七年级有理数培优题(有答案)(可编辑修改word版)
{word试卷}七年级上册苏科版第二章《有理数》中的动点问题培优训练(一)(有答案)(仅供参考)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：2020七上苏科版第二章《有理数》中的动点问题培优训练（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、解答题1.如图，数轴上点A对应的有理数为20，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，点Q以每秒4个单位长度的速度从原点O出发，且P，Q两点同时向数轴正方向运动，设运动时间为t秒．当时，P，Q两点对应的有理数分别是______，______，______；当时，求t的值．2.已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、、10，动点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：______ ，______ ；当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向C点运动，Q 点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为4个单位长度？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由．3.如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是，点B表示的数是50．请写出线段AB中点M表示的数是_________．现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点C相遇，求点C对应的数是多少？若蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点表示的数是多少？4.阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4．数______所表示的点是【M，N】的好点；如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当运动时间t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？5.阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是点是【A，B】的好点．如图1，点A表示的数为，点B表示的数为表示1的点C到点A的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D_______【A，B】的好点，但点______【B，A】的好点．请在横线上填是或不是运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为则数________所表示的点是【M，N】的好点；如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过________________秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？6.如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足．______，______，______．若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数______表示的点重合；点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，则______，______用含t的代数式表示请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．7.阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4．数______所表示的点是【M，N】的好点；如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？8.先阅读材料：如图，在数轴上A示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即解决问题：如图，数轴上点A 表示的数是，点B表示的数是2，点C表示的数是6．若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为________；点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为则点A表示的数是用含t的代数式表示，_________用含t的代数式表示．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．。
word完整版有理数测试题培优提高版
2015年人教版数学七年级上册“单元精品卷”（含精析）第一章有理数（培优提高卷）题型选择题填空题解答题总分得「分一、选择题。
（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1 •在实数0，—「3 , - , | 2中，最小的数是（）3A .2B . 0C .3D . I 22•如图所示，有理数 a 、b 在数轴上的位置如下图，则下列说法错误的是（ ）b -2-1A 、b<aB 、a+b <0C 、ab<0D 、b- a>04 •已知有理数a ，b 所对应的点在数轴上如图所示，则有 （ ）【0： 21 • 2. 1 •网】卜六进制 01 23•6 78 9 AC D E F十进制12] 3 4567910 11 12 13 1415)3 .观察下面一组数： -1，2-5，6, -7，….，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，则第10行中从左边数第9个数是（)21*5y*3算一行 第二行 童三行 sra 行A 、-902-3 4■5 (5 ・7 8 /10 -11 12 43 14 15 16B 、90C 、-91D 、91 A . — a v 0v b B .— b v a v 0 C . a v 0v — bD . 0 v b v — a5 .计算机中常用的十六进制是逢16进I 的计数制，采用数字0〜9和字母A 〜F 共16个计6 .若a b，则下列各式一定成立的是（7.下列算式中，积为负数的是（法表示为（）二、填空题。
（本题有6个小题，每小题4分，共24分）2 a+b11.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m -cd+ 的值是_m12 .北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从阶梯水价，实施细则如下表：B. 6E .C. . 5FD. B0 .A. a b 0B. a b 0 C .ab D. ab 0A. 0 ( 5) 0.5) 10)C . ( 1.5) ( 2)D . ( 2)(11)(2)8.生物学家发现了一种病毒的长度约为0 . 00000432毫米.数据0 . 00000432用科学记数A 0 432 XI0-5B . 4 . 32 X 10-6C 4 32 X0-7D 43 2 X10-79.下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（A . 23和3233和( 3)3 C . 22和( 2)2 D . -和—3 310 . 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接.）张？1=1 1=1 1=^□ 1=1A . 15B . 16C . 21 D. 222014年5月1日起北京市居民用水实行)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要（1=1 l=ZI1匕京市居民用水阶梯水价隼1单位：元，立方米分栏水嚣户年用水量(立万米)水价其中自来水费水资源费污水处理费第一阶梯0-1S0 (含》 1. 07第二阶梯181-260 ⑻7, 004・071・571・36第三阶梯260凯上P. (K) 6. 07某户居民从2015年1月1日至4月30日,累积用水190立方米,则这户居民4个月共需缴纳水费___________ 元.15•如果互为a,b相反数，x,y互为倒数，则2014 a b 2015x y的值是__________________________ 。
七年级数学上册《有理数》培优测试题(含答案)
B． (3) (2)
C． (3)2 (2)2
D．
(3)2 (2)
10.几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是（
）
A．28
B．33
C．45
D．57
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11．绝对值小于 n （ n 是正整数）的整数共有___________个。
12．当 a b 0 时， 1 _______ 1 （填“＞”“=”或“＜”）。
D．不能确定正负
3．当 a 、 b 互为相反数时，下列各式一定成立的是（ ）
A． b 1 a
B． b 1 a
C． a b 0
D． ab 0
4． 3.14 的计算结果是（ ）
A．0
B． 3.14
C． 3.14
5． a 为有理数，则下列各式成立的是（
）
D． 3.14
A． a 2 0
七年级数学上册《有理数》培优测试题
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．下列说法正确的是（
）
A．任何负数都小于它的相反数
B．零除以任何数都等于零
C．若 a b ，则 a 2 b2
D．两个负数比较大小，大的反而小
2．如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数（
）
A．必为正数
B．必为负数
C．一定不是正数
（2） 第 n 行与第 n 列的交叉点上的数应为____________。（用含正整数 n 的式子表
示） （3） 计算左上角 2×2 的正方形里所有数字之和，即：
1
-2
-2
3
在数表中任取几个 2×2 的正方形，计算其中所有数字之和，归纳你得出的结论。
人教版数学七年级上册第一章《有理数》培优测试卷(含答案解析)
人教版数学七年级上册第一章《有理数》培优测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．据相关报道，开展精准扶贫户工作五年来，我国约有5500万人摆脱贫困，国家发放扶贫资金共375亿元．将375亿用科学记数法表示为（）A．375×107B．3.75×1010C．3.75×109D．37.5×1082．已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．b>a B．ab>0 C．b—a>0 D．a+b>03．下列计算正确的是（）A．（﹣16）÷（﹣4）=﹣4 B．﹣|2﹣5|=3C．（﹣3）2=9 D．（﹣2）3=﹣64．股民小王上周五买进某公司的股票，每股25元，下表为本周内该股票的涨跌情况，则本周五收盘时，该股票每股价格是（）A．27.1元B．24.5元C．29.5元D．25.8元5．如果|a|=7，|b|=5，试求a-b的值为（）（A）2（B）12（C）2和12（D）2；12；-12；-26．一根1米长的小木棒，第一次截去它的13，第二次截去剩余部分的13，第三次再截剩余部分的13，如此截下去，第五次后剩余的小木棒的长度是（）A．（23）5B．1﹣（23）5C．（13）5D．1﹣（13）57．下列表述中，正确的是（）A．有理数有最大的数，也有最小的数B．有理数有最大的数，但没有最小的数C．有理数有最小的数，但没有最大的数D．有理数既没有最大的数，也没有最小的数8．下列说法正确的是（ ） A ．绝对值等于3的数是﹣3B ．绝对值不大于2的数有±2，±1，0C ．若|a|=﹣a ，则a≤0D ．一个数的绝对值一定大于这个数的相反数9．现规定一种运算：1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，……，则200!199!的值为（ ） A ．200B ．199C ．200199D ．110．当2＜a ＜3时，代数式|3﹣a|﹣|2﹣a|的结果是（ ） A ．﹣1 B ．1C ．2a ﹣5D ．5﹣2a二、填空题 11．﹣23的绝对值的相反数与﹣223的相反数的差是_____． 12．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数_____．13．已知m 为最大的负整数，x 与y 互为相反数，则（x+y ）2018+m 2=_____． 14．在（-1）2 017，（-1）2 018，-22，（-3）2中，最大的数与最小的数的和等于______． 15．计算（-34）×（-112）÷（-214）的值为______． 16．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|b ﹣c|﹣|c|+|c ﹣a|=_____．三、解答题 17．计算（1）﹣（3﹣5）+32×（1﹣3） （2）﹣32﹣3122(1)293-⨯-- ． 18．（1）当a≠0时，求aa的值．（写出解答过程） （2）若a≠0，b≠0，且a a +b b=0，则abab 的值为 ．（3）若ab ＞0，则a a+b b +abab 的值为 ． 19．某公司的线路检修小组在一条东西方向的马路上工作，从甲地出发，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，下表记录的是检修小组从甲地出发后连续七次行驶情况．（单位：km，每次行驶终点为下次行驶的起点）解答下列问题：（1）检修小组在第几次纪录时距甲地最远？（2）检修小组收工时，位于出发点甲地哪一侧，距甲地多远？20．股民李叔叔在上周星期五以每股11.2元买了一批股票，共购进5000股，下表为本周星期一到星期五该股票的涨跌情况：（1）求本周星期三收盘时每股的价格；（2）本周内每股最高是多少元？最低是多少元？（3）已知李叔叔买进股票时支付了0.15%的手续费，卖出时还需支付成交额的0.15%手续费和0.1%的交易税，如果李叔叔在星期五收盘时将全部的股票卖出，你对他的收益情况如何评价？21．一只小虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左记为负数，爬行的各段路程依次为+5，﹣3，+11，﹣8，﹣6，+12，﹣10．（单位：厘米）（1）小虫离开O点最远是厘米．（2）小虫最后是否回到出发点O的位置？为什么？（3）在爬行过程中，每爬行1厘米被奖励两粒芝麻，则小虫可得多少粒芝麻？22．把下列各数填入相应的大括号内：﹣13.5，0，+27，﹣45，227，﹣10，3.14（1）正数集合：{}（2）负数集合：{}（3）整数集合：{}（4）分数集合：{}（5）非负整数集合：{}23．请观察下列定义新运算的各式：1⊙3=1×4+3=7；3⊙（﹣1）=3×4﹣1=11；5⊙4=5×4+4=24；4⊙（﹣3）=4×4﹣3=13．（1）请你归纳：a⊙b=；（2）若a≠b，那么a⊙b b⊙a（填“=”或“≠”）；（3）先化简，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a是最大的负整数，b是绝对值最小的整数．参考答案1．B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将375亿用科学记数法表示为3.75×1010．故选B．【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，解题关键是小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同2．B【分析】由数轴可得b＜a＜0，从而可以判断选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵由数轴可得，b＜a＜0，∴a＞b，（故A错误）；ab＞0，（故B正确）；b-a＜0，（故C错误）；a+b＜0，（故D错误）．故选：B．【点睛】本题考查数轴，解题的关键是明确数轴的特点，能根据各数的大小判断选项中的结论是否成立．3．C【分析】原式利用有理数的乘方，乘法，以及除法法则计算得到结果，即可做出判断．【详解】解：A、（﹣16）÷（﹣4）=4，故A错误；B、﹣|2﹣5|=﹣3，故B错误；C、（﹣3）2=9，故C正确；D、（﹣2）3=﹣8，故D错误；故选C．【点睛】本题考查有理数的除法，绝对值的化简，有理数的减法，有理数的乘方，解题关键是熟练掌握法则.4．B【分析】本题是一道较为基础的题型，考查的是对正数和负数的实际意义的熟练程度，对于本题而言，星期五收盘时，该股票每股是：25﹣2.1+2﹣1.2+0.5+0.3=24.5（元）.【详解】解：25﹣2.1+2﹣1.2+0.5+0.3=24.5（元），故选B．【点睛】本题考查正数和负数的实际意义，解题关键是掌握本题中正数和负数的意义，这样可以提高解题的速度和准确率.5．D【解析】绝对值等于7的数有正负7，绝对值等于5的数有正负5.6．A【分析】根据题意可以得到第五次后剩下的小棒的长度，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，第五次后剩下的小棒的长度是：(1−13)(1−13)(1−13)(1−13)(1−13)=(23)5米，故选A．【点睛】本题考查有理数的乘方，解答本题的关键是明确题意，求出第五次后剩下的小棒的长度．7．D【分析】根据有理数的分类，可得答案．【详解】解：有理数既没有最大的数，也没有最小的数．故选：D．【点睛】本题考查了有理数，解决本题的关键是熟记没有最大的有理数，也没有最小的有理数．8．C【分析】根据绝对值的性质进行解答，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【详解】解：A、绝对值等于3的数是3和﹣3，故错误；B、绝对值不大于2的整数有±2，±1，0，故错误；C、若|a|=﹣a，则a≤0，正确，D、负数的绝对值等于这个数的相反数，故错误，故选C．【点睛】本题考查的是绝对值的性质及相反数的定义，解答关键是熟知以下知识：（1）绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；（2）相反数：只有符号不同的两个数叫互为相反数．9．A【分析】首先观察已知条件，不难找到规律n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1，注意不要找错对应关系；然后根据新运算法则将待求式转化为一般的算式，再进行化简、计算即可求出所要求的结果. 【详解】解：根据题中的新定义得：原式=2001991 1991981⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=200，【点睛】本题考查定义新运算，有理数的除法，有理数的乘法，解题关键是要根据题目所给的已知条件得到新运算的法则.10．D【分析】根据绝对值的性质进行解答，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【详解】解：∵2＜a＜3，∴3﹣a＞0，2﹣a＜0，∴|3﹣a|﹣|2﹣a|=3﹣a﹣a+2=5﹣2a，故选D．【点睛】本题考查的是绝对值的性质，解答关键是熟练掌握绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.11．﹣313．【分析】根据绝对值的性质和相反数的定义分别求出−23的绝对值的相反数与−223的相反数，再相减即可得出．【详解】解：﹣23的绝对值的相反数为﹣23，﹣223的相反数为223，﹣23﹣223=﹣313．故答案为﹣31 3【点睛】本题考查有理数的减法，相反数，绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值、相反数的意义. 12．相等或互为相反数．【分析】根据绝对值的定义及性质可知，一对相反数的绝对值相等，故如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能相等，也可能互为相反数．【详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能相等，也可能互为相反数．故答案为相等或互为相反数．【点睛】本题考查绝对值、相反数的意义，解题关键是熟练、准确掌握意义.13．1．【分析】根据有理数中最大的负整数为-1,可得m=﹣1；相反数的定义:实数a与-a叫做互为相反数，0的相反数是0本身，有理数中最大的负整数为-1【详解】解：由题意得：m=﹣1，x+y=0，∴原式=02018+（﹣1）2=1．故答案为1．【点睛】本题考查有理数、相反数、乘方的相关知识，解题关键是有理数中最大的负整数为-1，有理数中最大的负整数为-1.14．5【详解】（-1）2 017=-1，（-1）2 018=1，-22=-4，（-3）2=9，其中最大的数是9，最小的数是-4，它们的和等于5.故答案是5.15．﹣12．【分析】因为负数的倒数仍然是负数，所以把除法变成乘法，除数变为它的倒数后，先定积的符号，再算绝对值的积.【详解】解：（﹣34）×（﹣112）÷（﹣214）=（-34）×（-32）×（﹣49）=﹣12．故答案为﹣12．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是运算顺序及符号的确定.16．a+b﹣c．【分析】首先根据数轴，确定a、b、c的大小及b﹣c 、c﹣a正负，然后根据绝对值的意义化简，绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号．①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│= -a （a为负值，即a≤0 时）【详解】解：由图知：c＜b＜0＜a，∴b﹣c＞0，c﹣a＜0，∴|b﹣c|﹣|c|+|c﹣a|=b﹣c+c+a﹣c=a+b﹣c．故答案为a+b﹣c．【点睛】本题考查绝对值意义和整式的加减，解题关键是根据数轴上点的位置确定需要化简的式子的绝对值.17．（1）﹣16；（2）﹣811 12．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可；（2）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减即即可. 【详解】解：（1）﹣（3﹣5）+32×（1﹣3）=﹣（﹣2）+9×（﹣2）=2+（﹣18）=﹣16；（2）﹣32﹣31221293⎛⎫-⨯--⎪⎝⎭．=﹣9﹣（﹣278）×29﹣23=﹣9+34﹣23=﹣811 12．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题关键是运算顺序、乘方、绝对值化简. 18．（1）1或-1；（2）﹣1；（3）3或﹣1.【分析】（1）当a≠0时，可能a>0.也可能a<0,所以需要分两种情况解答．（2），因为两个式子的和为0，所以两个加数互为相反数，a、b是异号. （3）需要分a、b同号和异号两种情况解答.【详解】解：（1）当a＞0时，|a|=a，则原式=1；当a＜0时，|a|=﹣a，则原式=﹣1；（2）∵a≠0，b≠0，且aa+bb=0，∴a与b异号，即ab＜0，∴|ab|=﹣ab，则原式=﹣1；（3）∵ab＞0，∴a与b同号，当a＞0，b＞0时，原式=1+1+1=3；当a＜0，b＜0时，原式=﹣1﹣1+1=﹣1．故答案为（2）﹣1；（3）3或﹣1【点睛】本题考查绝对值的意义及式子化简，解题关键是分类讨论.19．（1）检修小组在第五次纪录时距甲地最远；（2）检修小组位于出发点甲地东侧，距甲地5千米．【分析】（1）分别计算每次距A地的距离，进行比较即可；（2）收工时距A地的距离等于所有记录数字的和的绝对值；【详解】解：（1）第一次距甲地|﹣4|=4千米；第二次距甲地：|﹣4+7|=3千米；第三次距甲地：|﹣4+7﹣10|=7千米；第四次距甲地：|﹣4+7﹣10+9|=2千米；第五次距甲地：|﹣4+7﹣10+9+6|=8千米；第六次距甲地：|﹣4+7﹣10+9+6﹣1|=7千米；第七次距甲地：|﹣4+7﹣10+9+6﹣1﹣2|=5千米．所以检修小组在第五次纪录时距甲地最远；（2）因为收工时，﹣4+7﹣10+9+6﹣1﹣2=5千米，所以此时检修小组位于出发点甲地东侧，距甲地5千米．【点睛】此题主查考查正负数在实际生活中的应用及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解答此题的关键．20．（1）本周星期三收盘时每股的价格为11.7元；（2）本周内每股最高是12.2元，最低是11.5元；（3）盈利2768.5元．【分析】(1)用每股原价加上每天每股涨跌数就是该天每股的钱数，依次类推，计算出周三股价；；(2)，根据统计表所提供的每天涨跌的数据，计算出每一天的股价，从中找出本周内最高价每股的钱数，同理，计算出本周内最低价每股的钱数；(3)，用周五每股的钱数乘1000，再分别减去买进股票时付的手续费、卖出时付的手续费、交易税，即得他的收益．【详解】解：（1）根据题意得：11.2+0.3+0.4+（﹣0.2）=11.7（元），则本周星期三收盘时每股的价格为11.7元；（2）星期一收盘价格为11.2+0.3=11.5（元），星期二收盘时价格为11.5+0.4=11.9（元），星期三收盘时价格为11.9﹣0.2=11.7（元），星期四收盘时价格为11.7+0.5=12.2（元），星期五收盘时价格为12.2﹣0.4=11.8（元），所以本周内每股最高是12.2元，最低是11.5元；（3）买进的费用：5000×11.2×（1+0.15%）=56084（元）；卖出时的受益：5000×11.8×（1﹣0.15%﹣0.1%）=58852.5（元）．则盈利：58852.5﹣56084=2768.5（元）．【点睛】本题考查如何根据统计表所提供的数据，进行有关计算．解题关键是：读懂表格中正、负数的含义，涉及的知识点有理数的大小比较、有理数的加减、百分数乘法的应用等．21．（1）13；（2）小虫最后没有回到出发点O的位置；（3）小虫可得110粒芝麻．【分析】（1）由于向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程为负数，所以要计算出它爬行所有数的和，于是可判断到离出发点多远；（2）依次往后计算看哪个数最大即可得到离O点的最远距离；（3）计算所有数的绝对值的和得到小虫爬行的路程，再把路程乘以2得到小虫共得的芝麻．【详解】解：（1）第一次爬行距离O点是5cm，第二次爬行距离O点是5﹣3=2（cm），第三次爬行距离O点是2+11=13（cm），第四次爬行距离O点是13﹣8=5（cm），第五次爬行距离O点是|5﹣6|=|﹣1|=1（cm），第六次爬行距离O点是﹣1+12=11（cm），第七次爬行距离O点是11﹣10=1（cm），从上面可以看出小虫离开O点最远是13cm．故答案为13；（2）小虫最后没有回到出发点O的位置．理由如下：∵（+5）+（﹣3）+（+11）+（﹣8）+（﹣6）+（+12）+（﹣10）=1（cm ）， ∴小虫最后没有回到出发点O 的位置；（3）（|+5|+|﹣3|+|+11|+|﹣8|+|﹣6|+|+12|+|﹣10|）×2=55×2=110（粒），所以小虫可得110粒芝麻．【点睛】本题考查数轴，正数和负数，22．见解析【分析】利用正数，负数，整数，分数，以及非负整数定义判断即可．【详解】（1）正数集合：{+27，227，3.14}； （2）负数集合：{413.5,,105---}； （3）整数集合：{0，+27，10-}；（4）分数集合：{13.5-，45-，227，3.14}； （5）非负整数集合：{0，+27}，【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．23．（1）4a ＋b ；（2）≠；（3）-6.【分析】（1）根据题目中的式子可以猜出a ⊙b 的结果；（2）根据（1）中的结果和a≠b ，可以得到a ⊙b 和b ⊙a 的关系；（3）根据（1）中的结果可以得到（a-b ）⊙（2a+b ）的值，【详解】解：（1）由题目中的式子可得，a ⊙b=4a+b ，故答案为4a+b ；（2）∵a ⊙b=4a+b ，b ⊙a=4b+a ，∴（a ⊙b ）-（b ⊙a ）=（4a+b ）-（4b+a ）=4a+b-4b-a=4（a-b）+（b-a），∵a≠b，∴4（a-b）+（b-a）≠0，∴（a⊙b）≠（b⊙a），故答案为≠；（3）(a－b)⊙(2a＋b)＝4(a－b)＋(2a＋b)＝4a－4b＋2a＋b＝6a－3b.由题意a＝-1，b＝0∴原式＝6×（-1）－3×0＝-6.【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．。
浙教版(2024)七年级上册第二章 有理数的运算 培优(含答案)
浙教版七年级上册第二章有理数的运算培优一、选择题1．2024年4月25号，我国神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时29000千米，数据29000用科学记数法表示为（）A．2.9×106B．2.9×105C．2.9×104D．29×1052．根据有理数加法法则，计算2+（﹣3）过程正确的是（ ）A．+（3+2）B．+（3﹣2）C．﹣（3+2）D．﹣（3﹣2）3．有一只蜗牛从数轴的原点出发，先向左（负方向）爬行9个单位长度，再向右爬行3个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是（ ）A．−9+3=−6B．−9−3=−12C．9−3=6D．9+3=124．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A．b+c＞3B．a﹣c＜0C．|a|＞|c|D．﹣2a＜﹣2b5．若式子x−2+(y+3)2=0，则(x+y)2025等于（ ）A．−1B．1C．−32025D．320256．计算：(−517)2023×(−325)2024=（ ）A．−1B．1C．−517D．−1757．22023个位上的数字是( )A．2B．4C．8D．68．求1+2+22+23+⋯+22018的值，可令S=1+2+22+23+⋯+22018，则2S=2+22+23+⋯+ 22019，因此2S−S=22019−1，仿照以上推理，计算出1+5+52+53+⋯+52018的值为（ ）A．52018−1B．52019−1C．52019−14D．52018−149．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第六次后剩下的绳子长度为（ ）A．(12)3米B．(12)5米C．(12)6米D．(12)12米10．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整数解的个数是（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题11．用四舍五入法对0.618取近似数（精确到0.1）是 ．12．小明在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就可以得到运算a*b=3a+2b，请照此程序运算（−4）*3= ．13．定义一种新的运算“(a,b)”，若a c=b，则(a,b)=c，如：(2,16)=4．已知(3,9)=x,(3,y)=4，则x−y= ．14．已知|3a+b+5|+(2a−2b−2)2=0，那么2a2−3ab的值为 ．15．“转化”是一种解决数学问题的常用方法，有时借助几何图形可以帮助我们找到转化的方法．例如，借助图（1）可以把算式1+3+5+7+9+11转化为62＝36．这是将数字求和问题转化为面积求和问题，从而建立数与形的联系，使问题易于解决．利用这样的方法，请观察图（2）计算12+14+18+116+132+164＝ ．16．《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了34×25=850的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为 ，该图表示的乘积结果为 ．三、解答题17．（1）计算：(−34−59+712)÷(−136)．（2）计算：−12022−|12−1|÷3×[2−(−3)2]．18．把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它们连接起来．−3,|−3|,32,(−2)2,−(−2)19．我们知道，|a|可以理解为|a−0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB=|a−b|，反过来，式子|a−b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数−1的点和表示数−3的点之间的距离是_________．（2）数轴上点A用数a表示，则①若|a−3|=5，那么a的值是_________．②|a−3|+|a+6|有最小值，最小值是_________；③求|a+1|+|a+2|+|a+3|+⋯+|a+2021|+|a+2022|+|a+2023|的最小值．20．用“※”定义一种新运算，规定a※b=b2−a，如1※3=32−1=8，（1）求1※2的值；（2）求(1※2)※(−5)的值．21．老师设计了一个有理数运算的游戏．规则如下：（1）若黑板上的有理数为“−4”，求应写在纸条上的有理数；（2）学习委员发现：若正确计算后写在纸条上的结果为正数，则老师在黑板上写的最大整数是多少？22．为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如表：每月用水量收费不超过10吨的部分水费1.6元/吨10吨以上至20吨的部分水费2元/吨20吨以上的部分水费2.4元/吨（1）若小刚家6月份用水15吨，则小刚家6月份应缴水费_____ 元．（直接写出结果）（2）若小刚家7月份的平均水费为1.75元/吨，则小刚家7月份的用水量为多少吨？（3）若小刚家8月、9月共用水40吨，9月底共缴水费79.6元，其中含2元滞金（水费为每月底缴纳．因8月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知9月份用水比8月份少，求小明算8、9月各用多少吨水？四、综合题23．阅读理解：计算(1+12+13)(12+13+14)−(1+12+13+14)(12+13)时，若把分别(12+13)与(12+13+14)看作一个整体，再利用乘法分配律进行计算，可以大大简化难度，过程如下：解：令12+13=x，12+13+14=y，则原式=.(1+x)y−(1+y)x=y+xy−x−xy=y−x=1 4（1）上述过程使用了什么数学方法？ ；体现了什么数学思想？ ；（填一个即可）（2）用上述方法计算：①(1+12+13+14)(12+13+14+15)−(1+12+13+14+15)(12+13+14)；②(1+12+13+…+1n−1)(12+13+14+…+1n)−(1+12+13+…+1n)(12+13+14…+1n−1)；③计算：1×2×3+2×4×6+3×6×9+4×8×12+5×10×151×3×5+2×6×10+3×9×15+4×12×20+5×15×25.答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】0.612．【答案】−613．【答案】−7914．【答案】−415．【答案】636416．【答案】3；72817．【答案】（1）26；（2）1618．【答案】图见解答，−3<3<−(−2)<|−3|<(−2)2219．【答案】（1）5，2（2）①8或−2；②9；③102313220．【答案】（1）3（2）2221．【答案】（1）4（2）322．【答案】（1）解：∵小刚家6月份用水15吨，∴小刚家6月份应缴水费为10×1.6+（15-10）×2＝26（元），故答案为：26.（2）解：由题意知小刚家7月份的用水量超过10吨而不超过20吨，设小刚家7月份用水量为x吨，依题意得：1.6×10+2（x-10）＝1.75x ，解得：x ＝16，答：小刚家7月份的用水量为16吨.（3）解：因小刚家8月、9月共用水40吨，9月份用水比8月份少，所以8月份的用水量超过了20吨．设小刚家9月份的用水量为x 吨，则8月份的用水量为（40-x ）吨，①当x≤10时，依题意可得方程：1.6x+16+20+2.4（40-x-20）+2＝79.6解得：x ＝8，②当10＜x ＜20时，依题意得：16+2（x-10）+16+20+2.4（40-x-20）+2＝79.6解得：x ＝6不符合题意，舍去．综上：小刚家8月份用水32吨，9月份用水8吨.23．【答案】（1）换元法；整体思想（转化思想）（2）解：①令12+13+14=a ，12+13+14+15=b ，∴b-a=15，∴原式=（1+a ）b-（1+b ）a=b+ab-a-ab=b-a=15；②令12+13+…+1n−1=m ，12+13+14+1n =t ，∴t-m=1n，∴原式=（1+m ）t-（1+t ）m=t+mt-m-mt=t-m=1n；③令1×2×3=x ，1×3×5=y ，∴x y =615=25∴原式=x +2x +3x +4x +5x y +2y +3y +4y +5y =15x 15y =x y =25.。
七年级有理数(培优篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 ( 大于秒.（1）点表示的数是________.（2）求当等于多少秒时，点到达点处？（3）点表示的数是________(用含字母的式子表示)（4）求当等于多少秒时，、之间的距离为个单位长度.【答案】（1）1（2）解：[6-（-4）]÷2=10÷2=5（秒）答：当t=5秒时，点P到达点A处.（3）2t-4（4）解：当点P在点C的左边时，2t=3，则t=1.5；当点P在点C的右边时，2t=7，则t=3.5.综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度.【解析】【解答】解：（1）依题意得，点C是AB的中点，故点C表示的数是： =1. 故答案是：1；（ 3 ）点P表示的数是2t-4.故答案是：2t-4；【分析】（1）根据x c=可求解；（2）根据数轴上两点间的距离等于两点坐标之差的绝对值可求得AB的距离，再根据时间=路程÷速度可求解；（3）根据题意可得点P表示的数=点P运动的距离+X B可求解；（4）由题意可分两种情况讨论求解：① 当点P在点C的左边时，由题意可列关于t的方程求解；② 当点P在点C的右边时，同理可求解.2．如图，点A、B都在数轴上，O为原点.（1）点B表示的数是________；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是________；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O 不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值. 【答案】（1）-4（2）0（3）解：① 当点O是线段AB的中点时，OB=OA4－3t=2+tt=0.5② 当点B是线段OA的中点时， OA = 2 OB2+t=2(3t-4)t=2③ 当点A是线段OB的中点时， OB = 2 OA3t－-4=2(2+t)t=8综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8.【解析】【解答】（1）点B表示的数是-4；（2）2秒后点B表示的数是 0 ；【分析】（1）根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案；（2）用点B开始所表示的数＋点B运动的路程＝经过t秒后点B表示的数，即可得出结论；（3）找出t秒后点A、B表示的数，分①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据线段中点的数学语言列出方程，求解即可求出此时的t值，综上即可得出结论。
七年级上册数学有理数培优50题含详细答案
七年级上册数学有理数培优50题一．填空题（共5小题）1．＝2．若|a|+|b|＝2，则满足条件的整数a、b的值有组．3．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是．4．如图，若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点或点．（填“A”、“B”“C”或“D”）5．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．二．解答题（共45小题）6．在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．7．阅读下面解题过程：计算：解：原式＝（第一步）＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）＝（第三步）回答：（1）上面解题过程中有两个错误，第一处是第步，错误的原因是，第二处是第步，错误的原因是；（2）正确的结果是．8．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x ＞0）．（1）当x＝秒时，点P到达点A．（2）运动过程中点P表示的数是（用含x的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．9．观察下列两个等式：3+2＝3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：我们称使等式a+b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4，）都是“椒江有理数对”．（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是；（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m）“椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）10．计算：（﹣+1﹣）÷（﹣）×|﹣110﹣（﹣3）2|11．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且x的绝对值等于2．试求：x2﹣（a+b+cd）+2（a+b）的值．12．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？13．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．（1）点B表示的数是；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．14．若“三角”表示运算：a﹣b+c，若“方框”，表示运算：x ﹣y+z+w ，求的值，列出算式并计算结果．15．对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．（1）计算2⊙（﹣4）的值；（2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b．16．乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：请你帮助分析：乐乐爸爸究竟是赚了还是赔了，赚或赔了多少元？17．阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）＝+6；（﹣4）❈（﹣3）＝+7；（﹣5）❈（+3）＝﹣8；（+6）❈（﹣7）＝﹣13；（+8）❈0＝8；0❈（﹣9）＝9．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”18．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）①则数轴上数3表示的点与数表示的点重合．②若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是．③若数轴上M、N两点之间的距离为2018，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是．则N点表示的数是．19．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab+a﹣b，例如：1※2＝1×2+1﹣2＝1，（1）求3※（﹣5）的值；（2）若（﹣3）※b与b互为相反数，求b的值．20．已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，表示有理数d的点到原点的距离为4，求a﹣b﹣c+d的值．21．阅读下列材料：点A、B在数轴上分别表示两个数a、b，A、B两点间的距离记为|AB|，O表示原点．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A为原点，如图1，则|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，①如图2，若点A、B都在原点的右边时，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图3，若点A、B都在原点的左边时，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图4，若点A、B在原点的两边时，|AB|＝|OB|+|OA|＝|b|+|a|＝﹣b+a＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）综上所述，数轴上A、B两点间的距离为|AB|＝．（2）若数轴上的点A表示的数为3，点B表示的数为﹣4，则A、B两点间的距离为；（3）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为﹣2，则|AB|＝，若|AB|＝3，则x的值为．22．已知数轴上A，B两点对应数分别为﹣2和5，P为数轴上一点，对应数为x．（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P 点对应的数．（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由．（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？23．已知|x|＝5，|y|＝3．（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值；（3）求x﹣y的值．24．解答下列问题：（1）计算：6÷（﹣+）方方同学的计算过程如下：原式＝6÷（﹣）+6÷＝﹣12+18＝6．请你判断方方同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．（2）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：①999×（﹣15）；②999×118+333×（﹣）﹣999×18．25．阅读材料，解答下列问题：例：当a＝5，则|a|＝|5|＝5，故此时a的绝对值是它本身；当a＝0时，|a|＝0，故此时a 的绝对值是0；当a＜0时，如a＝﹣5，则|a|＝|5|＝﹣（5）＝5，故此时a的绝对值是它的相反数．综上所述，一个数的绝对值要分三种情况，即|a|＝这种分析方法涌透了数学中的分类讨论思想．请仿照图例中的分类讨论，解决下面的问题：（1）|﹣4+5|＝；|﹣﹣3|＝；（2）如果|x+1|＝2，求x的值；（3）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，求|a+3|+|a﹣5|的值；（4）当a＝时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．26．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：，﹣3，﹣4，+7，﹣5，+8，+3，﹣8．（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？（2）若汽车耗油量为0.3升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？27．定义一种新运算：a⊕b＝a﹣b+ab．（1）求（﹣2）⊕（﹣3）的值；（2）求5⊕[1⊕（﹣2）]的值．28．在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是；数轴上P、Q两点的距离为3，点P表示的数是2，则点Q表示的数是．（2）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x的值为．（3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．29．夫子庙派出所巡警骑摩托车在东西大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向东方向为正，当天行驶记录如下（单位：千米）：+11，﹣9，7，﹣14，+8，﹣13，+4．①该巡警巡逻时离岗亭最远是千米．②在岗亭东面6千米处有个加油站，该巡警巡逻时经过加油站次．③A在岗亭何方？距岗亭多远？④若摩托车每行1千米耗油0.06升，那么该摩托车这天巡逻共耗油多少升？30．邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行3km到达A村，继续向南骑行2km到达B村，然后向北骑行8km到达C村，最后回到邮局，以邮局为原点，以向南方向为正方向，用1cm 表示1km，画出数轴如图．（1）在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；（2）C村离A村有km；（3）邮递员一共骑行了km；（4）如果邮递员骑行的速度为10千米/小时，在每个村庄停留10分钟，那么邮递员从出发到回到邮局一共用了多少小时？31．已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数﹣26，﹣10，10，动点P从A出发，沿AC方向，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设点P运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P到点A、C的距离，P A＝；PC＝．（2）当点P运动到点B时，点Q从C点出发，沿CA方向，以每秒3个单位的速度向A 点运动，当其中一点到达目的地时，另一点也停止运动．①当t＝，点P、Q相遇，此时点Q运动了秒．②请用含t的代数式表示出在P、Q同时运动的过程中PQ的长．32．如图A在数轴上所对应的数为﹣2．（1）点B在点A右边距A点4个单位长度，求点B所对应的数；（2）在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到﹣6所在的点处时，求A，B两点间距离．（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A，B 两点相距4个单位长度．33．随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；（1）根据记录的数据可知前三天共卖出斤；（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售斤；（3）本周实际销售总量达到了计划数量没有？（4）若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？34．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径．（注：结果保留π）（1）把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是数（填“无理”或“有理”），这个数是；（2）把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是；（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．①第次滚动后，A点距离原点最近，第次滚动后，A点距离原点最远．②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有，此时点A所表示的数是．35．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中A→C（，），B→C（，），C→（+1，﹣2）；（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N →A应记为什么？36．某公路检修组乘汽车沿公路检修，约定前进为正，后退为负，某天自A地出发到收工时所走的路程（单位：千米）为+10，﹣3，+4，﹣2，﹣8，+13，﹣2，﹣11，+7，+5．（1）问收工时相对A地是前进了还是后退了？距A地多远？（2）若检修组最后回到了A地且每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？37．我们定义一种新运算：a△b＝a﹣b+ab．（1）求2△（﹣3）的值；（2）求（﹣5）△[1△（﹣2）]的值．38．学校图书馆平均每天借出图书50册，如果某天借出53册，就记作+3；如果某天借出40册，就记作﹣10．上星期图书馆借出图书记录如表：（1）上期五借出图书多少册？（2）上星期二比上星期五多借出图书多少册？（3）上星期平均每天借出图书多少册？39．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为70（1）请写出AB的中点M对应的数（2）现在有一只电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请你求出C点对应的数（3）若当电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2单位/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时P点对应的数．40．一辆交通巡逻车在南北公路上巡视，某天早上从A地出发，中午到达B地，行驶记录如下（规定向北为正方向，单位：千米）：+15，﹣8，+6，+12，﹣8，+5，﹣10．回答下列问题：（1）B地在A地的什么方向？与A地相距多远？（2）巡逻车在巡逻中，离开A地最远多少千米？（3）巡逻车行驶每千米耗油a升，这半天共耗油多少升？41．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣）⑤＝；（2）关于除方，下列说法错误的是A．任何非零数的圈2次方都等于1；B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1；C．3④＝4③；D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；（﹣）⑩＝．（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于；（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33．42．若|a|＝5，|b|＝2，且a＜b，求a﹣b的值．43．观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，把以上三个等式两边分别相加得：++＝1﹣+﹣+﹣（1）猜想并写出：＝．（2）规律应用：计算：+++++（3）拓展提高：计算：+++…+．44．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），操作一：（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少．45．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|+|OA|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x 为；（3）当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．46．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入．下表是某周的销售情况（超额记为正、不足记为负）：（1）根据记录的数据可知该店前三天共销售该品牌儿童滑板车辆；（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售辆；（3）本周实际销售总量达到了计划数量没有？（4）该店实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少销售一辆扣20元，那么该店铺的销售人员这一周的工资总额是多少元？47．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果：2③＝，（﹣3）④＝，（﹣）⑤＝；（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于；（3）计算24÷23+（﹣8）×2③．48．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且a≠0，那么3a+3b+﹣cd的值是多少？49．已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2）|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值50．已知a2＝9，|b|＝5，且a＜b，求a﹣b的值．七年级上册数学有理数培优50题参考答案与试题解析一．填空题（共5小题）1．＝【解答】解：＝＝＝＝，故答案为：．2．若|a|+|b|＝2，则满足条件的整数a、b的值有8组．【解答】解：∵|a|+|b|＝2，∴|a|＝0，|b|＝2或|a|＝1|b|＝1，或|a|＝2，|b|＝0，∴a＝0，b＝2；a＝0，b＝﹣2；a＝1，b＝1；a＝1，b＝﹣1；a＝﹣1，b＝1；a＝﹣1，b ＝﹣1；a＝﹣2，b＝0；a＝2，b＝0，故答案为：8．3．已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是1119．【解答】解：若使|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的值最大，则最低位数字最大d＝9，最高位数字最小a＝1即可，同时为使|c﹣d|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故c为1，此时b只能为1．所以此数为1119．故答案为1119．4．如图，若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点C或点D．（填“A”、“B”“C”或“D”）【解答】解：由图示知，b﹣a＝4，①当a＞0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，舍去；②当a＜0，b＜0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，故数轴的原点在D点；③当a＜0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即﹣a＝3b，解得a＝﹣3，b＝1，故数轴的原点在C点；综上可得，数轴的原点在C点或D点．故填C、D．5．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．【解答】解：当x≤﹣1时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝﹣x﹣1﹣x+2﹣x+3＝﹣3x+4；当﹣1＜x≤2时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+1﹣x+2﹣x+3＝﹣x+6；当2＜x≤3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+1+x﹣2﹣x+3＝x+2；当x＞3时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|＝x+1+x﹣2+x﹣3＝3x﹣4．综上所述，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为．故答案为：．二．解答题（共45小题）6．在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．（1）在图1中空格处填上合适的数字，使它构成一个三阶幻方；（2）如图2的方格中填写了一些数和字母，当x+y的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．【解答】解：（1）2+3+4＝9，9﹣6﹣4＝﹣1，9﹣6﹣2＝1，9﹣2﹣7＝0，9﹣4﹣0＝5，如图所示：（2）﹣3+1﹣4＝﹣6，﹣6+1﹣（﹣3）＝﹣2，﹣2+1+4＝3，如图所示：x＝3﹣4﹣（﹣6）＝5，y＝3﹣1﹣（﹣6）＝8，x+y＝5+8＝13．7．阅读下面解题过程：计算：解：原式＝（第一步）＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步）＝（第三步）回答：（1）上面解题过程中有两个错误，第一处是第一步，错误的原因是在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行，第二处是第三步，错误的原因是同号两数相除，结果为正（事实上结果应为正数）；（2）正确的结果是．【解答】解：正确做法：原式＝（第一步）＝15××6（第二步）＝（第三步）．故答案为：（1）一，在同级运算中，没有按从左到右的顺序进行，二，同号两数相除，结果为正（事实上结果应为正数）；（2）．8．如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x ＞0）．（1）当x＝5秒时，点P到达点A．（2）运动过程中点P表示的数是2x﹣4（用含x的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．【解答】解：（1）∵数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，∴AB＝10，∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动时间为10÷2＝5（秒），故答案为：5；（2）∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动过程中点P表示的数是：2x﹣4；故答案为：2x﹣4；（3）点C表示的数为：[6+（﹣4）]÷2＝1，当点P运动到点C左侧2个单位长度时，2x﹣4＝1﹣2解得：x＝1.5，当点P运动到点C右侧2个单位长度时，2x﹣4＝1+2解得：x＝3.5综上所述，x＝1.5或3.5．9．观察下列两个等式：3+2＝3×2﹣1，4+﹣1，给出定义如下：我们称使等式a+b＝ab﹣1成立的一对有理数a，b为“椒江有理数对”，记为（a，b），如：数对（3，2），（4，）都是“椒江有理数对”．（1）数对（﹣2，1），（5，）中是“椒江有理数对”的是（5，）；（2）若（a，3）是“椒江有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“椒江有理数对”，则（﹣n，﹣m）不是“椒江有理数对”（填“是”、“不是”或“不确定”）．（4）请再写出一对符合条件的“椒江有理数对”（6，1.4）（注意：不能与题目中已有的“椒江有理数对”重复）【解答】解：（1）﹣2+1＝﹣1，﹣2×1﹣1＝﹣3，∴﹣2+1≠﹣2×1﹣1，∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”，∵5+＝，5×﹣1＝，∴5+＝5×﹣1，∴（5，）中是“椒江有理数对”；（2）由题意得：a+3＝3a﹣1，解得a＝2．（3）不是．理由：﹣n+（﹣m）＝﹣n﹣m，﹣n•（﹣m）﹣1＝mn﹣1∵（m，n）是“椒江有理数对”∴m+n＝mn﹣1∴﹣n﹣m＝﹣（mn﹣1）＝﹣（﹣n）×（﹣m）+1＝﹣[（﹣n）×（﹣m）﹣1]，∴（﹣n，﹣m）不是“椒江有理数对”，（4）（6，1.4）等．故答案为：（5，）；不是；（6，1.4）．10．计算：（﹣+1﹣）÷（﹣）×|﹣110﹣（﹣3）2|【解答】解：原式＝（﹣+﹣）×（﹣42）+×|﹣1﹣9|＝27﹣54+10+×10＝﹣17+15＝﹣2．11．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，并且x的绝对值等于2．试求：x2﹣（a+b+cd）+2（a+b）的值．【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，∴原式＝4﹣（0+1）+2×0＝4﹣1+0＝3．12．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40；（2）它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒），即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位），即从数﹣20向右运动48个单位到数28；（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．13．如图，点A、B都在数轴上，O为原点．（1）点B表示的数是﹣4；（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是0；（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值．【解答】解：（1）点B表示的数是﹣4；（2）2秒后点B表示的数是﹣4+2×2＝0；（3）①当点O是线段AB的中点时，OB＝OA，4﹣3t＝2+t，解得t＝0.5；②当点B是线段OA的中点时，OA＝2OB，2+t＝2（3t﹣4），解得t＝2；③当点A是线段OB的中点时，OB＝2 OA，3t﹣4＝2（2+t），解得t＝8．综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8．故答案为：﹣4；0．14．若“三角”表示运算：a﹣b+c，若“方框”，表示运算：x﹣y+z+w ，求的值，列出算式并计算结果．【解答】解：根据题意得：原式＝（﹣+）×（﹣2﹣1.5+1.5﹣6）＝（﹣）×（﹣8）＝．15．对于有理数a、b，定义一种新运算“⊙”，规定：a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．（1）计算2⊙（﹣4）的值；（2）若a，b在数轴上的位置如图所示，化简a⊙b．【解答】解：（1）2⊙（﹣4）＝|2﹣4|+|2+4|＝2+6＝8；（2）由数轴知a＜0＜b，且|a|＞|b|，则a+b＜0、a﹣b＜0，所以原式＝﹣（a+b）﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a．16．乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：请你帮助分析：乐乐爸爸究竟是赚了还是赔了，赚或赔了多少元？【解答】解：﹣22×500+1.5×1000﹣4×1000﹣（﹣2）×500＝﹣2000+1500﹣4000+1000＝﹣3500，答：乐乐的爸爸赔了，赔了3500元．17．阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）＝+6；（﹣4）❈（﹣3）＝+7；（﹣5）❈（+3）＝﹣8；（+6）❈（﹣7）＝﹣13；（+8）❈0＝8；0❈（﹣9）＝9．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都得这个数的绝对值．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”【解答】解：（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都得这个数的绝对值，故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值．（2）原式＝（﹣5）❈12＝﹣17；（3）加法的交换律仍然适用，例如：（﹣3）❈（﹣5）＝8，（﹣5）❈（﹣3）＝8，所以（﹣3）❈（﹣5）＝（﹣5）❈（﹣3），故加法的交换律仍然适用．18．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）①则数轴上数3表示的点与数﹣5表示的点重合．②若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是﹣7或3．③若数轴上M、N两点之间的距离为2018，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是1008．则N点表示的数是﹣1010．【解答】解：①∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，1﹣（﹣3）＝4，而﹣1﹣4＝﹣5，所以数轴上数3表示的点与数﹣5表示的点重合；故答案为：﹣5；②点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或﹣5，∵A、B两点经折叠后重合，∴当点A表示﹣5时，﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣1+4＝﹣3，当点A表示5时，5﹣（﹣1）＝6，﹣1﹣6＝﹣7，∴B点表示的数是﹣7或3；故答案为：﹣7或3；③M、N两点之间的距离为2018，并且M、N两点经折叠后重合，∴﹣1+×2018＝1008，﹣1﹣×2018＝﹣1010，又∵M点表示的数比N点表示的数大，∴M点表示的数是1008，N点表示的数是﹣1010，故答案为：1008，﹣1010．19．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab+a﹣b，例如：1※2＝1×2+1﹣2＝1，。
七年级数学有理数(培优篇)(Word版 含解析)
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）1．在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5﹣0|，即|5﹣0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，有：|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：（1）画一条数轴，并在数轴上分别用A、B表示出1和3的两点（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离是________；（3）点A、B、C在数轴上分别表示有理数1、3、x，那么C到A的距离与C到B的距离之和可表示为________（用含绝对值的式子表示）（4）若将数轴折叠，使得表示1和3的两点重合，则原点与表示数________的点重合【答案】（1）解：如图所示，（2）2（3）（4）4【解析】【解答】解：（2）数轴上表示1和3的两点之间的距离=，故答案为2；（3）由题意得，C到A的距离与C到B的距离之和可表示为：，故答案为：；（4）在数轴上，1和3中点的数为：，设与原点重合的点的数为x，由题意得：, ∴x-2=±2，解得x=0或4，∴则原点与表示数4的点重合，故答案为：4.【分析】（1）画出数轴，在数轴上找出1、3点，分别用A、B表示即可；（2）根据题意，计算数轴上表示1和3的两点之间的距离即可；（3）根据题意，把C到A的距离与C到B的距离之和表示出来即可；（4）首先求出1和3中点表示的数，再设与原点重合的点的数为x，根据题意列式求出x 即可.2．如图，AB=12cm，点C在线段AB上，AC=3BC，动点P从点A出发，以4cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以4cm/s的速度向左运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度向右运动，到达点B之后立即返回，以1cm/s的速度向左运动．设它们同时出发，运动时间为t秒，当第二次重合时，P、Q两点停止运动．（1）AC=________cm，BC=________cm；（2）当t=________秒时，点P与点Q第一次重合；当t=________秒时，点P与点Q第二次重合；（3）当t为何值时，AP=PQ？【答案】（1）9；3（2）3；（3）解：在点P和点Q运动过程中，当AP=PQ时，存在以下三种情况：①点P与点Q第一次重合之前，可得：2×4t=9+t，解得t= ；②点P与点Q第一次重合后，P、Q由点B向点A运动过程中，可得：2×[12-（4t-12）]=12-（t-3），解得t= ；③当点P运动到点A，继续由点A向点B运动，点P与点Q第二次重合之前，可得：2×（4t-24）=12-（t-3），解得t=7．故当t为秒、秒或7秒时，AP=PQ．【解析】【解答】（1）∵AB=12cm，AC=3BC∴AC= AB=9，BC=12-9=3．故答案为：9；3．（2）设运动时间为t，则AP=4t，CQ=t，由题意，点P与点Q第一次重合于点B，则有4t-t=9，解得t=3；当点P与点Q第二次重合时有：4t+t=12+3+24，解得t= ．故当t=3秒时，点P与点Q第一次重合；当t= 秒时，点P与点Q第二次重合．故答案为：3；．【分析】（1）由题目中AB=12cm，点C在线段AB上，AB=3BC，可直接求得；（2）根据运动过程，两点重合时他们走过距离之间的关系列方程即可求得；（3）满足AP=PQ，则2AP=AQ，在整个运动过程中正确的位置存在三处，依次分析列出方程即可求得．3．数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，AB＝BC＝20．（1）点A对应的数是________，点B对应的数是________．（2）动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．①用含t的代数式表示点P对应的数是________，点Q对应的数是________；②当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值．【答案】（1）﹣30；﹣10（2）4t﹣30，t﹣10；t的值为4或【解析】【解答】解：（1）∵AB＝BC＝20，点C对应的数是10，点A在点B左侧，点B 在点C左侧，∴点B对应的数为10﹣20＝﹣10，点A对应的数为﹣10﹣20＝﹣30．故答案为：﹣30；﹣10．（2）①当运动时间为t秒时，点P对应的数是4t﹣30，点Q对应的数是t﹣10．故答案为：4t﹣30；t﹣10．②依题意，得：|t﹣10﹣（4t﹣30）|＝8，∴20﹣3t＝8或3t﹣20＝8，解得：t＝4或t＝．∴t的值为4或．【分析】（1）由AB，BC的长度结合点C对应的数及点A，B，C的位置关系，可得出点A，B对应的数；（2）①由点P，Q的出发点、运动方向及速度，可得出运动时间为t秒时点P，Q对应的数；②由①结合PQ＝8，可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．4．阅读材料，并回答问题如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．（单位：cm）由此可得，木棒长为__________cm．借助上述方法解决问题：一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？（1）请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄．（2）若羊村中的小羊均与美羊羊同岁，老羊均与村长爷爷同岁。
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（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）
-1 c O a b
A． b 1 B． 2a b 1 C．1 2a b 2c D．1 2c b
三、培优训练
1、已知是有理数，且 x 1 2 2 y 12 0 ，那以 x y 的值是（
）
1
3
A． B．
2
2
C． 1 或 3 22
D． 1或 3 2
2、（07 乐山）如图，数轴上一动点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B ，再向右移动 5 个单位长度到达点
5
C ．若点 C 表示的数为 1，则点 A 表示的数为（ ）
B 2A
C
Ａ． 7
Ｂ． 3
Ｃ． 3 Ｄ． 2
01
3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1 个单位，点 A、B、C、D 对应的数分别是整数
）
7、| x 2 | | x 3 |的最小值是（
）。
8、在数轴上，点 A、B 分别表示 1 ，1 ，则线段 AB 的中点所表示的数是（
）。
42
9、若 a,b 互为相反数， m, n 互为倒数，P 的绝对值为 3，则 a b 2010 mn p2 （
）。
p
10、若 abc≠0，则 | a | | b | | c | 的值是（ abc
能力培训题
知识点一：数轴
例 1：已知有理数 a 在数轴上原点的右方，有理数 b 在原点的左方，那么（ ） A． ab b B． ab b C． a b 0 D． a b 0
拓广训练：
1、如图 a, b 为数轴上的两点表示的有理数，在 a b, b 2a, a b , b a 中，负数的个数有（
a,b, c, d 且 d 2a 10 ，那么数轴的原点应是（ ）A
BC
D
A．A 点 B．B 点 C．C 点 D．D 点
4、数 a, b, c, d 所对应的点 A，B，C，D 在数轴上的位置如图所示，那么 a c 与 b d 的大小关系是（
）
AD 0C B
A． a c b d B． a c b d C． a c b d D．不确定的 5、不相等的有理数 a, b, c 在数轴上对应点分别为 A，B，C，若 a b b c a c ，那么点 B（
”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）
拓广训练：
1、 若 m 0, n 0 且 m n ，比较 m,n, m n, m n, n m 的大小，并用“ ”号连接。
例 4：已知 a 5 比较 a 与 4 的大小
拓广训练：
1、已知 a 3 ，试讨论 a 与 3 的大小
2、已知两数 a, b ，如果 a 比 b 大，试判断 a 与 b 的大小
）.
11、下列有规律排列的一列数：1、 3 、 2 、 5 、 3 、…，其中从左到右第 100 个数是（ 4 385
）。
二、解答问题：
1、已知 x+3=0,|y+5|+4 的值是 4，z 对应的点到-2 对应的点的距离是 7，求 x 、y、 z 这三个
数两两之积的和。
3、若 2x | 4 5x | |1 3x | 4 的值恒为常数，求 x 满足的条件及此时常数的值。
2
b a O c1
a b b 1 a c 1 c 的结果为
。
2、已知 a b a b 2b ，在数轴上给出关于 a, b 的四种情况如图所示，则成立的是
。
Байду номын сангаас
a 0① b
b 0② a
0 a ③b
0 b④a
3、已知有理数 a, b, c 在数轴上的对应的位置如下图：则 c 1 a c a b 化简后的结果是（ ）
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例 5： 有理数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示，式子 a b a b b c 化简结果为（ ）
A． 2a 3b c B． 3b c C． b c D． c b -1 a O
1 bc
拓广训练：
1、有理数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示，则化简
有理数培优题基础训练题
一、填空：
1、在数轴上表示－2 的点到原点的距离等于（
）。
2、若∣a∣=－a,则 a（ ）0.
3、任何有理数的绝对值都是（
）。
4、如果 a+b=0,那么 a、b 一定是（
）。
5、将 0.1 毫米的厚度的纸对折 20 次，列式表示厚度是（
）。
6、已知| a | 3,| b | 2,| a b | a b ，则 a b （
） A．在 A、C 点右边 B．在 A、C 点左边 C．在 A、C 点之间 D．以上均有可能
6、设 y x 1 x 1 ，则下面四个结论中正确的是（ ）（全国初中数学联赛题）
A． y 没有最小值
B．只一个 x 使 y 取最小值
C．有限个 x （不止一个）使 y 取最小值
D．有无穷多个 x 使 y 取最小值
4、若 a,b, c 为整数，且| a b |2010 | c a |2010 1，试求| c a | | a b | | b c |的值。
5、计算：－ 1 ＋ 5 － 7 ＋ 9 － 11 ＋ 13 － 15 ＋ 17 2 6 12 20 30 42 56 72
6、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次翻转其中任 意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？
）
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
a
Ob
1
A．1
B．2 C．3 D．4
3、把满足 2 a 5 中的整数 a 表示在数轴上，并用不等号连接。
2、利用数轴能直观地解释相反数； 例 2：如果数轴上点 A 到原点的距离为 3，点 B 到原点的距离为 5，那么 A、B 两点的距离为 。 拓广训练：
1、在数轴上表示数 a 的点到原点的距离为 3，则 a 3 _________ .
7、在数轴上，点 A，B 分别表示 1 和 1 ，则线段 AB 的中点所表示的数是
2、已知数轴上有 A、B 两点，A、B 之间的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3，那么所有满足条件的点 B
与原点 O 的距离之和等于
。（北京市“迎春杯”竞赛题）
3、利用数轴比较有理数的大小；
例 3：已知 a 0,b 0 且 a b 0 ，那么有理数 a,b,a, b 的大小关系是
。（用“