一元二次方程竞赛题
初中数学竞赛一元二次方程卷(一)及解答
一元二次方程卷(一)一、填空:1.方程x 2－丨2x －1丨－4=0的根是________________________.[提示:分2x －1≥0和2x －1<0两种情况讨论.注意:当2x －1≥0时,求出的根必须满足2x －1 ≥0,否则应舍去;同样,当2x －1<0时,求出的根必须满足2x －1<0,否则应舍去]2.当b=______时,方程x 2+bx+1=0和方程x 2－x －b=0有一个公共根.[提示:设公共根为α,代入两个方程得到方程组,解方程组(两方程相减)得b 的值,再验算b 值能否使Δ≥0.]3.已知实数x 、y 满足x 2－2x －4y=5,则x －2y 的最大值是________.[提示:设x －2y= m,消去x,得到关于y 的一元二次方程,再由Δ≥0解得m 的取值范围]4.设x 1、x 2是方程x 2－x －4=0的两根,则x 13+5x 22+10的值为______.[提示:用根的定义和韦达定理.先将x 1和x 2分别代入原方程,并用一次式表示出x 12及x 22,再代入原式.]5.设ΔABC 的一边为1,另两边的长是方程x 2－2x+m=0的两个根x 1和x 2,则m 的取值范围是_________.[提示:由Δ≥0、两边之和大于笫三边、两边之差小于笫三边以及韦达定理列出不等式组]6.已知实数a 、b 、c 满足a 2－a －bc+1=0,2a 2－2bc －b －c+2=0,则a 的取值范围是_______.[提示:先用a 表示出b+c 及bc,则以b 和c 为根的一元二次方程是?,再由Δ≥0解得a 的取值范围]7.要使关于x 的两个方程x 2－5x=a 和x 2－5x=－a 有且只有一个方程有两个不同的实数根,则a 的取值范围是________.8.已知方程组223320x y x y +=⎧⎨+=⎩的两组解是(x 1,y 1)和(x 2,y 2),则x 1y 2+x 2y 1的值是_____. 9.已知关于x 的方程(a －1)x 2+2x －a －1=0的根都是整数,则整数a 的值为__________.10.已知xy+x+y=11,x 2y+xy 2=30,则x 2+y 2的值为_____.[提示:构造以x+y 和xy 为根的方程]二、解下列各题:1.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根,甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和3,乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为－1和3,求(2b+3c)∶a 的值.[提示:设甲把a 看成a ’,乙是否看错b 的符号?由韦达定理列出方程,再设法求b a 和c a的值]2.设三个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0, x2+(2m+1)x+m2=0, (m－1)x2+2mx+m－1=0中至少有一个方程有实数根,求m的取值范围. [提示:先求三个方程都无实根时m的取值范围]3.实数a取何值时,分式方程222(2)x x x ax x x x--++=--只有一个实数根?4.已知方程ax2+2(2a－1)x+4(a－3)=0 (a为正整数)至少有一个整数根,求a的值.参考答案:一.1. 2. 2;3. 92; 4. 39; 5. 314m <≤; 6. 1a ≥; 7. 2525或44a a ≥≤-; 8. 10;9. 1,2,3,0,-1;10. 26或13.二.1.4.2.31或24m m ≤-≥-; 3.a=72,4,8. 4.(求参法)由原方程得(x+2)2a=2x+12,求得a=2212(2)x x ++, (x ≠-2) (*) 由a 为正整数,有a ≥1, 即2212(2)x x ++≥1, 解得-4≤x ≤2,∴整数x 的一切可能值为-4,-3,-3,-2,-1,0,1, 分别代入(*),得正整数a=1,3,6,10.。
(仅供参考)(奥数班)一元二次方程奥数题
的三条边的长，则 m 的值是____4____，此时这个三角形是 等边 三角形。
38. 边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程 x2 (k 2)x 4k 0 的两根，求 k 的值
并确定直角三角形三边之长．
解：设直角边为 a, b ，（ a b ）则 a b k 2, ab 4k ，因方程的根为整数，故其判别式为完全平方
思路1：降次；
x 1 1
x3 1
16. 若 x ，则
x3 的值为 4
。
17. 已知x2 5x 1 0，那么 x
1
x2 x 1
4
18. 若 m n 2 ，则 2m2 4mn 2n2 1 的值为
7
．（降次） ．
19. 已知 m2 m 1 0 ，则 m 3 2m 2 2006 2005 （降次）
49. 设 x1，x2 关于 x 的一元二次方程 x2 ax a 2 的两个实数根，则 x1 2x2 x2 2x1 的最大值
为
。 63
8
8
25.
已知实数x、y满足 4 x4
2 x2
3, y 4 y2
3
,则
4 x4
y 4的值为（ A
）
A. 7 B 1 13 C 7 13
2
2
D.5 (全国初中数学竞赛题)
26. 已知实数 、 满足 2 3 1 0 ， 2 3 1 0 ，且 1 ，则 2 3 的值为 10
27.
20.
已知 a2 2004a 1 0 ，则 2a 2
4007a
2004 a2 1
_____
2002
____ （降次）
21.
x2 已知 是方程
x1 4
一元二次方程测试题(含答案)
一元二次方程测试题(含答案)一元二次方程测试题一、填空题:（每题2分共5分）1.将一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x2化为一般形式为：2x^2-9x-9=0，二次项系数为2，一次项系数为-9，常数项为-9.2.若m是方程x^2+x－1＝0的一个根，代入m+2m+2013得到(m+1)^2+2012的值为。
3.方程2+x－1＝0是关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的定义，二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为-1.所以m的值为1.4.关于x的一元二次方程a-2x+x^2+a-4=0的一个根为x=2，则代入得到a=5.5.代数式4x-2x-5与2x+1的值互为相反数，即4x-2x-5=-(2x+1)，解得x=-3/2.代入4y^2+2y+1得到9/2.6.已知2y+y-3的值为2，则代入4y^2+2y+1得到21.7.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则根据一元二次方程的定义，二次项系数为m-1+m=2m-1，一次项系数为m，常数项为1.所以m的取值范围为m≠1/2.8.已知关于x的一元二次方程x^2-x-1=0的一个根为x=2，则代入得到另一个根为x=-1.9.已知关于x的一元二次方程x^2+mx-6=0的一个根为2，代入得到另一个根为-3，且m的取值范围为m≠0.10.设x1，x2是方程x^2+bx+b-1=0有两个相等的实数根，则根据一元二次方程的定义，判别式D=b^2-4(b-1)=0，解得b=2或b=-1.但由于有两个相等的实数根，所以b=2.11.已知x=-2是方程x^2-3x+k=0的一个根，代入得到k=-2.12.若2是方程x^2+mx-6=0的一个根，代入得到另一个根为-3，且一元二次方程kx+ax+b=0有两个实数根，则根据一元二次方程的定义，判别式D=a^2-4kb≥0，又因为有两个实数根，所以D>0，即a^2-4kb>0.代入得到k9/4.13.设m、n是一元二次方程x^2+2x-3=0的两个根，则根据一元二次方程的定义，二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-3，根据求根公式得到m+n=-2，mn=-3.代入得到m^2+n^2+4m+4n+4=10.14.一元二次方程(a+1)x^2-ax+a-1=0的一个根为x=1，则代入得到a=1/2.15.若关于x的方程x^2-2x+2=0的两个根互为倒数，则根据一元二次方程的定义，判别式D=8-8a≥0，解得0≤a≤1.代入得到a=1/2.16.关于x的两个方程x^2-2x+3=0和x^2-3x+2=0的公共根为x=1，则代入得到另一个根分别为2和1，正确结论的序号为①和②。
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题(三种方法)
初中数学竞赛：一元二次方程求参数高难度题（三种方法）设p为质数，且关于x的方程x²+px-1170p=0的一个根为正整数，求p 的值；题目如上，很简洁，那么相对的，难度也会很不简单。
首先根据十字相乘法，将-1170p拆分因数，可得-、3、3、10、13、p，那么要求组合而成的两个因数之和还必须=p，那么我们可以看到除了10和p之外，其他三个数的个位都是3，首先可以排除1170×p这种形式，那么就可以确定不含p的一个因数的个位必定为3、9或7，同时p肯定要比1170小，所以我们可以分情况来讨论，先将负号放在一边，那么：①若其中一个因数为3×3=9，那么另一个则为130p，明显不行；②若其中一个因数为3×13=39，那么另一个则为30p，由于p至少得是2，所以无论p取哪个质数，39和30p的差值都不会是p，也不行；③若其中一个因数为3×10=30，那么另一个则为39p，同②也不行；④若其中一个因数为3×3×10=90，那么另一个则为13p，则需要p乘以13后个位数与p相同，那么p的个位数只能是5，而个位是5的质数只有5，当p=5时，也不行；⑤若其中一个因数为3×3×13=117时，那么另一个为10p，这个更没有合适的p；⑥若其中一个因数位10×13=130时，那么另一个为9p，当p=13时，9p=117,130与117的差值刚好为13=p，所以这个合适；所以最终就能得到p=13；这是一个一个情况罗列出来求解，那么能不能不这么麻烦呢？我们重新看一下1170拆分出来的3、3、10、13、p这五个因数，想要组成的两个因数差值等于p，那么也就是说不含p的那个因数里面含有p-1或者p+1这个因数，而其他部分的因数组成完全相同，那么这样一来，我们就可以将这四个已知的因数先分一下组，有两个因数3，那么假设这两个3分别在两个因数中，那么剩余的10、13、p这三个因数怎么也不可能凑出来差值等于p，为什么呢？因为有三个因数，怎么分呢？所以，剩余三个因数肯定是没法分的，那么也就是说两个3要在同一组当中，那么我们可以将两个3看做一个因数9，现在就变成了四个因数9、10、13、p，需要其中有两个因数相同，那么p肯定是9、10、13中的其中一个，那么别忘了，不相同的两个因数差值必须是1，才能凑出p这个差值，那么我们就可以先选出差值是1的两个因数9和10，也就是说，p就只能和剩下的那个13相等了，将p=13放进去，验证一个因数为130，另一个因数为117，130-117=13=p成立，所以p=13符合；老师用的方法和答案上提供的不同，题后答案如下：x²=p（1170-p），因为p是质数，所以x中肯定含有p这个因数，所以设x=np，那么（np）²=p（1170-p），所以n²p=1170-p，变形为n（n+1）p=9×10×13那么p=13；。
一元二次方程竞赛训练题
一元二次方程培优训练命题人：周金林 9.18一:选择题（25分）1．方程k k k x k x (02)13(722=--++-是实数)有两个实根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是（ C ）（A ）3＜k ＜4；（B ）－2＜k ＜－1；（C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。
2．方程012=--x x 的解是（ D ）（A ）251±； （B ）251±- （C ）251±或251±-； （D ）3．若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是( B )(A)∆>M (B)∆=M (C)∆<M ; (D)不确定. 4．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ C ）（A ）10≤≤m ； （B ）43≥m ； （C ）143≤<m ； （D ）143≤≤m5．已知b 2-4ac 是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ B ）(A) 18ab ≥ (B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 14ab ≤二;填空题（25分）1．在Rt ABC 中，斜边AB=5，而直角边BC ，AC 之长是一元二次方程2(21)4(1)0x m x m --+-=的两根，则m 的值是 42．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a 8 3．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a cb 32 6 ． 4．设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，求1942231+-x x 的值 0 5．已知m ，n 是有理数，并且方程02=++n mx x 有一个根是25-，那么m+n 的值是___3___。
一元二次方程测试题含答案
一元二次方程测试题（时间120分钟满分150分）一、填空题:（每题2分共50分）1.一元二次方程(1－3x )(x +3)=2x2+1 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
2.若m 是方程x 2+x －1＝0的一个根，试求代数式m 3+2m 2+2013的值为 。
3.方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
4.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
5.若代数式5242--x x 与122+x 的值互为相反数，则x 的值是 。
6.已知322-+y y 的值为2，则1242++y y的值为 。
7.若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
8.已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
9.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是。
10.设x 1，x 2是方程x2﹣x ﹣2013=0的两实数根，则= 。
11.已知x=﹣2是方程x 2+mx ﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是。
12.若，且一元二次方程kx 2+ax+b=0有两个实数根，则k 的取值范围是 。
13.设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则m 2＋4m ＋n ＝ 。
14.一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= 。
15.若关于x 的方程x2+（a ﹣1）x+a 2=0的两根互为倒数，则a =。
16.关于x 的两个方程x 2﹣x ﹣2=0与有一个解相同，则a = 。
17.已知关于x 的方程x2﹣（a+b ）x+ab ﹣1=0，x 1、x 2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x 1≠x 2；②x 1x 2＜ab ；③．则正确结论的序号是 ．（填上你认为正确结论的所有序号）18.a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1-a +(b －2)2+|a+b+c|=0，满足条件的一元二次方程是 。
一元二次方程100道计算题练习(附答案)
一元二次方程100 道计算题练习1、(x 4)2 5(x 4)2、(x 1)2 4x3、(x 3)2 (1 2x)24、2x2 10x 35、（x+5）2=166、2（2x－1）－x（1－2x）=07、x2 =64 8、5x2 - 25=0 9、8（3 -x）2 –72=010、3x(x+2)=5(x+2) 11、（1－3y）2+2（3y－1）=0 12、x 2 + 2x + 3=0 13、x 2 + 6x－5=0 14、x 2 －4x+ 3=0 15、x 2 －2x－1 =0 16、2x 2 +3x+1=0 17、3x 2 +2x－1 =0 18、5x 2 －3x+2 =0 19、7x 2 －4x－3 =0 20、-x 2 -x+12 =0 21、x 2 －6x+9 =0122、(3x2)2( 2x3) 223、x 2-3=4x2-2x-4=0 24、x25、3x 2＋8 x－3＝0（配方法）26、(3x＋2)(x＋3)＝x＋14 27、(x+1)(x+8)=-1228、2(x－3) 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x－24＝0 30、（2x-1）2 +3（2x-1）+2=0 31、2x 2－9x＋8＝0 32、3（x-5）2=x(5-x) 33、(x＋2) 2＝8x34、(x－2) 2＝(2x＋3)2 35、7x 2 2x 0 36、4t 2 4t 1 04 x 3 x x 3 0 38、6x 2 31x 35 0 39、2x3121 0 37、 2240、2x 2 23x 65 02补充练习：一、利用因式分解法解下列方程(x－2) 2＝(2x-3)2 x 2 4x 0 3x(x 1) 3x 3x2-2 3 x+3=0 58516 0x2 x二、利用开平方法解下列方程1 y 2(2 1) 2 154（x-3）2=25 (3x 2)224三、利用配方法解下列方程x x 3 2 6x 12 02 5 2 2 0 x x 2 7x 10 0四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x－24＝0 2x（x－3）=x－3．3x2+5(2x+1)=0五、选用适当的方法解下列方程3(x＋1) 2－3 (x ＋1)＋2＝0 (2x 1)2 9(x 3)2 x 2 2x 302 3 1 0 x x2 x1) ( 1)((x xx13 42)(3x 11)(x 2) 2 x（x＋1）－5x＝0. 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1).应用题：1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售 2 件，若商场平均每天盈利 1250 元，每件衬衫应降价多少元？2、两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的 2 倍少 32 平方厘米，求大小两个正方形的边长.43、如图，有一块梯形铁板ABCD，AB∥CD，∠A=90°，AB=6 m，CD=4 m，AD=2 m，现在梯形中裁出一内接矩形铁板AEFG，使E 在AB 上，F 在BC 上，G 在AD 上，若矩形铁板的面积为 5 m2，则矩形的一边EF 长为多少？4、如右图，某小在长 32 米，区规划宽 20 米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的 3 条小路，使其中两条与AD 平行，一条与AB 平行，其余部分种草，若使草坪的面积为 566 米2，问小路应为多宽？5、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售一个月能售出 500 千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，商店想在月销售成本不超过 1 万元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？6.某工厂1998 年初投资100 万元生产某种新产品，1998 年底将获得的利润与年初的投资的和作为1999 年初的投资，到 1999 年底，两年共获利润 56 万元，已知 1999 年的年获利率比 1998 年的年获利率多 10 个百分点，求 1998 年和 1999 年的年获利率各是多少？5思考：1、关于x的一元二次方程2 4 0a 的一个根为0，则a的值为。
《一元二次方程》培优竞赛
《一元二次方程》培优【知识要点】：1、一元二次方程的解法 （1） 法；（2） 法；（3） 法；（4） 法2、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的判别式为△= ，当△>0时方程有两个不相等的实根x 1= 和x 2= ；当△=0时有两个相等的实根x 1=x 2= ； 当△<0时根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0没有实数解．3、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为 即x 1=，x 2那么：12x x += ，12x x = ，此结论称为”韦达定理”，其成立的前提是0∆≥．3．特别地， 以两个数根x 1和x 2为根的一元二次方程是x 2＋( x 1+x 2 )x ＋x 1.x 2 = 0．【精选题型】：1、已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．2 、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．3、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=．（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 2＝x 1＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．4、已知关于x 的方程mx 2—(2m+1)x+2=0．（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有实数根；（2）若原方程有两个实数根x 1和x 2，当52221=+x x 时求m 的值（3）若原方程有两个实数根，能否存在一个根大于2，另一个根小于2 ？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【拓展练习】:1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2 B ．2-C ．12 D ．922．若t 是一元二次方程20 ax bx c ++=的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ． m ＜14 B 。
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一元二次方程竞赛题解题
一. 升次
例1.(2006年海南初赛)已知a,b 是一元二次方程 的两个根,则代数式 的值等于_________.
二.降次
例2.（江苏第8届数学竞赛）已知α，β是方程 的两根，求 的值。
三.配偶 例3.(2001年黄冈中考)已知α,β是方程 的两个实数根,求 的值.
四.减元
例4.（2005年湖州市“期望杯”数学竞赛题）设 是一元二次方程 的两根，则 等于（ ） B.8
五.正难则反
例5.若下列三个关于的方程： 至少有一个方程有实数根，求实数m 的取值范围.
六.巧用ab+a+b+1和ab-a-b+1的因式分解
例6.（第17届江苏初中数学竞赛题）求满足如下条件的所有k 值：使关于x 的方程 的根都是整数。
七.巧用结论“当a+b+c=0时，一元二次方程 必有一根是1” 例7.(第18届江苏初中数学竞赛题) 若关于x 的方程 的根是正整数，则整数r 的值可以是____________.
八.反客为主
例8.(1998年香港数学竞赛题)求所有正整数a,使得方程 仅有整数根.
x 2-x-1=0
3a 2+2b 2-3a-2b x 1,x 2x 2+x-3=0
x 13-4x 22+19(1) x 2-2(m-1)x+m 2=0(2) x 2-2(m+1)x+m(m+3)=0
(3) x 2+2mx+m 2-2m+4=0
kx 2+(k+1)x+(k-1)=0ax 2+bx+c=0rx 2-(2r+7)x+(r+7)=0x 2-ax+4a=0
α2+3β2+4β x 2+2x-7=0 x 2-x-1=0 α4+3β
其他：
例题1：已知βα,是方程0122=-+x x 的两根，则1053++βα的值为______（12年河南）
例题3：设b a b b a a ≠=+=+且31,3122则代数式2211b a +
的值为（ ）（08年全国联赛） Ｄ．１１
变式：已知实数y x ,满足4424244,3,324y x
y y x x +=+=-则的值为（ ）（０８联赛） 例题４：如果关于x 的方程02934322=+-++k k kx x 的两实根为21,x x 则20152
2014
1
x x 的值为________。
（12年全国联赛改编题）
例题5：（2010年数学联赛）已知实数y x ,满足方程组=+⎩⎨⎧=+=+22331
19y x y x y x 则__________。
1、（上海市竞赛）已知整数p 、q 满足2010=+q p ，且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的根均为正整数，则p=__________。
3.设方程02=++q px x 的两根为b a ,且有,,...,2221n n n b a l b a l b a l +=+=+=则当3
≥n 时，21--++n n n ql pl l 的值为（ ）。
4.方程)0(022≠=-+a a x a x 有（ ）个实数根。
5、若实数y x ,满足16
545,1634333333333=+++=+++y x y x 则x+y=___________。
6、已知关于x 的一元二次方程04)462()86(2222=-+--++-k x k k x k k 的两个根
都是整数.求实数k 的值.
7. 求方程组33333x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有整数解.（全国联赛）。