第二章 基本初等函数全章教案
第二章 基本初等函数（Ⅰ） 一、课标要求： 教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 3. 理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=ax的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 4. 通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 5. 理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 6. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=logax符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 7. 知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.
8. 通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,yxyxyxyx的图象，了解它们的变化情况 .
二、编写意图与教学建议： 1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设. 2. 在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用. 3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展 . 4. 教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担. 5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 .. 6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
三、教学内容与课时安排的建议 本章教学时间约为14课时. 2.1 指数函数： 6课时 2.2 对数函数： 6课时 2.3 幂函数： 1课时 小结： 1课时
§2.1.1 指数（第1—2课时） 一．教学目标： 1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法： 通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质. 3．情态与价值 （1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想； （2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点 1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 三．学法与教具 1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2．教具：多媒体 四、教学设想： 第一课时 一、 复习提问： 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若2xa，则x叫做a的平方根.同理，若3xa，则x叫做a的立方根. 根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.
二、新课讲解 类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.
n次方根：一般地，若nxa，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ＊,当n为偶数
时，a的n次方根中，正数用na表示，如果是负数，用na表示，na叫做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号na表示，其中n称为根指数，a为被开方数. 类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？ nnnanaanana为奇数, 的次方根有一个,为
为正数:
为偶数, 的次方根有两个,为
nnanaanan为奇数, 的次方根只有一个,为
为负数:
为偶数, 的次方根不存在.
零的n次方根为零，记为00n 举例：16的次方根为2，527527的次方根为等等，而27的4次方根不存在. 小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况. 根据n次方根的意义，可得：
()nnaa
()nnaa肯定成立，nna表示an的n次方根，等式nnaa一定成立吗？如果不一定成立，那么
nn
a等于什么？
让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.
通过探究得到：n为奇数，nnaa
n为偶数, ,0||,0nnaaaaaa 如34334(3)273,(8)|8|8 小结：当n为偶数时，nna化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误： 例题：求下列各式的值 （1）33(1)(8) 2(2)(10) 44(3)(3) 2(4)()ab
分析：当n为偶数时，应先写||nnaa，然后再去绝对值. 思考：()nnnnaa是否成立，举例说明. 课堂练习：1. 求出下列各式的值 473473(1)(2)(2)(33)(1)(3)(33)aaa
2．若2211,aaaa求的取值范围. 3．计算343334(8)(32)(23) 三．归纳小结： 1．根式的概念：若n＞1且*nN，则n,xaxan是的次方根,n为奇数时,=
n为偶数时，nxa；
2．掌握两个公式：(0),||(0)nnnaananaaaan为奇数时,()为偶数时, 3．作业：P59习题2.1 A组 第1题
第二课时 提问： 1．复习初中时的整数指数幂，运算性质？
00,1(0),0naaaaaaa无意义
1(0)nnaaa
;()mnmnmnmnaaaaa (),()nmmnnnnaaabab 什么叫实数？ 有理数，无理数统称实数. 2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
① 1051025255()aaaa ② 884242()aaaa ③ 1212343444()aaaa ④5105102525()aaaa 小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如： 232
3(0)aaa
12(0)bbb
554
4(0)ccc
即：*(0,,1)mnmnaaanNn 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
*(0,,)mnmnaaamnN
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：*1(0,,)mnmnaamnNa
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，
而不是111(0)nmmmmaaaaa 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）(0,,)rsrsaaaarsQ
（2）()(0,,)rSrsaaarsQ （3）()(0,0,)rrrababQbrQ 若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62. 即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2.
所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，25的近似值从小于25的方向逼近25. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，25的近似值从大于25的方向逼近25，(如课本图所示)
所以，25是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂(0,)paap是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考：32的含义是什么？ 由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：
(0,,)rsrsaaaarRsR
()(0,,)rsrsaaarRsR ()(0,)rrrababarR 3．例题 （1）．（P51，例2）求值
解：① 2223323338(2)224
② 1112()21222125(5)555 ③ 5151(5)1()(2)2322 ④334()344162227()()()81338 （2）．（P51，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0） 解：117333222.aaaaaa 22823222333aaaaaa
314421
33332
()aaaaaaa
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 课堂练习：P54练习 第 1，2，3题 补充练习：
高中语文《第二章基本初等函数(Ⅰ)小结》440教案教学设计讲
2.4.1第二章基本函数复习小结知识网络图：函数研究的基本方法流程图：重要结论：在f(x)，g(x)的公共定义域内：①若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)+g(x)是增函数；（简记为增函数+增函数=增函数）②若f(x)是减函数，g(x)是减函数，则f(x)+g(x)是减函数；（简记为减函数+减函数=减函数）③若f(x)是增函数，g(x)是减函数，则f(x)－g(x)是增函数；（简记为增函数－减函数=增函数）④若f(x)是减函数，g(x)是增函数，则f(x)－g(x)是减函数.（简记为减函数－增函数=减函数）（一）函数单调性的复合运算规律⑤若f(x)是增函数，则1()fx是减函数(()0)fx；⑥若f(x)是增函数，则()fx是增函数(()0)fx；⑦若f(x)是增函数，则－f(x)是减函数;⑧若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)·g(x)是增函数(()0()0).fxgx，证明:令u=f(x),则1yu∵u=f(x)是增函数，1yu在u∈(0+∞)是减函数,且u>0，1()yfx是减函数.⑤增减减减增减减减增增增增y=f[g(x)]y=f(u)u=g(x)对于复合函数y=f[g(x)],若u=g(x)在区间(a，b)上单调增(减)函数，且y=f(u)在区间(g(a)，g(b))(或(g(b)，g(a))上是单调函数，则y=f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性如下：（二）复合函数的单调性判断法则（三）函数奇偶性的复合运算规律（1）一般性结论（0k）：()fx()gx()kfx()kfx()()fxgx()()fxgx[()]fgx奇奇奇奇偶奇偶偶偶偶偶偶偶奇偶奇奇非奇非偶奇偶（2）一般性结论：对于任意函数f(x)而言，若f(x)与f(-x)的定义域的交集不是空集,则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.（3）一般地，任意一个函数f(x)可以表示成一个奇函数与偶函数之和：()()()()()22fxfxfxfxfx1200.25634337211.5()82(23)().63（）1.指数与对数运算例1.化简求值：解：(1)31log22230.25531(2)(log3)3log9log5log1.411211113 6333442232()(2)2(23)[()]23原式113123334422()2223()332427110.解：31log22230.25531(2)(log3)3log9log5log1.4原式05log913)3log21(2152log23132912)21(122912141.421若－1＜loga23＜1，求a的取值范围．例2.解：21log13a2logloglog3aaaaa12logloglog3aaaaa①当a＞1时，y＝logax为增函数，123aa得3.2a②当0＜a＜1时，y＝logax为减函数，123aa得30.2a综上a的取值范围为：230.32aa或2.指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质应用例3.已知f(x)＝lgx，则y＝f(1－x)的图象是()解：由题意得：y＝f(1－x)＝lg(1－x)由y＝lgx作关于y轴对称图象得到y＝lg(－x)再向右平移1个单位得y＝lg(－x＋1)的图象，再把x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，得到y＝lg(1－x)的图象,故选A.A例4已知,)(xxxxaaaaxf.)10(aa且，（1）求函数f(x)的定义域和值域；（3）讨论函数f(x)的单调性.（2）判断函数f(x)的奇偶性.解：（1）函数f(x)的定义域为：R.xxxxaaaaxfy)(令,1122xxaa则yyax112011y故函数f(x) 的值域为：(-1，1).解法2：11)(22xxaaxf1212xa,10aa且，112112xa.11y即故函数f(x)的值域为：(-1，1).例4已知,)(xxxxaaaaxf.)10(aa且，（1）求函数f(x)的定义域和值域；（3）讨论函数f(x)的单调性.（2）判断函数f(x)的奇偶性.（1）。
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数习题2.1》419教案教学设计 一等奖名师公开课比赛优质课评比
指数函数复习第1课时学习目标：1．理解指数函数的概念和意义．2．较熟练地掌握指数函数的有关性质．3．能运用指数函数的性质解决一些常见问题，学会分析和解决问题的方法。
教学重点：对指数函数相关知识的理解和掌握教学难点：运用指数函数的性质解决相关的问题课型：复习课教学方法：启发教学讲练结合教学过程一、基础知识复习1．指数函数的定义函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.指数函数表达式的结构特征；（见课件，此略）即时反馈1：（见课件，此略）典例剖析例1已知指数函数f(x)＝ax(a＞0,且a≠1)的图象过点(3,)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.（本题在黑板上引导学生一起分析和求解，让学生进一步加深对指数函数概念的理解）2．指数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R，值域(0，＋∞)图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x＞0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，0＜y＜1当x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数3.底数a对指数函数y＝ax的图象有何影响?（详见课件，此略）例2比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－3与0.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.2679＜0.3，所以0.72－3＞0.70.3.(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．2．对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．即时反馈2：（详见课件，此略）二、提升运用例3：(1)函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是( )(2)已知实数a，b满足等式2014a＝2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析(1)函数y＝ax－1a是由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度得到，A项显然错误；当a＞1时，0＜1a＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.(2)设2014a＝2015b＝t，如图所示，由函数图象，可得若t＞1，则有a＞b＞0；若t＝1，则有a＝b＝0；若0＜t ＜1，则有a＜b＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立.即时反馈3(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a＞1，b＜0B.a＞1，b＞0C.0＜a＜1，b＞0D.0＜a＜1，b＜0(2)若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．(3)已知函数f(x)＝22x－m(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________.解析(1)D(2)（略）(3)令t＝2x－m，则t＝2x－m在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减，而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝22x－m在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4].规律方法(1)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象，利用数形结合求解.（备选题）例4：如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为()A.13B.1C.3D.13或3解析令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a＞1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈1a，a，又函数y＝(t＋1)2－2在1a，a上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0＜a＜1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈a，1a，又函数y＝(t＋1)2－2在a，1a上单调递增，则ymax＝1a＋12－2＝14，解得a＝13(负值舍去).综上知a＝3或a＝13.三、课堂小结1.指数函数的概念；2.指数函数的图象和性质；3.在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论。
高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)小结》458教学设计
1§2.3幂函数-----教学设计人：周宜波一．教材分析幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。
通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。
二．学情分析1、学生已经接触了几类函数，具有利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，已经初步形成对数学问题合作探究的能力。
2、学生层次参差不齐，个体差异比较明显。
三．教学目标1．知识与技能目标（1）通过实例，了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。
2．过程与方法目标（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。
（2）使学生进一步体会数形结合的思想。
（3）在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。
3．情感、态度、价值观目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。
四．教学重难点1教学重点:常见的幂函数的图象和性质。
2教学难点:画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。
2五.教法学法1.教法根据新课程理念，充分发挥学生的能动作用，调动学生参与课堂的积极性，本节课将采用引导探索和目标体验的教学方法，充分利用多媒体辅助教学。
2.学法新课程理念告诉我们，学生不仅要学知识，更重要的是要学会怎样学习，为终身学习奠定扎实的基础，所以本节课我将利用类比、归纳引导学生自主学习，合作探究，达成目标。
六．教学用具多媒体七．教学过程（一）回顾1：指数函数的定义是什么？一般地，函数y＝ax叫作指数函数，其中（01aa且）x是自变量，函数的定义域为R回顾2：研究指数函数的方法是什么？定义、作图、研究性质（定义域、值域、奇偶性、单调性（二）创设情境（多媒体投影）问题一：下列问题中的函数各有什么特征？（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函数．3（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝xa的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：§2.3幂函数（三）、建立模型定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。
高中语文《第二章基本初等函数(Ⅰ)小结》439教案教学设计讲
对数及其运算复习【学习目标】理解对数的概念及其运算性质，知道换底公式；能进行对数的运算.【重点】掌握对数的定义以及对数与指数的换算关系.【难点】对数公式与运算法则的灵活运用.【基础梳理】1．对数的定义：一般地，如果Nax（a＞0且a≠1)，那么x 叫做以a为底N的对数，记作：x，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注：①底数a的限制条件：；②真数N的取值范围：；③对数式与指数式的互化：xNalog．2．两个重要对数：①常用对数NN10loglg；②自然对数NNelogln（71828.2e）．3．对数的性质与运算法则(1)对数恒等式：①1loga；②aalog；③Naalog＝；④logaaN＝．(a＞0且a≠1)(2)对数的重要公式：①★换底公式：)0,10,10(logloglogbccaaabbcca且且（为便于运算，公式中的c常取10或e)．②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.(3)对数的运算法则：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①)(logNMa＝例如：6log2②logaMN＝例如：41log2③logaMn＝(nR)例如：41log2④naMmlog＝(n、mR)例如：9log8逆运算：①NMaaloglog 例如：5lg2lg②NMaaloglog例如：3log6log22③nlogaM＝例如：2log22【自测】1．指数式abc（b＞0且b≠1）所对应的对数式是( )．A．BaclogB．AbclogC．CbalogD．Cablog2．使对数式2)1lg(x有意义的x的取值范围为( )．A．),1(B．]1,(C．)1,(D．),1[3．计算：27log3；21log2；2log2．4．计算：4log1log22；1log2log342．5．计算：5log122；【典例】【例1】求值：(1)4log9log32；(2)2log12log2166．【例2】求下列各式中x的值：①32log8x②0)(loglog52x③1)3lg(lgxx【例3】(1)已知ma2log，na3log，则nma2=.(2)若2a＝5b＝10，则1a＋1b＝．【课堂检测】1．如果cbaxlg3lg2lglg，则x()．A．Cba32B．32cbaC．32cabD．Cab322．若4log3log32P，5lg2lgQ，0eM，1lnN，则正确的是( )A．P=QB．Q=MC．M=ND．N=P3．已知216logx，则x（）A．2B．4C．4D．44．计算：①3log3；②2log510＋log50.25＝．5．已知函数f（x）=2log(0)3(0)xxxx ，则f[f（41）]=__________.6．已知axalg,24，则x.7．若xlog34＝1，则4x＋4－x＝．。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第1课时 函数及其表示教案-人教版高三全册数学教案
函数及其表示函数映射两集合A、B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)(x∈A)对应f：A→B是一个映射(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法.假设函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.类型x满足的条件2nf x，n∈N＋f(x)≥01f x与[f(x)]0f(x)≠0log a f(x)(a>0，a≠1)f(x)>0log f (x )g (x ) f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋π2，k ∈Z【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )(2)假设两个函数的定义域与值域相同，那么这两个函数是相等函数.( × ) (3)映射是特殊的函数.( × )(4)假设A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )1.以下函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A.f (x )＝|x | B.f (x )＝x －|x | C.f (x )＝x ＋1 D.f (x )＝－x 答案 C解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等. 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C.f (x )＝1log 2x2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x 2－1>0，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).3.(2015·某某)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，那么f (f (－2))等于( )A.－1B.14C.12D.32答案 C解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，那么f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，应选C. 4.(教材改编)假设函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，那么函数y ＝f (x )的图像可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图像不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，应选B. 5.给出以下四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图像是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合. 其中真命题的序号有________. 答案 ①②解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图像不是一条直线；对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1， x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④假设f (x )＝|x －1|－|x |，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________. 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0，－1， x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，假设x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，那么直线x ＝1与y ＝f (x )的图像没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图像只有一个交点，即y ＝f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1.综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同).(1)以下四组函数中，表示同一函数的是( )A.y ＝x －1与y ＝x －12B.y ＝x －1与y ＝x －1x －1C.y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D.y ＝lg x －2与y ＝lg x100(2)以下所给图像是函数图像的个数为( )A.1 C.3答案 (1)D (2)B解析 (1)A 中两函数对应关系不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图像，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图像，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图像，应选B.题型二 函数的定义域命题点1 求给定函数解析式的定义域 例2 (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A.(－3,0]B.(－3,1]C.(－∞，－3)∪(－3,0]D.(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数f (x )＝lgx ＋1x －1的定义域是( )A.(－1，＋∞)B.[－1，＋∞)C.(－1,1)∪(1，＋∞)D.[－1,1)∪(1，＋∞) 答案 (1)A (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3,0]，应选A.(2)要使函数f (x )＝lg x ＋1x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1，且x ≠1，应选C.命题点2 求抽象函数的定义域例3 (1)假设函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，那么函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A.[0,2 015]B.[0,1)∪(1,2 015]C.(1,2 016]D.[－1,1)∪(1,2 015](2)假设函数f (x )的定义域为(0,1]，那么函数f ⎝⎛⎭⎪⎫lg x 2＋x 2的定义域为( )A.[－5,4]B.[－5，－2)C.[－5，－2]∪[1,4]D.[－5，－2)或(1,4] 答案 (1)B (2)D解析 (1)令t ＝x ＋1，那么由函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤tf (x ＋1)有意义，那么有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 015].所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1<xg (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 015].应选B.(2)∵函数f (x )的定义域为(0,1]，∴0<lg x 2＋x2≤1，即1<x 2＋x2≤10，那么1<x ≤4或－5≤x <－2，应选D.命题点3 定义域求参数X 围例4 假设函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，那么a 的取值X 围为________. 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax－a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 思维升华 简单函数定义域的类型及求法(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)抽象函数：①无论是定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的X 围一致.(3)定义域求参数X 围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求X 围.(1)函数f (x )的定义域是[0,2]，那么函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是____.(2)函数y ＝lnx ＋1－x 2－3x ＋4的定义域为________. 答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得：12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32].(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型三 求函数解析式例5 (1)f (2x＋1)＝lg x ，那么f (x )＝________.(2)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，那么f (x )＝________. (3)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，那么f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，那么x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，那么3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x)＝2f x x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：假设函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值X 围；(3)配凑法：由条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )之间的关系式，可根据条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).(1)f (x ＋1)＝x ＋2x ，那么f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).假设当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，那么当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，那么f (x )＝_____________. 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ) (－1<x <1) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，那么x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1).(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1).典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，13x ，x ≥1，那么使得f (x )≤2成立的x 的取值X 围是________.(2)(2015·某某)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，那么满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D.[1, ＋∞) 解析 (1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，13x ≤2，解得x ≤8， ∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]. (2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，应选C.答案 (1)(－∞，8] (2)C温馨提醒(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的X围，然后选定相应关系式代入求解.(2)当给出函数值或函数值的取值X围求自变量的值或自变量的取值X围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值X围是否符合相应段的自变量的值或取值X围.(3)当自变量含参数或X围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.[方法与技巧]1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.定义域优先原那么：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.4.分段函数问题要分段求解.[失误与防X]f[g(x)]的定义域也是解析式中x的X围，不要和f(x)的定义域相混.2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的X围不确定，要分类讨论.A组专项基础训练(时间：30分钟)1.以下各组函数中，表示同一函数的是( )A.f(x)＝x，g(x)＝(x)2B.f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C.f(x)＝x2，g(x)＝|x|D.f(x)＝0，g(x)＝x－1＋1－x答案 C解析在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同.f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，那么M∪(∁R N)等于( )A.{x|x<1}B.{x|x≥1}C.∅D.{x|－1≤x<1}答案 A解析 M ＝(－1,1)，N ＝(－1，＋∞)，故M ∪(∁R N )＝{x |x <1}，应选A.f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x，x ≤0，那么f (f (－2))的值为( )A.1100B.2C.10D.－2 答案 D解析 ∵－2≤0，∴f (－2)＝10－2， ∴f (f (－2))＝f (10－2)＝lg 10－2＝－2.g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像过原点，那么g (x )的解析式为( )A.g (x )＝2x 2－3x B.g (x )＝3x 2－2x C.g (x )＝3x 2＋2x D.g (x )＝－3x 2－2x 答案 B解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，那么f (x )的解析式是( )A.f (x )＝log 2xB.f (x )＝－log 2xC.f (x )＝2－xD.f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，那么f (x )＝log 21x＝－log 2x .a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.假设f (1－a )＝f (1＋a )，那么a 的值为_______.答案 －34解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去. 当a <0时，1－a >1,1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34. 综上可知，a 的值为－34. f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，那么使f (x )＝12的x 的集合为__________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 解析 由题意知，假设x ≤0，那么2x ＝12，解得x ＝－1；假设x >0，那么|log 2x |＝12，解得x ＝122或x ＝122-.故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 8.(2015·某某)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x－3，x ≥1，lg x 2＋1，x ＜1，那么f (f (－3))＝_____，f (x )的最小值是_____.答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0， 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0； 当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.9.f (x )是二次函数，假设f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式.解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x . y ＝f (x )的图像，写出函数的解析式.解 当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图像是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72； 当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12； 当1≤x <2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x －72，－3≤x <－1，32x －12，－1≤x <1，1，1≤x <2.B 组 专项能力提升(时间：15分钟)y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，那么实数a 的取值X 围是________. 答案 [0,3)解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ， 所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图像与x 轴无交点.当a ＝0时，函数y ＝13的图像与x 轴无交点； 当a ≠0时，那么Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3.综上所述，a 的取值X 围是[0,3). f (x )＝4x －12x －1，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝________. 答案 4 028解析 ∵f (x )＝4x －12x －1＝22x －1＋12x －1＝2＋12x －1，f (1－x )＝2＋121－x －1＝2－12x －1， ∴f (x )＋f (1－x )＝4.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＝4，…，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0072 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0082 015＝4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015 ＝4×1 007＝4 028. f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －3a ＋2 (a >0)，假设存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，那么实数a 的取值X 围是____________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解析 当x ∈[0,1]时，f (x )＝1－x 2的值域是[0,1]， g (x )＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －3a ＋2 (a >0)的值域是[2－2a,2－a ]，为使存在x 1，x 2∈[0,1]使得f (x 1)＝g (x 2)成立，需[0,1]∩[2－2a,2－a ]≠∅.由[0,1]∩[2－2a,2－a ]＝∅，得1<－2a ＋2或2－a <0，解得a <12或a >2.所以，假设存在x 1，x 2∈[0,1]使得f (x 1)＝g (x 2)成立，那么实数a 的取值X 围是12≤a ≤2. 14.x ∈R ，定义：A (x )表示不小于xA (3)＝2，A (－0.4)＝0，AA (2x ＋1)＝3，那么实数x 的取值X 围是__________. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 解析 由题中定义可知A (2x ＋1)＝3等价于2<2x ＋1≤3，解得12<x ≤1. y 元与乘客量x 的图像.(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示.你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解 (1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利.(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价.(3)斜率表示票价.(4)图1、2中的票价是2元.图3中的票价是4元.。
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数教学设计数学教案
§2.3幂函数一、 教学目标：⑴ 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数x y =,2x y =, 3x y =,21x y =,1-=x y 的图像，了解幂函数的图象和性质它们的变化情况。
⑵ 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．并能进行简单的应用．二、教学重难点：重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 三、教具：多媒体四、学法指导：数形结合，从特殊到一般 五、教学过程：组织探究材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如αxy=的函数称为幂函数，其中x为自变量，α为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．画出下列函数的图象：（1）xy=；（2）21xy=；（3）2xy=；（4）1-=xy；（5）3xy=．[解] ○1列表（略）○2图象师：说明：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．生：利用所学知识和方法尝试画出五个具体幂函数的图象，观察图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同分析，强调画图象易犯的错误．环节教学内容设计设计意图六、教学反思：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。
学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。
因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
在方法上，我们应注意从特殊到一般进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习。
将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。
所以本人建议，逐个画出五个函数的图象，从定义域、值域、奇偶性、单调性、过定点等方面进行分析、探究，得到各自的性质，从而再归纳出幂函数的基本性质。
高中数学课时教案第二章 基本初等函数(Ⅰ)教参
打印版 高中数学 云南省昆明市第三中学课时教案 第二章 基本初等函数（Ⅰ）教参 一、课标要求： 教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 3. 理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=ax的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 4. 通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 5. 理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 6. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=logax符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 7. 知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.
8. 通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,yxyxyxyx的图象，了解它们的变化情况 . 二、编写意图与教学建议： 1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设. 2. 在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用. 3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展 . 4. 教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担. 5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 .. 打印版 高中数学 6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读. 三、教学内容与课时安排的建议 本章教学时间约为14课时. 2.1 指数函数： 6课时 2.2 对数函数： 6课时 2.3 幂函数： 1课时 小结： 1课时
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质(2)教案数学教案
对数函数及其性质【教学目标】1．知道同底的对数函数与指数函数互为反函数2．熟练应用对数函数的图象和性质，解决一些综合问题。
【重点难点】对数函数的性质的综合运用，反函数的意义【教学过程】一、情景设置问题:用列表描点法在同一个直角坐标系中画出y=log2x与y=2x与x=log2y的函数图像。
二、探索研究①通过图像探索在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？②如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。
③探索y=2x与x=log2y的图像间的关系。
④探索y=2x与y=log2x的图像间的关系。
⑤结合①与④推测函数y=a x与函数y=log a x的关系。
三、教学精讲共同讨论以上问题：①指数函数y=2x在R上是单调（增/减函数）。
过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图像有且只有一个交点，即对任意的y都有的x相对应，可以把y 作为自变量，x作为y的函数。
②由指数式与对数式关系，由y=2x解得。
③在同一个直角坐标系中，y=2x与x=log2y的图像完全重合。
④通过观察图像可知，y=2x与y=log2x的图像关于⑤通过①与④类比，归纳知道，y=a x（a>0,且a≠1）的反函数是，且他们的图像关于对称。
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称例1．求下列函数的反函数：①y=2x+3 ②y=x 31log ③y=（13）x ④y=0.2x +1 例2．若y=log 2(2-ax)在区间［0，1］上是减函数，则求a 的取值范围。
例3．已知函数f(x)=log 2[ax 2+(a-1)x+14] (1)若定义域为R,求实数a 的取值范围；(2)若值域为R,求实数a 的取值范围. 例4．试求：(1)满足不等式2(log 2x)2+9log 0.5x+9≤0的x 的范围；(2)当x 在(1)中求得的范围内变动时，函数f(x)= log 2x 2 log 2x 4的最大值和最小值。
苏教版高中数学必修1教案第二章 函数概念与基本初等函数
对称变换对称变换都有哪些内容？【答】 对称变换主要有①y =f (－x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称;若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称.②y =－f (x )与y =f (x )的图象关于x 轴对称.③y =－f (－x )与y =f (x )的图象关于原点对称;若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称.④y =f －1(x )与y =f (x )的图象关于直线y =x 对称.⑤y =－f －1(－x )与y =f (x )的图象关于直线y =－x 对称.⑥y =f (2a －x )与y =f (x )的图象关于直线x =a 对称；若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称.⑦y =2b －f (x )与y =f (x )的图象关于直线y =b 对称.⑧y =2b －f (2a －x )与y =f (x )的图象关于点(a ,b )对称.［案例1］证明函数y =11--ax x (a ≠1)的图象关于直线y =x 对称. 本题考查对函数图象本身关于直线对称的理解.【分析】 利用函数解析式与它的反函数的解析式若为同一个函数，则函数图象关于直线y =x 对称，也可利用函数图象上任意点关于直线的对称点也在已知函数的图象上，则函数图象关于直线y =x 对称.【证法一】 ∵a ≠1,y =a 1 (1＋ax a a11--) ∴y a 1≠ 由y =11--ax x 得x (ay －1)=y －1,x =11--ay y ∴y =11--ax x (a ≠1)的反函数是y =11--ax x ∴y =11--ax x 的图象关于直线y =x 对称. 【证法二】 设点P (x ′,y ′)是这个函数图象上任一点，则x ′≠a 1且y ′=11-'-'x a x ① 易知点P 关于直线y =x 的对称点P ′的坐标为(y ′,x ′)由①得y ′(ax ′－1)=x ′－1② 即x ′(ay ′－1)=y ′－1如果ay ′－1=0,则y ′=a 1,代入①得a 1=11-'-'x a x . 解得a =1,与已知矛盾.于是ay ′－1≠0,∴由②得x ′=11-'-'y a y 这说明点P ′(y ′,x ′)也在已知函数的图象上.因此，这个函数的图象关于直线y =x 成对称图形.【评注】 要分清函数本身关于直线y =x 对称与两个函数关于直线y =x 对称的区别.1.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( )A.y =|f (x )|B.y =f (|x |)C.y =f (－x )D.y =－f (x )【解析】 y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称. 【答案】 B8.设函数y =2x 的图象为C ，某函数的图象C ′与C 关于直线x =2对称，那么这个函数是( )A.y =2－xB.y =22－xC.y =24－xD.y =2x －4【解析】 ∵y =f (x )的图象与y =f (4－x )的图象关于直线x =2对称，设f (x )=2x ,则f (4－x )=24－x .【答案】 C10.设函数y =f (x )的定义域是R ，且f (x －1)=f (1－x ),那么f (x )的图象有对称轴( )A.直线x =0B.直线x =1C.直线y =0D.直线y =1【解析】 设x －1=t ,则f (t )=f (－t )，函数为偶函数，关于y 轴对称. 【答案】 A12.已知函数f (x )=21-+x x (x ≠2),那么函数f (x ＋1)的图象关于直线y =x 成对称图形的函数是( )A.y =13-x x (x ≠1)B.y =12-+x x (x ≠1) 图2—3C.y =112-+x x (x ≠1)D.y =xx 32+(x ≠0) 【解析】 ∵f (x ＋1)=y =12-+x x =1＋13-x (x ≠1) ∴x =1＋13-y ,即上式的反函数是y =12-+x x (x ≠1). 【答案】 B 13.函数y =12--x x 的图象关于点_____对称. 【解析】 y =12--x x =－1＋11-x ,y =12--x x 的图象是由y =x 1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 【答案】 (1，－1)16.定义在R 上的函数y =f (x )、y =f (－x )、y =－f (x )、y =－f (－x )的图象重合，它们的值域为_____.【解析】 函数y =f (x )与y =f (－x )的图象重合，说明函数y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =f (x )与y =－f (x )图象重合，说明y =f (x )的图象关于x 轴对称；y =f (x )与y =－f (－x )的图象重合，说明y =f (x )的图象关于原点对称.即若y =f (x )上任一点(x ,y ),则也有点(－x ,y )、(x ,－y )、(－x ,－y );根据函数的定义，对于任一x ∈R ,只能有惟一的y 与之对应，从而y =－y ,即y =0，故函数的值域为{0}.①y =f (x )为偶函数，则y =f (x ＋2)的图象关于y 轴对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则y =f (x )关于直线x =2对称.③若f (x －2)=f (2－x ),则y =f (x )关于直线x =2对称.④y =f (x －2)和y =f (2－x )的图象关于x =2对称.【解析】 ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)是将f (x )的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x =－2,所以f (x ＋2)图象关于直线x =－2对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，则f (x ＋2)=f (2－x ),所以y =f (x )图象关于直线x =2对称.③令x －2=t ,则2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位，分别得到f (x －2)与f (2－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 【答案】 ②④18.若函数y =f (x )=bx ax -+212的图象关于直线y =x 对称，求a ,b 应满足的条件. 【解】 由y =f (x )= b x ax -+212(x ≠2b ),得2xy －by =2ax ＋1 ∴2(y －a )x =by ＋1,∴x =ay by 221-+ ∴y =f (x )的反函数是f －1(x )= a x bx 221-+ (x ≠a ) ∵y =f (x )的图象关于直线y =x 对称，则函数y =f (x )反函数就是它本身. ∴b x ax -+212=ax bx 221-+，比较系数得b =2a .即为a ,b 所满足的条件.20.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)=－f (x ),又当－1≤x ≤1时，f (x )=x 3.(1)证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；(2)当x ∈［1,5］时，求f (x )的解析式.【解】 (1)设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为(x 1,y 1),则y 0=y 1,x 0=2－x 1,∴y 1=f (2－x 1)=－f (－x 1)=f (x 1)(2)∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2－x )3又当3<x ≤5时，－1<x －4≤1,此时f (x )=(x －4)3∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-)53(,)4()31(,)2(33x x x x。
广东省揭阳一中高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)教案 新人教版必修1
第二章基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.三、教学内容与课时安排的建议本章教学时间约为14课时.2.1指数函数： 6课时2.2对数函数： 6课时2.3幂函数： 1课时小结： 1课时。