不定积分积分中值定理极限成贤

1
5.
(x2
1)( x
dx 1)
四.积分问题(四)
1
1.
dx
x3 x
2.
dx (2 x) 1 x
x2 1
3.
dx
x
4.
dx
(2x2 1) x2 1
5. 1 ex dx
6. e 1x dx
7. cos xdx
积分中值定理与罗尔定理的应用
证明下列各题:

1
提 示 ： 去 证 明
0
f ( x )dx

0
f ( x )dx ,
1
x
即证 0
f ( x )dx 递减
x
(8)

dx cos 2
x


Hale Waihona Puke Baidusec2
xdx

tan x C
(9)

d sin
x
2
x

csc2
xdx

cot
xC
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
若 对的a ,b有 ab f ( t )dt与a无 关,求f ( x ) a
例.
例 .设f ( x )在0,1上连续，在0,1上可导
且f ( 0 ) 0, 0 f ( x ) 1
求
证
:

1 0
f(
x
)dx

2

1 f 3( x )dx
0
例.

1
0 f ( x )dx 0 f ( x )dx,
变上限积分问题
1.变上限积分问题
x
(x) a f (t) d t
x
(x) (a f (t) d t) f (x)
(被积函数中不含自变量x)
2.变限积分求导:
d (x)
dx a
f (t) d t

f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
ln a
一、积分问题（一）

4.
1

x cos
2x
dx
5. x tan2 xdx
5
ln(1 x) dx (2 x)2
6.
arctan x x2 dx
7.
ex
sin 2
xdx 2
二、积分问题（二）
1 sin2 x
1.
dx
1 cos 2x
1
2.
(1).设f (x)在1,3上连续，在 1,3上可导,
且f (1) 3 x2 f (x)dx。证明 1,3，使 2 2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f (x)在2,4上可导,且
f (2) 4 (x 1)2 f (x)dx。 3
证明 2,4，使2 f ( ) (1 ) f ( )
不定积分问题
一，不定积分性质
(1)
d dx


f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
二、 基本积分表
利用逆向思维
(1) kdx kx C
( k 为常数)
(2)
dx sinx
例. 求
0 0
例. 确定常数 a , b , c 的值, 使
1
例.
t ln tdt cos x
lim
x0
x(arctan
x)3
例.
x (et2 1 t 2 )2 dt
lim 0
x0 t(arctan t)4
例.
例 设隐函数y y( x )由
x3 y2 et2 dt y 0确定, 求y( x ) 0
1

3
cos2
dx x
3.
cos
1 x

dx 2
4.
sin x 1 sin
dx x
5.
sin cos x
x
dx 2
1
6.
sin
x
cos3
dx x
三、积分问题（三）
x4
1. 1 x2dx
1
2.
x(
1

x4
dx )
1
3.
x(
xn

dx 1)
1 x7
4.
x(
x7

1
dx )
x dx
1
1
x

1

C
( 1)
(3)

dx x

ln
x
C
(4)

1
dx x
2

arctan
x
C
或 arccot x C
(5)

dx arcsin x C 1 x2
或 arccos x C
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
例
设f ( x )是 以T为 周 期 的 连 续 函 数 ， 证明 ：
对的x有
xT
T
f ( t )dt f ( t )dt
x
0
例 设f ( x )是 a,a内的连续函数，
证 明 若f ( x )为 奇 （ 偶 ） 函 数,则 x f ( t )dt 0 偶（奇）函数
例 设f ( x )是连续函数，f (1) 1
f
(t) d t

d dx

a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t

f [(x)](x) f [ (x)] (x)
例. 求 d x2 1 t 2 dt
dx 0
例.
求 d x3 1 dt
dx x2 1 t 4
例.
求 d cos x 1 t 2 dt