百师联盟2021届高三一轮复习联考(四)全国卷 I 文科数学试题
2021届百师联盟(全国卷II)高三一轮复习联考(一) 数学(文)试题(解析版)
2021届百师联盟（全国卷II ）高三一轮复习联考（一） 数学（文）试题一、单选题1．设212z i ⎫=⎪⎪⎝⎭，其中i 是虚数单位，则z ＝（ ）A ．12B ．2C ．1D【答案】C【分析】先根据完全平方公式和复数的运算计算出z ，再根据复数的模的求法解出即可.【详解】解：因为21122z i ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，所以1z ==. 故选：C .【点睛】本题考查复数的运算和复数的模的求法，属于基础题. 2．已如集合{}0A x x =≥，集合(){}2ln 2B x y x x ==+-，则AB =（ ）A ．()1,+∞B ．()2,1-C ．[)0,1D ．()2,-+∞【答案】A【分析】求出集合B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】解：集合{}{2202B x x x x x =+->=<-或}1x >，所以()1,AB =+∞，故选：A.【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数型复合函数的定义域，考查了基本运算能力，属于基础题.3．函数()2sin 2cos2f x x x =-的最小正周期为（ ） A ．π B ．2πC ．2πD ．4π 【答案】A【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得结果.【详解】因为()()2sin 2cos22x x x f x ϕ=-=-，其中1tan 2ϕ=，且ϕ为锐角， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==， 故选：A ．【点睛】本题考查正弦型函数周期的求解，考查了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于基础题.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为()3113s t t =+，设其在时间段[]1,2内的平均速度为1m/s v ，在2t =时的瞬时速度为2m/s v ，12v v =（ ） A ．13B ．712C ．56 D ．23【答案】B【分析】求出平均速度和瞬时速度，即得解. 【详解】由题意，该质点在时间段[]1,2内的平均速度331112111733m/s213s v t ⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯+ ⎪ ⎪∆⎝⎭⎝⎭===∆-，因为()2s t t '=， 所以()24s '=，即该质点在2t =时的瞬时速度为24m/s v =，所以12712v v =， 故选：B ．【点睛】本题主要考查平均速度和瞬时速度的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．已知1sin 4θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin π2θ-=（ ） A．BC．D【答案】D【分析】由已知条件，利用π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和22sin cos 1θθ+=，解得cos θ，再利用诱导公式即可求解【详解】1sin 4θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1θθ+=， 解得15cos θ=，所以，()sin π2sin 152s co 2in s θθθθ-===，故选：D【点睛】本题考查三角函数的辅助公式和诱导公式的使用，属于基础题 6．已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（ ）A ．()cos sin y x =B ．()sin sin y x =C ．()cos cos y x =D ．()sin cos y x =【答案】D【分析】利用函数的奇偶性，特殊值，及函数的取值范围依次判断，利用排除法，即可得出结果.【详解】解：由图象知，该函数为偶函数，排除B 选项； 当0x =时，01y <<，而()cos sin0cos01==，排除A 选项； 令[]cos 1,1t x =∈-，所以()cos cos 0x >，排除C 选项， 故选:D .【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数图像和性质，考查数形结合的能力，属于中档题.7．已知向量()2,1a →=-，()2,4b →=-，(),1c x →=，若2//b a c →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a →在c →上的投影为（ ） A ．322±B ．322-C ．22±D ．22-【答案】B【分析】根据向量的坐标运算求出()26,6b a →→-=-，根据向量平行的性质得出1x =-，从而得出()1,1c →=-，最后根据向量的模和向量的数量积运算，即可求出a →在c →上的投影.【详解】解：由题可知，()2,1a →=-，()2,4b →=-，(),1c x →=， 则()26,6b a →→-=-，2//b a c →→→⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有66x =-，解得：1x =-， 所以()1,1c →=-，则c →==则a →在c →上的投影为21112a cc→→→⨯-+-⨯⋅===-， 即a →在c →上的投影为2-. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，以及平面向量的模和数量积运算，属于基础题. 8．已知圆C ：()2220x y rr +=>，设p ：32r；q：圆C 上至少有3个点到直线20y +-=的距离为12，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先判断出圆心到直线的距离为12，再分类讨论r 与13,22的关系，进一步确定圆上点与直线的距离关系即可【详解】圆C 的圆心为()0,020y +-=的距离为1， 当102r <<时，圆上没有点到直线的距离为12；当12r =时，圆上有1个点到直线的距离为12；当1322r <<时，圆上有2上点到直线的距离为12；当32r =时，圆上有3点到直线的距离为12；当32r >时，圆上有4个点到直线的距离为12；要使圆C 上至少有3个点到直线320x y +-=的距离为12，则32r ，所以p 是q 的充要条件， 故选：C ．【点睛】本题考查圆上的点与直线的距离关系的判断，分类讨论是解题关键，属于中档题9．如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是（ ）A ．该弹簧振子的振幅为2cmB ．该弹簧振子的振动周期为1.6sC ．该弹簧振子在0.2s 和1.0s 时振动速度最大D ．该弹簧振子在0.6s 和1.4s 时的位移为零 【答案】C【分析】由简谐运动图象可得出该弹簧振子的振幅、最小正周期，可判断AB 选项的正误，再根据简谐振动的几何意义可判断CD 选项的正误.【详解】由图象及简谐运动的有关知识知，该弹簧振子的振幅为2cm ，振动周期为()210.2 1.6s ⨯-=，当0.2t s =或1.0s 时，振动速度为零，该弹簧振子在0.6s 和1.4s 时的位移为零. 所以，ABD 选项正确，C 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查简谐振动图象的应用，考查振幅、周期、振动速度和位移的理解，属于基础题.10．已知函数()f x 定义在[]22-,上，且满足()()0f x f x +-=，当[]2,0x ∈-时，()3sin f x x x =+，则不等式()()142f x f x -<+的解集是（ ）A ．[]1,3-B ．{}1-C ．[]3,1--D ．[]3,3-【答案】B【分析】推导出函数()f x 为奇函数，且函数在()f x 在区间[]22-,上单调递增，进而可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得不等式()()142f x f x -<+的解集.【详解】函数()3sin f x x x =+的定义域为[]22-,，关于原点对称， ()()()()33sin sin -=-+-=--=-f x x x x x f x ，函数()f x 为奇函数.当[]2,0x ∈-时，()3sin f x x x =+，()23cos f x x x '=+.当[]1,0x ∈-时，()23cos 0f x x x '=+>；当[]2,1x ∈--时，()23cos 3cos 0f x x x x '=+≥+>.由于()f x 为奇函数，该函数在[]0,2上也为增函数，由于函数()f x 在区间[]22-,上连续，所以，函数()f x 在区间[]22-,上单调递增. 则()()142f x f x -<+等价于2122422142x x x x -≤-≤⎧⎪-≤+≤⎨⎪-<+⎩，解得1x =-，故选：B ．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性求解函数不等式，考查了导数的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．在ABC 中，1AB AC ==，AB AC ⊥，点M ，N 为ABC 所在平面内的一点，且满足2AM AC AB →→→=-，1MN →=，若AN AB AC λμ→→→=+，则λμ+的最大值为（ ） A1 B1 CD ．1【答案】A【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由2AM AC AB →→→=-，根据向量坐标运算求出M 的坐标，设(),N x y ，由1MN →=，得出点N 满足()()22121x y ++-=，根据圆的参数方程，可设点()cos 1,sin 2N θθ-+，根据AN AB AC λμ→→→=+，得出sin cos 1λμθθ+=++，最后利用化一公式和三角函数求最值，即可得出λμ+的最大值.【详解】解：由题意，以A 原点，AB ，AC 所直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则()0,0A ，()10B ,，()0,1C ， ()1,22AM AC AB →→→∴=-=-，()1,2M ∴-，设(),N x y ，因为1MN →=，所以点N 满足()()22121x y ++-=， 则可设点()cos 1,sin 2N θθ-+，则由AN AB AC λμ→→→=+，得()()cos 1,sin 2,θθλμ-+=， 所以πsin cos 12sin 1214λμθθθ⎛⎫+=++=++≤+ ⎪⎝⎭，则λμ+的最大值为21+. 故选：A.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和模的求法，考查利用化一公式化简和三角函数求最值，还涉及圆的方程，考查转化思想和运算能力，属于中档题.12．设函数()()22log 1,0,0x x f x x x ⎧+>=⎨-⎩，若不等式()()ln ln f mx m f x x x -+对任意的[)1,3x ∈都成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．[]0,2C ．[]0,1D ．(),1-∞【答案】A【分析】由已知得，求出()f x 在R 上的单调性，然后，把问题不等式()()ln ln f mx m f x x x -+对任意的[)1,3x ∈都成立，转化为ln ln mx m x x x-+对任意的[)1,3x ∈恒成立，然后，利用导数的单调性和极值来求出m 的范围 【详解】解：由函数()f x 解析式知，()f x 在R 上单调递增，若不等式()()ln ln f mx m f x x x -+对任意的[)1,3x ∈都成立，等价于ln ln mx m x x x-+对任意的[)1,3x ∈恒成立，令()()1ln g x x x mx m =+-+，()1ln 1xx x m g =++-'，令()1ln 1h x x x =++，()210xh x x -'=[)()1,3x ∈，所以()h x 在[)1,3x ∈单调递增，因为()()12h x h =，故当2m 时，()0g x '，()g x 单调递增；因为()10g =，所以()0g x ，满足题意；当2m >时，取3m =，2x =，()()381ln 3ln 2633ln 23ln0e g x x x mx m =+-+=-+=-=<，不满足；综上：实数m 的取值范围为(],2-∞， 故选：A【点睛】本题考查利用导数的单调性和极值证明不等式恒成立问题，属于难题二、填空题 13．已知复数()i1i i 1z a =+-+的虚部为零，i 为虚数单位，则实数a =________. 【答案】12【分析】先对复数化简，再由复数的虚部为零，列方程可求得结果 【详解】解：()i 111i i i 122z a a ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，因为其虚部为零，所以102a -=，12a =. 故答案为：12. 【点睛】此题考查复数的除法运算，考查复数的有关概念，属于基础题14．如图，某校园内有一块圆形草坪，其内接ABC 区域内种植花卉（阴影部分），已知206m 3AC =，20m BC =，45B =︒，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧BAC 上找一点M ，使得新的种植区域MBC △的面积S （单位：2m ）最大，则S 的值为________．【答案】1003【分析】由正弦定理求得A ，设m BM x =，m CM y =，由正弦面积公式、余弦定理和不等式放缩即可求解【详解】在ABC 中，由正弦定理得，sin sin BC ACA B=，即206203sin sin 45A =︒，解得60A =︒，由“同弧所对圆周角相等”知60M A ∠=∠=︒，设m BM x =，m CM y =，则13sin 2MBC S xy M xy ==△，在MBC △中，由余弦定理得， 22222202cos 3MBC x y xy M x y xy xy S =+-⋅=+-=△，故1003MBC S △，当且仅当20x y ==时等号成立，所以新的种植区域MBC △的面积S 最大为1003 故答案为：1003．【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形实际问题中的应用，属于中档题 15．已知函数()f x 的导函数为()f x '，任意x ∈R 均有()()e xf x f x '-=，且()10f =，若函数()()g x f x t =-在[)1,x ∈-+∞上有两个零点，则实数t 的取值范围是________． 【答案】21,e⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】要使函数()()g x f x t =-有两个零点，等价于曲线()y f x =与y t =有两个交点，所以，先求出()f x ，并利用导数研究()f x 的单调性和极值，进而，讨论可以求出t 的范围，即可求解 【详解】设函数()()e x f x h x =，则()()()exf x f x h x '-'=，因为()()e xf x f x '-=，则()1h x '=，设()h x x C =+，则()()1110ef h C ==+=，所以1C =-，即()1h x x =-，()()1e x f x x =-，()e x f x x '=，则()f x 在[)1,0-单调递减，在[)0,+∞单调递增，()()min 01f x f ==-，()21ef -=-，要使函数()()g x f x t =-有两个零点，等价于曲线()y f x =与y t =有两个交点，所以实数t 的取值范围为21,e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦．故答案为：21,e⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查利用导数的单调性和极值，求函数方程的交点问题，属于中档题三、双空题16．函数()()πcos 0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式()f x =________．为了得到一个奇函数的图象，只需将()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，则m 的最小值为________．【答案】ππcos 46x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 43【分析】观察图象根据周期求出ω，再代入特殊点2,13⎛⎫-⎪⎝⎭求出ϕ，即可写出函数解析式；求出函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度得到的图象所对应的函数解析式，由变换后函数的奇偶性可求出m 的最小值. 【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，由图知422433T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 解得2ππ84T ωω=⇒==，所以()πcos 4f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又函数过点2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2πcos 136f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故1π2π6k ϕ-+=，1π2π6k ϕ=+，1k ∈Z ，因为π2ϕ<，当10k =时满足条件，π6ϕ=，所以()πcos π46x x f ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，向左平移()0m m >个单位长度得到()πππππcos cos 46446y x m x m ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数， 故2ππππ462m k +=+，2k ∈Z ，当20k =，43m =时满足条件．故答案为：ππcos 46x ⎛⎫+⎪⎝⎭；43【点睛】本题考查根据图象求三角函数解析式、余弦型函数的奇偶性，属于中档题.四、解答题17．在平面直角坐标系中，已知向量()1,1a =，1b =，且25a b -=． （1）求向量a ，b 的夹角θ；（2）设2m a b =-，n ta b =+，是否存在实数t ，使//m n ？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）π4；（2）存在2t =-使//m n ． 【分析】(1)根据25a b -=求出1a b ⋅=，再求向量a ，b 的夹角θ即可； (2)根据平行向量基本定理列方程组判断即可.【详解】解：（1）因为1b =，25a b -=，225a b -=，22445a a b b -⋅+=，结合2a =解得1a b ⋅=，即cos 1cos 1cos 2a b a b θθθ=⋅=⨯=⇒=， 又因为[]0,πθ∈，所以π4θ=． （2）要使//m n 成立，则λ=m n ，R λ∈，0λ≠，即()2a b ta b λ-=+，因为a ，b 不共线，故21t λλ=⎧⎨-=⎩，解得21t λ=-⎧⎨=-⎩，即存在2t =-使//m n ．【点睛】考查求向量夹角以及根据向量平行确定是否存在参数，中档题. 18．已知顶点在坐标原点，始边在x 轴正半轴上的锐角α的终边与单位圆交于点12A ⎛ ⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 逆时针旋转π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭得到角β的终边. （1）求2sin 22cos sin ααα-的值； （2）求cos cos βϕ+的取值范围.【答案】（1）（2）3cos cos ,22βϕ⎛⎫+∈-⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用三角函数的定义可得sin 2α=，1cos 2α=，再利用二倍角的正弦公式即可求解.（2）由πcos cos cos cos 3βϕϕϕ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，利用两角和的余弦公式可得πcos cos 3βϕϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质即可求解.【详解】解：（1）由题意得sin α=，1cos 2α=，所以，22212sin 22sin cos 222cos sin 2cos sin 122ααααααα===--⨯-⎝⎭（2）π1cos cos cos cos cos cos 322βϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得πcos cos 3βϕϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 因为π02ϕ<<，所以πππ633ϕ-<-<，1πsin 232ϕ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3cos cos 2βϕ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了三角函数的定义、三角恒等变换、正弦函数的性质，需熟记公式，属于基础题.19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c cos sin C c A +=． （1）求角A ；（2）若a =2c =，求ABC 的面积．【答案】（1）π3A =；（2） 【分析】（1）首先根据正弦定理，边角互化，再根据三角恒等变换，计算求得角A ； （2）根据余弦定理计算求边b ，再根据三角形的形状求ABC 的面积.【详解】解：（1cos sin C c A +=，由正弦定理得cos sin sin A C C A B +=，又因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以sin sin sin A C A C =， 又()0,πA ∈，所以π3A =． （2）由（1）知π3A =，结合余弦定理，22224121cos 242b c a b A bc b +-+-===，解得4b =，所以11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯=△ 【点睛】本题考查解三角形，三角恒等变形，重点考查计算能力，属于基础题型. 20．2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入[]()4,8x x ∈万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x 万元赞助费后，商品的销售量将增加到2102y x λ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭万件，[]0.6,1λ∈为气象相关系数，若该销售商出售y 万件商品还需成本费()40530x y ++万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p 万元与平台投入的赞助费x 万元的关系式；（注：总利润=赞助费+出售商品利润）（2）若对任意[]4,8x ∈万元，当入满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ 【答案】（1）2001004402p x x λλ=---+，[]4,8x ∈；（2）当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损．【分析】（1）根据总利润=赞助费+出售商品利润和已知得解； （2）由题得()()10225x x xλ++在[]4,8x ∈上恒成立，设()2012f x x x=++，利用导数求出函数()f x 的最大值即可得解. 【详解】（1）由题意得20204010405301022p x x x x λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅--++⋅- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2001004402x x λλ=---+，[]4,8x ∈． （2）要使对任意[]4,8x ∈（万元）时，该销售商才能不亏损，即有0p ，变形得()()10225x x xλ++在[]4,8x ∈上恒成立，而()()210212202012x x x x x xxx++++==++，设()2012f x x x=++，()2201f x x =-'，令0fx解得=±x所以函数()f x 在4,⎡⎣单调递减，在⎡⎤⎣⎦单调递增，()()(){}max max 4,8f x f f =，因为()()421822.5f f =<=，所以有2522.5λ，解得0.9λ，即当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损．【点睛】本题主要考查函数和不等式的应用，考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．已知函数()2xf x ae x x =+-，其中a ∈R ， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()ln g x x x =，若对于任意()0,x ∈+∞，()()0f x g x -<恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞；（2）21,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【分析】（1）求得()21xf x e x '=+-，分析导数的符号变化，可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）利用参变量分离法得出2ln x x x x x a e -+>，令()2ln xx x x x m x e -+=，利用导数求得函数()m x 的最小值，即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()22e f x x x =+-，所以()21x f x e x '=+-，易和()f x '单调递增且()00f '=，当0x <时，()()00f x f ''<=；当0x >时，()()00f x f ''>=. 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 即函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞；（2）对于任意()0,x ∈+∞，()()0f x g x -<恒成立，即2ln xx x x x a e-+>恒成立， 令()2ln xx x x xm x e -+=，则()ln 1x x x x m x e e ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 令()x x h x e =，()1xxh x e -'=， 所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减；()()max 11e h x h ==，所以()10,h x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.令()h x t =，所以ln 1ln xx x x t t t e e ⎛⎫⋅+=+ ⎪⎝⎭，令()ln u t t t t =+，()ln 2u t t '=+. 所以当210,t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0u t '<，()u t 单调递减； 当211,t e e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0u t '>，()u t 单调递增. ()22min11u u e e t ⎛⎫=- ⎪⎝=⎭，所以()2ln xx x x xm x e -+=的最小值为21e -，即有21a e <-， 综上：a 取值范围为21,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，常用分类讨论法与参变量分离法求解. 在参变量分离法中，一般利用以下原理来求解：（1）x D ∀∈，()()min a f x a f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max a f x a f x ≥⇔≥.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）点P 为曲线C 上点，求点P 到直线l 距离的最小值.【答案】（1）40x y +-=；22182x y +=；（2）. 【分析】（1）利用22cos sin 1αα+=消去参数可得直线l的普通方程；化简πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos ,sin x y ρθρθ==代入可得曲线C 的直角坐标方程；（2）()P αα，利用点到直线距离公式求出距离，根据三角函数的性质可求出最值.【详解】解：（1）因为曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()()()22222x y αα+=+()228sin cos 8αα=+=，整理得22182x y +=；因为直线l的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos θρθ+=sin cos 4ρθρθ+=，即40x y +-=.（2）由（1）得直线l 的直角坐标方程为 40x y +-=，则设点()P αα，[)0,2πα∈，则点P 到直线40x y +-=的距离d ==，其中tan 2ϕ=，当()sin 1αϕ+=时，min d ==.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查点到直线距离的最值求法，属于中档题. 23．已知函数()212f x x x =+--. （1）求不等式()2f x x ≥+的解集； （2）若()12f x t ≥--对一切实数x 均成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(][),23,-∞-+∞.【分析】（1）利用零点分界法去绝对值即可求解.（2）由（1），可得()min 1522f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，将不等式转化为5122t -≥--对一切实数x 恒成立，利用绝对值的几何意义解不等式即可.【详解】解：（1）()13,2131,223,2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，①当12x <-时，32x x --≥+，解得52x ≤-，所以52x ≤-； ②122x -≤≤时，312x x -≥+，解得32x ≥，所以322x ≤≤；③2x >时，32x x +≥+，解得x ∈R ，所以2x >； 综上：不等式()2f x x ≥+的解集为53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.（2）由（1），知()min 1522f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因为()12f x t ≥--对一切实数x 均成立， 即有5122t -≥--，解得3t ≥或2t ≤-， 所以t 的取值范围为(][),23,-∞-+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，分段函数的最值，考查了基本运算求解能力以及分类讨论的思想，属于基础题.。
百师联盟2021届高三一轮复习联考(一)新高考卷数学试卷
百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）新高考卷数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |0＜x ＜3}，集合B ＝{x |x 2+x -6＜0}，则A ∪B ＝A ．{x |x ＜4}B ．{x |0＜x ＜4}C ．{x |-3＜x ＜3}D ．{x |2＜x ＜3}2．设z ＝|t |-(t 2+1)i ，其中t ∈R ，i 是虚数单位，则z 在复平面内对应的点在A ．第一象限或x 轴B ．第二象限或y 轴C ．第三象限或x 轴D ．第四象限或y 轴3．命题p ：“∀x ∈[0，+∞)，e x ＞x 2”的否定形式¬p 为A ．∀x ∈[0，+∞)，e x ≤x 2B ．∃x 0∈(-∞，0]，020e x x >C ．∃x 0∈[0，+∞)，020e x x >D ．∃x 0∈[0，+∞)，020e x x ≤4．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A ．12πB ．32π3C ．8πD ．4π 5．将不超过实数x 的最大整数记为[x ]，设函数2log , 115, 01()x x x x x f x ≥⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦⎧⎪=⎨⎪⎩，则f (f (0.8))＝ A ．4 B ．2 C ．1 D ．06．已知向量(2,1)a =-，(5,4)b =-，(,)c x y =，若()a b c +⊥，则x ，y 可以是A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝0，y ＝1C ．x ＝1，y ＝0D ．x ＝1，y ＝-17．已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是A ．y ＝cos(2x -2-x )B ．y ＝sin(2x -2-x )C ．y ＝cos(2x +2-x )D ．y ＝sin(2x +2-x )8．若函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0，π]上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为A ．1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1710,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1023,36⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9．等差数列{a n }的首项a 1＞0，设其前n 项和为{s n }，且s 6＝s 11，则A ．d ＞0B ．d ＜0C ．a 8＝0D ．s n 的最大值是s 8或者s 910．已知a ＞0，b ＞0，且a +b ＝4，则下列结论正确的是 A ．ab ≤4 B ．111a b+≥ C ．2a +2b ≥16 D ．a 2+b 2≥8 11．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f (x )＝x x (x ＞0)，我们可以作变形：ln ln ()e e e (ln )x x x x x t f x x t x x =====，所以f (x )可看作是由函数f (t )＝e t 和g (x )＝x ln x 复合而成的，即f (x )＝x x (x ＞0)为初等函数． 根据以上材料，对于初等函数1()(0)xh x x x =>的说法正确的是A ．无极小值B ．有极小值1C ．无极大值D ．有极大值1e e 12．已知函数f (x )＝sin|x |-|cos x |，且π2a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππe b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22e c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则 A ．f (x )为偶函数 B ．f (x )在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 C ．a ＞c ＞b D ．b ＞a ＞c 三、填空题13．已知向量a ，b ，满足||2a =，且1a b ⋅=-，则()a a b ⋅-=_________．14．已知函数321()313f x x x x =---+，则在曲线y ＝f (x )的所有切线中，斜率的最大值为_________．15．函数f (x )＝sin 2ωx (ω＞0)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式f (x )＝_________；将函数f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数g (x )的图象，则g (1)+g (2)+g (3)+…+g (2021)＝_________．16．设函数π2cos ,[6,6]3()12,(,6)(6,)||x x f x x x ⎧∈-⎪⎪=⎨⎪∈-∞-+∞⎪⎩，若关于x 的方程[f (x )]2+af (x )+1＝0(a ∈R )有且仅有12个不同的实根，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知顶点在坐标原点，始边在x 轴正半轴上的锐角α的终边与单位圆交于点122A ⎛ ⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 逆时针旋转π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭得到角β的终边． （1）求2sin 22cos sin ααα-的值； （2）求sin βcos φ的取值范围．18．在①cos 2C -cos 2A ＝sin 2B -sin B sin C ，2sin a B =，③△ABC 的面积sin S AB AC A =⋅，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 为锐角，_____________________．（1）求角A ；（2）若a =，求b +c 的取值范围．19．已知函数f (x )的图像与函数g (x )＝e 2x -a 的图像关于直线y ＝x 对称，a ∈R ．（1）若函数f (x )的图形过点(0，0)，求f (x )的解析式；（2）若函数h (x )＝x -f (x )在[1，+∞)上单调递增，求a 的取值范围．20．已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点间的距离为（1）求函数f (x )的解析式；（2）若将函数f (x )图像上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到函数g (x )的图象，关于x 的不等式21()22g x t t ≥+在x ∈[3，5]上有解，求实数t 的取值范围． 21．2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入x (x ∈[4，8])万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x 万元赞助费后，商品的销售量将增加到y λ=⋅20102x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭万件，λ∈[0.6，1]为气象相关系数，若该销售商出售y 万件商品还需成本费(40+5x +30y )万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p 万元与平台投入的赞助费x 万元的关系式；（注：总利润＝赞助费+出售商品利润）（2）若对任意x ∈[4，8]万元，当λ满足什么条件时，该销售商才能不亏损？22．已知函数f (x )＝x ln x +1，g (x )＝sin x -e x ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）记h (x )＝f (x )+g (x )，求证：对任意x ∈(0，+∞)，h (x )＜0恒成立．百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）新高考卷数学参考答案1．C 解析：集合B ＝{x |-3＜x ＜2}，所以A ∪B ＝{x |-3＜x ＜3}，故选C ．2．D 解析：因为z ＝|t |-(t 2+1)i ，|t |≥0，-(t 2+1)＜0，所以z 在复平面内对应的点(|t |，-(t 2+1))在第四象限或y 轴上，故选D ．3．D 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈[0，+∞)，e x ＞x 2”的否定形式¬p 为：∃x 0∈[0，+∞)，020e x x ≤，故选D ．4．A 解析：正方体的棱长为2，其体对角线为即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A ．5．B 解析：因为0.8＜1，所以5(0.8)50.844f ⎡⎤=⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，f (4)＝log 24＝2，故选B ． 6．A 解析：因为()a b c +⊥，所以()(3,3)(,)330a b c x y x y +⋅=-⋅=-+=，即x ＝y ，故选A ．7．D 解析：由图象知，该函数为偶函数，排除B 选项；当x ＝0时，0＜y ＜1，而cos(20-2-0)＝cos 0＝1，cos(20+2-0)＝cos 2＜0，排除A 、C 选项，故选D ．8．B 解析：如图作出简图，由题意知，π∈[x 4，x 5)，设函数f (x )的最小正周期为T ，因为0π6x ω=-，则400772π10π443x x T x ωω=+=+⋅=，5002π23π226x x T x ωω=+=+⋅=，结合π∈[x 4，x 5)有10π3πω≥且23ππ6ω<，解得1023,36ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选B ．9．BD 解析：s 11-s 6＝a 7+a 8+a 9+a 10+a 11＝5a 9＝0，所以a 9＝0，d ＜0，s 8＝s 9最大，选BD ．10．ABD 解析：由不等式2112a b a b +≤≤+，可得ABD 正确．对于C ，22a b +≥8=．11．AD 解析：根据材料知：111ln ln ()e e x x x x x h x x ===，所以11ln ln 1()e ln e x x x x h x x x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭⋅⋅ 1ln 222111ln e (1ln )x x x x xx x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，令h ′(x )＝0得x ＝e ，所以h (x )有极大值且为1e (e)e h =，无极小值故选AD ．12．ABC 解析：易知函数f (x )为偶函数，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f (x )＝sin x -cos x ，f ′(x )＝sin x +cos x ＞0，此时f (x )单调递增；令()e x x g x =，1()e xx g x -'=，则g (x )在(-∞，1)单调递增，在(1，+∞)单调递减，因为2＜π，所以π2π2πe e 2<<，由函数f (x )的单调性有π2π2πe e 2f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π2f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即a ＞c ＞b ，故选ABC ． 13．5 解析：原式2||5a a b =-⋅=，故答案为5．14．-2 解析：因为321()313f x x x x =---+，所以f ′(x )＝-x 2-2x -3，当x ＝-1时，f ′(x )取得最小值为f ′(-1)＝-2，即曲线y ＝f (x )的切线中斜率的最大值为-2．故答案为-2．15．π()sin 8f x x =；1 【解析】设函数f (x )的最小正周期为T ，由图知82T =，解得16T == 2ππ228ωω⇒=，所以π()sin 8f x x =，因为函数f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数g (x )的图象，则π()sin 2g x x =，因为g (1)+g (2)+g (3)+g (4)＝0，所以g (1)+g (2)+g (3)+…+g (2021)＝0+g (1)＝1．故答案为π()sin8f x x =；1． 16．5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭解析：作出函数f (x )的简图如图，令f (x )＝t ，要使关于x 的方程[f (x )]2+af (x )+1＝0(a ∈R )有且仅有12个不同的实根，则方程t 2+at +1＝0有两个不同的实数根t 1，t 2，且由图知t 1、t 2∈(0，2)，设g (t )＝t 2+at +1， 则有(0)0(2)00022g g a >⎧⎪>⎪⎪∆>⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得5,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故答案为5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．17．解析：（1）由题意得sin α=，1cos 2α=， 所以22sin 22sin cos 2cos sin 2cos sin ααααααα=--21222122==⨯-⎝⎭（2）π1sin cos sin cos sin cos 32βϕϕϕϕϕϕ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得sin cos βϕ=1πsin 223ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为π02ϕ<<，所以ππ4π2333ϕ<+<，πsin 213ϕ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，sin cos βϕ⎛∈ ⎝⎦． 18．解析：（1）选①由cos 2C -cos 2A ＝sin 2B -sin B sin C ，得1-sin 2C -(1-sin 2A )＝sin 2B -sin B sinC 由正弦定理，得b 2+c 2-a 2＝bc ． 所以2221cos 22b c a A bc +-== 因为π02A <<，所以π3A =．2sin a B =，则2sin sin B A B =，sin A ． π02A <<，所以π3A =． 选③sin S AB AC A =⋅，则1sin cos sin 2bc A bc A A =． sin A ≠0，所以1cos 2A =，又π02A <<，所以π3A =． （2）2sin 2sin sin sin sin sin a a b c R B R C B C B C B A A +=+=++=1)sin 2A B B B B ⎫+=+⎪⎝⎭，化简得：π6b c B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． 因为2π03B <<，所以ππ5π666B <+<，1πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭b c +≤． 19．解析：（1）设点A (x ，y )在函数f (x )的图象上，则点A 关于直线y ＝x 的对称点A 1(y ，x )在函数g (x )的图象上， 即有x ＝e 2y -a ，化简得1ln()2y x a =+， 因为函数f (x )的图象过点(0，0)，代入解得a ＝1，所以1()ln(1)(1)2f x x x =+>-． （2）1()()ln()2h x x f x x x a =-=-+，(x ＞-a )，1()12()h x x a '=-+， 若函数h (x )＝x -f (x )在[1，+∞)上单调递增，则h ′(x )≥0在[1，+∞)上恒成立， 所以1()1002()h x x a '=-≥⇔<+ max 11112()22a x x a ⎛⎫≤⇔≥-=- ⎪+⎝⎭，a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 20．解析：（1）由题意得f (x )的最大值为2，最小值为-2，设函数f (x )的最小正周期为T ，= 解得T ＝12，所以2ππ6T ω==，π()2sin 6f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为f (x )的图象过点(1，2)，所以π(1)2sin 26f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=，ππ()2sin 63f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为将函数f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到函数g (x )的图象，所以ππ()2sin 33g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 当x ∈[3，5]时，ππ4π,2π333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2sin 33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ [2,0]∈-， 因为不等式21()22g x t t ≥+在x ∈[3，5]上有解，即有21202t t +≤， 解得-4≤t ≤0，所以实数t 的取值范围为[-4，0]．21．解析：（1）由题意得202020040104053010100222p x x x x x λλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅--++⋅-=- ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦440x λ--，x ∈[4，8]．（2）要使对任意x ∈[4，8]（万元）时，该销售商才能不亏损，即有p ≥0，变形得(10)(2)25x x xλ++≥在x ∈[4，8]上恒成立， 而2(10)(2)12202012x x x x x x x x ++++==++，由对勾函数的性质易知，函数20()12f x x x=++在单调递减，在单调递增，（注：求导确定单调性也可） f (x )max ＝max{f (4)，f (8)}，因为f (4)＝21＜f (8)＝22.5，所以有25λ≥22.5，解得λ≥0.9， 即当λ满足λ∈[0.9，1]时，该销售商才能不亏损．22．解析：（1）因为f (x )＝x ln x +1，所以f ′(x )＝ln x +1，令f ′(x )＝0得1e x =， 所以当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以函数f (x )的递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）h (x )＝x ln x -e x +sin x +1， ①当x ∈(0，1]时，x ln x ≤0，令t (x )＝e x -sin x -1，t ′(x )＝e x -cos x ，此时e x ＞1，cos x ＜1，所以t ′(x )＞0，t (x )在(0，1]单调递增，t (x )＞e 0-sin 0-1＝0，所以x ln x ＜e x -sin x -1恒成立，即h (x )＜0恒成立； ②当x ∈(1，+∞)时，h ′(x )＝ln x +cos x -e x +1，令u (x )＝ln x +cos x -e x +1，所以1()sin e 1(1)e 2e 0x u x x x'=--<---=-<，故u (x )在(1，+∞)单调递减，所以u (x )＜u (1)＝cos 1+1-e ＜0，即h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，+∞)单调递减，所以h (x )＜h (1)＝1+sin 1-e ＜0． 综上：对任意x ∈(0，+∞)，h (x )＜0恒成立．。
四川省百师联盟2024届高三信息押题卷(四)文科数学试题(含答案与解析)_7240
2024届高三信息押题卷（四）全国卷数学（文科）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,2,3,4,5,ln 1A B x x ==≥∣，则A B = （ ）A. {}2,3,4,5B. {}3,4,5C. {}1,2D. {}1,2,32. 设复数z 共轭复数为z ，满足713i 2i z =++（i 为虚数单位），则zz=（ ） A. 2iB. 2i -C. i -D. i3. 已知平行四边形ABCD 中，E 为AC 中点.F 为线段AD 上靠近点A 的四等分点，设AB a =，AD b =，则EF =（ ）A. 1142a b --B. 3142a b --C. 1124a b --D. 1324a b --4. 如图所示的程序框图的输出结果为10112024，则判断框中应填（ ） 的A 2?i >B. 2?i ≥C. 2i <？D. 2?i ≤5. 剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知､道德观念等.剪纸艺术遗产先后人选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.2024龙年新春来临之际，许多地区设计了一幅幅精美的剪纸作品，它们都以龙为主题，展现了中华民族对龙的崇拜和敬仰.这些作品不仅展示了剪纸艺术的独特魅力，还传递了中华民族对美好生活的向往和对和平的渴望.下图是由某剪纸艺术家设计的一幅由外围是正六边形，内是一个内切圆组合而成的剪纸图案，如果随机向剪纸投一点，则这点落在内切圆内的概率是（ ）A.B.3πC.D.6. 已知数列{}n a 为等差数列，且1492324a a a ++=，则11S =（ ） A. 33 B. 44C. 66D. 887.已知sin θθ=为第一象限角，则2sin2cos θθ+=（ ） A. 2B. -2C. 1D. -1.8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是12,F F ，实轴左顶点是A ，虚轴上顶点是B ，若12,,AB BF AF 成等比数列，则双曲线的离心率e =（ ）A. 1B. 1+C.D.2+ 9. 数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，彼此相互依存.已知函数())cos ln2f x x x =-，则()f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.10. 设,a b 表示两条互不重合的直线，,αβ表示两个互不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ,,a b βααβ⊥⊥∥，则a bB. ,,a a b ααβ⊥∥∥，则b β⊥C. ,,a b αβαβ⊥∥∥，则a b ⊥r rD. ,,a a b ααβ⊥∥∥，则b β⊥11. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=-><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）．.A. 当2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为B. ()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. ()f x 的最小正周期为2π D. ()f x 的图象关于直线π3x =对称 12. 已知函数()e ,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()10f x a +-=的不同实数根的个数为4，则a 的取值范围为（ ）A. 11,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 11,1e ⎛⎫---⎪⎝⎭ C. 11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D. 111,1ee ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13. 圆221:210C x y x +-=与圆222:(2)(4)16C x y ++-=的公共弦长为__________.14. 已知点A 为椭圆22:1259x y E +=的左顶点，点F 为椭圆E 的右焦点，过点F 作一条直线（直线与x 轴不重合）交椭圆E 于,M N 两个不同点，连接,AM AN ，则AM AN k k ⋅=__________.15. 已知实数,m n 满足下列等式13318,log 883n n m -+==，则4m n +=__________. 16. 已知矩形ABCD ，其中4,2AB AD ==，点D 沿着对角线AC 进行翻折，形成三棱锥D ABC '-，如图所示，三棱锥D ABC '-的外接球的体积为__________.三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. （一）必考题：60分.17. 2024年2月17日晚八点，中华人民共和国第十四届冬季运动会开幕式在内蒙古冰上运动训练中心举行，开幕式以“燃情冰雪 筑梦北疆”为主题，全程共80分钟，分为开幕仪式和文体展演两部分.开幕式融合“简约､安全､精彩”的办赛要求，整场参与表演的演员仅有约800人，通过数字技术并结合利用AR 虚拟视效，将内蒙古大地的“豪情､豪迈､豪放”呈现给全国人民.多首耳熟能详的内蒙古优秀歌曲，以及那达慕､安代舞､马头琴等民俗､歌舞､器乐等表演元素，都将在开幕式上呈现.文体展演之后，进行了“十四冬”主火炬点火仪式.某调查小组随机调查了某社区100人观看第十四届冬季运动会开幕式的情况，得到如下所示的2⨯2列联表. 看开幕式 未看开幕式 合计 男 55 10 65 女 15 20 35 合计 7030100（1）计算并判断是否有99.9%的把握认为是否观看第十四届冬季运动会开幕式与性别有关系？ （2）为了做好开幕式的宣传和报道，扩大活动的影响力，继续从未观看开幕式居民中采取分层抽样的方法抽取6人进行运动会志愿者培训，最后从这6人中选2人为运动会志愿者，求志愿者至少一人是男性的概率. 附表及公式：()20P K k …0.05 0.010 0.00500010k3.841 6.635 7.879 10.828其中()()()()22(),n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 18. 已知各项均为正数的数列{}n a 为等差数列，各项均为正数的数列{}n b 为等比数列，112472,,1,a b a a a ==-成等比数列.135,,18b b b -成等差数列.（1）求{}{},n n a b 的通项公式； （2）若{}1135,n n n n n n c c a a b +++=的前n 项和为n S ，求证：14n S <...19. 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面//,CD AB AC 与BD 交于点,2O CD AB ==22,AD PC PA ===且90,DAB PA BC ∠=︒⊥，点E 为线段PA 上靠近P 的三等分点.（1）证明：PC //平面BDE ； （2）求点A 到平面PBC 的距离.20. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为43的直线l 与C 的交点为,G H .（1）若254FG FH +=，求抛物线C 的方程及焦点F 的坐标； （2）若点P 为x 轴正半轴上的任意一点，过点P 作直线交抛物线于,A B 两点，点P 关于原点的对称点M ，连接MA 交抛物线于点N ，求证：0AP NP k k +=.21. 已知函数()()23e 2x f x x a a ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， （1）当3a =时，求()f x 在点()()22f ,处的切线方程； （2）对任意的(]0,3x ∈时，()29e f x ≤成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ--=，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）. （1）将直线l 的极坐标方程化成直角坐标方程，将曲线C 的参数方程化成普通方程； （2）若曲线C 与直线l 总有公共点，求m 的取值范围.23. 已知()22f x x x m =+-+，m ∈R ，()223g x x x =--.（1）当2m =-时，求()8f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()4f x -≥的解集为A ，()0g x ≤的解集为B ，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.参考答案一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,2,3,4,5,ln 1A B x x ==≥∣，则A B = （ ）A. {}2,3,4,5B. {}3,4,5C. {}1,2D. {}1,2,3【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再由交集的定义求解即可.【详解】因为{}e B xx =≥∣，所以{}3,4,5A B = . 故选：B2. 设复数z 的共轭复数为z ，满足713i 2i z =++（i 为虚数单位），则zz=（ ） A. 2i B. 2i -C. i -D. i【答案】C 【解析】【分析】由复数的运算法则，求得1i z =+，再根据共轭复数的概念得到1i z =-，再由复数的运算法则计算zz即可求解. 【详解】由题知713i 2i 13i 2i 1i z =++=+-=+，则()()21i (1i)2i1i,i 1i 1i 1i 2z z z ---=-∴====-++-. 故选：C3. 已知平行四边形ABCD 中，E 为AC 中点.F 为线段AD 上靠近点A 的四等分点，设AB a =，AD b =，则EF =（ ）A. 1142a b --B. 3142a b --C. 1124a b --D. 1324a b --【答案】C 【解析】【分析】利用向量的线性运算可得答案.【详解】如图所示，由题意可得AC AB AD a b =+=+，而()111111242424EF EA AF CA AD a b b a b =+=+=-++=--，故选：C.4. 如图所示的程序框图的输出结果为10112024，则判断框中应填（） .A. 2?i >B. 2?i ≥C. 2i <？D. 2?i ≤【答案】A 【解析】【分析】模拟程序框图的运算过程，当3i =时，执行循环体，再由裂项相消法可得10112024S =，当2i =时，不满足判断框的条件，退出循环，即可得出答案. 【详解】由程序框图知，()202411i k S i i ==-∑且i k <时跳出循环，输出题设结果，当3i =时，应该满足判断框的条件，执行循环体，111111111202420232023202232202320242022202323S =+++=-+-++-⨯⨯⨯ 111011220242024=-=， 当2i =时，不满足判断框的条件，退出循环，输出S 的值为10112024， 可得判断框内的条件为2?i >. 故选：A.5. 剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知､道德观念等.剪纸艺术遗产先后人选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.2024龙年新春来临之际，许多地区设计了一幅幅精美的剪纸作品，它们都以龙为主题，展现了中华民族对龙的崇拜和敬仰.这些作品不仅展示了剪纸艺术的独特魅力，还传递了中华民族对美好生活的向往和对和平的渴望.下图是由某剪纸艺术家设计的一幅由外围是正六边形，内是一个内切圆组合而成的剪纸图案，如果随机向剪纸投一点，则这点落在内切圆内的概率是（ ）A.B.3πC.D.【答案】C 【解析】【分析】先求出正六边形的面积和内切圆的面积，由几何概型的公式代入即可得出答案.【详解】设正六边形的边长为2226⨯=而其内切圆的半径2r ==，则圆的面积为2π3π⨯=，由几何概型得P ==故选：C.6. 已知数列{}n a 为等差数列，且1492324a a a ++=，则11S =（ ） A. 33 B. 44C. 66D. 88【答案】B 【解析】【分析】将149,,a a a 用1a 和d 表示，计算出6a 的值，再由11611S a =得11S 的值. 【详解】依题意，{}n a 是等差数列，设其公差为d ，由1492324a a a ++=， 所以()()111162338630624a a d a d a d a ++++=+==，即()61111610114,1111511114442a S a d a d a ⨯==+=+==⨯=， 故选：B.7.已知sin θθ=为第一象限角，则2sin2cos θθ+=（ ） A. 2 B. -2C. 1D. -1【答案】C 【解析】【分析】由sin θ可得tan θ，借助二倍角公式将弦化切计算即可得.【详解】由sin θθ=为第一象限角得cos θ=，所以tan 2θ=， 则原式22222222222sin cos cos 2sin cos cos 2tan 1221cos 1sin cos sin cos tan 121cos θθθθθθθθθθθθθθ+++⨯+=====++++. 故选：C .8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是12,F F ，实轴左顶点是A ，虚轴上顶点是B ，若12,,AB BF AF 成等比数列，则双曲线的离心率e =（ ）A. 1B. 1+C.D.2+ 【答案】C 【解析】【分析】根据12,,AB BF AF 成等比数列，得212BF AB AF =，即()22b c c a c +=⋅+，再根据双曲线的离心率公式即可得解.【详解】21,AF a c BF c =+==，若12,,AB BF AF 成等比数列，则212BF AB AF =，即()22b c c a c +=⋅+，得2b ac =，即22c a ac -=，即220c ac a --=， 两边同除2a 得210e e --=，又1e >，得e =.故选：C.9. 数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，彼此相互依存.已知函数())cos ln2f x x x =-，则()f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用定义判断函数的奇偶性，排除选项B ､D ，再举特殊区间，排除C 即可. 【详解】对于())cos ln 2f x x x =⋅，2x >=，所以()f x 定义域为R ，又()()())cos ln 2cos ln2f x x x x x ⎤-=--=⋅+⎦)()cos ln cos ln 2x x x f x =⋅=-⋅=-，所以函数()f x 为奇函数，排除B ､D ：当,()0x ∈+∞21,021x x <+<<，)ln20x -<，当π(0,2x ∈时，cos 0x >，)ln 20x <，所以()0f x <，排除C ，故选：A.10. 设,a b 表示两条互不重合的直线，,αβ表示两个互不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A. ,,a b βααβ⊥⊥∥，则a b B. ,,a a b ααβ⊥∥∥，则b β⊥ C. ,,a b αβαβ⊥∥∥，则a b ⊥r rD. ,,a a b ααβ⊥∥∥，则b β⊥ 【答案】D 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系，逐一分析判断即可.【详解】选项A ：因为,a βαβ⊥∥，则a α⊥，又b α⊥，所以a b ，A 说法正确； 选项B ：因为,a a b α⊥∥，则b α⊥，又αβ∥，所以b β⊥，B 说法正确； 选项C ：因为,a ααβ⊥∥，则a β⊥，又b β∥，所以a b ⊥r r，C 说法正确；选项D ：若,a ααβ⊥∥，则a 与β的位置关系不确定，又a b ，所以b 与β的位置关系也不确定，D 说法错误； 故选：D11. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=-><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）．A. 当2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为B. ()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C. ()f x 的最小正周期为2πD. ()f x 的图象关于直线π3x =对称 【答案】D 【解析】【分析】先由函数图象得到函数解析式，A 选项，整体法求解函数的值域；B 选项，整体法求解函数单调性；C 选项，利用2ππω=得到C 正确；D 选项，代入得到π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 正确. 【详解】由图可知，()()10sin 2f ϕ=-=-， 又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，所以5ππ2ππ,1265π2π0122k k ωω⎧⎛⎫⨯--=-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪--< ⎪⎪⎝⎭⎩Z，所以2ω=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 对于A ：当2π,π3x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，π7π11π2,666x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴()11,2f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，A 错误； 对于B ：ππ,42⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，ππ5π2,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 由于sin y z =在ππ,32z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,26z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减，B 错误； 对于C ：()f x 最小正周期为2ππω=，C 错误；对于D ：当π3x =时，ππ262x -=，故π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()f x 的图象关于直线π3x =对称，D 正确， 故选：D ．的12. 已知函数()e ,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()10f x a +-=的不同实数根的个数为4，则a 的取值范围为（ ） A. 11,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 11,1e⎛⎫--- ⎪⎝⎭C. 11,1e ⎛⎫+⎪⎝⎭D. 111,1ee ⎛⎫-+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】首先利用导数判断函数的单调性，最值，以及函数的趋势，画出函数的图象，利用图象，解决函数图象的交点问题.【详解】当0x ≤时，()()1e xf x x +'=，由此可知()f x 在(),1∞--单调递减，在(]1,0-上单调递增，当x →-∞时，()min 1e 0,()1exx f x f →=-=-； 当0x >时，()ln ,01ln ln ,1x x f x x x x <≤⎧=-=⎨->⎩，()f x 在(]0,1单调递增，在()1,∞+上单调递减，()max ()10f x f ==，如图所示作出函数的大致图象，则()1f x a =-有四个零点，则()y f x =与1y a =-的图象有四个交点， 因此110e a -<-<，得11,1e a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，故选：C二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13. 圆221:210C x y x +-=与圆222:(2)(4)16C x y ++-=的公共弦长为__________.【答案】 【解析】【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出()22,4C -到直线的3470x y -+=的距离，则公共弦长为.【详解】将两个圆的方程作差得：68140x y -+=，即公共弦所在的直线为3470x y -+=， 又知)2(2,4C -，24r =，则()22,4C -到直线的3470x y -+=的距离为：1535d=，所以公共弦长= 故答案为：.14. 已知点A 为椭圆22:1259x y E +=的左顶点，点F 为椭圆E 的右焦点，过点F 作一条直线（直线与x 轴不重合）交椭圆E 于,M N 两个不同点，连接,AM AN ，则AM AN k k ⋅=__________. 【答案】125-##0.04- 【解析】【分析】利用椭圆方程可知()()5,0,4,0A F -，再设直线:4MN x my =+与椭圆联立方程组，利用韦达定理来计算121255AM AN y yk k x x ⋅=⋅++，最后得到一个定值. 【详解】由题知()()5,0,4,0A F -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线:4MN x my =+，联立221,2594,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 整理得()2292572810m y my ++-=，所以1212227281,925925m y y y y m m --+==++， 因此()()()1212122121212125599981AM AN y y y y y y k k x x my my m y y m y y ⋅=⋅==+++++++2222811925817225981925925m mm m m m -+==---⋅+⋅+++， 故答案为：125-. 为15. 已知实数,m n 满足下列等式13318,log 883n n m -+==，则4m n +=__________. 【答案】1 【解析】【分析】构造函数()2xf x x =+，结合单调性即可求解.【详解】因为133888n n -+=，即833n n +=，得3233n n +=，而1log 3m +=化简得()2log 61613m m +++=， 即()()2log 6122log 613m m +++=，构造函数()2x f x x =+，由于2,x y y x ==在(),-∞+∞都为增函数， 所以()2xf x x =+在(),-∞+∞为单调递增函数，又知()13f =，所以()23log 611n m =+=， 解得13n =，16m =，所以41n m +=.故答案为：1.16. 已知矩形ABCD ，其中4,2AB AD ==，点D 沿着对角线AC 进行翻折，形成三棱锥D ABC '-，如图所示，三棱锥D ABC '-的外接球的体积为__________.【解析】【分析】在翻折过程中，π2B D ∠=∠=始终不变，然后可得AC 的中点即为球心，计算可得结果. 【详解】由于,D CA BCA ' 都为直角三角形，所以外接球的球心就是AC 中点，点D 在翻折过程中，其外接球的直径始终为1,4,2,2AC AB AD AC R AC ==∴=∴==∴34π3V R ==球三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. （一）必考题：60分.17. 2024年2月17日晚八点，中华人民共和国第十四届冬季运动会开幕式在内蒙古冰上运动训练中心举行，开幕式以“燃情冰雪 筑梦北疆”为主题，全程共80分钟，分为开幕仪式和文体展演两部分.开幕式融合“简约､安全､精彩”的办赛要求，整场参与表演的演员仅有约800人，通过数字技术并结合利用AR 虚拟视效，将内蒙古大地的“豪情､豪迈､豪放”呈现给全国人民.多首耳熟能详的内蒙古优秀歌曲，以及那达慕､安代舞､马头琴等民俗､歌舞､器乐等表演元素，都将在开幕式上呈现.文体展演之后，进行了“十四冬”主火炬点火仪式.某调查小组随机调查了某社区100人观看第十四届冬季运动会开幕式的情况，得到如下所示的2⨯2列联表. 看开幕式 未看开幕式 合计 男 55 10 65 女 15 20 35 合计 7030100（1）计算并判断是否有99.9%的把握认为是否观看第十四届冬季运动会开幕式与性别有关系？ （2）为了做好开幕式的宣传和报道，扩大活动的影响力，继续从未观看开幕式居民中采取分层抽样的方法抽取6人进行运动会志愿者培训，最后从这6人中选2人为运动会志愿者，求志愿者至少一人是男性的概率. 附表及公式：()20P K k …0.05 0.010 0.005 0.0010k3.841 6.635 7.879 10.828其中()()()()22(),n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 【答案】（1）218.89K ≈，有99.9%的把握认为观看第十四届冬季运动会开幕式与性别有关系.（2）35【解析】【分析】（1）先计算2K 的值，再根据独立性检验公式，即可得出答案；（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及古典概率的计算公式，即可求解. 【小问1详解】依题意知，22100(55201510)18.8910.82870306535K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握认为观看第十四届冬季运动会开幕式与性别有关系. 【小问2详解】由分层抽样知抽男性2人，分别是,a b ，女性4人，分别是,,e,c d f ， 则任意2人选为志愿者的可能性有()()()()()()()()()()()()()()(,),,,,,e ,,,,,,e ,,,,e ,,,,e ,,e,a b a c a d a a f b c b d b b f c d c c f d d f f 共15种.设至少一人是男性为事件A ，其可能性有()()()()()()()()(),,,,,,e ,,,,,,e ,a b a c a d a a f b c b d b b f 共9种， 所以()93155P A ==. 18. 已知各项均为正数的数列{}n a 为等差数列，各项均为正数的数列{}n b 为等比数列，112472,,1,a b a a a ==-成等比数列.135,,18b b b -成等差数列.（1）求{}{},n n a b 的通项公式； （2）若{}1135,n n n n n n c c a a b +++=的前n 项和为n S ，求证：14n S <.【答案】（1）31n a n =-，2nn b =（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设出等差和等比的公差和公比，用首项和公差公比来表示{}n a 和{}n b 的项，再利用等差中项和等比中项列等式求出公差和公比即可.（2）把{}n c 的通项公式裂项，求和相消即可得到n S ，即可得证. 【小问1详解】由题意知，{}n a 为等差数列，设{}n a 的公差为{},n d b 为等比数列，设{}n b 的公比为q ，由247,1,a a a -成等比数列，所以()()2(231)226d d d +-=++，化简得23830d d --=，解得13,3d d ==-（舍），所以()23131n a n n =+-=-.又因为135,,18b b b -成等差数列，所以24222218q q ⨯=+-，即42280q q --=， 解得2,2q q ==-（舍），所以1222n n n b -=⨯=.【小问2详解】 由于()()()()111135351131322312322n n n n n n n n n c a a b n n n n ++++++===--+⋅-⋅+⋅，所以()()()11111111111420206431232243224n n n n S n n n ++=-+-++-=-<-⋅+⋅+⋅ 19. 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面//,CD AB AC 与BD 交于点,2O CD AB ==22,AD PC PA ===且90,DAB PA BC ∠=︒⊥，点E 为线段PA 上靠近P 的三等分点.（1）证明：PC //平面BDE ；（2）求点A 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接OE ，由相似三角形可得CO PE AO AE =，所以EO //PC .，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）由线面垂直的判定定理证得BC⊥面PAC ，即BC PC ⊥,再由等体积法求解即可. 【小问1详解】连接OE ，由于CD //AB ，所以AOB COD ∽，且2CD AB =，所以2CO AO =，又点E 为线段PA 上靠近P 的三等分点， 所以CO PE AO AE=，所以EO //PC . 又OE ⊂平面,BDE PC ⊄平面BDE ，所以PC //平面BDE .【小问2详解】由题知222CD AB AD ===且90DAB ∠= ，//CD AB ，得AC =，45DAC DCA CAB ∠∠∠∴=== ，又2AB =，所以由余弦定理得：2222cos 4542222BC AB AC AB AC =+-⋅︒=+-⨯=，所以BC =222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥.,,,PA BC PA AC A PA AC ⊥⋂=⊂面PAC ，所以BC ⊥面PAC ，因为PC ⊂面PAC ，所以BC PC ⊥.又知PC PA AC ===，设A 到面PBC 的距离为h ，所以B PAC A PBC V V --=，即22111332h =⨯⨯⋅，解得h =A 到平面PBC 20. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为43的直线l 与C 的交点为,G H .（1）若254FG FH +=，求抛物线C 的方程及焦点F 的坐标； （2）若点P 为x 轴正半轴上的任意一点，过点P 作直线交抛物线于,A B 两点，点P 关于原点的对称点M ，连接MA 交抛物线于点N ，求证：0AP NP k k +=.【答案】（1）抛物线C 的方程：24y x =，焦点()2,0F（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由抛物线性质得12FG FH x x p +=++，联立抛物线方程和直线方程用p 表示12x x +，从而解出p ，得到抛物线方程和焦点坐标；（2）设点P 、A 、N 坐标，表示出M 坐标，联立直线AM 与抛物线方程，分别表示AP k 、NP k ，从而证明0AP NP k k +=.【小问1详解】设直线l 方程为：()()11224,,,,32p y x G x y H x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由抛物线的性质可知：12122525,44FG FH x x p x x p +=++=∴+=-.联立24322p y x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消y 得：22163440x px p -+=， ()222Δ346449000p p p =-⨯=>， 123425164p x x p ∴+==-，解得2p =， ∴抛物线C 的方程：24y x =，焦点()2,0F .【小问2详解】设(),0P m ，则()()()3344,0,,,,M m A x y N x y -，直线AM 方程为x ty m =-，联立22x ty m y px=-⎧⎨=⎩消x 得：2220y pty pm -+=，22480p t pm ∆=->， 34342,2y y pt y y pm ∴+==， 而()()344334342343434AP NP x y x y m y y y y k k x m x m x x m x x m +-++=+=---++， 又知()()()()()344334344334343422440x y x y m y y ty m y ty m y m y y ty y m y y ptm ptm +-+=-+--+=-+=-=， 所以0AP NP k k +=.【点睛】方法点睛：设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程，化为关于的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，进而表示出待求值. 21. 已知函数()()23e 2x f x x a a ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， （1）当3a =时，求()f x 在点()()22f ,处的切线方程；（2）对任意的(]0,3x ∈时，()29e f x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）0y =（2）92a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】的【分析】（1）由题可得()299e 42x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，然后利用导数的几何意义即求； （2）由题可知max min 3322x a x ⎛⎛-≤≤ ⎝⎝，求函数()12333e 22x g x x x -==-的最大值，()12333e 22x h x x x -==+的最小值即可. 【小问1详解】当3a =时，()233e 2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()299e 42x f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'， 所以()20k f ='=，又知()20f =，所以()f x 在点()()2,2f 处的切线方程为0y =.【小问2详解】 对任意的(]()20,3,9e x f x ∈≤成立，则()223e 9e 2x f x x a ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭，则max min 3322x a x ⎛⎛≤≤+ ⎝⎝. 令()12333e 22x g x x x -==-，显然()g x 在(]0,3x ∈单调递增， 则()31122max 393()333e 3e 33222g x g x --⎛==⨯-=-=-< ⎝， 令()12333e 22x h x x x -==+，则()1233e 22x h x -='-， 显然()h x '在(]0,3x ∈单调递增，且()20h '=，可知当()0,2x ∈时，()0h x '<；当(]2,3x ∈时，()0h x '>；所以()h x 在()0,2x ∈递减，在(]2,3递增，即()min ()26h x h ==，综上所述，92a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. （二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ--=，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）. （1）将直线l 的极坐标方程化成直角坐标方程，将曲线C 的参数方程化成普通方程；（2）若曲线C 与直线l 总有公共点，求m 的取值范围.【答案】（1）0x m -=，22(1)4x y -+=（2）[]3,5-【解析】【分析】（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入cos sin 0m ρθθ-=，将极坐标方程化为直角坐标方程，利用三角函数平方关系将曲线C 的参数方程化为普通方程；（2）根据直线与圆的位置关系列不等式组求解即可.【小问1详解】将cos ,sin x y ρθρθ==代入cos sin 0m ρθθ--=得0x m -=，故直线l的直角坐标方程为0x m --=，因为22sin cos 1αα+=，所以()2214x y -+=，故曲线C 的普通方程为22(1)4x y -+=.【小问2详解】由（1）知22:(1)4C x y -+=，表示圆心为()1,0C ，半径为2的圆，则()1,0C到直线:0l x m -=的距离d若曲线C 与直线l 总有公共点，则122m d r -=≤=， 即14m -≤，解得35m -≤≤，即实数m 的取值范围[]3,5-. 23. 已知()22f x x x m =+-+，m ∈R ，()223g x x x =--. 的（1）当2m =-时，求()8f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()4f x -≥的解集为A ，()0g x ≤的解集为B ，若BA ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}124x x -≤≤（2）[]3,5-【解析】【分析】（1）使用不等式a b a b -≤-证明当412x -≤≤时()8f x ≤成立，再分别对12x <-和>4x 的情况说明()8f x ≤不成立；（2）将条件转化为对任意的[]1,3x ∈-都有()4f x ≥-，而通过()14f -≥-便直接可以推出35m -≤≤，最后再在35m -≤≤的情况下利用不等式b a a b -≥--说明()4f x ≥-即可.【小问1详解】此时要解的不等式是()8f x ≤，即2228x x +--≤.当412x -≤≤时，有48x +≤，故()()22222248x x x x x +--≤+--=+≤；当12x <-时，由于220x +<，20x -<，故有()22222241248x x x x x +--=----=-->-=；当>4x 时，由于220x +>，20x ->，故有()()2222224448x x x x x +--=+--=+>+=. 所以原不等式的解集是{}124x x -≤≤.【小问2详解】解不等式()0g x ≤，即2230x x --≤，得13x -≤≤.所以条件即为对任意的[]1,3x ∈-，都有()4f x ≥-.一方面，若对任意的[]1,3x ∈-都有()4f x ≥-，则特别地有()14f -≥-. 这得到2214m -+--+≥-，即14m -≤，得35m -≤≤；另一方面，若35m -≤≤，则14m -≤，故对任意的[]1,3x ∈-，有()()()22211114f x x x m x x m x x m x m x m =+-+=+-+≥+-+≥-+-+=--≥-. 所以实数m 的取值范围是[]3,5-.。
2021年百师联盟高考数学摸底试卷(文科)(全国卷)(附答案详解)
2021年百师联盟高考数学摸底试卷（文科）（全国卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）=1+i，则|z|=()1.(2021·全国·模拟题)已知复数z满足z1+iA. √3B. 2C. √5D. √322.(2021·全国·模拟题)集合M={x|y=ln(x2−3x−4)}，N={x|−2<x<4}，则M∪N=()A. (−∞,−1]∪(2.+∞)B. (−∞,−4)∪(1,+∞)C. (−∞,4)∪(4,+∞)D. (−∞,−2]∪[4,+∞)3.(2021·江西省宜春市·模拟题)人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源.根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提.截止2020年10月10日，我国共进行了六次人口普查，如图是这次人口普查的人数和增幅情况，下列说法正确的是()A. 人口数逐次增加，第二次增幅最大B. 第六次普查人数最多，第四次增幅最小C. 第六次普查人数最多，第三次增幅最大D. 人口数逐次增加，从第二次开始增幅减小4.(2021·全国·模拟题)已知实数a，b，c，则“ac<0”是“方程ax2+bx+c=0有解”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. (2021·全国·模拟题)如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上的一点，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( )A. 14 B. 38 C. 34 D. 976. (2021·全国·模拟题)数列{a n }是等比数列，a 3=3，a 6=81，则a 5=( )A. 15B. 16C. 27D. 257. (2021·全国·模拟题)f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1)=0，f′(x)为f(x)的导函数，且当x ∈(0,+∞)时f′(x)>0，则不等式f(x −1)>0的解集为( )A. (0,1)∪(2,+∞)B. (−∞,1)∪(1,+∞)C. (−∞,1)∪(2,+∞)D. (−∞,0)∪(1,+∞)8. (2021·全国·模拟题)从一个边长为3的等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形(如图)，但要去掉与原三角形叠合的边，接着对此图形每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程.若按照上述规律，则第四个图形的周长是( )A.1433B.2049C.2569D. 6439. (2021·全国·模拟题)几何体的三视图如图，则其体积为( )A. 5πB. 6πC.32π3D. 12π10. (2021·全国·模拟题)设M ，N 是函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0)图象与直线y =2的交点，若M ，N 两点距离的最小值为6，P(−12,2)是该函数图象上的一个点，则该函数图象的解析式是( )A. f(x)=2sin(π3x +2π3) B. f(x)=2sin(π3x +π3) C. f(x)=2sin(π3x −π6)D. f(x)=2sin(π6x +π3)11. (2021·全国·模拟题)过双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 的直线交y 轴于点M ，交双曲线右支于点P ，若2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(O 为原点)，且点M 在圆O ：x 2+y 2=a 2外，则双曲线的离心率的取值范围是( )A. 1<e <√3B. √2<e ≤√3C. e >√3D. e >1+√212. (2021·全国·模拟题)正项数列{a n }满足a 1=1，a n 2−(a n−1+2)a n −a n−1−3=0(n >1,n ∈N)，则1a1a 3+1a3a 5+⋯+1a2019a 2021=( )A. 12003534B. 10106061C. 12202021D. 20205461二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2020·云南省曲靖市·单元测试)函数f(x)=lnx +x 2的图象在点(1,f(1))处切线方程为______．14. (2018·黑龙江省·其他类型)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为______ ．15. (2021·全国·模拟题)抛物线y 2=4x 的焦点为F ，设A(x 1,y 2)，B(x 2,y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1+x 2+2=2√33|AB|，则∠AFB 的最大值为______ ．16. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=mx −lnx −m 在区间(1,e)内有零点，则m 的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·全国·模拟题)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，2S =c 2−(a −b)2． (1)求cos C 的值；(2)已知c =4，求△ABC 面积的最大值．18.(2021·全国·模拟题)在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=1，PN=2ND.四边形ABCD为梯形，AD//BC，BC=2AD=2DC=4，∠ADC=120°．(1)求证：PB//平面CAN；(2)求三棱锥N−PBC的体积．19.(2021·全国·模拟题)某企业在开展“质量安全周”活动中，某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题，该企业对甲、乙两条流水线生产该产品情况进行统计，表1是甲流水线样本的频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．表1质量指标数频数(190,195]10(195,200]9(200,205]18(205,210]7(210,215]6(1)某个月内甲、乙两条流水线各生产了3500件和1500件产品，现按照分层抽样的方法，从中抽出100件产品进行检测，问甲、乙两条生产线各抽出多少件产品？(2)随机从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品.根据已知条件完成表2的2×2列联表，并回答能否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？表2甲流水线乙流水线合计合格品不合格品合计(其中n=a+b+c+d)．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K20.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k0) k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=ae x+x2−x．(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)>2x−1恒成立，求实数a的取值范围．21. (2021·全国·模拟题)已知定点C(−3,0)，D(3,0)，动点M 满足：直线MC ，MD 的斜率之积为−49．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)设M 的轨迹为G.直线I 过抛物线y 2=4√5x 的焦点且与C 相交于不同的两点A ，B.在x 轴上是否存在一个定点P(m,0)，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为定值？若存在，写出P 点的坐标；若不存在，说明理由．22. (2021·全国·模拟题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ y =sinθ(θ为参数)，直线l 的参数方程为{x =t +2 y =2t +3(t 为参数)． (1)求直线l 普通方程；(2)设A(2,3)，若直线1与曲线C 相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M ，求|AM|的值．23. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|3x −a|+x(a >0)．(1)当a =4时，求不等式f(x)<3的解集；|−x.当x∈R时，证明：f(x)+g(x)≥2√2．(2)设函数g(x)=|x+6a答案和解析1.【答案】B【知识点】复数的模=1+i，∴z=(1+i)2=2i，【解析】解：z1+i则|z|=2，故选：B．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】并集及其运算【解析】解：集合M={x|y=ln(x2−3x−4)}={x|x2−3x−4>0}={x|x<−1或x>4}，又N={x|−2<x<4}，所以M∪N={x|x<4或x>4}．故选：C．先利用对数不等式以及一元二次不等式的解法求出集合M，再利用并集的定义求解即可．本题考查了集合并集的应用，解题的关键是掌握集合并集的定义，属于基础题．3.【答案】C【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】解：根据柱状图：对于A：人口逐次增加，第三次增幅最大，故A错误；对于B：第六次人口数最多，第六次增幅最小，故B错误；对于C：第六次普查人数最多，第三次增幅最大，故C正确；对于D：人口数逐次增加，从第三次开始增幅减小，故D错误．故选：C．直接利用柱状图和数据的变化规律判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：柱状图，数据的变化规律，主要考查学生的视图能力，属于基础题．4.【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】解：若ac <0，则Δ=b 2−4ac >0， ax 2+bx +c =0有解，故“ac <0”是“方程ax 2+bx +c =0有解”的充分条件， 当a =0，b ≠0时，方程ax 2+bx +c =0有解，但ac <0不成立， 故“ac <0”不是“方程ax 2+bx +c =0有解”的必要条件， 综上“ac <0”是“方程ax 2+bx +c =0有解”的充分不必要条件． 故选：A ．根据充要条件的定义判断即可．本题考查了一元二次方程解的判断，充要条件的定义，属于基础题．5.【答案】A【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、平面向量的基本定理及其应用 【解析】解：∵在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上的一点，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34×12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴m =14． 故选：A ．AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34×12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可求得m 值． 本题考查平面向量基本定理及线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．6.【答案】C【知识点】等比数列的通项公式【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ；由a 3=3、a 6=81，得q 3=a 6a 3=813=27，解得q =3，所以a 5=a 3⋅q 2=3×32=27． 故选：C ．设等比数列{a n }的公比为q ，则根据q 3=a6a 3可解出q 值，由a 5=a 3⋅q 2即可计算出出答案．本题主要考查等比数列的通项，考查运算求解能力，属于简单题．7.【答案】A【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=0，当x∈(0,+∞)时f′(x)>0，∴f(x)在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递增，图形如下：∴f(x)>0的解集为：(−1,0)∪(1,+∞)，又y=f(x−1)的图象是y=f(x)的图象向右平移一个单位，∴不等式f(x−1)>0的解集为(0,1)∪(2,+∞)，故选：A．依题意，作出y=f(x)的图象，得到f(x)>0的解集，继而可得不等式f(x−1)>0的解集．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】D【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】解：设图形的边长分别为a1，a2，a3，a4，边数为b1，b2，b3，b4，周长为c n，(n=1,2，3，4，)，由图形可得a2=a1×13=1，a3=13a2=13，a4=13a3=19，b1=3，b2=3×4=12，b3=3×4×4=48，b4=3×4×4×4=192，∴C1=3×3=9，C2=12×1=12，C3=48×13=16，C4=192×19=643．故选：D．找出相邻图形的边长之间的关系，以及相邻图形边数之间的关系进行求解即可．本题考查了归纳推理的应用，此类问题一般是根据所给的条件，先列举一部分，然后再归纳规律即可，属于中档题．9.【答案】B【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：由三视图可知，几何体是下部为圆柱底面半径为1，高为2，上部是34个半球，球的半径为2，所以几何体的体积为：V=34×12×43πR3+πr2ℎ=4π+2π=6π．故选：B．判断几何体的形状，然后求解体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．10.【答案】A【知识点】函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质【解析】解：M，N是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图象与直线y=2的交点，若M，N两点距离的最小值为6，所以T=6，所以ω=2πT =π3，P(−12,2)是该函数图象上的一个点，所以π3×(−12)+φ=2kπ+π2，解得φ=2kπ+2π3(k∈Z)，故f(x)=2sin(2x+2π3).故选：A．直接利用函数的图象和性质求出函数的关系式．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的求法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】C【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：如图，由2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得M 是FP 的中点，则P(c,b 2a )，M(0,b22a )，∵点M(0,b 22a )在圆O 外，∴b 22a>a ，得b 2=c 2−a 2>2a 2， 又e >1，∴e >√3． 故选：C ．由题意画出图形，由向量等式得M 是FP 的中点，求出M 的坐标，再由M 在圆O ：x 2+y 2=a 2外即可求得双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想，是基础题．12.【答案】B【知识点】数列的递推关系【解析】解：∵a n 2−(a n−1+2)a n −a n−1−3=0(n >1,n ∈N)，∴(a n +1)[a n −(a n−1+3)]=0，a n >0， ∴a n −a n−1=3，∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为3， ∴a n =1+3(n −1)=3n −2． ∴1a 2n−1a 2n+1=1(6n−5)(6n+1)=16(16n−5−16n+1)，∴1a1a 3+1a3a 5+⋯+1a2019a 2021=16[(1−17)+(17−113)+⋯…+(16055−16061)]=16(1−16061)=10106061． 故选：B ．由a n 2−(a n−1+2)a n −a n−1−3=0(n >1,n ∈N)，通过因式分解可得：(a n +1)[a n −(a n−1+3)]=0，a n >0，于是a n −a n−1=3，再利用等差数列的通项公式、裂项求和方法即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】3x−y−2=0【知识点】导数的几何意义【解析】解：由f(x)=lnx+x2，得f′(x)=1x+2x，则f′(1)=3，又f(1)=1，则切线方程为y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0．故答案为：3x−y−2=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．14.【答案】12【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解：设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种；故所求事件的概率为12．故答案为：12列举基本事件，利用古典概型概率公式求解即可列举法是确定基本事件的常用方法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．15.【答案】2π3【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：由抛物线定义可得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，所以由x1+x2+2=2√33|AB|，得|AF|+|BF|=2√33|AB|，由余弦定理可得cos∠AFB=|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF|BF|=|AF|2+|BF|2−34(|AF|+|BF|)22|AF|BF|=14(|AF|2+|BF|2)−32|AF|BF|2|AF|BF|，由基本不等式得|AF|2+|BF|2⩾2|AF|BF|，所以cos∠AFB⩾−|AF||BF|2|AF||BF|=−12,(∠AFB)max=2π3．故答案为：2π3．根据抛物线的定义将x1+x2+2=2√33|AB|转化为|AF|+|BF|=2√33|AB|，再结合余弦定理和基本不等式可以求出cos∠AFB的范围，进而得到∠AFB的最大值．本题考查抛物线的定义，考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查数学运算的核心素养，属于中档题．16.【答案】(1e−1,1)【知识点】函数零点存在定理【解析】解：令f(x)=mx−lnx−m=0，得m(x−1)=lnx，令y=m(x−1)和y=lnx，只需两函数图象在区间(1,e)上有交点．如图，A(e,1)，B(1,0)，直线AB的斜率k=1e−1．y=lnx在B处切线的斜率k=y′|x=1=1，∴m的取值范围为(1e−1,1).故答案为：(1e−1,1).把f(x)=mx−lnx−m在区间(1,e)内有零点，转化为y=m(x−1)和y=lnx的图象在区间(1,e)上有交点，画出图形，数形结合得答案．本题考查函数零点的判定及应用，考查数形结合思想，训练了利用导数求曲线上某点处切线的斜率，是中档题．17.【答案】解：(1)∵2S=c2−(a−b)2=c2−a2−b2+2ab，又由余弦定理可得，c2=a2+b2−2abcosC，即c2−a2−b2=−2abcosC，∵S=12absinC，∴2×(12absinC)=−2abcosC+2ab，即sinC=2−2cosC，∴sin2C=1−cos2C=(2−2cosC)2，解得cosC=35或cosC=1(舍去)，∴cosC =35． (2)由余弦定理可得，16=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−65ab ≥2ab −65ab =45ab ，∴ab ≤20，当且仅当a =b =2√5时等号成立， ∵sin 2C +cos 2C =1，cosC =35， ∴sinC =45，S △ABC =12absinC =12×20×45=8，∴△ABC 面积的最大值为8．【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(1)由题意2S =c 2−(a −b)2=c 2−a 2−b 2+2ab ，结合正弦定理、余弦定理，即可求解，(2)根据已知条件，运用余弦定理和均值不等式，可得ab ≤20，再结合三角形面积公式，即可求解．本题考查了余弦定理、正弦定理，考查了均值不等式，需要学生有较强的综合知识，属于中档题．18.【答案】解：(1)证明：因为AD//BC ，BC =4=2AD ， 连接BD 交AC 于M ，由△ADM∽△CBM ，可得BM =2MD ， 由于PN =2ND ， 连接MN ，MN//PB ，又MN ⊂平面ACN ，PB ⊄平面ACN ， 所以PB//平面ACN ； (2)过D 作DH ⊥BC 于H ， 因为AD//BC ，∠ADC =120°，所以∠DCB =60°，DH =√3，S △DBC =12×4×√3=2√3， 设三棱锥D −PBC 的高为h ，三棱锥N −PBC 的高为ℎ1， 则V N−PBCVD−PBC=ℎ1ℎ=PN PD =23，V D−PBC =V P−DBC =13S △DBC ×PD =2√33，V N−PBC=23V D−PBC=4√39．【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积、线面平行的判定【解析】(1)连接BD交AC于M，由三角形的相似的性质和平行线的判定，可得MN//PB，再由线面平行的判定定理，即可得证；(2)过D作DH⊥BC于H，求得DH和△DBC的面积，由等积法和棱锥的体积公式，计算可得所求值．本题考查线面平行的判定和棱锥的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)按照分层抽样抽出100件产品中，甲有1005000×500=70件，乙有1005000×1500=30件，(2)甲、乙两条生产线各抽出50件，甲流水线生产的不合格产品有16件，合格产品有34件，∵乙流水线生产的不合格产品的概率为(0.012+0.028)×5=15，∴乙流水线生产的不合格产品有10件，合格产品有40件，则2×2列联表如下，∵K2=100(340−640)250×50×74×26≈1.87，∵1.87<2.072，∴没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”．【知识点】独立性检验【解析】(1)由分层抽样的定义即可求出甲、乙两条流水线抽出的产品数．(2)分别求出甲、乙两条生产线不合格产品和合格产品的件数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论即可．本题考查了列联表与独立性检验的问题，考查了分层抽样，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，则f′(x)=e x+2x−1，设ℎ(x)=e x +2x −1，则ℎ′(x)=e x +2>0， ∴ℎ(x)在R 上单调递增，又ℎ(0)=0，则当x <0时，ℎ(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x >0时，ℎ(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)； (2)ae x+x 2−x >2x −1恒成立，即a >3x−1−x 2e x恒成立， 设g(x)=3x−1−x 2e x，则g′(x)=x 2−5x+4e x=(x−1)(x−4)e x，易知函数g(x)在(−∞,1)，(4,+∞)上单调递增，在(1,4)上单调递减， 且g(x)极大值=g(1)=1e ，当x >4时，−(x 2−3x +1)<0，g(x)<0， ∴g(x)max =1e ，∴a >1e ．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性【解析】(1)将a =1代入，对函数f(x)求导，判断导函数与0的关系即可得到单调区间； (2)问题等价于a >3x−1−x 2e x恒成立，设g(x)=3x−1−x 2e x，求出g(x)的最大值即可得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设M(x,y)，因为直线MC ，MD 的斜率之积为−49． 所以yx+3⋅yx−3=−49， 整理得方程为x 29+y 24=1(y ≠0)，(2)抛物线的焦点F(√5,0)，当直线与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =k(x −√5)， 代入椭圆方程，得(9k 2+4)x 2−18√5k 2x +45k 2−36=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=18√5k 24+9k 2，x 1x 2=45k 2−364+9k 2，y 1y 2=k 2(x 1−√5)(x 2−√5)=k 2[x 1x 2−√5(x 1+x 2)+5]=−16k 24+9k 2， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−m,y 1)⋅(x 2−m,y 2)=(x 1−m)(x 2−m)+y 1y 2=(9m 2−18√5m+29)k 2+4m 2−364+9k 2，令PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t ， 则t =(9m 2−18√5m+29)k 2+4m 2−364+9k 2，所以{9m 2−18√5m +29=9t 4m 2−36=4t，解得m =11√59，此时PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =−12481，当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =√5， 代入椭圆方程解得A(√5,−43)，B(√5,43)，所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12481， 综上，在x 轴上存在一个定点P(11√59,0)，使得PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =−12481为定值．【知识点】圆有关的轨迹问题【解析】(1)设M(x,y)，由直线MC ，MD 的斜率之积为−49，得yx+3⋅yx−3=−49，化简即可得出答案．(2)分两种情况：当直线与x 轴不垂直时，当直线l 与x 轴垂直时，写出直线l 的方程，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，y 1y 2，再由向量的数量积计算PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =t +2 y =2t +3(t 为参数)，转换为普通方程为y =2x −1．(2)曲线C 的参数方程为{x =2cosθ y =sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 24+y 2=1；直线的参数方程转换为标准式为{x =2√5y =3√5(t 为参数)代入x 24+y 2=1，得到175t 2√5+36=0， 所以t 1+t 2=17√5，t 1t 2=36×517，所以|AM|=|t 1+t 22|=26√517．【知识点】曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：当a=4时，f(x)=|3x−4|+x，由f(x)<3，可得|3x−4|+x<3，即|3x−4|<3−x，的x−3<3x−4<3−x，解得12<x<74，所以不等式f(x)<3的解集为(12,7 4 ).(2)证明：f(x)+g(x)=|3x−a|+|x+6a |=|3(x−a3)|+|x+6a|=2|(x−a3)|+|(x−a3)|+|x+6a|≥|(x−a3)|+|x+6a|(当且仅当x=a3时取等号)≥|(x−a3)−(x+6a)|(当且仅当(x−a3)(x+6a)≤0时取等号，a>0)=|a3+6a|≥2√2(当且仅当a=3√2时，等号成立)．【知识点】证明不等式的基本方法、不等式和绝对值不等式【解析】(1)利用绝对值不等式的解法求解即可；(2)利用放缩法及基本不等式即可得证．本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查放缩法及基本不等式的应用，属于中档题．。
百万联考2020-2021学年高三全国一卷1月联考文科数学试题(有答案)
高三数学试卷（文科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}60A x x =->，{}35B x x =-<<，则A B ⋂=（ ）A ．∅B ．{}56x x <<C ．{}35x x -<<D ．{}356x x x <-<<或 2．若复数()212i z =-，则1z -=（ ）A ．20B ．C ．32D ．3．某校高—年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下：则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（ ）A ．在[]90,100内B ．在(]100,110内C ．在(]110,120内D ．在(]120,130内4．等差数列{}32n -的前4项和等于该数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项5．若正三棱锥P ABC -的高为1，AB = ）A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线22:4640C x y -+=的两个焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，若P 为C 上异干顶点的任意一点，则1POF △与2POF △的周长之差为（ ）A ．8B ．16C ．8-或8D ．16-或167．已知函数()()sin f x x ωϕ=+图象的两个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式可以为（ ） A ．()2sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()1sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．()cos 62f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．已知a ，b 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若αβ⊥，//a α，//b β，则a b ⊥B ．若//αβ，则b α∃⊂，a β⊂，a b ⊥C ．若a α⊥，//αβ，//b β，则//a bD ．若//a α，a β⊂，b αβ⋂=，则a 与b 异面9．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四．主责本粟．问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x =（ ）A ．123B ．133C ．143D ．15310．函数()f x =的定义域为（ ） A ．10,9⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．(]0,9D ．[)9,+∞ 11．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=，则λ=（ ）A ．42-B ．2C ．22 D12．已知函数()()2cos 2144f x x ax ax =+++只有一个零点，则a =（ ）A ．2-B ．1C ．2D ．4二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡的相应位置．13．函数()322f x x =-的图象在点()1,0处的切线的斜率为______．14．从集合{}中任意选取一个元素作为球O 的半径，则球O 的表面积不小于20π的概率为______．15．已知等比数列{}n a 的前3项和为3，且34a =，则{}n a 的前n 项和n S =______．16．已知抛物线2:8C y x =与圆22:128D x y +=交于A ，B 两点，F 是C 的焦点，ABF △的重心为G ．设P 是圆D 上一动点，则PG 的最大值为______．三、解答题：本大题共6小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 8A B +=，2b a =． （1）求cos A ．（2）若D 是AB 边上一点，且ACD △的面积为228，证明：AD CD =． 18．某工厂的工人生产一种内径为25.40mm 的零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的1000件零件中抽出50件，测得其内径尺寸如下（单位：mm ）：25.418⨯25.426⨯ 25.404⨯ 25.3811⨯ 25.398⨯ 25.441⨯ 25.437⨯ 25.375⨯这里用x n ⨯表示有n 件尺寸为mm x 的零件．（1）求这50件零件内径尺寸的平均数x ；（2）设这50件零件内径尺寸的方差为2s ，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在(),x s x s -+内的件数．2.04=．19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=． （1）求C 的方程．（2）直线l 与y 轴平行，且与C 交于P ，Q 两点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．直线AP 与BQ 交于点G ，证明：点P 与点G 的横坐标的乘积为定值．20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11CDD C ⊥底面ABCD ，//AB CD ，1AD CD ⊥且13DD =，24CD AB ==，5AC =．（1）证明：四边形ABCD 为直角梯形．（2）若1,32CDD ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，求四棱柱1111ABCD A B C D -体积的取值范围．21．已知函数()ln e xx a f x a +=． （1）若1a =，讨论()f x 的单调性；（2）若()0,1x ∀∈，()ln x f x x>，求a 的取值范围． （二）选考题：请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【选修44-：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,1x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123cos ρθ=+． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于M ，N 两点，()1,0P ，求11PM PN+的值． 23．【选修45-：不等式选讲】已知函数()211f x x x =-++．（1）求()f x 的值域； （2）若()f x 的最小值为m ，且22a b m +=，求221221a b ++的最小值． 高三数学试卷参考答案（文科）1．【答案】C【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力． 【解答】解：因为{}6A x x =<，所以{}35A B x x ⋂=-<<．故选C ．2．【答案】D【解析】本题考查复数的模，考查运算求解能力．【解答】解：因为34i z =--，所以144i z -=+，则1z -==故选D ．3．【答案】B【解析】本题考查统计中对中位数的估计，考查解读表格信息的能力与数据处理能力．【解答】解：由表可知，及格的考生共有401512105284+++++=人，在[]90,100内有40人，在(]100,110内有15人，故及格的所有考生成绩的中位数在(]100,110内．故选B ．4．【答案】C【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力．【解答】解：等差数列{}32n -的前4项和为1471022+++=，由3222n -=，得8n =．【解析】本题考查棱锥的侧面积，考查空间想象能力与运算求解能力．【解答】解：如图，取AB 的中点D ，设PO ⊥底面ABC ，垂足为O ，连接PD ，CD ，则11233OD CD ==⨯=．因为1PO =，所以PO =132⨯⨯=．故选A ．6．【答案】D【解析】本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想．【解答】解：C 的方程可化为2216416y x -=，所以8a =， 易知1POF △与2POF △周长差的绝对值为216a =，故1POF △与2POF △的周长之差为16-或16．故选D ．7．【答案】C【解析】本题考查三角函数的图象及其对称性，考查推理论证能力．【解答】解：设()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为T ， 则()262kT k ππ-=∈Z ，2T πω=， 则()3k k ω=∈Z ，排除A ，B ．而()sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象不关于点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，排除D ．【解析】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间想象能力与推理论证能力．【解答】解：对于选项A ，当a ，b 都平行于α与β的交线时，//a b ，所以A 为假命题．对于选项B ，b α∃⊂，a β⊂，a b ⊥，所以B 为真命题．若a α⊥，//αβ，则a β⊥，由//b β，可得a b ⊥，所以C 为假命题．若//a α，a β⊂，b αβ⋂=，则//a b ，所以D 为假命题．故选B ．9．【答案】C【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理的核心素养．【解答】解：∵2y x =，2z y =，∵247s x x x x =++=， 由算法的功能可知，输出的10011437x ==． 故选C ．10．【答案】B【解析】本题考查函数的定义域与对数运算，考查运算求解能力．【解答】解：由()243log 12log log 120x +⋅≥， 得24212243log 121log log 12log 3log 3log log 129x ≥-=-⋅=-=，则19x ≥． 故选B ．11．【答案】D 【解析】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查数形结合的数学思想与直观想象、推理论证的核心素养．【解答】解：连接63A A ，14A A ，72A A 且6314A A A A B ⋂=，在14A A 上取一点C ，使得176AC A A =，则716A A A C =． 设3BA m =，则(63722A A A A m m m ==++=+，由图可知，)6471646672722222mA A A A A A A C AB A A A A ++=+===⋅故λ=D ．12．【答案】B【解析】本题考查函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想．【解答】解：令21x t +=，则()f x 有且只有一个零点等价于()()2cos 1g t t a t =+-只有一个零点， 因为()g t 是偶函数，所以()g t 的图象必过坐标原点，所以()010g a =-=，故1a =．故选B ．13．【答案】6【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为()26f x x '=，所以()16f '=． 故答案为：6．14．【答案】57【解析】本题考查古典概型与球体的表面积，考查运算求解能力．【解答】解：设球O 的半径为()0R R >，由2420R ππ≥，得R ≥57． 故答案为：57． 15．【答案】()123n -- 【解析】本题考查等比数列的性质与前n 项和，考查运算求解能力．【解答】解：设{}n a 的公比为q ，则324443S q q =++=，解得2q =-，则11a =，()123nn S --=． 故答案为：()123n --． 16．【答案】6+【解析】本题考查圆与抛物线的综合，考查数形结合的数学思想与运算求解能力． 【解答】解：由222128,80,x y y x ⎧+=⎪⎨=≥⎪⎩得()2812800x x x +-=≥， 解得8x =或16x =-（舍去）．不妨假设()8,8A ，则()8,8B -．因为()2,0F ，所以G 的坐标为882880,33++-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()6,0． 因为圆D的半径为PG的最大值为6+．故答案为：6+．17．【答案】（1）解：∵2b a =，∵sin 2sin B A =，又sin sin A B +=，∵sin A = ∵2b a =，∵a b <，A B <，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故7cos 8A ==． （2）证明：∵21sin 2ACD S b AD A AD =⋅=⋅=△， ∵47AD b =． 由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅222447427787b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵47CD b =，故AD CD =． 【评分细则】【1】第（1）问中，没有推理得到0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而直接得到7cos 8A =±，扣2分．若只得到AB <，而未写0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不扣分． 【2】第（2）问中，未写2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅，直接得到2222447427787CD b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不扣分． 18．【答案】解：（1）()()25.4125.39825.40425.4225.386x =+⨯+⨯++⨯⎡⎣ ()25.4325.37525.4425.38525.4325025.40++⨯++⨯+⨯÷=⎤⎦．（2）因为()222220.01160.02170.03120.041500.000416s =⨯+⨯+⨯+⨯÷=，所以0.010.01 2.040.0204s ===⨯=，25.400.020425.3796x s -=-=，25.400.020425.4204x s +=+=，所以这50件零件内径尺寸在(),x s x s -+内的件数为5017537---=，故该厂1000件零件中其内径尺寸在(),x s x s -+内的件数约为37100074050⨯=． 【评分细则】【1】第（1）问中，x 的结果写为25.4不扣分．【2】第（2）问中，没有求x s -与x s +的值，而直接得出这50件零件内径尺寸在(),x s x s -+内的件数为37，需扣1分．19．【答案】（1）解：因为以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=，所以24a =． 因为12c e a ==，所以21c =，2223b a c =-=， 故C 的方程为22143x y +=． （2）证明：设直线l 的方程为()0x m m =≠，(),P m n ，则(),Q m n -，22m -<<，且0m ≠，直线AP 的方程为()22n y x m =++， 直线BQ 的方程为()22n y x m =---，()()2,22,2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=--⎪-⎩将两式相除得22122m x m x -+-⋅=+-， 解得4x m =，即4G x m =，故44P G x x m m⋅=⨯=为定值． 【评分细则】【1】第（1）问中，根据圆的方程得到2a =同样给2分．【2】第（2）问中，未写22m -<<，且0m ≠，扣1分．20．【答案】（1）证明：过1D 作1D H CD ⊥，垂足为H ，因为平面11CDD C ⋂底面ABCD CD =，平面11CDD C ⊥底面ABCD ，所以1D H ⊥底面ABCD ．因为AD ⊂平面ABCD ，所以1D H AD ⊥．又1AD CD ⊥，1CD D H H ⋂=，所以AD ⊥平面11CDD C ．因为CD ⊂平面11CDD C ，所以AD CD ⊥．又//AB CD ，AB CD ≠，所以四边形ABCD 为直角梯形．（2）解：由（1）知，1D H ⊥底面ABCD ，则1D H 为四棱柱1111ABCD A B C D -的高． 因为1,32CDD ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以1111sin 3sin 2D H DD CDD CDD ⎛⎫=∠=∠∈ ⎪ ⎪⎝⎭．因为AD CD ⊥，所以3AD ==， 所以四边形ABCD 的面积()124392S =⨯+⨯=， 所以四棱柱1111ABCD A B C D -的体积27V S DH ⎫=⋅∈⎪⎪⎝⎭，故四棱柱1111ABCD A B C D -体积的取值范围是272⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．【评分细则】【1】第（1）问中，证明1D H ⊥底面ABCD 时，没有写平面11CDD C ⋂底面ABCD CD =，扣1分．最后一行写成2CD AB =，不扣分，如果既没有写AB CD ≠，又没有写2CD AB =，就要扣1分．【2】第（2）问中，写到四棱柱1111ABCD A B C D -的体积27V S DH ⎫=⋅∈⎪⎪⎝⎭，但没有下结论“四棱柱1111ABCD A B C D -的体积的取值范围是27⎫⎪⎪⎝⎭”，不扣分．21．【答案】解：()f x 的定义域为(),-∞+∞，因为1a =，所以()1e e x x xx f x -⎛⎫'='= ⎪⎝⎭． 当1x <时，()0f x '>，()f x 在(),1-∞上单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减．（2）由ln ln e x x a x a x+>，得ln e ln ln e x x a x a x +>， 即()ln e ln e x xa x x a <对()0,1x ∈恒成立． 令()ln x h x x =，则()21ln x h x x-'=， 当()0,e x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x ∈时，()0h x <． 由()ln e ln ex x a x x a <，得()()e x h x h a <，所以e x x a <，所以e x x a >对()0,1x ∈恒成立．设()e xx m x =，()0,1x ∈， 由（1）知()m x 在()0,1上单调递增， 所以1e a ≥，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【评分细则】【1】第（1）问中，未写定义域，直接得到()1e x x f x -'=不扣分． 【2】第（2）问中，写到1e a ≥，但未写a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，不扣分． 如果没有先说明()h x 在()0,1的单调性与()h x 在()1,+∞上的正负情况，直接由()()e x h x h a <得到e x x a <，则要扣2分．22．【答案】解：（1）l 的普通方程为10x y +-=． 由22123cos ρθ=+，得2223cos 12ρρθ+=，则()222312x y x ++=， 即C 的直角坐标方程为22134x y +=． （2）由题意，l的参数方程为1,22x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数），· 代入22134x y +=，得27160t --=． 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=，12167t t =-，则121212122711371627t t t t PM PN t t t t +-+=====． 【评分细则】【1】第（1）问中，得到C 的直角坐标方程为224312x y +=，不扣分．【2】第（2）问得到27160t --=后，可以直接求出1t ，2t ，其步骤如下： 设M ，N 对应的参数分别为1t ，()212t t t <，则1127t =，2127t =，则12111172431122PM PN t t ⨯+=+===． 23．【答案】解：（1）当1x ≤-时，()33f x x =-≥；当112x -<≤时，()32,32f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭； 当12x >时，()332f x x =>． 综上，()32f x ≥． 故()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （2）由（1）知，32m =，2232a b +=，则22122a b ++=， 所以222222221211111111212222a b a b a a b b ⎛⎫ ⎪⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪++⎝⎭()2222111222221222b a a b ⎛⎫+ ⎪=++≥+= ⎪ ⎪+⎝⎭， 当且仅当22221212b a a b +=+，即21a =，212b =时，等号成立， 故221221a b ++的最小值为2． 【评分细则】【1】第（1）问中，未写“综上，()32f x ≥”，直接得出“()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭”，不扣分． 【2】第（2）问未写取等条件，直接得出“221221a b ++的最小值为2”扣1分．。
2021届河南省百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文）试题Word版含答案
2021届河南省百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文）试题Word版含答案2021届河南省百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟，满分150分。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 1＝2－2i ，z 2＝1＋i ，则12z z =A.2iB.－2iC.2－2iD.2＋2i 2.已知集合{31}A x x =-<≤，集合2{lg(2)}B x y x ==-，则AB =A.[2,1]-B.(2,1]-C.[3,2)-D.(3,2)-3.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘(转盘如图)，经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为20°，50°和60°，则抽奖一次中奖的概率为A.1336B.1736C.1936D.59 4.已知实数x ，y 满足220y x y x ≤??+≥??≥?，则x －y 的最小值为A.0B.2C.－2D.15.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2为其左右焦点，1222F F =，B 为短轴的一个端点，三角形BF 1O(O 为坐标原点)的面积为7，则椭圆的长轴长为A.4B.8C.1332+ D.133+ 6.函数212()log (68)f x x x =--+的单调递增区间为A.(4，＋∞)B.(－∞，2)C.(3，＋∞)D.(3，4)7.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹一七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米最为A.1升B.23升C.32升D.43升 8.如图，在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设,BA a BC b ==，则BE =A.1124a b +B.1536a b +C.2233a b +D.1324a b + 9.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A.3B.2020C.3030D.101010.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学(每班一人)，记这三名同学为A 、B 、C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高，由此判断，下来推断正确的为A.A 来自1班B.B 来自1班C.C 来自3班D.A 来自2班11.已知函数y ＝f(x －2)的图像关于直线x ＝2对称，在(0,)x ∈+∞时，f(x)单调递增。
百师联盟2021届高三上学期12月一轮复习联考卷(四)(全国I卷) 数学(文) Word版含答案
题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多答，
则按所答第一题评分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C1 的参数方程为
x
2t 3 t 1
(t
为参数)，曲线
C2 的参数方程
y
t
2 1
为
x y
2cos sin
(α为参数)，以原点
－sinC)。
(1)求 cosA 的值；
(2)若 b＝2，△ABC 的面积为 15 ，求 a 的大小。
18.(12 分)
n n 1n 2
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝
n∈N*。
3
(1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)设{ }的前 n 项和为 Tn，求 Tn。
Sn
19.(12 分)
如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，四边形 AA1C1C 为正方形，D，E 分别为线段 A1B1，BC 的 中点，AB⊥平面 ADC。
(1)证明：B1E//平面 ADC； (2)若 AB＝1，AC＝2，求四棱锥 C－BB1DA 的体积。
20.(12 分) 已知函数 f(x)＝lnx－x2＋ax＋1，a∈R。 (1)当 a＝0 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)对任意 x>0，证明：当 a≤－1 时，f(x)<0 恒成立。(ln2≈0.693)。 21.(12 分)
O
为极点，x
轴正半轴为极轴，建立极坐标系。
(1)求 C1 的普通方程和 C2 的极坐标方程； (2)求曲线 C2 上的点到曲线 C1 距离的最小值。 23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
2021届百师联盟(全国卷III)高三一轮复习联考(一) 数学(理)试题(解析版)
2021届百师联盟（全国卷III ）高三一轮复习联考（一） 数学（理）试题一、单选题1．设212z i ⎫=⎪⎪⎝⎭，其中i 是虚数单位，则z ＝（ ）A ．12B ．2C ．1D【答案】C【分析】先根据完全平方公式和复数的运算计算出z ，再根据复数的模的求法解出即可.【详解】解：因为21122z i ⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，所以1z ==. 故选：C .【点睛】本题考查复数的运算和复数的模的求法，属于基础题. 2．已如集合{}0A x x =≥，集合(){}2ln 2B x y x x ==+-，则AB =（ ）A ．()1,+∞B ．()2,1-C ．[)0,1D ．()2,-+∞【答案】A【分析】求出集合B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】解：集合{}{2202B x x x x x =+->=<-或}1x >，所以()1,AB =+∞，故选：A.【点睛】本题考查了集合的基本运算、对数型复合函数的定义域，考查了基本运算能力，属于基础题.3．已知向量(),1a x =-，()2,4b =-，若a b ⊥，=+c a b ，则a 在c 上的投影为（ ）A ．1B ．±1CD ．【答案】A【分析】先由题意，根据向量数量积的坐标表示，求出2x =-，再由向量投影的计算公式，即可得出结果.【详解】因为a b ⊥，(),1a x =-，()2,4b =-， 所以240a b x ⋅=--=，解得2x =-， 所以()2,1a =--，()4,3c a b =+=-，所以a 在c 上的投影为()22143a cc ⋅==-+.故选：A .【点睛】本题主要考查求向量在另一个向量上的投影，熟记向量数量积的坐标表示，以及向量数量积的几何意义即可，属于基础题型. 4．方程()44224x y x y+=+所表示曲线的大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】取0x =，解得2y =±，令0y =，解得2x =±，故排除C 、D 选项，又函数图象不是圆，从而得出答案.【详解】解：令0x =，解得2y =±，令0y =，解得2x =±，故排除C 、D 选项； 易知该函数图象不是圆，排除B 选项，又因为()0,0点满足条件， 故选：A.【点睛】本题考查根据曲线方程选择曲线的图形，属于基础题.5．命题p ：“[)0,x ∀∈+∞，2e x x >”的否定形式p ⌝为（ ） A ．[)0,x ∀∈+∞，2e x x ≤ B ．(]0,0x ∃∈-∞，020x ex > C ．[)00,∃∈+∞x ，020x e x >D ．[)00,∃∈+∞x ，020ex x ≤【答案】D【分析】根据含一个量词的命题的否定方法直接得到结果. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“[)0,x ∀∈+∞，2x e x >”的否定形式p ⌝为：[)00,∃∈+∞x ，020x e x ≤，故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定，难度容易.含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论.6．已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是（ ）A ．()cos sin y x =B ．()sin sin y x =C ．()cos cos y x =D ．()sin cos y x =【答案】D【分析】利用函数的奇偶性，特殊值，及函数的取值范围依次判断，利用排除法，即可得出结果.【详解】解：由图象知，该函数为偶函数，排除B 选项； 当0x =时，01y <<，而()cos sin0cos01==，排除A 选项； 令[]cos 1,1t x =∈-，所以()cos cos 0x >，排除C 选项， 故选:D .【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数图像和性质，考查数形结合的能力，属于中档题. 7．设函数()e axf x =与()lng x b x =的图象关于直线0x y -=对称，其中a ，b ∈R且0a >.则a ，b 满足（ ） A ．2a b += B ．1a b == C ．1ab =D ．1b a= 【答案】C【分析】由题意可知函数()e axf x =图象上任意一点(),eaxA x 关于0x y -=对称点()1e ,ax A x 在函数()ln g x b x =的图象上，代入利用对数的运算性质即可求解.【详解】解：设(),eaxA x 是函数()eaxf x =图象上任意一点，则它关于直线0x y -=对称的点()1e ,axA x 在函数()ln g x b x =的图象上，所以ln e ax x b abx ==，即1ab =， 故选：C.【点睛】本题考查了互为反函数的性质，考查了基本知识的掌握情况以及基本运算能力，属于基础题.8．如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断正确的是（ ）A ．该弹簧振子的振幅为1cmB ．该弹簧振子的振动周期为1.6sC ．该弹簧振子在0.2s ，和1.0s 时的振动速度最大D ．该弹簧振子在0.6s 和1.4s 时的位移不为零 【答案】B【分析】周期是振子完成一次全振动的时间，振幅是振子离开平衡位置的最大距离，由图象直接读出周期和振幅，根据振子的位置分析其速度和加速度大小，振子处于平衡位置时速度最大，在最大位移处时，加速度最大.【详解】由图象及简谐运动的有关知识知，设其振动周期为T ，则0.60.20.44T=-=， 解得 1.6s T =，振幅2cm A =，当0.2s t =或1.0s 时，振动速度为零； 该弹簧振子在0.6s 和1.4s 时的位移为零， 故选：B【点睛】本题结合振动图象考查了振幅和周期的概念以及质点振动的速度，位移，要能结合x-t 图象进行分析，属于中档题.9．历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet ），当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：()1,0,c x Qf x x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中Q 为有理数集，c Q 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：(),,c a x QD x b x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中a ，b ∈R 且ab ），以下对()D x 说法错误的是（ ）A ．任意非零有理数均是()D x 的周期，但任何无理数均不是()D x 的周期B ．当a b >时，()D x 的值域为[],b a ；当a b <时，()D x 的值域为[],a b C ．()D x 为偶函数D ．()D x 在实数集的任何区间上都不具有单调性 【答案】B【分析】设任意1T Q ∈，2c T Q ∈，利用周期的定义可判断A ；根据值域的定义可判断B ；利用偶函数的定义可判断C ；实数的稠密性，函数值在a 和b 之间无间隙转换可判断D. 【详解】解：设任意1T Q ∈，2c T Q ∈，则()()1,,c a x Q D x T D x b x Q ∈⎧+==⎨∈⎩，()()2c ,,b x Q D x T D x a b x Q ∈⎧+=≠⎨∈⎩或，A 选项正确； 易知()D x 的值域为{},a b ，B 选项错误； 若x Q ∈，则x Q -∈，所以()f x -=()f x a =，若c x Q ∈，则c x Q -∈，所以()()f x f x b -==，C 选项正确；由于实数的稠密性，任意两个有理数之间都有无理数，两个无理数之间也有有理数， 其函数值在a 和b 之间无间隙转换，所以()D x 无单调性；综上， 故选：B.【点睛】本题考查了函数的基本性质，考查了基本知识的掌握情况，同时考查了分析能力、理解能力，属于基础题.10．设锐角三角形ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()22c b c b -=-，a =b c +的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由余弦定理知1cos 2A =，即π3A =，则()b c B C B A B +=+=++，化简可得π6b c B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据角的范围可求出答案.【详解】解：因为()22c b c b -=-，即222a b c bc =+-，由余弦定理知1cos 2A =， 因为三角形ABC 为锐角三角形，所以π3A =，结合正弦定理得sin sin a b B B A =⋅=，sin sin a c C C A =⋅=，则()3333b c B C B A B +=+=++33B =+1sin 2B B ⎫+⎪⎪⎝⎭，化简得：π6b c B ⎛⎫+=+⎪⎝⎭； 因为2ππ032B <-<，π02B <<，所以ππ2π363B <+<，πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭b c +≤ 故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理进行边角的互化，求边的范围，属于中档题.11．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在[0,]π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为（ ）A ．1710,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1710,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1023,36⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据题意得做出函数简图，数形结合得[)45,x x π∈，设函数()f x 的最小正周期为T ，由于06x πω=-，故4071043x x T πω+==，502326x x T πω=+=，再解不等式即可得答案.【详解】如图作出简图，由题意知，[)45,x x π∈，设函数()f x 的最小正周期为T ， 因为06x πω=-， 则40077210443T x x x ππωω+=+⋅==，500223226x x T x ππωω=+=+⋅=， 结合[)45,x x π∈有103ππω≥且236ππω<，解得1023,36ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的性质，考查数形结合思想与推理运算能力，是中档题. 12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，任意x ∈R 均有()()x f x f x e '-=，且()10f =，若函数()()g x f x =t -在[1,)x ∈-+∞上有两个零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．21,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．[)1,0-D ．21,e ⎡--⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】构造函数()()x f x h x e=，求出导数，利用()()xf x f x e '-=可得()1h x '=，进而可得()h x x C =+，即得()(1)xf x x e =-，利用导数讨论的变化情况，即可求出t 的范围.【详解】设函数()()xf x h x e=，则()()()x f x f x h x e '-'=，因为()()xf x f x e '-=，则()1h x '=，设()h x x C =+，则(1)(1)10f h C e==+=， 所以1C =-，即()1h x x =-，()(1)xf x x e =-，()xf x xe '=，则()f x 在[)1,0-单调递减，在[0,)+∞单调递增，min ()(0)1f x f ==-， 又2(1)f e-=-要使函数()()g x f x t =-有两个零点，等价于曲线()y f x =与y t =有两个交点， 所以实数t 的取值范围为21,e⎛⎤-- ⎥⎝⎦故选:D ．【点睛】本题考查构造函数，利用导数研究零点问题，属于中档题.二、填空题 13．已知复数()i1i i 1z a =+-+的虚部为零，i 为虚数单位，则实数a =________. 【答案】12【分析】先对复数化简，再由复数的虚部为零，列方程可求得结果【详解】解：()i 111i i i 122z a a ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，因为其虚部为零，所以102a -=，12a =. 故答案为：12. 【点睛】此题考查复数的除法运算，考查复数的有关概念，属于基础题14．已知sin cos 2θθ+=，且()0,πθ∈，则πcos 2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________.【分析】由已知条件，结合同角正余弦的关系可求sin θ，又由诱导公式知πcos sin 2θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可求值.【详解】由()23sin cos 12sin cos 4θθθθ+=+=， ∴12sin cos 04θθ=-<，又π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即sin 0θ>，cos 0θ<，∴结合22sin cos 1θθ+=，解得sin θ=，所以πcos sin 2θθ⎛⎫-==⎪⎝⎭4.. 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系，结合诱导公式求三角函数值，属于基础题. 15．函数()ln 22ln x f x x=+，(]1,e x ∈的最小值为________. 【答案】52【分析】令ln x t =，可得()g t =142t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据对勾函数的性质可得()g t 在(]0,1单调递减，由函数的单调性即可求解.【详解】解：令ln x t =，因为(]1,e x ∈，所以(]0,1t ∈，ln 22142ln 22x t t x t t ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，令()g t =142t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由对勾函数的性质易知，()g t 在(]0,1单调递减，即()()min 512g t g==， 所以函数()f x 在(]1,e 上的最小值为52. 故答案为：52. 【点睛】本题考查了对数型复合函数的最值、利用函数的单调性求最值，考查了基本运算能力，属于基础题.16．设函数()[]()()2cos ,6,6312,,66,x x f x x xπ⎧∈-⎪⎪=⎨⎪∈-∞-⋃+∞⎪⎩，若关于x 的方程()()()210f x af x a R ++=∈⎡⎤⎣⎦有且仅有12个不同的实根，则实数a 的取值范围是______. 【答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】作出函数()f x 的图象，设()f x t =，设关于210t at ++=有两个不同的实数根1t 、2t ，可得知1t 、()20,2t ∈，进而可知关于t 的二次方程在区间()0,2内有两个不等的实根，利用二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】作出函数()f x 的简图如图，令()f x t =，要使关于x 的方程()()21f x af x ++⎡⎤⎣⎦()0a =∈R 有且仅有12个不同的实根，则方程210t at ++=有两个不同的实数根1t 、2t ，且由图知1t 、()20,2t ∈，设()21g t t at =++，则有()()2010225040022g g a a a ⎧=>⎪=+>⎪⎪⎨∆=->⎪⎪<-<⎪⎩，解得5,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，因此，实数a 的取值范围是5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故答案为：5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于难题.三、解答题17．已知顶点在坐标原点，始边在x 轴正半轴上的锐角α的终边与单位圆交于点1,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 逆时针旋转π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭得到角β的终边. （1）求2sin 22cos sin ααα-的值； （2）求cos cos βϕ+的取值范围.【答案】（1）（2）3cos cos ,22βϕ⎛⎫+∈-⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用三角函数的定义可得sin 2α=，1cos 2α=，再利用二倍角的正弦公式即可求解.（2）由πcos cos cos cos 3βϕϕϕ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，利用两角和的余弦公式可得πcos cos 3βϕϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质即可求解.【详解】解：（1）由题意得sin α=，1cos 2α=，所以，22212sin 22sin cos 222cos sin 2cos sin 122ααααααα===--⨯-⎝⎭（2）π1cos cos cos cos cos cos 322βϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得πcos cos 3βϕϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，因为π02ϕ<<，所以πππ633ϕ-<-<，1πsin 232ϕ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭3cos cos 2βϕ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了三角函数的定义、三角恒等变换、正弦函数的性质，需熟记公式，属于基础题.18．已知函数()()2ln 212f x ax a x ⎡⎤=+--⎣⎦，a R ∈.（1）若1x =是函数()f x 的零点，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性. 【答案】（1）43a =；（2）答案不唯一，具体见解析. 【分析】（1）由()10f =，代入计算即可求得a 的值；（2）令()()()()221212g x ax a x ax x =+--=-+，讨论a 的取值范围，结合定义域及复合函数的单调性依次讨论0a =，102a -<<,12a <-,12a =-,0a >即可得出结果.【详解】解：（1）要使1x =为函数()f x 的零点，即有()()1ln 330f a =-=，解得43a =. （2）令()()()()221212g x ax a x ax x =+--=-+，①当0a =时，函数()f x 的定义域为(),2-∞-，()()ln 2f x x =--，因为()2g x x =--在(),2-∞-单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在(),2-∞-上单调递减；②当0a ≠时，由()0g x =解得11x a=，22x =-， （i ）当102a -<<时，函数()f x 的定义域为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()g x 在11,12a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在11,22a ⎛⎫--⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在11,12a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在11,22a ⎛⎫--⎪⎝⎭单调递减；（ii ）当12a <-时，函数()f x 的定义域为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()g x 在12,12a ⎛⎫--⎪⎝⎭单调递增，在111,2a a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在12,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在111,2aa ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减；（iii ）当12a =-时，()0g x ≤，不满足题意，()f x 无意义； （iv ）当0a >时，函数()f x 的定义域为()1,2,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，因为()g x 在(),2-∞-单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，由复合函数的单调性知，()f x 在(),2-∞-单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增. 【点睛】本题考查函数的零点，考查含有参数的复合函数的单调性的问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.19．已知函数()()π=2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点间的距离为213.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于x 的不等式()2122g x t t ≥+在[]3,5x ∈上有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）()ππ2sin 63f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[]4,0-.【分析】（1）设函数()f x 的最小正周期为T ，=T ，ω，根据(1)2f =可求出ϕ；（2）根据周期变换得到()g x ，然后求出()g x 在[3,5]上的最小值，将不等式有解化为2min 1()22g x t t ≥+，再解关于t 的一元二次不等式可得解.【详解】（1）由题意得()f x 的最大值为2，最小值为2-，设函数()f x 的最小正周期为T =解得12T =，所以2ππ6T ω==，()6π2sin f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为()f x 的图象过点()1,2，所以()π12sin 26f ϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即()ππ2π62k k ϕ+=+∈Z ，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，()ππ2sin 63f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，所以()ππ2sin 33g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]3,5x ∈时，ππ4π,2π333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则[]ππ2sin 2,033x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 因为不等式()2122g x t t ≥+在[]3,5x ∈上有解，即有21202t t +≤， 解得4t 0-≤≤，所以实数t 的取值范围为[]4,0-.【点睛】本题考查了根据三角函数的图象求解析式，考查了由图象变换求解析式，考查了不等式有解问题，属于中档题.20．2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入[]()4,8x x ∈万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x 万元赞助费后，商品的销售量将增加到2102y x λ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭万件，[]0.6,1λ∈为气象相关系数，若该销售商出售y 万件商品还需成本费()40530x y ++万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p 万元与平台投入的赞助费x 万元的关系式；（注：总利润=赞助费+出售商品利润）（2）若对任意[]4,8x ∈万元，当入满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ 【答案】（1）2001004402p x x λλ=---+，[]4,8x ∈；（2）当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损．【分析】（1）根据总利润=赞助费+出售商品利润和已知得解； （2）由题得()()10225x x xλ++在[]4,8x ∈上恒成立，设()2012f x x x=++，利用导数求出函数()f x 的最大值即可得解. 【详解】（1）由题意得20204010405301022p x x x x λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅--++⋅- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2001004402x x λλ=---+，[]4,8x ∈． （2）要使对任意[]4,8x ∈（万元）时，该销售商才能不亏损，即有0p ，变形得()()10225x x xλ++在[]4,8x ∈上恒成立， 而()()210212202012x x x x x xxx++++==++，设()2012f x x x=++，()2201f x x =-'，令0fx解得=±x所以函数()f x 在4,⎡⎣单调递减，在⎡⎤⎣⎦单调递增，()()(){}max max 4,8f x f f =，因为()()421822.5f f =<=，所以有2522.5λ，解得0.9λ，即当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损．【点睛】本题主要考查函数和不等式的应用，考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．已知函数()()()1sin 1cos f x a x x a x x =---++，[]0,πx ∈，a ∈R . （1）若函数()f x 在ππ,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为π12+，求a 的值；（2）若任意[]0,πx ∈，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）1a =；（2）[]π1,1---.【分析】（1）求出()()()sin cos f x x a x x '=+-，根据题意πππ1222f a ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，解方程即可求解.（2）求出()()()sin cos f x x a x x '=+-，[]0,πx ∈，令()0f x '=解得1x a =-，2π4x =，讨论0a ≥或π04a -<<或ππ4a -≤≤-或πa <-，求出函数的单调区间，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题即可.【详解】解：（1）因为()()()1sin 1cos f x a x x a x x =---++， 所以()()()sin cos f x x a x x '=+-， 因为函数()f x 在ππ,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为π12+，所以πππ1222f a ⎛⎫'=+=+⎪⎝⎭，解得1a =. （2）由（1）知，()()()sin cos f x x a x x '=+-，[]0,πx ∈， 令()0f x '=解得1x a =-，2π4x =， ①当0a ≥时，0x a +≥，在π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上，sin cos 0x x -<， 所以()0f x '≤，()f x 单调递减；在π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin cos 0x x -≥，所以()0f x '≥，()f x 单调递增；要使任意[]0,πx ∈，()0f x ≥恒成立，即有()min πππ11042424f x f a a ⎛⎫⎛⎫⎫==---++≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得π4a ≤-，不满足； ②当π04a -<<时，在[)0,x a ∈-上，0x a +<， sin cos 0x x -<，所以()0f x '>，()f x 单调递增；在π,4x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上，0x a +>，sin cos 0x x -<，所以()0f x '<，()f x 单调递减；在π,π4x ⎛∈⎤⎥⎝⎦上，0x a +>，sin cos 0x x ->，所以()0f x '>，()f x 单调递增； 要使任意[]0,πx ∈，()0f x ≥恒成立，即有()00π04ff ⎧≥⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1a ≤-，不满足； ③当ππ4a -≤≤-时，结合②易知，()f x 在π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增；在π,4a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减；在(],πa -单调递增；要使任意[]0,πx ∈，()0f x ≥恒成立，即有()()000f f a ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩， 解得π1a -≤≤-，所以[]π,1a ∈--，满足； ④当πa <-时，()f x 在π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增；在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；要使任意，()0f x ≥[]0,πx ∈恒成立，即有()()π000f f ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，解得π11a --≤≤-，所以[)π1,πa ∈---，满足； 综上：a 的取值范围为[]π1,1---.）【点睛】本题考查了导数的几何意义、根据函数的斜率求参数值、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想以及分类讨论的思想，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线C 上点，求点P 到直线l 距离的最小值.【答案】（1）40x y +-=；22182x y +=；（2）. 【分析】（1）利用22cos sin 1αα+=消去参数可得直线l的普通方程；化简πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos ,sin x y ρθρθ==代入可得曲线C 的直角坐标方程；（2）()P αα，利用点到直线距离公式求出距离，根据三角函数的性质可求出最值.【详解】解：（1）因为曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()()()22222x y αα+=+()228sin cos 8αα=+=，整理得22182x y +=；因为直线l的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos θρθ+=sin cos 4ρθρθ+=，即40x y +-=. （2）由（1）得直线l 的直角坐标方程为 40x y +-=，则设点()P αα，[)0,2πα∈，则点P 到直线40x y +-=的距离d ==，其中tan 2ϕ=，当()sin 1αϕ+=时，min d ==.【点睛】本题考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查点到直线距离的最值求法，属于中档题. 23．已知函数()212f x x x =+--. （1）求不等式()2f x x ≥+的解集；（2）若()12f x t ≥--对一切实数x 均成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(][),23,-∞-+∞.【分析】（1）利用零点分界法去绝对值即可求解. （2）由（1），可得()min 1522f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，将不等式转化为5122t -≥--对一切实数x 恒成立，利用绝对值的几何意义解不等式即可.【详解】解：（1）()13,2131,223,2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， ①当12x <-时，32x x --≥+，解得52x ≤-，所以52x ≤-； ②122x -≤≤时，312x x -≥+，解得32x ≥，所以322x ≤≤；③2x >时，32x x +≥+，解得x ∈R ，所以2x >； 综上：不等式()2f x x ≥+的解集为53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. （2）由（1），知()min 1522f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 因为()12f x t ≥--对一切实数x 均成立， 即有5122t -≥--，解得3t ≥或2t ≤-， 所以t 的取值范围为(][),23,-∞-+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，分段函数的最值，考查了基本运算求解能力以及分类讨论的思想，属于基础题.。