一元二次方程竞赛训练题

一元二次方程竞赛训练题

1 •方程7x2(k 13)x k2k

2 0 (k是实数)有两个实根、，

且0v v 1, 1v v 2,那么k的取值范围是( )

(B)—2v k v —1 ；

(C) 3v k v 4或—2v k v— 1 (D)无解。

3•方程x2x 1 0的解是()

误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为—1和4,那么，2b 3c

a

5•若X。是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根，则判别式b2 4ac与平方式

M (2ax。b)2的关系是()

(A) >M (B) =M (C)

6 •若方程(x2 1)(x2 4) k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k= ____________ .

的取值范围是( )

(A) 0 m , /、 3 3

m 1

3 , 1; (B) m - ；(C) ; (D) m 1

4 4 4

&设x1, x2是二

2

一次方程x

x 3 0的两个根，那么， 3

X1 4x2219的值等于( )

7•如果方程(x 1)(x2 2x m) 0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m

(A)

4 ; (B) 8; (C) 6; (D) 0..

(A) 3v k v 4;

2•方程(x a)(x 8) 1 0 ,有两个整数根，则a ______________

(A)

1 ,5

2

(B)

1 ..5

(D)

1 .5

2

4•已知关于x的一元二次方程ax2bx c 0没有实数解.甲由于看错了二次项系数,

11. 已知且，则=

的值为（）

(A) 23

( B 23 (C) 2 (D) 13

15.如果x和y是非零实数，使得

x y 3和x y x30, 那么x+y等于（).

(A) 3 ( B) v'13 (C) 1晁

(D) 4

2

16 .已知实数a 、b、x、y满足 a b x y 2 , ax by 5，则

2 2 2 2

(a b )xy ab(x y )

17. ______________________________________________________ 实数x、y、z满足

x+y+z=5, xy+yz+zx=3，则z的最大值是_____________________________ .

18.已知a, b是实数，关于x, y的方程组

y x ax bx,

y ax b

有整数解（x, y），求a, b满足的关系式.

19.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的一个实数根，则ab的取值范围为（）

ab 1 ab 1 ,1 ,1

(A) - (B) (C) ab 一(D) ab 一

8 8 4 4

20 . 在RtVABC 中,斜边AB=5 , 而直角边BC, AC之长是一元二次方程

10•求所有正实数a,使得方程x2ax 4a 0仅有整数根。

12.已知：a ，b, c三数满足方程组

a

ab c2b』，试求方程bx2+cx-a=0的根。

8 .一3c 48

13 •设m是整数, 且方程3x2mx 2 0的两根都大于9而小于号，则m=.

5 7 14•已知实数a b，且满足（a 1）2 3 3(a 1) , 3(b 1)

x2(2m 1)x 4(m 1) 0的两根，贝U m的值是( )

A 、4

B 、-1

C 、4 或-1

D 、-4 或1

21 •已知a为实数，且使关于x的二次方程x2 a2x a 0有实根，该方程的根x所能

取至y的最大值是________________ 。

22.设a , b , c为互不相等的实数，且满足关系式

b2 c2 2a2 16a 14 ①及bc a2 4a 5 , ②

求a的取值范围.

一元二次方程竞赛训练题(答案):

1.解：记f(x) »7x2(k 13)x k 2k 2

f(0) k2k 2 0

由f (1) k22k 8 0 3 k 4 或2 k 1 f(2) k23k 0

2. 8.

2

x (a 8)x 8a 1 0

原方程整理为设X1,X2为方程的两个整数根，由X1+x2=a+8, 知a为整数，因此，x- a和x-8 都是整数。故由原方程知x-a=x-8(= ± 1)

•••

所以a=8

3. ( D)

设X。是方程的解，则一X。也是方程的解，排除(A)、(B)； (D)的两值必是方程的解，

否则方程的解也不是(C).

1

将一(1 5)代入方程，左边工0，排除(C).

2

4.6

设甲将a看为a',由韦达定理得

于是

由于一次项系数

a

'

由①②得a

b

5. (B

)

6.

b的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a或c的符号.

3.所以

2b 3c

设x o是方程的根,则ax

所以(2ax0 b)2

设x2

程的四个根为4

.

6 12 6.

4a2x°

4a(ax02

b2 4ac

y，原方程变为y2

由韦达定理

7.

( C) bx0 c 0.

4abx0

bx o c)

5y 4

b2

b2 4ac

k 0.设此方程有根，（0

.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列,

5，得

9

2

9

4，），则原方