积分第一中值定理
重积分积分中值定理
重积分积分中值定理
积分中值定理，是一种数学定律。
分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。
其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。
积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法，是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。
二重积分的中值定理：设f(x,y)在有界闭区域D上连续，是D的面积，则在D 内至少存在一点，使得定理证明设（x）在上连续，且最大值为，最小值为，最大值和最小值可相等。
由估值定理可得同除以（b-a）从而由连续函数的介值定理可知，即：命题得证。
推广的积分第一中值定理的应用
分析 这 是定 积分 不等 式 的证 明 ， 由于两 个 定积 分 的 积分 限相 同 ， 故 可 以合 并 成一 个 定 积 分 ．为 了方 便 计算 ， 可 以考 虑将 被积 函数 的一个 因子 提到 积分 号 的前 面 ．
ｉ ａ ｌ ！ ￣由 推 广 的 积 分 第 一 中 值 定 理 可 知 ， 存 在 ∈ （ ０ ， 詈 ） ， ． ， ７ ∈ （ 詈 ， 詈 ） ， 使 得 ：
证明由推广的积分第一中值定理可知存在cosxsinxcosxsinxdxcosxsinxcosxsinxdx13在积分等式证明中的应用对于一些较为复杂的定积分的极限证明问题还需要综合其它方法如分部积分法定积分的区间可加性迫敛性等对问题加以简化
第３ ６卷 第 ５期
Ｖｏ １ ． ３ ６ Ｎｏ． ５
一
中值定 理在 求解 某些 积分 问题 中的优越 性 ．
１ 推广 的积分 第一中值 定理的应用
１ ． １在 积分 极 限计算 中的应用 对 积分 号下 取极 限 的问题 ， 通 常可 以运 用定 积分 的基 本 性质 ， 特 别 是推 广 的积 分第 一 中值定 理 ， 把 积 分
化为简单易求的表达式．
南 ｓ … ＝ 舞 ， 南 一ｓ 一 簖，
菏
泽 １ ４年 １ ０月
０ｃ ｔ ． ２ ０１ ４
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｅ ｚ ｅ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
文章编号 ： １ ６ ７ ３—２ １ ０ ３ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ５— ０ ０ ９ ５—０ ３
推 广 的 积分 第 一 中值 定 理 的应 用
庄 科 俊
（ 安徽财经大学统计 与应用数 学学院 ， 安徽 蚌埠 ２ ３ ３ ０ ３ ０ ）
积分中值定理在数学分析中的应用
5.2 估计定积分的值 例 3 估计
∫
1
x 19 1+ x
6
0 3
dx 的值.
解 由推广的积分第一中值定理:
∫
因为
1
x 19 1 + x6
0 3
=
1
3
1+ ξ 6
∫
1
0
x19 dx =
1 1 , 其中 ξ ∈ [0,1] 6 20 3 1 + ξ
1 2 1
3
0 ≤ ξ ≤ 1, ∴ 3
即
≤
1+ ξ
0
x dx < ∫
9
1
x9 1+ x
0
dx < ∫ x 9 dx =
0
1
1 10
注 由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在 证明含有定积分的不等式时,也常考虑用积分中值定理,以便去掉积分符号,若被积函数是两 个函数之积时,可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如 6 和 7 例题时,可以根据估计定积 分的值在证明比较简单方便.
所以
1 dx 2 1 <∫ < . 0 2 3 2 2+ x− x
例 10 证明
1 10 2
<∫
1
x9 1+ x
0
dx <
1 . 10
证明
估计积分
∫ f (x )g (x )dx 的一般的方法是：求 f (x ) 在 [a, b] 的最大值 M 和最小
b a
值 m ,又若 g ( x ) ≥ 0 ,则
∫ f (x )dx 的一般的方法是求 f (x ) 在 [a, b] 的最大值 M
积分中值定理及应用
毕业论文题目：积分中值定理及应用学号：姓名：年级：系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：完成日期：年月日积分中值定理及应用摘要本论文的主要内容是积分中值定理及其应用，全文分为以下几个方面：积分中值定理及推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性、积分中值定理的应用。
首先讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二中值定理以及它们的推广，而且还给出了这些定理的详细证明过程。
其次研究了中值定理中值点ξ的渐进性，对第一积分中值定理的ξ点做了详细讨论，给出了详细清楚的证明过程。
而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其他证明过程只作简要说明。
最后归纳了积分中值定理的应用，给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号、比较积分大小，证明函数单调性还有阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。
关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性INTEGRAL MEAN V ALUE THEOREM AND APPLICATIONAbstractThe main content of this paper is integral mean value theorem and its application ,the letter divides into the following respects :Integral mean value theorem and promotion 、Integral mean value theorem point in the progressive 、The application of integral mean value theorem .First discuss the definite integral mean value theorem 、the first integral mean value theorem 、the first second mean value theorem and their promotion ,and it gives the theorem of the detailed process of proof .Secondly the mean value theorem point in the progressive ,the first integral mean value theorem to do a detailed discussion of the points ,gives the detailed processclear evidence .And the second integral mean-value theorem proved, the only problem with one of the case ,other identification process only briefly .Finally summarizes the integral mean value theorem of applications ,to give some simple situation such as estimated integral value ,calculation of the definite integral contains limit ,sure integral symbols ,contrast integral size ,prove functional monotonicity and the theorems proof of Abel discriminant method and DiLi klein discriminant method .Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 前言 (3)2积分中值定理 (4)2.1定积分中值定理及推广 (4)2.1.1定积分中值定理 (4)2.1.2定积分中值定理的推广 (6)2.2积分第一中值定理及推广 (6)2.2.1积分第一中值定理 (6)2.2.2积分第一中值定理的推广 (6)2.3积分第一中值定理及推广 (9)2.3.1积分第二中值定理 (9)2.3.2积分第二中值定理的推广 (12)2.4重积分的中值定理 (12)2.4.1二重积分的中值定理 (12)2.4.2三重积分的中值定理 (13)2.5曲线积分中值定理 (14)2.5.1第一曲线积分中值定理 (14)2.5.2第二曲线积分中值定理 (14)2.6曲面积分中值定理 (16)2.6.1第一曲面积分中值定理 (16)2.6.2第二曲面积分中值定理 (16)3 积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 (22)4 积分中值定理的应用 (24)4.1 估计积分值 (2424)4.2 求含定积分的极限 (25)4.3 确定积分号 (27)4.4 比较积分大小 (27)4.5 证明中值点的存在性 (2827)4.6 证明函数的单调性 (28)4.7 证明定理 (29)结论 (32)参考文献 (33)致谢 (34)1前言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。
对积分第一中值定理的探讨
ｌ （ ）（）ｘ一， ９ｌ （ ）ｘ ， ｚ ｇｘ ｄ （ ｘｄ ． ｇ
Ｊ ａ Ｊ ４
Ｉ ｘ ｇ ｘ ｄ 命题成立 ； ｚ ｆ（ ） （ ） ｘ， 当 ２＝ ｎ或 ２ ｂ ， 以证 ： 时 可
ａ
证 明 因为 函数 ， （ ）在［ ，］上连续 ， ｎ６ 故不妨设 在
ｌ （）（） ｘｇｘｄ ｆ ｘ一， ｌ （） ． ｇ ）三１ （ ｚｄ 当 （ 三 时， ｇ ｘ 三
Ｊ ａ
若 ｍ＜ Ｉ （）（） ／ ｇ ｘｄ ＜Ｍ， （１ ＜ ｘｇｘｄ ｌ （）ｘ ｆ ｘ 则ｆｘ）
Ｊ ａ Ｊ ４
ｒ６
ｌ （ ） 一 厂０（ 一 口 ． 出 ｆ （ ６ ）
积 分 中值 定 理 是 数 学 分 析 中 一 个 极 为 重 要 的 定 理 ， 它 在 函数 及其 积 分 之 间架 起 了 桥 梁 ， 过 它 既 可 以用 积 分研 通 究 函数 性 质 ， 又可 以 用 函数 研究 积分 性 质 ． 了 更 好 地 认 识 为
和 应用 积 分第 一 中值 定 理 ， 文 探 讨 了 积 分 第 一 中 值 定 理 本 的推 广 ， 以及 积 分第 一 中值 定 理 的逆 定 理 及 其 成 立 条 件 ．
２１ ０ ０年 ６月
郧 阳师 范高 等 专科 学校 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＹｕ ｙ ｎ ａ ｈ ｒ ｏ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｎ ａ ｇ Ｔｅ ｃ ｅ ｓＣ ｌ ｅ ｏ ｅ
Ｊ ｉ． ２ １ ｔ ｎ ００
Ｖｏ ． Ｏ ＮＯ ３ 【３ ．
第 ３ ０卷 第 ３期
对 积 分 第 一 中值 定 理 的探 讨
由厂ｚ 、（） ｎ６ 上可积保证了Ｉ （） （）ｘ （）ｇ ｚ 在［ ， ］ ｚ ｇｘ ｄ
三个中值定理
三个中值定理
三个中值定理的公式：
罗尔定理：如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使得f'(ξ）＝0。
柯西定理：如果函数f(x)及F(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导；（3)对任一x∈（a,b)，F'(x)≠0那么在（a,b)内至少有一点ξ，使等式［f(b)-f(a)]/=f'(ξ）／F'(ξ）成立。
拉格朗日定理：如果函数f(x)满足在闭区间［a,b]上连续；在开区间（a,b)内可导。
那么在（a,b)内至少有一点ξ（a<ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a)成立。
积分中值定理：
积分中值定理，是一种数学定律。
分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。
其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。
这个定理的几何意义为：若f(x)≥0，x∈［a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f(ξ)的矩形的面积。
积分中值定理的推广及应用
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１积分中值定理的推广及应用积分中值定理的推广及应用Һ丁建华㊀（甘肃有色冶金职业技术学院教育系，甘肃㊀金昌㊀７３７１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文首先对积分中值定理的几何特征进行详细介绍，并对该定理中ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上恒为常数㊁ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不为常数函数做出一定的补充，并证明此结论也是成立的；其次，对第一积分中值定理和第二积分中值定理进行了推广，并进一步证明了结论的准确性；最后，通过不等式的证明㊁极限的求值进一步验证了改进结论的正确性．ʌ关键词ɔ中值定理；连续性；不等式一㊁积分中值定理的几何特征与补充积分中值定理的几何意义可以理解为：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上非负连续时，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ在几何上可以表示为ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ及ｘ轴所围成的曲边梯形面积（如图１，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ表示曲边梯形ＡａｂＢ的面积）．根据闭区间上连续函数的性质，ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在最大值Ｍ和最小值ｍ，即∀ｘɪ［ａ，ｂ］，有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，从而ｍ（ｂ－ａ）ɤʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ（ｂ－ａ）．它可以化为ｍɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ．由连续函数的介值定理，则至少有这样的一个点ξɪ［ａ，ｂ］，使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，则ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．根据上面知识点，我们可以获得数学分析中常用的重要积分学性质和定理．积分中值定理㊀若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则在［ａ，ｂ］上至少存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）（ａɤξɤｂ）．这里要求函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续即可，对函数没有严格要求．进一步地，我们可将ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续的这一条件更改为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，其结论仍然成立．当ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续且非负时，积分公式ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）有着明显的几何意义，即ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的曲边梯形面积等于以图１所示的ｆ（ξ）为高㊁［ａ，ｂ］为底的矩形面积，即以ｆ（ξ）为高的矩形ＡａｂＤ的面积．㊀图１通过对上面图１进一步分析，我们可以发现定理中的ξɪ［ａ，ｂ］可以改为ξɪ（ａ，ｂ），事实上，若ξ仅取在［ａ，ｂ］的端点上，不妨设ξ＝ａ，则可从图２中看出，曲边梯形ＡａｂＢ的面积ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ与矩形ＡａｂＤ的面积不可能相等．㊀图２本文给出如下两种证明．证法一：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上恒为常数，则ξ取（ａ，ｂ）内任意一点，结论都是成立的．若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为一个变量函数，设Ｍ，ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值，则存在ｘ０ɪ（ａ，ｂ），使得ｍɤｆ（ｘ０）ɤＭ．事实上，若这样的ｘ０不存在，则在［ａ，ｂ］上必存在一点ｘ１，使得ｆ（ｘ）在ａ，ｘ１[]上恒有ｆ（ｘ）＝ｍ或ｆ（ｘ）＝Ｍ()，在［ｘ１，ｂ］上恒有ｆ（ｘ）＝Ｍ（或ｆ（ｘ）＝ｍ）．这样一来，ｘ１是间断点，与ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续矛盾．又ｆ（ｘ）在ｘ０连续，则存在δ＞０，ｘ０－δ，ｘ０＋δ()⊂［ａ，ｂ］，当ｘ－ｘ０＜δ时，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜Ｍ－ｆ（ｘ０）２和ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜ｆ（ｘ０）－ｍ２，从而Ｍ－ｆ（ｘ０）＞Ｍ－ｆ（ｘ０）２＞０，ｆ（ｘ０）－ｍ＞ｆ（ｘ０）－ｍ２＞０，于是ʏｘ０＋δｘ０－δ［Ｍ－ｆ（ｘ）］ｄｘȡʏｘ０＋δｘ０－δＭ－ｆ（ｘ０）２éëêùûúｄｘ，即ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘɤＭ－ｆ（ｘ０）２ʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，又ｆ（ｘ０）＜Ｍ，ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，同理有ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，于是ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏｘ０－δａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂｘ０＋δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０－δａｄｘ＋Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ＋Ｍʏｂｘ０＋δｄｘ＝Ｍ（ｂ－ａ）．同理可得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍ（ｂ－ａ），㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１因此ｍ（ｂ－ａ）＜ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ（ｂ－ａ），即ｍ＜１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ．由介值定理，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），其中ξɪ（ａ，ｂ）．证法二：作辅助函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ，ｘɪ［ａ，ｂ］，则Ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的可微函数，且Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），由微分中值定理，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ａ）－Ｆ（ｂ）＝Ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）．注意到，Ｆ（ｂ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｆ（ａ）＝０，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），ξɪ（ａ，ｂ）．于是，我们可以进一步将积分中值定理进行推广．设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不能等于零，同时符号不会改变，在这样特殊的情形下，可以得到如下的结论，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．令Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ，Ｇ（ｘ）＝ʏｘａｇ（ｔ）ｄｔ，则由微分学的柯西中值定理知，Ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）Ｇ（ｂ）－Ｇ（ａ）＝Ｆᶄ（ξ）Ｇ（ξ），ξɪ（ａ，ｂ），即有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ｇ（ξ）ｇ（ξ），ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．但当ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］只是可积分，并且恒为正或恒为负时，前面我们进行推导的思路完全行不通，即不可能成立，因为可积不变号时，ｇ（ｘ）可以等于零，我们就不能使用上面的结论了．二㊁第一㊁第二积分中值定理的推广及其证明积分第一中值定理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积不变号，则在［ａ，ｂ］存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．积分第二中值定理设（ⅰ）ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续；（ⅱ）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递增且连续；（ⅲ）ｆ（ｘ）ȡ０，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．推论１．若积分第二中值定理中的递增改为递减，其他条件不变的情况下，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ．２．若积分第二中值定理中的ｆ（ｘ）ȡ０去掉，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．当ξ所在区间［ａ，ｂ］变为（ａ，ｂ），其余条件㊁结论不变，我们就可以将积分中值定理进一步推广．接下来，我们进一步证明积分中值定理的推广定理，先验证积分第一中值定理的推广．证明㊀由于ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续．设Ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值，ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最小值，即有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，又由于ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上定号，不妨令ｇ（ｘ）ȡ０（ｇ（ｘ）ɤ０的情况同理），从而有ｍｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ɤＭｇ（ｘ），即ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘɤＭʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（１）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝０，由上面不等式的结论可知，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，因此有ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（２）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０．（ⅰ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ｍ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ时，由闭区间上连续函数的介值定理我们可以知道，有一ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（ⅱ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，（ａ）假如有一ξɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ξ）＝ｍ，我们可以得到ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ结论成立．（ｂ）除此之外，对任意的ｘɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ｘ）＞ｍ，而由ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０，必定存在充分小的数η，使得ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０（倘若不然的话，对于任意的正数η，都有ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０，从而ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍηң０ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０与ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０矛盾）．于是得到０＝ʏｂａ［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘȡʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ．利用原积分中值定理，得ʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ξᶄ）－ｍ］ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０，ξᶄɪ［ａ＋η，ｂ－η］⊂（ａ，ｂ）．与之比较，知矛盾．（ⅲ）Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，这个证明类似于证㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１明（ⅱ）的过程．综上所述，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ成立．证毕！根据积分第一中值定理的推广证明，我们同样可以对积分第二中值定理的推广进行证明．接下来，我们试证积分第二中值定理的推广结果．证明㊀由ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，从而有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｇ（ｘ）ｄＦ（ｘ）＝ｇ（ｂ）Ｆ（ｂ）－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ－ｇ（ａ）Ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ．对于ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ应用推广的第一积分中值定理，得到ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］，其中ξɪ（ａ，ｂ），从而有ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ｇ（ｂ）ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂξｆ（ｘ）ｄｘ[]－ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．证毕！三㊁积分中值定理的应用例１㊀证明下列积分不等式：（１）π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＜π２；（２）２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．证明㊀（１）由积分中值定理，有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＝１１－１２ｓｉｎ２ξ㊃π２，其中ξɪ０，π２()，当ξɪ０，π２()时，有０＜ｓｉｎ２ξ＜１，从而１＜１１－１２ｓｉｎ２ξ＜２，因此有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ξｄｘ＜π２．证毕．（２）由定积分性质，有ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＝ʏ１２０ｅｘ２－ｘｄｘ＋ʏ２１２ｅｘ２－ｘｄｘ＝１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２，其中ξ１ɪ０，１２()，ξ２ɪ１２，２()，又ｅｘ在－ɕ，＋ɕ()上严格单调递增，而ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘ在０，１２[]上严格单调递减，在１２，２[]上严格单调递增，所以，当ξ１ɪ０，１２()时，ｅ－１４＜ｅξ２１－ξ１＜１；当ξ２ɪ１２，２()时，ｅ－１４＜ｅξ２２－ξ２＜ｅ２．从而１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＞１２ｅ－１４＋３２ｅ－１４＝２ｅ－１４，１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＜１２＋３２ｅ２＜２ｅ２，因此２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．如果ξ取自任意闭区间，使得积分中值定理成立，则需要将例１的证明结果做进一步的讨论．由此可见，对积分中值定理进行改进或者推广对我们的学习很有帮助，当然，我们也要合理使用该定理，否则就会出现错误的结论．例２㊀证明：ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．如果利用积分中值定理，得ʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ξｎ１＋ξ，其中ξɪ０，１()，从而ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ｌｉｍｎңɕʏ１０ξｎ１＋ξｄｘ＝０，这是错误的，因为ξ与ｎ有关．正确的解法是：因为０ɤｘｎ１＋ｘɤｘｎ，ｘɪ０，１[]，所以０ɤʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘɤʏ１０ｘｎｄｘ，而ʏ１０ｘｎｄｘ＝１１＋ｎ，ｌｉｍｎңɕ１１＋ｎ＝０，因此ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．证毕！ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］黎金环，刘丽霞，朱佑彬．积分中值定理在一道极限题的应用分析［Ｊ］．高等数学研究，２０２１（２）．［３］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．［４］郝玉芹，时立文，欧阳占瑞．对积分中值定理结论的一点改动［Ｊ］．河北能源职业技术学院学报，２００７（３）．［５］周冰洁．巧用积分中值定理［Ｊ］．现代职业教育，２０１９（３１）．［６］余小飞．积分中值定理在积分不等式中的应用［Ｊ］．当代教育实践与教学研究，２０１７（８）．。
关于积分第一中值定理的证明和推广
关于积分第一中值定理的证明和推广
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
徐秋丽， XU Qiu-li 廊坊师范学院数学系,河北廊坊,065000
长春师范学院学报（自然科学版） JOURNAL OF CHANGCHUN TEACHERS COLLEGE（NATURAL SCIENCE） 2005，24(1) 1次
B中图分类号CF#G!,! B文献标识码CH
B文章编号C#&&IJ#GIK $!&&’%&#J&&&GJ&!
#,积 分 第 一 中 值 定 理 的 证 明
在文 中 B#C 给出了积分第一中值定理及其 证 明@此 定 理 主 要 是 利 用 连 续 函 数 在 闭 区 间 上 的 性 质 及 介
值定理来证明的@下面将借助辅助函数将问题转化为罗尔中值定理的情形对 积分第 一中 值定理 给出了
a7$S!%J7$S#%aQa$S!JS#%J$M$S!%J M$S#%%a[$#Jc%aS!JS#a 从而 7是B2@NC到自身的压缩映象@由 d21295不动点原理@存在唯一一点 OZB2@NC@使得 7OQO@
X
M$;%T;
X
P P 即 M$O%Q
Y
NJ
2
@从 而 Q
M$;%T;Q M$O%$NJ2%
Y
B收 稿 日 期 C!&&"e #&e #! B作者简介C徐秋丽$#fGGJ %@女@黑龙江青冈人@廊坊师范学院数学系助教@哈尔滨师范大学硕士研究生@从事基础数学研究D
g Gg
!"积 分 第 一 中 值 定 理 的 几 个 推 广
积分第一中值定理的逆问题及其推广
积分第一中值定理的逆问题及其推广蒋平 01211063(徐州师范大学 数学系 徐州 221116)摘 要 本文给出了推广的积分第一中值定理的逆问题并加以证明. 在此基础上，给出了二维积分中值定理逆问题的证明.关键词 积分第一中值定理；逆问题；连续函数；可积一． 问题的引出文[1]讨论了积分第一中值定理的逆问题，受之启发，本文给出了推广的第一积分中值定理的逆问题的证明. 并在文[2]的基础上，本文也证明了该逆问题的二维推广形式.为了叙述方便，下面把推广的积分第一中值定理及二重积分中值定理分别作为定理1与定理2引述如下.定理]3[1 若函数()x f 与()x g 在闭区间[]b a ,上连续且()x g 在[]b a ,上恒正（或恒负），则在[]b a ,上至少存在一点ξ，使得()()()()dx x g f dx x g x f b a b a ⎰⎰=ξ. 注 若本定理中的条件“()x g 在[]b a ,上连续”减弱为“()x g 在[]b a ,可积”时，定理仍然是成立的.定理2[]4 若函数()y x f ,在闭区域D 上连续，函数()y x g ,在D 上可积且恒正（或恒负），则存在一点()ηξ,∈D ，使得()()()()⎰⎰⎰⎰=DD dxdy y x g f dxdy y x g y x f ,,,,ηξ.定理1的逆问题为：若函数()x f 与()x g 在闭区间[]b a ,上连续，()x g 在[]b a ,上恒正（或恒负）. 则对于[]b a ,上任意一点ξ，必存在[βα,]⊂[]b a ,，使得∈ξ[βα,]， 并且 ()()()()dx x g f dx x g x f ⎰⎰=βαβαξ. 一般情况下，上述命题是不一定成立的. 反例如下设()=x f 2x ，()1=x g ，x ∈[]1,1-. 取0=ξ，则容易推出 ⎰=βα02dx x即 =⎪⎭⎫ ⎝⎛βα331x 31()033=-αβ. 于是αβ=，这便和βα≠相矛盾.同样的，二维积分中值定理的逆问题在一般情况下也是不能保证其是成立的. 下面给出定理1和定理2的逆定理.二．问题的结果及证明1.对推广的积分第一中值定理的逆问题的讨论现把推广的积分第一中值定理的逆问题作为定理3叙述如下定理3 若函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续且严格单调，()x g 在[]b a ,上可积且恒正（或恒负），则对任意的∈ξ[]b a ,，必存在[]βα,⊂[]b a ,，使得∈ξ[]βα,，且满足 ()()()()dx x g f dx x g x f ⎰⎰=βαβαξ. 证明： 函数()x f 是严格单调的，不妨设它为严格单调递增且()x g 0>(其他的情况证明类似). 对于ξ∈[]b a ,，取[]11,βα⊂[]b a ,，使得ξ∈[]11,βα. 根据积分保号性可知()⎰>110βαdt t g 现设 =K ()()()⎰⎰1111βαβαdt t g dt t g t f . （1） 若()K f =ξ, 则取 []βα,=[]11,βα即可.（2） 若()K f >ξ，现设=)(x K ()()()⎰⎰11ββx x dt t g dt t g t f ，其中x []ξα,1∈则()()ξξK f -= ()-ξf ()()()⎰⎰11βξβξdt t g dt t g t f . 据定理1知, 存在'ξ∈[]1,βξ，使得()()()()⎰⎰=11'βξβξξdt t g f dt t g t f于是()()ξξK f -= ()-ξf ⎰⎰11)()()('βξβξξdt t g dt t g f = ()()'ξξf f -0≤. 所以 ()()()ξξαK f K K ≤<=1.由于函数()x K 在[]b a ,上也是连续的. 于是根据连续函数的介值性定理知，存在1x []ξα,1∈, 使得()()ξf x K =1即()()()()⎰⎰=1111ββξx x dt t g f dt t g t f . 此时取 []βα,=[]11,βx []b a ,⊂即可.（3） 若()K f <ξ,现设)(x K = ()()()⎰⎰x x dt t g dt t g t f 11αα，其中x []1,βξ∈则()()ξξK f -= ()-ξf ()()()⎰⎰ξαξα11dt t g dt t g t f . 据定理1知，存在'ξ∈[1α,ξ]，使得()()()()⎰⎰=ξαξαξ11'dt t g f dt t g t f 则 ()()ξξK f -()ξf =()()()⎰⎰-ξαξαξ11'dt t g dt t g f = ()()'ξξf f -0≥. 于是 ()()()K K f K =<≤1βξξ.对于函数()x K ，据连续函数的介值性定理知，存在2x []1,βξ∈, 使得()()ξf x K =2即()()()()⎰⎰=2121x x dt t g f dt t g t f ααξ. 此时取 []βα,=[]21,x α[]b a ,⊂即可.注1 在该定理中，若令()1≡x g ，便得到文[1]所研究的结论，即推论 函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续且严格单调，则对任意的ξ∈[]b a ,，必存在[]βα,⊂[]b a ,，使得∈ξ[]βα,，并满足()()()αβξβα-=⎰f dx x f .注 2 在该定理中的条件“()x f 严格单调”的条件是必不可少，否则便不能保证结论成立.对此前面已做出说明.2.对二维积分中值定理逆问题的证明现把二维积分中值定理的逆问题作为定理4叙述如下定理4 若函数()y x f ,在有界区域D 上连续且关于y x ,分别严格单调递增（或递减），函数()y x g ,在D 上连续且恒正（或恒负），则对于任意的() D ∈ηξ,（其中 D 表示D 的内部），存在区域D E ⊂，使得()E ∈ηξ,，且()()()()⎰⎰⎰⎰=EE dxdy y x g f dxdy y x g y x f ,,,,ηξ .证明： ()y x f ,在有界区域D 上严格单调，不妨设为严格单调递增且()0,>y x g （()y x f ,在D 上严格单调递减的情况类似可证）.对任意的() D ∈ηξ,，存在),(ηξ的一个邻域[][]D d c b a D ⊂⨯=,,1，暂将y 固定[]()d c y ,∈. 对于任意的[]b a ,∈ξ，据定理3，存在[][]b a x x ,,21⊂，使得()()⎰=21,,x x dx y x g y x f ()()()()y G y f dx y x g y f x x ,,,21ξξ⎰= 其中 ()=y G ()dx y x g x x ⎰21,.这里的),(y f ξ在[]d c y ,∈上连续且严格单调递增，又因为()y x g ,在D 上连续且()y x g ,>0，于是()y G 在[]d c ,上可积且恒正.对于()y f ,ξ与()y G ，再次运用定理3，对任意的[]d c ,∈η，存在[][]d c y y ,,21⊂，使得()()()()⎰⎰=2121,,y y y y dy y G f dy y G y f ηξξ. 取=E [][]2121,,y y x x ⨯，于是()()()()⎰⎰⎰⎰=E y y x x dx y x g y x f dy dxdy y x g y x f 2121,,,, =()()⎰⎰2121,,x x y y dx y x g y f dy ξ =()()⎰21,y y dy y G y f ξ =()()dy y G f y y ⎰21,ηξ =()()⎰⎰2121,,y y x x dx y x g dy f ηξ =()()⎰⎰Edxdy y x g f ,,ηξ. 综上，定理获证.参考文献[1] 周友明. 第一积分中值定理的逆问题及其渐进性[J]. 大学数学，2004，20（2）：121-126.[2] 郝建丽，刘继全. 二重积分中值定理的逆命题[J]. 商丘师范学院学报，2001， 17（2）：109-111.[3] 华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M]. 北京：高等教育出版社，1991. 294-295.[4] 杨熙泉. 二重积分的第一中值定理[J]. 山东工业大学报，1995，25（4）：398-400.Inverse Problem of the First Mean Value Theorem forIntegrals And its generalizationJiang ping 01211063(Dept. of Math. Xuzhou Normal University, Xuzhou 221116)Abstract In this paper, we discuss the inverse problem of the first mean value for integrals. On this base, we also prove the mean value theorem of the double integrals. Keywords the first mean value for integrals; inverse problem; continuous function; integrable。
大学微积分(上)第四章 中值定理
2
证 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
f ( x ) ( 1 1 x
2
) 0.
f ( x) C ,
x [1,1]
又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即C . 2 arcsin x arccos x . 2
o
a
x1 x2
x4
x5 b
x
一、函数的极值
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
y 2 1
o
极大点与极小点统称为极值点 . 为极大点 , 为极小点 , 是极大值 是极小值
1 2
x
注意: 1) 函数的极值是函数的局部性质. 2) 对可导函数, 极值可能出现在导数为 零的点
第四章 中值定理及导数的应用
在本章中, 要利用导数来研究函数的性质与形态.
如: 函数增量与自变增量之间的关系;
凹凸、最大，最小、图形等.
函数的单调、
中值定理是利用导数研究函数的理论基础.
第一节 中值定理
洛尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理
y
x 1 , x4 为极大点 x 2 , x5 为极小点
解：∵ f (x)在[0, ]上连续，在(0, )上可导， 且 f(0) = f() ∴由洛尔定理知： 在(0, )内至少有一点，使 f ()=0，
即: cos =0, 故=/2。
例2
验证洛尔定理对函数 f ( x ) x 3 4 x 2 7 x 10 在 [1,2]上的正确性。 解：∵ f (x)在[－1, 2]上连续，在(－1, 2)上可导， 且 f(－1) = f(2) ∴由洛尔定理知：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.1 积分第一中值定理
若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得
()()()b
a
f x dx f b a ξ=-⎰
证明：由定积分性质知
()()()b
a
m b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （1）
其中M ，m 分别是函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值。
把（1）式各除以b a -，得
1()b
a
m f x dx M b a ≤≤-⎰。
这表明，确定的数值1()b
a f x dx
b a
-⎰介于函数()f x 的最小值m 和最大值M 之间。
根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在着一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个确定的数值相等，即应有：
1()()b
a f x dx f
b a
ξ=-⎰ （a b ξ≤≤） 两端乘以b a -，即得所要证的等式。
说明：这里的ξ是在[,]a b 上取值，实际上，也可以在开区间(,)a b 的，即
(,)a b ξ∈时，定理同样成立。
现证明如下：
记
()b
a
f x dx b a
μ=-⎰，则(())0b
a
f x dx μ-=⎰。
若a x b <<时()()0f x μ-><，则，(())()0b
a
f x dx μ-><⎰，均矛盾。
故有，12,a b x x <<使1()f x μ≤，2()f x μ≥， 故存在(,)a b ξ∈使()f ξμ=。
即()()()
b
a f x dx f
b a ξ=-⎰
证明完毕
推广的积分第一中值定理：
若函数()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变号，则在
[,]a b 上至少存在一点ξ，使得：
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f g x dx ξ=⎰
⎰ （a b ξ≤≤）
证明： 因为()f x 在[,]a b 上连续，()f x 在[,]a b 上必有最大值M 和最小值m ，又由于()g x 在[,]a b 上可积且不变号，不妨设()0g x ≥，()b
a I g x dx =⎰，于是
()()()(m g x f x g x M g x
≤≤ 从而 ()()b
a
m I f x g x d x M
I ≤≤⎰
（2） 若I ＝0，则由（2）式知 ()()0b
a
f x
g x dx =⎰
，从而任取ξ(,)a b ∈均可以使等
式成立。
现设I >0，将（2）式改为m M μ≤≤，其中
1()()b
a f x g x dx I
μ=
⎰ （3） 如果(,)m M μ∈，则由连续函数的介值性必存在ξ(,)a b ∈使()f ξμ=，从而等式得证。
如果m μ=，则由于()b
a I g x dx =⎰>0，必存在11[,](,)a
b a b ⊂使得恒有
()0g x >，11[,]x a b ∈，若不然，则在(,)a b 的任何闭子区间
i
x 上都有i
ξ
使得
()0i
g ξ=，依定积分定义便有()b
a
I g x dx =⎰＝0，这与I >0矛盾，由于m μ=，今
改（3）为
[()]()0
b
a
f
x m g x d x -=⎰ （4） 注意到 [()]()0f x m g x -≥，必有
1
1[()]()0b f x m g x d x a -=⎰ （5） 否则由11
b a ⎰>0及1
0a a
≥⎰，10b b ≥⎰，就有b a ⎰＝11
b a ⎰＋1a a
⎰＋1b b ⎰>0，矛盾。
今证存在ξ∈11[,](,)a b a b ⊂，使()f m ξμ==，若不然，则在11[,]a b 上恒有
()0f x m ->及()0g x >，从而[()]()0f x m g x ->，故11
[()]()0b
f x m
g x dx a ->⎰，这
与（5）式矛盾，同理可证M μ=的情形。
总之，存在ξ(,)a b ∈使等式成立。