尖子生培优 有理数讲义及答案

有理数培优

知识导引

本讲的主要内容是从自然数到分数和有理数的概念，小学数学主要学习了自然数、分数（小数）及数的运算，并且这种“数”的概念是建立在一种意义上的，实际上，仅有自然数和分数是不够的，数还需作进一步的扩展，实际生活、生产中大量的量从其意义上来理解却具有相反的意义，为了准确地区分这些相反意义的量就有必要引入负数，用正数和负数来区分这些具有相反意义的量，这样就产生了有理数的概念，所以有理数其实是对数的进一步认识，是数的一次重要扩充。

建立了有理数的概念之后，又不要对有理数进行分类，有理数通常按两种不同的标准进行分类：一是以有理数的正负性为主要标准，将有理数分为正数、零和负数三大类；二是以有理数的整数和非整数为主要标准，将有理数分为整数和分数两大类。这里要注意的是零既不是正数也不是负数，具体的数的概念应从其意义上理解，例如“负整数”应理解为“负数中的整数”等等。

典例精析

例1：珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明高度的数（单位：米），如图所示，这些数通常称为海拔，它是相对于海平面来讲的，请说出图中所示的数8848和－155表示的实际意义，海平面的高度用什么数表示？

例2：（1）如果把商店盈利100元记做＋100，那么亏损20元记做

（2）如果把仪表的指针逆时针转3圈记做＋3，那么－2圈表示把仪表的指针

（3）正常水位为0，水位高于正常水位0.2米时可记做＋0.2米，那么－0.5米表示什么意思？

例2—1：（1）下列说法中，不具有相反意义的一对量是（）

A、向东3.5米和向南2千米

B、上升5米和下降1.8米

C、收入5000元和亏损1500元

D、零上6℃和零下7℃

（2）若火箭发射点火前5秒记为－5秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（）

A、－10秒

B、－5秒

C、＋5秒

D、＋10秒

例3：把数－7，4.8，4，0，－9，－7.9，－12，213

-，23，800%，54，8

5

1-分别填在相应的位置内。

正数：{ }； 负数：{ }； 整数：{ }； 正整数：{ }； 负分数：{ }； 非负数：{ }。

例4：佳佳和小超玩一个抽卡片游戏：有一叠卡片，每张上面都写着一个数字，两人轮流从中抽取，若抽到的卡片上的数字大于10，就加上这个数字，若抽到的卡片上的数字不大于10，就减去这个数字。第一轮抽卡完毕（没人抽4张），两人抽到的卡片如图所示，若规定从0开始计算，结果小者为胜， 那么第一轮抽卡谁获胜？

例5：在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数，abc （a 、b 、c 依次是这个数的百位、十位和个位数字），并请这个人算出5个数acb ，bac ，bca ，cab 和cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc 。现在设N ＝3194，请你当魔术师，求出数abc 来。

例6：图1是一个9×9的方格图，有粗线隔成9个横竖各有3个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有1至9中的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第9行的数字从左向右写成一个9位数，请写出这个9位数，并简单说明理由。

探究活动

例：观察下列式子：

211211-=⨯，3121321-=⨯，4

131431-=⨯ 将

以

上

三

个

等

式

两

边

分

别

相

加

得

：

4

3

41141313121211431321211=-=-+-+-=⨯+⨯+⨯ （1）猜想并写出：

=+)

1(1

n n ；

（2）直接写出下列各式的计算结果： ①

=⨯+⋯+⨯+⨯+⨯2016

20151431321211 ； ②

=++⋯+⨯+⨯+⨯)

1(1

431321211n n ； （3）计算：2016

20141

861641421⨯+

⋯+⨯+⨯+⨯

学力训练

A 组 务实基础

1、关于0有下列说法：①既不是正数，也不是负数；②是整数；③不是最小的整数，是最小的有理数；④不是自然数，是有理数。其中正确的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

2、下列说法正确的是（ ）

A 、“向东5米”与“向西5米”不是相反意义的量

B 、如果气球上升25米记做＋25米，那么－15米的意义就是下降15米

C 、如果气温下降6℃记做－6℃，那么＋8℃的意义就是下降零上8℃

D 、若将高1米设为标准0，高1.20米记做＋0.2米，那么－0.05米所表示的高为0.95米 3、黄石市某日一天的温差为11℃，最高气温为t℃，则最低气温可表示为（ ） A 、（11＋t ）℃ B、（11－t ）℃ C、（t －11）℃ D、（－t －11）℃ 4、实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度，下表是某次测量数据的部分记录（用A —C 表示观测点A 相对观测点C 的高度）

根据这次测量的数据，可得观测点A 相对观测点B 的高度是（ ）

A 、201米

B 、130米

C 、390米

D 、－210米 5、把下列个数填入相应的数集圈： －2.1，0，－2，

51，10，2

5

，＋5.8，6.2·，50%

正数集 负数集

分数集 整数集

6、观察下列各数，找出规律并填空： （1）1，3，6，10， ； （2）1，2，4，7，11， ；

（3）1，1，2，3，5，8， ；