高三数学高考第一轮复习课件：直线与圆的方程

第39讲 │ 规律总结
第40讲 │ 两条直线的位置关系
第40讲两条直线的位置关系
第40讲 │ 编读互动编读互动
第40讲 │ 编读互动
第40讲 │ 知识要点知识要点
第40讲 │ 知识要点
第40讲 │ 知识要点
第40讲 │ 知识要点
第40讲 │ 知识要点
第40讲 │ 知识要点
第40讲 │ 知识要点
（５）线性规划问题：是教材新增内容，复习中应引起一定的注意．解相关问题时，一要注意准确作出可行域，二要正确理解目标函数的几何意义．
第七单元 │ 使用建议
２．直线的位置关系、直线与圆的位置关系及线性规划等问题都是高考的必考内容，在考试中是学生必得分的部分．在教学中应加强基础知识、基本公式、基本计算的教学，充分利用平面几何的知使用识建，议通过数形结合来解决问题．
（２）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
（３）了解二元一次不等式表示平面区域．（４）了解线性规划的意义，并会简单的应用．
（５）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（５）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（６）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．
第七单元 │ 使用建议
（３）公式适用型：指对于一些非解析几何问题，通过 “数形联想”，借助于定比分点公式、斜率公式、距离公式等简捷地解决．
（４）对称问题：是高考命题的热点之一，常见的是关于原点对称、关于坐标轴对使用称建问议题，应正确理解各种对称的几何意义，掌握两种基本对称———点关于点对称和点关于直线对称的有关知识，把其他的对称问题转化为以上两种对称问题解决．
第42讲 │ 能力提升
第42讲 │ 能力提升
第42讲 │ 能力提升
第42讲 │ 能力提升
第42讲 │ 能力提升
第42讲 │ 能力提升
第42讲 │ 规律总结规律总结
第42讲 │ 规律总结
ห้องสมุดไป่ตู้
第43讲 │ 直线与圆的位置关系
第43讲直线与圆的位置关系
第43讲 │ 编读互动编读互动
第43讲 │ 知识要点知识要点
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 能力提升能力提升
第41讲 │ 能力提升
第41讲 │ 能力提升
第41讲 │ 能力提升
第41讲 │ 能力提升
第41讲 │ 能力提升
第41讲 │ 能力提升
第41讲 │ 能力提升
第40讲 │ 知识要点
第40讲 │ 双基固化双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第43讲 │ 知识要点
第43讲 │ 知识要点
第43讲 │ 知识要点
第43讲 │ 知识要点
第43讲 │ 知识要点
第43讲 │ 知识要点
第43讲 │ 知识要点
第43讲 │ 双基固化双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第七单元 │ 复习策略
复习策略
“直线与圆”是每年高考的必考内容，近十年中本单元的所有知识点几乎都考过，约占１０分．
１．本单元在高考中主要考查两类问题：基本概念题和求在不同条件下的直线方程及圆的方程．基本概念重点考查：
（１）与直线方程特征值（主要指斜率、截距、倾斜角）有关的问题；
（２）两条直线平行和垂直的条件；（３）与距离有关的问题；（４）线性规划问题；（５）直线与圆、圆与圆的位置关系；
第七单元 │ 复习策略
（６）与到角、夹角公式有关的问题等．求不同条件下的直线、圆的方程重点考查：在不同条件下准确、快速求出直线方程或圆的方程．这两类问题大都属于中、低档题，主要以选择题和填空题形式出现，每年必考．中心对称与轴对称问题虽然在《考试大纲》中没有提及，但也是高考的重点，复习时也应很好地掌握．
第41讲 │ 知识要点知识要点
第41讲 │ 知识要点
第41讲 │ 知识要点
第41讲 │ 知识要点
第41讲 │ 双基固化双基固化
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 双基固化
第41讲 │ 规律总结规律总结
第41讲 │ 规律总结
第41讲 │ 规律总结
第42讲 │ 圆的方程
第42讲圆的方程
第42讲 │ 编读互动编读互动
第42讲 │ 知识要点知识要点
第42讲 │ 知识要点
第42讲 │ 知识要点
第42讲 │ 知识要点
第42讲 │ 知识要点
第42讲 │ 双基固化双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 双基固化
第43讲 │ 能力提升能力提升
第43讲 │ 能力提升
３．本单元包含５讲及一个单元能力训练卷，建议每讲１课时，单元能力训练卷占１课时，共需６课时完成．
第39讲 │ 直线的方程
第39讲直线的方程
第39讲 │ 编读互动编读互动
第39讲 │ 知识要点知识要点
第39讲 │ 知识要点
第39讲 │ 知识要点
第39讲 │ 知识要点
第39讲 │ 双基固化双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 双基固化
第40讲 │ 能力提升能力提升
第40讲 │ 能力提升
第40讲 │ 能力提升
第40讲 │ 规律总结规律总结
第40讲 │ 规律总结
第41讲 │ 简单线性规划及应用
第41讲简单线性规划及应用
第41讲 │ 编读互动编读互动
第39讲 │ 双基固化
第39讲 │ 双基固化
第39讲 │ 双基固化
第39讲 │ 双基固化
第39讲 │ 双基固化
第39讲 │ 双基固化
第39讲 │ 双基固化
第39讲 │ 能力提升能力提升
第39讲 │ 能力提升
第39讲 │ 能力提升
第39讲 │ 规律总结规律总结
第39讲 │ 规律总结
两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．
用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．
第七单元 │ 考点解读
（１）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
直线与圆的方程
目录
第39讲直线的方程第40讲两条直线的位置关系第41讲简单线性规划及应用第42讲圆的方程第43讲直线与圆的位置关系
第七单元直线与圆的方程
第七单元 │ 知识框架知识框架
第七单元 │ 考点解读
考点解读
直线的倾斜角和斜率．直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 双基固化
第42讲 │ 能力提升能力提升
２．直线与圆的综合性试题出题的几率较小，不宜浪费太多时间．
３．由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式等代数问题往往借助直线方程进行解决，考查学生的综合能力及创新能力．
第七单元 │ 使用建议
使用建议
１．在本单元教学中注意（１）基本型：是指基本公式的应用，有关直线方程、圆的方程等试题，都属于基本题使型用，建议多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上知识点．（２）位置型：关于直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题型出现次数较多，既有选择题、填空题，又有解答题；既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力．
第43讲 │ 能力提升
第43讲 │ 能力提升
第43讲 │ 能力提升
第43讲 │ 能力提升
第43讲 │ 规律总结规律总结

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2025高考数学一轮复习-第39讲-圆的方程【课件】

解得
(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，
ab＝＝21，，
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
r＝ 10，
25＋4＋5D＋2E＋F＝0，
方法三：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则9＋4＋3D－2E＋F＝0，
解得DE＝＝－－24，，所以所求圆的方程为
M
为线段
ED
的中
点得
x＝x1＋2 3， y＝y1＋2 0，
解得
x1＝2x－3， y1＝2y.
又点 D 在圆 C：(x－2)2＋(y－4)2＝10 上，所以(2x－3－2)2＋(2y－4)2＝
10，化简得x－522＋(y－2)2＝52，故点 M 的轨迹方程为x－522＋(y－2)2＝52.
【答案】(x－2)2＋(y－4)2＝10 x－522＋(y－2)2＝52
a－b 4＝－12， 2a－b－3＝0，
解得ab＝＝21，，所以 C(2，1)，所以 r＝|CA|＝ (5－2)2＋(2－1)2＝ 10，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则2(5a－－ab)－2＋3(＝2－0，b)2＝r2，
举题说法圆的方程
1 (1) 经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的标准方程是________________________．
【解析】方法一：(几何法)由题意知kAB＝2，AB的中点为(4，0).设圆心为C(a，b). 因为圆过 A(5，2)，B(3，－2)两点，所以圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上，则
2．圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)的圆的方程是( A )

2024届新高考一轮复习人教B版主题三第八章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系课件(36张)

条数
4
3
2
.
.
1
0
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为
x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两

(-) + ( + ) = ,r1+r2=3,r2-r1=1,所以 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即两圆的
位置关系为相交.
5.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为
解析:根据题意(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0,①
x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②
|-+-| |+|
+
=
+
=
++
+
=
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
弦长问题
[例2] 过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,求
直线l的方程.
解:圆(x+1)2+(y-2)2=25 的圆心坐标是(-1,2),半径 r=5.

2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】

A．a<－2
B．－23<a<0
C．－2<a<0
D．－2<a<23
【解析】由方程表示圆的条件得 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即 3a2＋4a－4<0，∴－2<a<23.故选 D.
6．已知实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝4，则 3x2＋4y2 的最大值为___4_8____．
3．过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( C ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】解法一：∵圆心在直线 x＋y－2＝0 上，
设圆心(a,2－a)，圆方程为(x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2，代入点 A(1，－1)，B(－1,1)得
【解析】由(x－2)2＋y2＝4，得 y2＝4x－x2≥0，得 0≤x≤4.所以 3x2＋4y2＝3x2＋4(4x －x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64,0≤x≤4，所以当 x＝4 时，3x2＋4y2 取得最大值 48.
易错点睛：(1)忽视表示圆的充要条件 D2＋E2－4F>0 致误． (2)忽视圆的方程中变量的取值范围致误．
x－y－1＝0.联立 Nhomakorabeax－y－1＝0， 2x－7y＋8＝0，
解得
x＝3， y＝2.
∴r＝ 6－32＋0－22＝ 13.
∴圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
解法二(待定系数法)：设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得61－－aa22＋＋05－－bb22＝＝rr22，， 2a－7b＋8＝0，

直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

, 到直线： − − = 的距离 =

≤ + ，解得−

≤≤

.

−−
+
=

+
≤ ，即
考点二直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆，所以注意检验是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(

A.

)
√

C.−

B.5
解析：选C.因为 −

+ −

D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −

+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=

+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.

高考数学一轮总复习课件：圆的方程及直线与

所以圆的方程为x2＋y2－4x－235y－5＝0. 将D(a，3)代入得a2－4a－21＝0. 解得a＝7或a＝－3(舍)．
(2)(2021·辽宁大连模拟)在直线l：y＝x－1上有两个点A， B，且A，B的中点坐标为(4，3)，线段AB的长度|AB|＝8，则过 A，B两点且与y轴相切的圆的方程为____(_x_－_4_)_2＋__(y_－__3)_2＝__1_6___
解析 (x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1表示圆，则 4m2－5m＋1>0，解得m<14或m>1.
3．(2021·成都七中月考)圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与
x轴相切，则该圆的方程是( B )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
第3课时圆的方程及直线与圆的位置关系
[复习要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程和一般方程.3.掌握直线与圆的位置关系．
课前自助餐
圆的定义平面内到定点的距离__等_于__定_长___的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径．注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为 λ，即||PPAB||＝ λ， ①当 λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当 λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
A＝B≠0，
__D_2＋__E_2_－_4_A_F_>_0.
圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为xy＝＝ab＋＋rrcsoinsθθ，(θ 为参数)．
确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．

圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习

解析：由题设知 = , = ， = ，所以
< < ，要使,,三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，
一个点在圆外，所以圆以为半径，故圆的方程为
−

+ + ��

= .
求圆的方程的两种方法
1.（多选）(2024·重庆模拟)设圆的方程是 −
= ，故 = − −
⋅ = − −
+ −

+ ,所以
+ + − = − .由圆的方程
= ，易知 ≤ ≤ ,所以，当 = 时， ⋅ 的值最大，
最大值为 × − = .
建立函数关系式求最值
所以点到两点的距离相等且为半径，
所以
−

+ −
=
+ −

= ，
即 − + + − + = ，解得 = ，
所以 , − ， = ，
所以⊙ 的方程为 −

+ +

= .
方法三：设点 , , , ,⊙ 的半径为,则 =
10
则 + 的最大值为____.
2.设点 , 是圆 −

解析：由题意知 = −, − , = −, − − ,
所以 + = −, − ,由于点 , 是圆上的点，故其坐标满足方
程 −

+ = ,
故 = − −
−

+ = ，即表示以点 , 为圆心，为半径
的圆.

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：两条直线的位置关系

√A.4
B.－4
C.1
D.－1
因为直线 2x＋my＋1＝0 与直线 3x＋6y－1＝0 平行，所以23＝m6 ≠－11，解得 m＝4.
教材改编题
3.直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
直线 x－2y－3＝0 的斜率为 k＝12且与 x 轴交于点(3,0)，故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)，其方程为 y＝－12(x－3)，即x＋2y－3＝0.
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对
边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是
A.相交但不垂直 C.平行
√B.垂直
D.重合
由题意可知，直线 xsin A＋ay＋c＝0 与 bx－ysin B＋sin C＝0 的斜率分别为－sina A，sinb B，又在△ABC 中，sina A＝sinb B，所以－sina A·sinb B＝－1，所以两条直线垂直.
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，
若l1⊥l2，则实数a的值是
√A.0或－1
B.－1或1
C.－1
D.1
由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.
思维升华
判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
命题点1 点关于点的对称问题
例 3 直线 3x－2y＝0 关于点13，0对称的直线方程为
A.2x－3y＝0 C.x－y＝0

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆的方程》课件ppt

设动点P的坐标为(x，y)，因为 M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝ 2|PM|，所以 x－22＋y2＝ 2· x－12＋y2，
整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q 的轨迹方程.
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B
＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋
F>0.( √ )
教材改编题
1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，
F＝0，
则16＋4D＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
F＝0，
解得D＝－4， E＝－2，
满足 D2＋E2－4F>0，
所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5；
若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，
F＝0，
则1＋1－D＋E＋F＝0， 16＋4＋4D＋2E＋F＝0，
方法二设 AB 的中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0) 为圆心，2 为半径的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径 r＝ a－02＋－2a＋3－02

高考数学一轮复习规划8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件

围为
()
A. (－1，1]∪{－ 2}
B. {－ 2， 2}
C. [－1，1)∪{ 2}
D. (1， 2]
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
解：y＝ 1－x2表示半圆，如图所示，
第八章平面解析几何
因为直线 y＝x＋m 与曲线 y＝ 1－x2有且只有一个公共点， ①d＝ 12＋（|m|－1）2＝1，解得 m＝ 2，m＝－ 2(舍去)； ②代入(－1，0)可得 0＝－1＋m，m＝1，代入(1，0)可得 0＝1＋m，m＝－1. 综上，结合图象可得－1≤m<1 或 m＝ 2. 故选 C.
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第八章平面解析几何
②若点 M(x0，y0)在圆外，过点 M 引圆的两条切线，切点为 M1，M2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为 x0x＋y0y＝r2； (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2； x0x＋y0y＋D·x0＋2 x＋E·y0＋2 y＋F＝0. (2)圆 x2＋y2＝r2 的斜率为 k 的两条切线方程分别为 y＝kx±r 1＋k2. (3)过圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外一点 M(x0，y0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式
5 (2)可知点 A(4，－1)在圆上，故其为切点. 因为 kAC＝－1－2＋41＝13，所以过切点 A(4，－1)的切线斜率为－3，所以切线方程为 y＋1＝－3(x－4)，即 3x＋y－11＝0. 【点拨】求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条.
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(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.

高考数学第一轮单元复习课件第45讲直线与圆、圆与圆的位置关系

► 探究点2 圆的切线问题
例 2 已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若 C 的切线在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程； (2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向圆引一条切线，切点为 M， O 为原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的 P 点的坐标.
【思路】 (1)依据截距关系确定切线的斜率，设出直线方程，利用点到直线的距离等于半径求解；
(2)首先确定P点的轨迹方程，从而确定|PM|最短时点 P的坐标满足的关系式.
【解答】 (1)∵切线在 x 轴，y 轴上的截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1.设切线的方程为 y＝x＋b 或 y＝－x＋b，由点到直线的距离公式解得切线的方程为：x＋y －3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.
变式题求圆心在直线 x＋y＝0 上，且过两圆 x2＋y2 －2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0 的交点的圆的方程.
【思路】求出两圆的交点坐标，利用圆心到两交点的距离都相等于半径，求出圆心和半径，也可以利用两交点连结所得弦的垂直平分线与直线x＋y＝0的交点，就是圆心；还可以利用圆系，先设出过两圆点的圆的方程，再求系数.
①
x d 2 y2 r22 ②
将①②两式联立，研究此方程组的解.
如果方程组有解，且只有两解，这时相应的两圆相交于两点。如图 45－2.
图 45－2
如果方程组有唯一解，这时两圆相切(外切或内切) 。如图 45－3.
图 45－3
如果方程组无解，这时两圆外离或内含。如图 45－4.
知识梳理
1.直线与圆的位置关系的判定方法 (1)代数法(或 Δ 法)：看由直线与圆的方程组成的方程组有无实数解。将直线 l 的方程与圆 C 的方程联立，消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程. ①当 Δ＞0 时，方程有两解，此时方程组也有两组实数解，说明直线 l 与圆 C 相交； ②当 Δ＝0 时，方程有唯一解，此时方程组也有唯一一组解，说明直线 l 与圆 C 相切；

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