一元二次方程竞赛题

一元二次方程的基本知识

形如ax2+bx+c=0(a ≠0)的方程

判别式：△=b2-4ac 求根公式： 韦达定理：

整系数一元二次方程有整数根的必要条件：

(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；

(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.

策略一：利用判别式

例1.当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程 与 的根都是整数。

策略二：利用求根公式

例3．设关于x 的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

策略三：利用方程根的定义

例4. b 为何值时，方程

有相同的整数根？并且求出它们的整数根？

策略四：利用因式分解

例5. 已知关于x 的方程

的根都是整数，那么符合条件的整数a 有__个.

2440mx

x -+=2244450x mx m m -+--=2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=220x bx --=22(1)0x x b b ---=2(1)210a x x a -+--=

策略五：利用根与系数的关系

例6：求所有正实数a,使得方程 仅有整数根.

例7：当m 是何整数时,关于x 的方程 的两根都是整数?

例8：试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程 有根且只有整数根

例9：已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的一元二次方程 至少有正整数根，

求所有满足条件的质数对（p,q ）

例10:已知关于x 的一元二次方程5x 2－5px+12p-15=0的两个根

均为整数，求实数p 的所有可能的值.

2

40x ax a -+=2(1)10

x m x m --++=0

1)2(2=-+++r x r rx 05)108(2=+--pq x q p x

例11：已知p 、q 是正整数，试问关于x 的方程 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．

策略六：构造新方程

例12：方程 有两个整数根,求a 的值.

例13：已知均不为零的实数x 、y 、z 满足x+y+z=xyz ，x2=yz ，求证x2≥3

策略七：构造等式

例14.求所有的正整数a,b,c,使得关于x 的方程

的所有的根都是正整数.

策略八：.分析等式

例15. n 为正整数，方程

有一个整数根，则n=__________.

22=++-q p pqx x ()(8)10

x a x ---=222

320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+

=2

1)60

x x -++-=

策略九：反客为主

例16:求出所有正整数a,使方程 至少有一个整数根.

例17：求方程 的所有整数解

例18：已知函数 的最大值为1，最小值为-2，求实数a,b 的值

策略十：利用配方法

例19： 已知方程 有两个不等的负整数根,则整数a 的值是____.

策略十一：利用奇偶分析

例20：已知方程 有两个质数根,则常数a=___________.

例21：设a 是大于零的实数。已知存在唯一的实 数k ，使得关于x 的二次方程 的两个根均为质数。求a 的值

策略十二：利用反证法

例22：不解方程,证明方程 无整数根 22(21)4(3)0ax a x a +-+-=04222233=+++-b a ab b a 2

2++=x b ax y 22(1)2(51)240

a x a x --++=219990

x x a -+=01999)(222=+++++ak k x ak k x 2199719970x x -+=