最全最新初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解
初中数学竞赛第1讲一元二次方程的解法(含解答)
第1讲一元二次方程的解法一、引例瑞士的列昂纳德．欧拉（1707～1783），既是一位伟大的数学家，也是一位教子有方的父亲，他曾亲自编过许多数学趣题用以启发孩子们思考。
如下题：“父亲临终时立下遗嘱，要按下列方式分配遗产：老大分得100克朗和剩下的110；老二分得200克朗和剩下的110；老三分得300克朗和剩下的110；……；以此类推分给其他的孩子，最后发现，遗产全部分完后所有孩子分得的遗产相等；遗产总数、孩子人数和每个孩子分得的遗产各是多少？”这道题需要列方程求解。
解析设孩子数为x人，则最后一个孩子分得遗产为100x克朗,老大分得遗产[100+1 10 (100x2-100)]克朗，得方程100+110(100x2-100)=100x. 同学们，你会解此方程吗？整理方程得 x2-10x+9=0.(x-9)(x-1)=0,∴x1=9,x2=1(舍去).遗产总数是8100克朗；有９个孩子，每个孩子分得的遗产是900克朗。
点评：二、一元二次方程的解法运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为０；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、公式法、十字相乘法等来分解因式。
例１用适当的方法解下列一元二次方程:(1)(2x-1)2-9=0; (2)x2+x-1=0;(3)x2-4x=1; (4)3x2-16x+5=0;(5)(3x+2)2=4(x-3)2; (6)(y-1)2=2y(1-y);(7)3a2x22=0(a≠0) (8)x2+2mx=(n+m)(n-m).解析 (1)两边开平方，得 2x-1=3或2x-1=-3,∴ x1=2,x2=-1;(2)已知：a=1,b=1,c=-1.∴ x1,x2;(3)整理原方程，得 x2-4x-1=0,∴ (x-2)2=5.∴ x12(4)原方程可化为(3x-1)(x-5)=0,∴ x1=13,x2=5;(5)两边开平方,得3x+2=2(x-3)或3x+2=-2(x-3),∴ x1=-8, x2=45.(6)原方程可化为(y-1)(3y-1)=0,∴ y1=1, y2=1 3 .(7)原方程可化为∴ x1=,x2(8)原方程可化为(x+n+m)(x+m-n)=0,∴ x1=-n-m, x2=n-m.点评此题主要考虑怎样选择一元二次方程的解法，使运算达到最简便。
一元二次方程竞赛解题方法
一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。
除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。
以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。
我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。
进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。
二、降次法例如，考虑已知$\alpha。
\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。
我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。
三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。
S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。
我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。
九年级一元二次方程讲解
九年级一元二次方程讲解一、一元二次方程的概念。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
- 一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx 是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
- 例如方程x^2+3x - 1 = 0，这里a = 1，b=3，c=-1。
二、一元二次方程的解法。
（一）直接开平方法。
1. 适用情况。
- 对于形如(x + m)^2=n(n≥0)的一元二次方程，可以使用直接开平方法求解。
2. 解题步骤。
- 例如方程(x - 2)^2=9。
- 第一步，直接开平方得x - 2=±3。
- 第二步，分别求解两个一元一次方程：- 当x - 2 = 3时，解得x=5。
- 当x - 2=-3时，解得x=-1。
（二）配方法。
1. 适用情况。
- 所有的一元二次方程都可以用配方法求解。
2. 解题步骤。
- 以方程x^2+6x - 1 = 0为例。
- 第一步，移项，把常数项移到等号右边，得到x^2+6x = 1。
- 第二步，配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方。
一次项系数b = 6，一半为3，平方后为9，则x^2+6x+9 = 1 + 9，即(x + 3)^2=10。
- 第三步，用直接开平方法求解，x+3=±√(10)，解得x=-3±√(10)。
（三）公式法。
1. 一元二次方程的求根公式。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 解题步骤。
- 例如方程2x^2-5x+1 = 0，这里a = 2，b=-5，c = 1。
- 第一步，计算判别式Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1 = 25 - 8 = 17。
- 第二步，代入求根公式x=(5±√(17))/(4)。
中考复习：一元二次方程组的解法归纳
含有两个未知数且含未知数项的次数为1的方程称为二元一次方程，将两个二元一次方程合在一起称为二元一次方程组.二元一次方程组的解是满足两个二元一次方程的公共解.解二元一次方程组的方法很多，灵活选用合适的方法解不同的二元一次方程组，可以有效地提高解题的效率.一、换元法换元法是将复杂方程转化为简单方程的一种方法.灵活运用换元法可大大降低运算量.运用换元法解题的步骤为：首先分析方程组中的复杂结构，将方程组中某些相同的部分设为新的未知数（称为“元”），然后将新元代入原方程组得到新的方程组，解新的方程组，再将求得的值代回换元的式子中求出原未知数的值，即可解题.1.整体换元法整体换元法指的是当一个方程中含有（或者可配凑出）相同的因式时，可以将这个相同的因式看成一个整体并将这个整体设为一个新未知数（称为“元”），然后将原方程组转化为关于新“元”的方程组.通过整体换元，可以调整方程及方程组的结构，使方程组变成易于处理的简单形式，进而快速求解.例1解方程组：■■■■■■■1x +1x +y=3,3x -1x +y =1.解：设1x =a ，1x +y=b ，则方程组转化为■■■a +b =3,①3a -b =1,②①+②解得a =1，将a =1代入到方程①中解得b =2.代回得■■■■■1x =1,1x +y=2,解得■■■■■x =1,y =-12,所以原方程的解为■■■■■x =1,y =-12.评注：设1x =a ，1x +y =b 后可将原方程组转化为简单的二元一次方程组.先求解换元后的二元一次方程组，然后将值代回到换元的式子中求出原方程组的解.本题也可以将两方程直接相加求出1x的值，进而代回后求得1x +y 的值，然后求得最终结果.这种操作的本质也是整体换元思想.2.比值换元法当一个方程（或方程组）中出现形如x a =y b的方程时，可将x a 与y b 设为一个相同的新“元”，进而用新“元”表示x 和y ，将原方程组转化为关于新“元”的方程组.解这个关于新“元”的方程组，再将新“元”的值代回到换元的式子中，即可解题.例2解方程组：■■■■■x 5+y6=0,①3(x -y )-4(3y +x )=85.②解：由①得x 5=-y 6，设x 5=-y6=k ，则x =5k ，y =-6k .将x =5k ，y =-6k 代入方程②中得3(5k +6k )-4[3×(-6k )+5k ]=85，化简整理得85k =85，解得k =1，中考复习：一元二次方程组的解法归纳代回得x =5，y =-6，所以原方程组的解为{x =5,y =-6.评注：根据方程①的结构，设x 5=-y6=k ，将x 和y 用新“元”k 表示，然后代入方程②中，求出k 的值，最后将k 代回换元的式子中求得x 和y 的值.本题若直接去分母消元求解，则运算量较大.二、消元法消元法指的是由一些未知数间的已知等量关系，通过有限次的恒等变形，消去其中某些未知数，从而得到另一些相关未知数间的等量关系的方法.消元法是解方程组的基本方法，常见的有代入消元法和加减消元法，都是将方程组中未知数的个数由多化少，逐一求出未知数的解.1.代入消元法运用代入消元法解二元一次方程组，首先需从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，或者将两个方程相加（相减），得到两个未知数系数相同或者相反的新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，然后代入原方程组中的其中一个方程，求得其中一个未知数的值，再将这个值代入变形后的关系式，即可求得另一个未知数的值，从而得到原方程组的解．例3解方程组：■■■2015x +2016y =2017,①2016x +2017y =2018.②解：由①-②得x +y =1③，由③得x =1-y ，将x =1-y 代入①中得2015(1-y )+2016y =2017，即2015+y =2017，解得y =2，将y =2代入③中解得x =-1.所以原方程组的解为{x =-1,y =2.评注：本题采用常规的加减或者代入消元法求解，运算量都较大.观察到两个方程的相同未知数的系数之差相等，因此，直接将两个方程作差得到一个新方程，将这个新方程中的一个未知数用另一个未知数表示，再运用代入消元法即可解题.2.加减消元法当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．由于二元一次方程组的形式各异，因此往往需要利用等式的性质将二元一次方程组中的方程变形，使得两个方程中的其中一个未知数的系数有相同或相反的特点，然后运用加减消元法即可解题.例4已知■■■4x -3y =3,①x +2y =1,②求x -2y 的值.解:由②×4得4x +8y =4,③将①与③作差得-11y =-1，解得y =111，再将y =111代入其中一个方程中得x =911，则x -2y =911-211=711，所以x -2y 的值为711.评注：首先将方程组中的方程x +2y =1的两边同时乘以4得到一个新的方程，然后将方程组中的另一个方程与此方程作差求得y 的值，然后运用代入消元法求得x 的值，进而求得结果.当然，在求解x 的值时也可以再次运用加减消元法，这只需要将第一个方程两边同时乘以2，第二个方程两边同时乘以3，然后将得到的两个新方程作差即可求得x 的值.总之，解二元一次方程组问题时，应从整体与局部上观察方程的结构，把握其中的规律，灵活选择不同方法解题，准确地进行运算，这样才能缩短解题时间，做到事半功倍.。
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题(三种方法)
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p 的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。
首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；。
第一讲 培优竞赛一元二次方程的解法辅导
第一讲 一元二次方程的定义及解法培优竞赛辅导【基础知识回顾】知识点一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：,其中二次项是,一次项是，是常数项。
3 、一元一次方程的解:常用的两个结论是：①a ＋b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为1；②a －b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为－1;若c=0呢?题型一：一元二次方程的概念例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A 02=++c bx axB 02112=-+x xC 1222+=+x x xD ()()12132+=+x x 变:（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
(2)方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。
题型二：一元二次方程的解例2.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为变:（1）已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为(2)若n ﹙n ≠0﹚是关于x 的方程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值。
(3)设设a 是方程x 2－2005x ＋1＝0的一个根，则a 2－2004a ＋＝ (4)已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。
知识点二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2ax b =( )，则2x = ，1x = ，2x = 。
2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0A B = 的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根.3、配方法：解法步骤：①化二次项系数为即方程两边都二次项系数；②移项：把项移到方程的边；③配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点
一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。
对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。
实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。
下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。
Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。
用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。
这时x1=6，x2=4。
解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。
设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。
经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。
归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。
例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。
分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。
我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。
解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。
例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。
一元二次方程的详细解法
一元二次方程的详细解法一元二次方程，这名字听起来就有点高大上，乍一听可能让人觉得这是个数学界的“终极boss”，对吧？其实啊，这东西并没有那么可怕，咱们就像解开一个小谜团一样，轻松搞定它。
想象一下，你手里拿着一块拼图，拼图的每一块都代表一个数值，最终拼出完整的图案就是你要找的答案。
看，简单吧？一元二次方程的标准形式是这样的：ax² + bx + c = 0，哎呀，这个“a”、“b”、“c”就是一些数字，当然“a”不能是零哦，不然方程就变得不再是二次方程了，成了一元一次方程。
这里面的“x”就像是你的小伙伴，待在方程里，等着你去把它找出来。
这个“x”就是咱们的目标，找出它的值就万事大吉了。
怎么找这个“x”呢？有几个方法可以尝试。
咱们可以使用“因式分解”，这听起来就像是把一个大蛋糕切成几块，让每一块都变得简单。
咱们先看一下方程里的常数项c，试着找两个数，它们相乘等于c，相加等于b。
举个简单的例子，假设你的方程是x² 5x + 6 = 0，你会发现2和3这两个数字很不错，它们相乘等于6，相加等于5。
于是，你就可以把方程写成(x 2)(x 3) = 0，这样一来，x就等于2或者3，搞定！不过，万一你找不到合适的数字呢？没关系！咱们可以求助于“求根公式”，这可是一招制敌的绝技。
公式是这样的：x = (b ± √(b² 4ac)) / (2a)。
听起来是不是有点复杂？但实际上只要一步一步来，保准你也能把它弄明白。
先算出“b² 4ac”，这叫“判别式”，它决定了方程的根是几种情况。
判别式大于零，表示有两个不同的实数根；等于零时，恭喜你，有一个重根；小于零，那就表示没有实数解，得转向复数了。
使用求根公式最重要的是心态，别被这个公式吓到。
慢慢来，先把“a”、“b”、“c”都填进去，接着计算判别式，再根据情况分别计算两个根。
就像拆盲盒，有时候你会惊喜地发现，原来答案就在你的眼前！除了这些传统的解法，现代科技也给我们带来了不少方便。
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初中数学竞赛专题讲解一元二次方程的求解方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。
有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。
解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。
1.形如方程的解的讨论：⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。
2.关于一元二次方程()0a ≠根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。
⑴若，则它有一个实数根1x =；若，则它有一个实数根1x =-。
⑵运用数形结合思想将方程()0a ≠根的讨论与二次函数()0a ≠的图象结合起来考虑是常用方法。
几个基本模型（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x x n <<的充要条件是202b m n a b af a ⎧<-<⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，()()00af m af n >⎧⎪⎨>⎪⎩（2）一般地设m n p <<，设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12,m x n x p <<>的充要条件是()()()000af m af n af p >⎧⎪<⎨⎪>⎩（3）一般地设m n p q <≤<设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12m x n p x q <<≤<<的充要条件是()()()()0000af m af n af p af q >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩（4）一般地设m n ≤设()()20f x ax bx c a =++≠，则()0f x =的两根12,x x ，满足12x m n x ≤≤≤的充要条件是()()00af m af n ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。
4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。
5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。
一、基础过关1.方程()2271320x k x k k -++--=有两个实数根12,x x ，满足1201,12x x <<<<，求k 的取值范围2.已知关于x 的方程()22340x m x m --+-=的两根12,x x ，满足1232,0x x -<<->，求m 的取值范围3.关于x 的方程()2290ax a x a +++=的两根12,x x ，满足121x x <<，求a 的取值范围4.方程()()22160x m x m +-+-=的一个根不小于1而另一个根不大于1-，求m 的取值范围 5.当219941+=x 时，多项式32017(419971994)x x --的值为 6.若,132=-x x 则432912272017x x x x +--+的值等于7..设0772=+-x x ，则42749x x ++=二、例题讲解（一）换元例1：方程225170x x x ---+=的所有根的和是( )A.2-B.0C.2D.4 例2：若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．例3：若，则的值为多少？例4：若关于的方程只有一个解(相等的解也算作一个)，试求的值与方程的解例5：已知关于的方程有两个根相等，求的值．练习1：解下列方程： （1）； (2)；（3）．x x p -=-2p 1->p 0≤p 01≤<-p 01<≤-p 0515285222=-+-+-x x x x 1522--x x x xkx x x x x k 1122+=---k x 655)(2-=--+xax x a x a 121193482232222=+-++-++xx x x x x x x 1)1998()1999(33=-+-x x 42)113(1132=+-++-x x x x x x（二）降次例6：已知,αβ是方程210x x --=的两个实数根，不解方程，求43αβ+的值练习1：设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，求1942231+-x x 的值。
练习2：已知21,x x 是0132=--x x 的两根，不解方程。
求（1）)1(3221+x x 的值；（2）22131669x x x ++的值。
（三）整体代入例7：设二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，记1122017S x x =+，222122017S x x =+，12,2017n n n S x x =+，则201720162015aS bS cS ++=（四）配偶例8：已知,αβ是方程2780x x -+=的两根且αβ>，不解方程，利用韦达定理求223βα+的值。
（五）反客为主例9:求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根。
（六）构造新方程例10：已知两数,,1a b ab ≠，且2221234567890303123456789020a a a a ⎧++=⎨++=⎩，则ab =练习1：已知实数b a ≠，且满足22)1(3)1(3),1(33)1(+-=++-=+b b a a ，求ba a ab b+的值。
练习2：已知实数b a ,满足,122=++b ab a 且22b a ab t --=，那么t 的取值范围是 。
练习3：若c b a ,,均为实数，且,0=++c b a ,2=abc 那么||||||c b a ++的最小值为练习4：已知p 、q 是有理数，215-=x 满足,03=++q px x 则q p +的值是 。
练习5：已知))(()(412a c b a c b --=-且0≠a ，则=+ac b 。
练习6：已知实数a 、b 、c 满足b a ≠，且,0)()(1999)(1999=-+-+-a c c b b a 求2)())((b a a c b c ---的值。
练习7：当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是 。
练习8：已知,31=+xx 则173163234-+-+x x x x 的值等于 。
练习9：E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，若∆CEF 、∆ABE 、∆ADF 的面积分别是3，4，5，求∆AEF 的面积S 。
（七）反证法例11：设,,a b c 为互不相等的非零实数，求证：三个方程22220,20,20ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=不可能都有两个相等的实数根。
（八）巧用1,1αβαβαβαβ+++--+因式分解例12：求满足如下条件的所有k 值：使关于x 的方程()()2110kx k x k +++-=:的根都是整数。
练习1：已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根是 。
（九）整体变形例13：设,,,a b c d ，证明在方程22110,022x x x x +=+=22110,022x x x x +== 中，至少有两个方程有不相等的实数根（十）数形结合一元二次方程问题常与对应的二次函数的图象联系起来考虑，由图象“形”的特征转化为数的问题来解决。
例14：是否存在这样的实数k ，使得二次方程()()221320x k x k ++-+=有两个实数根，且两根都在2与4之间？若有，试确定k 的取值范围；若没有，简述理由。
练习1：设关于x 的方程有两个不相等的实数根、，且＜1＜，那么的取值范围是（ ） A.＜＜； B.＞； C.＜； D.-＜＜0.练习2：已知，为抛物线与轴交点的横坐标，＜，的值为_______。
练习3：已知关于的方程的两个实数根、满足－3＜＜－2，＞0，求的取值范围。
（十一）用根的判别式解题例15：已知c b a ,,是整数，且,01,422=-+=-c ab b a 求c b a ++的值。
练习1：已知c b a ,,均为实数，且4=+b a ，,103422-=-c ab c 求ab 的值。
练习2：已知b a ,为整数，且032=-+-b ax x 有两个不相等的实数根；07)6(2=-+-+b x a x 有两个相等的实数根；0)5()4(2=-+-+b x a x 没有实数根，则b a += 。
练习3：m 为整数时，关于x 的方程0)223()1(422=+-+--k m m x m x 的根是有理数，求k 的值。
练习4：证明：已知关于x 的一元二次方程022=++c Bx Ax ① 022=++A Cx Bx ②022=++B Ax cx ③中，至少有一个方程有实数根。
练习5：设p 1、p 2、q 1、q 2为实数，且),(22121q q p p +=⋅证明方程0112=++q x p x 和0222=++q x p x 中至少有一个实数根。
（十二）一元二次方程的整数根的探究例16：已知方程015132)83(2222=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数）至少有一个整数根，那么，a = 。
例17:设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数。
求满足条件的所有实数k 的值。
练习1：设m 为整数且404<<m ，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根。
练习2：已知方程0)3(22=++-k x k x 的根都是整数，求整数k 的值及方程的根。
练习3：一直角三角形的两直角边长为整数，且满足方程,04)2(2=++-m x m x 试求m 的值及此直角三角形三边的长。
练习4：求使关于x 的方程062)1()1(322=-++-+a x a x a 有整数根时所有整数a 。
三、巩固提升1.已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有____个。
2.已知实数满足，那么的值为_____3.方程的解是 4.已知，求的值 5.已知：如图，四边形ABCD 为菱形，AF ⊥上AD 交BD 于E 点，交BC 于点F ． (1)求证：AD 2=DE ×DB ； (2)过点E 作EG ⊥AE 交AB 于点G ，若线段BE 、DE(BE<DE)的长为方程(m>0)的两个根，且菱形ABCD 的面积为，求EG 的长．6.满足等式的正整数对(，)的个数是( )A.1；B.2；C.3；D.4 7.方程的整数解( ).A.不存在；B.仅有1组；C.恰有2组；D.至少有4组。