—x(J-�)+(1-—)x-＝－，27 2 54'27 2 27 2 27 l lOP(X=60)=(1-—)x(l-－＝—,27 2 27........................ 10分所以，随机变量X的分布列如下表所示：X 。
四川省大数据精准教学联盟 2020 级高三第一次统一监测理科答案解析
四川省大数据精准教学联盟2020级高三第一次统一监测理科数学答案解析与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】 A【考查意图】本小题通过设置复数几何意义情境，设计复数的除法运算，主要考查复数概念，几何意义，共轭复数与复数的除法法则等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想。
【解析】可知z1= -1+2i， z2=3+4i，则z1z2=-1+2i3+4i=(-1+2i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=5+10i25=15+25i.2．【答案】 C【考查意图】本小题通过设置数学情境，设计集合补集与交集运算，主要考查解分式不等式，集合的补集、交集运算等基础知识；考查运算求解能力。
【解析】不等式2x-1x+1≥1等价于2x-1-x-1x+1≥0即x-2x+1≥0,得x<-1或x≥2，所以A∩(∁R B)=x|x<-1或x≥2∩x|x≤-2或x≥1}=x|x≤-2或x≥2.3．【答案】 C【考查意图】本小题课外活动时间调查的实际情境，设计统计图表识别和运算问题，主要考查直方图概率计算等基础知识；考查运算求解能力。
【解析】设所求人数N=2×(0.16+0.12+0.08)×200=144，故选C.4．【答案】 C【考查意图】本小题设置课程学习情境，设计三视图和直观图的转化，主要考查空间想象能力和数学运算素养。
【解析】V=13(S上+S上S下+S下)h=13(1+2+4)=73．故选C.5．【答案】 A【考查意图】本小题通过设置函数图象情境，设计与函数奇偶性、单调性等性质相关的问题，主要考查函数性质综合应用；考查推理论证能力，直观想象、逻辑推理素养。
【解析】由图象的对称性可知，函数f x 可为偶函数，B，D中的函数为奇函数，不符合题意；A，C中的函数满足，对于C，f4 =42e4+e-4≤16e4<1，不符合题意，故选A。
2020届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学(理)科试题(解析版)
2020届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学（理）科试题一、单选题1．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =（ ） A ．1 B ．0C ．1-D ．2【答案】A【解析】由A B ⊆，则2B ∈,则12a +=，得答案. 【详解】由A B ⊆,{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+, 则2B ∈,所以1a +=2. 所以1a = 故选：A. 【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题.2．在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A ．【解析】试题分析：(1)(2)3z i i i =+-=+，∴对应的点为(3,1)，位于第一象限． 【考点】复数的乘除和乘方．3．抛物线230x y +=的准线方程为（ ） A ．34x =B ．32x =-C ．34y =D ．32y =-【答案】C【解析】将抛物线230x y +=方程化为标准方程23x y =-，由抛物线的标准方程可得其准线方程. 【详解】由抛物线230x y +=有23x y =-, 根据抛物线的标准方程可得32p =.则其准线方程为：34y = 故选：C 【点睛】本题考查由抛物线的方程求准线方程，属于基础题.4．已知2a b =，()a b a -⊥，则a 与b 的夹角是（） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】C【解析】由()a b a -⊥有()=0a b a -⋅得2=a b a ⋅，再代入向量的夹角公式可求解. 【详解】由()a b a -⊥有()=0a b a -⋅. 即2=a b a ⋅，又2a b =.则221cos ,22aa b a b a ba⋅〈〉===⋅. 由a 与b 的夹角在[0,]π内. 所以a 与b 的夹角为3π. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的夹角，向量的数量积的运算,属于基础题.5．如图所示的程序框图，若输出值1y =，则输入值x 的集合是（ ）A ．{}0,1B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}1【答案】C【解析】将输出的值1y =，沿着“是”，“否”两条路线反代回去，即可求出x 的值. 【详解】若输入的1x >，则输出2log 1y x ==，则2x =. 若输入的1x ≤，则输出11()112x y -=-=,则0x =.则输入值x 的集合是: {}0,2 故选：C 【点睛】本题考查程序框图，根据输出的结果计算输入的初始值，属于基础题.6．污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一.凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（ ）（精确到小数点后2位） A ．0.13 B ．0.15C ．0.20D ．0.22【答案】C【解析】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为x ，则2021年使空气质量为“良”的天数2216150(1)x =+，然后求解方程得出答案. 【详解】设空气质量为“良”的天数的年平均增长率为x ， 则2021年使空气质量为“良”的天数2216150(1)x =+ 即2216(1) 1.44150x +==，解得：0.20x = 故选：C. 【点睛】本题主要考查平均变化率，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量(1⨯+增长率)n ,属于基础题.7．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【答案】B【解析】根据图像有2A =,724632T πππ=-=,得到函数的最小正周期，根据周期公式可求出ω，然后求出()f x 和()g x 的解析式，再根据相位变换得到答案. 【详解】 根据图像有2A =,724632T πππ=-=, 所以22||T ππω==,则||=1ω. 不妨取=1ω，又2=03f π⎛⎫⎪⎝⎭有2sin =03πϕ⎛⎫+⎪⎝⎭， 得22,3k k Z πϕππ+=+∈,又2πϕ<.所以=3πϕ，即()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()sin g x x =所以由()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移3π个单位长度可得()sin g x x =的图像.故选：B 【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题.8．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知a =cos sin b A B =，则A =（ ） A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π 【答案】D【解析】由cos sin b A B =有1sin cos b B A =,再由正弦定理有sin sin a b A B=,即1cos A=,可解出答案. 【详解】由cos sin b A B =有1sin cos b B A=,由正弦定理有sin sin a b A B=, 又a =1cos A=.所以tan A =因为A 为ABC 的内角，则3A π=. 故选：D 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题.9．已知平面α，β，γ和直线l ，则“αβ∥”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥且l β⊥ C ．γα⊥且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行 【答案】B【解析】选择“αβ∥”的充分不必要条件，是分析哪个选项能推出αβ∥，反之不成立. 【详解】 A.α内有无数条直线与β平行,则,αβ可能相交或平行，故不能推出αβ∥.B. l α⊥且l β⊥,则αβ∥. 反之不成立，满足条件.C. γα⊥且γβ⊥,则,αβ 可能相交或平行，故不能推出αβ∥.D.α内的任何直线都与β平行是αβ∥的充要条件.故选：B. 【点睛】本题考查充分条件的判断，面面平行的判断，属于基础题.10．函数()22sin 2x x xf x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=，其图象的对称中心是（ ） A ．()0,1 B ．()1,1-C ．()1,1D ．()0,1-【答案】D【解析】()22sin 2cos 2=1x x xx f x x x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=+-,设2cos g()x x x x=+，则g()x 为奇函数，而()f x 的图像是g()x 的图像向下平移1个单位得到的，从而得到答案. 【详解】由()22sin 2cos 2=1x x xx f x x x xπ⎛⎫++- ⎪⎝⎭=+-， 设2cos g()xx x x=+，则g()x 为奇函数,其图像关于原点成中心对称. 所以()()1f x g x =-,()f x 的图像是g()x 的图像向下平移1个单位得到的.所以()f x 的图像关于点(0,1)- 成中心对称. 故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数图像的对称性，属于基础题.11．已知点M 为直线30x y +-=上的动点，过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1P -到直线AB 的距离的最大值为（ ）A ．32B ．53C ．2D 【答案】D【解析】设00(,)M x y ，先求出直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=，由M 点在直线30x y +-=上，得出直线AB 过定点,从而求出答案.【详解】 设00(,)M x y ,过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B .则A ，B 两点在以OM 为直径的圆:22000x x x y y y -⋅+-⋅=上.又A ，B 在圆221x y +=上，所以AB 为两圆的公共弦，将两圆方程联立相减得：001x x y y ⋅+⋅=，即直线AB 的方程001x x y y ⋅+⋅=又点M 在直线30x y +-=上，则003y x =-，代入直线AB 的方程.00(3)1x x y x ⋅+⋅-=,得直线AB 过定点11(,)33N ，所以点()0,1P -到直线AB 的距离：||d PN ≤==. 故选：D. 【点睛】本题考查圆的切线方程，直线过定点问题，点到直线的距离的最值问题,属于难题. 12．若函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点，则b 的可能取值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】函数()f x 的导函数为()2=b x ax bf x xa x x-+'-+=，函数()f x 在区间()1,2上有两个极值点，即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布找出条件，从而达到答案. 【详解】()2=b x ax bf x x a x x-+'-+=, 函数()21ln 2f x x ax b x =-+在区间()1,2上有两个极值点, 即方程20x ax b -+=在()1,2内有两个不等实数根.所以2=4012210420a b a a b a b ⎧->⎪⎪<<⎪⎨⎪-+>⎪-+>⎪⎩ 以为b 纵坐标，a 为横坐标画出不等式满足的平面区域.曲线214b a =与直线1b a =-相切于点(2,1)， 曲线214b a =与直线24b a =-相切于点(4,4).根据选项，则b 的可能取值在选项中只能为3. 故选：A. 【点睛】本题考查极值存在的条件，考查线性规划解决问题，是导数的综合应用，属于难题.二、填空题13．5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______.（用数字作答）【答案】10【解析】5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为3515515521()()r r r r r r T C x C xx --+==,求常数项即令15150r -=，解得3r = ，然后可得答案. 【详解】5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为3515515521()()r r r r r r T C x C x x --+==.则5321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项，令15150r -=,解得3r =，即常数项为345=10T C = 故答案为：10. 【点睛】本题考查二项式定理中的指定项，考查二项式的通项公式，属于基础题. 14．已知02πα<<，4tan 3α=，则sin cos αα+=______. 【答案】75【解析】由4tan 3α=,则4sin cos 3αα=,由同角三角函数的关系可得sin cos αα，的值，从而可得答案. 【详解】 由4tan 3α=，即sin 4cos 3αα=，则4sin cos 3αα=. 由22sin +cos 1αα=有：2216cos +cos 19αα=. 则29cos 25α=，又02πα<<. 所以3cos 5α=，44sin cos =35αα=.所以7sin cos 5αα+=.故答案为：75【点睛】本题考查同角三角函数的关系，注意角的范围，开方符号的选择，属于基础题.153，6，则小球体积的最大值为______.【答案】6π 【解析】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，由共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，可得2,3,6ab bc ac ===，从而可解得,,a b c 的值，可求得小球半径的最大值，从而得到其体积. 【详解】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ， 则由条件有2,3,6ab bc ac ===. 解得:=2,=1,=3a b c ，因为小球在长方体内，则小球的直径的最大值为b 边长. 所以半径的最大值为12r =，则小球的体积的最大值为：33441()3326r πππ==. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查长方体的内切球，根据长方体的表面的面积求棱长,考查方程思想，属于中档题.16．如图，直线PT 和AB 分别是函数()33f x x x =-过点()2,2P 的切线（切点为T ）和割线，则切线PT 的方程为______；若()(),A a f a ，()()(),2B b f b b a <<，则a b +=______.【答案】2y = 2-【解析】设切点00(,)T x y ，由2()33f x x '=-，得切线的斜率为2033k x =-，求出在点T 处的切线方程，然后将点()2,2P 代入，解出切点的坐标，从而得到切线方程. 再写出直线AB 的方程与()33f x x x =-联立，则,,2a b 为方程的根，应用因式分解和韦达定理可得+a b 的值.【详解】设切点00(,)T x y ,又2()33f x x '=-， 则在点T 处的切线的斜率为：2033k x =-.则在点T 处的切线方程为：320000(3)(33)()y x x x x x -+=--， 又点()2,2P 在切线上，则3200002(3)(33)(2)x x x x -+=--，即3200340x x -+=，解得01x =-或02x =(舍).则(1,2)T -，0k =，所以切线PT 的方程为：2y =. 根据题意直线AB 的斜率一定存在， 设直线AB 的方程为：(2)2y k x =-+ ，由3(2)23y k x y x x=-+⎧⎨=-⎩ 有332(2)x x k x --=- 所以3(4)(2)(2)x x x k x -+-=-， 即2(2)(21)(2)x x x k x -++=- ()由直线AB 交曲线()33f x x x =-于三点,,A B P所以,,2a b 为方程()的根.即,a b 为方程221x x k ++=的两个实数根； 由韦达定理有：2a b +=-. 故答案为：2y = ；2- . 【点睛】本题考查曲线的切线，导数的几何意义，考查曲线与方程，直线与曲线的关系,属于难题.三、解答题17．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，39S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设212n n n b a a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-（2）24n T n =【解析】(1)由条件有131133a S a d=⎧⎨=+⎩，可求出1,a d ，即得到答案.(2)由212n n n b a a -=+，由（1）有21284n n n b a a n -=+=-，则{}n b 为等差数列，可求和. 【详解】 解：（1）{}n a 为等差数列，设公差为d由131133a S a d =⎧⎨=+⎩ 即111933a a d =⎧⎨=+⎩得：112a d =⎧⎨=⎩21n a n ∴=-（2）由（1）可知()21221143n a n n -=--=-, ()222141n a n n =-=-, 21284n n n b a a n -=+=-法一：()()21812348442n n n T n n n n +=+++⋅⋅⋅-=⨯-= {}n b ∴的前n 项和24n T n =法二：14b =，()1848148n n b b n n --=---+=，{}n b ∴是以首项14b =，公差为8的等差数列()248842n n n T n +-∴=={}n b ∴的前n 项和24n T n =【点睛】本题考查等差数列求通项公式，数列求和，属于中档题.18．在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样本成绩的茎叶图如图所示.（1）用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求()10,x x n N <∈的值；（2）从样本中任意抽取3名学生的成绩，若至少有两名学生的成绩相同的概率大于15，则该班成绩判断为可疑.试判断甲班的成绩是否可疑？并说明理由. 【答案】（1）7（2）甲班的成绩可疑，见解析【解析】(1)求出甲、乙两班的平均成绩分别为89,x =甲 则89x =乙可求出x 的值.(2)求出甲班至少有两名学生的成绩相同的概率为321213372831021960C C C C C C ++=，然后根据条件作出判断. 【详解】解：（1）设样本中甲、乙两班的平均成绩分别为x 甲 、x 乙，则 7038039021002533768910x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯==甲70280390410082321245910x x ⨯+⨯+⨯++⨯+⨯++++++=乙438410x +=+x x =甲乙43848910x+∴+= 7x ∴=（2）甲班的成绩可以，理由如下：甲班成绩相同的有：87分3人、75分2人、97分2人∴ 从样本中任意抽取3名学生的成绩中至少有两名学生成绩相同的概率为：32121337283102191605C C C C C p C ++==> ∴甲班的成绩可疑【点睛】本题考查茎叶图，平均值，等可能事件的概率，属于基础题.19．在ABC 中（图1），5AB =，7AC =，D 为线段AC 上的点，且4BD CD ==.以BD 为折线，把BDC 翻折，得到如图2所示的图形，M 为BC 的中点，且AM BC ⊥，连接AC .（1）求证：AB CD ⊥；（2）求二面角B AC D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2334【解析】(1)根据条件先证明CD ⊥平面ABD ，然后结论可证.(2) 以D 为原点，BD 、AD 、CD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：在图1中有：7AC =，4BD CD ==，所以3AD =∴在ABD ∆中，5AB =，3AD =，4BD =222AD BD AB ∴+=，所以BD CD ⊥在图2中有：在ABC ∆中，AM BC ⊥，M 为BC 的中点5AB AC ∴==，在ABD ∆中，5AC =，4CD =，3AD =222AC CD AD ∴=+，所以CD AD ⊥翻折后仍有BD CD ⊥又AD 、BD ⊂平面ABD ，ADBD D =，CD平面ABDAB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥（2）解：由（1）可知CD 、BD 、AD 两两互相垂直.以D 为原点，BD 、AD 、CD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()4,0,0B ，()0,0,4C()4,3,0AB ∴=-，()0,3,4AC =-设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =，则430340x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则4y =，3z =， ()3,4,3m ∴=平面ACD 的法向量为()1,0,0n =334cos ,m n m n m n⋅∴==∴二面角B AC D --334【点睛】本题考查线面垂直，线线垂直，二面角，立体几何中求角或距离常用向量法，属于中档题.20．已知函数()xae f x x=（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）.（1）若0a ≠，试讨论()f x 的单调性；（2）对任意()0,x ∈+∞均有()23210x x e ax x ax +---≥，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析 （2）1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】(1)由()()21x ae x f x x-'=，定义域为{}0x x ≠，对参数a 的符号进行分类讨论.(2)由条件分离参数有()223211x x x e x e x a x xx x +-≤=-++，设()()201x e xg x x x x =->+，则()min a g x ≤,即求()g x 的最小值.【详解】解：（1）()f x 的定义域为{}0x x ≠()()221xx x ae x axe ae f x x x--'== 当0a >时，令()0f x '>，则1x >；()0f x '<，1x <且0x ≠ 当0a <时，令()0f x '>，则1x <且0x ≠；()0f x '<时1x >∴当0a >时，()f x 在()1,+∞单调递增，在()(),00,1-∞ 单调递减；当0a <时，()f x 在()1,+∞单调递减，在()(),00,1-∞单调递增. （2）()30,0x x x ∈+∞∴+>()223211x x x e x e xa x xx x +-∴≤=-++在()0,∞+恒成立 设()()201x e xg x x x x =->+，则()min a g x ≤法一：()()()()()2222222111111x x e x x e x g x x x x x x ⎡⎤--+⎢⎥'=-=-+⎢⎥++⎣⎦()()01g x x g x '=∴=∴在()0,1为减函数，在()1,+∞为增函数()()min 112g x g e ∴==-12a e ∴≤-，即a 的取值范围为1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦法二：由（1）可知，1a =时，()xe f x x=在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增()f x ∴在1x =处有最小值()1f e =又211112x x x x=<++，当且仅当1x x =，即1x =时，()2max 112x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭()g x ∴在1x =处取得最小值12e -12a e ∴≤-，即a 的取值范围为1,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【点睛】本题考查讨论函数的单调性，不等式恒成立求参数的问题，考查分离参数的方法，函数的最值，属难题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且与双曲线2212x y -=有相同的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点M 满足AM MB =，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，若直线MP 斜率为32，求ABP △面积的最大值及此时直线l 的方程. 【答案】（1）22143x y +=（2）()max 92S ∆=，直线的方程为1:12l y x =--【解析】(1)有题意有112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩可求解.(2)先讨论特特殊情况, M 是否为原点，然后当AB 的斜率存在时, 设AB 的斜率为k ,表示出||AB 的长度，进一步表示出ABP △的面积,然后求最值. 【详解】解：（1）由题设知112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩2a ∴=，23b =∴椭圆的方程为：22143x y +=（2）法一：AM MB = M ∴为AB 的中点又32MP PO k k == 1）当M 为坐标原点时1︒当AB 的斜率不存在时，此时A 、B 为短轴的两个端点112122ABP P S b x ∆=⋅=⨯=2︒当AB 的斜率存在时，设AB 的斜率为k设()11,A x y ，()22,B x y ，则3:2AB l y kx k ⎛⎫=≠⎪⎝⎭，代入椭圆方程 整理得：()2234120k x +-=120x x +=，1221234x x k⋅=-+AB ∴=== P 到AB的距离d =12ABPS AB d ∆=⋅=== 解一：令()26123432k g k k k -⎛⎫=≠ ⎪+⎝⎭ ()()()212212343k k g k k +-'=+ 令()0g k '=12k ∴=-或32k∴函数()g k 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增，13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增32k >时，()102g k k <∴=-为()g k 的极大值点，也是最大值点 ()max 132g k g ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭()max ABP S ∆∴=直线方程为12y x =-解二：设612k t -=，则1212t k =- 226123636144431214412k t k t t t t-∴==+-++-要得ABP S ∆的最大值0t ∴>，14424t t+≥26123634312k k -∴≤=+ 当144t t=，12t =时，即61212k -=，12k =-时等号成立()max ABP S ∆∴=12y x =-2）当M 不为原点时，由32MP OP k k ==，M ∴，O ，P 三点共线32MO k ∴=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ， AB l 的斜率为AB k1202x x x ∴+=，1202y y y +=，0032y x = A ，B 在椭圆上，22112222143143x y x y ⎧+=⋅⋅⋅⎪⎪∴⎨⎪+=⋅⋅⋅⎪⎩①② -①②得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=121212124103y y y yx x y y +-∴+⋅⋅=++00241032AB y k x ∴+⋅⋅=，即431032AB k +⨯⋅=12AB k ∴=-设直线1:2AB l y x m =-+代入椭圆方程，整理得2230x mx m -+-= ()22430m m ∆=-->，22m -<<AB ===P 到直线AB的距离d =12S AB d ∆==令()()()322r m m m =-+，()()()2421r m m m '=--+，22m -<<令()0r m '>，21m -<<-，()0r m '<，12m -<<()r m ∴在()2,1--上单调递增，在()1,2-上单调递减1m ∴=-，()()max 127r m r =-=()max 92S ∆∴=>1:12l y x =-- 综上所述：()max 92S ∆=，直线的方程为1:12l y x =--解二：设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为AB 的中点，P 在椭圆上1︒当直线AB 的斜率不存在时，设:AB l x m =则(),0M m ，33212MPk m ==-， 所以0m =:0AB l x ∴=，则A ，B 为短轴上的两个端点1122122ABP P S b x ∆=⋅⋅=⨯=2︒当直线AB 的斜率k 存在时，设:AB l y kx t =+，()00,M x y22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2223484120k x ktx t +++-= 122834kt x x k +=-+ , 212241234t x x k-⋅=+ 22430k t ∆=-+>()121226234ty y k x x t k ∴+=++=+12024234x x kt x k +∴==-+ ，12023234y y t y k+==+ 由0033212MPy kx -==-得()210t k +=0t ∴=或12k =-下同解法一 【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值，利用导数讨论单调性求最值的方法，考查运算能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xoy 中，点M 的坐标为()1,0，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=.（1）判断点M 与直线l 的位置关系；（2）设直线l 与曲线2:2x t C t t⎧=⎨=⎩（t 为参数，t R ∈）相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.【答案】（1）M 在l 上（2）8【解析】(1)求出直线l 的平面直角坐标系的方程：10x y +-=，将点()1,0M 代入直线方程，可判断.(2)将曲线C 的方程化为直角坐标系方程，24y x =，将直线的方程化为参数方程形式，联立直线方程与曲线C 的方程，则12AB t t =可解.【详解】（1）l 在平面直角坐标系的方程为：10x y +-=将()1,0M 代入得：1010+-=，故M 在l 上（2）曲线C 的直角坐标系方程为：24y x =直线l的参数方程为：12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将直线l的参数方程代入抛物线方程得：280t +-=，则128t t =即M 到AB 两点得距离之积为8.【点睛】本题考查参数方程，普通方程，极坐标方程的互化，直线参数方程中的参数的几何意义的应用，注意直线的参数方程必须为标准的形式，属于中档题.23．已知()f x x a =+（1）若2a =，求不等式()223f x -<的解集；（2）若()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）[]2,1m ∈- 【解析】(1) ()223f x -<，则2223x -+<，即|2|3x <，打开绝对值即可得出答案.(2) ()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立,即()()2min [2]f x f x m m +-≥+,然后用绝对值三角不等式可求.【详解】解:（1）()223f x -<即33222322x x -+<⇔-<< 33,22x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（2）()()2222f x f x x a x a x a x a +-=+++-≥+--+=()()22f x f x m m +-≥+对任意x ∈R 恒成立,只需22m m ≥+成立,即21m -≤≤，所以[]2,1m ∈-.所以[]2,1m ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式，不等式恒成立求参数的范围，考查绝对值三角不等式的应用.属于中档题.小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
四川省凉山市普格中学2020年高三数学理联考试卷含解析
四川省凉山市普格中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是（）A. B. C. D.参考答案：D2. 函数的大致图象为（）A．B．C．D．参考答案：D3. 已知，则的值为A. B. C. D.参考答案：D略4. 已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．【解答】解：由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．∴ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的必要不充分条件．故选：C．5. 已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．6. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2009次互换座位后，小兔的座位对应的是（）开始第一次第二次第三次A．编号1 B．编号2 C．编号3 D．编号4参考答案：A7. 若复数是实数，则的值为（）A. B.3 C.0 D.参考答案：A，因为复数是实数，所以。
【2020年高考必备】四川省凉山州高考数学一诊试卷(文科)及解析
四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤6}，B={x∈N|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．32．（5分）命题“∀x＞1，”的否定是（）A．∀x＞1，B．∀x≤1，C．∃x0＞1，D．∃x0≤1，3．（5分）已知Z=，则Z•=（）A．B．0 C．1 D．4．（5分）已知f（x）=sin（x﹣）﹣1，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．3πD．4π5．（5分）以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知锐角α满足cos（α﹣）=cos2α，则sinαcosα等于（）A．B．﹣ C．D．﹣7．（5分）执行如图所示的程序框图，当输出S=210时，则输入n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．98．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．1 D．9．（5分）在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形10．（5分）设y=f（x）是R上的奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）上递减，f （2）=0，则f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．7 D．12．（5分）若函数f（x）=4﹣x2+alnx满足∀x＞0，有f（x）≤3成立，则a的取值范围是（）A．{2}B．（，2]C．[2，3） D．（1，2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设向量=（1，﹣2），=（6，m），若⊥，则m=．14．（5分）我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是．15．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，则数列{log2a n}的前四项和等于．16．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（1+x2）=f（2x）的解集是．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）设数列{a n}a n=2n﹣1．（1）求数列{a n}的前n项和；（2）设数列{b n}满足b n=2，求数列{a n b n}的n项和．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求四面体PACD的体积．19．（12分）共享单车的推广给消费者带来全新消费体验，迅速赢得广大消费者的青睐，然而，同时也是露出管理、停放、服务等方面的问题，为了了解公众对共享单车的态度（“提倡”或“不提倡”），某调研小组随机的对不同年龄段50人进行调查，将调查情况整理如下表：年龄[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）人76876565并且，年龄[20，25）和[40，45）的人中持“提倡”态度的人数分别为5和3，再从这两个年龄段中各随机抽取2人征求意见．（1）求年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率；（2）求年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率．20．（12分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．21．（12分）定义运算a⊗b=，设函数f（x）=x⊗（2﹣x）．（1）用代数方法证明：函数f（x）的图象关于直线x=1对称；（2）设g（x）=m2x+2+m，若f（e x）≤g（x）在区间[0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22、23两题中选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求证：|PA|×|PB|为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．2018年四川省凉山州高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|0＜x≤6}，B={x∈N|2x＜33}，则集合A∩B的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：集合A={x|0＜x≤6}，B={x∈N|2x＜33}={0，1，2，3，4，5}，则集合A∩B={1，2，3，4，5}，其元素个数为5，故选B．2．（5分）命题“∀x＞1，”的否定是（）A．∀x＞1，B．∀x≤1，C．∃x0＞1，D．∃x0≤1，【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞1，”的否定是∃x0＞1，故选：C．3．（5分）已知Z=，则Z•=（）A．B．0 C．1 D．【解答】解：∵Z=，∴Z•=|Z|2=．故选：C．4．（5分）已知f（x）=sin（x﹣）﹣1，则f（x）的最小正周期是（）A．2πB．πC．3πD．4π【解答】解：f（x）=sin（x﹣）﹣1，则f（x）的最小正周期是T=2π．故选：A．5．（5分）以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则有2b=，即a=3b，则c==2b，则椭圆的离心率e==；故选：D．6．（5分）已知锐角α满足cos（α﹣）=cos2α，则sinαcosα等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：由cos（α﹣）=cos2α，得，∴，∵α∈（0，），∴sinα+cosα＞0，则cosα﹣sinα=．两边平方得：，∴sin．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，当输出S=210时，则输入n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算S=n×（n﹣1）×…×5的值，由于S=210=7×6×5，可得：n=7，即输入n的值为7．故选：B．8．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．1 D．【解答】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图：点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y=﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y=﹣2x+2与2x+y﹣4=0之间的距离：d==．故选：B．9．（5分）在△ABC中，a2tanB=b2tanA，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵a2tanB=b2tanA，∴由正弦定理可得：sin2AtanB=sin2BtanA，∴由sinA≠0，sinB≠0，可得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B，或2A+2B=π，∴A=B或A+B=，∴△ABC是等腰或直角三角形．故选：D．10．（5分）设y=f（x）是R上的奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）上递减，f （2）=0，则f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）【解答】解：根据题意，函数f（x）是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，且f （2）=0，则函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（﹣2）=﹣f（2）=0，当x＞0时，若f（x）＞0，必有0＜x＜2，当x＜0时，若f（x）＞0，必有x＜﹣2，即f（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2）；故选：C．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．3 B．C．7 D．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的组合体，长方体的长，宽，高分别为：2，1，2，体积为：4，切去的三棱锥的长，宽，高分别为：2，1，1，体积为：，故组合体的体积V=4﹣=，故选：B12．（5分）若函数f（x）=4﹣x2+alnx满足∀x＞0，有f（x）≤3成立，则a的取值范围是（）A．{2}B．（，2]C．[2，3） D．（1，2]【解答】解：函数f（x）=4﹣x2+alnx满足∀x＞0，有f（x）≤3成立⇔x2﹣1﹣alnx≥0对∀x＞0恒成立．令g（x）=x2﹣1﹣alnx，，①当a≤0时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在（0，+∞）单调递增，而g（1）=0，故不符合题意；②当a＞0时，令g′（x）=0，x，g（x）在x=处有极小值，而g（1）=0∴，∴a=2，故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设向量=（1，﹣2），=（6，m），若⊥，则m=3．【解答】解：根据题意，向量=（1，﹣2），=（6，m），若⊥，则•=1×6+（﹣2）×m=0，故答案为：3．14．（5分）我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是195．【解答】解：设共有n人，根据题意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案为：195．15．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，则数列{log2a n}的前四项和等于8．【解答】解：各项为正的等比数列{a n}中，a2a3=16，可得a1a4=a2a3=16，即有log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2（a1a2a3a4）=log2256=8．故答案为：8．16．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（1+x2）=f（2x）的解集是{x|x≥0} ．【解答】解：∵函数f（x）=，方程f（1+x2）=f（2x），∴当x＜0时，2=e2x+1，解得x=0，不成立；当x≥0时，f（1+x2）=f（2x）=2，成立．∴方程f（1+x2）=f（2x）的解集是{x|x≥0}．故答案为：{x|x≥0}．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）设数列{a n}a n=2n﹣1．（1）求数列{a n}的前n项和；（2）设数列{b n}满足b n=2，求数列{a n b n}的n项和．【解答】解：（1）数列{a n}的通项公式：a n=2n﹣1，则：数列为首项为1，公差为2的等差数列．所以：，（2）设数列{b n}满足b n=2=22n=4n，则：{a n b n}的通项公式为：，则：+…+（2n﹣1）•4n①，+…+（2n﹣1）•4n+1②，①﹣②得：﹣（2n﹣1）•4n+1﹣4．解得：，整理得：．当n=1时，T1=4，当n≥2时，，对n=1也成立，故，n∈N*．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（1）求证：PD⊥平面PAB；（2）求四面体PACD的体积．【解答】（1）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，AB ⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；（2）解：取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∵PA⊥PD，PA=PD，AD=2，∴PO=1．在△ACD中，由AD=2，AC=CD=，可得．∴．19．（12分）共享单车的推广给消费者带来全新消费体验，迅速赢得广大消费者的青睐，然而，同时也是露出管理、停放、服务等方面的问题，为了了解公众对共享单车的态度（“提倡”或“不提倡”），某调研小组随机的对不同年龄段50人进行调查，将调查情况整理如下表：年龄[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）[45，50）[50，55）人数76876565并且，年龄[20，25）和[40，45）的人中持“提倡”态度的人数分别为5和3，再从这两个年龄段中各随机抽取2人征求意见．（1）求年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率；（2）求年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率．【解答】解：（1）年龄在[20，25）中共有6人，其中持“提倡”态度的人数为5，其中抽两人，基本事件总数n==15，被抽到的2人都持“提倡”态度包含的基本事件个数m==10，∴年龄在[20，25）中被抽到的2人都持“提倡”态度的概率p==．（2）年龄在[40，45）中共有5人，其中持“提倡”态度的人数为3，其中抽两人，基本事件总数n′==10，年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度包含的基本事件个数m′==9，∴年龄在[40，45）中被抽到的2人至少1人持“提倡”态度的概率p′==．20．（12分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．【解答】解：（1）设AB的中点为M，则M（1，）由，得=0∴⇒即k AB=﹣，∴线段AB的垂直平分线的斜率为．∴线段AB的垂直平分线的方程为y﹣=，即9x﹣2y﹣8=0为所求．（2）设直线AB：y=kx+m．由得（1+9k2）x2+18kmx+9m2﹣9=0，x1+x2=﹣=2．⇒9k2+9km+1=0…①∵A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，∴k＜0，m ＞0…②△=（18km）2﹣4（1+9k2）（9m2﹣9）＞0⇒9k2﹣m2+1＞0…③，结合①②得m=（﹣k）+，当且仅当k=﹣时，取等号．此时，k=﹣满足③．∴直线AB在y轴上截距的最小值为．21．（12分）定义运算a⊗b=，设函数f（x）=x⊗（2﹣x）．（1）用代数方法证明：函数f（x）的图象关于直线x=1对称；（2）设g（x）=m2x+2+m，若f（e x）≤g（x）在区间[0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x⊗（2﹣x）==1﹣|1﹣x|设点（x0，y0）为y=f（x）上任意一点，则f（2﹣x0）=（1﹣|2﹣x0﹣1|）=（1﹣|1﹣x0|）=（1﹣|x0﹣1|）=y0=f（x0）∴f（2﹣x0）=f（x0），令2﹣x0=1+x，则x0=1﹣x，∴f（1+x）=f（1﹣x），即x=1是函数f（x）的对称轴，∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，（2）∵x∈[0，+∞），∴e x≥1，∴f（e x）=2﹣e x，∵f（e x）≤g（x）在区间[0，+∞）上恒成立，∴2﹣e x≤m2x+2+m，∴﹣e x≤m2x+m，∵﹣e x≤﹣1，∴m2x+m≥﹣1，当m=0时，恒成立，当m≠时，∴y=m2x+m在[0，+∞）为增函数，∴y≥m，∴m≥﹣1，故m的取值范围为[﹣1，+∞）．请考生在第22、23两题中选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求证：|PA|×|PB|为定值．【解答】解：（1）圆C的方程为ρ=6sinθ．转化为直角坐标方程：x2+y2﹣6y=0．证明：（2）点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，把直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+y2﹣6y=0，整理得：t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，（t1和t2为A和B对应的参数），则：t1•t2=﹣7（定值），故：|PA|×|PB|=|t1t2|=7为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|=，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6．当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，∴＜x＜2．当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣6}．（2）由以上可得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，若∀x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，只要﹣3≥t2﹣t，即2t2﹣7t+6≤0，求得≤t≤2．。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
四川省凉山州2020届高三第一次诊断性检测数学理试题(WORD版)
凉山州2020届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝｛1，2｝，B ＝｛一1，1，a ＋l ｝且A ⊆B ，则a ＝（ ）A. 1B. 0C. －1D. 22.在复平面内，复数z ＝（1＋i ）（2－i ）表示的点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限 C:第三象限 D.第四象限3.抛物线x 2＋3y ＝0的准线方程为（）A.x ＝34B. x ＝－32C. y ＝34 D 、y ＝－324.已知2|||a b =｜，()a b a -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A. 30º B..45º C. 60º D. 90º5.如右图所示的程序框图，若输出值y ＝1，则输入值x 的集合是（ ）A.｛0，1｝ B ，｛1，2｝ C ．｛0，2｝ D.｛1｝6.污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一。
凉山州某地区2019年空气质量为“良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为“良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为“良”的天数的年平均增长率应为（ ）（精确到小数点后2位）A. 0.13B.0.15C. 0.20D. 0.227.函数f(x)＝Asin(x ωϕ+)（其中A>0，||2πϕ<）的图象如图所示，为了得到g(x)＝Asin ωx 的图象，则只要将()f x 的图象（）A.向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向左平移3π个单位长度8、△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a ＝3，bcosA ＝sinB ，则A ＝（）A 、12πB 、6πC 、4πD 、3π 9.已知平面α，β，γ和直线l ，则“α∥β”的充分不必要条件是（）A. α内有无数条直线与β平行B. l ⊥α且l ⊥βC. γ⊥α且γ⊥β D 、 α内的任何直线都与β平行10.函数，其图象的对称中心是（）A. (0，1)B. (1.，－1）C. (1，1）．D. (0，－1)11．已知点M 为直线x ＋y －3＝0上的动点，过点M 引圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则点P(0，－1）到直线AB 的距离的最大值为（）12.若函数f(x)＝12x 2－a x ＋blnx 在区间(1，2)上有两个极值点，则b 的可能取值为（） A.3 B.4. C.5 D.6第II 卷 （选择题，共90分）二、填空题（共4小题．每小题5分，共20分）l3．3521()x x +的展开式中的常数项为 （用数字作答） ·14.已知0＜α＜2π，tan α＝43，则sin α＋cos α＝ 15．在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则小球体积的最大值为16.如图，直线PT 和AB 分别是函数f （x)＝x 3－3 x 过点P(2，2)的切线（切点为T)和割线，则切线PT 的方程为 ；若A (a ， f(a )），B(b ，f(b)）(b<a <2)，则a ＋b ＝（本题第一空3分，第二空2分）三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤，共70分）17.（12分）Sn 为等差数列｛n a ｝的前n 项和，a 1＝1，S 3＝9.(1）求｛n a ｝的通项公式；(2)设212n n n b a a -=+，求数列｛n b ｝的前n 项和Tn.18.（12如在某次数学考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班样 本成绩的茎叶图如图所示．(I)用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求x(x<10，x ∈N)的值；(2)从样本中任意抽取3名学生的成绩，若至少有两名学生的成绩相同的概率大于15，则该班成绩 判断为可疑。
一诊理科数学答案
在图2中有：在DABC中，AM ^ BC，M为BC的中点
\ AB = AC = 5,在DABD中，AC = 5，CD = 4，AD = 3
\ AC 2 = CD2 + AD2,\CD ^ AD...........................................................................4分
凉山州 2020 届高中毕业班第一次诊断性检测
数学（理科）参考答案及评分意见
评分说明： 1. 本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容 及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数，选择题不给中间分,16 题第一问为 3 分，第二问为 2 分。
3d即îíì9a1==31a1
+
3d
得：
îíìad1
=1 =2
..................................................................4
分
∴ an = 2n -1
..........................................................................................................................6 分
1
18.解：(1)设样本中甲、乙两班的平均成绩分别为x甲、x乙，则